La grande difficulté d’un problème de statique, plane ou espace, mais aussi d’un problème de dynamique, est de

modéliser les actions extérieures à un système matériel isolé choisi judicieusement pour donner des systèmes

d’équations ou l’équation simple à résoudre. On ne recherche surtout pas la complexité mathématique, on cherche

des équations explicites.

La phase de modélisation du problème aura certaines constances et nécessite une méthode rigoureuse.

Le problème ne pourra se résoudre sans faire d’hypothèses :

Le système est il plan ? La masse de certains éléments en présence peut elle être négligée devant les efforts appliqués ? …

PLAN DU CHAPITRE 4

1. Poser un problème – hypothèses. 2. Algorithme de résolution. 3. Problèmes plans résolus analytiquement :

3.1. Solide en équilibre sous l’action de trois forces. 3.2. Solide en équilibre sous l’action de forces et moments. 3.3. Système matériel composé de deux solides en équilibre dont un est soumis à deux forces. 3.4. Un autre exercice à modéliser à partir d’un dessin d’ensemble : bride.

4. Quelques exercices (TD) 4.1. Système soumis à forces et moments. 4.2. Solide en porte à faux. 4.3. Système matériel composé de plusieurs solides, en équilibre : structure 2 barres. 4.4. Treuil d’échafaudage et structure deux barres. 4.5. Bouteur de travaux public. 4.6. Camion de ramassage de déchets ménagers.

On rappelle que l’on peut considérer l’hypothèse « système plan » si (1) et (2):

1. le système matériel lui-même comporte un plan de symétrie. Beaucoup de systèmes, dans un souci de stabilité, sont conçus le plus possible symétriques par rapport à un plan : vélo, voiture, agrafeuse, …Ne sommes nous pas, nous humains et nos amis les bêtes, en grande partie symétriques ?

2. Le système sthénique (*) constitué des forces extérieures au système matériel comporte lui aussi le

même plan de symétrie. Si deux forces sont symétriques par rapport à un plan, leur résultante (chapitre précédent) est dans le plan. Les vecteurs moment sont orthogonaux au plan et se projettent en vraie grandeur sur le vecteur directeur normé n. Si le plan de l’étude est (x, y), alors tous les moments sont selon z.

(*) adjectif utilisé dans certains ouvrages et à Nantes pour caractériser la nature des entités vectorielles force et

moment (vient du grec « sthenos » : force).

CONVENTIONS Les entités vectorielles sont représentées en caractères gras. AB distance. AB vecteur.

Les flèches en double ou triple trait sont des vecteurs moment Force Moment

Exemple de problème plan :

Comment aborder un problème de statique ?

Que cherche-t-on ? Quels sont les cas de charge ? Quelle sont les hypothèses que l’on peut poser ?

A la suite de ce questionnement, on peut modéliser le système mécanique : barres, solides, …

On isole un solide ou un ensemble de solides.

On pose les hypothèses nécessaires à la définition du bilan des actions mécaniques.

On écrit le bilan des actions mécaniques sous forme de tableau.

On cherche les symétries éventuelles.

Suivant le nombre d’inconnues répertoriées dans le tableau, on sait si on pourra résoudre ou non. Un problème plan

comportera au plus 3 inconnues pour 3 équations, un problème espace, 6 inconnues pour 6 équations. Le système

comporte – il autant d’équations statiques que d’inconnues ?

o Si oui alors on applique le principe fondamental au système isolé et on résout vectoriellement, par équations de projection si le cas est plan, graphiquement si le cas est plan et si on cherche à résoudre dans une position du système

bien définie. o Si non, on isole un autre système de solides afin d’obtenir des équations supplémentaires jusqu'à

obtenir autant d’inconnues que d’équations, en utilisant le principe des actions réciproques.

Puis on résout vectoriellement, par équations de projection si le cas est plan, graphiquement si le cas est plan et si on cherche à résoudre dans une position du système

bien définie.

On peut être amené à faire un algorithme de résolution avant d’entreprendre la résolution en elle-même.

Le dispositif ci-contre permet de serrer et

d’immobiliser le cylindre 5 ; on agit sur

l’écrou de manœuvre de la vis 3.

Le système de solides et le système de

forces comporte un même plan de

symétrie qui est ici le plan de la coupe

représentée sur le dessin.

A-A