Plan cadre 1 Mathmatiques EEE (303)

L'objet et la place du cours dans le programme

Le cours Calcul diffrentiel et intgral avanc est un cours de l'tablissement offert en quatrime sessionaux tudiants du programme en Sciences de la nature, particulirement ceux qui s'orientent dans lesdomaines du gnie, de l'actuariat, de l'informatique, des mathmatiques ou de la physique.

Dans ce troisime cours de calcul diffrentiel et intgral, l'tudiant abordera les drives partielles, lesintgrales multiples, les quations diffrentielles d'ordre 1. De plus, l'utilisation d'un logicielmathmatique (MAPLE) permettra aux tudiants de mieux intgrer les aspects numriques, graphiques etsymboliques des notions abordes dans ce cours.

Puisque ce cours fait appel des connaissances des diffrents cours de mathmatiques prcdents, il fournitune occasion idale pour appliquer, approfondir, synthtiser, intgrer et complter les connaissancesacquises en mathmatiques. En fait, ce troisime cours de calcul diffrentiel et intgral fournit des contextesprivilgis pour faire de la synthse et de l'intgration des connaissances.

Les objectifs gnraux du cours

1. Les connaissances: l'tudiant doit pouvoir

1.1 connatre, comprendre et savoir appliquer les notions du calcul diffrentiel et intgral aux fonctionsde plusieurs variables: graphes, limites, continuit, drives et intgrales.

1.2 savoir situer le dveloppement des concepts du calcul diffrentiel et intgral dans un contextehistorique.

1.3 connatre et utiliser correctement les dfinitions, la terminologie, le symbolisme et les conventionsmathmatiques relatives au calcul diffrentiel et intgral pour les fonctions plusieurs variables;

1.4 connatre et savoir utiliser les fonctionnalits de base d'un logiciel mathmatique (MAPLE);

1.5 faire la synthse et la gnralisation des principales notions abordes durant ses cours de calcul deniveau collgial.

2. Les habilets: l'tudiant doit pouvoir

2.1 relier les concepts du calcul diffrentiel ceux du calcul intgral;

2.2 dvelopper son intuition, son sens de l'observation des phnomnes infinitsimaux et prvoir, s'il ya lieu, un rsultat en faisant une estimation pralable;

2.3 donner une interprtation gomtrique dans |R2 et |R3 de diverses notions du calcul diffrentiel etintgral et ainsi amliorer sa vision spatiale;

2.4 construire des modles mathmatiques correspondant des situations donnes du calcul diffrentielet intgral;

2.5 appliquer des stratgies gnrales de rsolution de problmes;

2.6 rsoudre un problme en utilisant les techniques appropries du calcul diffrentiel et intgral, enutilisant, si ncessaire, un logiciel mathmatique (MAPLE), interprter correctement les rsultatsobtenus et ensuite porter un jugement critique sur ceux-ci;

2.7 rdiger une solution dans un franais convenable, selon un droulement logique, clair et complettout en employant correctement le langage mathmatique;

2.8 relier les aspects numriques, symboliques et graphiques qui se prsentent dans diverses situationsdu calcul diffrentiel et intgral;

2.9 lire de faon autonome les textes mathmatiques proposs dans le cours;

2.10 tablir, s'il y a lieu, des liens entre les connaissances mathmatiques et des notions relatives d'autres disciplines.

3. Les attitudes: ce cours doit amener l'tudiant

3.1 comprendre et amliorer son propre processus d'apprentissage et se responsabiliser face ceprocessus;

3.2 dvelopper sa crativit et sa curiosit intellectuelle;

3.3 dvelopper sa rigueur intellectuelle et son souci d'tre clair, prcis, ordonn et systmatique dans sescrits et dans ses communications verbales;

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3.4 comprendre l'importance de dvelopper une comptence en rsolution de problmes et accepter d'treconfront des problmes o la recherche de solutions est exigeante;

3.5 dvelopper sa capacit de collaborer avec autrui dans des quipes de travail tout en respectant lesdivers rythmes d'apprentissage de ses pairs;

3.6 prendre conscience de l'utilisation importante du calcul diffrentiel et intgral en sciences et de sacontribution particulire sa formation intellectuelle et scientifique;

3.7 afficher une ouverture d'esprit et exercer un sens critique quant l'utilisation des technologies lorsde rsolutions de problmes.

Les objectifs spcifiques (le contenu)Remarques: 1. Des notes historiques seront prsentes au moment appropri tout au long du cours.

2. Les items en italique sont des lments d'enrichissement qui peuvent tre couverts au choix du professeur.

Chapitre 1: Drives partielles

L'tudiant doit pouvoir...

Fonction 2 variables _ trouver le domaine_ dessiner le graphe

Limites et continuitd'une fonction 2variables

_ donner la dfinition rigoureuse de limite en un point_ reconnatre qu'une limite n'existe pas et justifier_ dterminer qu'une limite existe en trouvant sa valeur et en la dmontrant

l'aide d'une dfinition_ donner la dfinition de continuit en un point_ dterminer si une fonction est continue en un point

Drives partielles _ donner la dfinition des drives partielles et l'interprter gomtriquement_ calculer l'aide de la dfinition des drives partielles du 1er et du 2 ordre_ mmoriser les formules de drivation vues dans les cours prcdents_ calculer l'aide des formules de drivation des drives partielles de tout

ordre_ noncer le thorme sur l'galit des drives mixtes_ donner la dfinition d'une fonction harmonique

Diffrentiabilit etdiffrentielle totale

_ donner la dfinition de diffrentiabilit et de diffrentielle totale_ dmontrer qu'une fonction simple est diffrentiable_ noncer les thormes reliant la diffrentiabilit et la continuit_ utiliser la diffrentielle totale pour effectuer des approximations ou des

calculs d'erreur_ calculer la diffrentielle totale d'une fonction

Drivation en chane _ tablir les formules de drivation en chane dans diffrents cas et lesappliquer

Drivation implicite _ calculer les drives d'ordre 1 et d'ordre 2 d'une fonction implicite

Plan cadre 3 Mathmatiques EEE (303)

Drive directionnelle _ donner la dfinition de la drive directionnelle et son interprtationgomtrique

_ calculer l'aide de la dfinition des drives directionnelles de fonctionssimples

_ noncer la formule qui permet de calculer la drive directionnelle d'unefonction diffrentiable et appliquer cette formule

_ noncer la dfinition du vecteur gradient d'une fonction 2 ou 3 variableset l'interprter gomtriquement

_ calculer le gradient et l'utiliser pour dterminer la direction de penteextrme

Approximation deTaylor

_ noncer le thorme de Taylor 2 variables_ l'utiliser pour effectuer des approximations

Maxima et minima _ noncer les dfinitions de maximum relatif et absolu, minimum relatif etabsolu, points de selle

_ noncer le thorme permettant de classifier les diffrents points critiques_ trouver et classifier les extrema relatifs d'une fonction_ rsoudre des problmes d'optimisation 2 variables_ rsoudre des problmes d'optimisation 2 variables sur une rgion donne

Multiplicateur deLagrange

_ noncer l'algorithme de Lagrange permettant de calculer les extrema d'unefonction de 2 ou 3 variables avec contrainte d'galit

_ utiliser cet algorithme et l'interprter gomtriquement

Chapitre 2: Intgrales doubles

L'tudiant doit pouvoir...Sommes de Riemann _ noncer les principales proprits d'une intgrale double

_ donner les conditions d'existence d'une intgrale double

Intgrale itre _ noncer le thorme qui permet de calculer une intgrale double itre_ calculer des intgrales doubles itres_ poser les bornes d'intgration et effectuer une intgrale double sur une rgion

du planChangement d'ordred'intgration

_ changer l'ordre d'intgration

Calcul d'aires et devolumes

_ calculer l'aire d'une rgion plane l'aide d'une intgrale double_ calculer le volume d'un solide l'aide d'une intgrale double

Changement devariables

_ noncer le thorme concernant le changement de variables dans une intgraledouble

_ choisir un changement de variables appropri pour effectuer une intgraledouble

Coordonnes polaires _ noncer les formules de changement de coordonnes cartsiennes coordonnes polaires et inversement

_ tracer des courbes en coordonnes polaires_ prendre l'quation d'une courbe en coordonnes polaires et la transformer en

coordonnes cartsiennes et inversement_ calculer l'aire d'une rgion borne par des courbes donnes en coordonnes

polaires_ calculer le volume d'un solide dlimit par des surfaces en coordonnes

polaires_ reconnatre les cas o il y a avantage transformer une intgrale double

cartsienne en polaire et effectuer l'intgrale

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Centre de masse _ trouver le centre de masse d'une rgion plane l'aide d'intgrales doublesen coordonnes cartsiennes ou polaires

Moment d'inertie _ trouver le moment d'inertie d'une rgion plane l'aide d'intgrales doublesen coordonnes cartsiennes ou polaires

Chapitre 3: quations diffrentielles

L'tudiant doit pouvoir...quations diffrentiellesd'ordre 1

_ reconnatre et rsoudre par la mthode approprie des quations diffrentiellesdu premier ordre, soit des quations diffrentielles- variables sparables- homognes- exactes- transformables en quations exactes l'aide d'un facteur intgrant trouver- linaires du premier ordre- de Bernouilli

_ modliser des situations et en trouver les solutions

quations diffrentielleslinaires d'ordre 2

_ reconnatre les quations diffrentielles linaires du 2 ordre_ vrifier si une quation diffrentielle linaire du 2 ordre est homogne ou

non, et coefficients constant ou non_ dmontrer qu'une fonction est solution (ou non) d'une quation diffrentielle

linaire homogne d'ordre 2

quations diffrentielleslinaires homognesd'ordre 2

_ noncer les thormes concernant les quations diffrentielles linaireshomognes d'ordre 2

_ calculer le wronskien de plusieurs fonctions et vrifier que ces fonctionssont linairement indpendantes (ou non)

_ crire la solution gnrale d'une quation diffrentielle linaire homogned'ordre 2 partir de ses solutions linairement indpendantes

quations diffrentiellesd'ordre 2, homognes coefficients constants

_ trouver dans chacun des trois cas possibles, la solution gnrale d'unequation linaire homogne d'ordre 2 coefficients constants

quations diffrentiellesd'ordre 2 coefficientsconstants nonhomognes

_ utiliser la mthode de la variation des constantes pour trouver unesolution particulire d'une quation diffrentielle linaire non homogned'ordre 2 coefficients constants et ensuite crire la solution gnrale decette quation

Chapitre 4: Intgrales triples

L'tudiant doit pouvoir...Sommes de Riemann _ noncer les principales proprits d'une intgrale triple

_ donner les conditions d'existence d'une intgrale triple

Plan cadre 5 Mathmatiques EEE (303)

Intgrales itres _ noncer le thorme qui permet de calculer une intgrale triple de faonitre

_ calculer des intgrales triples itres en effectuant, sil y a lieu, deschangements d'ordre, de variables ou de coordonnes

Calcul de volumes _ dessiner une surface dans l'espace_ dessiner un solide born par plusieurs surfaces_ dessiner la courbe d'intersection de deux surfaces dans l'espace et en

calculer l'quation_ dessiner la projection orthogonale d'un solide et calculer l'quation des

courbes qui la dlimitent, dans chacun des trois plans xy, xz et yz_ crire l'intgrale triple qui permet de calculer le volume d'un solide dans

chacun des six ordres d'intgration et calculer cette intgrale

Changement d'ordred'intgration

_ partir d'une intgrale triple itre, dessiner le volume du solidecorrespondant, changer l'ordre d'intgration et effectuer l'intgrale

_ reconnatre les cas o il y a avantage changer l'ordre d'intgration dansune intgrale triple

Changement devariables

_ noncer le thorme concernant la changement de variables dans uneintgrale triple

_ reconnatre les cas o il y a avantage changer de variables dans uneintgrale triple, choisir le changement de variables appropri et effectuerl'intgrale

Coordonnescylindriques etsphriques

_ donner les formules de changement de coordonnes cartsiennes cylindriques (sphriques) et inversement

_ tracer des surfaces en coordonnes cylindriques(sphriques)_ transformer des quations cartsiennes en quations cylindriques

(sphriques) et inversement_ reconnatre les cas o il y a avantage changer en systme de coordonnes

cylindriques (sphriques) pour calculer une intgrale triple, effectuer lechangement de systme et calculer l'intgrale

_ reconnatre les cas o il y a avantage changer en systme coordonnescylindriques (sphriques) pour calculer le volume d'un solide, crirel'intgrale et effectuer le calcul du volume

Laboratoires avec le logiciel mathmatique MAPLE (8 10 heures)

L'tudiant doit pouvoir...Utilisation de MAPLE _ reconnatre et utiliser les principales fonctionnalits de MAPLE

_ utiliser MAPLE pour tudier certains thmes propre ce cours, comme parexemple:

_ limites, continuit et diffrentiabilit_ surfaces en 3D, courbes de niveau_ optimisation de fonctions plusieurs variables_ intgrales doubles, triples_ coordonnes polaires_ quations diffrentielles d'ordre 1 et isoclines_ autres

Plan cadre 6 Mathmatiques EEE (303)

valuation

L' valuation sommative de 100 points se fait dans le cadre suivant:. un minimum de trois examens durant la session. un maximum de 30 points pour un examen. la proportion des laboratoires mathmatiques avec le logiciel MAPLE se situera entre 10 points et 25

points. un maximum de 20 points pour toute autre forme d'valuation

Bibliographie

Adams, Robert A., Calculus, a complete course, 4th edition, 1999-Addison-Wesley, ISBN 0-201-39607-6

Bradley Gerald L. and Smith Karl J. , Calculus , 2nd edition, 1999-Prentice Hall, ISBN 0-13-660135-9

McCallum William G, Hughes-Hallet Deborah, Gleason Andrew M. et al, Fonctions de plusieursvariables, Projet Harvard, 1999-Chenelire/McGraw-Hill, ISBN 2-89461-260-5

Swokoski, Analyse, 5 dition, traduit de l'anglais par Micheline Citta, 1995-De Boeck Universit, ISBN2-8041-1594-1

Thomas George B. Jr. and Finney Ross L., Calculus and analytic geometry, 8th edition, 1992-Addison-Wesley, ISBN 0-201-53284-5, ISBN 0-201-54286-7

Varberg Dale, Purcell Edwin J. and Rigdon Steven E., Calculus, 8th edition, 2000-Prentice Hall , ISBN0-13-081137-8