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Ann. Math. Québec (2014) 38:37–59DOI 10.1007/s40316-014-0018-y
Poids de Mayer et transformées de Fourier
Amel Kaouche · Gilbert Labelle
À la mémoire de Pierre Leroux qui a raffermi les liens entre la combinatoire et la mécaniquestatistique.
Reçu: 2 novembre, 2013 / Accepté: 22 avril, 2014 / Published online: 8 July 2014© Fondation Carl-Herz and Springer International Publishing Switzerland 2014
Résumé Le développement du viriel, en mécanique statistique, fait appel aux sommes despoids de Mayer de tous les graphes 2-connexes ayant n sommets, pour n > 1. Une tendancerécente en mathématiques discrètes consiste à calculer la valeur exacte ou asymptotique dupoids de Mayer de graphes particuliers ou de familles spéciales de graphes, à partir de leurstructure combinatoire. Le présent travail fait appel aux transformées de Fourier et à desarborescences couvrantes de graphes pour développer des méthodes de calcul de ces poidsen dimensions d > 0, pour diverses familles de graphes.
Abstract The virial expansion, in statistical mechanics, makes use of the sums of the Mayerweights of all 2-connected graphs on n vertices, for n > 1. A recent trend in discrete math-ematics deals with the exact or asymptotic approximation of the Mayer weight of particulargraphs or of special families of graphs, starting from their combinatorial structure. In thepresent work, we use Fourier transforms and spanning (rooted) trees of graphs to developmethods for the computation of these weights in dimensions d > 0, for various families ofgraphs.
Keywords Combinatoire · Transformées de Fourier · Arborescence · Poids de Mayer ·Mécanique statistique
Mathematical Subject Classification 05C25
A. KaoucheSecteur sciences, Université de Moncton, Campus d’Edmundston, 165 Boulevard Hébert,Edmundston, Nouveau Brunswick E3V 2S8, Canadae-mail: [email protected]
G. Labelle (B)LaCIM, Université du Québec à Montréal, CP 8888, Succ. Centre-ville, Montréal, Québec H3C 3P8,Canadae-mail: [email protected]
123
38 A. Kaouche, G. Labelle
1 Introduction
La formule classique de mécanique statistique,
P
K T= N
V, (1)
(ou PV = N K T ) pour les gaz parfaits a été étendue aux gaz imparfaits en une série,
P
K T= N
V+ β2
(N
V
)2
+ β3
(N
V
)3
+ · · · , (2)
appelée le développement du viriel (voir [4–6,11,15–17]), dans lequel
βn = 1− n
n!∑
b∈B[n]wM (b), n ≥ 2, (3)
où B[n] est l’ensemble des graphes 2-connexes1 sur [n] = {0, 1, 2, . . . , n−1} (aussi appelésblocs sur [n]) et wM (b) désigne le poids de Mayer du graphe 2-connexe b. Dans (1) et(2), P, T, V, N et K désignent respectivement la pression, la température, le volume, lenombre de particules et une constante dépendant de la nature du gaz. Dans le présent texte,tous les graphes sont représentés comme des ensembles d’arêtes. Ainsi, si g est un graphe,{i, j} ∈ g signifie que {i, j} est une arête de g. En dimension d , le poids de Mayer wM (c)d’un graphe connexe c sur {0, 1, 2, . . . , n− 1} est défini par l’intégrale multidimensionnelle(voir [9,10,13]),
wM (c) =∫
(Rd )k
∏i j∈c
f (‖−→xi −−→x j ‖) d−→x1 · · · d−→xk ,−→x0 = 0, (4)
dans laquelle la fonction f : [0,∞)→ R désigne le type d’interaction entre les particules et,pour alléger la notatiom, i j désigne l’arête {i, j}. Nous avons posé, pour simplifier l’écriture,
k = n − 1.
Pour les particules dites dures, la fonction d’interaction f prend la forme, pour r ≥ 0,
f (r) = −χ(r ≤ 1) ={−1 si r ≤ 1,
0 autrement.
Diverses méthodes ont été développées dans la littérature pour le calcul approximatif ouexact des poids de Mayer en mécanique statistique (voir par exemple, [5,16] et leurs bibli-ographies): changements de variables, utilisation de symétries, analyse de Fourier, fonctionsspéciales, intégration numérique, méthodes de Monte-Carlo. Dans le cas d’un gaz à noyauxdurs et à positions continues en une dimension, l’utilisation de la méthode des homomor-phismes de graphes et des polynômes d’Ehrhart nous ont permis d’effectuer le calcul exact dupoids de Mayer de graphes individuels ou de familles spéciales de graphes (voir [7,10–14]).
Dans le présent article, nous adaptons la méthode des transformées de Fourier dans le butde développer des formules exactes ou asymptotiques pour le poids de Mayer de nouvellesfamilles de graphes. Il ne s’agit donc pas ici d’un travail de physique qui considère globale-ment les sommes du type (3), mais plutôt d’un travail de mathématiques combinatoires quise situe dans la foulée du calcul du poids de Mayer de graphes spécifiques. Bien que très
1 Un graphe 2-connexe est un graphe dont l’extraction d’un sommet quelconque préserve la connexité
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 39
facile dans le cas des interactions gaussiennes, cette tâche est généralement très difficile pourd’autres types d’interactions où elle n’a été effectuée jusqu’ici que dans des cas très simples(graphes complets, graphes bipartis ou cycles, par exemple).
La Sect. 2 utilise la notion d’arborescence couvrante croissante d’un graphe connexe afind’obtenir un changement de variables qui va nous permettre d’exprimer le poids de Mayerpour une interaction quelconque en dimension quelconque sous la forme d’une intégrale dontles variables sont en bijection avec les arêtes d’une arborescence couvrante. En utilisant lestransformées de Fourier, nous transformons ensuite cette intégrale, dans la Sect. 3, en unenouvelle intégrale générale dont les variables sont, cette fois, en bijection avec les arêtescomplémentaires de l’arborescence couvrante. Cette méthode est illustrée dans la Sect. 4sur divers exemples particuliers. Nous l’utilisons aussi pour obtenir en dimension d, dansle cas des particules dures, des formules exactes et asymptotiques, dans le cas où le grapheest un cycle, aussi appelé (“ring diagram”). La Sect. 5 est consacrée au développement d’unalgorithme de calcul du poids de Mayer dans le cas des particules dures en dimension 1,en utilisant toujours les transformées de Fourier. Cet algorithme fait appel aux différencesdivisées ainsi qu’à un lemme d’intégration spécial. Enfin, nous illustrons cet algorithme enl’appliquant à divers exemples de graphes, incluant les roues et les graphes échelles. Cechapitre constitue une version détaillée de la conférence [8], que nous avons présentée auIsaac Newton Institute, U. Cambridge en 2008.
2 Changement de variables via une arborescence couvrante
Afin d’exprimer l’intégrale (4) sous une forme plus directement manipulable, nous allonseffectuer un changement de variables basé sur l’utilisation d’une arborescence couvrante aassociée au graphe c. Comme la valeur du poids de Mayer est indépendante de l’étiquetagedu graphe c, on peut toujours supposer que l’arborescence couvrante est enracinée en 0, sesarêtes sont toutes orientées vers la racine et l’arborescence est croissante au sens où, pourtoute arête {i, j} de a, (voir la Fig. 1),
i ←− j ⇐⇒ i < j, (5)
l’arborescence couvrante croissante étant composée des arêtes foncées.
1
0
2
4
3
5 9
7
8
6
Fig. 1 Un graphe connexe g10 avec une arborescence couvrante
123
40 A. Kaouche, G. Labelle
Fig. 2 Variables u j associées à l’arborescence couvrante, j = 1, 2, . . . , k
L’ensemble c\a des arêtes de c complémentaires à a (en pâle dans la Fig. 1) sont ellesaussi orientées canoniquement par la même convention décrite en (5). Notons que la donnéed’une arborescence croissante a est équivalente à la donnée d’une fonction
α : {1, 2, . . . , k} �−→ {0, 1, . . . , k − 1},
satisfaisant α( j) < j, j = 1, 2, . . . , k, en posant
i = α( j) ⇐⇒ i ←− j dans a.
Effectuons le changement de variables suivant (voir la Fig. 2) en introduisant des nouvellesvariables −→u j définies par
−→u j = −→x j −−→x α( j) ⇐⇒ −→x j = −→u j +−→u α( j) +−→u α2( j) + · · · .
Les nouvelles variables −→u j sont donc en bijection avec les arêtes de l’arborescence crois-sante et l’intégrale de Mayer prend la forme,
wM (c) =∫
Rd
. . .
∫
Rd︸ ︷︷ ︸k fois
k∏ν=1
f(∥∥−→uν
∥∥) ∏i j∈c\a
f(∥∥V
(−→u j ,−→ui)∥∥) d−→u1 · · · d−→uk , (6)
où
V(−→u j ,−→ui) = (−→u j +−→u α( j) +−→u α2( j) + · · ·
)− (−→ui +−→u α(i) +−→u α2(i) + · · ·).
Dans cette dernière intégrale, le premier produit est effectué selon les variables associées auxk arêtes de l’arborescence, tandis que le second produit est associé aux arêtes du complé-mentaire de cette arborescence par rapport au graphe c.
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 41
3 Reformulation par les transformées de Fourier
La transformée de Fourier d’une fonction intégrable F : Rd → R est définie par
F(−→
t)=∫
Rd
F(−→x ) e
−i(−→
t ·−→x)d−→x ,
où ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
−→x = (x1, x2, . . . , xd) ,−→t = (t1, t2, . . . , td) ,−→
t · −→x = t1x1 + · · · + td xd ,
d−→x = dx1 · · · dxd .
Le théorème d’inversion de Fourier affirme que, sous certaines conditions (F ∈ L2(Rd(n−1)),par exemple, voir [3]), on peut retrouver (presque partout) F à partir de sa transformée deFourier par la formule,
F(−→x ) = 1
(2π)d
∫
Rd
F(−→
t)
ei(−→
t ·−→x)d−→t . (7)
L’intégrale (7) est prise dans le sens de la valeur principale lorsque F(−→
t)
tend lentement
vers 0 pour∥∥∥−→t
∥∥∥→∞ :F(−→x ) = 1
(2π)dlim
R→∞
∫
[−R,R]dF(−→
t)
ei(−→
t ·−→x)d−→t .
Dans le présent travail, nous supposerons que l’inversion de Fourier est valide pour lafonction
F(−→x ) = f
(∥∥−→x ∥∥) ,où f est la fonction d’interaction. Le théorème suivant permet d’exprimer l’intégrale deMayer (6) pour wM (c) à l’aide de la fonction F .
Théorème 1 Soit F(−→
t)
la transformée de Fourier de F(−→x ) = f
(∥∥−→x ∥∥) . Alors,
wM (c) = 1
(2π)d |c\a|
∫
Rd
· · ·∫
Rd︸ ︷︷ ︸|c\a| fois
⎡⎣ ∏
e∈c\a
(F(−→
te) k∏
ν=1
F
(∑aν≺e
−→te −
∑e≺aν
−→te
))⎤⎦ ∏
e∈c\ad−→te ,
(8)où−→te est une variable vectorielle associée à chaque arête e ∈ c\a du complémentaire
de l’arborescence couvrante a par rapport au graphe c, aν désigne la sous-arborescencede a enracinée en ν, pour tout ν ∈ {1, 2, . . . , k}, k + 1 étant le nombre de sommets del’arborescence.
La notation∑
aν≺e
(resp.
∑e≺aν
)signifie que la sommation est effectuée sur toutes
les arêtes e ∈ c\a dont l’extrémité finale (resp. initiale) est un sommet de aν et où la notation|c\a| désigne le nombre d’arêtes du graphe c\a (voir la Fig. 3).
123
42 A. Kaouche, G. Labelle
Fig. 3 a aν ≺ e, b e ≺ aν
Preuve En substituant
f(∥∥V
(−→u j ,−→ui)∥∥) = F
(V(−→u j ,−→ui)) = 1
(2π)d
∫
Rd
F(−→
ti j
)e
i(−→
ti j ·V (−→u j ,−→ui ))d−→ti j ,
dans
wM (c) =∫
Rd
· · ·∫
Rd︸ ︷︷ ︸k fois
k∏ν=1
f(∥∥−→uν
∥∥) ∏i j∈c\a
f(∥∥V
(−→u j ,−→ui)∥∥) d−→u1 · · · d−→uk ,
on obtient successivement
wM (c) =∫
Rkd
k∏ν=1
F(−→uν
) ∏i j∈c\a
F(V(−→u j ,−→ui))
d−→u1 · · · d−→uk (9)
=∫
Rkd
k∏ν=1
F(−→uν
) ∏i j∈c\a
⎛⎜⎝ 1
(2π)d
∫
Rd
F(−→
ti j
)e
i(−→
ti j ·V (−→u j ,−→ui ))d−→ti j
⎞⎟⎠ d−→u1 · · · d−→uk
= 1
(2π)d|c\a|
∫
Rkd
k∏ν=1
F(−→uν
) ∫
Rd|c\a|
⎛⎝ ∏
i j∈c\aF(−→
ti j
)⎞⎠ ei s(−→t ,−→u )
×⎛⎝ ∏
i j∈c\ad−→ti j
⎞⎠ d−→u1 · · · d−→uk ,
où
s(−→t ,−→u ) =
∑i j∈c\a
−→ti j · V
(−→u j ,−→ui)
=∑
i j∈c\a
−→ti j ·
((−→u j +−→u α( j) +−→u α2( j) + · · ·)− (−→ui +−→u α(i) +−→u α2(i) + · · ·
)),
et α : {1, 2, . . . , k} → {0, 1, . . . , k − 1} est la fonction décrivant l’arborescence a. Lecoefficient de −→uν dans le développement de s(
−→t ,−→u ) est donné par
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 43
∑i j∈c\a
∃p:α p( j)=ν
−→ti j − ∑
i j∈c\a∃q:αq (i)=ν
−→ti j = ∑
i j∈c\aj : sommet de aν
−→ti j − ∑
i j∈c\ai sommet de aν
−→ti j
= ∑e≺aν
−→te −∑aν≺e
−→te .
Donc,
ei s(−→t ,−→u ) = ei
∑i j∈c\a
−→ti j ·V (−→u j ,
−→ui ) = ei∑k
ν=1
(∑e≺aν
−→te −∑aν≺e
−→te)·−→uν
.
Ainsi, en utilisant (9), on obtient
wM (c)
= 1
(2π)d|c\a|
∫
Rd|c\a|
⎡⎢⎣ ∏
i j∈c\aF(−→
ti j
) ∫
Rkd
(k∏
ν=1
F(−→uν
)eis(−→t ,−→u )
)d−→u1 · · · d−→uk
⎤⎥⎦ ∏
i j∈c\ad−→ti j
= 1
(2π)d|c\a|
∫
Rd|c\a|
⎡⎢⎣ ∏
e∈c\aF(−→
te) k∏
ν=1
⎛⎜⎝∫
Rd
F(−→uν
)e−i(∑
aν≺e−→te −∑e≺aν
−→te)·−→uν d−→uν
⎞⎟⎠⎤⎥⎦
×∏
e∈c\ad−→te
= 1
(2π)d |c\a|
∫
Rd
· · ·∫
Rd︸ ︷︷ ︸|c\a|
∏e∈c\a
F(−→
te) k∏
ν=1
F
(∑aν≺e
−→te −
∑e≺aν
−→te
) ∏e∈c\a
d−→te .
��Remarque 1 Bien que tout à fait générale, la formule (8) est particulièrement efficace lorsque|c\a| est assez petit, puisque le nombre d’intégrales
∫Rd emboîtées est égal à |c\a|.
4 Illustration de la méthode
4.1 Exemples spécifiques
Nous allons montrer comment le théorème 1 s’applique facilement dans des cas particuliers.
Exemple (Le cas du cycle Cn à n sommets “ring diagram”) Le graphe 2-connexe c pourlequel |c\a| est le plus petit est le cycle. Dans ce cas, a est une chaîne et c\a est réduit à uneseule arête (voir la Fig. 4, pour n = 7, k = 6).
La formule (8) prend alors la forme très simple, explicitée pour la première fois par Katsura(voir G. D. J. Phillies; 2000),
wM (Cn) = 1
(2π)d
∫
Rd
F(−→
t)n
d−→t . (10)
On le voit facilement comme suit en utilisant le théorème 1. Soit e = 0k = (0← k) l’uniquearête de c\a. Alors, pour ν = 1, 2, . . . , k, la sous-arborescence aν a la forme
aν = (ν ← ν + 1← · · · ← k).
123
44 A. Kaouche, G. Labelle
2
1
65
4
3
0
Fig. 4 Le cycle C7 et son arborescence croissante
1 3
0 2Fig. 5 Le graphe K4\e
Ainsi, pour tout ν ∈ {1, 2, . . . , k}, on a∑aν≺e
−→te −
∑e≺aν
−→te = −te.
La formule (8) devient
wM (Cn) = 1
(2π)d
∫
Rd
F(−→
te)
F(−→−te
)kd−→te ,
ce qui équivaut à (10), puisque F(−→−t
)= F
(−→t)
et n = k + 1.
Exemple (Le graphe K4\e) Soit K4\e le graphe obtenu à partir du graphe complet à 4sommets en lui enlevant une arête (voir la Fig. 5).
Ce graphe est important dans le calcul du 4e coefficient du viriel dans le cas général, (voir[16]). Ici, la formule (8) prend la forme
wM (K4\e) = 1
(2π)2d
∫
Rd
∫
Rd
F(−→u )2 F
(−→v )2 F(−→u +−→v ) d−→u d−→v .
On le vérifie en posant d’abord −→u = −→t13,−→v = −→t23. Pour ν = 1, 2, 3, on a les sous-
arborescences suivantes de l’arborescence couvrante a : a1 = {1}, a2 = {2}, a3 = {3}.
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 45
Ainsi, pour ν = 1, 2, 3, on a⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
∑a1≺e
−→te −
∑e≺a1
−→te = −→
t13 = −→u ,
∑a2≺e
−→te −
∑e≺a2
−→te = −→
t23 = −→v ,
∑a3≺e
−→te −
∑e≺a3
−→te = −−→t13 −−→t23 = −
(−→u +−→v ) ,
et on conclut en utilisant encore une fois le fait que F(−→−t
)= F
(−→t)
.
Exemple (Le cas du graphe g10) Soit g10 le graphe sur l’ensemble de sommets {0, 1, . . . , 9}donné par la Fig. 1. Pour ν = 1, 2, . . . , 9, les ensembles de sommets des sous-arborescencesa1, . . . , a9 sont donnés par
{a1 = {1, 2, 4}, a2 = {2}, a3 = {3, 5, 6, 7, 8, 9}, a4 = {4},a5 = {5, 6, 9}, a6 = {6}, a7 = {7}, a8 = {8}, a9 = {9}.
En posant
−→v1 = −→t26,−→v2 = −→t46,
−→v3 = −→t34,−→v4 = −→t57,
−→v5 = −→t89,
on obtient, après calculs,
wM (g10) = 1(2π)5d
∫R5d
F(−→v1)2
F(−→v2)
F(−→v3)
F(−→v4)2
F(−→v5)3
F(−→v1 +−→v2 −−→v3
)2×F
(−→v2 −−→v3)
F(−→v1 +−→v2 −−→v4 +−→v5
)F(−→v1 +−→v2
)d−→v1 d−→v2 d−→v3 d−→v4 d−→v5 .
4.2 Particules dures (“hard spheres”) en dimension d
Par définition, le cas des particules dures en dimension d correspond à l’interaction
F(−→x ) = −χ
(∥∥−→x ∥∥ ≤ 1) =
{−1 si
∥∥−→x ∥∥ ≤ 1,
0 sinon,
où∥∥−→x ∥∥ désigne la norme du vecteur −→x ∈ R
d . On a le résultat suivant.
Proposition 1 La transformée de Fourier F(−→
t)
de F(−→x ) est donnée par
F(−→
t)= − (2π)d/2
Jd/2
(∥∥∥−→t∥∥∥)∥∥∥−→t ∥∥∥d/2 , (11)
où Jα (z) est la fonction de Bessel d’ordre α définie par
Jα (z) =∑ν≥0
(−1)ν
ν!� (ν + α + 1)
( z
2
)2ν+α · (12)
La formule (11) est peu connue et semble avoir été énoncée pour la première fois dans[2]. Nous en donnons une preuve détaillée par souci de complétude.
123
46 A. Kaouche, G. Labelle
Preuve D’après la définition (2), on doit calculer
F(−→
t)= −
∫
Rd
χ(∥∥−→x ∥∥ ≤ 1
)e−i(−→
t ·−→x)d−→x .
En effectuant le changement de variables dans Rd par une rotation convenable, on peut
toujours supposer que −→t =(∥∥∥−→t
∥∥∥ , 0, 0, · · · , 0)
et l’intégrale devient successivement
∫
Rd
χ(∥∥−→x ∥∥ ≤ 1
)e−i∥∥∥−→t ∥∥∥x1 dx1 · · · dxd =
∫
‖−→x ‖≤1
e−i∥∥∥−→t ∥∥∥x1 dx1 · · · dxd
=1∫−1
Vold−1
(√1− x2
1
)e−i∥∥∥−→t
∥∥∥x1 dx1,
où Vold−1(r) désigne le volume de la boule de rayon r en dimention d − 1. Cependant, ondispose de la formule connue
Vold(r) = πd2 rd
�( d2 + 1)
·
Donc
F(−→
t)= −
1∫−1
πd−1
2 (1− x21 )
d−12
�( d−12 + 1)
e−i∥∥∥−→t ∥∥∥x1 dx1
= − πd−1
2
�( d+12 )
∞∑k=0
(−1)k ik∥∥∥−→t
∥∥∥k
k!1∫−1
(1− x2)d−1
2 xk dx .
Or, pour k impair,
1∫−1
(1− x2)d−1
2 xk dx = 0.
Donc il suffit de considérer seulement les termes où k = 2ν est pair. On obtient, en utilisantla fonction Bêta d’Euler,
F(−→
t)= − π
d−12
�( d+12 )
∞∑ν=0
(−1)ν∥∥∥−→t
∥∥∥2ν
(2ν)!1∫−1
(1− x2)d−1
2 x2ν dx
= − πd−1
2
�( d+12 )
∞∑ν=0
(−1)ν∥∥∥−→t ∥∥∥2ν
(2ν)! B
(d + 1
2, ν + 1
2
)
= − πd−1
2
�( d+12 )
∞∑ν=0
(−1)ν∥∥∥−→t ∥∥∥2ν
(2ν)! · �( d+12 )�(ν + 1
2 )
�( d2 + ν + 1)
= − πd2
�( d2 + 1)
∞∑ν=0
(−1)ν∥∥∥−→t ∥∥∥2ν
2 · 4 · 6 · · · 2ν · (d + 2)(d + 4)(d + 6) · · · (d + 2ν)·
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 47
Cependant, d’après par la définition (12) de Jα(z) avec α = d2 , z =
∥∥∥−→t∥∥∥ , on a
J d2
(∥∥∥−→t∥∥∥) = 2− d
2
�( d2 + 1)
∞∑ν=0
(−1)ν∥∥∥−→t
∥∥∥2ν+ d2
2 · 4 · 6 · · · 2ν · (d + 2)(d + 4)(d + 6) · · · (d + 2ν)·
Donc
F(−→
t)= − (2π)
d2∥∥∥−→t ∥∥∥d2
J d2
(∥∥∥−→t∥∥∥) .
��Après calculs, la formule (8), dans le cas des particules dures, devient
wM (c) = (−1)|c|
(2π)d2 (|c|−2k)
×
∫
Rd
· · ·∫
Rd︸ ︷︷ ︸|c\a| f ois
∏e∈c\a
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Jd/2
(∥∥∥−→te∥∥∥)∥∥∥−→te
∥∥∥d/2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
k∏ν=1
Jd/2
(∥∥∥∥∥∑aν≺e
−→te −
∑e≺aν
−→te
∥∥∥∥∥)
∥∥∥∥∥∑aν≺e
−→te −
∑e≺aν
−→te
∥∥∥∥∥d/2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦∏
e∈c\ad−→te .
(13)
Exemple (Le cas du cycle “Ring diagram” pour les particules dures) L’expression (10) pourwM (Cn) prend ici la forme explicite connue de Katsura (voir [16]), à savoir
wM (Cn) = (−1)n
(2π)d2 (−n+2)
∫
Rd
⎛⎜⎝ Jd/2
(∥∥∥−→t ∥∥∥)∥∥∥−→t∥∥∥d/2
⎞⎟⎠
n
d−→t . (14)
En passant aux coordonnées hypersphériques et en posant −→t = r−→u , nous obtenons d−→t =
rd−1drds où ds est l’élément d’hypersurface de l’hypersphère unité Sd−1(0, 1) de dimensiond − 1. Alors,
wM (Cn) = (−1)n
(2π)d2 (−n+2)
∞∫0
∫S(0,1)
(Jd/2 (r)
rd/2
)n
rd−1dr ds (15)
= (−1)n21− d2 (2π)(n−1) d
2
�( d
2
)∞∫
0
(Jd/2 (r)
rd/2
)n
rd−1dr,
puisque
∫S(0,1)
ds = 2πd2
�( d
2
) ·
Remarquons que ce simple changement de variables produit l’intégrale (15) qui est uneintégrale unidimensionnelle tandis que (14) était multidimensionnelle. Ceci permet d’obtenirdes valeurs exactes et asymptotiques pour wM (Cn) .
123
48 A. Kaouche, G. Labelle
Table 1 wM (Cn), n = 2, 3, . . . , 10 et d = 1, 3, 5
nd 1 3 5
2 2 4 π3
8 π2
15
3 −3 −5 π2
6 −53 π4
600
4 163
2176 π3
2835257024 π6
10135125
5 −11512 −40949 π4
54432 − 98733647 π8
12108096000
6 885
23648512 π5
304053753949166436352 π10
1383524376609375
7 −5887180 −25040879363 π6
30023136000 −16585433845639430617 π12
15628544345494080000000
8 19328315
35836384927744 π7
38979295480125240426176843150906097664 π14
582394938751963238073046875
9 −2597232240 −6060781370812815989 π8
5854170457175040000 − 6433831256590210142724225656657 π16
38676739168795978273959936000000000
10 124952567
430588656377655296 π9
3630921373973643751484787480979909086547411592019968 π18
21535317132022807570827565744376953125
Remarque 2 Pour les dimensions impaires d = 1, 3, 5, . . . , 2p + 1, . . . , les fonctionsJd/2(r)/rd/2 s’expriment à l’aide des fonctions trigonométriques [1] comme suit:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
J1/2 (r)
r1/2 =√
2
π· sin r
r,
J3/2 (r)
r3/2 =√
2
π· sin r − r cos r
r3 ,
J5/2 (r)
r5/2=√
2
π· (3− r2) sin r − 3r cos r
r5,
......
J(2p+1)/2 (r)
r (2p+1)/2= (−1)p
√2
π·(
1
r
d
dr
)p sin r
r,
......
Ces formules découlent des identités (10.1.11) et (10.1.25), pages 438 et 439 de [1]. Lesintégrales (14) peuvent êtres évaluées par Maple sous formes closes pour n > 1. On peutremarquer que pour les dimensions impaires d, le poids de Mayer du cycle est de la forme
wM (Cn) = rn(d)π(d−1)(n−1)
2 , n > 1,
où rn(d) est un nombre rationnel, (voir Table 1). Ce phénomène ne se produit pas pour lesdimensions paires. La Table 2 contient la valeur numérique de wM (Cn), pour les dimensionsd = 1, 2, . . . , 6 et n = 2, 3, . . . , 10.
4.3 L’asymptotique du poids des cycles de particules dures en dimension d
Nous voulons prouver ce qui suit.
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 49
Table 2 wM (Cn), n = 2, 3, . . . , 10 et d = 1, 2, . . . , 6
nd 1 2 3 4 5 6
2 2.0 3.141592654 4.188790204 4.934802202 5.263789015 5.167712783
3 −3.0 −5.788555832 −8.224670336 −9.247897168 −8.604469712 −6.828693801
4 5.333333333 14.25111586 23.79882119 27.81539997 24.38056721 16.79089136
5 −9.583333333 −36.36450811 −73.28051276 −91.36414574 −77.37279857 −47.39906204
6 17.60000000 96.35681264 238.0141732 321.5814979 267.3113193 147.9582733
7 −32.70555556 −261.6223444 −801.8493083 −1188.113273 −980.8594483 −496.4405527
8 61.35873016 723.6511608 2776.766216 4552.475974 3765.844446 1494.164653
9 −115.9477679 −2030.541697 −9823.409230 −17944.34554 −14976.75684 −4788.896265
10 220.3738977 5763.243822 35350.42136 72275.78788 61264.75979 16169.96990
Proposition 2 Pour les particules dures en dimension d, le poids de Mayer du n-cyclesatisfait asymptotiquement pour n→∞,
wM (Cn) ∼ (−1)n(
d + 2
2π
) 12 d(
π12 d
�( 1
2 d + 1))n
n−12 d .
Plus précisément,
wM (Cn) ∼ (−1)n(
d + 2
2π
) d2(
πd2
�( d
2 + 1))n
n−d2
(1+ α1(d)
n+ α2(d)
n2 + · · ·)
, (16)
où
α1(d) = −d (d + 2)
4 (d + 4), α2(d) = d (d + 2) (d − 2) (3 d + 10)
96 (d + 4) (d + 6)· (17)
Preuve Nous allons d’abord transformer l’intégrale (14) sous la forme
∞∫0
e−nu2ϕ (u) du, (18)
où ϕ est développable en série, au voisinage de u = 0, et ensuite nous allons utiliser laméthode de Laplace qui consiste à intégrer (18) terme à terme. Après calculs,
Jd/2 (t)
td/2 = 1
2d/2�( d
2 + 1)(
1+∑m>0
(−1)m t2m
m!2m · · · (d + 2m)
)·
Après simplification, on obtient
wM (Cn) = (−1)n
2d−1πd/2�( d
2
)βnd
∞∫0
(1+
∑m>0
(−1)m t2m
m!2m (d + 2) · · · (d + 2m)
)n
td−1dt, (19)
où βd , défini par
βd = πd/2
�( d
2 + 1) ,
est le volume de la boule unité en dimension d .
123
50 A. Kaouche, G. Labelle
Effectuons maintenant le changement de variables suivant au voisinage de u = 0:
1+∑m>0
(−1)m t2m
m!2m (d + 2) · · · (d + 2m)= e−u2
. (20)
On résout ensuite à l’aide de Maple pour t en fonction de u et on obtient
t = √2d + 4 · u ·(
1− u2
2 (d + 4)− (11d + 2) u4
24 (d + 6) (d + 4)2 + · · ·)
, (21)
dt = √2d + 4
(1− 3u2
2 (d + 4)− 5(11d + 2)u4
24 (d + 6) (d + 4)2 + · · ·)
du. (22)
En substituant (20), (21) et (22) dans l’intégrale (19), on aboutit (en intégrant terme à terme)au résultat asymptotique annoncé. ��
Remarquons que la constante de croissance dans la formule asymptotique (16) est égale
au volume de la boule unité de dimension d, c’est-à-dire, π12 d
�(
12 d+1
) .
Corollaire 1 (Asymptotique pour les basses dimensions). En dimension d = 1, 2, 3, 4, on apour n→∞,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
w1 (Cn) ∼ (−1)n( 3
2π
) 12 2nn− 1
2(1− 3
20 n−1 − 131120 n−2 + · · · ) ,
w2 (Cn) ∼ (−1)n( 2
π
)πnn−1
(1− 1
3 n−1 + · · · ) ,w3 (Cn) ∼ (−1)n
(5
2π
) 32 ( 4
3π)n
n− 32
(1− 15
28 n−1 + 952016 n−2 + · · ·
),
w4 (Cn) ∼ (−1)n(
9π2
) ( 12π2
)nn−2
(1− 3
4 n−1 + 1180 n−2 + · · · ) .
(23)
Remarquons que le coefficient de 1n2 donné par (17) contient le facteur d−2. Ceci explique
le fait, qu’en dimension d = 2, le terme en 1n2 n’existe pas dans le deuxième développement
asymptotique de (23).
5 Algorithme de calcul pour les particules dures en dimension d = 1
5.1 Poids de Mayer dans le cas des particules dures en dimension d = 1 via lestransformées de Fourier
Rappelons que l’interaction dans ce contexte est régie par la fonction
F (x) = f (|x |) = −χ (|x | ≤ 1) ={−1 si |x | ≤ 1,
0 sinon.
La transformée de Fourier de cette fonction prend la forme bien connue
F (t) = −2 sin t
t.
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 51
On obtient immédiatement, en faisant appel à la formule générale (8),
wM (c) = (−1)|c|
(2π)|c\a|
∫R
· · ·∫R︸ ︷︷ ︸
|c\a| f ois
∏e∈c\a
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 sin tete
k∏ν=1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 sin
(∑aν≺e
te −∑e≺aν
te
)
∑aν≺e
te −∑e≺aν
te
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦∏
e∈c\adte,
(24)qui correspond bien au cas d = 1, dans la formule (13). En développant le produit dans (24),le poids de Mayer prend la forme
wM (c) =∫R
· · ·∫R
|c\a| f ois
T (. . . , te, . . . )
P(. . . , te, . . . )
∏e∈c\a
dte,
où T (. . . , te, . . . ) et P(. . . , te, . . . ) désignent respectivement un polynôme trigonométriqueet un polynôme ordinaire dont les variables sont les te, où e ∈ c\a. En renommant lesvariables, on a la forme suivante:
wM (c) =∞∫−∞· · ·
∞∫−∞
|c\a| f ois
T(t1, t2, . . . , tp
)P(t1, t2, . . . , tp
) dt1dt2 · · · dtp, p = |c\a| . (25)
Exemple Dans le cas du graphe K4\e de la Fig. 5, l’intégrale (25) devient
wM (c) =(
1
2π
)2 ∞∫−∞
∞∫−∞
(2 sin t1
t1
)2 (2 sin t2t2
)2 (2 sin (t1 − t2)
t1 − t2
)dt1 dt2,
où les variables t1 et t2 correspondent respectivement aux arêtes 12 et 13. En intégrantsuccessivement par rapport à t1 puis t2, nous avons
wM (c) =(
1
2π
)2 ∞∫−∞
∞∫−∞
(2 sin t1
t1
)2 (2 sin t2t2
)2 (2 sin (t1 − t2)
t1 − t2
)dt1 dt2 (26)
= 4
π
∞∫−∞
(sin t2
t2
)2(
1− cos t2 + t2 sin t2t22
)dt2 = 14
3·
Notons qu’en développant le numérateur dans l’intégrale (26), on obtient une expres-sion plus générale qu’un polynôme trigonométrique puisque les coefficients des fonctionstrigonométriques ne sont plus des constantes, mais dépendent de la variable d’intégration.En effet, en développant
(sin (t2))2 (1− cos (t2)+ t2 sin (t2)) ,
on obtient
1
2− 1
4cos (t2)+ 3t2
4sin (t2)− 1
2cos (2 t2)+ 1
4cos (3 t2)− t2
4sin (3 t2) .
Ce phénomène justifie la définition suivante.
123
52 A. Kaouche, G. Labelle
Définition 1 Un polynôme trigonométrique généralisé (PTG) est une somme finie,
T (t1, t2, . . . ) =∑
ν1,ν2,...∈R
cν1,ν2,... (t1, t2, . . . ) ei(ν1t1+ν2t2+··· ),
où les coefficients cν1,ν2,... (t1, t2, . . . ) sont des polynômes complexes, les ti sont des variablesréelles et les indices νi sont des nombres réels.
Remarquons que T (t1, t2, . . . ) est à valeurs réelles si et seulement si pour tout ν1, ν2, . . . ,nous avons
cν1,ν2,... (t1, t2, . . . ) = c−ν1,−ν2,... (t1, t2, . . . ) .
5.2 Outils de calcul pour les intégrales itérées
Afin d’implémenter de façon efficace le calcul des intégrales successives
wM (c) =∞∫−∞· · ·
∞∫−∞
∞∫−∞
T(t1, t2, . . . , tp
)P(t1, t2, . . . , tp
) dt1dt2 · · · dtp, (p = |c\a|) (27)
=∞∫−∞
⎡⎣· · ·
⎡⎣∞∫−∞
⎡⎣∞∫−∞
T(t1, t2, . . . , tp
)P(t1, t2, . . . , tp
) dt1
⎤⎦ dt2
⎤⎦ · · ·
⎤⎦ dtp,
nous aurons besoin des concepts préliminaires suivants.
Définition 2 L’adjoint d’un PTG réel à une variable
T (t) =∑ν
cν(t)eiνt avec cν(t) = c−ν(t),
est le PTG réel
T ∗ (t) =∑ν
c∗ν (t)eiνt ou c∗ν (t) = i sgn(ν)cν(t),
sgn étant la fonction “signe” définie par
sgn(ν) =
⎧⎪⎨⎪⎩+1 si ν > 0,
0 si ν = 0,
−1 si ν < 0.
Remarquons que si le PTG est écrit sous la forme standard
T (t) = 1
2a0 (t)+
N∑ν=1
aν (t) cos (ν t)+ bν (t) sin (ν t) ,
alors nous avons
T ∗(t) =N∑
ν=1
bν (t) cos (ν t)− aν (t) sin (ν t) .
Notons que le terme 12 a0(t) n’apparaît pas dans T ∗(t). De plus T ∗(t) généralise la notion
classique d’adjoint d’un polynôme trigonométrique (à coefficients constants) de [18].
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 53
Définition 3 (Différences divisées : cas de points distincts) Soit f une fonction quelconquesur un intervalle contenant des nombres réels x0, x1, x2, . . . , distincts. Les différencesdivisées par rapport à ces nombres sont définies récursivement par les formules⎧⎨
⎩f [x0] = f (x0),
f [x0, . . . , xn] = f [x1, . . . , xn] − f [x0, . . . , xn−1]xn − x0
, n � 1.
Il est possible de démontrer par induction la formule bien connue
f [x0, . . . , xn] =n∑
j=0
f (x j )∏k �= j (x j − xk)
·
Définition 4 (Différences divisées : cas des points répétés – confluence.) Soit f une fonctionquelconque sur un intervalle contenant des nombres réels x0, x1, . . . , xn distincts. Supposonsque f est dérivable mi − 1 fois au point xi . En désignant par
ximi := xi , xi , . . . , xi (mi fois) ,
le point xi répété mi fois, la différence divisée f [xm00 , . . . , xmn
n ] est définie par
f [xm00 , . . . , xmn
n ] =1
(m0 − 1)!(
∂
∂x0
)m0−1
· · · 1
(mn − 1)!(
∂
∂xn
)mn−1
f [x0, . . . , xn].
Le lemme suivant va nous permettre de calculer efficacement les intégrales successives(27).
Lemme 1 (Lemme d’intégration.) Considérons un polynôme trigonométrique généralisé
T (t) =∑ν
cν (t) eiνt avec cν (t) = c−ν (t) ,
ainsi qu’un polynôme ordinaire
P (t) = (t − τ0)m0 · · · (t − τn)mn ou max
νdeg (cν (t)) < deg (P (t)) , (28)
ayant seulement des racines réelles τ0, . . . , τn de multiplicité respectives m0, . . . , mn . Sup-posons que T (t)/P(t) est continu sur l’axe réel (c’est-à-dire que τi est une racine de T (t)de multiplicité ≥ mi pour i = 0, . . . , n). Alors
∞∫−∞
T (t)
P (t)dt = π T ∗[τ0
m0 , . . . , τnmn ]. (29)
Dans le cas particulier où maxν deg (cν (t)) = deg (P (t)) − 1, l’intégrale (29) est priseau sens de la valeur principale de Cauchy:
limR→∞
R∫−R
T (t)
P(t)dt.
Preuve Considérons les deux fonctions analytiques suivantes,
U (z) = T (z)− i T ∗ (z) = c0(z)+ 2∑ν>0
cν (z) eiνz,
123
54 A. Kaouche, G. Labelle
Fig. 6 Contour �+
Fig. 7 Contour �−
et
V (z) = T (z)+ i T ∗ (z) = c0(z)− 2∑ν<0
cν (z) eiνz,
de sorte que 12 (U (z)+ V (z)) = T (z).
Soit R un réel positif tel que
− R < τ0, . . . , τn < R. (30)
Soit �+ le contour parcouru dans le sens positif, décrit par la Fig. 6, qui englobe tous les τi
et qui est formé d’un grand demi-cercle de rayon R du demi-plan supérieur et d’un diamètre[−R, R] sur l’axe réel déformé par des petits demi-cercles du demi-plan inférieur de rayonε centrés aux points τi . Le contour �+ contient donc tous les points τi .
Soit �− le contour analogue parcouru dans le sens négatif (voir la Fig. 7) dans le demi-planinférieur mais qui exclut les points τi .
Puisque �− exclut les pôles de V (z)P(z) , on a par le théorème de Cauchy∫
�−
V (z)
P (z)dz = 0 .
Grâce au théorème des résidus, on les égalités suivantes∫�+
U (z)
P (z)dz =
∫�+
T (z)− iT ∗(z)(z − τ0)m0 . . . (z − τn)mn
dz
=∫
�+
T (z)
(z − τ0)m0 . . . (z − τn)mndz − i
∫�+
T ∗(z)(z − τ0)m0 . . . (z − τn)mn
dz
= 0− i∫
�+
T ∗(z)(z − τ0)m0 . . . (z − τn)mn
dz
= 2π T ∗[τ0m0 , . . . , τn
mn ].Ces intégrales sont indépendantes de R lorsque R satisfait (30). On a alors, pour R→∞
et ε → 0,
∞∫−∞
T (t)
P (t)dt = 1
2lim
R→∞ε→0
∫�+
U (z)
P (z)dz + 1
2lim
R→∞ε→0
∫�−
V (z)
P (z)dz
= 1
2· 2π T ∗[τ0
m0 , . . . , τnmn ] + 1
2· 0
= π T ∗[τ0m0 , . . . , τn
mn ],
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 55
puisque les intégrales sur les demi-circonférences de �+ et de �− tendent toutes vers 0. Eneffet, si z ∈ �+, alors Im(z) ≥ 0 et on a∣∣∣∣U (z)
P(z)
∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣c0(z)
P(z)+ 2
∑ν>0
cν(z)
P(z)eiνz
∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣c0(z)
P(z)
∣∣∣∣+ 2∑ν>0
∣∣∣∣cν(z)
P(z)
∣∣∣∣ · (31)
Remarquons que (31) tend vers 0 lorsque R→∞ à cause de (28). De façon semblable,∣∣∣∣U (z)
P(z)
∣∣∣∣→ 0 lorsque z ∈ �− et R→ 0.
Les intégrales sur les petites demi-circonférences tendent vers 0 par continuité de T (z)P(z) . ��
Nous avons construit diverses procédures en Maple qui implémentent la méthode deFourier et la méthode d’intégration du lemme 1 pour le calcul du poids de Mayer. L’une deces procédures, appelée wMayer, prend2 en entrées les deux paramètres a et ca où a estune arborescence couvrante d’un graphe connexe c donnée sous la forme d’une liste
a = [α(1), α(2), . . . , α(k)], α(i) < i,
et son complémentaire ca est donné par
ca = c\a = [{i, j}|{i, j} arete de c non presente dans a ].Pour le graphe c = K4\e donné par la Fig. 5, on a
a := [0, 0, 0], ca := [{1, 3}, {2, 3}].En exécutant la procédure, on obtient directement wMayer(a, ca) = 14
3 . Pour le graphe g10
de la Fig. 1, on trouve 14435168 comme poids de Mayer.
5.2.1 Le poids de Mayer de la roue
On s’intéresse au calcul du poids de Mayer de la roue Roue[k] (voir la Fig. 8), définie par
Roue[k] = {{0, 1}, {0, 2}, . . . , {0, k}, {1, 2}, {2, 3}, . . . , {k − 1, k}, {1, k}},En choisisant l’arborescence couvrante a = [0, 0, . . . , 0], on a que son complémentaire
est
ca = [{1, 2}, {2, 3}, . . . , {k − 1, k}, {1, k}].Le poids de Mayer de la roue est donné par l’intégrale suivante :
wM (Roue[k]) =(
2
π
)k ∫R
· · ·∫R︸ ︷︷ ︸
k fois
k∏ν=1
sin (tν)
tν· sin (tν − tν+1)
tν − tν+1dt1 · · · dtk,
où tk+1 = t1. En utilisant la procédure wMayer pour k = 3, 4, . . . , 24, on obtient la Table 3.
Remarque 3 La méthode des polynômes d’Ehrhart décrite dans [13] aurait exigé
153146104987465308849377365924814648135545
points pour le calcul de wM (Roue[24]). Ceci montre que notre utilisation des transforméesde Fourier est énormément plus efficace en temps de calcul (3 min. en Maple-MacOSX).
2 voir http://professeure.umoncton.ca/umce-kaouche_amel/files/umce-kaouche_amel/wf/wf/wmayer
123
56 A. Kaouche, G. Labelle
1
2
3
45
6
7
0
Fig. 8 Roue[7]
Table 3 wM (Roue[k]), k = 3, 4, . . . , 24
k wM (Roue[k]) (en décimale) wM (Roue[k]) (valeur exacte)
3 4.0 4
4 6.0 6
5 9.166666667 556
6 14.15000000 28320
7 21.92777778 3947180
8 34.03690476 28591840
9 52.86855159 1065832016
10 82.14191468 165598120160
11 127.6384116 115793567907200
12 198.3435623 13195400516652800
13 308.2216074 14763864314790016
14 478.9734434 4970962658031037836800
15 744.3225452 14747447180171981324800
16 1,156.675350 1037417494677896896000
17 1,797.471526 18804059537969271046139494400
18 2,793.268307 16558840335859486359281238016000
19 4,340.735540 69477527712607108071600593426432000
20 6,745.497979 13675946317041594897120274183401472000
21 10,482.49617 1275144299246269256099121645100408832000
22 16,289.78720 462366986603423510570412838385676206080000
23 25,314.31096 7113325986212042949799427281000181944401920000
24 39,338.41076 1694962089207873638805034314308669456480829440000
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 57
Fig. 9 RoueGen[[4, 3, 4, 3, 2], [4, 3, 2, 3, 1]]
5.2.2 Le poids de Mayer des roues généralisées
Considérons maintenant des “roues généralisées”, c’est-à-dire des roues dont les rayonset les arcs sous-tendus par ces rayons sont de longueurs variables. La Fig. 9 décrit uneroue généralisée associée aux arcs successifs de longueur (4, 3, 4, 3, 2) et dont les rayonscorrespondants sont de longueurs (4, 3, 2, 3, 1). En notant par RoueGen[−→α ,
−→r ] la rouegénéralisée dont les arcs (resp. rayons) successifs sont de longueurs −→α = (α1, . . . , αk)
(−→r = (r1, . . . , rk)), on vérifie facilement que l’intégrale (5.2.1) se généralise comme suit
wM(RoueGen[−→α ,
−→r ])
= 1
(2π)k
∫R
· · ·∫
R︸ ︷︷ ︸k f ois
k∏ν=1
(2 sin (tν)
tν
)αν(
2 sin (tν − tν+1)
tν − tν+1
)rν
dt1 · · · dtk,
où tk+1 = t1.
5.2.3 Le poids de Mayer des échelles
Intéressons-nous maintenant au calcul du poids de Mayer de l’échelle Échelle[k] à k“marches”, définie par
Echelle[k] = {{0, 1}, {2, 3}, . . . , {2k − 2, 2k − 1}, {0, 2}, {2, 4}, . . . ,{2(k − 2), 2(k − 1)}, {1, 3}, {3, 5}, . . . , {2k − 3, 2k − 1}},
(voir la Fig. 10 pour k = 5).
1 3
0 2
5
4
7
6
9
8
Fig. 10 Échelle[5]
123
58 A. Kaouche, G. Labelle
Table 4 wM (Échelle[k]), k = 2, 3, . . . , 20
k wM (Échelle[k]) (en décimale) wM (Échelle[k]) (valeur exacte)
2 5.333333333 163
3 14.40000000 725
4 38.90793651 12256315
5 105.1315697 2980482835
6 284.0725734 1476467251975
7 767.5833368 9335463681216215
8 2,074.062197 1324315416064638512875
9 5,604.256622 4055508675584723647925
10 15,143.08121 2555266827321344168741538875
11 40,917.63174 7974702290308665344194896477400625
12 110,562.2141 31881234351921577984288355606914375
13 298,746.5957 11048129073011486892359683698160658676859375
14 807,233.5489 5514910804473577923670835268318652168188296875
15 2,181,199.758 19158571088325585716818205081687835013804234087015625
16 5,893,749.575 722160217529445224617619316146176122529844256906551386796875
17 15,925,310.79 1839821516916884536040718194180096115528138870797605593265625
18 43,031,269.08 34509263203842056512945018560321683456801957830661453378826585546875
19 116,273,405.5 18630624326238458850642363567304189411328160231174566158385089551792265625
20 314,178,621.8 186514181556505748669571924547787711863324672593656501767616816756789390344140625
En utilisant l’arborescence couvrante
a = [0, 0, 2, 2 , 4 , 4 , . . . , 2(k − 2), 2(k − 2), 2(k − 1)] ,
et son complémentaire
ca = [ {1, 3}, {3, 5}, {5, 7}, . . . , {2k − 3, 2k − 1} ] ,
le poids de Mayer de l’échelle est donné par l’intégrale suivante :
wM (Echelle[k]) = (−1)k−122k−1
πk−1
∫R
· · ·∫R︸ ︷︷ ︸
k−1 f ois
(sin (t13)
t13· sin
(t2k−3,2k−1
)t2k−3,2k−1
)3
×k−2∏ν=1
sin(t2ν−1,2ν+1 − t2ν+1,2ν+3
)t2ν−1,2ν+1 − t2ν+1,2ν+3
×k−2∏ν=2
(sin(t2ν−1,2ν+1
)t2ν−1,2ν+1
)2
dt13 dt35 · · · dt2k−3,2k−1.
En utilisant la procédure wMayer, pour k = 2, 3, . . . , 20, nous avons obtenu la Table 4.
123
Poids de Mayer et transformées de Fourier 59
6 Conclusion
Ces développpements ouvrent la voie à plusieurs perspectives de recherches futures. Citonspar exemple, l’extension du calcul exact des poidswM (Kn\g) pour d’autres graphes fixes g oùKn désigne le graphe complet à n sommets, le calcul du poids de Mayer pour les graphes multi-partis complets, des modifications de la méthode des homomorphismes de graphes la rendantplus efficace sont aussi envisageables. Trouver de nouvelles formules explicites donnant lespoids de Mayer à partir de certains paramètres de la théorie des graphes, développer plus à fondla méthode des transformées de Fourier pour répondre notamment à certaines questions liéesau développement asymptotique des poids de Mayer : par exemple, quel est le comportementasymptotique de wM (Roue[k]) lorsque k → ∞ et de wM (Echelle[k]) lorsque k → ∞,
dans le cas des particules dures en dimension 1.
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123
