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CHAP
ITRE
2 B:
LA MULT
IPLICATION ET LA
DIVISION DES NOMBRES
DÉCIMAUX ET DES FRACTIONS
Point de Mire(pages 82 à 116)
La multiplication et la division dans Q (rationnels)
Section 2.3
Qu'arrive-t-il si nous désirons connaître une portion d'un nombre entier ? Ex : 1
2de - 68 $
Qu'arrive-t-il si nous désirons connaître une portion d'une portion ?
ContextualisationDans un contexte, pour trouver la portion d’une portion, il suffit d’effectuer un produit de fractions.
Exemple:Le cinquième du salaire hebdomadaire de Jade est consacré à ses dépenses personnelles. Puisqu’elle est une adepte de lecture, la moitié de ses dépenses personnelles est attribuée à l’achat de bouquins.
Par rapport à son salaire hebdomadaire, quelle fraction représente ses dépenses reliées à l’achat de livres?
Si on cherche la moitié du cinquième.
La moitié :
Le cinquième :
Le dixième du salaire de Jade est consacré à l’achat de livres.
1
5
1
2
1 1
2 5= ×
1
10=
DE = X
1
2 5de1
=
Multiplier des fractions consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Ex:
2 5
3 7×
2 5
3 7
×=×
10
21=
N’oublie pas, il est important de donner le résultat sous la forme d’une fraction réduite.
Algorithme de la multiplication
Truc (simplifier avant de multiplier)
76 6
24 38•
88 39
13 33•
2 1
4 1= •
2 1
4 2= =
8 3
1 3= •
248
3= =
2
3
5
3 3
5 5= ×
9
25=
2
2
3
5=
On comprend qu’il suffit de distribuer l’exposant au numérateur et au dénominateur de la fraction.
c c
c
a a
b b
=
Exponentiation de fractions
4e loi des exposants !!!!
Devoir• Manuel PDM p. 72 #1, #5 a,c,#8, #9, #10
La div
ision d
e fracti
ons
Secti
on 2.3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
NOMBRES ENTIERS NÉGATIFS NOMBRES ENTIERS POSITIFS
ORIGINE
4 et -4 sont des nombres opposés. Ils sont à égale
distance du zéro.
RAPPEL - L'opposé d'un nombre
• Une fraction est l’inverse d’une autre si leur produit est 1.
Exemple:
Inverse d'un nombre ou d’une fraction
5 6 5 6 30 est l'inverse de , car 1
6 5 6 5 30• = ==
Un nombre est l'inverse d'un autre nombre si leur produit est 1
Exemple: 1
5est l'inverse de 5
Division de fractions
DIVISER REVIENT À MULTIPLIER
PAR L’INVERSE
Exemple:
6 5
7 4= •
6 4
7 5÷
∙=
• Exercices:
a)
b)
9 1
8 3÷
9 3 27 33
8 1 8 8= • = =
3 22 14 5÷
11 7
4 5= ÷
11 5 55 271
4 7 28 28= • = =
• Exposants entiers négatifs Le résultat d’une exponentiation dont l’exposant est un nombre négatif est l’inverse du résultat de la même exponentiation dont l’exposant est un nombre positif.
Exemples:
a)
b)
2 2 2
2
2
5 1 1 15
1 5 5 25
−
− = = = =
3 3 3
3
2 7 7 343
7 2 2 8
−
= = =
L’exponentiation et le
s Lois d
es
exposantsSecti
on 2.
3
- Com
plémen
t -
• L’exponentiation est une opération qui consiste à multiplier un nombre (la base) par lui-même un certain nombre de fois (l’exposant). Le résultat de cette opération s’appelle la puissance.
43 = 4 x 4 x 4 = 64
Rappel
Lois des exposants•
Exemples (donne tes réponses sous forme exponentielle):• 34 x 35 =
• 66 ÷ 63 =
• (44)6 =
• 74 ÷ 74 =
34+5 = 39
66-3 = 63
44x6 = 424
74-4 = 70 = 1
Devoir• Manuel PDM p. 72 #2, #3 (a à f), #4, #5 et #7
• Retour sur les lois des exposants
• Manuel PDM page 72 à 76:(Tout ce qui n'est pas fait !!)
Renforcement 2.3 #1,3 ac, 4 ac, 6
EXERCICES
Racine carrée• L’exponentiation au carré a une
opération inverse :
49
• La racine carrée !!• Elle sert notamment à trouver la
mesure du côté d’un carré dont on connait l’aire.
• Si 72 = 49 alors, = 7
Secti
on 2.
5:�
L'add
ition
et l
a
soustra
ction
de no
mbres
décim
aux
• Pour additionner et soustraire les nombres décimaux, il faut faire attention à la VIRGULE
• La méthode Placer les nombres à la verticale, l'un au-dessous de l'autre Aligner les virgules et les positions des chiffres dans les nombres Ajouter aux nombres, s'il y a lieu, des 0 aux positions à laquelle il n'y a aucun chiffre Additionner ou soustraire comme s'il s'agissait de nombres entiers
L'addition et la soustraction
Exemples
2,56,74
+ 0
42
1
9, Deux chiffres apres la virgule, donc la s o m m e a u r a u n développement jusqu'au centième
-5,694 + 18,87 =
18,8705,694-
610
6
7
71 3,1
New York, New York Il est relativement facile de trouver son chemin à Manhattan. En effet, la ville est quadrillée par un réseau de rues et d’avenues se croisant presque toujours à angle droit. La 5e Avenue partage la ville en deux parties : l’est et l’ouest. On a superposé au plan de la ville de Manhattan un plan cartésien où l’origine correspond à l’Empire State Building, qui est situé au coin de la 5e Avenue et de la 34e Rue.
Activité
1) Quelle est la distance entre le Time Square et le Chrysler Building ?
2) Combien de kilomètres, au minimum, une personne devra-t-elle parcourir : a) pour se rendre du Chrysler Building au Macy’s?
b) si elle part de l’Empire State Building et désire voir tous les endroits mentionnés dans le plan cartésien?
Questions
Devoir• Manuel PDM p. 82 #1 (a à i), #2 (a à i), #6 et #9
Secti
on 2.6:
La multiplica
tion e
t la
division d
e nombres
décimaux et
entiers
SECTION 1
Multiplication de nombres décimaux
ALGORITHME DE LA MULTIPLICATION
• Pour multiplier des nombres décimaux, il suffit d’oublier les virgules et de voir les facteurs comme étant des nombres entiers.
• Le nombre de chiffres après la virgule dans le produit correspond toujours au nombre de chiffres total après les virgules des facteurs.
EXEMPLES…
82678 116
0,004
2,9×
12,34
6,7×
, 0,0
2,5
24×
600,
RETOUR SUR LA SP L'ÉLEVAGE• Revenir sur le calcul de la superficie des terres avec
les nouveaux pourcentages
• Représenter la situation actuelle (croquis)
• Laisser les éleves une méthode afin de trouver le nombre exact de bêtes par terre.
Devoir• Manuel PDM p. 89 #1(a à i), #2 (4 premiers), #6, #7
SECTION 1 (suite)
Division de nombres décimaux
QUE REMARQUES-TU?
2,5 0,5
25 5
50 10
10 2
÷
÷
÷
÷
10×
2×
5
5
5
5
=
=
=
=
10×
2×
Lorsque l’on multiplie le diviseur et le dividende par le même facteur le quotient reste le même.
÷�5÷�5
8,24 2,6÷Que pourrait-on faire pour simplifier la tâche?
Multiplier le diviseur et le dividende par 100, c’est-à-dire déplacer les virgules de deux positions vers la droite.
3,17≈
= 824 / 260
EXEMPLES
34,1 13,64÷ 24 6,4÷
2,5=
22 11
3,75=
= 3410 / 1364 = 240 / 64
Pour diviser des nombres décimaux, on commence par repérer qui du diviseur ou du dividende a le plus grand nombre de chiffres après la virgule.
On déplace ensuite les deux virgules de ce nombre de positions vers la droite.
On obtient directement le quotient, car nous avons en fait travaillé avec des fractions équivalentes.
Devoir• Manuel PDM p. 90 #3, #4, #9 et #10
Secti
on 3:
Les ch
aînes d'op
ératio
n
• Une chaîne d’opérations est une suite d’opérations mathématiques.
LES CHAÎNES D'OPÉRATION
• Il ne suffit pas de savoir effectuer chacune des opérations, il faut aussi savoir dans quel ordre les faire.
• Parenthèses et Exposants
• Divisions et Multiplications
(dans l’ordre d’apparition – g à d)
• Additions et Soustractions
(dans l’ordre d’apparition – g à d)
LES PRIORITÉS DES OPÉRATIONS
24 (3 2) 14− × + −
24 6 14= − + −
16 6 14= − + −
10 14= + −
4= −
EXEMPLES # 1
3 2200 225 (5 5 )− + ÷ ÷
1200 225 (5 )= − + ÷
200 225 5= − + ÷
200 45= − +
155= −
EXEMPLES # 2
334 2 50 [3 ( 10 27)]− × ÷ − − +
334 2 50 [3 17]= − × ÷ −
34 2 50 [27 17]= − × ÷ −
34 2 50 10= − × ÷
34 100 10= − ÷
34 10= −
24=
EXEMPLES # 3
DEVOIR
• PDM p. 29 #2, #5, #7, #8• p. 92 #5
• Document chaînes d'opérations #1
PROJET EVEREST – COURS 1
Recherche sur le mont Everest au local d’informatique
Cours 16
DEVOIR
Terminer la recherche si nécessaire
PROJET EVEREST – COURS 2
Vous devez trouver, en équipe, le poids total du matériel à transporter – individuel et de groupe
Cours 17
DEVOIR
Terminer le calcul du poids du matériel si nécessaire
SECTION 2 La notation scientifique
Définition: Exprimer un nombre en notation scientifique consiste à déplacer la virgule d’un nombre tout en le multipliant par une puissance de 10(positive ou négative), sans changer sa valeur
22,34 10
−×
Nombre plus petit que 10 et plus grand ou = à 1
Correspond au nombre de sauts que fera la virgule.
EXERCICES
57 10×
27,59 10
−×
234 000 000
0,0045
700 000
82,34 10×
0,07593
4,5 10−
×
DEVOIR 😜Action !p. 232-233-234
p. 238 #4b, 11 c et d, 12p. 246 # 3, 4 et 5