C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 67–70, 2000Théorie des nombres/Number Theory(Géométrie algébrique/Algebraic Geometry)

Points algébriques de petit degré sur les courbesde FermatOumar SALL

UFR de mathématiques, Université Paris 7–Denis-Diderot, case 7012, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05,FranceCourriel : sall@ufrp7.math.jussieu.fr

(Reçu le 23 août 1999, accepté après révision le 22 novembre 1999)

Résumé. Nous décrivons l’ensemble des points algébriques de degré au plus 6 (resp. 4) sur la courbede Fermat de degré 7 (resp. 5). Ce résultat complète les travaux de P. Tzermias. 2000Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Algebraic points of small degree on Fermat curves

Abstract. We describe the set of algebraic points of degree less than6 (resp.4) on the Fermat curveof degree7 (resp.5). This result completes the work of P. Tzermias. 2000 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

1. Introduction

Soit C une courbe algébrique lisse définie sur un corps de nombresK . L’ensemble des points deCdéfinis surK est notéC(K). On se propose d’étudier l’ensemble

⋃[K : Q]6dC(K). Un théorème de

Debarre et Klassen [2] montre que, pour une courbe plane lisse définie surQ de degréd, on a : (1) sid> 7, alors

⋃[K : Q]6d−2C(K) est fini et (2) sid> 8, alors, à un nombre fini d’exceptions près, les points

de⋃

[K : Q]6d−1C(K) se présentent comme intersection deC avec une droite définie surQ passant parun point rationnel deC. D’après (1), pour un entier premierp> 7, l’ensemble des points algébriques surla courbe de FermatFp = {(X,Y,Z) ∈ P2(Q ) : Xp + Y p + Zp = 0} de degré6 d − 2 sur Q est fini.Tzermias [5] a décrit récemment les points algébriques de degré3 (resp.5) sur la courbeFp pourp = 5(resp.7). La restriction àp = 5 ou 7 est inhérente à la méthode qui impose que le groupe de Mordell–Weil Jp(Q) soit fini, ce qui est le cas seulement lorsquep 6 7 (voir [3] et [4]). Dans cette Note, nousdéterminons les points algébriques de degrép− 1 surFp pourp= 5 et p= 7. Nous énonçons les résultatsdans les Théorèmes 1 et 2. Le Théorème 1 n’est pas démontré ici, car sa démonstration se limite au premiercas de la démonstration du Théorème 2. Tzermias [5] montre que

⋃[K : Q]65F7(K) = {a, b,∞, p, p̄} avec

a = (0,−1,1), b = (−1,0,1), ∞ = (−1,1,0), p = (η, η̄,−1) et p̄ = (η̄, η,−1), où η est une racineprimitive sixième de l’unité et̄η le complexe conjugué deη. Nos Théorèmes s’énoncent comme suit :

THÉORÈME 1. –Les points algébriques surF5, de degré4 sur Q, sont obtenus en coupantF5 par unedroite définie surQ passant para, b ou∞.

Note présentée par Jean-Pierre SERRE.

0764-4442/00/03300067 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS.Tous droits réservés.

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THÉORÈME 2. –Les points algébriques surF7, de degré6 sur Q, sont obtenus en coupantF7 par unedroite définie surQ passant para, b ou∞.

2. Résultats auxiliaires

Ce paragraphe rassemble quelques formules et lemmes utiles, sans démonstration.Pour un diviseurD surF7, nous notonsL(D) le Q-espace vectoriel des fonctions rationnellesf sur

F7 telles quef = 0 ou div(f) > −D ; `(D) désigne laQ-dimension deL(D). Soientx, y les fonctionsrationnelles surF7 données parx(X,Y,Z) = X/Z et y(X,Y,Z) = Y/Z . Nous notonsaj , bj et cj lespoints deF7 définis paraj = (0, ε2j+1,1), bj = (ε2j+1,0,1) et cj = (ε2j+1,1,0) avec0 6 j 6 6 et εracine primitive14-ème de l’unité dansQ. Comme Gross et Rohrlich [4], pour16 s6 5, nous notonsCsla courbe d’équation affinev7 = u(1− u)s, Js sa Jacobienne,J la Jacobienne deF7, etφs l’applicationdeF7 versCs donnée par(x, y) 7→ (x7, xys), qui induitφs :J → Js etψs :Js→ J . L’applicationψs ◦ φsest décrite dans [4], p. 208. Posons aussix0 = −p − p̄ + 2∞, x1 = ψ4φ4(x0) et x2 = ψ2φ2(x0). Nousutiliserons les résultats suivants :(R1) : x0 (resp.x1) est un point d’ordre14 (resp.2) (voir [4], p. 209) ;(R2) : φs(a−∞) etφs(b−∞) sont d’ordre7 (voir [4], p. 208) ;(R3) : ψ4φ4(x1) = x1 (voir [4], p. 209), etψ2φ2(x2) = 7x2 ;(R4) : Js(Q)torsion ⊂Kerψs (voir [4], p. 210) ;(R5) : Kerψsφs ⊂ J [7] (voir [5], démonstration du Théorème 2).

LEMME 1 ([5], Théorème 2). –On aJ(Q) = {d(a−∞) + e(b−∞) + kx1 + lx2} avec06 d, e6 6 et06 k, l6 1. De plus,J(Q)∼= (Z/2Z)2 × (Z/7Z)2 etJ [7](Q) = {d(a−∞) + e(b−∞), 06 d, e6 6}.

LEMME 2 (voir [5], Fact I). –On a div(x) = (a0 + · · · + a6) − (c0 + · · · + c6) et div(x + y) =6∞− (c0 + c1 + c2 + c4 + c5 + c6).

LEMME 3. –Une Q-base deL(35∞) est donnée par les fonctionsfrs = xr/(x + y)s avec0 6 r 6s6 5.

LEMME 4. –SoientLa, Lb et L∞ les droites tangentes àF7 en a, b et∞ respectivement. Alors cesdroites ont un point de contact d’ordre7 avecF7 ena, b et∞ respectivement. Par ailleurs, si une courbeMde degré6 6 a un point de contact d’ordre> deg(M) avecF7 ena, b ou∞, alorsM contientLa, Lb ouL∞ respectivement.

LEMME 5. –SoitD la droite d’équationX + Y +Z = 0. AlorsD .F7 = a+ b+∞+ 2p+ 2p̄.

3. Démonstration du Théorème 2

Soient R1, . . . ,R6 les conjugués de Galois d’un point surF7 de degré6 sur Q. On posex =[R1 + · · · + R6 − 6∞] ∈ J(Q). Le Lemme 1 joint à (R1) montre queJ(Q) est engendré ou bien par〈[a−∞], [b−∞], x0, x1〉 ou 〈[a−∞], [b−∞], x0, x2〉. Par ailleurs, aucun desRi n’est égala, b, ∞, pou p̄.

1er cas: supposonsx d’ordre7. D’après le Lemme 1, il existe des entiersd et e avec06 d, e6 6 telsque[R1 + · · ·+R6 +da+eb− (6+d+e)∞] = 0. Il existe donc (cf. [5], Lemme 1) un polynôme cubiquefà coefficients dansQ tel quediv(f(x, y))/(x+ y)3) =R1 + · · ·+R6 + da+ eb− (6 + d+ e)∞. Donc,d’après le Lemme 2,div(f(x, y)) = R1 + · · ·+ R6 + da+ eb+ (15− d− e)∞− 3(c0 + · · ·+ c6) et ilexiste une cubiqueM dansP2 telles quediv(f(x, y)) =M .F7 − 3(c0 + · · ·+ c6). Ainsi, on a :

M .F7 =R1 + · · ·+R6 + da+ eb+ (15− d− e)∞.

Si d > 4, d’après le Lemme 4,M contientLa. De plus, puisqued 6 6, un desRi est égal àa, ce quiest absurde. De même on ne peut pas avoire > 4. Donc 0 6 d, e 6 3 ; d’où 9 6 15 − d − e 6 15,

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ce qui montre queM contientL∞. Il existe alors une coniqueC définie surQ telle queC .F7 =R1 + · · ·+R6 + da+ eb+ (8− d− e)∞. Si d> 3, d’après le Lemme 4,C contientLa. De plus, puisqued6 6, un desRi est égal àa, ce qui est absurde. De même on ne peut pas avoire> 3. Donc06 d, e6 2 ;d’où 4 6 8 − d − e 6 8, ce qui montre queC contientL∞. Il existe alors une droiteD1 définie surQtelle queD1 . F7 = R1 + · · ·+R6 + da+ eb+ (1− e− d)∞. On doit avoir1− e− d> 0, donc ou bienD1 . F7 =R1 + · · ·+R6 +∞ ou bienD1 . F7 =R1 + · · ·+R6 + a ou bienD1 . F7 =R1 + · · ·+R6 + b.

2e cas: supposons quex= [d(∞−a) + e(∞− b)] +x0 avec06 d, e6 6. Alors [R1 + · · ·+R6 +da+eb+p+ p̄− (8 +d+ e)∞] = 0. D’après [5], Lemme 1, il existe un polynôme cubiquef à coefficients dansQ tel quediv(f(x, y)/(x+ y)3) = R1 + · · ·+R6 + da+ eb+ p+ p̄− (8 + d+ e)∞. Donc, d’après leLemme 2,div(f(x, y)) =R1 + · · ·+R6 + da+ eb+ p+ p̄+ (13− d− e)∞− 3(c0 + · · ·+ c6). Il existedonc une cubiqueM dansP2 telle quediv(f(x, y)) =M .F7 − 3(c0 + · · ·+ c6), d’où :

M .F7 =R1 + · · ·+R6 + da+ eb+ p+ p̄+ (13− d− e)∞.

Si d > 4, d’après le Lemme 4,M contientLa. De plus, puisqued6 6, un desRi est égal àa, ce qui estabsurde. De même, on ne peut pas avoire > 4. Donc0 6 d, e 6 3 ; d’où 7 6 13− d− e6 13. DoncMcontientL∞, d’où l’existence d’une coniqueC telle que :

C .F7 =R1 + · · ·+R6 + da+ eb+ p+ p̄+ (6− d− e)∞.

Si d > 3, d’après le Lemme 4,M contientLa. De plus, puisqued6 6, un desRi est égal àa, ce qui estabsurde. De même, on ne peut pas avoire> 3. Donc06 d, e6 2 ; d’où 26 6−d−e6 6. Si 36 6−d−e,alorsC contientL∞, donc il existe une droiteD2 telle que :

D2 . F7 =R1 + · · ·+R6 + da+ eb+ p+ p̄+ (−1− d− e)∞,

ce qui est absurde car le coefficient de∞ ne doit pas être négatif. Donc6 − d − e = 2, c’est-à-dired = e = 2 et C .F7 = R1 + · · · + R6 + 2a + 2b + 2∞ + p + p̄. D’après le Lemme 5 on voit queD .C > a + b +∞ + p + p̄, doncC contientD, d’où l’existence d’un droiteD3 telle queD3 . F7 =R1 + · · ·+R6 + a+ b− p− p̄, donc un desRi est égal àp, ce qui est absurde.

3e cas : supposonsx = [d(∞− a) + e(∞− b)] + kx0 + x1 avec0 6 d, e 6 6 et 0 6 k 6 1. Alors[R1 + · · · + R6 − 6∞] = [d(a − ∞) + e(b − ∞) + kx0 + x1], d’où [ψ4φ4(R1 + · · · + R6 − 6∞)] =[ψ4φ4(d(a−∞) + e(b−∞) + kx0 + x1)]. D’après (R2), (R3), (R4), on trouve[ψ4φ4(R1 + · · ·+R6 −6∞)] = [(k+ 7)ψ4φ4(−p− p̄+ 2∞)]. Donc, d’après (R5) et le fait queJ [7](Q) est engendré par[a−∞]et [b−∞] (voir le Lemme 1), il existe des entiersm, n tels que :[

R1 + · · ·+R6 +ma+ nb+ (7 + k)p+ (7 + k)p̄− (20 + 2k+m+ n)∞]= 0.

Donc, d’après le Lemme 3, il existe un polynôme quintiquef à coefficients dansQ tel que :

div(f(x, y)/(x+ y)5

)=R1 + · · ·+R6 +ma+ nb+ (7 + k)p+ (7 + k)p̄

+ (15− 2k−m− n)∞− 5(c0 + · · ·+ c6).

Il existe alors une quintiqueN dansP2 telle quediv(f(x, y)) =N .F7 − 5(c0 + · · ·+ c6) donc

N .F7 =R1 + · · ·+R6 +ma+ nb+ (7 + k)p+ (7 + k)p̄+ (15− 2k−m− n). (*)

D’après le Lemme 4, sim= 6, alorsN contientLa et par suite un desRi est égal àa ce qui est absurde.De même, on ne peut pas avoirn= 6. Donc06m, n6 5.

(a) Supposons l’un des coefficients de (*) nul.(i) Si m= 0 et n 6= 0 (ou, de façon similaire, sin= 0 etm 6= 0), alors (*) s’écritN .F7 =R1 + · · ·+

R6 + nb + (7 + k)p + (7 + k)p̄ + (15 − 2k − n)∞ et on voit queN contientL∞. Il existe donc unequartiqueM telle queM .F7 = R1 + · · ·+ R6 + nb + (7 + k)p+ (7 + k)p̄+ (8 − 2k − n)∞. D’après

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le Lemme 5, l’intersection deM avecD contient plus de quatre points (carD .M > b+ 2p+ 2p̄+∞) ;doncM contientD et par suite un desRi est égal àa, ce qui est absurde.

(ii) Si m = n = 0, alors (*) s’écritN .F7 = R1 + · · ·+ R6 + (7 + k)p+ (7 + k)p̄+ (15 − 2k)∞. LaquintiqueN contient alorsL∞, donc il existe une quartiqueM1 définie surQ telle que :

M1 . F7 =R1 + · · ·+R6 + (7 + k)p+ (7 + k)p̄+ (8− 2k)∞.

La quartiqueM1 contient alorsL∞, donc il existe une cubiqueM2 telle que :

M2 . F7 =R1 + · · ·+R6 + (7 + k)p+ (7 + k)p̄+ (1− 2k)∞.

On doit donc avoirk = 0 (sinon un desRi serait égal à∞). D’après le Lemme 5, l’intersection deM2

avecD contient plus de trois points (car (M2 .D> 2p+ 2p̄) doncM2 contientD ; d’où un desRi est égalàa, ce qui est absurde.

(b) Supposons que tous les coefficients de (*) sont non nuls. Dans ce cas,N rencontreD en plus de 5points (carN .D> a+ b+∞+ 2p+ 2p̄), doncN contientD. Il existe alors une quartiqueM3 telle que :

M3 . F7 =R1 + · · ·+R6 + (m− 1)a+ (n− 1)b(7 + k)p+ (7 + k)p̄+ (14− 2k−m− n)∞.

(i) Si m = 1 et 2 6 n 6 5 (ou, de façon similaire, sin = 1 et 2 6 m 6 5), alors on aM3 . F7 =R1 + · · · + R6 + (n − 1)b + (5 + k)p + (5 + k)p̄ + (13 − 2k − n)∞. D’où M3 contientD (carM3 .D> b+ 2p+ 2p̄), donc un desRi est égal àa, ce qui est absurde.

(ii) Si m= n= 1, alors on aM3 . F7 = R1 + · · ·+R6 + (5 + k)p+ (5 + k)p̄+ (12− 2k)∞. On voitqueM3 contientL∞, donc il existe une cubiqueM4 telle queM4 . F7 =R1 + · · ·+R6 + (5 + k)p+ (5 +k)p̄+ (5− 2k)∞. La cubiqueM4 contient alorsD, donc l’un desRi est égal àa, ce qui est absurde.

(iii) Si 26m,n6 5, alorsM3 contientD, il existe une cubiqueC telle que :

C .F7 =R1 + · · ·+R6 + (m− 2)a+ (n− 2)b+ (3 + k)p+ (3 + k)p̄+ (13− 2k−m− n)∞.

DoncC contientD. Il existe alors une coniqueC1 telle que :

C1 . F7 =R1 + · · ·+R6 + (m− 3)a+ (n− 3)b+ (1 + k)p+ (1 + k)p̄+ (12− 2k−m− n)∞.

On voit queC1 contientD, il existe alors une droiteD3 définie surQ telle que :

D3 . F7 =R1 + · · ·+R6 + (m− 4)a+ (n− 4)b+ (−1 + k)p+ (−1 + k)p̄+ (11− 2k−m− n)∞.

On doit avoir46m, n6 5 et 9−m− n> 0. Donc on a, ou bienD3 . F7 =R1 + · · ·+R6 + a, ou bienD3 . F7 =R1 + · · ·+R6 + b, ou bienD3 . F7 =R1 + · · ·+R6 +∞.

4e cas: supposonsx= [d(∞− a) + e(∞− b)] + kx0 + x2 avec06 d, e6 6 et 06 k 6 1. Il suffit dereprendre le raisonnement proposé au 3e cas en remplaçantψ4φ4 (resp.x1) parψ2φ2 (resp.x2) et faire lamême démonstration.

Remerciements.Je tiens à remercier vivement le Professeur Marc Hindry de l’université Denis-Diderot (Paris 7).

Références bibliographiques

[1] Arbarello E., Cornalba M., Griffiths P., Harris J., Geometry of Algebraic Curves I, Grundlehren der Math. Wiss.267, Springer, New York, 1985.

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(= Soviet. Math. Dokl. 2 (1) (1961) 67–69).[4] Gross B., Rohrlich D., Some results on the Mordell–Weil group of the Jacobian of the Fermat curve, Invent.

Math. 44 (1978) 201–224.[5] Tzermias P., Algebraic points of low degree on the Fermat curve of degree seven, Manusc. Math. 97 (4) (1998)

483–488.

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