POLARISATION ELLIPTI~UE DU RAYONNEMENT ]~LECTROMAGN]~TI~UE (suite)*

par Mauriee B O U I X ** Doeteur bs Sciences

DEUXI~ME PARTIE

FORMULES G]~N~RALES DU I~AYONNEMENT

Apr~s une premiere partie consacrde h certaines /ormules relatices h la polarisation elliptique et it ses rapports acec les dquatlons de M~XWELL, le pNsent texte est consacr~ it l' introductlon de charges et courants ficti[s sur une sur/ace /ermde entourant la r@ion des sources dlectromagn~tiques ; ces quantitds permettent de ddterminer complbtement le ragonnement it l'ext~rieur de la sur]ace [ermde (2A). On dtudie plus particu- librement le rayonnement it l' in fi ni (2.2), ce qui conduit it introdulre les indicatrices dlectrique et magndtique d'un syst~me de sources. On applique ces notions it l'exemple simple de rayonnement d'un courant recti- llgne (2.3).

2.1 Relations entre les champs distribu6s sur une surface et les champs en un point quelconque. For- mules de Kottler.

l~tant donn6es deux fonctions U et V dc x, y, z continues, ainsi que leurs d6riv6es premieres et secondes dans un domaine D limit6 par une surface ferm6e S, on connalt la formule de Gn~rr~

(2,t)

/// L( 5V 5Y

~) (UAV--VAU)dz= U ~ n - - V ~ ; n d~,

dr, da d6signant les ~16ments de volume et de

N

Fro. 2.1. ~ Extension de la formule de GREEN audomaine ext6rieur h la surface S.

surface, et le symbole ~/bn d6si~nant la d6riv6e prise suivant la normale "h S orient6~ vers l 'ext6rieur.

Supposons que la surface ferm6e soit constitu6e par une surface ferm6e S e t une sph@e E de trbs

grand rayon R, r6unies par une surface canal d 'aire infiniment peti te s (fig. 2A), et supposons que les fonctlons U et V ne pr6sentent pas de points sin- guliers h l 'ext6rieur de la surface S. SiO est l 'origine et M un point de E, si on a pour O M = r > R,

IU(M)I,-..,@ "c ,̀ IV(M)I < h/r% ( ~ > 0, k > O,k> 0);

on aura, si I d6signe une coordonn6e cart6sienne sui- r a n t la normale n h

[~V I ~ V l ]~VI och = ~ . ~ < ~ " ~ - ~ + ~

Dor ic OIl a

]U ~V V ?U ~-~ - o:kh

< r2~+ 1 et

f j " ( u ~ V ~U) d ~ 47z~lt'tt r. ~7;-- V ~nn R2:~-1

Pour que cette quanti t6 tende vers z6ro, avec l IB , il faut que g > 112.

Done si U et V tendent vers z6ro avec t l r , avec un ordre sup6rieur h r -112, l ' int6grale s u r Z t e n d vers z6ro ; l 'int6grale sur s tend vers z6ro avee s et la. formule de GREEN est encore valable pour l 'espace ext6rieur h' la surface S .II en sera ainsi dans les cas que nous 6tudierons dans ce qui suit.

Consid6rons maintenant un point P dans le domaine D et un point M tel que PM -= r ; et envi- sageons la fonction

(2.2) tF(M) ---e-ik,/,., (k = o)/c = r ~ /~ = 2~1~).

Cette fonction est continue ainsi que ses deux pre- mieres d6riv6es par tout sauf au point P. Si on ealcule

ct si on remarque que

~2~F 2 ~IF A~F = - ~ - + r-~r-r ' on vSrifie que

(2.3) A~F + k~F = 0.

Soft u une autre fonctlon telle que

(2.4) h~ + k~'~ = 0.

* Voir le num6ro d'octobre 1956, pp. 275-281. ** Ing6nieur en Chef contractuel, au C. N. E. T., Division D~'rECT1ON ELEGTROMAGNETIQUE.

- - 298 - -

t. 9, n ~ 11, 1954] POLARISATION ELLIPTIQUE DU R&YONNEMENT I~LECTROMAG,N~.TIQUE ~ /~

Entourons (fig. 2.2) Ie point P d'une petitesphgre ~, de rayon ~ et appliquons la formule de Gn~.~r~ au domaine D limit~ par les surfaces S et ~.. L'int6grale

s

2

S

l e~ cas 2 ~ e cas

Fro. 2 . 2 . - Les deux cas d 'appl icat ion de la formulc de ~.IRCHHOFF.

triple est nulle en raison de (2.3) et (2.4). Les nor- males 6tant orient6es vers l 'ext6rieur du domaine D, Oll aura :

(~.5)

Cherehons la valeur de la deuxi~me int6grale quand le rayon z de la sphere tend vers z6ro ; u et ~u/bn sont finis au point P. Le deuxi~me terme de l'int6grale est de l 'ordre de (l/z) • 4 r~ z ~ et tend vers z6ro. Pour le premier terme, on remarque que

(2.s) ~,, - ~ ~ + ~ ) ,

et la deuxi~me int6grale a pour limite u(P) • 4n. On obtient done h la limite la formule de

K IRGIttIOFF

~n bn) (2.7)

Nous allons faire ici un raisonnement analogue

pour calculer les potentiels vecteurs A e t A ~ qui d6terminent les champs 6!ectromagn6tiques et qui sont donn6es en fonction des densit6s de courants

J e t M par les formules bien connuez que nous avons 6tablies dans l'article pr6c6dent ('1) en (1.49) et que nous reproduisons en (2.8)

A A + kZA = -- J

A A ' + k ~ A ' = - - M , k2 = 632]c 2,

(2.s)

Nous supposerons dans touL ce calcul que ~ ----- 0 (milieu non dissipatif). Consid6rons d'abord une sur- face ferm6e S qui englobe ~ son int6rieur D toutes ]es sources et soit P u n point ext6rieur h S. Les 6qua- tions (2.3) et (2.$) permettent d'6crire :

(2,9) A A~F -- ~FA A = ~" J .

S i d est "a l'int~rieur de D u n e fonction continue

ainsl que ses d6riw~e~, on peut &erire IR ~ormul~ de G4~E~N.

~F ~A i .,ol t2(

les normales orlent~es vers l'extdrieur de S. A l 'ext6rieur de D, c'est-~-dire dans la r&gion con-

tenant P, J est nul par hypoth~se, et on peut appli- quer la formule de KmeHuorF (2.7) les normales &tant orient6es vers l 'int~rieur de S. En comparant avec (2.10) on aura

+ I / / J D -~

Oi1 aurait de m~me h partir de la deuxi~me 6qua- tion (2.8) ;

(2.12) A' (P) = ~ ~ M d z.

Ces 6quations (2AI) et (2A2) donnent les poten-

tiels vecteurs A c t A' en fonction des courants et d6terminent done les champs en dehors de la zone des sources.

Dans la pratique des hyperfr6quences, et en parti- culler clans les 6quations de diffraction, le probl~me ne se pose pas toujours ainsi, et on s'est propos~ de chercher si on peut d6terminer les champs en un point P ext6rieur (ou int6rieur) ~ une surface con- naissant les champs sur cette surface. C'est le pro- blame d'HuYcUENs mis sous forme vectorielle.

Avant de l 'aborder dans sa g6n~ralit6, remarquons que si les courants appliqu6s qu'on supposait jus-

qu'ici r~partis avec certaines densit6s J e t M h l'int6- rieur d 'un volume sont situ~s sur une surface (s) limit6e par une courbe (c) et s'ils sont sur cette sur-

face (s) des densit6s superficielles ] e t m, les int6- grales triples des formules (2.ii) et (2.12) sont rem- plac6es par des int6grales doubles, comme on ]e volt pour un passage simple h la limite, et on a

--> t / ' / ' (2.13) A (P) - ~ ] J , ~ F ! d~,

A' (P) = ~ m d e~

Ces formules sont encore valables si la surface (s) est ferm6e, la courbe (c) devenant 6vanescente. Con- sid6rons maintenant une surface ferm6e S englobant les sources, et un point P ext6rieur h S. Ces sources

donnent une certaine distribution des champs E et

H dans tout l'espace, et en particulicr en P des

champs E(P) et H(P) . Nous nous proposons de voir s'il est possible de d6terminer les champs en P Iors- qu'on connalt seulement la distribution des champs sur la surface S, autrement dlt de voir ~i on peut considbrer les champs en P comme rbsu/tant de sources fictives r6pandues sur S, sous fovmes de

- - 2 9 9 - -

3/7 ~.

charges et de courants tant 6lectriques que magn6- tiques. L'op6ration que nous allons faire revient h supprimer tout ee qui se trouve 'h l ' intfrieur de la surface S, et h remplacer h l 'ext6rieur de SFact ion des sources r6elles par des sources fietives rgpandues sur S.

En un point t~ de la surface S (fig. 2.3) prenons pour axe Oz la normale orient6e vers l 'ext6rieur de

Z

!~/' y

Fro . 2.3. - - I n t r o d u c t i o n de l a d i s t r i b u t i o n de c h a r g e s e t de e o u r a n t s f i e t i f s s u r u n e s u r f a e e .

S ; et soient p~c, ~y deux axes rectangulaires dans le plan tangente Soit N u n point de la normale voisin de Ia surface du c6t6 off les champs sont suppos6s nuls, et soit M' un point voisin de S situ6 de l 'autre c5t6

de S e t off les champs ont les valeurs finies E et II. Supposons que la transition se passe d'unc facon rapide mais continue entre M e t M'.

On peut 6crire parmi les 6quatious de MAXW~Lr. prises en l 'absence de courants et de charges sur S :

(2.t4) ioeE~ bH~ ~H~ 3H~ ~Hz - ~y ~ z ' ir ~: 3x

b Ez b Ev 3 E~ di,, E = S~- + -~- + Y;"

Les d6riv~es par rapport h x eL y sont finies, tandis que les d6riv~es par rapport 'h z sont tr~s grandes : En int6grant sur la normalc entre M e t M ~, on aura

M' M' (2.t5) ir ;

M M

t"" icozE~dz = + [H~]M ; div Edz= , J M M

En comparant cos fornlules aux formules des 6quations g6n~rales de MXXW~.LL (t.22), on a :

(2.16) i~eEz= 3H" 3Hv Jz; by ~z

~H~ ~IL i~zE~ ~z ~x J~'; div E = p,

qui tiennent compte de courants eL de charges dans la zone de la surface S. On voit que les int6grales des premiers membres de (2.15) ont les mgmes

valeurs que si H etait eontinu h travers S, ct si la surface portai t des densit6s superficielles de courant ct de charge ~lectrique :

(2.t7)

# = n A H ; p - - n . E earnAH(--Hu, H~,O).

Si on fait le m6me raisonnement sur le chanip 6lee-

l i O U I X [ANNALE$ DES TI~L~COHMUNIC&TION$

tr ique E on voit de m~me que les int~grales corrcs-

pondantes ont les m~mes valeurs que sl E 6tait con- t inu et si la surface S portai t des densit6s superfi- cielles de courant et de charges 61ectriques :

(2.i8) m = n A E , 8 = - - n . H ~

ear n > E ( ~ E ~ , E ~ , O ) .

On peut done eonsid6rer que tout se passe eomme si on supprimait les sources int6rieures h la surfaee S et qu 'on ajoute sur la surface S les densit~s super- ficielles pr6e6dentes. Les potentiels vecteurs h l'ext~- rieur de la surface S sont donn6s h partir des for- mules (2.t3) et (2.17) par :

§ + (zl9/ A(P)= A H)'rd~,

t

= rt A G, A'(P) ~ j j s

ct h partir des formules (1.46) on peut ~crire les champs en/9.

Dans le eas oft les champs sont sinusoidaux, nous aurons ~t partir des formules (IA8), qui sont un cas particulier des formules (t.46) :

q- A grad div f f (~ ~ ?,)v d , I , ] 8

+ f ' f (,, A V d o, ,,t d 8

. / , d 8

- - i ~ z' grad div d , ' f f ' ( : s A ~ ) XF d o . -~

+ rot [ ' f ( , , A J J s

I)ans ees formules les op6rations gradient, diver- gence, votationnel portent sur les coordonn6es du point P qui figurent dans la fonetion W(r), r 6tant la distance de P au point courant M de la surface. Si on appelle O~ l'une de ces op6rations, et Oz~ la m~me appliqu6e aux eoordonn6es de M, on aura :

(2.21) 0e = -- Ou.

Mais si on tient compte de (2.21) dans les expres- sions (2.20), les op6rations gradient, divergence, rota- tionnel ne devront porter sur les coordonn6es de M que dans les facteurs W e t ceux qui en proviennent. On utilisera les notations gradw, divw, rot W pour rappeler cette l)articularit& La formule (2.20) en -).

E (p) devient alors :

->- . ['['/.-).

, . / ,J S

r l - ~ + - / / g r a d v d i v v a - A l~r s

- . t f l,o,,,. A i,o. 300 - -

t. 9, n ~ 11, 1954]

Or il eat facile de v~rifier que

ro<v[(~ + + A ~ )V ] = - - [ ( n A ~) A grad~] ,

et que (*) pour une surface S limit6c par une courbe C orient6e positivement par rapport h la normale "h

r i d s

, +~-~ f ] ' (+n. rot ~ ) grad ~F de, = - - t grad~i 2 ( H d s ) + d e d d s

/ [ -raa + "-~ " ~ - . iv

POLARISATION ELLIPTIQUE DU RAYONNEMENT #'LECTROMAGNI~TIQUE / i /7

f ++ + 1 grad tF(E ds)

C f , ' , ' + + + itor (,7 A ? ) ~ <Is-- [ # n. H grad ~F ,los

d , S , ~, ,S'

+_]_/stn AH) A grad q~ da.

PrScisons que lea int6grales curvilignes doivent Cite prises sur le contour C dana ]e seas inverse, des

Si la surface S eat ferm6e l'int6grale curviligne dis- -+

parMt et en appliquant h rot H l '6quation de Mxx- WV.rL correspondante h partir d 'une surface ]ermde S, lea champs en P sont donn6s par

A ~ ) V d ~

(~n /~ ~) grad ~ d (~,

(2.23) 4rzE(P) = - - i r (n ~

r

4--

J J 3

- - [" f (~. ~) grad ~F + f ~ s (n~/X ~ ) grad ~F d ~. d d s

Mais dana eertains probl~mes, en particulier dana lea problbmes de diffraction, lea champs sur la sur- face ferm6e S n e sont plus forc6ment continua. Ils admet ten t des discontinuit6s suivant des lignes. Aussi nous 6crirons dana le but de lea employer h cet usage, lea formules suivantes, qui correspondent h une surface S ouverte s 'appuyant su run contour C.

--)- --~ -0- (2.24) 4~E(P) I C g r a d ~ ' ( H d s )

ir c

+ f j s ( n + A ~) A grad~Fd~,

Fro. 2.6. - - Seas do l ' int6grale curviligne par rapport ~ la r6gion du point P .

aiguilles d 'une montre, pour un observateur qui se trouve dana la r6gion off se trouve le point (fig. 2.4). Nous avons suivi dana tout ce paragraphe la d6mons- t rat ion de Louis DE BROGLIn.

2.2. Cas du rayonnement A l'inflni. Formules de Goudet.

Nous supposerons ici que le point P s'61oigne ind6- finiment (fig. 2.5). Si O eat un point fixe pris comme origine, et si on pose :

R = OP, B0 = OM, 0r = POM,

i "

F ~ . 2.5. - - Notations en rue de l '6tude des champs h l 'infini.

(*) REMARQUE.- On a e n effet :

d iv~ 2, [(~n/XH)tF] = (-~n A ~-/) grad ~F.

Or d'apr~s la formule (2.28), on pea t 6erire :

D 'autre part , d'apr6s (2.26) on a : --~ -). -).

- �9 a~v~ ( ~ A H) - ~ . rot ~ ,

di~z - A ~ ] = ~ad ~ (~ rot.n). et g r a d ~ [ - - �9 + + + +

,De m6me, d i v ~ n A ( ~ H ) = - - n r o t ( ~ F Z ) ,

et lea composantes de gradu 2, rt rot (~z ~ ~/) son t :

, rott % ..rot , . . . r o t t ~ t t ) ~ V + ~

On aura si i , ] , k d6signent lea vecteurs unit6s des axes,

grad~, rot ( V ~ ) d~

=SSll + �9 ' ~ t ~ ) ] i

ce qui d'apr6s la formule de STOKES eat 6gal ~t :

->- f ~,r + ->. ->. f ~<r-~-~ i .]r~-~I-I" t ds + ] f i r by t ds + ,r(..-';)

k t ds = grad

- - 301 - -

~/7 M.

Oil ,al~r~

R o / R ~tant un infiniment peti t par d6finition. Done en rappelant que

] = r = k][2rc(r on aura

vii(r) = ~-l~r Jr = e - ~ - ( ~ o l ~)eoso: + . . .] x

( l lR ) [~. + (Rol_n) r ~ + ...3, = e - ~ / ~ ) e~,:~.o,~o: (]. + . . . ) .

] ~ O U | X [ANNALES DE$ T~L~COMMUNICATION$

Darts ces conditions le t e r n t e en E . n de la formule (2.25) devient :

(2.29) ie-~2?~R rE.'*" n) ei~R. ~o~ .

e - ' ~ (div N ~ A n)el~"o e~ u 2XRcoz

"~ "~" ~l~/~0cos 0~]. - - H/X n grad

. + Si u d6signe le vecteur unit6 de 0 P on a :

g~ad'r (~) = 'r(r), '- i~ + ~i~) ~ = - i ~ r ( ~ ) ( l + . . . 1 ~,

On a done :

grader XF(r) = ~ grad~ ~(r) = (i ke-t~n l B) ~l~,cos~ u �9

1 ~ Cas des champs continus sur la surface ferm~e qul entoure les sources.

Si on t ient compte de cette expression dans la for-

mule de E pour les surfaces ferm6es (2.23), eJlc

devient, eomme ~o = 2r:/XV/~ = k / V ~ ,

(2.25) E ( P ) = 2--~ J J ~l

I

Or une 6quation de MAXWELL donne dans une zone d6pourvue de courants :

l e v e E = r o t H .

D 'aut re par t une formule qui fait intervenir une

divergence de surface (*) donne pour tou t vecteur H arbitraire :

(2.26) div Z ( ~ A ~n) ~ + = nno t H.

Done on a ici,

qb -~. -)- --~ .-)- -~ E . n = ( l / i ~ ) n . r o t H = (l/ i tem) d i v y H A n ,

et on sait que si 1 ~ est une courbe ferm6e ]imitant ]a

surface Z, on a pour un vecteur A tangent h la sur- face :

fr (2"27) f f d ivz A d ~ = A . n ~ d s , J J Y .

n 1 6tant Ic veeteur normal ~ F et tangent h 2;. Cette int6grale curvillgne est Ie flux de surface du vecteur A .~ t ravers la courbe C.

Mais on a aussi, s i m est une fonetion scalaire,

(2.28) div Z m A = m div E A + A . grad m.

t~

Re \

\

0 Fro. 2.6. - - Le fac teur Re cos ~.

Mais comme Re cos ~ n'cst autre que l'abscisse (h, M sur l 'axe u (fig. 2.6),

grad e ~ , c~ = i k u eikR0cos~ = i(2 rqX) u ei~R0 cos~.

Si la surface E est ferm6e, l ' int6grale de divy. sera nulle en ver tu de la formule (2.27), off on est amen6 h prendre un flux de surface h t ravers une courbe ~vanescente. I1 reste alors dans le deuxi~me membre de la formule (2.29) :

Groupant sons le signe d'int6grale double les deux

termes de ]a formule (2.25) qui contiennent H , on a . + [ ( ;

hcons id6rer l e v e c t e u r H A n ~ A n . u ,

qui n 'est autre que la composante de H A n perpen-

diculaire h u . On notera cette expression A n N. I1 rcste done, si S est une surface ferm6e sur ]aquelle les champs sent continus :

(2.30) E(/:')= 2XR.}Js

Si on forme l 'expression du champ magn6tiquc correspondant, on t rouve :

..->. i e_ l k .~ f f (2.zl) H(P)- A A

ff,

Les formules (2.30) et (2.31) sent dites les for- mules de GOUDET.

I ~) El. G. COU~)ET. Une formule de r a y o n n e m e n t 61ectromagn6tique. Onde .~lectrique, aofi t-sept . 1947, 27, n ~ 245- 2~i6, pp. 3t3-317.

302

t. 9, n ~ 11, 1954]

2 0 Champs di~continus le long d'une courbe l' de la surface S.

Si la surface ferm6e Sest partag6c en deux sur- faces S~ et $2 par une courbe P l e long de laquetle les

POLABISATION ELLIPTIQUE DU BAYONNEMENT I~.'LECTI~OMAGNI~TIQUE 6/7

) ou encore, comme n A n~= t , t tangente ~ I ~ et

que a A .c----- a . l b A o ) ; on trouvera

S

F~6. 2.7. - - Courbe de discontinuit6 sur unc surface ferm6e S.

champs E et H ont une discontinuit6 (fig. 2.7) los [ormules (2.23) doivent gtre compl6t6es des int6- ~oTales eurvilignes provenant des relations telles quo (2.22).

Si E D He, sont les champs sur P du c6t6 de S~ et

E~, H~les champs sur P du c6t6 de S:, les formules (2.23) seront remplae6es par :

+ /~[" (2.32) 4~E(P) = - - i r z(n ~ A ~) ~ 'd~

ir

d , / s

t7 " ~" + /']*(~AH) f g r a d t F d a - - , , s(n" H) grad ~F d~--~ s

+ i - ~ -

qui sont les formules de KOTTL~.~, valables dans tout l'espace. La courbe P e s t orient6e positivement par rapport aux normales h S r

Mais si le point P s%loigne ind6finiment, on peut refaire le caleul du paragraphe pr6e6dent ; mais quand on int6grera les divergences de surfaces ana- logues ~ celles de la formule (2.29), elles ne donnent plus un r6sultat nul. I1 faut ajouter au champ (2.30) les int6grales des divergences qui se transformeront en int6grales curvilignes d'apr6s la formule (2.27).

Suivant que P e s t consid6r6 eomme limitant S~ ou S~, son orientation change. Conscrvant l'orien- tation qui correspond aux normales de S1, on aura

+ + )] H d~ P~ u divz( A n ei~nor -).

+tiff dive ( ~ A n e~i%r176 da, d d s,

A n] �9 nl o~R0 ~176 d z, dr (n a normale h P tangente ~ S),

~ f l V - d u JptH~--HQ t el~oC~d~.

D'autre part, dans la formule de KOTTLER donnant

4~E(p), l'int6grale curviligne devient quand P s'61oignc h l'infini

- - . t . / ' g r a d t F / "-~ --~ -+ (H1-- H2) d s =

- -~ - - # ~ e - i ~ e i ~ o r uLtH~H3 t dsJ 10)g J I ~ H

l~ I / - # tHe-- Hi) e T M t ds. u

Par division par 4~, on trouve une int6grate qui annule exaetement celle qui provient de la formule asymptotique app]iqu6e h la distribution discon- tinue des champs sur S.

A l'infini les formules de GOUDET (2.30) et (2.31) sont donc valables m~me s'il y a des discontinuit6s dans la distribution des champs sur la surface S. Autrement di G la contribution des courants et des charges sur les bords ne produit pas de champs qui se propagent ~ l'infini. La d6monstration de ce r6sul- tat est due k G. GOUDET.

Indicatrices 61ectriques et magn6tiques.

Dans des formules (2.30) et (2.31), certains fae- teurs se rapportent uniquement h la distribution des champs sur la surface S, et d'autres fpnt intervenir

la direction u dans laquelle on 6tudie le rayonne- ment (fig. 2.5). I1 ne nous sera paspossible de s6pa- rer compl6tement leurs influences. Mais il semble int6ressant de poser

e = H Art ei~go r176 d ~, r (2.33) _~

f n e i~-~oc~ d ~'.

Lorsque la distribution des champs sur la sur- -)- +

face S est d6termin6e, les vecteurs e et h ne d6pen- o-

dent que du vecteur u, par l'angle ~. Nous pourrons

associer un vecteur e et un vecteur h h chaque vec-

teur u : si on leur donne pour origine O, nous appel- lerons respectivement les lieux des extr6mit6s des

vecteurs e et h les indicatrices dlectriques et magnd- tiques relatives ~ la distribution sur S, ou ee qui revient au mgme, relatives au syst6me rayonnant

contenu dans S. Les vecteurs e et h sont d'ailleuri

- - 303

7/7

h composantes complexes. Les formules (2.30) et (2.3~) deviennent dans ces conditions :

E ( P ) - 2XR A e + h x , (2.34)

H ( P ) - 2 X B A h = e~ v ,

l 'indice N indiqnant toujours la composante perpen- ..->

diculaire h u .

On v@ifie sur ces formules que les vecteurs E(P)

et H(P) sont perpendiculaires au veeteur u, d'autre parl, qu'ils sont perpendiculaires enlre cux el entin

quc ]e tri6dre , H , u esl dire('t.

2.3. Application : champs ~t l'infini de l'~l~ment de courant.

I I I l I I

/ \ i i r Y 1

" x 1

Fro. 2.8. - - I~ tude 'du r a y o n n e m e n t de l'616ment de couran t ,

M. BOU I X |ANr~ALES DES ~I~f~coMMuNIC~TXONS

Consid6rons (fig. 2.8) un tube eylindrlque m6tal- ]ique mince de rayon a, de longueur l e t parcouru par m~ courant sinuso~dal parall~le ~ l 'axe

5 : I e TM.

Soient Oz 0 l 'axe du cylindre Oxl, Oy 1 perpendicu- laires. Soit M (a cos ~, a sin ~, z~) le point courant

du cylindre ; et soit u (sin 0 cos p, sin 0 sin ~, cos 0) 1~, vecteur unitalre de la direction du r ay o n n emem 6tudi6. En supposant a << l e t l << R, en prenanl pour surface S une surface plong6e dans le di61ec- tr ique environnant, mais infiniment pros du cylindr'e ct cn la fermant aux deux extr6mit6s, par exemple par des surfaces normales au champ 61ectrique qui auront une influence n6gligeable pour le calcul de h, car a << l, et d 'autre par t en consid6rant que le

+ courant I se r6parti t sur le cylindre suivant une den-

sit6 superficielle J = I/(2r~ a), on a pour les indi- catrices de rayonnement :

e = 0 et .~- ie-ik2r , ' ? / - ~

i e - i ~ R " ~ " -- . 2 ~ a J / eikz,eos0 dZl~

2XR ., z

.-). ou encore : e = 0

-~ ie - i ~ ~" sin [(kll2 ) sin 0] ~ h - 2XB 1 . . . . . . ~lkz, cosu (kll2) cos 0 v ,

Zo ~ 6tant la cbte du bord inf6rieur du cylindre. On en -). -~

d6duit, en d6signant par p e t q deux vecteurs uni-

taires formant tri~dre rectangle avec u et tels que q soit dans le plan xlOyl:

E (P) = i(e-~k;~/2X R) eik~,or II cos 0 p , (2.35) ~.

H(P) = -- i (e -~ /2XR) eikz?eos0 II cos 0 q ,

On reconnalt h u n facteur de phase pros les for- nmles classiques du rayonnement h l 'infinl de l'616- ment de courant.

(~ suivre)

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