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Jean-Paul Molina d'aprs TD ECP 1

Un solide de rvolution S, homogne, est constitu par un hmisphre et un cylindre de mme base. On dsigne par a le rayon de cette base et H son centre.

On note m de S et G son centre d'inertie tel que HG hk=uuuur ur

. h est suffisamment grand pour que G soit dans le cylindre. On pose GzIC = et A le moment d'inertie par rapport un axe passant par G et perpendiculaire Gz.

Le repre 0 0 0 0R (O,i , j ,k )ur ur uur

est li un plan P0 avec lequel S est en contact en un point

I de sorte que Oz0 soit vertical ascendant. Le solide S est repr R0 par les 3 angles d'Euler ( , , ) et G(x , y , z).

Partie 1 On suppose que R0 est galilen et que la liaison ponctuelle en I est parfaite. 1 Ecrivez l'quation qui traduit le maintien du contact entre P0 et S. 2 Ecrivez les quations de mouvement par application des thormes gnraux de la dynamique et dduisez les intgrales premires. 3 Peut-on crire l'intgrale premire de l'nergie cintique? Pourquoi? 4 Ecrivez les quations de Lagrange et interprtez chacune d'elles par comparaison avec les questions prcdentes.

Partie 2 On suppose que R0 est galilen et que la liaison ponctuelle en I est telle que

0V(I,S/P 0=uuuuuuuuuuur r

.

1 Ecrivez les quations de liaison qui traduit le maintien du contact entre P0 et S et le glissement nul en I. 2 Ecrivez les quations de mouvement par application des thormes gnraux de la dynamique et dduisez les intgrales premires. 3 Peut-on crire l'intgrale premire de l'nergie cintique? Pourquoi?


4 Ecrivez les quations de Lagrange pour S , en prenant un champ de vitesses virtuelles compatible avec le contact en I et non compatible avec le glissement nul 5 Quels sont les changements qui interviennent dans la mise en quations par la mthode de Lagrange, par rapport 4, quand on utilise un champ de vitesses virtuelles non compatible avec toutes les liaisons. Quel est l'intrt de cette mthode? 6 Ecrivez les quations de Lagrange pour S, en prenant un champ de vitesses virtuelles compatibles avec toutes les liaisons.

Partie 3 On suppose P0 que n'est pas fixe par rapport la Terre mais tourne autour de la verticale ascendante vitesse angulaire constante ( liaison pivot d'axe Oz0 sur un

bti fixe dans le repre galilen g g g gR (O,i , j ,k )ur ur uur

li la Terre ) maintenue par un

moteur. D'autre part, on suppose qu'en I le coefficient de frottement est suffisamment lev

pour que 0V(I ,S /P ) 0=uuuuuuuuuuuur r

1 Peut-on crire l'intgrale premire de l'nergie cintique pour S, 0S P dans le mouvement par rapport gR ?

2 Peut-on crire l'intgrale premire de Painlev pour 0S P dans le mouvement par rapport gR ? Cette intgrale premire existerait-elle si la rotation de P0 par rapport

gR n'tait plus uniforme?

(on posera 0z

I le moment d'inertie de P0 par rapport 0(O,k )uur

3 Ecrivez le thorme de l'nergie cintique pour S dans son mouvement par rapport R0 . Comparez avec le rsultat obtenu en 2. 4 Dterminez le couple que doit exercer le moteur sur P0 pour que la vitesse de rotation reste constante, en crivant une quation de Lagrange spcifique. De quelle autre manire pourrait-on dterminer ce couple?


Corrig

Partie 1 1 On crit que 0 0OG.k z (OI IH HG).k= = + +

uuuur uur uur uur uuuur uur (1) z = a + h cos

2 Le torseur des actions extrieures agissant sur S s'crit :

( ) 0 0G I

mgk ZkS S

0 0

= +

uur uurr r = 0

0 G

(Z mg)k

Zhk k

uurur uur

On en dduit que

0 0 0 0

0

'0

'00 0 0

m ( G / R ).i 0 mV(G/R ).i Cte

m ( G / R ).j 0 mV(G/R ).j Ct 'e

x ' x

y y

= =

= =

=

=

uuuuuuuuuuur ur uuuuuuuuuuur uruuuuuuuuuuur ur uuuuuuuuuuur ur

0 0 0 0

R 0

d dk(G,S/R ).k 0 (G,S/R ).k (G,S/R ). 0 (G,S/R ).k Cte

dt dt

= = =

uruuuuuuuuuuuuur ur uuuuuuuuuuuuuru ur uuuuuuuuuuuuuru uuuuuuuuuuuuuru ur

GI0 0(G,S/R ) ( S / R ) A( 'u 'sin w) C( ' 'cos )k = = + + + uuuuuuuuuuuuuru uuuuuuuuuuur r ur ur

' +' cos = r0

0 0 0 0(G,S/R ).k 0 (G,S/R ).k Cte = =uuuuuuuuuuuuur uur uuuuuuuuuuuuuruuur

A ' sin + C r0 cos = l

0 0(H,S/R ).u HG, mgk , u = uuuuuuuuuuuuur r uuuur uur r

= mgh sin

0 0 0(H,S/R ).u (G,S/R ) HG m (G/R ) .u = + uuuuuuuuuuuuur r uuuuuuuuuuuuur uuuur uuuuuuuuuuur r

=

0 0 0

R 0

d du(G,S/R ).u (G,S/R ). mh ( G / R ).w

dt dt

ruuuuuuuuuuuuuru r uuuuuuuuuuuuuru uuuuuuuuuuur ur=

0A " '(A 'sin cos Cr sin ) mh( " 'cos )sin + +

0(A mhsin ) " (mh ' A ')sin cos Cr 'sin mghsin+ + + = 3 Le thorme de l'nergie cintique s'crit :

00 0 0 0

dT(S/R )Zk .V(I,S/R ) mgk .V(G/R ) mgh 'sin

dt= =

uur uuuuuuuuuuuuur uur uuuuuuuuuuur

0dT(S/R ) d ( mghcos )dt dt

=

m(ghcos x' y ' h 'sin ) A( ' 'sin ) C( ' 'cos ) Cte + + + + + + + =

4 Sachant que l'quation qui caractrise la liaison est z = a + h cos pL et partir de l'quation obtenue en 3, on peut crire :

x yL L:mx" 0 :my" 0= = [ ]Ld

: c( ' 'cos ) 0dt

+ = intgrale premire

[ ]L d: A 'sin C( ' 'cos )cos 0dt

+ + = intgrale premire

[ ]L d: (A mhsin ) ' (mh ' A ')sin cos C( ' 'cos ) 'sin mghsindt

+ + + + =

on retrouve bien les quations des questions prcdentes.


Rappel :

P S, on a iP 0

0 0i iS S

V(P/R )OP( P / R ). dm(P) ( P / R ). dm(P)

q q'

= =

uuuuuuuuuuuruuuruuuuuuuuuur uuuuuuuuuur

Par distribution des vitesses, on obtient :

0 0 0V(P/R ) V(G/R ) (S/R ) GP= + uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuur

soit ici 0 0 0 0 0V(P/R ) x'i y ' j h 'sin k ( 'k 'u 'k) GP= + + + + uuuuuuuuuuur ur ur uur uur r ur uuur

ce qui donne :

xP0

0 0 0 0 0S S

V(P/R )i ( P / R ).i dm i . ( P / R )dm

x'

= = =

uuuuuuuuuuur ur uuuuuuuuuur ur ur uuuuuuuuuur

xP0

0 0 0 0 0S S

V(P/R )j ( P / R ).j dm j . ( P / R )dm

y'

= = =

uuuuuuuuuuur ur uuuuuuuuuur ur ur uuuuuuuuuur

xP 0

0 0 0S S

V(P/R )k GP ( P / R )(k GP)dm k. GP ( P / R ) dm k. (G,S/R )

'

= = = =

uuuuuuuuuuur ur uuur uuuuuuuuuur ur uuur ur uuur uuuuuuuuuur ur uuuuuuuuuuuuur

xP 0

0 0 0 0 0 0 0S S

V(P/R )k GP ( P / R )(k GP)dm k . GP ( P / R ) dm k . (G,S/R )

'

= = = =

uuuuuuuuuuur uur uuur uuuuuuuuuur uur uuur uur uuur uuuuuuuuuur uur uuuuuuuuuuuuur

P

00

0 0 0 0 0 0S S S

0 0

V(P/R )hsin k u GP

'

(P /R )( hsin k u GP)dm hsin k . ( P / R ) dm k . GP (P/R ) dm

hsin k . (P /R )

= +

= + = +

=

uuuuuuuuuuur uur r uuur

uuuuuuuuuur uur r uuur uur uuuuuuuuuur uur uuur uuuuuuuuuur

uur uuuuuuuuuur0 0

S

dm u. (G,S/R ) u. (H,S/R )+ =r uuuuuuuuuuuu r uuuuuuuuur uuuuur

On reconnat les thormes classiques de la dynamique.

Partie 2 1 L'quation de liaison est inchange; il reste traduire le glissement nul en I.

0 0 0V(I,S/R ) V(G/R ) ( S / R ) GI= + uuuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uur

0 0 0 0 0x'i y ' j z'k ( 'k 'u 'k) ( hk ak )= + + + + + ur ur uur uur r ur ur uur

0 0 0x'i y ' j z 'k h( 'sin u 'w) a( 'v 'sin u)= + + + + + + ur ur uur r ur r r

Soit dans le repre 0(u,v,k )r r uur

:

(2)

(3)0

x'cos y'sin (a ' h ')sin 0

x'sin y'cos (a hcos ) ' 0z ' h 's

V(I,S/R ) 0in 0

+ + =

+ + + =+ =

= uuuuuuuuuuuuur r

La dernire quation est aussi la drive de l'quation de liaison par rapport au temps. 2 Recensons les efforts extrieurs :

0(S S) (pesanteur S) (P S) = +

0

G

mgk(pesanteur S)

0

=

uurr

0 000

0 0I H G

Xu Yv Zk Xu Yv ZkXu Yv Zk(P S)

ak (Xu Yv) ( ak hk) (Xu Yv)0

+ + + ++ + = = =

+ +

r r uur r r uurr r uuruur r r uur ur r rr


Et c'est parti!

0 0m ( G / R ) (Z mg)k Xu Yv = + +uuuuuuuuuuur uur r r

mx" Xcos Ysinmy" Xsin Ycos

= = +

X et Y seront connus ds que le mouvement sera tabli.

0 0 0(I ,S/R ) (ak hk) mgk mghsin u = + = uuuuuuuuuuuur uur ur uur r

0 0 0 0 0 0 0(I ,S/R ).k 0 (H,S/R ).k (G,S/R ) HG m ( G / R ) .k = = = + uuuuuuuuuuuur uur uuuuuuuuuuuuur uur uuuuuuuuuuuuur uuuur uuuuuuuuuuur uur

0 0 0d

(G,S/R ).k mh(k k)dt

= + uuuuuuuuuuuuuru uur uur ur

[ ]d A 'sin C( ' 'cos )cos mhsin (x"cos y"sin ) 0dt

+ + + + = (4)

0 0 0(I ,S/R ).v 0 (G,S/R ) IG m (G/R ) .v = = + uuuuuuuuuuuur r uuuuuuuuuuuuur uuur uuuuuuuuuuur r

0

0 0 0

R

d dv(G,S/R ).v (G,S/R ) m(v IG) ( G / R )

dt dt

= +

ruuuuuuuuuuuuuru r uuuuuuuuuuuuuru r uuur uuuuuuuuuuur

(5)

[ ]d A 'sin cos C( ' 'cos )sin A ' ' m(a hcos )(x"cos y"sin ) 0dt

+ + + + + =

0 0 0(I ,S/R ).u mghsin (G,S/R ) IG m ( G / R ) .u = = + uuuuuuuuuuuur r uuuuuuuuuuuuur uuur uuuuuuuuuuur r

0

0 0 0

R

d du(G,S/R ).u (G,S/R ) m(u IG) (G/R )

dt dt

= +

ruuuuuuuuuuuuuru r uuuuuuuuuuuuuru r uuur uuuuuuuuuuur

A " A 'sin cos C( ' 'cos ) 'sinm(a hcos )(y"cos x"sin )mhsin ( "sin 'cos ) mghsin

+ + + + + =

(6)

La liaison ponctuelle en I ncessite les 5 paramtres cinmatiques : x, y, , , et par consquent les quations (2)(6) traduisent le mouvement. 3 on peut crire une intgrale premire de l'nergie car le contact en I est parfait. 4 Le champ de vitesses virtuelles est compatible avec la relation pL (1) mais non compatible avec (2) et (3) x'*,y'*,'*,'*,'* sont quelconques. Recherchons la puissance virtuelle des actions mcaniques sur S :

P*(S 0 00 0

0 0

*(S/R ) *(S /R )mgk R(P S)S)

V * ( G / R ) V*(I ,S /R )0 0

= +

uuuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuuuruur uuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuuru uuuuuuuuuuuuuuurr r

= 0 0 0 0mgk .V*(G/R ) (Xu Yv Zk ).V*(I,S/R ) + + +uur uuuuuuuuuuuuuru r r uur uuuuuuuuuuuuuuur

On a 0 0 0 0V * ( G / R ) x'*i y '*j h '*sin k= + uuuuuuuuuuuuuru ur ur uur

et

[ ][ ]

0V*(I ,S /R ) x'*cos y'*sin (a '* h '*)sin u

x'*sin y'*cos (a hcos ) '* v

= + +

+ + + +

uuuuuuuuuuuuuuur rr

ce qui donne


[ ]P*(S S) (Xcos Ysin )x'* (Xsin Ycos )y'*

mghsin Y(a hcos ) '* Xhsin '* Xasin '*

= + +

+ + + +

02T(S/R ) m(x' y ' h 'sin ) A( ' 'sin ) C( ' 'cos )= + + + + + + On en dduit les quations de Lagrange :

xL :mx" Xcos Ysin=

yL :my" Xsin Ycos= +

[ ]L d: A 'sin C( ' 'cos )cos Xhsindt

+ + =

[ ]L d: C( ' 'cos ) Xasindt

+ =

[ ]L d: (A mhsin ) ' (mh ' A ')sin cos C( ' 'cos ) 'sindt

mghsin Y(a hcos )

+ + + +

= + +

On n'obtient pas directement les quations diffrentielles du mouvement cause des paramtres X et Y; ce sera possible aprs avoir substitu X et Y dans certaines quations. Les thormes fondamentaux, eux, permettent d'obtenir directement ces quations condition toutefois de bien rflchir leur application. 5 Si maintenant on ne tient plus du tout compte de l'quation (1) , l'nergie cintique s'crit :

02T(S/R ) m(x' y ' ) A( ' 'sin ) C( ' 'cos )' z = + + + + + +

et 0 0 0 0V*(G/R ) x'*i y '*j z'* k= + +uuuuuuuuuuuuuru ur ur uur

.

De mme, [ ]

[ ] [ ] 00V*(I ,S /R ) x'*cos y'*sin (a '* h '*)sin u

x'*sin y' z*cos (a hcos ) ' '* h *s k* v ' in

= + +

+ + + + + +

uuuuuuuuuuuuuuur rr uur

La puissance virtuelle s'crit :

[ ]P*(S (Z mg)z'*S) (Xcos Ysin )x'* (Xsin Ycos )y'*

mghsin Y(a hcos ) '* Xhsin '* Xasin '*

= + +

+ + + +

+

Seule l'quation de Lagrange L change :

L : A " A ')sin cos C( ' 'cos ) 'sin Z Y(a hcoss )h in + + = + + Une quation supplmentaire apparat : zL :mz" Z mg= On se trouve en prsence de 9 inconnues : x, y, z, , , , X, Y, Z et 9 quations ( 6 de Lagrange + (1) (2) (3) ) Pour que le glissement soit nul en I, il faut s'assurer que :

- la loi de Coulomb (cond. de non-glissement) soit vraie T < N f Xu Yv f Z+ 0 Il faut donc connatre X, Y, Z. 6 On tient compte nouveau de (1) ( z est remplac partout par a+hcos ) On a toujours

02T(S/R ) m(x' y ' h 'sin ) A( ' 'sin ) C( ' 'cos )= + + + + + + Mais maintenant on prend un champ de vitesses virtuelles compatible avec le glissement nul en I.


[ ][ ]

(2') (3 ')0

x'*cos y'*sin (a '* h '*)sin 0x'*sin y'*cos (a

V * ( I , S / Rh c

)os ) *

0' 0

+ + = + + +

= =

uuuuuuuuuuuuuuur r

Alors

P*(S 00 0 0

0 I

*(S/R )mgk R(P S) *(S /R )S)

V * ( G / R )0 0 0

= +

uuuuuuuuuuuuuruur uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuurur r r

Attention ! Les quations (2') et (3') sont 2 relations de dpendance entre x'*, y'*, '*, '*, '*

La reprsentation de Lagrange dans laquelle les '*iq sont indpendants, n'est plus valable. Dans ce cas, on crira

iq L

2

i k i k'k 1i i

d T T: Q

dt q q =

= +

o Qi est le coefficient du terme en '*iq dans P*

k sont les multiplicateurs de Lagrange

ce qui revient ici crire pour le dernier terme (2') (3')2 3 + Pour obtenir

xL 2 3:mx" cos sin=

yL 2 3:my" sin cos= +

[ ]L 2d

: A 'sin C( ' 'cos )cos hsindt

+ + =

[ ]L 2d

: C( ' 'cos ) asindt

+ =

[ ]L

3

d: (A mhsin ) ' (mh ' A ')sin cos C( ' 'cos ) 'sin

dtmghsin (a hcos )

+ + + +

+= +

On remarque trs facilement, en comparant avec les rsultats de 4,

que 2 3X Y

Partie 3 Maintenant, se complique! P0 tourne autour de la verticale ascendante vitesse angulaire constante; c'est--dire que l'on peut reprer la rotation par l'angle tel

que 0t = + (7) 7 paramtres : , x, y, z, , , 1 Pour S : L'action P0 S ne drive plus d'une fonction de force, on n'a plus d'intgrale premire de l'nergie.

En effet, g0

0dT(S/R ) d

( mghcos ) R(P S).V(I,S/ )dt dt

R= + uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuuur

or g 0 0 g 0V(I,S/R ) V(I,S/R ) V(I,R / R ) 0 k OI 0!= + = + uuuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuuuuur r uur uur r

Pour 0S P : La liaison ponctuelle en I est parfaite, mais le temps intervient explicitement dans (7).


De plus, on a le couple exerc par le moteur.

mC0dT(S/R ) d ( mghcos )

dt dt= +

On ne peut donc pas crire d'intgrale premire de l'nergie. 2 - tant constant, n'est pas un paramtre; alors la position de 0S P dpend de 5 paramtres x, y, , , . La liaison ponctuelle en I est parfaite. Les actions de pesanteur drivent de U = - mgh cos

Ainsi 0z G

I I2

0 g g g g2T(S P / R ) mV(G/R ) (S/R ). ( ( S / R )) = + + uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur

ce qui donne [ ]

[ ] [ ]0z

I

0 g2T(S P / R ) m (x' y) (y' x) h 'sin

A ' ( ')sin C ' ( ')cos

= + + + +

+ + + + + +

Naturellement Cte1 0 g 00 g 0 gT (S P / R ) T (S P / R )T(S P / R ) U 0tU

== ++

qui est l'intgrale premire de Painlev. Je vous laisse le soin de reprendre les calculs prcdents

Si maintenant n'est plus constant : (t) intervient par le terme 0z

I (t) . On voit ainsi que l'intgrale premire de Painlev n'existe plus. 3 On applique le principe des puissances virtuelles

{ } dm Vg 0 0S

( P / R ).V(P/R ) (S S) (S/R ) = uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur

On calcule chaque terme sparment.

g 0 0 0 0 0( P / R ) ( P / R ) 2 k V(P/R ) k ( k OP) = + + uuuuuuuuuur uuuuuuuuuur uur uuuuuuuuuuur uur uur uuur

or 0 0 0V(P/R ) V(G/R ) (S/R ) GP= + uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuur

et OP OG GP= +uuur uuuur uuur

Ainsi

dm dm dmg 0 0 0 0 0 0S S S

( P / R ).V(P/R ) ( P / R ).V(P/R ) k ( k OP) .V(P/R ) = + uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uur uur uuur uuuuuuuuuuur

Dans le membre droit, le premier terme reprsente 0d

T(S/R )dt

Le second terme donne aprs un bon mal de tte

{ }GI0 0 0 0 0 0 k (k OG) mV(G/R ) k . (S)(k ( S / R )) uur uur uuuur uuuuuuuuuuur uur uur uuuuuuuuuuur

On reprend le tout

[ ]

[ ]{ }

1 dm(x' y ' h 'sin ) A( ' 'sin ) C( ' 'cos )

2dt m xx' yy' (C A) 'sin cos mgh 'sin

+ + + + + +

+ + + =

On voit que ceci s'intgre pour donner

[ ]Cte

m(x' y ' h 'sin ) A( ' 'sin ) C( ' 'cos )

m (x y) (C A) sin 2mghcos

+ + + + + +

+ + = +

on retrouve l'intgrale de Painlev.


On aurait pu aussi utiliser dmg 0 0 0 gS

d d( P / R ).V(P/R ) T(S/R ) T(S,R / R )

dt dt = uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur

4 En tenant compte de (1) mais pas de (7), on a 6 paramtres , x, y, , ,

[ ][ ] [ ]

0zI

0 g2T(S P / R ) m (x' y) (y' x) h 'sin

A ' ( ')sin C ' ( ')co

' ' '

' s

'

= + + + +

+ + + + +

+

U = - mgh cos

mP*(moteur)=C '* P* 0 0 0(P S) R(P S).V*(I,S/R ) = uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuuuuur

On obtient l'quation de Lagrange L , dans laquelle on remplacera ' par

[ ] [ ]{ }mC d m x(y' x) y(x' y) A( ')sin Ccos ' ( ' ')cosdt= + + + + + + On aurait pu utiliser le thorme de l'nergie cintique ou celui du moment dynamique

en O et en projection sur 0kuur

,

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