Pre_diffusion

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Milieux réactifsFlamme de diffusion laminaire

Master IPE2

2010/2011

H. Meftah - ENSA d’Agadir - [email protected] 1 / 44

Introduction

Combustible

Oxydant

Flamme

une flamme de diffusion est obtenu par une simple injectiond’un combustible gazeux dans une atmosphère oxydante.


Introduction

Temperature

Oxydant Combustible

Une coupe transversale de la flamme permet de constaterque les réactifs combustible et oxydant, sont bien séparéspar la zone de réaction.

Les réactifs sont essentiellement entraînés l’un vers l’autrepar diffusion moléculaire, justifiant ainsi l’appellation de flammede diffusion.


Introduction

Ce transfert de masse limite d’ailleurs le plus souvent lavitesse de réaction, ce qui explique que les flammes dediffusion sont généralement moins performantes que lesflammes prémélangées.

une flamme de diffusion offre deux avantages : la simplicitéet la sécurité.

L’objectif de ce cours est de montrer que, dans un cas simple,il est possible de déterminer complètement la structure dela flamme de diffusion.

Cette analyse, permet également d’introduire des notionshabituellement utilisées pour décrire ce type de flamme.


Introduction

Combustible

Oxydant

Flamme

y

x2e0

On considère un jet plan bidimensionnel de combustible F ,co-courant avec un jet infini d’oxydant O.

Les deux jets sont supposés avoir le même débit unitaireinitial ρu (ρF UF = ρOUO).

Cette configuration idéale n’est pas réaliste puisqu’elle sup-pose implicitement un débit infini d’oxydant dans la directiontransversale y .


Calcul simplifié d’une flamme de diffusion laminaire

Considérons une réaction chimique à une étape entre com-bustible F et oxydant O :

F + sO −→ (1 + s)P

s désigne le coefficient stoechiométrique massique de laréaction

Pour brûler 1 kg de combustible, il faut s kg d’oxydant.



Soit YF et YO les fractions massiques de combustible etd’oxydant. Elles obéissent aux équations de transport :

∂ρYF

∂t+

∂ρuiYF

∂xi=

∂

∂xi

(

ρD∂YF

∂xi

)

+ ωF (1)

∂ρYO

∂t+

∂ρuiYO

∂xi=

∂

∂xi

(

ρD∂YO

∂xi

)

+ ωO (2)

Les flux de diffusion moléculaires sont supposées suivre laloi de fick.



De même, la fraction massique de produits de combustionYP suit l’équation :

∂ρYP

∂t+

∂ρuiYP

∂xi=

∂

∂xi

(

ρD∂Yk

∂xi

)

+ ωP (3)

ωP taux de production de produits P.

La stoechiométrie de la réaction et la conservation de lamasse totale imposent les deux relations :

ωO = sωF et ωP = −(1 + s)ωF (4)

Exercice : Etablir la relation entre ωF , ωO et ωP .



En supposant que tous les constituants ont, la même ca-pacité thermique massique à pression constante Cp et lamême conductivité thermique λ, l’équation pour la tempé-rature T s’écrit :

∂ρCpT∂t

+∂ρuiCpT

∂xi= ωT +

∂

∂xi

(

λ∂T∂xi

)

(5)

avec ωT = −∑Nk=1 ∆h0

f ,k ωk = QωF , Q est définie commeétant la chaleur de réaction massique.

Exercice : Etablir la relation entre ωF , ωT .



En supposant que le milieu est adiabatique (pas de pertesthermiques).

En supposant que le rayonnement de la flamme est négligé.

On écrit :

Equation de continuité

∂ρ

∂t+

∂ρui

∂xi= 0 (6)

Equations de quantité de mouvement :

∂ρuj

∂t+

∂ρuiuj

∂xi= −∂P

∂xj+

∂τij

∂xi(7)



Pour simplifier le système d’équations précédent, on intro-duit les hypothèses suivantes :

l’écoulement est stationnaire.

toutes les vitesse sont supposées parallèles à l’axe des jets(u2 = u3 = 0).

tous les flux de diffusion dans la direction de l’écoulementsont négligés devant les flux convectifs.

les fluides sont supposés newtoniens.



Les équations précédentes se simplifient alors pour deve-nir :

∂ρui

∂x= 0 (8)

∂ρuiYF

∂x=

∂

∂y

(

ρD∂YF

∂y

)

+ ωF (9)

∂ρuiYO

∂x=

∂

∂y

(

ρD∂YO

∂y

)

+ ωO (10)

∂ρuiYP

∂x=

∂

∂y

(

ρD∂YP

∂y

)

+ ωP (11)

∂ρuiCpT∂x

=∂

∂y

(

λ∂T∂y

)

+ QωF (12)

∂ρuiuj

∂x= −∂P

∂x+

∂

∂y

(

µ∂u∂y

)

(13)

µ viscosité dynamique du fluide.



Compte tenu de l’hypothèse que les jets ont le même débitunitaire initial ρu, l’équation 8 a la solution immédiate :

ρu = ρF UF = ρ0U0 = Cte (14)

L’équation de quantité de mouvement devient alors inutilecar la pression est sensiblement constante.

Il nous reste donc à déterminer YF , YO, YP et T .

une nouvelle variable ZF est introduite.


Scalaire passif

On définit la variable ZF par :

ZF = YF − YO

s(15)

La combinaison linéaire [(1) – (2)/s] des équations de trans-port des fractions massiques YF et YO permet d’établir fa-cilement une équation de transport pour ZF :

∂ρZF

∂t+

∂ρuiZF

∂xi=

∂

∂xi

(

ρD∂ZF

∂xi

)

+

(

ωF − ωO

s

)

(16)

Exercice : Etablir l’équation de transport de ZF .


Scalaire passif

Par définition de la réaction chimique et du coefficient stoe-chiométrique massique s, le terme source de cette équa-tion, ωF − ωO/s est nul (équation (4)).

Il faut s kg d’oxydant O pour brûler 1 kg de combustible F .

La grandeur ZF suit donc une équation de convection/diffusionsans terme source.

ZF est alors appelé scalaire passif (c’est un scalaire quin’est pas modifié par la réaction chimique).


Scalaire passif

Remarquons que :

dans l’écoulement de combustible, ZF = Y∞

F , avec Y∞

F dé-signe la fraction massique de combustible dans cet écoule-ment.

dans l’écoulement d’oxydant, ZF est négatif et vaut ZF =−Y∞

O /s, avec Y∞

O désigne la fraction massique d’oxydant Odans cet écoulement.

si la réaction chimique est supposée infiniment rapide, c’est-à-dire le combustible F et l’oxydant O ne peuvent coexistersans être immédiatement transformés en produits P, la zonede réaction vérifie YF = YO = 0 et correspond donc à unevaleur ZF = 0.

par conséquent la zone de réaction correspond à l’isovaleurZF = 0.


Scalaire passif

Nous avons donc défini un scalaire passif ZF qui vérifiel’équation de convection-diffusion :

∂ρZF

∂t+

∂ρuiZF

∂xi=

∂

∂xi

(

ρD∂ZF

∂xi

)

(17)

La combustion n’intervient pas directement dans l’équationde ZF .

La description d’une flamme de diffusion laminaire re-vient finalement à décrire un problème de mélange.


Scalaire passif

Ce scalaire passif n’est pas unique et il est possible d’endéfinir d’autres par combinaison linéaire des équations deconservation des espèces et de la température. Ainsi :

ZP = YF + YP/(1 + s) est un scalaire passif qui relie YF etYP , de même, YO/s+YP/(1+s) est aussi un scalaire passifreliant YO et YP .

sous l’hypothèse d’un nombre de Lewis unitaire (ρD = a =λ/ρCp ), ZT = YF + CpT/Q est un scalaire passif qui relieYF à la température T .

Il est facile de montrer que tous ces scalaires passifs sontdes fonctions linéaires les uns des autres. Par exemple, rem-placer le scalaire ZP par ZP = aZF + b, où a et b sont deuxconstantes, dans l’équation de transport de ZP redonne im-médiatement l’équation de transport de ZF .


Chimie infiniment rapide

Chimie infiniment rapide : combustible F et oxydant O nepeuvent pas coexister.il est possible de déterminer complètement la structure dufront.

Du côté du combustible (ZF ≥ 0) YO = 0, (puisqu’il ne peutexister d’oxydant), on a :on a :

YF = ZF

Du côté de l’oxydant ZF ≤ 0 et YF = 0,(car il ne peut y avoirdu combustible) on a :

YO = −sZF



Les fractions massiques du combustible YF et d’oxydant YOsont donc directement proportionnelles au scalaire passifZF .

La détermination de la fraction massique YP des produitsde combustion est un peu plus délicate.

YF +YP/(1+s) et YO/s+YP/(1+s) sont aussi des scalairespassifs, ils sont des fonctions linéaires de ZF .

La fraction massique YP est donc une fonction linéaire deZF , par morceaux sur les intervalles [−Y∞

O /s, 0] et [0, Y∞

F ].

Bien évidemment : YP = 0 pour ZF = Y∞

F (écoulementcombustible) et ZF = −Y∞

O /s (écoulement oxydant).



Puisque ZP est un scalaire passif, fonction linéaire de ZF ,nous avons :

ZP = YF +YP

1 + s= αZF + β (18)

où α et β sont des constantes.Vu les conditions aux limites :

ZP = Y∞

F pour ZF = Y∞

F

ZP = 0 pour ZF = −Y∞

O

s

il vient immédiatement :

α =Φ

Φ + 1et β =

Y∞

F

Φ + 1(19)

où Φ = sY∞

F /Y∞

O est la richesse de la réaction chimique.



D’où :

ZP = YF +YP

(1 + s)=

Φ

Φ + 1ZF +

Y∞

F

Φ + 1(20)

Côté combustible (ZF ≥ 0), on a alors :

YP =1 + sΦ + 1

[Y∞

F − ZF ] (21)

Côté oxydant (ZF ≤ 0), on a alors :

YP =1 + sΦ + 1

[ΦZF + Y∞

F ] =1 + s

sΦ

1 + Φ[sZF + Y∞

O ] (22)



La fraction massique maximale de produits, Y maxP est donc

obtenue sur la surface de flamme (ZF = 0) et vaut :

Y maxP =

1 + sΦ + 1

Y∞

F =1 + s

sΦ

1 + ΦY∞

O (23)

Le même raisonnement s’applique au scalaire passif ZT =YF + CPT/Q et permet de déterminer la température T :

ZT = YF +CPT

Q=

1Φ + 1

[

1 +CP

Y∞

F Q(TF − TO)

]

(ΦZF + Y∞

F )

+CPTO

Q(24)

où ont été introduites les températures respectives TF etTO, a priori différentes, des écoulements initiaux de com-bustible et d’oxydant.


Résolution de l’équation de ZF

Avec les hypothèses précédentes, le problème se réduit àla résolution de l’équation du scalaire passif ZF :

∂ρuiZF

∂xi=

∂

xi

(

ρD∂ZF

xi

)

(25)

avec les conditions aux limites :en x = 0 :

ZF = Y∞

F pour y ≤ e0 (jet de combustible)ZF = −Y∞

O /s pour y > e0 (jet d’oxydant)

en y = 0, ∂ZF/∂y = 0 (condition de symétrie).en y = ∞, ZF = −Y∞

O /s (jet d’oxydant).



Pour simplifier la résolution de l’équation 28, nous suppose-rons que ρD est constant. L’équation de ZF devient alors :

∂ρuiZF

∂xi= α

∂

xi

(

∂ZF

xi

)

(26)

avec

α =ρDρu

=DF

UF=

DO

UO(27)

où DF et DO désignent respectivement les coefficients dediffusion des écoulements de combustible et d’oxydant.



L’équation 29 est en fait l’équation de la chaleur, en régimepermanent, dont la solution est classique :

ZF + Y∞

O /sY∞

F + Y∞

O /s=

12√

παx

∫

+e0

−e0

exp(

−(y − y ′)2

4αx

)

dy ′ (28)

qui, pour des valeurs de l’abscisse x grandes comparées àla demi-taille e0 du jet de combustible, peut être approchéepar :

ZF + Y∞

O /sY∞

F + Y∞

O /s≈ e0√

παxexp

(

−−y2

4αx

)

(29)



Le problème est donc maintenant résolu et il est possiblede tracer les profils radiaux et transversaux de ZF , YF , YO,YP et T .

Y, ZF

YF

ZF

T

Lf X

Ti

YO

T

0

profils sur le plan desymétrie y = 0

Y, ZF

YF

ZF

T

Lf X

Ti

YO

T

0

Ti

profils transversauxx = Cte



Nous pouvons aussi déterminer la longueur Lf de la flammepar le point d’intersection de l’isovaleur ZF = 0 avec l’axe x(Z (x = Lf , y = 0) = 0) :

Lf =e2

0UF

πDF(Φ + 1)2 (30)

En introduisant le nombre de Reynolds Re = 2e0U0F /DF du

jet de combustible, on peut écrire :

Lf =e0Re

π(Φ + 1)2 (31)



La longueur Lf de la flamme varie donc linéairement avecla vitesse du combustible et avec le carré de la demi-tailledu jet e0 et est inversement proportionnelle au coefficientde diffusion DF .

Lf est aussi proportionnel au nombre de Reynolds Re dujet de combustible, du moins tant que l’écoulement restelaminaire, c’est-à-dire que Re reste inférieur à un nombrede Reynolds critique.

L’expérience montre que, lorsque l’écoulement devient tur-bulent, la longueur de flamme ne dépend plus du nombrede Reynolds.


Utilisation du scalaire passif Z

On définit :

Z =1

Φ + 1

[

ΦYF

Y∞

F− YO

Y∞

O+ 1

]

(32)

où Φ est la richesse du mélange, défini par :

Φ = sY∞

F

Y∞

O(33)

Il est facile de montrer que Z ainsi défini est également unscalaire passif qui vérifie l’équation de convection-diffusion,sans terme source) :

∂ρZ∂t

+∂ρuiZ∂xi

=∂

xi

(

ρD∂Zxi

)

(34)


Utilisation du scalaire passif Z

Le scalaire passif Z , appelé aussi fraction de mélange, ales propriétés intéressantes suivantes :

Z = 1 dans l’écoulement de combustible pur.Z = 0 dans l’écoulement d’oxydant pur.Dans l’hypothèse d’une chimie infiniment rapide, la flammese situe sur l’isosurface Z = Zst telle que YF = YO = 0 :

Zst =1

Φ + 1(35)

qui correspond à la valeur de Z obtenue quand les réactifsF et O sont en proportions stoechiométriques.En l’absence de réaction chimique, Z caractérise le mélangedu combustible et de l’oxydant justifiant ainsi son appellationde fraction de mélange.

Tous les calculs précédents peuvent être refaits avec cesnouvelles définitions.


Description de la flamme en terme du scalaire passif Z

Nous avons vu précédemment que, dans le cas d’une ci-nétique chimique infiniment rapide, la flamme de diffusionpouvait être décrite à l’aide du scalaire passif Z et qu’ellecorrespondait à l’isosurface Z = Zst

Réécrivons l’équation de transport du combustible(équation1) dans un nouveau repère lié aux isosurfaces Z (directionnormale à l’isosurface Z locale et deux directions orthogo-nales dans le plan tangent à l’isosurface Z ).

Les coordonnées (t , x1, x2, x3) sont alors remplacées parles coordonnées (t , Z , y1 , y2).



On considère le changement de variables :

∂

∂t=

∂

∂t+

∂Z∂t

∂

∂Z(36)

L’équation 1 devient alors :

ρ∂YF

∂t+ ρ

∂Z∂t

∂YF

∂Z+ ρui

∂Z∂xi

∂YF

∂Z=

∂

∂xi

(

ρD∂Z∂xi

)

∂YF

∂Z(37)

+ρD(

∂Z∂xi

)2 ∂2YF

∂Z 2 + ωF



qui se simplifie, en utilisant l’équation de Z (équation 37) etl’équation de continuité (équation 6) pour devenir :

ρ∂YF

∂t= ρD

(

∂Z∂xi

)2 ∂2YF

∂Z 2 + ωF (38)

Une quantité très importante dans l’étude des flammes dediffusion : la dissipation scalaire χ :

χ = 2D|∇Z |2 = 2D(

∂Z∂xi

)2

(39)

L’équation 41 se réécrit alors :

ρ∂YF

∂t= ρ

χ

2∂2YF

∂Z 2 + ωF (40)



Dans le cadre de nos hypothèses la fraction massique decombustible YF (ainsi que YO, YP et T ) peut être directe-ment déterminée en fonction de Z à partir de l’équation 41.

Si le champ de scalaire passif Z est connu, tous les autreschamps peuvent alors être calculés.

Dans le cas général, YF , YO et T dépendent donc de Z , deχ, la dissipation scalaire de Z , et du temps t (équation 41).


Stabilisation des flammes de diffusion

Jusqu’à présent, nous avons essentiellement analysé la struc-ture de flammes laminaires de diffusion établies, sans sepréoccuper de leur initiation ou des mécanismes de stabili-sation qui leur permettent de subsister.

En pratique, l’initiation des flammes fait appel à un apportd’énergie extérieur qui provient, par exemple, d’une petiteflamme annexe (allumette) ou de l’étincelle issue d’une bou-gie d’allumage.

Mais cet apport n’intervient en général que pendant un tempslimité. Ensuite, la flamme doit rester stable sans source ex-térieure d’énergie, sous peine de s’éteindre.

L’analyse des mécanismes de stabilisation d’une flammeest donc très importante.


Stabilisation des flammes dediffusion :Auto-inflammation

Combustible

Oxydantdi

Autoallumage

Flamme

Ce mécanisme, est le plus simple : les réactifs mis en contacts’auto-inflamment spontanément.

Ce mécanisme remplit à la fois les rôles d’allumage (pasd’apport d’énergie extérieur pour initier la réaction) et destabilisation.


Stabilisation des flammes dediffusion :Auto-inflammation

En pratique, ce mécanisme d’auto-inflammation se rencontredans deux situations :

Le couple de réactifs réagit spontanément dans les condi-tions d’injection. Ce n’est pas le cas des combustibles usuelspour les conditions atmosphériques. Par ailleurs, la réactionhydrogène/ fluor, utilisée pour réaliser des lasers chimiques,est spontanée dans les conditions ambiantes ;Au moins un des écoulements est préchauffé jusqu’à unetempérature suffisante pour provoquer l’auto-inflammation.Cette situation se rencontre dans les « superstatoréacteurs» (statoréacteurs en écoulement supersonique) où l’écou-lement d’air est naturellement préchauffé par compressionjusqu’à des températures de l’ordre de 1000K .

La connaissance, et la maîtrise, de la distance d’allumagedi est primordiale pour la conception de ces foyers.


Stabilisation des flammes de diffusion :Stabilisationsur les lèvres du brûleur

Combustible

Oxydant

Flamme

Si les échanges thermiques avec la flamme permettent à lalèvre du brûleur de rester suffisamment chaude, la flammepeut s’accrocher à celle-ci.


Stabilisation des flammes de diffusion :Stabilisationpar flamme triple

Si la flamme n’est pas accrochée à la lèvre du brûleur, unezone de prémélange se forme en aval du brûleur.

La composition de ce prémélange n’est, bien évidemment,pas uniforme mais il existe des zones où sa richesse estvoisine de l’unité.

Ce prémélange peut être enflammé par apport extérieurd’énergie (étincelle, allumette, ...). Une flamme de prémé-lange se développe alors et se propage vers l’amont dubrûleur avec une vitesse SL.


Stabilisation des flammes de diffusion :Stabilisationpar flamme triple

Combustible

Oxydant

Flamme de diffusion

Flamme de premelange riche

Flamme de premelangepauvre

Zone de premelange

Elle se stabilisera en un point de l’écoulement où la vitessedes gaz est voisine de SL.


Stabilisation des flammes de diffusion :Flamme pilote

Oxydant

Combustible

Alimentation annexe

Flamme pilote

Flamme de diffusion

Il s’agit de «forcer» l’inflammation des réactifs par l’utilisa-tion d’une petite flamme annexe, généralement située auvoisinage des lèvres du brûleur.

Cette petite flamme est le plus souvent prémélangée. Cetteconfiguration est parfois utilisée pour la stabilisation de flammede grandes dimensions ou fonctionnant dans des conditionsopératoires proches des limites d’extinction.


Documents

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