Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
SOMMAIRE
Chapitre 1 : Lois et théorèmes en régime continu
Chapitre 2: Les circuits électriques en régime variable
Chapitre 3 : Les circuits électriques en régime sinusoïdal forcé
Chapitre 4 : fonction de transfert et diagramme de Bode
Chapitre 1 :Lois et théorèmes en régime continu
1. Généralités
2. Lois d’association de résistance
4. Lois de Kirchhoff
7. Théorèmes de Thévenin et Norton
6. Théorème de superposition
5. Diviseurs de tension et de courant
8. Exercices
3. Loi d’ohm
Un réseau électronique est un ens. de dipôles, tripôles ou quadripôles
B
R
dipôle
UAB=RI
IA B
tripôleIA
quadripôle
A B
C D
Ex:
1.1 Étude d’un réseau électronique
1. Généralités
Un réseau électronique comportera souvent un dipôle d’entrée (générateur), un quadripôle (circuit exécutant la fonction électronique) et un dipôle de sortie.
quadripôleréalise la fonction
d’amplification
Charge: haut-parleur
Générateur : signal musical
IeIs
Exemple: Amplification d’un signal musical
Signal d’entrée: Signal de sortie:
1.1 Étude d’un réseau électronique (2)
Amplification du volume
Quadripôle :réalise une fonction
électronique
IeIs
Générateur Charge
Le transfert de charges électriques (électrons) entre les éléments composant le réseau électronique crée un courant électrique, que l’on oriente en sens contraire du flux d’électrons.
Ce courant exprimé en Ampères (A), représente la quantité de charges q (en coulombs) traversant une section donnée du conducteur par unité de temps: dt
dqi
Si un point A a moins de charges négatives qu’un point B il en résulte une différence de potentiel (ddp) entre ces deux points. Cette ddp correspond à la tension UAB entre le point A et le point B.
BAAB VVU
1.1 Étude d’un réseau électronique (3)
Un réseau est dit linéaire s’il est régi par un système d’équations différentielles à coefficients constants.
En régime sinusoïdal établi, la réponse sera une sinusoïde de même fréquence éventuellement déphasée.
Si V1(t) = a*sin(wt) alors
S(t) = A*sin(wt + )
V1(t) Réseau électroniqueS(t)
Cas particulier du réseau électronique linéaire:
1.1 Étude d’un réseau électronique (4)
Source idéale de tension : c’est un générateur qui délivre une tension constante qui est indépendante de la charge à ses bornes donc du courant I à débiter.
Source idéale de courant : c’est un générateur qui délivre une intensité constante qui est indépendante de la charge à ses bornes donc de la tension V .
1.2 Source de tension/Source de courant (dipôle générateur)
V+
-
V+
-
R
I
I
V I VR
La tension est constante quelque soit la charge
V
I
L’intensité est constante quelque soit la charge
I
V
Dans la pratique, les sources de courant (tension) idéales n’existent pas. Un modèle plus proche de la réalité consiste :
E0
RI
U I0 R=1/G
I
U
U=E0-R.I
U
I
E0
E0/R
Caractéristique:
I=I0-G.U
U
I0
I0/G
I
Caractéristique:
1.2 Source de tension/Source de courant (dipôle générateur) (2)
1 2
1) Pour une source de tension, à associer une résistance en série avec une source de tension idéale.2) Pour une source de courant, à associer une résistance en parallèle avec une source de courant idéale.
2. Lois d’association de résistances
En associant des résistances, on forme un dipôle qui se comporte comme une résistance, dont la valeur est appelée résistance équivalente notée Req ou conductance équivalente Geq (où Geq = 1/Req)
• Association en série:
Req=R1+R2+… + Rn
• Association en parallèle:
I R1 R2 Rn
U
I Req
U
I
G1 G2 GnU Geq
I
U
Geq=G1+G2+… + Gn
3. Loi d’ohm
La tension u(t) (en volts) aux bornes d'un consommateur de résistance R est proportionnelle à l'intensité du courant électrique i(t) (en ampères) qui le traverse.
)(.)( tiRtu Ri(t)
u(t)
•Loi des nœuds : la somme algébrique des courants qui arrivent (ou qui en partent) à un nœud est nulle.
Au nœud :
n
iIi
10
Aux mailles :
n
iVi
10
4. Lois de Kirschhoff
I1
I2
I3
In
A
v1
v2
v4
v3
•Loi des mailles : la somme algébrique des tensions le long d’une maille est nulle.
Topologie:• Une branche est un ensemble de dipôles connectés en série ou en parallèle et limité par 2 points entre lesquels aucune dérivation de courant ne se produit.• Un nœud est un point où arrivent plusieurs branches.• Une maille est un ensemble de branches formant un circuit fermé, chacun des nœuds n’appartenant qu’à deux branches de ce circuit fermé
Diviseur de tension (même courant dans R1 et R2)
v1=v*R1/(R1+R2)
Maille AB
i=v/(R1+R2)
Diviseur de courant (même tension aux bornes de G1 et G2)
i1=i*G1/(G1+G2) i1=i*R2/(R1+R2)
Nœud C
v=i/(G1+G2)i
i1i2v
G1 G2
Cv
i
R1
R2
v1
v2
A
B
5.2 Diviseur de courant :5.1 Diviseur de tension :
5. Diviseurs de tension et de courant
or v1=R1 i
doncor i1=v G1
donc
Ce théorème s’applique uniquement dans le cas du régime linéaire.
Il traduit le fait que l’action totale d’un ensemble de sources autonomes (de courant ou de tension) sur un circuit est équivalente à la somme des actions de chacune des sources autonomes prises indépendamment (c’est la linéarité), les autres sources autonomes étant éteintes.
6. Théorème de superposition
(source autonome = source non commandée)
Éteindre une source de tension réelle, c’est la remplacer par sa résistance interne (court-circuit pour les sources idéales).
Éteindre une source de courant réelle, c’est la remplacer par son admittance interne (circuit ouvert pour les sources idéales)
vs= vs1 + vs2
Diviseur de tension vs1= v1* r3 /(r2 + r1 + r3)
Diviseur de tension vs2= v2*r3 /(r2 + r1 + r3)
6. Théorème de superposition (2)
Exemple d’utilisation du théorème de superposition :
r2
v1
i
v2 vs
r1
r3
v1
i1
vs1
r2
r1
r3
On éteint v2
i2
v2
r2
r1
r3vs2On éteint v1
Un réseau linéaire vu de deux points A et B est équivalent à un générateur unique (dit générateur de Thévenin) constitué par l’association en série d’une source de tension EAB et d’une résistance RAB, où EAB est la tension à vide entre les points A et B (réseau non chargé) et RAB la résistance interne du réseau (sources non commandées désactivées).
7. Modèles de Thévenin et Norton
Grâce au théorème de Thévenin, le réseau linéaire est modélisé par:
Réseau linéaire
A
B
A
BEAB
RAB
7.1 Théorème de Thévenin :
Un réseau linéaire vu de deux points A et B est équivalent à un générateur unique (dit de Norton) constitué par l’association en parallèle d’une source de courant IAB et d’une résistance RAB, où IAB est le courant de court-circuit (fil entre A et B) entre les points A et B, et RAB est la résistance interne du réseau.
Réseau linéaire
A
B
7.2 Théorème de Norton :
7. Modèles de Thévenin et Norton (2)
Grâce au théorème de Norton, le réseau linéaire est modélisé par :
A
B
IABRAB
E
I
I1
R1 R2 Rc
Ic
On calcule Ic1 , si on éteint la source de tension, on voit que I et I1 s’ajoutent algébriquement, on peut les regrouper appliquer le diviseur de courant au nœud C.
Ic1=(I – I1) )
RRR*R
R
RRR*R
(
21
21c
21
21
I-I1
R1 R2 Rc
Ic1C
7.3 Exemple de calcul d ’un courant en un point d ’un circuit
7.3.1. Par superpositionCalculer le courant Ic en utilisant le théorème de superposition
On calcule Ic2 on éteint les sources de courant.
E
R1 R2 Rc
Ic2
Norton équivalent
RcR1 R2
Ic2
1R
E
)
RRR*R
R
RRR*R
(
21
21c
21
21
Ic2= 1R
E
Ic= Ic1+ Ic2En appliquant le théorème de superposition
On effectue d ’abord une transformation source de Tension / Source de courant
R1
1R
EE
R1
Diviseur de courant
1. On étudie le circuit à vide, on retire RC
2. On calcule RAB, on éteint les sources de tension et de courant
RAB=21
21
RR
R*R
E
I
I1
R1 R2 Rc
IcA
B
R1R2
A
B
7.3.2. Par NortonCalculer Ic en utilisant le théorème de Norton, entre A et B
On met un court-circuit (fil ) entre A et B et on calcule IN
IN=1R
E+ I - I1
I+
I1
R1IN
1R
E
B
Ic= (1R
E+I - I1)* )
RRR*R
R
RRR*R
(
21
21c
21
21
A
RAB RcIN
Ic
B
Finalement pour calculer IC , on charge le circuit modélisé par Norton avec la résistance RC
B
I
E
I1R1R2
IcA E
I1R1R2
A
B
IN
R2est shuntée
I
Par superposition ou par transformation source courant / source tension
7.3.3. Par Thévenin Calculer Ic en utilisant le théorème de Thévenin entre les points A et B
1.On calcul Thévenin entre A et B à vide, on retire Rc
2. On calcule RAB , on éteint les sources de tension et de courant
RAB=21
21
RR
R*R
R1
E1
Rc E2
R2
Ic
R1 R2
A
B
A
B
On calcule Vth
VAB = Vth=E1+R1*I’= E2- R2*I’
I’=2
R1
R1
E2
E
VAB = Vth=E1+ R1*
D’où le schéma équivalent de Thévenindu circuit vu entre A et B
Ic
VAB
RAB
A
B
2R
1R
1E
2E
R1 R2
E1 E2
I=0I’
Vth
A
B
Le courant est commun à la maille
Finalement pour calculer IC , on charge le circuit modélisé par Thévenin avec la résistance RC
Avec Ic = )R(R*RR*R
R*ER*E
21c21
1221
Rc
Ic
Vth
RAB
A
BIl existe d ’autre solutions pour calculer Ic
Transformation Source Tension Source CourantLoi des nœuds / Loi des mailles
R1
R2 R3I1E
I
1. déterminer le courant I circulant dans l’impédance R3 de trois manières différentes:
• en utilisant le théorème de superposition• en utilisant le théorème de Thévenin• en utilisant le théorème de Norton
8. Exercices
2. déterminer la tension V aux bornes de l’impédance R4 en utilisant la méthode de votre choix
R1
R3
R4I1
E1
R2
E2
V
4. Trouver pour les deux circuits suivant, les générateurs de Thévenin et Norton équivalents vu des points A et B
Z1
Z2E1
A
B
I
A
B
Z1
Z2
3. Soit le montage :
Déterminer le courant dans RC en utilisant successivement• le théorème de superposition• le théorème de Thévenin• le théorème de Norton
R1
Rc
R2
E2E1
IC
R1
A
B
e
-
+
I R2
A
B
e2
R2
e1
R1
-
+
+
-
R3
e
i
A
B
e
-
+
i
R3
R2
R1
R4 VAB
5. Donner les schémas équivalents de Thévenin et Norton entre A et B des montages suivants
A
B
-
+
R0 R
rg
a) b)
c) d)
A
B
e-
+
i
R3
R2
R16.
b) Exprimer le courant icc entre A et B. En déduire le Norton équivalent entre A et B puis le Thévenin et comparer aux résultats obtenus en a).
a) En utilisant la méthode du théorème de superposition, donnez le schéma de Thévenin équivalent entre A et B.
R
Chapitre 2 : Les circuits électriques en régime variable
1. Principe généraux
2. Mise en équation et résolution du problème posé
3. Réponses de circuits du premier ordre
4. Réponses de circuits du second ordre
On peut alimenter un circuit électronique avec des signaux de régimes différents:
Régime continu (ou statique) : le signal est indépendant du temps, il possède une polarité (+,-). Pour ce type de régime on utilise des notations majuscules V, I
Régime variable ( ou dynamique) : le signal varie dans le temps, on utilisera des notations minuscules v, i. On distinguera deux types de régimes variables, les régimes périodiques et apériodiques.
t
v
1. Principes généraux
1.1 Les régimes de fonctionnement des systèmes électroniques :
• Les régimes périodiques représentent la famille des signaux qui se reproduisent à l’identique au bout d’un laps de temps appelé période.Mathématiquement : v(t) = v(t + kT) où T est la période du signal exprimée en secondes et k entier relatif.
Le régime variable peut être périodique ou apériodique:
• Les régimes apériodiques représentent la famille des signaux qui possèdent une variation non répétitive dans le temps.
Exemple de signaux variables apériodiques
Soit un dipôle passif linéaire en convention récepteur (cf schéma ci-dessous) soumis à une tension v(t) et parcouru par un courant i(t).
La puissance consommée par le dipôle est définie par: )().()( titvtp
i(t)
u(t)
Dans le cas particulier où i(t) et u(t) sont périodiques, nous pouvons parler de puissance moyenne. Elle est alors définie par:
Tt
t
dttitvT
pP0
0
)().(1
où T est la période de u(t) et i(t) et t0 est quelconque.
1.2.1 Puissance d’un dipôle:
Avec la convention récepteur choisie:
• si P>0: le dipôle consomme de l’énergie électrique, il fonctionne en récepteur.
• si P<0: le dipôle fournit de l’énergie électrique, il fonctionne en générateur.
(en Watt:W)
1.2 Quelques définitions pour des signaux quelconques:
1.2.2 Energie emmagasinée dans un dipôle:
Soit E(t0->t1) l’énergie emmagasinée par le dipôle entre l’instant t0 et l’instant t1.
Exemple: La résistance
Si le dipôle est une résistance, alors u(t)=Ri(t)
Dans ce cas: 1
0
)()( 210
t
t
dttRittE
Autre exemple: Le condensateur
Dans ce cas: )()(2
1)(
)()( 0
21
210
1
0
tutuCdttudt
tduCttE
t
t
Si le dipôle est un condensateur, alors dt
tduC
dt
tdqti
)()()(
Elle s’exprime en Joule (J)
1
0
)()( 10
t
t
dttpttEPar définition:
Pour les définitions qui suivent, nous considérerons que s(t) est un signal périodique de période T.
1.3.1 Valeur moyenne :
La valeur moyenne de s(t) est notée indifféremment par : <s>, Smoy ou S
La valeur moyenne est définie par :
Tt
t
dttsT
s0
0
)(1
1.3.2 Valeur efficace :
La valeur efficace de s(t) est souvent notée Seff ou S et elle est définie par:
Tt
t
eff dttsT
S0
0
)(1 2
1.3.3 Exemple : Soit un signal : )cos()( max tSts
On peut alors vérifier aisément que 0moyS et 2
maxSSeff
1.3 Quelques définitions pour des signaux périodiques:
1.4 Équations de fonctionnement de dipôles passifs :
R
i(t)
u(t)
Résistance:
R : résistance en Ω (ohms)
Relation tension-courant:
)(.)( tiRtu
Bobine parfaite:
L : inductance en H (henrys)
Relation tension-courant:
dt
tdiLtu
)(.)(
L
i(t)
u(t)
Condensateur parfait:
C : capacité en F (farads)
Relation tension-courant:
C
tqtu
)()(
C
i(t)
u(t)
dt
dqti )(
2. Mise en équation et résolution du problème posé
On se place dans le cas simple, mais classique, où le circuit étudié n’est constitué que d’une maille, celle-ci comportant, entre autres, des bobines, des condensateurs et/ou des interrupteurs.Pour déterminer les valeurs instantanées des tensions et des courants dans le circuit, il faut suivre la démarche proposée:
• On commence par analyser le fonctionnement des interrupteurs (ou pseudo-interrupteur comme par exemple un transistor en régime de commutation) du montage. A chaque état des interrupteurs correspond une configuration du circuit, donc un problème différent à traiter.
• Pour chacune des configurations du circuit, on écrit les lois de Kirchhoff en faisant intervenir les équations des dipôles élémentaires. On obtient ainsi une équation différentielle linéaire du 1er ordre ou du 2nd ordre (voire d’un ordre supérieur que nous n’étudierons pas ici) ayant comme inconnue le signal s(t) cherché:
)())(
),(( tedt
tdstsf ou )()
)(,
)(),((
2
2
tedt
tds
dt
tdstsf
Le second membre e(t) traduit généralement l’action des dipôles actifs du montage.
2. Mise en équation et résolution du problème posé (2)
Pour l’équation différentielle:
1. on recherche la solution générale s1(t) de l’équation sans second membre (SGESSM):
0))(
),(( dt
tdstsf ou 0)
)(,
)(),((
2
2
dt
tds
dt
tdstsf
2. on recherche la solution particulière s2(t) de l’équation avec second membre (SPEASM):
Remarque importante: La recherche de la SPEASM peut être facilitée en remarquant que si le second membre est une constante, une fonction circulaire en t (cos ωt, sin ωt, …) ou un polynôme en t, la solution particulière est de même nature mathématique.
3. La solution de l’équation différentielle est: s(t) = s1(t) + s2(t)
Cette solution fait intervenir un nombre de constantes d’intégration égal à l’ordre de l’équation différentielle. Leur valeur est déterminée par les conditions initiales du problème
2. Mise en équation et résolution du problème posé (3)
La SGESSM s1(t) correspond au régime libre ou au régime transitoire. C’est toujours, en pratique, une fonction qui tend vers 0 quand t tend vers l’infini :
tsi , 0)(1 ts
La SPEASM s2(t) correspond au régime forcé ou au régime permanent, c’est-à-dire celui que tend à imposer au circuit le signal e(t). On l’obtient d’ailleurs par identification.
Si ce régime a le temps de s’établir, la seconde solution s2(t) subsisterait seule:
tsi , )()( 2 tsts
3. Réponses de circuits du 1er ordreUn circuit du premier ordre est généralement régi par une équation différentielle de la forme suivante:
)()()(
tetsdt
tds
Avec τ: constante de temps du circuit (homogène à un temps)
3.1 Réponses à un échelon :On appelle échelon de tension (de courant), le signal e(t)=0 pour t < 0 et e(t) = cte pour t ≥ 0. e(t)
0 t
e(t)
Ri(t)
uR(t) uL(t)Exemple: quelle est l’évolution du courant i(t) au cours du temps si e(t) est un échelon unitaire sachant que i(0)=0A ?
Exemple 2: quelle est l’évolution de la tension u(t) au cours du temps sachant que:
• le condensateur est initialement déchargé (u(0)=0V)
• Avant l’instant t = 0, les deux interrupteurs sont ouverts
• A l’instant t=0, on ferme l’interrupteur K, l’interrupteur K’ restant ouvert
• A l’instant t=t1 >> RC, on ouvre K et on ferme K’ simultanément.
e(t)
Ri(t)
u (t)
K
K’E
3.2 Réponses à un signal sinusoïdal :
En travail personnel.
4. Réponses de circuits du 2nd ordreUn circuit du second ordre est généralement régi par une équation différentielle de la forme suivante:
)()()(2)(1
02
2
20
tetsdt
tdsm
dt
tsd
Avec ω0: pulsation propre du circuit (en rad/s)
m: coefficient d’amortissement du circuit noté aussi ζ (sans unité et ≥ 0)
4.1 Etude du régime libre :
On commence par poser l’équation caractéristique (EC):
La résolution de cette équation suit un cheminement plus élaboré que dans le cas d’un circuit du premier ordre car une discussion sur la valeur de certaine grandeur s’impose.
0121
0
22
0
rm
r
r étant la racine de l’équation caractéristique
On en déduit l’expression du discriminant : )1(4 2
20
m
La discussion peut alors s’engager sur la valeur de m. On distingue 3 cas:
• m > 1, alors ∆ > 0.
1. 2002,1 mmr
Il y a donc 2 racines réelles de même signe:
Racines de l’EC SGESSM
trtr BeAets 21)(1
Régime libre apériodique amorti
• m = 1, alors ∆ = 0.
0r
Il y a donc 1 racine double réelle :teBAtts 0).()(1
Régime libre critique
• m < 1, alors ∆ < 0.
Il y a donc 2 racines complexes conjuguées :
tmpp etBtAts 0).sincos()(1
Régime libre oscillant amorti
2002,1 1. mjmr
ωp
ωp est la pseudo-pulsation des oscillations
4.2 Etude du régime forcé :
Ce régime correspond à la SPEASM s2(t). Les solutions particulières les plus courantes en électronique sont la constante ou la somme de fonctions circulaires.
4.3 Solution complète :
La solution complète est la somme des deux solutions précédemment définies. La résolution se termine par la recherche des constantes A et B grâce aux conditions initiale.
Exemple: Quelle est la réponse en tension u(t) du circuit RLC suivant sachant que K est ouvert pour t< 0, que l’on ferme K à l’instant t=0 et que le condensateur est initialement déchargé ? (vous prendrez d’abord les données du a) puis celles du b) ).
i(t)RL
Cu(t)K
E
Données: a) R=400, C=1μF et L=10mH.
b) R=400, C=10nF et L=10mH.
Chapitre 3 : Les circuits électriques en régime sinusoïdal forcé
1. Introduction
2. Méthode de résolution
3. Lois et théorèmes généraux en régime sinusoïdal
1. IntroductionUn dipôle passif commandé par un générateur de commande sinusoïdale obéit à une équation différentielle à coefficient constant
La solution est de la forme: )()()( 21 tututu
Correspondant au régime libreSolution du régime forcé
Dans ce chapitre, nous nous intéressons uniquement au régime forcé u2(t).
Par simplification, nous noterons u(t)=u2(t) (nous ne considérons pas le régime transitoire)
En considérant un circuit linéaire (ce sera le cas tout au long de ce chapitre), si le signal sinusoïdal d’entrée a une pulsation de ω, toutes les grandeurs électriques du circuit auront une pulsation de ω.
2. Méthodes de résolution
Nous allons exposer différentes méthodes de résolution à partir d’un exemple:
)cos()( tEte m
Équation régissant le fonctionnement de ce circuit:
)cos()(1)(
)( tEdttiCdt
tdiLtRi m
Méthodes de résolution de l’équation:
2.1 Méthode algébrique
2.2 Méthode du diagramme de Fresnel
2.3 Notations complexes
LC
Re(t)
i(t)
).cos(.)(1)(
.)(. tEdttiCdt
tdiLtiR m
2.1 Méthode algébrique
2.2 Méthode du diagramme de Fresnel
Non étudié ici (souvent utilisé en électrotechnique)
On pose i(t)=Im.cos(wt+Ф) et on résout l’équation en cherchant Im et Ф. Cette méthode peut entraîner des calculs compliqués que la notation complexe permet d’éviter.
2.3 Notations complexes
La manipulation des fonctions sinus et cosinus est très lourde. Pour prévoir la réponse d’un système soumis à une excitation sinusoïdale, on exprime la fonction sinusoïdale sous sa forme exponentielle.
)cos()( max tftfDu signal
On passe au signal)()( tj
c eftf avec maxff
Où j est un imaginaire et | f | est le module de la tension (ou du courant)
On a : )sin()cos()( tjte tj
Cette écriture introduit donc un terme imaginaire qui n’a pas de signification physique, seule la partie réelle du signal est effectivement appliquée au circuit.
On pourra alors représenter un signal sinusoïdal sous sa forme : partie réelle/ partie imaginaire ou module et phase (Fresnel)
Rappels : j = e j /2 et -j = e -j/2
avec 0max f
Capacité :
On retrouve l ’impédance complexe du condensateur :
2.3.1 Détermination des impédances complexes en régime sinusoïdal
Inductance :
Par une méthode similaire, on retrouve l ’impédance complexe de la self :
dt
tdvC
dt
tdqti
)()()(
)exp()( tjVtv Msi alors )exp()(
)( tjVjCdt
tdvCti M
v(t)iZjC
iv
ainsi
j C
1Z=
Par définition, l’admittance (notée Y) est l’inverse de l’impédance (notée Z):
dt
tdiLtv
)()(
jL
2.3.2 Définition de l’admittance :
ZY
1
L’admittance s’exprime en Siemens tandis que l’impédance s’exprime en Ohm.
2.3.3 Équations de fonctionnement de dipôles passifs :
R
i(t)
u(t)
Résistance:
R : résistance en Ω (ohms)
Relation tension-courant:
)(.)( tiRtu
L
i(t)
u(t)
Bobine parfaite:
L : inductance en H (henrys)
Relation tension-courant:
dt
tdiLtu
)(.)(
C
i(t)
u(t)
Condensateur parfait:
C : capacité en F (farads)
Relation tension-courant:
C
tqtu
)()(
dt
dqti )(
En complexe :
iRu . ijLu jC
iu
Tous les dipôles élémentaires possèdent une impédance (admittance) complexe.
R : résistance du dipôleX : réactance du dipôle
ZI
U = [Z, ] = R + jX =
Argument de Z : arg( Z ) = = u - i = Arctan R
X
Admittance complexe d’un dipôle :
YZ
1
U
I
Z
1= = = [ ]= G + jB
Module de Z : || =eff
eff
I
U
I
U=Z || = | Z |= X
22 R
2.3.4 Impédances des dipôles élémentaires :
Régime sinusoïdal
Comportement fréquentiel approximé
Circuit ouvert aux basses fréquences, Z infini, pas de courant dans le condensateur
Court-circuit aux hautes fréquences, Z tend vers 0, pas de tension aux bornes du condensateur
Impédance () 1/jwC
Admittance (S) jwC
Déphasage -П/2(tension par rapport au courant)
Tension I/jwC
2.3.5 Revenons sur la capacité:
Régime sinusoïdal
Comportement fréquentiel approximé de la self
Court-circuit aux basses fréquences : Z tend vers 0, pas de tension aux bornes de la self
Circuit ouvert aux hautes fréquences : Z infini, pas de courant dans la self
Impédance ( ) jLw
Admittance (S) 1/jLw
Déphasage П/2 (tension par rapport au courant)
Tension I*jLw
2.3.6 Revenons sur la self d’induction (ou bobine):
3. Lois et théorèmes généraux en régime sinusoïdal
Les lois d’Ohm, de Kirshhoff, de Thévenin, de Norton, de superposition, etc … peuvent être généralisées avec la notation complexe.
2.3.7 Résolution de l’équation différentielle
)cos()(1)(
)( tEdttiCdt
tdiLtRi m
L’équation différentielle
devient en notation complexe IZEICw
LwjR )]1
([
On a alors
)cos()(
wtZ
Emti
eZZ j
Chapitre 4 fonction de transfert et diagramme de Bode
Chapitre 4 : fonction de transfert et diagramme de Bode asymptotique
1. Etude d’une fonction de transfert par Bode
2. Etude des différents modules élémentaires
3. Fonction de transfert produit de fonctions élémentaires
Un quadripôle est caractérisé par sa fonction de transfert Vs/Ve (ou is/ie) qui est une fonction des éléments composant le circuit électronique. On définira cette fonction en utilisant les impédances complexes des éléments.
Ve Vs
On étudie l ’évolution fréquentielle (en régime harmonique c’est-à-dire sinusoïdal ) de cette fonction en étudiant le lieu de Bode. Un lieu de Bode est une représentation en module exprimée en Décibels et en phase (exprimée en radian ou en degrés) du rapport Vs/Ve ;on note en général
le module par Gdb=20Log(|Vs/Ve| ) et la phase par =Arg(Vs) - Arg(Ve)
En régime sinusoïdal, la fonction de transfert est une fonction complexe de la variable fréquence : Vs/Ve = A(w)*exp( (w)) (si Ve a pour pulsation w)
1 Etude d’une fonction de transfert par Bode
20 40 60 80 100
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
Etude du gain en dB de H(jω)=1/(1+jτω) avec τ =10-3s
20 log (|H(jω |)
Ex:
20 log (|H(jω |) = 20 log (1/√(1+ τ2ω2)
1 rad/s 2 rad/s 10 rad/s 50 rad/s 1000 rad/s
0
1
2
3
4
5
6
http://www.ensicaen.ismra.fr/~furon/_traitementsignal/semilog.gif
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
Pulsation en rad/s
Gain en dB
H(jω)=1/(1+jτω) avec τ=10-3s 20 log (|H(jω |) = 20 log (1/√(1+ τ2ω2)
0 1 2 3 4 5 6 7Log (ω)
Pour trouver le lieu de Bode d’une fonction de transfert T(x) = Vs/Ve , on essaie de mettre cette fonction de transfert sous forme d ’un produit de modules élémentaires Ti(x)
En électronique on se contentera la plupart du temps des lieux de Bode approximés
Le diagramme de Bode en amplitude comme en phase correspond à la somme des diagrammes de BODE respectivement en amplitude et en phase des fonctions élémentaires Ti(x)
T(x)=∏(Ti(x))
Ainsi pour le diagramme de Bode en Amplitude:
|T(x) |dB = 20 log (|T(x) |) = 20 log [ ∏(|Ti(x) |) ] = [ 20 log | Ti(x) | ]
et pour le diagramme de Bode en phase :
φ = Arg(T(x)) = Arg [ ∏(Ti(x)) ] = [ Arg ( Ti(x) ) ]
On définit plusieurs paramètres associés au lieu de Bode
•La bande passante : c’est la gamme des fréquences pour laquelle le rapport Vs/Ve
n’est pas ou peu atténuée•Cette bande passante est définie par des fréquences dites fréquences de coupures
Ex: Les fréquences de coupure à -3dB sont déterminés
Quand GdB=GdBmax -3dB ; c ’est-à-dire quand G = Gmax/(√2)2V
V
(t)V
(t)V
e
s
e
s max
Nous allons maintenant présenter l’étude asymptotique des modules élémentaires, Ces lieux doivent être connues sinon la seule méthode qui vous permettra d’étudierle lieu de Bode est l’étude mathématique de la fonction de transfert !!!!Mais cette étude est beaucoup trop fastidieuse et n’apporte en général aucune information pertinente supplémentaire pour l’utilisation des circuits électroniques.
•GdB =20 log | K | avec K supérieur ou inférieur à 1.
•Phase: φ = arg (H(jω)) = arg (K)
•-) si K> 0, alors φ= 0
•-) si K< 0, alors φ= ± k.π (avec k impair.)
•Par convention, on dira que φ= - π si K< 0.
Le signe - dans une fonction de transfert représente un déphasage de -.
Remarque : les lieux réels et asymptotiques sont confondus
GdB
ω
20 log |K| K>1
K<1
K=10dB
2.1 La constante K. H(jω)=K
2 Etude des différents modules élémentaires
2.2 Module élémentaire jω. H(jω)= jω
Remarque : les lieux asymptotiques et réels sont confondus
•Module : GdB =20log (|jω |) = 20 log + 20 logω
•Point particulier
GdB=0 si ω=1/
Pente de la droite : + 20 dB par décade.
•Démonstration :On calcul le gain pour ω1=10ω,
GdB(ω1)=20log(10ω )=20log10 + 20log(ω )
d ’où GdB(ω1) - GdB(ω)= 20log10 + 20log(ω ) - 20log(ω ) = = 20dB
Phase : φ= arg (jω) = arg(j) = π/2 = cste
1/
GdB
ω
φ
π/2
+ 20dB/ décade
Module : GdB =-20 log-- 20 logω
•Point particulier
GdB=0 si ωc=1/ d’où Fc =1/(2 π )
Pente de la droite : - 20 dB par décade.
Phase : φ= arg (1/jω) = - arg(j) = -π/2=cste
GdB
1/
ω
φ
- 20dB/décade
-π/2
2.3 Module élémentaire 1/j ω. H(jω)= 1/jω
Remarque : le lieu réel passe par le point (ω=1/ , +3dB) pour le module et par le point (ω=1/ , φ= π/4 ) pour la phase
2.4 Module élémentaire 1+ jω. H(jω)= 1+ jωGdB = 20 log | 1+jω | = 20 log((1+ ²ω²))½
•Diagramme asymptotique de BODE :
•MODULE : étude asymptotiquequand ω tend vers 0 ; Lim GdB = 0 dB
quand ω tend vers ; Lim GdB = 20 log ω , l’asymptote a donc une pente de +20dB/ décade et coupe l’axe 0 dB à ω=1/ .
•PHASEtan φ=Im(1+jω )/Re(1+jω )= ω donc φ= arc tan ω
• φ= 0 quand ω tend vers 0
• φ= π/2 quand ω tend vers • φ= π/4 quand ω = 1 donc si ω=1/
1/ τ
GdB
ω
φ
π/2
π/4
+3dB
asymptote
+ 20dBpar décade
Phase réelleModule réel
GdB = -20 log ((1+ ²ω²))½
•MODULE : étude asymptotiquequand ω tend vers 0 ; Lim GdB = 0 dBquand ω tend vers ; Lim GdB = -20 log ω , l’asymptote a donc une pente de -20dB/ décade et coupe l’axe 0 dB à ω=1/ .
•Fréquence de coupure Fc
GdB(ωc)= GdBMax -3dB = -3dB : vrai pour ²ω²=1d’où pour ωc=1/ d’où Fc = 1/ 2π
•PHASEφ= -arctan ω d’où une variation de 0 à -π/2
• φ= 0 quand ω tend vers 0
• φ=- π/2 quand ω tend vers • φ= -π/4 quand ω = 1 donc si ω=1/
Remarque : le lieu réel passe par le point (ω=1/ , -3dB) pour le module et par le point (ω=1/ , φ= -π/4 ) pour la phase
Phase réelle
Module réel
GdB
1/ τ
ω
φ
-π/2
-π/4
Pente de-20 dB/décade
-3dB
2.5 Module élémentaire 1/(1+ jω). H(jω)= 1/(1+ jω)
Soit la fonction de transfert suivante. Tracez les diagrammes asymptotiques de BODE correspondants Donnée : 2 > 1 > 0
2101
1
1
1
1
1
jjjAT
C ’est le produit de quatre modules élémentaires
FILTRE
TdB
ω
Les pentes s’additionnent d’abord a =-20dB/décade puis a = -40db/décade et enfin a = -60dB /décade
20log A M1
M1
1/0
M2
M2
M3
1/1
M3
1/2
M4
M4
3 Fonction de transfert produit de fonctions élémentaires
1/τ2 1/τ1 1/τ0
φ
ω
-π/2
-π
-3π/2
ω2τ221
120Log
ω2τ211
120Log
ω2τ201
12020T
LogLogAdB
L ’équation du lieu réel est :
210 1
1
1
1
1
1
jjjAT
Tracer sur papier semilog les diagrammes de Bode du gain et de la phase du circuit dont la fonction de transfert est :
2
32
12
pτ1*τ1
pτ1*pτpT
p
rappel : p=jwavec :τ =8msτ1 =2.65 µs
τ2 =800 µs
τ3 =39 µs
4. EXERCICE
