Probabilit es de Base - lpsm.paris · Calculez la proba-bilit e pour que deux d’entre elles au moins aient la m^eme date d’anniversaire. Exercice ~1.4 On suppose que dans une

Mastere de Mathematiques - M1

Probabilites de BaseFascicule d’Exercices

Sorbonne UniversiteAnnee 2020-2021

Laurent MAZLIAK

IMPORTANT• Le present fascicule contient l’ensemble des exercices qui seront traites en

Travaux Diriges dans le module ‘Probabilites de Base’ du Mastere de Mathematiques- M1. Il contient dans une premiere partie des exercices de (re)familiarisationavec la theorie de l’integration. Puis quatre chapitres de probabilites propre-ment dites. Notez que les exercices ne seront pas necessairement traites dans unordre lineaire, ni de facon exhaustive : il est donc indispensable, pour la qualitede votre travail, que vous suiviez l’evolution des TD de facon assidue. Unetroisieme partie contient d’autres exercices. Nous naviguerons assez sou-vent entre les trois parties donc ayez toujours a disposition l’ensembledu fascicule (bien entendu, cela va tres bien sous forme numerique sicela vous arrange).• Un certain nombre des exercices de la partie Probabilites reperes par un

♥, sont corriges dans le petit livre de la collection Livrets d’exercices de LaurentMazliak chez Hermann sous le titre Calcul de probabilites. D’autres le sont dansle livre Probabilites de Yves Lacroix et Laurent Mazliak publie chez Ellipsesdans la collection Mathematiques a l’Universite. Reperes par un ♦, ces dernierspeuvent eventuellement correspondre dans le livre a une partie traitee dans lecours (pas en exercice). Ces deux livres se trouvent en plusieurs exemplaires enbibliothque.• Il n’y aura pas de devoir a rendre. Par contre, trois interroga-

tions ecrites de 1 heure 30 en TD sont prevues dans le cadre ducontrole continu les mercredis 14 OCTOBRE, 18 NOVEMBRE ET 2DECEMBRE 2020 de 13h30 a 15h00.• Le present fascicule est telechargeable sur ma page personnelle (rubrique

Enseignement) a l’adresse :https://www.lpsm.paris/pageperso/mazliak/mazliak.html

• Pour tout probleme, vous pouvez me joindre a l’[email protected]

Priere cependant de noter que je ne repondrai a aucune questionmathematique par mail. Pour discuter mathematiques, envoyez moiun mail et nous fixerons un rendez-vous. N’hesitez pas le faire!

1

Partie 1 : Rappels d’integration

3

Partie 2 : Probabilites

4

1 Variables aleatoires discretes

Exercice ♥ 1.1 Le Chevalier de Mere s’etonnait qu’en lancant deux des, ilobtienne plus souvent 11 que 12 alors que l’un et l’autre de ces nombres n’etaitobtenu que par une combinaison (5+6 et 6+6). Qu’en pensez-vous?

Exercice ♥ 1.2 a) On fait rouler quatre des. Quelle est la probabilite d’obtenirau moins un ”six”?

b) On fait rouler deux des vingt-quatre fois. Quelle est la probabilite d’obtenirau moins une fois deux ”cinq”?

Exercice ♥ 1.3 n personnes sont reunies dans une piece. Calculez la proba-bilite pour que deux d’entre elles au moins aient la meme date d’anniversaire.

Exercice ♥ 1.4 On suppose que dans une course, il y a n chevaux au depart.a) Calculez le nombre de tierces possiblesb) Calculez la probabilite de gagner, avec un ticket, le tierce1-dans l’ordre2-dans l’ordre ou le desordre3-dans le desordrec) Application numerique avec n = 14.

Exercice ♥ 1.5 Dans les p boıtes a lettres d’un immeuble, un facteur est chargede distribuer n lettres dont r1 sont pour la boıte 1, . . . ,rp pour la boıte p. Peuconsciencieux, il les distribue au hasard.

a) Quelle est la probabilite pour que la distribution soit correcte?b) Quelle est la probabilite pour que la boıte 1 soit correctement remplie?c) Quelle est la probabilite pour que dans la boıte 1 il n’y ait aucune lettre

destinee a un voisin?d) Quelle est la probabilite pour qu’il y ait dans chaque boıte exactement le

nombre de lettres qui lui etait destine?

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Exercice ♥ 1.6 On lance deux des au hasard et on considere les evenementssuivants

A = le premier de tombe sur une face impaireB = le deuxieme de amene une face impaireC = la somme des valeurs des faces des deux des est impaireMontrer que A,B,C sont deux a deux independants mais pas independants.

Exercice ♥ 1.7 Soient n evenements independants A1, . . . , An dans (Ω, P ).Calculer en fonction de P (Ai) la probabilite p = P (A1 ∪ . . . ∪ An) et montrerque 1− p ≤ exp−

∑i P (Ai).

Exercice ♥ 1.8 On tire au hasard,selon une loi uniforme, un entier comprisentre 1 et n

a) Si q divise n, quelle est la probabilite de tirer un multiple de qb) On suppose que la decomposition en facteurs irreductibles de n soit

n = qα11 . . . qαpp

On note Ai l’evenement: ”on tire un multiple de qi”.Montrer que les Ai sont independants.

Exercice ♥ 1.9 En utilisant la loi de (X,Y ), demontrer que E(X + Y ) =E(X) + E(Y )

Exercice ♥ 1.10 Construire un exemple de variable aleatoire non constantepour laquelle Var(X) = 0.

Exercice ♥ 1.11 Une population comporte 60% de femmes et 40% d’hommes.On sait par ailleurs que 10% des hommes ont les cheveux longs et que 40% desfemmes ont les cheveux courts.

Une personne se presente avec les cheveux longs. Quelle est la probabilitepour que ce soit une femme?

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Exercice ♥ 1.12 Soit A un evenement. On note 1IA la variable aleatoire quivaut 1 sur A et 0 ailleurs (fonction caracteristique de A). Montrer que E(1IA) =P (A).

Exercice ♥ 1.13 Soit X une variable aleatoire reelle.a) Montrer que pour tout α > 0, si X ≥ 0,

P (X ≥ α) ≤ 1

αE(X) (Inegalite de Markov)

b) Montrer que pour tout ε > 0,

P (| X − E(X) |> ε) ≤ Var(X)

ε2(Inegalite de Bienayme-Tchebitcheff)

Exercice ♥ 1.14 Soient X1 et X2 deux variables independantes, de lois B(n1, p)et B(n2, p). Quelle est la loi de X1 +X2?

Exercice ♥ 1.15 Calculer la probabilite pour qu’en repartissant r boules dansn cellules, toutes les cellules soient occupees.

Exercice ♥ 1.16 Un joueur joue a la roulette a 37 cases 10 euros sur le 19 et100 euros sur ”pair”: si la bille tombe sur 19 il touchera 36 fois sa mise (soit360 euros) et si elle tombe sur ”pair”(0 exclu), il touchera 2 fois sa mise ; danstous les autres cas, sa mise va a la banque. Quelle est l’esperance de son gain?

Exercice ♥ 1.17 a) Mon voisin a deux enfants dont une fille. Quelle est laprobabilite pour que l’autre soit un garcon?

b) Un autre voisin a deux enfants dont le plus jeune est une fille. Quelle estla probabilite pour que l’autre soit un garcon?

7

Exercice ♥ 1.18 Ce matin la, Monsieur Martin, philosophe a ses heures, avaitentrepris, compte tenu des previsions meteorologiques pessimistes, de se rendrea son travail en voiture et avait eu la bonne idee de proposer a son voisin,l’ingenieur Felicien Optimal de l’emmener.

Helas, bientot pris dans des encombrements desesperants, ils durent se resoudrea engager les plaisirs de la conversation ce qui leur donna l’occasion de mieuxse connaıtre.

M.Martin expliqua qu’il avait trois enfants dont un prenomme Jacques et unautre Paul.

”N’avez-vous pas aussi une fille?” demanda Felicien. ”D’ailleurs, je n’aiqu’une chance sur quatre de me tromper”.

M.Martin continua son propos qui fit apparaıtre que l’aıne des enfants etaitjustement Jacques.

”Je pense encore que vous avez une fille, reprit Felicien, mais j’ai main-tenant une chance sur trois de me tromper. - Puisque cela vous interesse, jepuis vous donner une autre indication, dit Monsieur Martin: mon benjamin estPaul.

- Alors, repondit Felicien, je ne sais plus du tout si vous avez une fille ounon!”

Cette demonstration de rationnalisme laissa notre philosophe un peu per-plexe: ilne lui apparaissait pas clair en effet que les informations successivesqu’il avait donnees avaient pu augmenter l’incertitude de son voisin Felicien.Ces informations etaient-elles des connaissances ou des anti-connaissances? Ils’engagea alors dans une meditation sur le reel et aboutit a la conclusion quepuisque effectivement le cadet de ses enfants etait une fille, la premiere impres-sion de Felicien avait ete la bonne.

(d’apres N.Bouleau: Probabilites pour l’ingenieur, Hermann)

Exercice ♥ 1.19 Soit (An) une suite d’evenements telle que∑n

P (An) <∞

Montrer que P (”une infinite de Ai se produisent simultanement”) = 0 (Lemmede Borel-Cantelli)

Exercice ♥ 1.20 Soient X et Y deux variables aleatoires independantes tellesque X suit une loi de Poisson de parametre λ et Y une loi de Poisson deparametre µ. Determiner la loi de X + Y .

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Exercice ♥ 1.21 On s’interesse a l’effet biologique produit par des electrons al’issue d’une cathode. Precisement, on suppose que chaque electron emis a uneprobabilite p d’etre actif. On suppose que tous les electrons ont un comportementindependant les uns des autres. On note Z le nombre d’electrons emis et Y lenombre d’entre eux qui sont actifs.

On suppose que Z suit une loi de Poisson de parametre λ.Determiner la loi de Y .

Exercice ♥ 1.22 Soient A1, A2, . . . , An des evenements.Montrer que

P (A1 ∩ . . . ∩An) = P (A1)P (A2/A1) . . . P (An/A1 ∩ . . . ∩An−1)

Exercice ♥ 1.23 Soient X et Y deux variables aleatoires de lois de Poissonde parametres α et β. Montrer que pour tout i suffisamment grand, | P (X =i)− P (Y = i) |≤| α− β |.

Exercice ♥ 1.24 Soit X une variables aleatoire a valeurs entieres. On pose

pk = P (X = k) et qk =∑j≥k+1

pj

Montrer que E(X) =∑j≥0

qj

Exercice ♥ 1.25 Trouver la loi du minimum de deux variables aleatoires geome-triques independantes

Exercice 1.26

Decrire un espace de probabilite (Ω,A, P ) de l’experience aleatoire qui con-siste a repartir au hasard n boules dans N cases.

On note X le nombre de boules tombant dans une case donnee a l’avance.a) Expliciter les pk = P (X = k), 0 ≤ k ≤ n, E(X) et Var(X)b) Donner la limite de pk quand k etant fixe, n et N tendent vers l’infini

de telle sorte que nN → λ, 0 < λ <∞

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Exercice 1.27 A - On dispose de N pieces numerotees de 1 a N et on enchoisit n au hasard sans replacement (n ≤ N)

a) Decrire l’espace de probabilites (Ω1,A1, P1)(resp. (Ω2,A2, P2)) associe a cette experience aleatoire quand on regarde la

suite (resp. l’ensemble) des numeros obtenus.b) On suppose qu’une proportion p, 0 < p < 1, des N pieces sont

defectueuses, avec pN > n. On note X le nombre de pieces defectueuses figurantparmi les n pieces choisies.

(i) En considerant X definie sur Ω2 expliciter les pk = P2(X = k).(ii) En considerant X definie sur Ω1 montrer que X peut s’ecrire comme la

somme de n variables aleatoires a valeurs dans 0, 1

X =

n∑k=1

Zk

Calculer les E(Zk), cov(Zk, Zl). En deduire

E(X) = np et Var(X) = np(1− p)(1− n− 1

N − 1)

B - On considere les memes pieces, mais on en choisit n avec replacement(n peut etre plus grand que N). On note Y le nombre de pieces defectueusesobservees.

a)Decrire l’espace de probabilite (Ω,A, P ) associe a cette experience aleatoire

b) Expliciter les qk = P (Y = k), 0 ≤ k ≤ n et montrer que, pour k et nfixes, pk → qk quand N →∞. Commenter.

Exercice ♥ 1.28 Soit X une variable aleatoire reelle telle que E(X) = m etVarX = σ2.

On se donne un α ≥ 0.a) Soit λ ≥ 0.Montrer que P (X −m ≥ α) = P (X −m+ λ ≥ α+ λ).b) Calculer E[(X −m+ λ)2].c) Montrer que

∀λ ≥ 0, P (X −m ≥ α) ≤ σ2 + λ2

α2 + λ2 + 2λα.

d) En etudiant ϕ(λ) =σ2 + λ2

α2 + λ2 + 2λα, deduire l’ Inegalite de Cantelli

P (X −m ≥ α) ≤ σ2

α2 + σ2

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e) Montrer que

P (| X −m |≥ α) ≤ 2σ2

α2 + σ2

Quand cette inegalite est-elle meilleure que l’inegalite de Bienayme-Tchebitcheff?

Exercice ♦ 1.29 Une princesse a n pretendants numerotes par ordre de meritedecroissant 1,2,. . . ,n. Elle doit en choisir un. Le probleme est qu’ils defilentun par un au hasard devant elle et qu’elle ne peut revenir sur son choix si elleen a laisse partir un. Elle doit donc adopter une strategie pour avoir le plus dechance de choisir le meilleur. . .

Soit Ω l’ensemble des permutations de 1, 2, . . . , n. Ω est muni de la prob-abilite uniforme.

σ ∈ Ω represente un tirage du hasard (les pretendants defilent dans l’ordreσ(1), . . . , σ(n)).

Pour 1 ≤ k ≤ n, on introduit la variable Yk qui est le rang de σ(k) dansl’ensemble σ(1), . . . , σ(k) range en ordre decroissant: Yk = 1 signifie queσ(k) est le plus grand parmi l’ensemble σ(1), . . . , σ(k), Yk = 2 signifie qu’il ya exactement un element de σ(1), . . . , σ(k) plus grand que σ(k) etc. . .

Par convention, on pose Yn+1 = 0.a) Montrer que

F : σ → (Y1(σ), . . . , Yn(σ))

definit une bijection de Ω sur Π = 1 × . . .× 1, 2, . . . , nb) En deduire que les variables Yj sont independantes et que Yk suit la loi

uniforme sur 1, 2, . . . , k.c) Soit τr = infk ≥ r, Yk = 1 (= n+ 1 si cet ensemble est vide).Calculer la probabilite pour qu’au temps τr, le pretendant qui se presente

soit le meilleur (i.e. le numero 1). Comment choisir r∗ pour maximiser laprobabilite precedente? Trouver un equivalent de r∗ quand n tend vers l’infini.

Exercice ♥ 1.30 Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aleatoires a valeurs dans−1, 1, independantes et de meme loi donnee par

P (X1 = −1) = P (X1 = 1) =1

2

1- Soit Sn =

n∑k=1

Xk.

Calculer E(Sn).

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2- On appelle temps d’arret de la suite (Xn) une variable aleatoire τ quiverifie ∀n ≥ 0,∃An ⊂ −1, 1× . . .×−1, 1 = −1, 1n (cet ensemble peut etrevide) tel que

(τ ≤ n) = [(X1, . . . , Xn) ∈ An]

a- Montrer que toute variable aleatoire constante n0 ∈ IN est un tempsd’arret

b- Montrer que si τ et ν sont deux temps d’arret, ρ = max(τ, ν) est un tempsd’arret.

c- Montrer que si τ est un temps d’arret, alors ∀n, ∃An ⊂ −1, 1n tel que

(τ = n) = [(X1, . . . , Xn) ∈ An)].d- Soit τ = infn ≥ 1, Xn = 1.Montrer que τ est un temps d’arret.Calculer E(Sτ ).

Exercice ♥ 1.31 Soit X une variable aleatoire reelle prenant les valeurs

x1, x2, . . . , xl

avec les probabilites respectives p1, . . . , pl(p1 + . . .+ pl = 1).On considere la fonction de moments de X definie pour t ∈ IR par M(t) =

E(etX).

1 - Montrer que l’on a ∀t ∈ IR,

M(t) =

∞∑k=0

tk

k!E(Xk)

2 - En deduire que M est de classe C∞ sur IR et que ∀k ≥ 0, E(Xk) =M (k)(0)

3 - Calculer la fonction de moments d’une variable de Bernoulli de parametrep

4 - Soient X1, . . . , Xn, n variables aleatoires independantes prenant chacuneun nombre fini de valeurs. On pose S = X1 + . . .+Xn. Calculer la fonction demoments de S.

5 - Quelle est la fonction de moments d’une variable binomiale de parametresn et p

6 - Montrer que M(t) caracterise la loi de X

7 - On pose C(t) = lnM(t)a) Montrer que C est definie sur IR, de classe C∞

b) Calculer C(0), C ′(0), C ′′(0).c) Montrer que M et C sont convexes.

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Exercice 1.32 Soit (Xn)n≥1 une suite independante de variablesaleatoires a valeurs dans 0, 1. Soit τ le premier instant ou la valeur 1 est

prise:τ(ω) = infm,Xm(ω) = 1, (= +∞ si ∅)

On pose rn = P (Xn = 1) et l’on suppose que 0 ≤ rn < 1 pour tout n.a) Expliciter la loi de τ a l’aide des rn A quelle condition sur les rn

a-t-on τ <∞ p.s.?b) Determiner la fonction generatrice de τ ainsi que E(τ) et Var(τ) dans

le cas ou rn = a (a fixe dans ]0,1[).c) On pose τ0 = 0, τ1 = τ et

τn+1 = infm > τn, Xm = 1

Montrer que les variables τn sont finies p.s., que les v.a. τn+1 − τn, n ≥ 0sont independantes et de meme loi. En deduire la fonction generatrice et la loide chacune des τn, leur esperance et leur variance.

Exercice ♥ 1.33 Un joueur va au casino avec une fortune a ∈ IN . A chaquepartie, il peut gagner 1 euro avec une probabilite p et perdre 1 euro avec uneprobabilite q = 1− p.

Son but est de jouer jusqu’a l’obtention de la fortune c ≥ a, c ∈ IN mais ildoit s’arreter s’il est ruine. On note sc(a) sa probabilite de succes (atteindre cavant la ruine).

a) Calculer sc(0) et sc(c)b) Montrer, pour a > 0, en raisonnant sur ce qui s’est passe au premier

coup, la relationsc(a) = psc(a+ 1) + qsc(a− 1)

c) Deduire la valeur de sc(a)d) Application numerique:

Calculer la valeur precedente avec a = 900, c = 1000; a = 100, c = 20000dans les cas p = 0, 5 et p = 18

38 .

Exercice 1.34 On reprend le modele de l’exercice precedent mais le jeu changeet le joueur est maintant autorise a s’endetter (il ne doit plus s’arreter quand ilest ruine). On s’interesse au temps d’attente du premier gain par le joueur (c’esta dire au premier instant ou sa fortune s’est accrue d’une unite par rapport asa fortune initiale).

a) Posons

13

φn = P (”au n ieme coup, pour la premiere fois, le joueur realise un gain”).Par convention, φ0 = 0.Calculer φ1.

b) On pose Φ(s) =∑n≥0

φnsn pour 0 ≤ s ≤ 1. Montrer que pour n > 1,

φn = q(φ1φn−2 + . . .+ φn−2φ1)

c) Deduire que Φ(s)− ps = qsΦ2(s).d) Resoudre l’equation et en deduire Φ.

e) Calculer∑n≥0

φn

f) Soit N le numero du coup ou le joueur realise un gain pour la premierefois.

Calculer E(N).

2 Variables aleatoires continues

Exercice 2.1 Soit X une variable aleatoire reelle. On pose F (t) = P (X ≤ t)(fonction de repartition).

a) Montrer que F est croissante et continue a droite.b) Comment interpreter les sauts de F? Montrer qu’il y en a au plus un

nombre denombrable.c) Montrer que F est continue si X est une variable a densite.d) Si X est a densite, relier F et la densite de X.e) Montrer que F caracterise la loi de X.

Exercice 2.2 a) On suppose que X est a valeurs dans IR+. On pose F (t) =P (X ≤ t).

Montrer que E(X) =

∫ ∞0

(1− F (t))dt

b) Soit X une variable admettant un moment d’ordre 1. Montrer que

E(X) =

∫ ∞0

P (X > t)dt−∫ 0

−∞P (X < t)dt

Exercice 2.3 Si X est uniforme sur [−1, 1], determiner la loi de | X | et deX2.

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Exercice 2.4 Si X est une variable aleatoire reelle strictement positive de den-site f , determiner la loi de X−1, X2 + 1,min(X, 1).

Exercice 2.5 Supposons que X et Y soient independantes et f(x, y) ≥ 0. Onpose g(x) = E(f(x, Y )).

Montrer que E(g(X)) = E(f(X,Y )).

Exercice 2.6 Soient 3 nombres X,Y, Z choisis independamment et uniformementdans [0,1]. Quelle est la probabilite pour que l’on puisse former un triangle al’aide de segments de longueurs X,Y, Z?

Exercice ♥ 2.7 Soit (X,Y ) une variable aleatoire a valeurs dans IR2 de den-site

f(x, y) =1

2√xe−y1ID(x, y)

avec D = x > 0, y > 0, y2 > x.a) Determiner les lois de X et Y .b) Les variables aleatoires X et Y sont-elles independantes?

c) Les variables X et Y −X 12 sont-elles independantes?

d) Les variables aleatoires XY 2 et Y sont-elles independantes?

Exercice ♥ 2.8 Soient X1 et X2 deux variables aleatoires independantes, dememes lois de densite f(x) = 2x, 0 < x < 1

Determiner la loi de X1

X2.

Exercice ♥ 2.9 Soit une variable aleatoire telle que

P (X > x+ y/X > x) = P (X > y), x, y ≥ 0

Determiner la loi de X et interpreter.

15

Exercice 2.10 On considere une variable X admettant

un moment d’ordre 1.Montrer que

∀ε > 0,∃δ > 0,∀A ∈ F , P (A) < δ ⇒ E(| X | 1IA) < ε

Exercice 2.11 On dit qu’une suite de variables aleatoires (Xn) estuniformement integrable si on a

lima→∞

supnE(| Xn | 1I|Xn|>a) = 0

1 - Montrer que (Xn) est uniformement integrable si et seulement si (E(|Xn |))n∈IN est bornee et si ∀ε > 0,∃δ > 0 tel que

∀A ∈ F , P (A) < δ ⇒ supnE(| Xn | 1IA) < ε

2 - Soit (Xn) une suite de variables uniformement integrable. On pose Yn =max(| X1 |, | X2 |, . . . , | Xn |).

Montrer que E(Yn) = o(n).

Exercice ♦ 2.12 Soit (Xn) une suite de variables aleatoires

a valeurs reelles. Construire une probabilite Q equivalente a P telle quetoutes les variables Xn admettent par rapport a Q un moment d’ordre 1.

Exercice 2.13 Prouver que

1√2π

∫ ∞−∞

e−tx2

2 dx = t−12

et deduire que si X est une variable gaussienne centree reduite

E(X2k) = 1.3. . . . .(2k − 1),∀k ≥ 1

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Exercice 2.14 Soient X1, . . . , Xn n variables aleatoires reelles positives independantes, de meme loi de fonction de repartition F . On pose M = max(X1, . . . , Xn).Exprimer a l’aide de F les moments de M (c’est a dire les E(Mk) ou k est unentier).

Exercice 2.15 Soit X une variable aleatoire reelle de loi N (0, 1) et soit ε unevariable aleatoire independante de X telle que P (ε = 1) = P (ε = −1) = 1

2 . Onpose Y = ε.X.

a) Quelle est la loi de (X,Y )?b) Calculer E(XY )c) X et Y sont-elles independantes?

Exercice 2.16 Soient α > 0 et β > 0. Soit de plus (U, V ) un vecteur aleatoirea valeurs dans IR2 de loi uniforme sur la surface u ≥ 0, v ≥ 0, u1/α + v1/β ≤ 1.On note S la mesure de cette surface.

Determiner la loi de X =U1/α

U1/α + V 1/β.

Exercice 2.17 a) Soient X et Y deux variables aleatoires reelles independantes.On suppose que la loi de X admet une densite sur IR et que Y est a valeursentieres. La loi de X + Y admet-elle une densite?

b) Que pensez-vous du cas non-independant?

Exercice ♥ 2.18 (Aiguille de Buffon).Le plan est strie de droites paralleles equidistantes de 2a. Une aiguille de

longueur 2l, l < a est jetee au hasard sur le plan au sens ou la distance du milieude l’aiguille a la droite la plus proche est une variable aleatoire X uniforme sur[0, a] et ou l’angle que fait l’aiguille avec cette droite est une variable aleatoire ϕ,independante de X, uniforme sur [0, π]. Quelle est la probabilite que l’aiguillecoupe l’une des paralleles?

Exercice 2.19 Soit Θ et Φ la longitude et la latitude d’un point tirealeatoirement sur la surface de la shere unite de IR3

Determiner la loi du couple (Θ,Φ) et etudier l’independance.

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Exercice 2.20 Soient A,B,C trois variables aleatoires strictement positives etindependantes de fonction de repartition F de classe C1 sur IR.

Montrer que la probabilite pour que le polynome AX2 + BX + C admetteune racine reelle est egale a∫ ∞

0

∫ ∞0

F (x2

4y)F ′(x)F ′(y)dxdy

Application numerique si A,B,C suivent une loi uniforme sur [0,1].

Exercice ♦ 2.21 1 - Soient X1, X2, . . . , Xn des variables reelles

independantes et de meme loi µ.Soit σ ∈ Sn, ensemble des bijections de 1, 2, . . . , n sur lui meme.Montrer que ∀H ∈ B(IRn),

P [(X1, . . . , Xn) ∈ H] = P [(Xσ(1), . . . , Xσ(n)) ∈ H]

2 - Soit (Xn)n∈IN une suite de variables aleatoires reelles

independantes et de meme loi possedant une densite sur IR.a) On definit Ω comme l’ensemble des ω ∈ Ω tels que

Xk(ω) 6= Xj(ω),∀(j, k) ∈ IN2, k 6= j

Montrer que P (Ω) = 1.

b) Sur Ω, on definit la variable aleatoire Tn(ω) a valeurs dans Sn commela permutation ordonnant (X1(ω), . . . , Xn(ω)). Autrement dit, Tn(ω) = σ sig-nifie

Xσ(1)(ω) < Xσ(2)(ω) < . . . < Xσ(n)(ω)

On pose de plus Yn(ω) egal au rang de Xn(ω) parmi X1(ω), . . . , Xn(ω) i.e.Yn(ω) = k signifie que parmi X1(ω), . . . , Xn(ω), k − 1 valeurs exactement sontinferieures a Xn(ω).

Montrer que Tn suit une loi uniforme sur Sn.c) Montrer que Yn suit une loi uniforme sur 1, 2, . . . , nd) Montrer que les variables Y1, Y2, . . . , Yn, . . . sont independantese) Soit An l’evenement (max

k<nXk < Xn) (on pose A1 = Ω).

Montrer que A1, A2, . . . sont independants et que P (An) = 1n

f) Soit Nn(ω) = infn′ > n, ω ∈ An′Montrer que

P (Nn = n+ k) =n

(n+ k − 1)(n+ k)

Calculer E(Nn)

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3 Convergences des variables aleatoires

Exercice 3.1 Soit (Xn) une suite de variables independantes centrees et tellesque sup

nE(X4

n) <∞.

Montrer queSnn

=X1 + . . .+Xn

nconverge vers 0 p.s.

Exercice ♥ 3.2 Soit f : [0, 1]→ IR, continue.

On pose Bn(x) =

n∑k=0

f(k

n)Cknx

k(1− x)n−k.

a) Montrer que si M = supx| f(x) | et δ(ε) = sup

|x−y|≤ε| f(x) − f(y) |, on a

pour tout n

supx| f(x)−Bn(x) |≤ δ(ε) +

2M

nε2

b) Conclure

Exercice ♥ 3.3 Soit (Sn) une suite de variables aleatoires telle que Sn suitune loi binomiale de parametres n et pn, 0 ≤ pn ≤ 1. On suppose que lim

nnpn =

λ ∈ IR+∗ .

Etudier la convergence en loi de la suite (Sn).

Exercice 3.4 Soit X une variables aleatoire a valeurs entieres, de fonctiongeneratrice P (s). On suppose qu’il existe s0 > 1 tel que P (s0) <∞.

a) Montrer que mr = E(Xr) <∞ pour tout r ≥ 0.b) On pose

F (s) =∑r≥0

mr

r!sr

Montrer que F converge pour | s |< ln s0.

Exercice ♥ 3.5 a) Monter que des variables a densite peuvent converger versdes variables sans densite.

b) Et reciproquement.

19

Exercice 3.6 Montrer que si Xn converge en loi vers X, alors µXn(I)→ µX(I)pour tout borelien I tel que µX(∂I) = 0.

Exercice ♥ 3.7 Calculer la fonction caracteristique d’une loi de Cauchy dedensite

1

π

1

1 + x2

Exercice ♥ 3.8 Soient X1, . . . , Xn independantes et de loi de Cauchy. Determiner

la loi de(X1 + . . .+Xn)

n.

Exercice 3.9 Soit X une v.a. de loi µ et de fonction caracteristique ϕ.a) Montrer que

µ(a) = limT→∞

1

2T

∫ T

−Te−itaϕ(t)dt

b) Soit xk la suite des points de masse non nulle pour µ. Montrer que

limT→∞

1

2T

∫ T

−T| ϕ(t) |2 dt =

∑k

µ(xk)2

Indications: Commencer par considerer deux variables independantes Z1 etZ2 de loi µ. Montrer que

limT→∞

1

2T

∫ T

−T| ϕ(t) |2 dt = P (Z1 − Z2 = 0)

Montrer alors que

P (Z1 − Z2 = 0) =

∫ ∞−∞

P (X = y)µ(dy) =∑k

µ(xk)2

c) Montrer que µ n’a pas de point de masse si ϕ est dans L2(dt).

20

Exercice ♦ 3.10 Soit (Xn) une suite de variables aleatoires reelles qui con-verge en loi vers X.

a) Montrer que (ϕXn) forme une suite de variables uniformement equicontinues.b) Montrer que ϕXn converge uniformement sur tout compact de IR.

Exercice 3.11 Soient X1, X2, . . . Xn, . . . des variables aleatoires de meme loiadmettant une variance finie.

a) Montrer que

∀ε, limnnP (| X1 |> ε

√n) = 0

b) Deduire que

limnP (

1√n

max1≤k≤n

| Xk |> ε) = 0

Exercice 3.12 1 - Montrer que si les v.a. X1, . . . , Xn, . . . sont independantes

et Xnp.s.→ X, alors X est constante

2 - Demontrer que ce resultat reste vrai si l’on suppose seulement la conver-gence en probabilite.

Exercice 3.13 Montrer que si XnP→X et on a |Xn| ≤ Y , ou Y est une v.a.

integrable, alors XnL1

→X.

Exercice ♦ 3.14 Soit (Xn) une suite de variables aleatoires a valeurs 0 ou 1.On pose pn = P (Xn = 1).

a) Trouver une condition necessaire et suffisante pour que la suite (Xn)converge vers 0 dans L1.

b) Trouver une condition necessaire et suffisante pour que la suite (Xn)converge vers 0 en probabilites.

c) Trouver une condition necessaire et suffisante pour que la suite (Xn)converge vers 0 p.s.

d) Trouver une condition necessaire et suffisante pour que la suite (Xn)converge vers 0 en loi.

21

Exercice 3.15 Soit (Xn)n∈IN une suite de variables iid telles que P (X1 ≥ 0) =1 et P (X1 > 0) > 0.

Montrer que∑n

Xn =∞ p.s.

Exercice 3.16 Soit (Xn)n∈IN une suite de variables aleatoires

convergeant p.s. vers X. On suppose de plus que limnE(| Xn |) = E(| X |).

Montrer que la convergence a lieu en fait dans L1.

Exercice ♦ 3.17 Soit Xnn≥1 une suite de v.a. independantes.a) On suppose que pour un c > 0 les trois series

∞∑n=1

IP|Xn| ≥ c∞∑n=1

IE(Xcn)

∞∑n=1

Var(Xcn)

convergent, ou on note Xcn = Xn1|Xn|≤c. Montrer que la serie

∞∑n=1

Xn con-

verge p.s.b) Montrer que la convergence

des series

∞∑n=1

IE(Xn) et

∞∑n=1

IE(|Xn|p) pour un 1 < p ≤ 2 entraine la con-

vergence p.s. de la serie

∞∑n=1

Xn.

Exercice 3.18 Soit f : IR2 → IR une fonction uniformement continue. Onconsidere deux suites (Xn) et (Yn) de variables reelles telles que Xn →P X etYn →P Y . Montrer que f(Xn, Yn)→P f(X,Y ).

Exercice 3.19 Soit f : [0, 1]→ IR une fonction continue. Montrer que∫[0,1]n

f(x1+...+xnn ) dx1 . . . dxn → f( 1

2 )

22

Exercice 3.20 Soit Xnn≥1 une suite de v.a. independantes et uniformes sur[0, 1]. Soit f borelienne bornee.

Etudier la convergence p.s. de la suite 1n (f(X1)+ . . .+f(Xn)) pour n→∞.

Exercice 3.21 Soit (Xn) une suite de v.a. independantes de meme loi deBernoulli de parametre p = 1− q.

On pose Yn = 1IXn+1=1,Xn+2=0.a) On pose Zn = 1IX2n+1=1,X2n+2=0 et Z ′n = 1IX2n=1,X2n+1=0.Montrer que les deux suites (Zn) et (Z ′n) sont composees, chacune, de vari-

ables independantes.

b) Deduire la convergence p.s. de la suiteZ1 + . . . Zn

net de la suite

Z ′1 + . . . Z ′nn

.

c) Etudier la convergence p.s. de la suiteY1 + . . . Yn

n.

Exercice ♥ 3.22 Soient X1 et X2 des variables independantes de moyennenulle et de variance σ2 < +∞. On suppose que X1+X2√

2∼ X1 ∼ X2. Quelle est

cette loi?

Exercice 3.23 Soit X = (X1, . . . , Xd) a valeurs dans IRd de fonction car-acteristique ΦX(u).

a) Quelle est la fonction caracteristique de X1?b) Soit A : IRd → IRp une application lineaire. Quelle est la fonction car-

acteristique de A(X)?

Exercice ♦ 3.24 On dit qu’une variable aleatoire reelle admet une loi a reseausi sa loi est portee par un ensemble a + nb, n ∈ Z, ou a et b > 0 sont deuxreels.

On note ϕ la fonction caracteristique de X.a) Montrer que X a une loi a reseau si et seulement si | ϕ(t) |= 1 pour un

t > 0.b) Montrer que si | ϕ(t) |=| ϕ(t′) |= 1 pour un t et un t′ incommensurables

(i.e. de rapport irrationnel), alors X est p.s. constante.

23

Exercice 3.25 Soient X et Y deux variables aleatoires reelles independantesde meme loi µ. On suppose que ∀x > 0, µ([x,+∞[) = µ(]−∞,−x]) et que µ n’estpas une masse de Dirac. En outre, on suppose que ∀(α, β) ∈ IR+×IR+, αX+βYa meme loi que (α+ β)X.

Determiner la loi µ.

Exercice 3.26 Soient (si)i≥1 une suite de reels positifs decroissante vers 0,(dk) une suite de reels positifs telle que

∑k≥1 dk = +∞. On suppose enfin que∑

k≥1 skdk = 1 et on pose t0 = 0 et tk = d1 + . . .+ dk.Soit ϕ la fonction telle que ϕ(0) = 1, ϕ est affine sur chaque intervalle

[tk, tk+1], de pente −sk+1.a) Dessiner le graphe de ϕ.b) Calculer la fonction caracteristique de la loi de densite (1− | x |)1I−1<x<1.c) Calculer la fonction caracteristique ϕ0 de la loi de densite 1

π1−cos xx2 .

d) Montrer que, si pk = (sk − sk+1)tk,∑k≥1 pk = 1 et ϕ(t) =

∞∑k=1

pkϕ0(t

tk).

Deduire que ϕ est une fonction caracteristique.e) Soit ψ une fonction paire, reelle, telle que ψ(0) = 1, continue, convexe,

positive et decroissante sur IR+. Montrer que ψ est une fonction caracteristique.

Exercice ♦ 3.27 1- Soit (Xn) une suite de variables aleatoires reelles.a) Montrer que si Xn converge en loi vers X∞, alors ∀ε > 0, il existe K > 0

tel quesup

n∈[0,∞]

P (| Xn |≥ K) < ε

b) Montrer que si Xn converge en loi vers X∞, alors ϕXn(t) converge uni-formement vers ϕX(t) sur tout intervalle borne de IR.

2- Soient (an) et (bn) deux suites reelles avec an > 0,∀n. Soient X et Ydeux variables aleatoires non constantes et (Xn) une suite de variables aleatoirestelle que Xn converge en loi vers X et anXn + bn converge en loi vers Y .

On note ϕn, ϕ et ψ les fonctions caracteristiques de Xn, X et Y .

a) Montrer que | ϕn(ant) | converge uniformement sur tout intervalle bornevers | ψ(t) |.

b) Deduire que 0 n’est pas valeur d’adherence de la suite (an)c) En ”echangeant” les roles de ϕ et ψ, montrer que +∞ n’est pas valeur

d’adherence de la suite an.d) Montrer que (an) converge vers a > 0.

24

e) Montrer que eitbn converge versψ(t)

ϕ(at)dans un voisinage de 0.

f) En considerant

∫ t

0

eisbnds, deduire que (bn) converge.

Exercice ♥ 3.28 Soit (Xn) une suite de variables aleatoires independantes dememe loi. On suppose qu’il existe a < b tels que

(i) P (X1 < a) = 0, P (X1 > b) = 0(ii) ∀a < x < b, 0 < P (X1 ≤ x) < 1On pose Yn = inf(X1, . . . , Xn) et Zn = sup(X1, . . . , Xn).a) Montrer que (Yn) converge en loi vers a.b) Etudier la convergence en loi de (Zn)c) On suppose que Xi suit une loi uniforme sur [0,1]. Etudier la convergence

en loi de Wn = nYn.

Exercice ♥ 3.29 1) Soit X une v.a.r. de loi N (0, 1). Calculer la fonctioncaracteristique de la variable Y = σX +m avec σ > 0,m ∈ IR.

2) Soit (Xn) une suite de v.a.r. de loi N (0, 1). On considere deux suites(σn) et (mn), respectivement dans IR+ et IR et on pose Yn = σnXn +mn.

a) On suppose que σn → σ et mn → m. Montrer que (Yn) converge en loi.b) On suppose que Yn →L Y .b1) Montrer que (σn) converge vers σ ≥ 0.b2) Montrer que (mn) converge vers m ∈ IR.b3) Deduire la loi de Y .

Exercice ♥ 3.30 Soit (Un) une suite de variables aleatoires independantes dememe loi uniforme sur [0,1]. On pose

Yn = eα√n(U1 . . . Un)

α√n

ou α est une constante strictement positive.a) Montrer que E(lnU1) = −1 et Var(lnU1) = 1.b) Etudier la convergence en loi de 1

α lnYn.c) Etudier la convergence en loi de Yn.

25

Exercice ♦ 3.31 On considere la densite de probabilites

hα(t) =α√2π

1

t32

e−α2

2t 1I[0,∞[(t)

ou α > 0.a) Soient α > 0 et β > 0 donnes, et X ∼ hα, Y ∼ hβ deux variables

aleatoires independantes. Determiner la loi de X + Y (on pourra utiliser destransformees de Laplace).

b) Soit (Xn) une suite de variables aleatoiresindependantes de loi possedant la densite hα. Determiner la loi de

X1 + . . .+Xn

n2

Y-a-t-il une contradiction avec la loi des grands nombres?c) Etudier la convergence de la suite

Yn =1

n2maxk≤n

Xk

(on pourra regarder la fonction de repartition de Yn)

Exercice ♦ 3.32 Soit (Xn) une suite de variables aleatoires telleque sup

nE(X2

n) <∞.

On suppose que (Xn) converge en loi vers X.Montrer que E(Xn)→ E(X).

Exercice ♦ 3.33 Soit Sn = X1+. . .+Xn ou les Xn sont des variables aleatoiresindependantes de loi de Poisson de parametre 1.

a) Montrer que

E(

(Sn − n√

n)−)

=n(n+

12 )e−n

n!

b) Montrer que (Sn − n√

n)− converge en loi vers N−, la partie negative

d’une loi gaussienne centree reduite.c) Montrer que

E(

(Sn − n√

n)−)→ E(N−)

d) Deduire un equivalent de n! (formule de Stirling).

26

Exercice ♦ 3.34 Soit (Xn) une suite de variables aleatoires reelles telles que(Xn) converge en loi vers X.

a) Soit Fn(x) la fonction de repartition de Xn (resp. F , fonction derepartition de X).

On pose Gn(t) = infx, Fn(x) ≥ t (resp.G(t) = infx, F (x) ≥ t).Determiner la loi de Gn en tant que variable aleatoire sur l’espace de prob-

abilites [0, 1] muni de la mesure de Lebesgue.b) Etudier la convergence de la suite Gn. (Theoreme de Skorokhod)

Exercice 3.35 Soient p un entier fixe ≥ 2 et Xnn≥1 une suite de v.a. reellesindependantes de meme loi uniforme sur 0, 1, . . . , p− 1. Montrer que la serie∞∑n=1

Xn

pnconverge p.s. et que sa somme suit une loi uniforme sur [0, 1].

Exercice 3.36 Soit Xnn≥1 une suite de v.a. independantes et de meme loiuniforme sur [−1, 1].

a) Soit α > 12 . Montrer que la serie

∞∑n=1

Xn/nα converge dans L2 et p.s

b) Etudier le cas 0 < α ≤ 12 .

Exercice 3.37 Soit Xnn≥1 une suite de v.a. telle que Xn suive la loi uni-forme sur 0, 1

n , . . . ,n−1n . Montrer que Xnn≥1 converge en loi et determiner

la loi limite.

4 Conditionnement et vecteurs gaussiens

Exercice ♦ 4.1 Soient R et Θ deux variables aleatoires reelles independantesde lois respectives exponentielle de parametre 1

2 et uniforme sur [0, 2π].1) Determiner la loi de

X = (√R cos Θ,

√R sin Θ).

27

2) Soient U1 et U2 deux variables aleatoires independantes de lois uniformessur [0,1]. On pose X =

√−2 lnU1 cos(2πU2) et Y =

√−2 lnU1 sin(2πU2).

Determiner la loi de (X,Y ).3) Quel usage faire du resultat precedent?

Exercice ♦ 4.2 On pose Var(X/G) = E[(X − E(X/G))2/G]. Montrer que

Var(X) = E[Var(X/G)] + Var(E(X/G)).

Exercice 4.3 a1) Soient (X,Y, Z) tel que (X,Z) ∼ (Y,Z). Montrer que ∀f ≥ 0et borelienne, E(f(X)/Z) = E(f(Y )/Z).

a2) On pose h1(X) = E(g(Z)/X) et h2(Y ) = E(g(Z)/Y ) pour g boreliennepositive donnee. Montrer que h1 = h2, µ-pp, ou µ designe la loi de X.

b) Soient T1, . . . , Tn des variables aleatoires reelles integrables independanteset de meme loi.

On pose T = T1 + . . .+ Tn.b1) Montrer que E(T1/T ) = T

n .b2) Calculer E(T/T1)

Exercice 4.4 Soit (Xn) une suite de variables aleatoires reelles idependantesa valeurs dans IRd. On pose S0 = 0, Sn = X1 + . . . + Xn,Fnσ(Sk, k ≤ n).Montrer que pour toute f : IRd → IR borelienne bornee,

E(f(Sn)/Fn−1) = E(f(Sn)/Sn−1)

et calculer cette quantite.

Exercice ♦ 4.5 a) Soit X a valeurs dans IRm tel que X = ϕ(Y ) + Z ou Y etZ sont independantes. Calculer E(f(X)/Y ).

b) Soient X et Y a valeurs dans IRk et IRp respectivement.

On suppose que (X,Y ) est un vecteur gaussien de moyenne

(MX

MY

)et de

covariance

(RX RXYRXY RY

). On suppose RY inversible.

b1) Determiner A telle que X −AY et Y soient independantes.b2) Montrer que E(f(X)/Y ) =

∫f(x)µY (dx) ou µY est la loi gaussienne

de moyenne E(X/Y ) = MX + RXYR−1Y (Y − MY ) et de covariance RX −

RXYR−1Y RY X .

28

Exercice ♦ 4.6 A) Soient σ > 0, a ∈ IRd et C une matrice d × d definiepositive.

Montrer que

(C + σ2ata)−1 = C−1 − C−1ataC−1

σ−2+ < C−1a, a >.

B) Soient (Zn) une suite de variables aleatoires reelles idependantes. Onsuppose que pour tout n, Zn ∼ N (0, c2n) ou cn > 0. Soit X une variable aleatoirede loi N (0, σ2) (σ > 0), independante de la suite (Zn). On pose Yn = X + Zn,Gn = σ(Y1, . . . , Yn), XnE(X/Gn). On pose Y n = (Y1, . . . , Yn).

B1) Quelle est la loi de (X,Y1, . . . , Yn)?B2) Calculer E(f(X)/Y n)B3) Calculer Xn et E((X − Xn)2)B4) Montrer que Xn → X dans L2 si et seulement si

∑n≥1 c

−2n = +∞

Exercice 4.7 Soit (Bt)t∈IR+ une famille de variables aleatoires

verifiant les conditions suivantes:(i) ∀t1 < t2 < . . . < tn, (Bt1 , . . . , Btn) est un vecteur gaussien centre(ii) ∀(s, t), E(BsBt) = s ∧ t(iii) p.s., t 7→ Bt(ω) est une fonction continue

a) Montrer que (Bt) est a accroissements independants et stationnairesi.e.∀t1 < t2 < . . . < tn, Bt1 , Bt2 − Bt1 , . . . , Btn − Btn−1 sont des variables

independantes et ∀s < t,Bt −Bs a meme loi que Bt−s.

b) On pose Gnt =

n−1∑k=0

(B k+1n t −B k

n t)2.

Montrer qu’il existe une suite np telle que Gnpt → t p.s.

c) Soit t > 0.Montrer que p.s., s 7→ Bs(ω) n’est pas a variationsfinies sur l’intervalle [0, t].

d) Montrer que si on pose Bt = tB 1t

pour t > 0 et B0 = 0, (Bt) satisfait

aux proprietes (i) et (ii).Montre que (iii) est satisfaite sur ]0,+∞[.

On admettra que la propriete (iii) est satisfaite par B sur [0,+∞[.

e) Montrer que les tribus⋂ε>0

σ(Bs, 0 < s < ε) et⋂t>0

σ(Bs, s ≥ t) ne

contiennent que des evenements de probabilite 0 ou 1.

29

f) Montrer que infn>0

Bn = −∞ et supn>0

Bn = +∞ (on pourra montrer que

B′t = −Bt satisfait a (i),(ii) et (iii).g) Montrer que p.s., t 7→ Bt(ω) n’est pas derivable en 0.h) Montrer que p.s., ∀t, s 7→ Bs(ω) s’annule sur ]0, t].

Exercice 4.8 Soit (Mn) une suite de variables aleatoires. On pose Gn =σ(M0, . . . ,Mn).

On suppose que M0 = 0 et ∀n,E(Mn+1/Gn) = Mn.Montrer que

E(M2n) =

n∑k=1

E((Mk −Mk−1)2).

Exercice ♦ 4.9 Soient X et Y deux variables aleatoires independantes, dememe loi centree, de variance 1.

a) On suppose X et Y gaussiennes. Trouver une CNS sur les reels a, b, c, dpour que aX + bY et cX + dY soient independantes.

Montrer en particulier que X + Y et X − Y sont independantes.b) On suppose que X + Y et X − Y sont independantes.b1) Montrer que φ, fonction caracteristique de X est telle que

φ(2t) = φ(t)3φ(−t)

b2) Montrer que φ ne s’annule pas.

b3) Montrer que φ(t) = φ(−t) pour tout t (considerer ρ(t) = φ(t)φ(−t)).

b4) Deduire que X et Y sont gaussiennes.

Exercice ♦ 4.10 Soit (Un)n≥0 une suite de v.a.r. independantes de meme loiN (m,σ2), σ > 0.

Soit a > 0 donne. On considere X0 = 0 et Xn+1 = aXn + Un, n ≥ 0.a) (X1, . . . , Xn) est-il un vecteur gaussien?b) Calculer E(Xn) et Var(Xn).c) c1) On suppose que a < 1. Montrer que (Xn)n≥1 converge en loi.c2) On suppose que a > 1. Montrer que Xn

an−1 converge dans L2 vers unev.a.r. X dont on determinera la loi.

c3) On suppose a = 1. Que peut-on dire de Xn?

30

Exercice ♦ 4.11 Soit (X1, X2, X3) ∼ N3(0, I3). Soient U = X1 − X2 + X3,T1 = X1 +X2, T2 = X2 +X3, T3 = X1 −X3.

a) Quelle est la loi de U?b) Montrer que U est independante de (T1, T2, T3).

Exercice ♦ 4.12 Soit (Xi)i≥1, une suite de variables independantes de loi nor-male centree reduite. On pose X = 1

n

∑ni=1Xi et S2 = 1

n

∑ni=1(Xi −X)2.

a) Quelle est la loi de X?b) Montrer que X et S2 sont independantes.

31

Partie 3 : Autres exercices

32

I

Exercices du Chapitre I.

TD du cours 4M010 Probabilités de base.Sorbonne Université, Faculté de Sciences Pierre et Marie Curie, campus Jussieu

Exercice I.1 Quelle est la probabilité pour que parmi vingt-trois personnes, deux aient lamême date d’anniversaire ?

Exercice I.2 On tire deux cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilité d’obtenir unepaire ? Si l’on n’a pas obtenu une paire, on a le choix entre jeter l’une des deux cartes tiréeset en retirer une parmi les 30 restantes, ou jeter les deux cartes tirées et en retirer deux parmiles 30 restantes. Quelle stratégie donne la plus grande probabilité d’avoir une paire à la fin ?

Exercice I.3 a. Soit (Ω,F ,P) un espace de probabilités. Soit n ≥ 1. Soient A1, . . . , An desévénements. Montrer que

P(A1 ∪ . . . ∪An) =n∑

k=1

(−1)k−1∑

1≤i1<...<ik≤nP (Ai1 ∩ . . . ∩Aik) .

C’est la formule d’inclusion-exclusion.b. En appliquant cette formule à un espace de probabilités et à des événements bien choisis,

calculer le nombre de surjections de 1, . . . , p dans 1, . . . , n pour tous n et p entiers.

Exercice I.4 Imaginons le jeu aléatoire suivante : on dispose de n tiroirs numérotés de 1 àn, et de n cartes numérotées de 1 à n ; dans chaque tiroir le meneur de jeu dépose une et uneseule carte. On suppose qu’il le fait totalement au hasard. On veut répondre à la question :Quelle est la probabilité qu’aucun tiroir ne contienne une carte ayant le même numéro ?

a. Trouver un modèle de probabilité (Ω,F ,P) à l’aide de permutations de l’ensemble n.b. Pour tout j ∈ 1, . . . , n on pose Aj = « le tiroir j renferme la carte numéro j ». Cal-

culer P(Aj).c. Soit J⊂1, . . . , n non-vide. Calculer P(

⋂j∈J Aj).

c. On pose D = « aucun tiroir ne contienne une carte ayant le même numéro ». Quel estle lien entre le complémentaire de D et les Aj ? En utilisant la formule du crible, calculerP(D). Vers quelle constante tend P(D) (qui est une quantité qui dépend de n, bien que celan’apparaisse pas dans la notation) lorsque n tend vers l’infini ?

Exercice I.5 On considère 2n boules numérotées de 1 à 2n. On dispose de n sacs tousidentiques. Un appariement de ces 2n boules consiste à mettre dans chaque sac 2 boulesexactement. Autrement dit, un appariement est une partition de l’ensemble 1, . . . , 2n en nsous-ensembles a, b, c, d, . . . de 2 éléments. On note A l’ensemble des appariements de1, . . . , 2n. On effectue un appariement aléatoire noté R équi-réparti (ou uniforme).

a. Calculer la probabilité que R soit l’appariement 1, 2, 3, 4, ... , 2k − 1, 2k, ...,2n− 1, 2n. En utilisant la formule de Stirling (p! ∼ (p/e)p

√2πp), calculer un équivalent de

cette probabilité.

1

b. Quelle est la probabilité que, dans l’appariement équi-réparti, 1 et 2 soient appariés ?Quelle est la probabilité que, dans l’appariement équi-réparti, 1 soit apparié avec 2 et que 3soit apparié avec 4 ?

c. On sait que v boules sont vertes, r boules sont rouges et 2n− v − r boules sont noires(ici 1 ≤ v ≤ n− 1, 1 ≤ r ≤ n− 1). Quelle est la probabilité que dans l’appariement aléatoireéqui-réparti, les boules soient appariées entre elles ? (attention, il y a une petite conditionarithmétique).

c. Calculer la probabilité pn que dans l’appariement équi-réparti, aucune boule rouge nesoit appariée avec une boule verte. On suppose que v et r dépendent de n est soient tels quev = n/3 + o(n) et r = n/5 + o(n). Calculer la limite de pn lorsque n tend vers l’infini.

Exercice I.6 Imaginons le jeu aléatoire suivante : dans une pièce fermée, on dispose de 2ntiroirs numérotés de 1 à 2n, et de 2n cartes numérotées de 1 à 2n ; dans chaque tiroir le meneurde jeu dépose une et une seule carte. Il y a ensuite 2n joueurs, numérotés de 1 à 2n, chaquejoueur portant un numéro distinct. Le jeu se déroule comme suit : les joueurs sont appelés unpar un ; lorsqu’il est appelé, un joueur entre dans la pièce où se trouvent les tiroirs renfermantles cartes ; il referme la porte (il est seul) ; il doit choisir d’ouvrir exactement n tiroirs etregarder le numéro dans chacun des n tiroirs qu’il aura choisis ; il les referme ensuite pour nelaisser aucune indication au joueur suivant ; il sort et il est mis dans une cellule isolée jusqu’àce que les 2n joueurs soient passés. L’équipe des 2n joueurs a gagné si tous les joueurs ont vuleur propre numéro parmi les n tiroirs qu’ils ont choisis. Si au moins un des 2n joueurs n’apas vu son numéro, alors toute l’équipe a perdu. Les 2n joueurs connaissent le déroulementdu jeu ; ils peuvent s’entendre sur une stratégie mais ils ignorent comment les cartes sontdisposées dans les tiroirs.

a. On suppose que les joueurs n’ont aucune stratégie et chaque joueur ouvre au hasardn tiroirs. Quelles est probabilité que l’équipe gagne ? Est-ce intéressant lorsque n tend versl’infini ?

b. Une équipe décide d’ouvrir les n même tiroirs les plus à gauche en partant du murouest. Est-ce une bonne stratégie ?

c. Trouver un modèle de probabilité (Ω,F ,P) à l’aide de permutations de l’ensemble npour le mélange des tiroirs. Que se passe-t-il si les joueurs décident comme stratégie de suivrele cycle de la permutation contenant leur propre numéro (le joueur 17 ouvre le tiroir 17 et voitla carte 8 ; il ouvre ensuite le tiroir 8 et voit la carte 31 ; il ouvre ensuite le tiroir 31 et voitla carte 25, etc). Calculer la probabilité que l’équipe gagne en suivant cette stratégie. Versquoi tend cette probabilité lorsque n tend vers l’infini. (Pour information, cette stratégie estla meilleure).

Exercice I.7 Que peut-on dire d’un événement qui est indépendant de lui-même ?

Exercice I.8 Soit (Ω,F ) un espace mesurable. Soit ω ∈ Ω. Montrer que la formule

δω(A) =

1 si ω ∈ A0 sinon

définit une mesure de probabilités sur (Ω,F ). On l’appelle la mesure de Dirac en ω.Donner un exemple d’espace de probabilités et d’événement négligeable non vide ainsi que

d’événement presque sûr différent de l’espace tout entier.

2

Exercice I.9 Soit (Ω,F ,P) un espace de probabilités. Montrer la propriété se sigma-sous-additivité qui affirme que pour toute suite (An)n≥1 d’éléments de F , on a

P

⋃n≥1

An

≤∑n≥0

P(An).

Montrer que N = A ∈ F : P(A) = 0 ou P(A) = 1 est une tribu sur Ω.

Exercice I.10 Sur la page de Wikipedia consacrée aux probabilités au poker 1 on trouve untableau qui indique la probabilité que dans cinq cartes tirées au hasard parmi trente-deux,on trouve une configuration plus forte (selon les règles du poker) que telle ou telle figure, enparticulier qu’une paire de rois. Après ce tableau on lit la chose suivante :

Ce tableau est indépendant du nombre de joueurs, mais n’est pas exploité directement ainsi.L’utilisation typique de ce tableau est de répondre à des questions comme : J’ai une paire de roiservie, nous jouons à quatre à 32 cartes, quelle est la probabilité a priori pour que ma main soit lameilleure ? Pour ce type de question, les étapes de calcul sont :

La probabilité pour un joueur d’avoir plus qu’une paire de roi dans ces conditions est : 36,8%.Il aura moins avec une probabilité de 63,2%. Pour que la paire de roi soit la plus forte, il faut quele premier adversaire ait moins ET le second ait moins ET le troisième ait moins. La probabilitéest le produit des trois : 63,2% x 63,2% x 63,2% = 25,2%. On peut donc parier à un contre troisque ma paire de rois n’est pas la meilleure main des quatre.

Que pensez-vous de cet extrait ?

Exercice I.11 Dans un concours de pronostic sportif pour un match entre l’équipe E etl’équipe F (pas de match nul), les participants sont composés à 50% d’étudiants de Jussieu,à 20% d’étudiants de Dauphine, et à 30% d’étudiants d’Orsay. On constate que 60% desétudiants de Jussieu prévoient l’équipe E gagnante, ainsi que 30% des étudiants de Dauphine,et 90% des étudiants d’Orsay. On tire une personne au hasard parmi les participants : ellepronostique sur l’équipe F gagnante. Quelle est la probabilité qu’il s’agit de quelqu’un deJussieu ?

Exercice I.12 Considérons n personnes entrant une par une dans un avion. Il y a exactementn places et chaque personne a une place qui lui est réservée. La première personne choisituniformément une place au hasard parmi les n possibles. Ensuite, chaque personne entrants’assoit à sa place si elle n’est pas déjà occupée ou, si elle est déjà occupée, elle choisituniformément au hasard une place au parmi les places restantes. Quelle est la probabilité quela dernière personne à rentrer s’assoit à sa place ?

Exercice I.13 On rappelle qu’un ensemble est dénombrable s’il peut être mis en bijectionavec une partie finie ou infinie de l’ensemble N des entiers naturels.

a. Montrer qu’un ensemble E est dénombrable si et seulement s’il existe une injection deE dans N.

1. http ://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilité_au_poker#Tableau_de_synthèse

3

b. Montrer qu’un ensemble non vide E est dénombrable si et seulement s’il existe unesurjection de N sur E.

c. Montrer que si E et F sont deux ensembles dénombrables, alors E×F est dénombrable.Plus généralement, montrer que si E1, . . . , En sont dénombrables, alors E1 × . . . × En estdénombrable.

d. Montrer que si I est dénombrable et (Ei)i∈I est une famille d’ensembles dénombrables,alors

⋃i∈I Ei est un ensemble dénombrable.

On retiendra qu’un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables et une réunion dénom-brable d’ensembles dénombrables sont dénombrables.

e. Parmi les ensemble suivants, dire lesquels sont dénombrables : N, Z, Q, R, l’ensembledes suites finies de longueur quelconque de 0 et de 1, l’ensemble des suites infinies de 0 et de1, l’ensemble des suites finies d’entiers naturels, l’ensemble des polynômes à une indéterminéeà coefficients rationnels.

Exercice I.14 Soit Ω un ensemble non vide.a. Soit (Fi)i∈I une famille quelconque de tribus sur Ω. On pose

F =⋂i∈I

Fi.

Montrer que F est une tribu sur Ω.b. Montrer que pour toute partie G ⊂ P(Ω), il existe une tribu qui contient G et qui

est minimale pour l’inclusion parmi toutes les tribus qui ont cette propriété. On appelle cettetribu la tribu engendrée par G et on la note σ(G ).

c. Déterminer la tribu engendré par une partition finie ou dénombrable de Ω, c’est-à-direpar une collection G = A1, A2, . . . de parties deux à deux disjointes et dont la réunion vautΩ.

d. On pose P = ] −∞, a]; a ∈ R. Montrer que la tribu Borélienne de R, notée B(R),est engendrée par P : B(R) = σ(P).

e. On note R =

]a, b[×]c, d[ ; (a, b, c, d) ∈ Q4. Montrer que tout ouvert de R2 est une

union dénombrable d’ensembles de R. Montrer que la tribu Borélienne de R2, notée B(R2),est engendrée par R : B(R2) = σ(R).

Exercice I.15 Soit (Ω,F ) un espace mesurable.a. Montrer qu’on définit une relation d’équivalence sur Ω en posant

(x ∼ y)⇔ (∀A ∈ F , x ∈ A⇒ y ∈ A).

Les classes de cette relation s’appellent les atomes de la tribu F .b. On suppose désormais que Ω est fini ou dénombrable. Montrer que F coïncide avec la

tribu engendrée par la partition de Ω en les atomes de F .

Exercice I.16 Soit Ω un ensemble.a. On note F l’ensemble des parties de Ω qui sont dénombrables ou dont le complémentaire

est dénombrable. Montrer que F est une tribu sur Ω.b. Plus généralement, soit Π = (Πi)i∈I une partition de Ω. On ne fait aucune hypothèse

sur le cardinal de I. On note G l’ensemble des parties de Ω qui sont réunion d’un nombre fini

4

ou dénombrable de blocs de Π, ou dont le complémentaire est réunion d’un nombre fini oudénombrable de blocs de Π. Montrer que G est une tribu sur Ω. Montrer que c’est la tribuengendrée par la partition Π.

c. Montrer que si une tribu sur Ω est engendrée par une partition, alors les blocs de cettepartition sont ses atomes.

d. La tribu borélienne sur R (c’est-à-dire la tribu engendrée par la topologie usuelle de R)est-elle engendrée par une partition ?

Exercice I.17 On rappelle les définitions suivantes. Soit E un ensemble non-vide.

• P ⊂P(E) est un pi-système si(a) E ∈P,(b) pour tous A,B ∈P, on a A ∩B ∈ E .

• L ⊂P(E) est une classe monotone si les propriétés suivantes sont vérifiées.(a) E ∈ L .(b) Pour tous A,B ∈ L tels que A ⊂ B, on a B\A ∈ L (stabilité par différence

propre).(c) Si An ∈ L , n ∈ N sont des ensembles tels que An ⊂ An+1, alors

⋃n∈NAn ∈ L

(stabilité par union dénombrable croissante).

a. Sur l’ensemble E = 1, 2, 3, 4, 5 trouver une classe monotone qui n’est pas une tribu.b. Soit Soit E un ensemble non-vide ; soit R ⊂ P(E), une classe quelconque de sous-

ensembles de E. On note P la classe de sous-ensembles de E constituées de E et de toutesles intersection finies d’ensemble de P. Montrer que P est un pi-système.

c. On considère T l’ensemble des ouverts de de R : la classe d’ensembles T est-elle unetribu ? un pi-système ? une classe monotone ? Mêmes questions avec la classe K des compactsde R.

d. Soit E = 1, 2, 3. Combien y-a-t-il de sous-ensembles de E ? Combien y-a-t-il de classesde sous-ensembles ? Combien y-a-t-il de tribus ?

e. Soit E un ensemble non-vide et L une classe monotone sur E. Montrer que L est unetribu ssi L est stable par intersection finie.

f. Soit (Li, i ∈ I),une famille de classes monotones sur un ensemble E. Montrer que :⋂i∈I

Li = A ⊂ E : ∀i ∈ I , A ∈ Li

est une classe monotone.Ce résultat permet de définir la notion de classe monotone engendrée de la manière sui-

vante : soit R ⊂P(E), une classe quelconque de sous-ensembles de E. On pose

λ(R) =⋂

L cl. monotone,R⊂L

L .

Alors λ(R) est la classe monotone engendrée par R, qui est la plus petite classe monotonecontenant R.

g. On veut montrer le théorème de la classe monotone qui s’énonce comme suit :

5

« Soit E, un ensemble non-vide. Soit L , une classe monotone sur E. Soit P, unpi-système sur E. On suppose que P ⊂ L . Alors σ(P) ⊂ L . »

On décompose sa preuve en répondant aux questions qui suivent.g1. Montrer qu’il suffit de montrer que λ(P) est stable par intersection finie.g2. Pour tout A ⊂ E, on pose LA = B ⊂ E : A ∩ B ∈ λ(P). Montrer l’implication

suivante :(A ∈ λ(P)) =⇒ (LA est une classe monotone) .

g3. Montrer que pour tous A ∈P et tous B ∈ λ(P), on a A ∩B ∈ λ(P).g4. Conclure.

Exercice I.18 Soit (E,E , µ) une espace mesuré. On suppose que µ est une mesure finieet on suppose que pour tout x ∈ E , x ∈ E . On pose En = x ∈ E : µ(x) > 2−n,n ∈ N. Montrer que En est fini. Montrer que l’ensemble des atomes de µ qui est donné parA = x ∈ E : µ(x) > 0 est dénombrable.

6

III

Exercices du Chapitre II.


Exercice II.1 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer qu’on a l’égalité

E[X] =∑n≥1

P(X ≥ n).

Exercice II.2 On dit qu’une variable aléatoire est centrée et réduite si elle admet un momentd’ordre 2, si elle est d’espérance nulle et de variance 1. Montrer que pour toute variablealéatoire X qui admet un moment d’ordre 2 et dont la variance n’est pas nulle, il existe uneunique paire (a, b) de réels telle qu’on ait a > 0 et que la variable aléatoire aX+ b soit centréeet réduite.

Exercice II.3 Soit X une variable aléatoire réelle. Soit M > 0 un réel. Montrer que les deuxpropositions suivantes sont équivalentes.

1. On a l’inégalité |X| ≤M presque sûrement.2. La variable X admet des moments de tous les ordres et, pour tout n ≥ 1, on a l’égalité

E[X2n] ≤M2n.

Exercice II.4 Soient X et Y deux variables aléatoires bornées. On rappelle que cela signifieque les deux fonctions X et Y de Ω dans R sont des fonctions bornées, c’est-à-dire qu’il existeune constante c telle que pour tout ω ∈ Ω, |X(ω)| ≤ c et |Y (ω)| ≤ c. On suppose que pourtout n ≥ 1, on a E[Xn] = E[Y n]. Montrer que pour toute fonction polynomiale p : R → R,on a E[p(X)] = E[p(Y )]. Montrer que ce résultat est encore vrai si on suppose seulement quep est une fonction continue. En déduire que pour toute fonction continue f : R → R, on a∫R f dµX =

∫R f dµY . En déduire que X et Y ont même loi.

L’hypothèse que X et Y sont bornées est essentielle. Il est possible de construire deuxvariables aléatoires qui admettent des moments de tous les ordres, dont les moments sontégaux, mais dont les lois sont différentes.

Exercice II.5 Soient X,Y, Z : (Ω,F ,P) → (R,BR) trois variables aléatoires réelles. Soitg : R → R une fonction mesurable. On suppose que X et Y ont même loi. Est-il vrai queg(X) et g(Y ) ont même loi ? Est-il vrai que X + Z et Y + Z ont même loi ?

Exercice II.6 (Fonction génératrice d’une v.a. entière positive) Soit X : Ω→ N, une v.a. F -mesurable. On pose

∀r ∈ [0, 1], ϕX(r) = E[rX]

=∑n∈N

rnP(X = n) .

La fonction ϕX : [0, 1]→ R+ est appelé la fonction génératrice de X, ou de sa loi.

1

1. Montrer que pour tous r∈ [0, 1[ et tous p∈N, on a∑

n>p n(n−1) . . . (n−p+1)rn−pP(X=n) <∞, que Cela implique que ϕX est infiniment dérivable sur [0, 1[ et que

∀r∈ [0, 1[ ∀p∈N, ϕ(p)X (r) =

∑n≥p

n(n−1) . . . (n−p+ 1)rn−pP(X=n) . (1)

En particulier, montrer que :

∀p∈N, P(X = p) =1

p!ϕ(p)X (0) . (2)

En déduire que la loi d’une variable aléatoire à valeurs dans N est caractérisée par sa fonctiongénératrice. Plus précisément, soit (Ω′,F ′,P′), un espace de probabilité et soit Y :Ω′→N unev.a. F -mesurable. Alors, montrer que :(

∀r∈ [0, 1], E[rX ] = E′[rY ])⇐⇒

(∀p∈N, P(X=p)=P′(Y =p)

).

2. Montrer que X admet un moment d’ordre p si et seulement si ϕX admet une dérivéepième à gauche en 1. Dans ce cas, montrer que

ϕ(p)X (1−) = lim

r→1r<1

E[X(X − 1) . . . (X − p+ 1)

].

2. Montrer que la fonction génératrice d’une v.a. X à valeurs dans N s’étend au disquecomplexe unité fermé

∀z ∈ C tel que |z| ≤ 1, ϕX(z) =∑n∈N

znP(X = n) .

Montrer facilement la propriété suivante. Pour tout p∈ N,

P(X = p) =1

p!ϕ(p)X (0) =

1

2π

∫ 2π

0e−ipuϕX

(eiu)du . (3)

Montrer que la loi deX est caractérisée par les valeurs de ϕX sur le cercle unité z∈C : |z|=1.

Exercice II.7 Soient µ et σ ≥ 0 deux nombres réels. Soit X une variable aléatoire de loinormale centrée réduite. Calculer la loi de σX + µ. En déduire l’espérance et la variance dela loi N (µ, σ2).

Exercice II.8 Soit m ≥ 1 un entier. Donner un exemple d’une variable aléatoire réelle quiadmet un moment d’ordre m mais pas de moment d’ordre m+ 1.

Exercice II.9 Montrer qu’une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite admetdes moments de tous les ordres et les calculer.

Exercice II.10 SoitX une variable aléatoire réelle qui admet des moments de tous les ordres.Pour tout n ≥ 0 on pose mn = E[Xn]. Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle estvraie ou fausse, en justifiant par une démonstration ou un contre-exemple.

a. Pour tout n ≥ 0, mn ≥ 0.

2

b. La suite (mn)n≥0 est monotone.c. Pour tous k, n ≥ 1 tels que k ≤ n, on a m2n ≥ (m2k)

nk

d. Pour tous n ≥ 1 et x1, . . . , xn ∈ R, on an∑

i,j=1

xixjmi+j ≥ 0.

Donner une suite de réels qui n’est pas la suite des moments d’une variable aléatoire réelle.

Exercice II.11 Soit X ∼ N (0, 1). Déterminer la loi de expX. Cette loi s’appelle la loi log-normale, car c’est la loi d’une variable aléatoire dont le logarithme suit une loi normale.

Exercice II.12 a. Soient X et Y deux variables aléatoires telles que X ∼ N (0, 1) et Y ∼E(1).

a. Déterminer la loi de log |X|.b. Déterminer la loi de X4.c. Déterminer la loi de bY c, où pour tout réel x, bxc est la partie entière de x, définie par

bxc = maxn ∈ Z : n ≤ x.d. Déterminer la loi de cos(Y ).

Exercice II.13 Soient p et q deux réels compris entre 0 et 1. Soit (X,Y ) un vecteur aléatoiretel que X suive la loi de Bernoulli de paramètre p et Y la loi de Bernoulli de paramètre q.Montrer qu’on a

max(p+ q − 1, 0)− pq ≤ cov(X,Y ) ≤ min(p, q)− pq

et que les deux bornes de cette égalité peuvent être atteintes.

Exercice II.14 Soit (X,Y ) un vecteur aléatoire sur R2 dont la loi admet la densité

f(X,Y )(x, y) =1

2πe−

x2+y2

2 .

Déterminer les lois de X, Y , X + Y , X2 + Y 2.

Exercice II.15 Soit θ > 0 un réel. Soit (X,Y ) un vecteur aléatoire dont la loi admet ladensité

f(X,Y )(x, y) = θ2e−θ(x+y)1[0,+∞[(x)1[0,+∞[(y).

Déterminer la loi du vecteur aléatoire (X + Y,X − Y ).

Exercice II.16 a. Soient θ > 0 un nombre réel et k, l ≥ 1 deux nombres entiers. Déterminerl’unique réel c tel que la fonction

f(X,Y )(x, y) = cxk−1yl−1e−θ(x+y)1R+×R+(x, y)

soit la densité d’une mesure de probabilités sur R2. Déterminer la loi de X. Cette loi s’appellela loi Gamma de paramètres θ et k : on écrit X ∼ Γ(θ, k). Quelle est cette loi lorsque k = 1 ?

b. Soit (X,Y ) un vecteur aléatoire dont la loi admet la densité décrite à la questionprécédente. Déterminer la loi de X + Y .

3

Exercice II.17 Soit X = (X1, . . . , Xn) un vecteur aléatoire sur Rn dont la loi admet ladensité

fX(x1, . . . , xn) =1

(2π)n2

e−12(x21+...+x

2n).

a. Soit R : Rn → Rn une transformation orthogonale, c’est-à-dire une isométrie linéaire.Déterminer la loi de R(X).

b. Montrer que la loi du vecteur aléatoire Z = (X1,...,Xn)√X2

1+...+X2n

est une mesure de probabilité

sur Rn qui donne une probabilité 1 à la sphère unité, et qui donne la même probabilité à deuxparties qui diffèrent l’une de l’autre par une rotation.

On admettra qu’il existe une unique telle mesure de probabilités. On l’appelle la mesureuniforme sur la sphère unité de Rn.

c. Déterminer la loi de la distance au plan de l’équateur d’un point choisi uniformémentau hasard sur la Terre.

Exercice II.18 Soit X : Ω→ R+, une v.a. F -mesurable positive. Pour tout λ ∈ R+, onremarque que 0≤e−λX≤1. On peut donc définir la fonction suivante

∀λ ∈ R+, LX(λ) = E[e−λX

]=

∫Re−λy µX(dy) .

La fonction LX : R+ → R+ est appelé la transformée de Laplace de X (de sa loi µX seraitplus exact).

1. Montrer que la transformée de Laplace de X est positive, décroissante, continue surR+, analytique sur ]0,∞[ (c’est-à-dire développable en série entière en tout point de ]0,∞[)et LX(0) = 1. De plus pour tous réels λ, a>0, montrer que

P(X ≥ a) ≤ 1− LX(λ)

1− e−aλet P(X ≤ a) ≤ eaλLX(λ) .

2. Montrer que LX admet une dérivée à droite finie en 0+ ssi E[X]<∞. Montrer que dansce cas on a

L′X(0+) = −E[X] .

3. Plus généralement, LX admet une dérivée pième à droite finie en 0+ ssi X admet unmoment d’ordre p. Dans ce cas montrer que L(p)

X (0+) = (−1)pE[Xp].4. On rappelle le principe des zéros isolées : soit U⊂C, un ouvert connexe ; soit f : U → C,

une fonction analytique, c’est-à-dire développable en série entière en chaque point. Montrerque si f n’est pas la fonction nulle, alors l’ensemble z ∈ U : f(z) = 0 est sans pointd’accumulation.

5. on pose U = z ∈ C : Re(z) > 0 et U = z ∈ C : Re(z) ≥ 0. Montrer que LX estcontinue sur U et analytique sur U .

6. Si l’ensembleλ ∈ R+ : LX(λ) = LY (λ)

possède un point d’accumulation λ0>0, alors

X et Y ont même loi. Cela implique notamment LX = LY ⇐⇒ µX = µY . Cette dernièrepropriété montrer que la transformée de Laplace d’une v.a. caractérise sa loi (ou encore quela transformée de Laplace des mesures de probabilités sur R+ est injective).

7. La preuve de l’injectivité de de la transformée de Laplace se montre plus simplement.Supposons qu’il existe λ0 ∈]0,∞[ tel que LX(nλ0) = LY (nλ0). En utilisant l’exercice II.4,montrer que les variables e−λ0X et e−λ0Y ont même loi. En déduire que X et Y ont même loi.

4

IIIIII

Exercices du Chapitre III.


Exercice III.1 Soit (Yn)n∈N, une suite de v.a. de Bernoulli indépendantes de paramètre p.On pose

X = infn ∈ N : Yn = 1

avec la convention que inf ∅ =∞.Montrer que X suit une loi géométrique sur N de paramètre de succès p.

Exercice III.2 Soient Y1, . . . , Yn, des v.a. de Bernoulli indépendantes de paramètre p.a. Montrer que la variable aléatoire X := Y1 + . . .+ Yn est de loi binomiale de paramètres

(n, p).b. Montrer (sans trop de calculs) que l’espérance d’une v.a. binomiale (n, p) est np est que

sa variance vaut np(1− p).

Exercice III.3 SoientX1, . . . , Xn, des v.a. de Poisson de paramètres respectifs θ1, . . . , θn. Onles suppose indépendantes. Montrer que X1 + . . .+Xn suit une v.a. de Poisson de paramètreθ1 + . . .+ θn.

Exercice III.4 Soit (Ω,F ,P), un espace de probabilité. a. Soient X,Y :Ω→R, deux v.a. F -mesurables supposées indépendantes et dont les lois sont diffuses. Montrer que P(X=Y )=0.

b. Plus généralement, soit Xn : Ω→R, n∈N, une suite de v.a. F -mesurables supposéesindépendantes et dont les lois sont diffuses. Montrer que

P(∃m,n∈N : m 6= n et Xm = Xn

)= 0 .

Exercice III.5 (Statistique d’ordre) Soient X1, . . . , Xn, des v.a. réelles F -mesurables. Onnote (Xn

(k))1≤k≤n le réarrangement croissant de ces variables c’est-à-dire : que pour toutω ∈ Ω

Xn(1)(ω) ≤ . . . ≤ Xn

(k)(ω) ≤ Xn(k+1)(ω) ≤ . . . ≤ Xn

(n)(ω)

et Xk(ω) ; 1 ≤ k ≤ n = Xn(k)(ω) ; 1 ≤ k ≤ n .

a. Montrer que Xn(k) : Ω → R est F -mesurable. Cette variable est appelée la k-ième

statistique d’ordre de la suite (Xk)1≤k≤n.b. Soit X1, . . . , Xn, des variables indépendantes de même loi µ qui est supposée diffuse.

On note Sn le groupe des permutations de 1, . . . , n. Montrer qu’il existe σ : Ω → Sn, unepermutation aléatoire F -mesurable de loi uniforme qui est indépendante de (Xn

(k))1≤k≤n ettelle que

P-p.s. Xn(k) = Xσ(k), 1 ≤ k ≤ n .

1

c. Sous les mêmes hypothèses qu’au b), montrer que pour toute fonction mesurable f :Rn → R+, on a

E[f(Xn

(1), . . . , Xn(n))]

= n!

∫x1<...<xnf(x1, . . . , xn) µ(dx1) . . . µ(dxn) .

d. On se place sous les mêmes hypothèses qu’au b). On note F (x) = µ(

]−∞, x]), x∈R, la

fonction de répartition de µ. Montrer que pour tout 1≤k≤n et pour toute fonction mesurableg : R→ R+,

E[g(Xn

(k))]

=

∫Rg(x) k

(n

k

)F (x)k−1

(1−F (x)

)n−kµ(dx) .

Exercice III.6 (Lemme des réveils) Soient X1, . . . , Xn, des variables exponentielles de para-mètres respectifs c1, . . . , cn. On pose Y = min1≤k≤nXk.

a. Montrer que Y est une v.a. exponentielle de paramètre c1 + . . .+ cn.b. Montrer qu’il existe N : Ω → 1, . . . , n, une v.a. F -mesurable indépendante de Y et

telle queP-p.s. XN = Y et XN < min

Xk ; k∈1, . . . n\N

.

Par ailleurs, montrer que

∀k ∈ 1, . . . n, P(N = k) =ck

c1 + . . .+ cn.

Exercice III.7 Déterminer à quelle condition une variable aléatoire réelle est indépendanted’elle-même.

Exercice III.8 Soient E = x1, x2, x3 et F = y1, y2, y3 deux ensembles finis. Pour cha-cune des matrices P = (Pij)i,j=1,2,3 ci-dessous, on considère un couple (X,Y ) de variables aléa-toires à valeurs dans E ×F tel que pour tous i, j ∈ 1, 2, 3, on ait P(X = xi, Y = yj) = Pij .Déterminer si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.

P =

14 0 1

120 0 012 0 1

6

, P =

0 0 0317

1217

217

0 0 0

, P =

14

332

396

215

120

160

1760

17160

17480

P =

14

332

396

215

120

120

14

110

380

.

Exercice III.9 a. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi gaussiennecentrée réduite. Déterminer la loi de X

Y .b. Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi de Cauchy standard. Déterminer la loi de

1Z .

Exercice III.10 Calculer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, l’unede loi de binomiale de paramètres n et p, l’autre de paramètres m et p, où p ∈ [0, 1] et m,nsont deux entiers.

Exercice III.11 Montrer que si la somme de deux variables aléatoires discrètes indépen-dantes a la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1], alors l’une des deux variables aléatoiresest constante.

2

Exercice III.12 Soient X et Y deux variables aléatoires normales centrées réduites indépen-dantes. On pose Z = X−Y . Calculer la matrice de covariance du vecteur (X,Y, Z) et vérifierque Var(X + Y + Z) = Var(X) + Var(Y ) + Var(Z).

Exercice III.13 Pour tout réel t > 0, on pose

Γ(t) =

∫ +∞

0xt−1e−x dx.

Soient θ et t deux réels strictement positifs. On appelle loi gamma de paramètres θ et t laloi de densité

θt

Γ(t)xt−1e−θx1R+(x).

a. Vérifier que la fonction Γ(t) est bien définie sur R∗+. Vérifier également que la densitédonnée ci-dessus est bien d’intégrale égale à 1.

b. Calculer la fonction caractéristique de la loi Γ(θ, t).c. Soient t1, . . . , tn des réels strictement positifs. Soient X1, . . . , Xn des variables aléatoires

indépendantes de lois respectives Γ(θ, t1), . . . ,Γ(θ, tn). Calculer la loi de la somme X1 + . . .+Xn.

Exercice III.14 Pour toute variable aléatoire réelle X qui admet un moment d’ordre 3, ondéfinit k3(X) = E[X3]− 3E[X2]E[X] + 2E[X]3.

Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires réelles indépendantes qui admettentun moment d’ordre 3, alors k3(X + Y ) = k3(X) + k3(Y ).

Exercice III.15 Soit (Ω,F ,P) un espace de probabilités. Soient U, V : (Ω,F ,P)→ R deuxvariables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur l’intervalle [−1, 1].

a. Calculer la fonction caractéristique de la variable aléatoire U + V .b. Soit X : (Ω,F ,P) → R une variable aléatoire. On suppose que X,U, V sont indépen-

dantes.Montrer que la loi de X +U +V admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue.

Exercice III.16 Soit Ω un ensemble. Soit (An)n≥1 une suite de parties de Ω. Déterminer lesrelations d’inclusion qui existent toujours entre les événements suivants de Ω :⋃

M≥1

⋂N≥M

⋃n≥N

An,⋂M≥1

⋃N≥M

⋂n≥N

An,⋃N≥1

⋂n≥N

An,⋂N≥1

⋃n≥N

An,⋃n≥1

An,⋂n≥1

An, Ω, ∅.

Montrer par un exemple que six de ces événements peuvent être deux à deux distincts.

Exercice III.17 Soit Ω un ensemble. Soit (Xn)n≥1 une suite de v.a. à valeurs réelles définiessur Ω.

3

a. Décrire en français et sans utiliser les expressions “quel que soit” ni “il existe” les partiessuivantes de Ω :

A =⋃a∈R

⋃b∈R

⋂n≥1ω ∈ Ω : a ≤ Xn(ω) ≤ b,

B =⋃N≥1

⋂n≥N

⋂m≥nω ∈ Ω : Xn(ω)−Xm(ω) ≥ 0,

C =⋃`∈R+

⋂k≥1

⋃N≥1

⋂n≥N

ω ∈ Ω : |Xn(ω)− `| ≤ 1

k

,

D =⋃k≥1

⋂N≥1

⋃n≥N

⋃m≥N

ω ∈ Ω : |Xn(ω)−Xm(ω)| > 1

k

,

L =

⋂ε>0

⋂p≥1

⋃n≥pω ∈ Ω : Xn(ω) ≥ 2− ε

∩⋂ε>0

⋃p≥1

⋂n≥pω ∈ Ω : Xn(ω) ≤ 4 + ε

.

b. Faire l’opération de traduction inverse pour les événements suivants de Ω :

L’ensemble des ω ∈ Ω tels que la suite (Xn(ω))n≥1 ...E ... soit à termes positifs,F ... ne soit pas bornée supérieurement,G ... tende vers +∞,H ... ne converge pas vers un réel positif,I ... soit o(log n),J ... ne soit ni croissante ni décroissante,K ... ait une limite inférieure rationnelle.

Exercice III.18 Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes. On supposeque la série

∑n≥1Xn converge presque sûrement. Montrer que pour tout réel c > 0, on a∑

n≥1P(|Xn| > c) < +∞.

Exercice III.19 a. Soit (an)n≥1 une suite de nombre réels. Montrer que lim sup an=∞ si etseulement si pour tout k≥1 et tout n0≥1 il existe n≥n0 tel que an≥k.

b. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires positives indépendantes et toutes de mêmeloi. On suppose E[X1]=∞. Montrer que

P

(lim sup

Xn

n=∞

)= 1.

4

Exercices du Chapitre IV.


Exercice .1 Soit (θn)n≥1 une suite de réels strictement positifs telle que limn→+∞ θn = +∞.Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n ≥ 1, Xn

suive la loi exponentielle de paramètre θn.a. Étudier la convergence en probabilités de la suite (Xn)n≥1. Quelle hypothèse n’a-t-on

pas utilisée ?b. Reprendre la question précédente avec la convergence dans L1.c. Étudier, dans le cas où θn = n puis dans le cas où θn = log n, la convergence presque

sûre de la suite (Xn)n≥1.

Exercice .2 Soit (Ω,F ,P) un espace de probabilités. Soit (An)n≥1 une suite d’événementssur cet espace de probabilités. Soit p ≥ 1 un réel. Déterminer pour chacune des convergencessuivantes à quelle condition sur la suite (An)n≥1 elle a lieu.

a. La suite (1An)n≥1 converge en probabilité vers 0.b. La suite (1An)n≥1 converge en probabilité vers 1A.b. La suite (1An)n≥1 converge dans Lp vers 0.d. La suite (1An)n≥1 converge dans Lp vers 1A.c. La suite (1An)n≥1 converge presque sûrement vers 0.f. La suite (1An)n≥1 converge presque sûrement vers 1A.

Exercice .3 Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires qui toutes suivent la loi exponen-tielle de paramètre 1.

b. Montrer que P

(lim sup

Xn

log n> 1

)= 0.

On suppose désormais X1, X2, . . . indépendantes.

c. Montrer que P

(lim sup

Xn

log n< 1

)= 0. Montrer que ce résultat peut être faux sans

l’hypothèse d’indépendance.d. Montrer que lim sup Xn

logn est presque sûrement égale à une constante que l’on détermi-nera.

e. Déterminer une suite (an)n≥1 de réels qui converge vers 0 et telle qu’on ait Xn < aninfiniment souvent avec probabilité 1, c’est-à-dire P(Xn < an infiniment souvent) = 1. Endéduire ce que vaut lim inf Xn.

f. Déterminer une suite (bn)n≥1 de réels telle qu’on ait lim inf(bnXn) = 1 presque sûrement.

Exercice .4 a. Construire une suite de réels (xn)n≥1 telle que pour tout n ≥ 1, on ait xn = 0ou xn = 1, et telle que la suite (mn)n≥1 définie par

mn =x1 + . . .+ xn

n

ne soit pas convergente.

1

b. Construire une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1 telle que pour tout n ≥ 1, lavariable Xn suive la loi de Bernoulli de paramètre 1

2 et telle qu’on ait

P

(la suite

(X1 + . . .+Xn

n

)n≥1

est convergente

)= 0.

Exercice .5 Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires. Soit p ≥ 1. Soit X une variablealéatoire telle que E[|X|p] < +∞. On suppose que la série suivante converge :∑

n≥1E[|Xn −X|p] < +∞.

On parle parfois de convergence rapide dans Lp.Montrer que la suite (Xn)n≥1 converge dans Lp vers X. Montrer que la suite (Xn)n≥1

converge presque sûrement vers X.

Exercice .6 a. En écrivant e−t2

2 = te−t2

2

t , montrer que pour tout x > 0, on a∫ +∞

xe−

t2

2 dt ≤ 1

xe−

x2

2 .

b. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi N (0, 1). Soit x unréel strictement positif. On pose

T = minn ≥ 1 : Xn ≥ x.

Déterminer la loi de T et donner une borne inférieure explicite pour l’espérance de T . Quelest l’ordre de grandeur de cette borne lorsque x = 5 ? Lorsque x = 10 ? On pourra utiliserl’égalité approchée log 10 ' 2, 3.

c. Reprendre la question précédente lorsque les variables Xn suivent la loi de Cauchystandard.

Exercice .7 (Cet exercice est une reformulation de l’exercice 11 de la feuille précédente.)Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes telle que pour tout n ≥ 1,

Xn suive la loi exponentielle de paramètre log n.a. Montrer qu’avec probabilité 1, la suite (Xn)n≥1 prend une infinité de fois des valeurs

supérieures à 1.b. Montrer que pour tout ε > 0, avec probabilité 1, la suite (Xn)n≥1 ne prend qu’un

nombre fini de fois des valeurs supérieures à 1 + ε.c. Montrer que pour tout ε > 0, avec probabilité 1, la suite (Xn)n≥1 prend une infinité de

fois des valeurs inférieures à ε.

Exercice .8 Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires définies sur un même espace deprobabilité (Ω,F ,P). On fait les hypothèses suivantes :

(H1) la suite (Xn)n≥1 converge en probabilité vers une variable aléatoire X,(H2) il existe un réel M > 0 tel que pour tout n ≥ 1 on ait E[X2

n] ≤M .a. Montrer, en utilisant le lemme de Fatou, que E[X2] ≤M .

2

b. Montrer que la suite (Xn)n≥1 converge dans L1 vers X.c. Montrer par un exemple que les deux hypothèses peuvent être vérifiées sans qu’il existe unevariable aléatoire positive et intégrable Y telle que pour tout n ≥ 1, |Xn| ≤ Y .

Autrement dit, le résultat ci-dessus assure parfois la convergence dans L1 dans des condi-tions où le théorème de convergence dominée est inopérant.

Exercice .9 Soit c∈R et soit µ :B(R)→ [0, 1], une mesure de probabilité sur R. On supposeque

µ(

]c,∞[)

= et ∀ ε>0, µ([c−ε, c]

)> 0 .

Soient Xn ∈LR(Ω,F ), n∈N, une suite de v.a. que l’on suppose indépendantes et de mêmeloi µ. On pose

∀n∈N, Mn = max1≤k≤n

Xk .

Montrer que P-p.s. limn→∞Mn=c.

Exercice .10 On choisit (Ω,F ,P

):=([0, 1],B([0, 1], `

).

On pose I0 = [0, 1] et pour tout entier n tel que

1+2+. . .+2p−1=2p−1<n≤2p+1−1=1+2+. . .+2p on pose In =[2−pn−1 , 2−p(n+1)−1] .

On vérifie que les In sont des sous-intervalles dyadiques de [0, 1] et que la suite des In lesparcourt tous par ordre croissant pour la longueur et, à longueur égale, de gauche à droite.On pose Xn = 1In . Etudier la convergence en probabilité de la suite (Xn)n≥0 puis étudier saconvergence presque sûre. Que concluez-vous ?

Exercice .11 Trouver des exemples de suites de v.a. qui- convergent dans L1 pas presque sûrement ; - qui convergent presque sûrement mais pas

dans L1 ; - qui convergent en probabilité mais pas dans L1.

Exercice .12 On introduit une nouvelle notion permettant d’étudier les liens entre les conver-gences presque sûre et L1. Soient Xi, i∈I, une famille de v.a. réelles F -mesurable. La famillede v.a. (Xi)i∈I est uniformément intégrable si

lima→∞

supi∈I

E[|Xi|1|Xi|≥a

]= 0 . (1)

1. Montrer que l’uniforme intégralité des variables (Xi)i∈I ne concerne en fait que les loisµXi , i ∈ I.

2. Soit (Xi)i∈I , une famille de v.a. réelles intégrables.2.a. Si I = J1∪J2, si (Xi)i∈J1 est uniformément intégrable et si (Xi)i∈J2 est uniformément

intégrable, montrer que (Xi)i∈I est uniformément intégrable.2.b. Si I est fini, montrer alors que la famille de variables (Xi)i∈I est uniformément inté-

grable.2.c. Soit Z, une v.a. réelle intégrable telle que pour tout i ∈ I, on ait presque sûrement

|Xi| ≤ Z. Alors, la famille de variables (Xi)i∈I est uniformément intégrable.2.d. Soit g : R+ → R+, une application mesurable telle que limx→∞ g(x)/x = ∞. On

suppose que supi∈I E[g(|Xi|)

]< ∞. Alors, la famille de variables (Xi)i∈I est uniformément

3

intégrable. Cela montre le fait suivant : soit 1<p<∞ et soit (Xn)n≥0, une suite bornée ennorme Lp, c’est-à-dire que supn≥0E[|Xn|p] < ∞. Alors, la suite (Xn)n≥0 est uniformémentintégrable.

Exercice .13 Soit (Xn)n≥0, une suite de v.a. réelles F -mesurables. Soit X, une v.a. réelleF -mesurable. Le but de l’exercice est de montrer qu’il y a équivalence entre les deux assertionssuivantes

(a) La suite (Xn)n∈N est uniformément intégrable et limnXn=X en probabilité.(b) limn‖Xn−X‖1=0.1. On montre d’abord que (a) =⇒ (b) en plusieurs étapes. On suppose donc (a).1.a. on pose

w(a) = max(E[ |X|1|X|>a] , sup

n∈NE[ |Xn|1|Xn|>a]

),

Montrer que lim∞w(a) = 0.1.b. Montrer pour tous x, y∈R et tous a≥ε>0, que

|x−y| ≤ ε+ 2a1|x−y|>ε + |x|1|x|>a + |y|1|y|>a

1.c. En déduire (b).2. Montrons ensuite que (b) =⇒ (a) en plusieurs étapes. On suppose (b).2.a. Montrer que on pose c = supn≥0E

[|Xn|

]<∞.

2.b. Pour tous réels a, b > 0, et pour tout n, montrer que

|Xn|1|Xn|>a ≤ |Xn−X|+ ba|Xn|+ |X|1|X|>b.

2.c. En déduire

E[|Xn|1|Xn|>a

]≤ E

[|Xn−X|

]+

c√a

+ E[|X|1|X|>√a

].

2.d. On pose φ(a) = supn≥0E[|Xn|1|Xn|>a

]. Montrer que pour tout p∈N,

φ(a) ≤∑

0≤k≤pE[|Xk|1|Xk|>a

]+ sup

n≥pE[|Xn−X|

]+

c√a

+ E[|X|1|X|>√a

]2.e. Montrer (a).

Exercice .14 Soit (Xn)n≥1, une suite de v.a. réelles F -mesurables. On les suppose indépen-dantes, de même loi et intégrables. On pose Sn=X1 + . . .+Xn

1. Montrer que pour tout 1≤k≤n, (|Xk|, |Sn|) a même loi que (|X1|, |Sn|).2. Montrer que E

[n−1|Sn|1n−1|Sn|>a

]≤ E

[|X1|1n−1|Sn|>a

].

3. En utilisant la loi forte des grands nombres, montrer que si a > E[X1],E[|X1|1n−1|Sn|>a

]→

0 lorsque n→∞.4. Montrer que la suite (n−1Sn)n≥1 est uniformément intégrable. En déduire queE

[|n−1Sn−

E[X1]|]→ 0 lorsque n→∞.

4

Exercices du Chapitre V.


Exercice .1 Soient Xn : Ω → R, n ≥ 1, une suite de v.a. indépendantes de même loiGaussienne standard N (0, 1). On pose Mn = max1≤k≤nXk.

a. Pour tout x∈R+, on pose e(x) =∫∞x (2π)−1/2e−y

2/2dy. En effectuant des intégrationspar parties, montrer que lorsque x→∞, on a e(x) = (2π)−1/2x−1e−x

2/2(1 +O(x−2)

).

b. Montrer qu’il existe une suite cn qui croît vers l’infini telle que (2π)−1/2(cn)−1e−(cn)2/2 =

1/n pour tout n. Trouver un équivalent simple de cn.c. On pose Zn = cn(Mn − cn). Montrer que les variables Zn converge en loi : on précisera

la limite.

Exercice .2 a. Construire une suite de variables aléatoires intégrables (Xn)n≥1 et une va-riable aléatoire intégrable X telles qu’on ait

Xnloi−→

n→∞X et lim

n→∞E[Xn] 6= E[X].

b. Montrer que si une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1 est telle qu’il existe une constanteC telle qu’on ait |Xn| ≤ C presque sûrement pour tout n ≥ 1, et si la suite (Xn)n≥1 convergeen loi vers X, alors |X| ≤ C presque sûrement et limn→∞E[Xn] = E[X].

Exercice .3 Soit X une variable aléatoire réelle. Déterminer à quelle condition sur X lafonction caractéristique de X ne prend que des valeurs réelles.

Exercice .4 Soit φ : R→ C la fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Montrer queles fonctions

t 7→ φ(t), t 7→ |φ(t)|2, t 7→ Re (φ(t))

sont des fonctions caractéristiques. La fonction t 7→ Im (φ(t)) est-elle une fonction caractéris-tique ?

Exercice .5 Soient X et Y deux variables aléatoires qui admettent chacune un momentd’ordre 2.

a. On suppose que pour tout t réel, µX+Y (t) = µX(t)µY (t). Montrer que la covariance deX et Y est nulle.

b. Préciser les liens logiques entre les assertions suivantes :(i) X et Y sont indépendantes,(ii) µX+Y = µX µY ,(iii) cov(X,Y ) = 0.

Exercice .6 Montrer que si une suite de variables aléatoires converge en loi et si chaqueterme de la suite a une loi exponentielle, alors la loi limite est exponentielle ou la masse deDirac en 0.

1

Exercice .7 Montrer que si une suite de variables aléatoires converge en loi et si chaque termede la suite a une loi constante ou gaussienne, alors la loi limite est constante ou gaussienne.

Exercice .8 a. Soit Z une variable aléatoire qui admet un moment d’ordre 2. Soit a > 0 unréel. Montrer que

E[|Z| −min(|Z|, a)] ≤ E[Z2]

a.

b. Soit (Xn)n≥1 une suite de v.a.i.i.d. qui admettent un moment d’ordre 2 et qui sontcentrées. Montrer que

E

[∣∣∣∣X1 + . . .+Xn√n

∣∣∣∣] −→n→∞√

2

π.

En déduire la limite lorsque n tend vers l’infini de

E

[X1 + . . .+Xn√

n1X1+...+Xn√

n≥0

].

c. Appliquer ce résultat à une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi égale à celle de Y −1,où Y a la loi de Poisson de paramètre 1.

Exercice .9 Un écrivain qui commet en moyenne une faute d’orthographe toutes les 10 pagesvient d’écrire un roman de 400 pages. Quelle est la probabilité qu’il ait commis plus de 50fautes ?

Exercice .10 La somme des résultats de 10000 lancers d’un même dé est 35487. Pensez-vousque ce dé soit truqué ?

Exercice .11 Calculer limn→∞

e−nn∑k=0

nk

k!.

Exercice .12 a. Durant l’année qui vient de s’écouler, 10000 enfants sont nés dans une cer-taine ville. Parmi ces enfants, 5242 sont des filles et 4758 sont des garçons. Vous paraît-ilraisonnable de soutenir l’hypothèse qu’un enfant qui naît dans cette ville a exactement autantde chances d’être un garçon que d’être une fille ?

b. Durant l’année qui vient de s’écouler, dans un pays donné, le quotient du nombre defilles qui sont nées par le nombre de garçons qui sont nés est de 1, 2 (on dit parfois que le sexratio de ce pays est de 120%). Vous paraît-il raisonnable de soutenir l’hypothèse qu’un enfantqui naît dans ce pays a exactement autant de chances d’être un garçon que d’être une fille ?

Exercice .13 On procède à une élection dans une ville de 100 000 habitants. Les habitantsont le choix entre A et B. Lors du dépouillement, on commet des erreurs : cela arrive pourchaque bulletin, indépendamment des autres, avec une probabilité de 1

1000 . Combien de voixdoit-on avoir compté au minimum pour A à l’issue du dépouillement pour pouvoir affirmeravec moins de 1% de chances de se tromper que A l’a emporté ?

Exercice .14 Soient f et fn : R→ R+, n∈N, des fonctions mesurable telles que∫R fn(x)dx =

1 pour tout n∈N. On suppose que limn→∞∫R |fn(x)− f(x)|dx = 0.

a. Montrer que∫R f(x)dx = 1.

b. Soient X et Xn : Ω→ R des v.a. F -mesurables. On suppose que Xn admet la densitéfn et que X admet la densité f . Montrer que Xn ⇒ X.

2

Exercice .15 Soient (Un)n∈N une suite de v.a. indépendantes de loi uniforme sur [0, 1]. Pourtout entier n≥ 1, on rappelle que (U

(n)k )1≤k≤n est la statistique d’ordre de (Uk)1≤k≤n, c’est-

à-dire que

U(n)1 ≤ . . . ≤ U (n)

k ≤ U (n)k+1 ≤ . . . ≤ U

(n)n et Uk; 1 ≤ k ≤ n = U (n)

k ; 1 ≤ k ≤ n .

a. Pour tout n on note Vn = U(2n+1)n+1 . Montrer que Vn → 1/2 en probabilité.

b. Calculer la densité de√n(Vn − 1/2).

c. À l’aide de l’exercice précédent montrer que√v(Vn−1/2)⇒ N (0, a) où on précisera a.

Exercice .16 Pour toutes mesures µ, ν ∈M1(Z), on rappelle que dvar(µ, ν) =∑

k∈Z |µ(k)−ν(k)| est la distance en variation de µ et ν. on rappelle que µ ∗ ν est la convolée de µ avec ν.Il est clair que µ ∗ ν ∈M1(Z) : précisément, on a ∀k ∈ Z, µ∗ν (k) =

∑j∈N µ(k−j)ν(j). On

rappelle que si X et Y sont deux v.a. à valeurs dans Z, F -mesurables et indépendantes, alorsla loi de X + Y est µX ∗ µY .

a. Soient µ1, µ2, ν1, ν2∈M1(Z). Alors montrer que

dvar(µ1∗µ2 , ν1∗ν2) ≤ dvar(µ1, ν1) + dvar(µ2, ν2) .

b. On pose

∀p∈ [0, 1], µp = pδ1 + (1− p)δ0 et ∀θ∈]0,∞[ νθ =∑k∈N

1

k!e−θθkδk .

Autrement dit µp est la loi de Bernoulli de paramètre p et νθ la loi de Poisson de paramètreθ. Pour tout p ∈ ]0, 1], montrer que dvar(µp, νp)≤ 2p2. Pour tous θ, θ′ ∈ ]0,∞[ , montrer quedvar(νθ, νθ′) ≤ 2|θ − θ′|.

c. Pour tout n ≥ 1, on se donne une suite (Yn,k)1≤k≤n de variables indépendantes deBernoulli de paramètres respectifs pn,k, c’est-à-dire P(Yn,k = 1) = pn,k. On pose

Xn =∑

1≤k≤nYn,k et θn =

∑1≤k≤n

pn,k .

Alors pour tout θ>0, montrer que

∑k∈N

∣∣∣∣P(Xn = k)− e−θ θk

k!

∣∣∣∣ ≤ 2|θ − θn|+ 2∑

1≤k≤np2n,k .

d. On reprend les hypothèses de la question précédente. Si limn θn = θ et si limn max1≤k≤n pn,k =0, alors montrer que limn

∑1≤k≤n p

2n,k = 0, et

limn→∞

∑k∈N

∣∣∣∣P(Xn = k)− e−θ θk

k!

∣∣∣∣ = 0 .

3

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Probabilit es de Base - lpsm.paris · Calculez la proba-bilit e pour que deux d’entre elles au moins aient la m^eme date d’anniversaire. Exercice ~1.4 On suppose que dans une