Problématiques de provisionnement en assurance …...1. Présentation et traitement des données : Création d’une base de données 2. Provisionnement attritionnel 3. Etude sur

1

Problématiques de provisionnement en assurance automobile : quelle méthodologie appliquer sur un périmètre ayant une volumétrie limitée de données ? Mémoire présenté dans le cadre de l’obtention du diplôme d’actuaire

Daphné Le Conte des Floris Encadrants : Jérôme Vignancour, Emilie Beauchet, Christophe Gallois

Objet du mémoire

Contexte

2 2

Définition des « Assurances Affinitaires »

3 axes de positionnement

• Garanties innovantes (smartphones,

produits chiens/chats, voitures de

luxe)

• Segmentation de clientèle spécifique

(associations, comités d’entreprise)

• Canal de distribution nouveau

(digital)

Puissant relai de croissance

• Marché évalué en 2014 à 1Md€ de

volume de primes par le groupe de

travail sur l'assurance affinitaire

formé par la FFSA

• Taux de pénétration en 2014 =

81%.

Objet du mémoire

Contexte

3

Faible historique en marque MGARD (depuis 2008)

Sinistres graves

Périmètre double : marque Axa et une marque blanche, la MGARD

3

Définition des « Assurances Affinitaires »

1. Présentation et traitement des données : Segmentation des données par

marque

2. Provisionnement attritionnel

3. Etude sur les sinistres graves

Démarche de travail

Base de données « As

if »

Sinistres attritionnels Sinistres graves

AXA MGARD

4

Sinistres en assurance

automobile

Détermination du seuil

de sinistres graves

Plan

1. Présentation et traitement des données

1. Création d’une base de données pour notre étude

2. Segmentation des données par marque

3. Etude du seuil de sinistres graves


1. Provisionnement déterministe sur le périmètre Axa

2. Apports du provisionnement stochastique

3. Méthodes de ré-échantillonnage sur le périmètre de la MGARD


1. Analyse exploratoire des données

2. Utilisation de la théorie des valeurs extrêmes

5

Plan












6

1. Présentation et traitement des données : Création d’une base de données



Présentation de la base de données

10 années d’historique en marque Axa

5 années d’historique en marque MGARD

Séparation entre sinistres matériels et corporels

7




La construction d’une base de données « as-if »

8

Évolution des indices d’inflation en réparation automobile

(base 100 en 2004)

0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00%

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

Équivalent horaire du prix des ingrédients de peinture deréparationTaux horaire moyen pondéré de main-d’oeuvre carrosserie

Indice SRA du prix des pièces de rechange

Part de chaque composante dans le prix total de la réparation

automobile




La construction d’une base de données « as-if »

Variation annuelle du salaire horaire de base

des ouvriers en France métropolitaine

9

Inflation annuelle des salaires mensuels de

base - Activités pour la santé humaine

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Périmètre matériel Périmètre corporel




Construction d’indices d’inflation

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2004 4.6% 4.7%

2005 4.8% 4.4%

2006 4.9% 4.8%

2007 5.6% 3.0%

2008 4.8% 4.4%

2009 4.5% 4.3%

2010 3.6% 2.9%

2011 4.2% 2.6%

2012 3.3% 3.7%

2013 2.2% 2.7%

1. Présentation et traitement des données : Segmentation des données par

marque



Pourquoi provisionner séparément les marques Axa et MGARD ?

11

1. Présentation et traitement des données : Etude du seuil de sinistres graves



Le « facteur de queue »

• Outil de la théorie des valeurs extrême

• Permet d’évaluer le comportement d’une distribution dans ses extrêmes

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Le Hill Plot

Cas d’application : permet d’estimer le seuil u, dans le cas d’une distribution particulière,

la distribution de Fréchet, où > 0.

Estimateur : En notant :

– Xi le montant en euros du sinistre numéro i ;

– k le nombre d’observations supérieures au seuil u.

On a alors :

𝐻𝑖𝑙𝑙 𝑢 = 1

𝑘× ln (

𝑋𝑖

𝑋𝑘)

𝑖<𝑘

Choix du seuil u : dans la zone de stabilité de 𝐻𝑖𝑙𝑙

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Le Hill Plot

Cas d’application : permet d’estimer , dans le cas d’une distribution particulière, la

distribution de Fréchet, où > 0.

14




Le Hill Plot

15

La « Mean Excess Function », ou « Fonction moyenne des excès »

Définition: Elle correspond à l'espérance du montant de dépassement de seuil : 𝐸[𝑋 −𝑢|𝑋 > 𝑢] en notant 𝑋 le montant de sinistre et 𝑢 le seuil

Estimateur : En notant :

– Xi le montant en euros du sinistre numéro i ;

– k le nombre d’observations supérieures au seuil u.

On a alors :

𝑒𝑛 𝑢 = (𝑋𝑖 − 𝑢)+𝑛

𝑖=1

1𝑋𝑖>𝑢𝑛𝑖=1

où (𝑋𝑖 − 𝑢)+ = (𝑋𝑖 − 𝑢) 1𝑋𝑖>𝑢

Choix du seuil u : On trace le graphe des (u, 𝑒𝑛 𝑢 ), et l’on choisit u tel que , 𝑒𝑛 𝑢 )

devienne linéaire.




16




La « Mean Excess Function », ou « Fonction moyenne des excès »

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En résumé nous avons :

• Créé une base « as-if »

• Segmenté nos données selon leurs spécificités

• Séparé les sinistres graves et attritionnels par un seuil de sinistres

graves grâce à l’indice de queue




18















19




Marque Axa Marque MGARD

Univers déterministe

Chain-Ladder

London Chain

Univers stochastique

Modèles linéaires généralisés (GLM)

Bootstrap

Univers stochastique

Modèle de Mack

Calcul de l’erreur standard de prédiction

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Périmètre méthodologique


2. Provisionnement attritionnel : périmètre Axa


Hypothèse fondamentale du modèle:

Il existe une relation de proportionnalité entre les montants cumulés d’années

de développement consécutives, et le coefficient de proportionnalité entre ces années de

développement est le même pour toutes les années de survenance.

∀ 0 ≤ 𝑖, 𝑘 ≤ 𝑛 − 1, 𝐶𝑖,𝑘+1 = 𝑓𝑘 × 𝐶𝑖,𝑘

∀ 𝑘 ≥ 𝑛 − 𝑖 + 1, 𝑓𝑘 représente le coefficient de proportionnalité et est estimé par :

𝑓𝑘 ≔

𝐶𝑗,𝑘+1𝑛−𝑘𝑗=0

𝐶𝑗,𝑘𝑛−𝑘𝑗=0

21

La méthode Chain-Ladder




La méthode Chain-Ladder : validation du modèle

Linéarité :


22




La méthode Chain-Ladder : validation du modèle

Unicité du coefficient de proportionnalité

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La méthode Chain-Ladder : Résultats

Résultats de la méthode Chain-Ladder en €

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Apports de la méthode London Chain

Extension de la méthode Chain-Ladder au cas où les points 𝐶𝑖,𝑗; 𝐶𝑖,𝑗+1 𝑖=0,…𝑛−1 ;𝑗=0,𝑛−𝑖

sont alignés sur une droite ne passant pas par l’origine. La relation fondamentale devient :∀ 0 ≤ 𝑖, 𝑘 ≤ 𝑛 − 1, 𝐶𝑖,𝑘+1 = 𝑓𝑘 × 𝐶𝑖,𝑘 + 𝑎𝑘

Résultats de la méthode London-Chain et comparaison avec les réserves Chain-Ladder

Matériel

Corporel

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• Une transposition du modèle Chain-Ladder à l’univers stochastique

• Permet d’estimer les erreurs moyennes quadratiques de prédiction : •

𝑀𝑆𝐸𝑃 𝐶𝑖,𝑛

𝐹𝑛 = 𝐸 (𝐶 𝑖,𝑛−𝐶𝑖,𝑛)²|𝐹𝑛 = 𝑉𝑎𝑟 𝐶𝑖,𝑛 𝐹𝑛 + 𝐶 𝑖,𝑛 − 𝐸 𝐶𝑖,𝑛 𝐹𝑛2, ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1

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Modèle de Mack


Réserve -3 873 -1 623

Intervalle de confiance Normal

Borne inférieure -4 950 -2 499

Borne supérieure -2 796 -747

• Résidus standardisés


2. Provisionnement attritionnel : périmètre MGARD


Les Modèles Linéaires Généralisés

Un modèle GLM = une distribution (Poisson sur-dispersée, Gamma, Tweedie…)

+ une fonction de lien (log, identité…)

g(E(Y)) = X avec g la fonction de lien, X la composante explicative

et Y la composante à expliquer.

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Le Bootstrap

1. Application d’un modèle GLM aux variables à expliquer (dans notre étude, il s’agira du triangle d’incréments de charges).

2. Calcul des résidus de Pearson.

3. Tirage avec remise dans le triangle des résidus de Pearson, constituant un nouveau triangle.

4. Calcul de la charge finale prévisible en reconstituant un triangle cumulé grâce au triangle de résidus de Pearson obtenu à l’étape précédente et de la réserve sur ce nouveau triangle.

5. On recommence à l’étape 3. un grand nombre de fois (dans notre cas 10 000) afin d’obtenir une distribution empirique de la charge finale prévisible et de la réserve.

28

29

Le Bootstrap : Choix du modèle




• Utilisation du critère de la quasi-vraisemblance étendue


Distribution \ Lien Canonique Identité Log Canonique Identité Log

Poisson 2 783 4 145 2 783 376 575 376

Poisson sur-dispersé 285 21 285 199 18 199

Inverse-Gaussienne 120 114 104 17 16 12

Gamma 192 11 124 129 8 81

30

Le Bootstrap : résultats





Réserve 2 685 1 342

Erreur standard de prédiction 166 104













• Appliqué les modèles Chain-Ladder, London Chain et de Mack sur le

périmètre Axa

• Appliqué la méthode du Bootstrap à des résidus de Pearson d’un

modèle GLM sur le périmètre MGARD.

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32



3. Etude sur les sinistres graves : analyse exploratoire des données

Analyse exploratoire des données

Statistiques descriptives des sinistres graves en fonction du seuil

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Seuil de graves à 23k€

Seuil de graves à 45k€

Nombre d’observations 1 279 516

Minimum 23 010 45 001

1er quartile 25 455 59 966

Médiane 35 445 97 200

Moyenne 117 653 248 898

3eme quartile 74 570 181 133

Ecart type 379 023 571 982

Maximum 5 598 789

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000



3. Etude sur les sinistres graves : la théorie des valeurs extrêmes

Introduction à la théorie des valeurs extrêmes

34

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

Approche par blocs Approche par dépassement de seuil




Introduction à la théorie des valeurs extrêmes : approche par blocs

La loi GEV :

Avec : – est le paramètre de forme ; – est le paramètre de position ; – est le paramètre d’échelle.

35




Approche par blocs : application

Niveaux de retour de la loi GEV :

36




Introduction à la théorie des valeurs extrêmes : approche par

dépassement de seuil

La loi GPD:

37




Introduction à la théorie des valeurs extrêmes : approche par

dépassement de seuil

La loi GPD:

Ajustement de la fonction de répartition empirique des montants supérieurs à 23k€ sur la loi GPD

Quantiles de la loi GPD(1,360;23 000;10 029)

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• Mené une analyse exploratoire des données en comparant les données

par marque et par seuil

• Appliqué la théorie des valeurs extrêmes selon deux approches (par

blocs et par dépassement de seuil) et obtenu les quantiles des

distributions GEV et GPD

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Conclusion

Contexte opérationnel

Etude de la qualité des données et construction d’une base « as-if »

Etude du seuil de sinistres graves : seuil fixé à 23 000€

Provisionnement attritionnel : modèle de Mack en marque Axa, Bootstrap en marque

MGARD

Etude des niveaux de retour pour les sinistres graves de lois GEV et GPD

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Outil créé pour la Direction des Assurances Affinitaires

41

Merci pour votre attention

42

Annexes

Convergence du Bootstrap

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Annexes

Les Modèles Linéaires Généralisés : résidus

En notant 𝜇𝑖 = E Yi et 𝑑𝑖 la déviance de la variable i au modèle

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Documents

Problématiques de provisionnement en assurance …...1. Présentation et traitement des données : Création d’une base de données 2. Provisionnement attritionnel 3. Etude sur