Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA LAGIS UMR CNRS 8146 Tl : (33) 03
28 76 73 97 - Fax : (33) 03 20 33 71 89 E mail :
[email protected] IDENTIFICATION IMA 3 Automatique
Algorithme didentif. yr(t) ym(t) + - < adm ? u(t) non oui
Modle
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2 Chapitre 1 INTRODUCTION
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Chap.1 / 3 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION DEFINITIONS ET BUT DE LIDENTIFICATION F
Positionnement
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Chap.1 / 4 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION Modlisation ? F Dfinitions Modlisation ? :
Ensemble des procdures permettant dobtenir un modle Modliser un
systme = capable de prdire le comportement du systme Subjectivisme
de la modlisation : modle = intersection du systme et du
modlisateur Modle jamais "exact"? F Importance Outil d'aide la
dcision., Support de la simulation, Reprsente 50 % dun projet de
commande Perspectives grce l'informatisation F Un modle pourquoi
faire ? Concevoir, Comprendre, Prvoir, Commander (dcider).
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Chap.1 / 5 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION Un modle comment faire ? F 1. MODELE DE
CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, conomiques
etc.. Difficults de dcrire fidlement les phnomnes complexes;
Hypothses simplificatrices; Dilemme- prcision-simplicit Un modle
simple est faux, un modle compliqu est inutilisable. Les paramtres
ont un sens physique donc modle commode pour l'analyse. F 2. MODELE
DE REPRESENTATION Systme "boite noire"; Exprience active (systme
drang) ou passive (alatoire); Etape qualitative (connaissances a
priori) et quantitative; Paramtres du modle n'ont aucun sens
physique; Modle de conduite (modle E/S) utile pour la commande;
Complment du modle de reprsentation.
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Chap.1 / 6 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION Classification des modles F selon le caractre
des rgimes de fonctionnement statique et dynamique F selon la
description mathmatique linaire, non linaire F selon les proprits
dynamiques paramtres localiss, paramtres distribus F selon
lvolution des paramtres : stochastique, dterministe F selon le
nombre de variables : monovariable (SISO), multivariable
(MIMO)
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Chap.1 / 7 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION tapes de modlisation
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8 GENERALITES SUR LIDENTIFICATION
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Chap.1 / 9 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION Dfinitions de lidentification F Dfinition au
sens de Zadeh (1962) : Lidentification dun procd est dfinie comme
la dtermination, base sur la connaissance des entres et des sorties
du procd, dun modle appartenant une classe spcifie, quivalente au
procd. Lidentification dun systme cest la dtermination de son modle
mathmatique sur la base des observations exprimentales entres-
sorties. Le traitement mathmatique des rponses graphiques du systme
est appel IDENTIFICATION. Le modle obtenu est dit de conduite ou de
reprsentation F Pourquoi lidentification : importance
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Chap.1 / 10 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION Mthodologie de lidentification CALCUL DU
MODELE Choix de la structure du modle Acquisition de donnes
Planification des expriences Utilisation du modle OUI Adquation du
modle ? Connaissance priori Choix critre didentit NON
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Chap.1 / 11 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION Principe de lidentification F Base de
lidentification : Exprience Exprience active Exprience passive F
Principe 1. tape qualitative : Sur la base dune connaissance priori
du systme identifier, on fixe une structure du modle comportant des
coefficients inconnus. : Boite grise et boite noire 2. tape
quantitative : Elle consiste la dtermination des coefficients
inconnus du modle de faon que la diffrence entre les N sorties
relles du systme et celles du modle soit minimale selon un critre
donn quon rsout par un algorithme didentification
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Chap.1 / 12 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION Estimation des paramtres du modle Dterminer
les valeurs des paramtres du modle sur la base des observation E/S
tel que la sortie du modle soit la plus proche du systme rel selon
un critre fix. PROCESS Ys(t) Entres Ym(t) x(t) + - MODELE
Algorithme didentification a i, b i
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Chap.1 / 13 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION CRITRES DIDENTIFICATION F Distance dtat base
sur la diffrence entre la sortie du systme et du modle SYSTEME
Ys(i) Entres Ym(i) x(i) + - MODELE Critre didentification (i) D(
(i))
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Chap.1 / 14 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION CRITRES DIDENTIFICATION Distance de prdiction
F Distance de prdiction base sur la diffrence entre la sortie du
systme et celle que prdit le modle au mme instant Exemple : modle
choisi est une quation de 1 er ordre aux diffrences : on utilise
linformation linstant ( i-1 ) SYSTEME Ys(i) Entres Yp(i) x(i) + -
MODELE Critre didentification (i) D( (i)) Ys(i-j)
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Chap.1 / 15 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION CRITRES DIDENTIFICATION F Distance de
structure base sur la diffrence entre les paramtres du systme et
ceux du modle Remarque : distance de structure non mesurable
directement. On se base sur les effets de cette structure sur la
sortie Exemple : approximer un modle paramtres distribus par un
modle paramtres localiss SYSTEME Entres x(i) + - MODELE Critre
didentification s D( s ) m
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Chap.1 / 16 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION VALIDATION DU MODELE ERREUR DE MODLISATION
Explosion nuclaire Modle de la raction nuclaire Poste de commande
Feed back pour la correction du modle Donnes exprimentales Donnes
du modle il faut que lerreur soit minimale dans les systmes
industriels Processus Modle + X(i) - Y m (i) max Y E (i)
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Chap.1 / 17 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION EXPERIMENTATIONEXPERIMENTATION F
Caractristiques du signal dexcitation Centre : 10% de la consigne
Spectre riche : recueillir le max dinformation sur le systme
(exciter sur toute la bande de frquence intressante) Dterministe :
Physiquement ralisable Amplitude limite : ne pas trop perturber le
process, rester en linaire F Quel signal ? : Squence Binaire Pseudo
Alatoire SBPA
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Chap.1 / 18 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION EXPERIMENTATIONEXPERIMENTATION F SBPA et STPA
Suite dvnements cre de faon dterministe mais apparaissant alatoire
+a -a x(t) t +a -a x(t) t SBPA (2 niveaux) STPA (3 niveaux) 0
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Chap.1 / 19 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION CLASSIFICATION DES METHODES DIDENTIFICATION F
1. Mthode de base Bases sur les rponses graphiques ( indicielles,
impulsionnelles..) F 2. Mthodes du modle Ajuster manuellement ou
automatiquement la structure ou les paramtres du modle jusqu ce que
min. Itrative SYSTEME x(t) + - MODELE algorithme s Paramtres du
modle Ajustement ys(t) ym(t)
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Chap.1 / 20 Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille
Chap1 : INTRODUCTION CLASSIFICATION DES METHODES DIDENTIFICATION F
3. Mthode statistiques Bases sur les MMC F 4. Thorie de lestimation
et filtrage Estimation de ltat du procd partir des E/S. PROCESSUS
X(t) x(t) FILTRE Reconstructeur ys(t)
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21 Chapitre 2 METHODES DE BASE
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 22 Classification des
mthodes de base F Avantages et inconvnients des mthodes de base
Avantage : Simplicit, outil mathmatique simple Inconvnient :
signaux dentre spcifiques (donc pas toujours ralisables) F
Classification des mthodes de base 1.Analyse indicielle 2.Analyse
impulsionnelle 3.Analyse harmonique
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 23 Exprimentation dans
un SRA - C U TRANSMETTEUR ET CEP DE TEMPERATURE REGULATEUR VANNE
PROCESSUS PHYSIQUE CAPTEUR DE TEMPERATURE Auto. Manu.. M E x y U
SYTEME A COMMANDER M
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24 Mthodes de Broda et du 1 er ordre par un exemple
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 25 CAHIER DES CHARGES
Ptrole brut Ptrole chauff Ts - Ts-Tc TRC PR Air (O 2 ) FI THS FVC U
Conigne Tc AR FR 1 TT 1 1 1 1 1 2 Gaz 1
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 26 Schma fonctionnel,
dfinitions des E/S - Tc U Ts 1 TRANSMETTEUR ET CEP DE TEMPERATURE
REGULATEUR VANNE CONDUITE DE GAZ FOUR CONDUITE DE PETROLE CAPTEUR
DE TEMPERATURE Auto. Manu.. x Pr Ts - Qp(t) T
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 27 Rgimes de
fonctionnement F Ts(t) - Grandeur de sortie ( temprature la sortie
c'est la grandeur rgler ), Valeurs maximales et minimale de la
variation de temprature : Tsmax = 170c, Tsmin=20 c ; Tso - Valeur
nominale de la temprature le fonctionnement Tso = 80 C F Pg (t) -
Grandeur d'entre ( pression du gaz combustible - Grandeur rglante
); Valeurs maximales et minimale de la variation de la pression du
gaz combustible : Pgmax = 5 bars, Pgmin = 0bar ; Pgo - Valeur
nominale de la pression du gaz combustible Pgo = 2 bars ; F Qp -
Dbit du ptrole l'entre (perturbation); Dbit nominale du ptrole
l'entre : 20 m 3 /s ; Qpmax = 30 m 3 /s bars, Pgmin =10 m 3 /s. Il
existe aussi dautres perturbations (pouvoir calorifique du gaz,
temprature ambiante etc...) que nous considrons comme constantes. F
x : dplacement du clapet de la vanne [0 6mm] F U : sortie du
rgulateur pneumatique [0,2-1bar]; valeur nominale (0,6 bar)
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 28 Bloc diagrammes F 1.
En boucle ouverte (sans correction) : Wz(p) Ts(p) Qp(p) G(p) U(p) -
+
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 29 Bloc diagrammes F 2.
En boucle ferme (avec correction) Wz(p) Ts(p) Qp(p) G(p) U(p) (+)
C(p) Tc(p) (-)
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 30 LogistiqueLogistique
Auto. - Tc U Ts 1 C(p) Wv(p) Wcg(p) Wz(p) Wct(p) Manu.. x Pr Qp Ts
- + Wf(p) U(p) Wv(p) Wcg(p) Wf(p) Wct(p) Ts(p) U(p) G(p) Ts(p) ?
Wz(p) ? Ts(p) Qp(p)
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 31 PrparationPrparation
F Mthodologie 1. Correcteur mis en fonctionnement manuel, systme
stabilis 2. On applique un signal en chelon de + ou - 10% de la
valeur nominale Rponse enregistre la sortie du transmetteur Le
modle de conduite ( ou la fonction de transfert ) dterminer du
traitement de la rponse graphique dcrit l'ensemble des systmes (
vanne, objet, capteur, transmetteur)
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 32
ExprimentationExprimentation F Vue global PROCESS VANNE CAPTEUR
TRANSMETTEUR SYSTEME A IDENTIFIER SALLE DE CONTROLE C 10 %
REGULATEUR
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 33 Identification de la
fonction de transfert par rapport la perturbation F Identification
de Wz(p) : Exprimentation Wz(p)) Ts(p) Qp(p) ? 05 10 1520253035 80
85 90 95 Ts(t) [c] t (main.) T=10 Qp(t) [m 3 /s] t 23 20
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 34 Identification de la
fonction de transfert par rapport la perturbation F 1. tape
qualitative : structure du modle F 2. Etape quantitative : calcul
des paramtres du modle gain relatif
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 35 3. Vrification du
modle 3. Vrification du modle 95 05101520253035 80 85 90 Ts(t)
Tm(t) Ts(t) Emax=0.83/15 =5.53% Sortie du modle Vrification
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 36 Mthode de Broda :
Identification de la dynamique du four F 1. Identification de G(p)
: Exprimentation Ts U t 60% 0% 50% 100% 0,68bar 1 bar 0,6bar 0,2bar
Us(t) U G(p) Ts 80 1020304050607080 Ts(t) 84 88 92 96 100 t1t1 t2t2
t (min.) courbe exprimentale Ts(t)
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 37 Principe de la mthode
Broda F principe La mthode de Broda est une mthode d'identification
en boucle ouverte d'une rponse indicielle exprimentale qui consiste
a assimiler la fonction de transfert d'un systme d'ordre n celle du
premier ordre affecte d'un retard pur F Le problme d'identification
: dterminer les paramtres suivants T, Constante du temps (sec.), :
Temps de retard pur (sec.) :
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 38 Calcul des paramtres
du modle de Broda F Mthodologie Broda fait correspondre la rponse
indicielle identifier et la fonction de transfert du 1er ordre
affecte d'un retard en deux points t 1 et t 2 d'ordonnes
correspondant 28% et 40% de la valeur finale de la sortie du
systme.
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 39 Calcul des paramtres
du modle F Paramtre du modle F Modle final
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 40 Modle du systme
global commander - Tc(p) U(p) Ts(p) - + Qp(p) 50% 60% U Systme rel
020406080100 0 100% Tm(t) : Sortie modle Ts(t) : Sortie systme
Ts(t) Tm(t) Ts(t) Tm(t) U(t)
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 41 Synthse du systme de
rgulation continue F Schma fonctionnel du systme rguler - Tc(p)
U(p) Ts(p) + + Qp(p) PID
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 42 METHODE DE STREJC
METHODE DE STREJC Principe La mthode d'identification de STREJC est
base sur les proprits gomtriques de la rponse indicielle d'un
systme d'ordre n de fonction de transfert Paramtres identifier
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 43 METHODE DE STREJC F
Mthodologie En se basant sur la rponse indicielle, on tablit : t(
sec.) yIyI 1 TATA TUTU I Rponse indicielle dun modle de Strjc
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 44 METHODE DE STREJC F
Tableau de Strejc
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 45 Paramtres du modle de
STREJC F A. Dtermination de K Le coefficient de proportionnalit K
est dtermin des conditions d'expriences comme le rapport de
l'amplitude du signal de sortie celui d'entre. F B. Dtermination de
n On trace le mieux possible la tangente au point d'inflexion de la
rponse indicielle La tangente dcoupe un segment T A sur l'axe des
temps au bout d'un certain temps T U ( comportant un temps de
retard inconnu ). On calcule le rapport T U / T A et on choisira du
tableau, la valeur de T U / T A qui correspond une valeur de n
entier, immdiatement infrieure. A titre dexemple, si TU=3S, TA=11,
alors TU / TA = 3/11=0,27 ; La valeur de n entier la pus proche
infrieure sera gale n=3.
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 :
METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 46 Paramtres du modle de
STREJC F C. Dtermination de la constante de temps T Connaissant la
valeur de n, T A (ou T U ), on dtermine la constante du temps T
l'aide de l'une des deux dernires colonnes du tableau. Dans notre
cas, pour n= 3, TA / T = 3,695 alors T= TA /3,695 = 3,2sec. F D.
Dtermination du temps de retard fictif Afin de compenser l'erreur
due la dtermination du point d'inflexion, on introduit un retard
fictif =T UR -T UT F T UT : dtermine du tableau de Strjc. T UR :
Valeur relle de la grandeur T U fixe sur la rponse indicielle. Dans
l'exemple T UR = 3sec., alors T UT / T A =0,218 (pour n=3) do T UT
=0,218* T A =0,218*11=2,4sec. Alors = 3-2,4=0,6s F Si est 1,
Structure du " title="Copyright : Prof. B. Ould Bouamama,
PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3
/ 97 1. cas multivariable F K>1, Structure du ">
Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 97 1. cas
multivariable F K>1, Structure du modle F Calcul des paramtres
Processus alatoire : la sortie est affecte d'un bruit V(t) :
Ralisation de N expriences
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 98 F 1. Systme non
bruit V=0 Cas dterministe, si H est inversible, alors : Cas non
raliste F 2. Systme bruit V#0
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 99 Estimation des
paramtres F 2 types derreurs : Erreurs d'observation : Erreurs
destimation : F Estimateur optimal Critre doptimalit Conditions
d'optimalit Conditions d'observabilit : H T non singulire et N >
K
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 100 Biais de
l'estimateur F Biais de lestimateur b b=0 : Estimateur non biais (
pas d'erreur d'estimation); Densit de probabilit centre sur la
valeur cherche b # 0 : Estimateur biais V et H squences corrles (
hypothses de rgression); V est de moyenne non nulle
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 101 Simulation sur
Matlab home disp('EXEMPLE DE CALCUL D UN MODELE DE REGRESSION') %
VALEURS EXPERIMENTALES pause,home x=[1 2 3]; y_exp=[2 4 6];
pause;home disp('CHOISIR L ORDRE n DU MODELE') pause,home input n=
n=ans; poly_model=polyfit(x,y_exp,n)%c'est pour trouver l'ordre du
polyn^ome disp('VERIFICATION DU MODELE : ERREUR DE MODELISATION')
pause,home Y_model=polyval(poly_model,x);%calcul les valeurs du
modle E=abs([y_exp' Y_model' (y_exp'-Y_model')]);
ERREUR_MAX=max(E(:,3)) pause home disp('GRAPHE') pause,home
plot(x,y_exp,'*',x,Y_model,'--');grid;title('VERIFICATION DU
MODELE');legend('--:model, *:exp') pause;home;close disp('SI L
ERREUR N EST PAS BONNE CHANGER L ORDRE n') F 1. Cas
monovariable
Page 102
Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 102 Simulation sur
Matlab 2. Cas multivariable disp('INTRODUCTION DES DONNES
EXPERIMENTALES:') pause, home disp(' 1. MATRICE D EXPERIENCES H:')
disp(' NOUS AVONS 7 EXPERIENCES ET DEUX VARIABLES X1 et X2') H= [1
3;4 2;1 5;2 1;3 4;4 5;6 8] pause,home disp('2. VARIABLE DE SORTIE
Y:') y=[5 13 9 4 11 12 23]' pause,home disp('SOLUTION : PARAMETRES
ESTIMES:') teta=inv(H'*H)*H'*y; a1=teta(1) a2=teta(2) pause,home
disp(' LE MODELE EST DONC; Ym=a1*X1+a2*X2') pause,home
disp('VERIFICATION DU MODELE') pause,home disp('VALEURS DU MODELE')
ym=polyval([a1 0],H(:,1))+polyval([a2 0],H(:,2)) %ym=a1*X1+a2*X2
pause,home disp('CALCUL DE L ERREUR DE MODELISATION') pause
R=[ym,y,abs((ym-y)./y)*100] disp('ERREUR MAXIMALE')
Emax=max(R(:,3)) pause,home disp('GRAPHE 3D')
plot3(y,H(:,1),H(:,2),ym,H(:,1),H(:,2));grid;Xlabel('X1,X2');
Ylabel ('Modle, Exprimentale');
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103 INDENTIFICATION DES MODELES DYNAMIQUES Identification des
modles paramtriques discrets par la MMC
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104 objectifobjectif tude des mthodes didentification de modles
paramtriques discrets sur la base des E/S chantillonnes au mme
instant
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 105 PrincipePrincipe
F Motivations Utilisation des PC pour la commande numrique des
procds fournit des sorties chantillonnes Intrt dutiliser ces
sorties chantillonnes pour lidentification par la MMC F Avantages
Simple a mettre en uvre Implmentation en temps rel sur calculateur
sous forme rcursive
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 106 MMC cas continu
et cas discret Systme identifier CAN Modle prdictif A.A.P. y(k)
Paramtres du modle E(k) Systme identifier Modle continu Algorithme
u(t) y(t) Paramtres du modle CAN S.B.P.A u(t) t Cas continu : se
base sur lerreur dobservation Cas discret : se base sur lerreur de
prdiction
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 107 Particularit par
rapport au MMC simple F Les mthodes des MMC dans ce chapitre appels
Mthodes bases sur lerreur de prdiction Considre que lerreur
dquation E(k) dit rsidu est un bruit de mesure entre la sortie
relle y(k et la sortie prdite du modle (alors que MMC simple erreur
entre systme relle et le modle F Objectifs de ce chapitre tude des
principales mthodes des MMC bases sur lerreur de prdiction
Identification tems rel Mthodes rcursives Mthodes fentre glissante
Mthodes pondres
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 108 Caractristiques
des mthodes paramtriques statistiques F liminent les dfauts
mentionns prcdemment F algorithmes non rcursifs MMC simple F
(rcursifs (Traitement pas pas des donnes), permet suivi des
paramtres en temps rel F oprant avec des signaux dexcitation
extrmement faibles (SBPA de faible niveau) F permet de modliser les
perturbations et bruits capteurs (et supprimer) F traitement ais du
signal (analyse spectrale) Comment commence t on? On choisit une
structure procd+perturbation pour l identification une structure
non adapte entrane un biais Et ensuite?
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 109 Reprsentations
des modles chantillonns F 1. MODELE ARMA (Auto Rgressif Moyenne
Mobile Soit un signal y(t) gnr par un signal dentre u(t) u(t) et
y(t) sont reprsents par leur chantillons des instants k, 0 1 2 .k
u(k) PROCESSUS 0 1 2 .k y(k)
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 110 Modle ARMA :
reprsentation temporelle F Modle dcrit par un modle ARMA dordre
(n,m): Intrt dune telle reprsentation A une infinit dchantillons
pour reprsenter un signal on a un nbre fini de paramtres pour
reconstituer le signal Schma bloc du modle ARMA + - u(k) Si a 0 =0,
le modle est non causal
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 111 Reprsentation
ARMA : cas gnral F Connaissant les sorties du systme chantillonn
y(k), on calcule la sortie prdite: y(k-1), .y(k-n) : chantillons
dun signal analogique de sortie y(t) aux instant k, k-1,.k-n
u(k-d),u(k-m-d) : chantillons de lexcitation dentre u(t) qui a gnr
y(t) d : retard pur multiple de la priode dchantillonnage Te compt
en nombre entier de Te K : temps discret normalis (temps rel) divis
par la priode dchantillonnage : k=t/Te bj et ai : paramtres du
modle
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 112 Modle ARMA :
reprsentation frquentielle F Introduisons loprateur retard Z
-1
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 113 Transforme en Z
du modle ARMA F Transforme en Z F Le modle ARMA est donc un filtre
dE/S u(Z) y(Z)
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 114 Modle AR (Auto
regressif F Cas : b j =0 (i=1,m) F Le modle est dit : TOUT
POLES
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 115 Modle MA (Auto
regressif F Cas : a i =0 ( i > 0 ) F Le modle est dit : TOUT
ZERO
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116 CALCUL DES PARAMETRES DES MODELES DISCRETS 1. MMC
SIMPLE
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 117 Systme bruit F
Soit le systme dynamique bruit F Soit E vecteur des erreurs de
modlisation + +
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 118 Dtermination des
paramtres F Ralisons N expriences Les valeurs y(1),y(n) et les
entres correspondantes sont connues : conditions initiales Cond.
Initi. N exp.
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 119 F criture
matricielle du systme dexpriences F Rsolution du problme au sens
des MMC Conditions dexpriences : N >= n+m
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120 METHODE DES MMC GENERALISEES 1. LIMITES DE LA MMC
SIMPLE
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 121 LIMITES DE LA
MMC SIMPLE F Proprits statistiques de lestimateur Lestimateur est
une variable alatoire car elle dpend de y(K) : La valeur moyenne
(Esprance mathmatique ) de E( ) sera
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 122 F Dfinitions :
Biais de lestimateur Un estimateur correct (sans biais) impose : F
Conditions pour avoir un estimateur sans biais Un estimateur est
sans biais ssi on a:
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 123 F On peut crire
: F sont des fonctions de corrlation Alors (le coef. de corrlation
est nulle sil ny a pas de corrlation) : Bruit non corrl avec les
donnes dexpriences : Ce sont justement les hypothses pour
construire un modle de rgression ssi
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 124 F Analyse de la
condition du biais F Lestimateur optimal est sans biais : 1.si le
bruit E(k) est une squence non corrls avec H(k) 2.ou E(k) est un
bruit centr
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 125
ConclusionsConclusions F Le biais serait nul si : Le bruit auquel
est assimil lcart (modle systme rel) tait blanc Le bruit E et la
matrice des expriences H ne sont pas corrls F Quel sens ? La valeur
exacte recherche du vecteur paramtre serait gal la moyenne de tous
les vecteurs optimaux obtenus en rptant N fois les expriences
Lestimation est alors biais si les observations ont affectes dun
bruit corrl avec les mesures F Que faire alors si les observations
ont affectes dun bruit corrl avec les mesures ?
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126 2. ESTIMATION DES PARAMTRES DE MODLE AFFECT DUN BRUIT
CORRELES
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 127 Principe de la
mthode MCG (GLS) F Objectifs Obtenir une estimation optimale non
biaise dans le cas dune observation avec un bruit corrl Mots clefs
: Blanchissement du rsidu F Modle ARMA bruit Montrons que mme si le
bruit de mesure est un bruit blanc non corrl, lestimation est biais
(car la structure ARMA modifie le bruit de mesure en une squence
corrle)
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 128 Notion de rsidu
F Soit un modle ARMA non bruit F Systme affect dun bruit v(k)
lentre et la sortie ARMA + + +
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 129 Rsidu corrl F
Pourquoi le bruit v(k) devient un rsidu r(k) corrle ? F Si le bruit
agit lentre on obtient : RSIDU : est un bruit corrl
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 130 F Mthodologie
Soit Sous forme frquentielle (en introduisant Z -1 ), elle devient
: Supposons que le rsidu r(k) est gnr par un bruit blanc v(k)
travers un filtre :
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 131 Mthode de Clarke
(1967) F On a vu : la structure du modle introduit bien un bruit
corrl Comment alors obtenir un bruit blanc ou qui ses approche F
Mthode de Clarke (1967) ou mthode GLS : Elle consiste transformer
par filtrage successif les donnes exprimentales pour obtenir un
cart (modle - systme) qui devient un bruit blanc
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 132 F Analyse,
lexpression obtenu est un modle : Sur ce modle agit un bruit blanc
v(k), les E/S sont : On peut alors noter ce nouveau modle Quel est
le sens physique de cette expression ? Yr(k) Ur(k)
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 133 Le modle en
terme de schma bloc PROCESSUS +- Bruit blanc Si lon filtre les
donnes y(k) et U(k) on obtient lerreur dquation qui sera un bruit
blanc (sortie Ur et y r. Ces sorties Ur et y r sont traites alors
par lamthode MMC simple avec un estimateur sans biais des coeff. de
A(Z -1 ) et B(Z-1) ALORS IL FAUT DETERMINER LE FILTRE C(Z -1 ) ????
ERREUR GENERALISEE
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 134 Estimation des
coefficients de v(k) F Si C(Z -1 ) est connu alors on peut estimer
Mais : la dynamique du bruit C(Z -1 ) nest pas connu Comment
calculer les paramtres de C(Z -1 ) ? F Estimation de C(Z -1 ) Dans
le domaine frquentiel on a: En traduisant dans le domaine temporel
v(k) on a : Le problme revient alors estimer par la MMC les
paramtres de v(k)
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 135 F Mthode MMC
appliqu r(k) Relevons les mesures effectues de p N. On peut crire :
Nous sommes en prsence de modle classique o V est un bruit blanc, C
: le vecteur des paramtres dterminer R : tant la matrice
dobservations des erreurs inconnues C : Vecteur des erreurs
inconnus
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 136 F Comment
calculer C ? On ne connat ni la matrice R ni le vecteur r F Alors
on les dtermine dune faon itrative 1. Soit donn :
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 137 F 1. Estimation
du vecteur des paramtres F 2. Calcul des rsidus F 3. On construit
le filtre C(Z -1 ) partir du rsidu r F 4. On filtre les donnes y et
U pour obtenir yr et ur
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 138 F 5. Connaissant
yr et Ur on forme un nouveau vecteur H pour calcule de nouveau et
on ritre lopration F 6. Quand sarrter ? Critre de convergence Soit
S : le nombre ditrations C i (Z-1) : le filtre obtenu au ime pas de
calcul Le filtre global sera alors : Si n est lordre de chaque
filtre Ci, lordre du filtre global C(Z-1) est nS Si on veut avoir
un filtre qui ne dpend que du nombre ditrations on fixe n=1
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 139 Solutions pour
la convergence F On fixe le nbre ditrations priori Procdure
arbitraire F Arrt du programme quand les paramtres C du filtre
deviennent petits Difficile prciser numriquement F Arrter quand On
sarrte quand la diminution du critre nest plus significative en
gnral : J/J < 1%
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 140 Algorithme MCG
Dbut Lecture des donnes H N (0)= H N, y N (0)= y N, i=0, Calcul de
lestimateur Calcul des rsidus Calcul du critre doptimalit Calcul
des paramtres du filtre Filtrage des donnes oui Non
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 141 tape de filtrage
: 2 manires F 1. Filtre dordre constant en filtrant tj le mme jeu
de donnes Problme : choix de lordre de C(Z -1 ) F 2. Filtre dordre
variable en filtrant les donnes prcdemment filtres Cette approche
consiste mettre en srie i filtres Ci(Z -1 ) sur les donnes
initiales Problme : coteuse car on aura n mesures supplmentaires
chaque pas
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 142
ConclusionsConclusions F Inconvnient Introduction dun grand nbre de
donnes la fois Ncessite linversion de la matrice C (de grandes
dimensions) F Avantages Performante surtout dans le cas dun signal
riche (SBPA) Si les paramtres statistiques du bruit sont connus, le
filtre C(Z -1 ) est parfaitement dtermin : on a alors directement
un estimateur sans biais des coefficients de A(Z -1 ) A(Z -1 ), C(Z
-1 ) et B(Z -1 )/ C(Z -1 ) donc des coefficients de la FT du
modle
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 143 Diffrents types
de modle F 1. Modle ARX (AutoRgressive Entre Exogne) Modle utilis
pour la MMC simple. quation de rcurrence Paramtres dterminer : na :
nbre de ples, nb-1: nbre de zros d : le retard pur
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 144 Diffrents types
de modle F 2. Modle ARMAX (AutoRgressive Moyenne Ajuste et entre
exogne) quation de rcurrence Paramtres dterminer : na : nbre de
ples, nb-1: nbre de zros d : le retard pur nc : ordre du modle de
la dynamique du filtre
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 145 Diffrents types
de modle F 3. Modle OE (Output-Error) bas sur lerreur de sortie
quation de rcurrence Paramtres dterminer : nb, d, et nf
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 146 Diffrents types
de modle F 4. Modle BJ (Box Jebkins) Modle utilis pour distinguer
la dynamique du modle et du gnrateur du rsidu Paramtres dterminer :
nb, nf, nc, nd et d
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147 METHODES RECURSSIVES
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 148 F Limites de la
MMC simple F Principe de la RLST Alors l'estimateur, tenant compte
des (N+1) observations sera :
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 149 F Le stimateur
de la nouvelle mesure F Le gain dadaptation ou facteur de
pondration de la mise jour apporte par la nouvelle mesure
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 150
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Copyright : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 :
METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 151 INITIALISATION
DE L'ALGORITHME F P(0) = diag(1000); 0)=0. F PROBLEME DE
DECROISSANCE DU GAIN F Inconvnient de la RLST
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 152 MMC AVEC FENETRE
GLISSANTE F PRINCIPE : Tronquer les observations travers une
FENETRE de largeur N constante que l'on "glisse" au fur et mesure
que les chantillons arrivent
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 153 F Estimateur
optimal La formule met en vidence la contribution dans la nouvelle
estime de l'enrichissement d l'observation l'instant K+1 d'une part
et de la contribution de la K-N ime observation qui doit tre
retranche d'autre part de l'estimation prcdente. F Limite de la
mthode
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 154 MMC AVEC FACTEUR
DE PONDERATION F Princiope CRITERE CLASSIQUE PONDERATION HOMOGENES
DES Ei Pondration des erreurs
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 155 F Choix de la
pondration On recommande progression gomtrique < 1 : Favorise
les premires mesures (Facteur d'oubli); > 1 : Favorise les
dernires mesures par rapport aux premires F Critre doptimalit
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METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 156 F RLST AVEC
FACTEUR DE PONDERATION