Programme de seconde Objectifs visés par lenseignement des statistiques et probabilités à...
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Statistiques et Probabilités au lycée
Programme de seconde Objectifs visés par lenseignement des statistiques et probabilités à loccasion de résolutions de problèmes. Dans le cadre de lanalyse
Programme de seconde Objectifs viss par lenseignement des
statistiques et probabilits loccasion de rsolutions de problmes.
Dans le cadre de lanalyse de donnes rendre les lves capables: De
dterminer et dinterprter des rsums dune srie statistique; De
raliser la comparaison de deux sries statistiques laide
dindicateurs de position et de dispersion, ou de la courbe des
frquences cumules; Lobjectif est de faire rflchir les lves sur des
donnes relles, riches et varies (issues, par exemple, de fichiers
mis disposition par lInsee).
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Une remarque : Lutilisateur dun outil statistique doit prendre
en compte la situation relle et les objectifs viss pour effectuer
le choix des indicateurs de faon pertinente. (Document ressource de
Premire)
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Programme de seconde Objectifs viss par lenseignement des
statistiques et probabilits loccasion de rsolutions de problmes.
Dans le cadre de lchantillonnage: Faire rflchir les lves la
conception et la mise en uvre dune simulation; Sensibiliser les
lves la fluctuation dchantillonnage, aux notions dintervalle de
fluctuation et dintervalle de confiance et lutilisation qui peut en
tre faite.
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Programme de seconde Objectifs viss par lenseignement des
statistiques et probabilits loccasion de rsolutions de problmes.
Dans le cadre des probabilits, rendre les lves capables Dtudier et
modliser des expriences relevant de lquiprobabilit De proposer un
modle probabiliste partir de lobservation de frquences dans des
situations simples. Dinterprter des vnements de manire ensembliste.
De mener bien des calculs de probabilit.
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CONTENUSCAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Modle de la rptition
dexpriences identiques et indpendantes deux ou trois issues.
Reprsenter la rptition dexpriences identiques et indpendantes par
un arbre pondr. Utiliser cette reprsentation pour dterminer la loi
dune variable alatoire associe une telle situation. Pour la
rptition dexpriences identiques et indpendantes, la probabilit dune
liste de rsultats est le produit des probabilits de chaque
rsultats. La notion de probabilit conditionnelle est hors
programme. On peut aussi traiter quelques situations autour de la
loi gomtrique tronque. On peut simuler la loi gomtrique tronque
avec un algorithme. (Daprs les documents de ressource en
statistiques et probabilits)
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1.Arbre pondr 2.Loi gomtrique tronque Les situations de
rptitions d'une exprience alatoire, dans des conditions
d'indpendance constituent un lment fort du programme de premire.
L'introduction de la loi gomtrique tronque prsente de nombreux
avantages : travailler sur des rptitions d'une exprience de
Bernoulli ; envisager ces rptitions sous l'angle algorithmique ;
prsenter une situation d'arbre pour lequel tous les chemins n'ont
pas la mme longueur ; exploiter dans un autre cadre les proprits
des suites gomtriques ; exploiter dans un autre cadre des rsultats
sur la drivation. Dfinition Soit p un rel de l'intervalle ]0, 1[ et
n un entier naturel non nul. On considre l'exprience alatoire qui
consiste rpter dans des conditions identiques une exprience de
Bernoulli de paramtre p avec au maximum n rptitions et arrt du
processus au premier succs. On appelle loi gomtrique tronque de
paramtres n et p la loi de la variable alatoire X dfinie par : X =
0 si aucun succs n'a t obtenu ; pour 1 k n, X = k si le premier
succs est obtenu l'tape k.
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Dterminons la loi de X. X = 0 si aucun succs n'a t obtenu donc
avec l'outil arbre: P(X = 0) = (1-p) n Pour 1 k n, avec l'arbre, le
premier succs est obtenu l'tape k pour le chemin qui prsente dans
l'ordre (k 1) checs et un succs d'o : P(X = k) = (1 p) k-1 p s e s
e s e s e 1-p p p p p Exemple pour n=4
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Loi gomtrique tronque Avec Algobox
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CONTENUSCAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Epreuve de Bernoulli,
loi de Bernoulli. Schma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre
de succs) Coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Reconnatre
des situations relevant de la loi binomiale. Calculer une
probabilit dans le cadre de la loi binomiale. Dmontrer que : ( ) +
( ) = ( ) Reprsenter graphiquement la loi binomiale. La
reprsentation laide dun arbre est privilgie : il sagit ici
dinstaller une reprsentation mentale efficace. On peut ainsi : -
Faciliter la dcouverte de la loi binomiale pour des petites valeurs
de n (n 4); - Introduire le coefficient binomial ( ) comme nombre
de chemins de larbre ralisant k succs pour n rptitions; - Etablir
enfin la formule gnrale de la loi binomiale. Cette galit est tablie
en raisonnant sur le nombre de chemin ralisant k+1 succs pour n+1
rptitions. On tablit galement la proprit de symtrie des
coefficients binomiaux. Lutilisation des coefficients binomiaux
dans des problmes de dnombrement et leur criture laide des
factorielles ne sont pas des attendus du programme. En pratique, on
utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs
des coefficients binomiaux, calculer directement des probabilits et
reprsenter graphiquement la loi binomiale. nknk nknk n k+1 n+1
k+1
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Loi binomiale 1 Dcouverte de la loi binomiale et introduction
des coefficients binomiaux Rptition d'une preuve de Bernoulli de
paramtre p quelconque On rpte n fois cette preuve. Nous reprsentons
cette rptition par un arbre pondr n niveaux. On note ( ) on et lit
k parmi n le nombre de chemins qui conduisent k succs exactement.
2.Formule gnrale de la loi binomiale La probabilit de chacun des
chemins qui ralisent exactement k succs est p (1 p). On obtient
donc : Soient un entier naturel n et un rel p de l'intervalle [0,
1]. La variable alatoire X correspondant au nombre de succs dans la
rptition de n preuves de Bernoulli de paramtre p suit la loi
binomiale B(n, p) avec pour tout entier k compris entre 0 et n :
p(X=k) = ( )p (1-p) k n -k nknk k nknk
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Document ressource Statistiques et Probabilits
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CONTENUSCAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES chantillonnage
Utilisation de la loi binomiale pour une prise de dcision partir
dune frquence. Exploiter lintervalle de fluctuation un seuil donn,
dtermin laide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypothse
sur une proportion Lobjectif est damener les lves exprimenter la
notion de diffrence significative par rapport une valeur attendue
et remarquer que, pour une taille de lchantillon importante, on
conforte les rsultats vus en classe de seconde. Lintervalle de
fluctuation peut tre dtermin laide dun tableur ou dun algorithme.
Le vocabulaire des tests (test dhypothse, hypothse nulle, risque de
premire espce) est hors programme.
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2.Dfinition de lintervalle de fluctuation 95 % laide de la loi
binomiale Dfinition : lintervalle de fluctuation 95 % dune frquence
correspondant la ralisation, sur un chantillon alatoire de taille
n, dune variable alatoire X de loi binomiale, est lintervalle [a/n,
b/n ] dfini par : a est le plus petit entier tel que P(X a) >
0,025 ; b est le plus petit entier tel que P(X b) > 0,975. Zone
de rejet gauche : au plus 2,5 % Zone de rejet droite : au plus 2,5
% Intervalle de fluctuation : au moins 95 % a b
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Exemple : Un mdecin veut savoir si, dans sa rgion, le
pourcentage dhabitants atteints dhypertension artrielle est gal la
valeur de 16 % rcemment publie. Pour vrifier cette hypothse, le
mdecin constitue un chantillon de n = 100 habitants de la rgion,
dont il dtermine la frquence f dhypertendus. Lorsque la proportion
dans la population vaut p = 0,16, la variable alatoire X
correspondant au nombre dhypertendus observ dans un chantillon
alatoire de taille n = 100, suit la loi binomiale de paramtres n =
100 et p = 0,16. Tableur
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La rgle de dcision est la suivante : si la frquence observe f
appartient lintervalle de fluctuation ( au moins 95%) [a/n, b/n] =
[0,09 ; 0,23], on considre que lhypothse selon laquelle la
proportion dhypertendus dans la population est p = 0,16 nest pas
remise en question et on laccepte ; sinon, on rejette lhypothse
selon laquelle cette proportion vaut p = 0,16.
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3.Comparaison de lintervalle de fluctuation de premire avec
lintervalle de fluctuation exploit en classe de seconde Le
programme des classes de premires S, ES et STI2D-STL, demande de
comparer, pour une taille de lchantillon importante, cet intervalle
avec lintervalle de fluctuation exploit en classe de seconde.
Tableur
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Daprs document ressources
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En AP : La mthode de Monte-Carlo.Monte-Carlo
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Calculer des valeurs avec GoGbra
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Connatre une valeur approche des probabilits suivantes
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Intervalle de fluctuation. Intervalle de confiance. Attention
au vocabulaire ! Population Echantillon On connait une proportion p
dans une population (par exemple la proportion p de femmes) On
calcule la frquence de femmes f. Si f est dans lintervalle de
fluctuation de p, lchantillon est dit reprsentatif de la population
pour ce critre au seuil 1- On slectionne un chantillon de taille n
par tirage au sort de la population p est connu. On dtermine un
intervalle de fluctuation.
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PopulationEchantillon p est inconnu On dtermine un intervalle
de confiance On calcule la frquence de personnes tant sportives : f
On ne connait pas la proportion p de personnes tant sportives A
partir des donnes de lchantillon on estime un paramtre inconnu de
la population par un intervalle de confiance