Projet Analyse numérique – 2

Réponse d’un bâtiment soumis Réponse d’un bâtiment soumis à une onde sismiqueà une onde sismique

Introduction

Les séismes peuvent Les séismes peuvent détruire aisément des détruire aisément des bâtimentsbâtiments

Nécessité de les Nécessité de les protégerprotéger

Il existe quatre types Il existe quatre types d’ondes sismiquesd’ondes sismiques

Notre projet : étudier la Notre projet : étudier la réaction d’un batiment réaction d’un batiment de quatre étages face à de quatre étages face à une onde sismique de une onde sismique de type Ptype P

Analyse du problème

I.I. Modélisation du bâtimentModélisation du bâtiment

• Chaque étage peut être assimilé à un oscillateurChaque étage peut être assimilé à un oscillateur• Chaque oscillateur possède une masse (mi), un coefficient Chaque oscillateur possède une masse (mi), un coefficient

d’amortissement (Ci) et un coefficient de flexion (ki)d’amortissement (Ci) et un coefficient de flexion (ki)• En utilisant le principe fondamental de la dynamique, on obtient quatre En utilisant le principe fondamental de la dynamique, on obtient quatre

équations différentielles à résoudreéquations différentielles à résoudre

Analyse du problèmeII.II. Énoncé du problème à résoudreÉnoncé du problème à résoudre

En écrivant le principe fondamental de la statique pour En écrivant le principe fondamental de la statique pour chaque étage (en tenant compte des étages inférieurs et chaque étage (en tenant compte des étages inférieurs et supérieurs) on obtient quatre équations différentielles du supérieurs) on obtient quatre équations différentielles du second ordre:second ordre:

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1

2 2 2 2 1 3 3 2 2 2 1 3 3 2 2

3 3 3 3 2

( ) 2 ( ) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ) 2 ( ( ) ( )) ( )

( ) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) ( )

( ) 2 ( ( ) ( )

ia t m C v t C v t v t k t k t t m x t

a t m C v t v t C v t v t k t t k t t m x t

a t m C v t v t

3 3 2 3 3 2 4 4 3 3

4 3 4 4 3 4 4 3 4

) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) ( )

( ) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) ( )

C v t v t k t t k t t m x t

a t m C v t v t k t t m x t

Résolution du problème

I.I. Choix de la méthodeChoix de la méthode

Pour résoudre ce problème, nous avons décidé d’utiliser la Pour résoudre ce problème, nous avons décidé d’utiliser la méthode de Runge Kutta à l’ordre 4 car :méthode de Runge Kutta à l’ordre 4 car :

• elle est stableelle est stable

• elle bénéficie d’un bon rapport précision/rapidité de mise elle bénéficie d’un bon rapport précision/rapidité de mise en oeuvre en oeuvre

Résolution du problème

II.II. Mise en œuvre de RK4Mise en œuvre de RK4I. Rappels rapides

On ramène le problème à des équations différentielles On ramène le problème à des équations différentielles du 1du 1erer ordre : on obtient un système à résoudre ordre : on obtient un système à résoudre

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1( ) ( ( ) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ( ) ( ))

i

i i i i i i i i i i i i i ii

v t t

a t v t t

v t t

a t m x t C v t v t C v t v t k t t k t tm

Résolution du problème

II.II. Mise en œuvre de RK4Mise en œuvre de RK4I. Rappels rapides

On définit la suite en posant :On définit la suite en posant :

1 2 3 4

1 2 3 4

( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( 2 ( ) )6

( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( 2 ( ) )6

ht v t f t h t h t k k k k

hv t a t g t v h v t h v t l l l l

Résolution du problème

II.II. Mise en œuvre de RK4Mise en œuvre de RK4I. Rappels rapides

On écrit les coefficients de RK4 :On écrit les coefficients de RK4 :

1 1

2 1 2 1

3 2 3 2

4 3 4 3

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )2 2 2 2 et

( , , ) ( , , )2 2 2 2

( , , ) ( , , )

k f t h l g t v h

h h h hk f t l h l g t v k h

h h h hk f t l h l g t v k h

k f t h h l h l g t h v h k h

Résolution du problème

II.II. Mise en œuvre de RK4Mise en œuvre de RK4II. Mise en œuvre sous Matlab

I. Initialisation du programme

Demande à l’utilisateur le temps d’analyse voulu et le Demande à l’utilisateur le temps d’analyse voulu et le pas désirépas désiré

Création de la matrice contenant les vitesses et deltas Création de la matrice contenant les vitesses et deltas des étages : dim(Y)=[8x(t/pas)]des étages : dim(Y)=[8x(t/pas)]

Création d’une matrice contenant les coefficientsCréation d’une matrice contenant les coefficients Initialisation du tempsInitialisation du temps

Résolution du problème

II.II. Mise en œuvre de RK4Mise en œuvre de RK4II. Mise en œuvre sous Matlab

II. Résolution en cascade

Double résolution en cascade à t donné et à étage Double résolution en cascade à t donné et à étage donnédonné

Création de la matrice colonne « aux » contenant les Création de la matrice colonne « aux » contenant les deltas vitesses augmentés par les coefficients de RK4deltas vitesses augmentés par les coefficients de RK4

Calcul des coefficients de RK4 dans des sous-Calcul des coefficients de RK4 dans des sous-programmesprogrammes

Mise à jour de la matrice principale à t donné pour Mise à jour de la matrice principale à t donné pour l’étage concernél’étage concerné

Résolution du problème

II.II. Mise en œuvre de RK4Mise en œuvre de RK4II. Mise en œuvre sous Matlab

III. Affichage du graphique

Calcul de la courbe modélisant l’excitation du sol lors Calcul de la courbe modélisant l’excitation du sol lors du séismedu séisme

Superposition à ce graphique des courbes modélisant Superposition à ce graphique des courbes modélisant les réponses des étages à l’excitation du solles réponses des étages à l’excitation du sol

Ajout de la légendeAjout de la légende

Résolution du problème

III.III. RésultatsRésultats

• La courbe obtenue est physiquement correcte.La courbe obtenue est physiquement correcte.

• Affiner le pas provoque une légère augmentation de Affiner le pas provoque une légère augmentation de l’amplitude, augmentation qui devient d’autant plus l’amplitude, augmentation qui devient d’autant plus légère que l’on affine d’avantage le pas.légère que l’on affine d’avantage le pas.

• Le bâtiment retrouve un équilibre assez lentementLe bâtiment retrouve un équilibre assez lentement