Projets de méthodes numériques

M2P COAB Eléments Finis – Application Comsol Multiphysics

Alain Sellier

1

Projets informatiques COMSOL

Contenu 1. Chaleur d’hydratation du béton, retrait thermique empêché ........................................................ 3

Contexte .............................................................................................................................................. 3

Travail demandé .................................................................................................................................. 5

2. Séchage d’une poutre en béton ...................................................................................................... 7

Contexte .............................................................................................................................................. 7

Travail demandé ................................................................................................................................ 10

3. Cylindre soumis à une élévation de température ......................................................................... 11

Contexte ............................................................................................................................................ 11

Travail demandé ................................................................................................................................ 13

4. Mur soumis à une incendie ........................................................................................................... 14

Contexte ............................................................................................................................................ 14

Travail demandé ................................................................................................................................ 16

5. Mur de réaction en béton armé soumis à la poussée d’un réacteur d’avion ............................... 17

Contexte ............................................................................................................................................ 17

Travail demandé ................................................................................................................................ 18

6. Analyse du champ de contraintes dans une console courte ......................................................... 21

Contexte ............................................................................................................................................ 21

Travail demandé ................................................................................................................................ 21

7. Fonctionnement d’un appui pour une poutre plus large que le poteau ....................................... 22

Contexte ............................................................................................................................................ 22

Travail demandé ................................................................................................................................ 22

8. Fonctionnement d’une fondation superficielle en béton armé .................................................... 23

Contexte ............................................................................................................................................ 23

Travail demandé ................................................................................................................................ 23

9. Tassement différentiel d’un sol sous une installation industrielle................................................ 24

Contexte ............................................................................................................................................ 24

Travail demandé ................................................................................................................................ 24

2

10. Etude de la plastification d’une platine d’encastrement poutre poteau en charpente

métallique.............................................................................................................................................. 25

Contexte ............................................................................................................................................ 25

Travail demandé ................................................................................................................................ 25

11. Etude la plastification d’un pied de poteau métallique soumis à un effort de compression

centré, et posé sur une fondation en béton armé. ............................................................................... 26

Contexte ............................................................................................................................................ 26

Travail demandé ................................................................................................................................ 26

12. Vibration d’une passerelle métallique ...................................................................................... 27

Contexte ............................................................................................................................................ 27

Travail demandé ................................................................................................................................ 27

13. Tassement différentiel des fondations d’un pont ..................................................................... 29

Contexte ............................................................................................................................................ 29

Travail demandé ................................................................................................................................ 29

Organisation des présentations orales .................................................................................................. 30

Rappel du contexte et des objectifs du projet .................................................................................. 30

Formulation ....................................................................................................................................... 30

Matériaux .......................................................................................................................................... 30

Géométrie et conditions aux limites ................................................................................................. 30

Résultats numérique ......................................................................................................................... 30

Intérêt pour l’ingénierie .................................................................................................................... 30

Conclusion générale .......................................................................................................................... 30

Nota : Pour l’ensemble des projets, seules certaines données sont imposées, les données

manquantes doivent être choisies en suivant les ordres de grandeur usuels. Il conviendra de

justifier les valeurs choisies en référençant les documents dont elles sont issues.

3

1. Chaleur d’hydratation du béton, retrait thermique empêché

Contexte Les risques de fissuration au jeune âge dans les ouvrages de grande dimension sont importants et

conduisent à un ferraillage significatif. Le projet national CEOS.fr s’est intéressé à cette

problématique. Dans ce projet des éléments de grande dimension ont été fabriqué pour étudier

l’élévation de température et le risque de fissuration. Parmi ces éléments le bloc RL10 présenté ci-

dessous est retenu pour cette étude.

Figure 1Bloc de béton testé pour analyser les risques de fissuration en retrait libre (PN

CEOS.fr)

La composition du béton est la suivante

COMPOSITION DU BETON (kg/m3)

CEM I 52.5 N CE CP2 NF 400

SABLE 0/4 GSM 785

GRAVILLON 4/20 GSM 980

Cimfluid Adagio 4019 5.4

Eau 185

L’étude du ciment a conduit au dégagement de chaleur ci-dessous

4

Figure 2 : Essai adiabatique du béton (chaleur dégagée lors de l’hydratation en J/g de ciment)

Afin d’approcher la courbe expérimentale de dégagement de chaleur, les fonctions suivantes sont

fournies :

( ) ( (

(

)

))

La source de chaler à considérer dans le modèle est par conséquent :

( )

(

)

( (

(

)

))

Dans cette expression, est à calculer en fonction de la composition du ciment et de la

figure 1, m est de l’ordre de 3 et tref de l’ordre de 5h. est un temps petit évitant la division par

zéro lors du démarrage du calcul (pour t=0), on peut prendre par exemple t0=tref/100.

La géométrie du bloc à étudier est la suivante :

5

Figure 3 Bloc d'essai pour test de chaleur d'hydratation(côtes en mm)

Le bloc est soumis à une convection sur son pourtour, le coefficient de convection est de 15W/m2K,

la température extérieure de 15°C. La température initiale du béton est de 20°C, la température

extérieure de 15°C.

Du point de vue mécanique on envisage 2 cas :

Le bloc est simplement appuyé sur sa face inférieure et libre de se dilater ou bien le bloc est encastré

à ces deux extrémités.

Travail demandé

Calculer l’histoire de température au cœur du bloc ainsi qu’au bord, tracer l’évolution du profil de

température entre le bord et le cœur en fonction du temps.

A B

6

Figure 4Allure indicative du profil de température en fonction du temps

Effectuer un calcul mécanique en faisant dépendre le module d’Young du temps suivant la fonction

suivante : Tracer la

( ) ((

) (

(

)

))

Tracer la carte des contrainte normale axiale au moment ou le gradient de température entre le

cœur et le bor de la piece sont maximums

Figure 5 Cartes des contraintes axiales

Etude paramétrique :

Répeter la procédure pour des géométries différentes du bloc. Que peut-on en déduire quant au

risque de fissuration au jeune en fonction de la taille du bloc ?

7

2. Séchage d’une poutre en béton

Contexte L’état hydrique du béton influence grandement son comportement : retrait, réactions chimiques

délétères, etc…Il est donc important de maîtriser cet état hydrique, le programme de recherche ci-

dessous concerne ce problème.

(Les résultats expérimentaux suivants sont extraits de la thèse LCPC de S.Multon.)

Les poutres sont constituées d’un béton ordinaire dont les caractéristiques mécaniques et le

comportement hydro-mécanique peuvent être déterminés à partir de résultats d’essais sur

éprouvettes « 11-22 ». Les poutres ont été maintenues dans une salle climatisée (HR 30%, 38°C,

figure ci-dessous) et ont fait l’objet d’un suivi hydrique particulièrement précis (suivi de masse et de

profils hydriques), les mesures des déformations et des déplacements ont également été effectuées.

Figure 2-1 : Poutres LCPC en salle climatisée (HR 30%, 38°C), système de pesée et gamma-

densimètre

Les dimensions des poutres sont : 0,25 m de large, 0,50 m de haut et 3 m de long, 2.80m entre

appuis. L’une est armée (P6) et l’autre non armée (P3). Les appuis, simples, sont situés à mi-hauteur

des poutres.

2 ribbed #10 bars 2 ribbed #16 bars 2 ribbed #8 bars

350

Concrete cover: 30 mm

540 350 350 350 350 350

Appuis simples

Figure 2 : Armatures de la poutre LCPC "P6"

8

Les poutres P3 et P6 ont été soumises à des conditions aux limites hydriques conduisant en un

premier temps à un séchage par la face supérieure et en un second temps à un remouillage de cette

face. La face inférieure a quant à elle été constamment maintenue immergée (Figure 2-2).

Air à 30 % de HR

Immersion en eau du bas des poutres

70 mm

430 mm 250 mm

Surface supérieure en contact avec de l'eau

Faces latérales étanches

1 ère phase : "séchage" pendant 14 mois

2 è me phase : "remouillage"

pendant 9 mois

Figure 2-2 : Histoire hydrique des poutres LCPC

Masse volumique 2320 kg/m3

Module d’Young 38700 MPa

Coefficient de Poisson 0.2

Porosité 16.4%

La diffusivité hydrique du béton (définie par la suite) évolue en fonction de la teneur en eau, plus le

béton est sec plus il difficile à sécher ! L’évolution du coefficient de diffusion est la suivante :

weDw 40exp19.3 12 (m2/s) où w est la teneur en eau (m3/m3)

Le retrait est quant à lui directement proportionnel à la perte de masse d’eau, le coefficient de

proportionnalité est 310.8,9 , le retrait est également définie ci-dessous.

La teneur en eau initiale de la poutre (avant l’essai) est de 0.13 m3/m3.

Par ailleurs l’étude de l’isotherme hydrique à 38°C de ce béton montre que la teneur en eau

correspondant à une humidité relative de 30% est de 0.025m3/m3.Ce qui signifie que partant d’un

état initial de 130l/m3 la partie supérieure va sécher jusqu’à 25 l/m3 alors que la partie inférieure va

s’humidifier jusqu’à saturation, soir 164l/m3.

La courbe ci-dessous donne l’évolution de la flèche de la poutre armée en fonction du temps. On

peut constater que la flèche à mi portée est maximale, elle atteint 1 mm à 9 mois, ensuite elle re-

diminue en raison de la ré-humidification de la partie supérieure.

9

Figure 3 : Evolution expérimentale de la flèche de la poutre en fonction du temps

Equation d’équilibre :

0 gdiv

Loi de comportement du béton en phase élastique avec prise en compte du retrait

eetr 2

Avec :

)1(2

)21)(1(

E

E

et Ire

Où r est la déformation isotrope de retrait estimée en fonction de la perte en eau avec l’équation

suivante :

0 wr .

Avec w la teneur en eau à un instant quelconque et 0 la porosité du béton.

La teneur en eau est quant à elle estimée en résolvant l’équation de bilan de masse d’eau suivante :

)( wdivt

w

Flèches de la poutre P6

-1,20

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0 100 200 300 400 500 600 700

Temps (jour)

Flè

che

(mm

)

Abscisses 0,4 m

Abscisses 0,95 m

Abscisses 1,5 m

Abscisses 2,05 m

Abscisses 2,6 m

10

Avec w le flux hydrique lui-même relié au gradient de teneur en eau par l’équation suivante

)(wgradDww

Dans cette équation la diffusivité hydrique dépend de la teneur en eau comme indiqué au

paragraphe 1.3.

On suppose que l’humidité relative de 30%HR (w=0.025m3/m3) est atteinte progressivement en 1

jour et maintenue ensuite 9 mois. Ensuite la partie supérieure est remise en saturation (cf figure 2.3)

en un jour et maintenue ainsi jusqu’à la fin de l’essai.

Travail demandé Montrer que le problème est analogue à de la thermo mécanique, expliquer quel doit être la

température initiale, la conductivité, le coefficient de dilatation de façon à simuler les effets

mécaniques du retrait.

Calculer les champs de teneurs en eau sur la plage de temps de la figure précédente. Calculer la

flèche à mi portée et comparer là à la flèche expérimentale.

Dessiner l’évolution du profil de teneur en eau en fonction du temps.

Ajuster éventuellement les pseudos coefficients de « dilation » et de diffusion pour coller au mieux à

la courbe expérimentale.

Figure 4 Allure du champ de teneur en eau

Une fois le modèle ajusté sur cette poutre, dessiner l’évolution de la contrainte axiale en partie

supérieure, à mi-hauteur et en bas de la poutre en fonction du temps. Y a-t-il un risque de fissuration

de la poutre ? Expliquer à quel moment et à quel endroit des fissures pourraient apparaître.

Envisager un second cas d’étude virtuel pour lequel le retrait est empêché par encastrement des

extrémités de la poutre. Comparer les champs de contraintes et les risques de fissuration avec la

poutre simplement appuyée, conclusion ?

11

3. Cylindre soumis à une élévation de température

Contexte Dans le but de mettre au point un modèle permettant de prédire le comportement du béton armé en

situation accidentelle dans le contexte de l’industrie nucléaire, le Commissariat à l’Energie Atomique

de Saclay a procédé à un essai dit « thermo-hydro-mécanique » en température élevée. Cet essai

appelé « Maqbeth » pour « maquette en béton sous sollicitation thermo-hydrique » a consisté à

construire un cylindre en béton armé et à le chauffer intérieurement grâce à un mandrin de chauffe

jusqu’à 200 °C et à maintenir la température pendant 2 mois environ. le cycle thermique imposé à la

paroi interne de la maquette peut être schématisé en quatre phases : une première montée en

température de 20 à 150°C (durée 22 heures), une décroissance de la température de 150 à 75°C

(durée 10 heures), une phase de montée en température de 75 à 200°C (durée 21 heures), un palier

à 200°C (durée 2 mois environ).La géométrie de l’essai est présentée ci-dessous.

Figure 5 :Vue générale de la maquette MAQBETH en début d’essai (gauche) et mandrin chauffant

(droite)

Figure 6 : Représentation schématique de la maquette et des conditions aux limites

Le chauffage important a rapidement conduit à une dilatation thermique en face intérieure et à une

dilatation différentielle entre la face chauffée intérieure et la face externe non chauffée. Cette

dilatation différentielle a produit une fissuration en face externe comme le montre la figure ci-

dessous :

12

Figure 7 : Fissuration observée en face externe

Le gradient thermique a été mesuré expérimentalement à l’aide de sondes de température. Le profil

obtenu à différentes échéance est donné ci-dessous.

Figure 8 : Profils de température le long d'un rayon à mi-hauteur de "Maqbeth"

L’eau présente dans la porosité du béton ainsi que l’eau de certains hydrates s’est évaporée et a

migré sous l’effet des surpressions générées en zone chaude pour aller vers l’extérieur plus froid, ce

qui explique les suintements d’eau observables au niveau des fissures sur la figure 3. Ces

surpressions ont également été mesurées à l’aide de capteurs, les profils mesurés sont présentés sur

la figure 4.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 100 200 300 400 500 600

Epaisseur (mm)

Tem

pér

atu

re (

°C)

13.9 H

19.5 H

27.8 H

55.6 H

138.9 H

13

Figure 9 : Profils des surpressions interstitielles (bars)

Nous nous intéressons ici à la simulation numérique des profils de température et des profils de

surpression de vapeur dans la porosité. L’équation de conservation de la quantité de chaleur s’écrit :

TSTgraddivt

CT

)(

)(

Avec la masse volumique du béton (2300kg/m3), C sa capacité calorifique (900J/kg°C), la

conductivité thermique (2.2W/m/°C). ST la quantité de chaleur nécessaire à l’évaporation de l’eau (

tmlLST / ) avec L la chaleur latente de vaporisation de l’eau (2300kJ/kg) et ml la masse

d’eau évaporable.

Si l’on considère que le béton n’est pas totalement saturé et que la vapeur se met en pression dans la

porosité, on peut estimer cette pression en assimilant la vapeur à un gaz parfait, on a alors :

RTM

mvPv

Avec mv la masse de vapeur par m3 de béton, M la masse molaire de l’eau (18g/mol), R la constante

des gaz parfaits (8.31J/°K),T la température (°C) et la porosité accessible à la vapeur.

Travail demandé Après avoir procédé aux simplifications possibles (en les justifiant), déterminer les profils de

température en fonction du temps le long d’un rayon du cylindre, comparer aux résultats

expérimentaux.

Déduisez de ces températures les profils de pression de vapeur en supposant que toute l’eau libre se

vaporise dans les zones où la température est supérieure à 100°C. Ajustez la quantité d’eau

évaporable pour retrouver le profil de pression de vapeur à 61h.

Réaliser une étude thermo-mécanique du cylindre ; expliquer comment les contraintes verticales,

radiales, et ortho-radiales, évoluent sur les faces internes et externes, déduisez en la direction

possible des fissures et le moment où elles devraient apparaître.

0

2 .5

5

7 .5

1 0

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0

E p a is s e u r (m m )

Pre

ss

ion

(b

ar) 4 1 ,7 H

4 8 ,7 H

5 5 ,7 H

6 1 ,3 H

14

4. Mur soumis à une incendie

Contexte Un mur de 3m de haut et 20 cm d’épaisseur est soumis à un incendie sur sa face gauche, il est armé

par des barres horizontales et verticales de diamètre 8 mm espacées de 80 mm (treillis soudé).

Figure 10 schéma d’un volume élémentaire de mur

La courbe de température du côté gauche du mur est la suivante :

Figure 11 Courbe de température coté droit du mur(°C)

Les propriétés thermiques du béton dépendent de la température comme suit :

8cm

4cm 4cm 12cm

Armatures horizontales diamètre 8mm

Armatures verticales diamètre 8mm

15

Figure 12 : Capacité thermique(J/kgK)

Figure 13 : Conductivité thermique(W/mK)

Figure 14 : Masse volumique équivalente (kg/m3)

Le coefficient de convection coté incendie est de 25W/m2K, il n’est que de 5W/m2K côté opposé.

16

Travail demandé Déterminer les profils de température dans le mur pour différent temps en envisageant

successivement les simplifications suivantes :

- Calcul 1D

- Calcul 2D sur 8cm de haut

- Calcul 3D d’un élément de 8cm x 8cm x 20 cm avec les treillis soudés et sans les treillis

soudés.

- Comparer les résultats

- A quelle erreur conduit le fait de négliger les treillis soudés lors du calcul de la température,

quelle seront les conséquences de cette approximation pour les calculs suivants ?

Effectuer un calcul thermo mécanique d’une section de mur 2D contrainte plane, sans simuler le

treillis, en supposant d’une part que le mur est encastré à sa base et d’autre part les différentes

variantes de conditions aux limites en haut du mur :

- le mur est libre en haut,

- il est bloqué horizontalement en haut,

- il est bloqué horizontalement et verticalement en haut.

Comparer les états de déformation et les champs de contraintes dans le béton 1 heure après le

début de l’incendie.

Parmi les 3 configurations de conditions aux limites en haut, laquelle est la plus préjudiciable ?

Justifier votre réponse en comparant les déplacements horizontaux et verticaux en tête du mur

et l’état de contrainte normale vertical sur une section droite à mi-hauteur du mur.

17

5. Mur de réaction en béton armé soumis à la poussée d’un réacteur

d’avion

Contexte Il s’agit de la rehausse d’un remblai de protection destinée à arrêter le souffle des réacteurs lors des

essais aéronautiques. L’avion est disposé à 40m du remblai lors du test (côté droit sur la figure ci-

dessous). Nous souhaitons étudier l’effet du souffle de plusieurs manières. Tout d’abord un calcul

mécanique élastique linéaire du mur seul encastré sur le sol doit permettre de connaître la période

propre de vibration du mur.

En un second temps de l’air est injecté à 40m du remblai à une vitesse de 50m/s, et un calcul statique

des pressions sur le mur est réalisé.

En un dernier temps un calcul dynamique en interaction fluide structure sera testé. Les résultats

pourront alors comparés aux deux calculs précédents.

Figure 15 Remblais en terre et rehausse en béton

Le détail de la géométrie de la rehausse en béton est donné sur la figure suivante, attention le

schéma est inversé par rapport au précédent. Il conviendra de positionner la rehausse dans le bon

sens en fonction de la direction du souffle envisagée.

Sens de l’écoulement de l’air

18

Figure 16 Détail de la rehausse en béton

On suppose la rehausse en béton encastré sur le remblai. Le souffle du réacteur d’avion sera

modélisé par un vent de 50m/s injecté à 40 m du mur.

Travail demandé On s’intéresse en un premier temps au comportement de la structure en béton armé. Le problème

est 2D en contrainte plane. Il est Indépendant du problème aérodynamique, il s’agit ici de calculer les

19

1ère périodes propres de vibration et les modes propres de l’élément en béton. Présenter les

résultats sous la forme des 3 1er modes propres et périodes propres associées.

En un second temps on ne s’intéresse plus à la structure mais à la pression et à la vitesse de l’air.

Pour cela on modélise un grand volume d’air autour de la structure, on est alors en mécanique des

fluides, écoulement laminaire. Pour l’air on n’utilisera une masse volumique constante de 1.2kg/m3

et une viscosité de 1.8e-5 Pa.s. L’objectif est de calculer la répartition des vitesses et des pressions

dans le cadre d’un calcul statique de mécanique des fluides, la vitesse d’entrée de l’air côté gauche

est de 50m/s, la sortie de l’air côté droit est contrôlée par une pression imposée nulle comme illustré

sur la figure suivantes. Le côté droit et le haut du maillage devront être repoussé aussi loin que

nécessaire pour ne pas perturber la solution cherchée. Ce point devra être justifié.

Une fois les pressions estimés, tracer les champs de pression et de vitesse, tracer également le

champ de pression à gauche et à droite du mur, déduisez en la pression résultante à prendre en

compte pour calculer le mur.

Figure 17 Exemple de champ de vitesse obtenu avec le module mécanique des fluides

En un troisième temps on cherche la réponse du mur en interaction fluide structure en régime

transitoire, la vitesse maximale du vent passe de 0 à 50m/s en 50s, le souffle est maintenu ensuite

pendant 120s et retombe à 0 en 60s.

Le calcul sera mené en couplage unidirectionnel : en un premier temps on résout le problème de

mécanique des fluides, en un second temps on déduit la réponse de la structure en supposant que

celle-ci ne perturbe pas l’écoulement fluide. Ce mode de calcul en deux temps facilite la

convergence.

Constatez-vous une oscillation du mur ? La vitesse d’oscillation est-elle proche de la période propre

de vibration ?

Pression

nulle Arrivée

d’air 50m/s

Glissement de l’air non autorisé

Glissement de l’air autorisé

20

Pensez-vous que la simple application du profil de pression calculé plus haut permette de

dimensionner le mur ?

Quel serait le coefficient d’amplification dynamique à appliquer à la pression statique pour trouver le

déplacement maximal atteint lors de l’oscillation du mur ?

21

6. Analyse du champ de contraintes dans une console courte

Contexte Modéliser une console courte en 3D, mécanique non linéaire, avec un critère de Von Mises dont la

limite élastique est de 30MPa. Paramétrer l’angle d’inclinaison et la longueur de la console en vue

d’un étude paramétrique.

Figure 18 : principe de la modélisation de la console courte

Travail demandé Expliquer pourquoi un critère de Von Mises avec une limite à 30MPa permet d’avoir une

approximation du champ de contrainte de compression si la console est armée correctement dans

ses zones tendues.

Pour différente configuration géométriques (rapport longueur sur hauteur de la console):

Visualiser les directions des contraintes principales de traction et de compression.

Expliquer comment ce type de console est calculé d’un point de vue règlementaire, mettez en

relation les prescriptions règlementaires et l’analyse par éléments finis.

A partir de quelle portée peut-on considérer que la console fonctionne non plus comme une console

mais comme une poutre ? Justifier votre calcul en comparant le déplacement en extrémité de

console calculé par élément fini et celui que vous obtiendriez avec la théorie des poutres d’Euler

(pour cette dernière étape, utiliser un console à section droite constante).

Chargement 1

Chargement 2

encastrement 1

22

7. Fonctionnement d’un appui pour une poutre plus large que le

poteau

Contexte Il arrive, pour des raisons architecturales, que qu’une poutre en béton armé soit plus large que le

poteau sur lequel elle doit s’appuyer. Cette étude vise à améliorer la compréhension du

fonctionnement de ce type de liaisons

Figure 19 : Extrémité de la poutre et poteau

Travail demandé Une poutre de largeur 2b et de hauteur h (variant de b à 3b) vient en appui sur un poteau carré de

section b x b. Il est demandé de visualiser le chemin des contraintes principales depuis la poutre

jusqu’au poteau et d’en déduire une possible méthode de calcul « ingénieur », ainsi qu’un principe

de ferraillage basé sur le chemin des contraintes de traction.

L’analyse sera conduite avec une loi de comportement élasto-plastique, un critère de Von-Mises sera

utilisé avec une contrainte limite élastique égale à celle du béton en compression. On justifiera une

telle approximation non seulement pour les zones comprimées mais aussi pour les zones tendues

armées et potentiellement fissurées.

U=0, W imposé

encastrement

23

8. Fonctionnement d’une fondation superficielle en béton armé

Contexte Une fondation superficielle située sous un poteau carré est disposée sur un sol de qualité courante.

Figure 20 : Massif de fondation, sol et poteau

Travail demandé A partir d’une analyse non linéaire 3D, expliquer pourquoi le débord de la semelle ne peut pas être

excessif, justifier les prescriptions réglementaires en matière d’élancement de semelles superficielles

à partir d’une analyse paramétrique portant sur le rapport débord / hauteur de la semelle. Vous

étudierez en particulier l’état de contrainte de compression à l’interface sol-béton sous la semelle

pour différentes configurations géométriques.

On mènera l’analyse avec des matériaux élasto-plastiques en prenant un critère Von mises et la

résistance à la compression des matériaux comme seuil de plasticité.

Pourquoi cette analyse simplifiée élasto-plastique reste-elle réaliste pour un élément en béton armé

alors que le béton tendu est supposé se fissurer pour une contrainte bien plus faible que la

résistance à la compression ?

Appuis plans sol

Contrainte imposée

Fondation

24

9. Tassement différentiel d’un sol sous une installation industrielle

Contexte Un silo doit être construit non loin d’un premier silo existant. Les fondations superficielles des deux

silos interagissent, si bien que la construction du second engendre un inclinaison du premier.

Figure 21 Principe du modèle à réaliser pour étudier le tassement différentiel des fondations

Travail demandé Modéliser en 3D le sous-sol et les fondations des deux silos. Etudier l’inclinaison du premier silo en

fonction de la distance / au second et de la qualité du sous-sol.

Envisager au moins trois qualités de sous-sols et effectuer pour chaque qualité de sous-sol une

analyse paramétrique automatique permettant de connaitre l’inclinaison en radian du premier silo

après la construction du second.

Répéter l’analyse en faisant varier l’épaisseur du sous-sol compressible.

Déduisez en des règles à respecter en fonction de l’épaisseur du sous-sol compressible et de la

distance entre les deux silos, le but est d’éviter une inclinaison des silos de plus de 1/100ème de rad.

Appuis plans

Fondation du 1er silo Fondation du 2ème

silo

Sol compressible

25

10. Etude de la plastification d’une platine d’encastrement poutre

poteau en charpente métallique

Contexte On suppose une liaison rigide entre une poutre et un poteau constitués d’IPE. Une platine métallique

est soudée à l’extrémité de la poutre et fixée par des boulons précontraints sur la semelle du poteau.

On suppose que les boulons sont surdimensionnés si bien que le décollement de la platine et de la

semelle du poteau ne sont pas envisagés.

Figure 22 : principe de l'analyse élasto-plastique d'un assemblage métallique rigide

Travail demandé On réalise une analyse élasto-plastique du comportement de cet assemblage. On adopte un critère

de Von Mises avec une limite élastique à 235MPa et un écrouissage nul. La rupture est supposée

obtenue lorsque la force associée au déplacement vertical imposé atteint un palier.

On souhaite déterminer les mécanismes de ruine en fonction de l’épaisseur de la platine (variant de

0.5x l’épaisseur de la semelle du poteau à 2 x l’épaisseur de la semelle du poteau). Pour cela on

réalise un maillage 3D paramétrique d’un demi assemblable, on encastre le poteau à sa base et on

impose un déplacement vertical croissant sur la section de la poutre.

Pour chaque cas d’étude on trace la courbe force déplacement et on analyse le mécanisme plastique.

Que peut-on en tirer quant au rôle de la platine dans le mécanisme de plastification lorsque les

boulons sont surdimensionnés ?

Déplacement

vertical imposé

Appui plan de symétrie

Encastrement

26

11. Etude la plastification d’un pied de poteau métallique soumis à

un effort de compression centré, et posé sur une fondation en béton

armé.

Contexte Un pied de poteau (type IPE) est posé sur une platine elle-même en appui sur une semelle en béton

armé. On souhaite savoir quelle épaisseur et largeur de platine permet de diffuser l’effort de

compression de l’IPE dans la fondation sans la poinçonner et sans plastifier la platine.

Figure 23 1/4 de pied de poteau, platine et fondation

Travail demandé On modélisera en 3D un quart de pied de poteau, le débord de la platine et son épaisseur seront

paramétrés. La fondation aura une dimension suffisante pour ne pas perturber les résultats.

L’IPE, la platine et la fondation seront modélisés par des matériaux élasto-plastiques avec des limites

élastiques réalistes à justifier pour chacun des matériaux.

La rupture de la fondation sera supposé atteinte lorsque la courbe force déplacement imposée

atteindra un palier.

Pour chaque cas d’étude, on analysera le mécanisme de rupture.

Les résultats obtenus seront mis en relation avec les dispositions règlementaires de l’EC3 concernant

les calculs des pieds de poteau métallique.

Plan de

symétrie

fondation

platine

poteau Déplacement vertical

imposéé

27

12. Vibration d’une passerelle métallique

Contexte Une passerelle pour piétons, métallique & mixte d’environ 16 m de portée est composée d’un

caisson métallique fermé et d’une dalle de compression liée au caisson par des connecteurs rigides.

La passerelle a une géométrie courbe (rayon de courbure dans le plan de 20 m et ouverture de 45°) ;

elle est encastrée aux deux extrémités dans un massif de fondation en béton armé.

Le caisson métallique fait environ 50cm de haut ; les flancs du caisson sont inclinés à 45° la passerelle

fait 3 m de large, la dalle BA d’épaisseur 15cm dépasse de 50cm de chaque côté du caisson.

Figure 24 : Exemple de mode propre de vibration de la passerelle mixte

Travail demandé En un premier temps dimensionner l’épaisseur des tôle d’acier du caisson et la dalle de façon à ce

que la contrainte dans l’acier n’excède pas 235MPa et celle dans la dalle de béton 50MPa. Utiliser

pour cela le module de calcul stationnaire avec une charge répartie de 500daN/m2 (non pondérée).

Veillez également à ce que la flèche n’excède pas 10cm sous ce chargement.

Dalle béton et acier

collaborant

Encastrements

Angle 45°, rayon 20 m

Caisson métallique fermé

28

Figure 25 Contrainte de Von Mises et flèche lors du calcul de dimensionnement

Dans un second temps calculer les 5 premiers modes propres de vibration. Comparer à la fréquence

de la marche des piétons passants sur le pont. Rechercher dans la bibliographie des critères de

confort par rapport au risque de vibration de la passerelle. Modifier la passerelle si celle-ci ne vérifie

pas ces critères.

Expliquer votre démarche de dimensionnement et de vérification « anti vibration » en vous appuyant

sur des analyses aux éléments finis.

29

13. Tassement différentiel des fondations d’un pont

Contexte Un pont en béton précontraint hyperstatique sur trois travées est posé sur des poteaux fondés sur

des fondations superficielles. Le sous-sol étant est de qualité moyenne, l’étude consiste à quantifier

l’évolution des contraintes dans la tabler du pont en fonction de l’épaisseur du sol compressible sous

les fondations et de leur module.

Figure 26 : Schéma du pont, des fondations de poteaux, et du sol compressible

Travail demandé

Après avoir défini une géométrie de pont compatible avec un dimensionnement courant, estimer le

surplus de contrainte axiale induit par la compressibilité du sol lors du chargement du pont par un

convoi ou une charge répartie.

Effectuer une analyse paramétrique en faisant varier l’épaisseur du sol compressible et son module.

Existe-t-il un rapport Module de compressibilité du sol / épaisseur au-delà duquel le système par

fondation superficielle ne crée pas de surplus de contrainte supérieure à 10% de celui que l’on aurait

avec un sol incompressible ou des pieux ? Justifier votre réponse à partir de l’analyse paramétrique

éléments finis.

Sol incompressible

Sol compressible

Tablier du pont

Poteau

Fondations superficielles

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Organisation des présentations orales

Rappel du contexte et des objectifs du projet - Contexte

- Questions posées dans le sujet

- Objectifs de l’étude paramétrique le cas échéant

Formulation - Dimension du problème

- Eléments finis utilisés : mécanique, poutre, coque, massif, plastique, thermique,

thermomécanique, analogies…

- Equations de conservation

- Variables d’état, Lois d’état et variables associées

- Non linéarité matérielle : plasticité, dépendance d’un paramètre à une variable d’état

- Type de résolution : stationnaire, temporelle, fréquence propre, paramétrique…

Matériaux - Hypothèse simplificatrice, système d’unité utilisé

- Tableau récapitulatif des données matériaux

Géométrie et conditions aux limites - Simplification réalisées

- Condition aux limites

- Neumann pour chaque formulation

- Dirichlet pour chaque formulation

- Traitement des conditions aux limites variables en espace et temps le cas échéant

Résultats numériques - Justification du choix des variables à afficher pour exploiter les résultats (contrainte xx,

intégrale d’une contrainte, flux, intégrale de flux, champ multidimensionnel, coupe,

graphique sur un point, graphique sur une ligne, variables dérivée -temps…)

- Analyse comparative des résultats numériques

Intérêt pour l’ingénierie - Comparaison des résultats avec des prescriptions réglementaires

- Leçons à tirer pour le dimensionnement d’élément dans un contexte semblable

Conclusion générale - Rappel des points forts de l’étude

- Difficultés rencontrées

- Améliorations possibles