Proposition de programmes de calculs en mise en train

Programme 1 :

Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.

Programme 2 :

Je choisis un nombreJe lui ajoute 3Je multiplie le résultat par 5je soustrais le nombre choisi

Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 35, si j'obtiens 25, si j'obtiens 28 ?

Programme 3 :

Je choisis un nombre commun pour les deux programmes

Programme A :

je le multiplie par 2 puis j'ajoute 1

Je calcule le carré du résultat

Programme B

Je le multiplie par 2 puis j'ajoute 3

Je calcule le carré du résultat

Je soustrais 8 et huit fois le nombre de départ.

Essai-conjecture-preuve

Programme 4 :

Je choisis un nombre

Je le multiplie par 3

J'ajoute 5 au résultat

Je choisis un nombre

Je lui ajoute 5

Je multiplie le résultat par 3

Tester ce programme pour plusieurs valeurs, que peut-on remarquer ?

Ou : Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 24, si j'obtiens 26 ?

Programme 5 :

- on choisit trois nombres consécutifs - on calcule le carré de celui du milieu - on lui soustrait le produit du plus petit par le plus grand.

Essai-conjecture-preuve

Programme 6 :

Effectue le produit de 3 nombres consécutifs, que remarques tu ? Prouve le.

Programme 7 :

Choisis un nombre entier, multiplie le par son suivant puis retranche au résultat le nombre choisi au départ, que remarques-tu ? Prouve le.

Programme 8 :

On choisit trois nombres consécutifs, on calcule le carré du plus grand et le carré du plus petit , on calcule la différence des deux carrés.

Essai-conjecture-preuve

Programme 9 : Trouver x tel que si je le multiplie par 5 et que j'ajoute 2, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 6

(solution entière, trouvée souvent par tâtonnement)

Programme 10 : Trouver x tel que si je le multiplie par 6 et que j'ajoute 5, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 7 (solution fractionnaire nécessitant d'avoir mis au point des stratégies)

Programme 11 : Trouver x tel que si je le multiplie par 5 et que j'ajoute 5, je trouve le même résultat que si je le multiplie par 2 et que j'ajoute 7 (solution id. à la précédente, remarquer une relation entre les équations)

Programme 12 : Je cherche le nombre qui lorsqu'on le multiple par 5 et qu'on ajoute 21 au résultat donne le même résultat que lorsqu'on le multiplie par 3 et qu'on ajoute 7 au résultat.

Programme 13 :

Nina et Nino choisissent un nombre, Nina lui ajoute 3 et multiplie le résultat par 5 et Nino le multiplie par 6 et retranche 10. Ils trouvent le même résultat. Quel est ce nombre ?

Ou avec la procédure calculette :Nina et Nino ont chacun une calculatrice. Ils ont « tapé » le même nombre.Ensuite, Nina a appuyé sur les touches :

et, Nino a appuyé sur les touches :

Surprise ! Ils obtiennent aussi le même résultat ! Quel nombre ont-ils bien pu choisir ?

+ 3 = =X 5

X 6 10 =

Programme 14 :

Je choisis un nombre, je lui ajoute 4, je multiplie le résultat par 5 puis je retranche 20.Calculer le résultat obtenu.

Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 25, 12 ?

Programme 15 :

Choisir deux nombres quelconquesCalculer la somme de leurs carrés Ajouter au résultat le double du produit des nombres de départ

essai-conjecture-preuve

(on peut proposer 6,1 et 0,9 ; ou 4 et 3 ; ou 1,6 et 3,4)

Programme 16 :

choisir un nombreajouter 4 au nombre choisisoustraire 4 au nombre choisimultiplier les 2 résultats précédents ajouter 16 au résultat précédent

essai-conjecture-preuve

Programme 17 :

Choisir un nombreLe mettre au cubeEnlever au résultat le nombre de départEssai-conjecture-preuve (on trouve un multiple de 6)

Programme 18 :

Prendre un nombre,lui ajouter 3, multiplier le résultat par -2 puis ajouter le double du nombre de départ.

essai-conjecture-preuve

Programme 19 :Choisis un nombre entierMultiplie le par son suivantEt soustrais le carré du nombre choisi au départ.

essai-conjecture-preuve

Programme 20 :

Choisis un nombre Multiplie le par 2 et ajoute 3Multiplie le résultat par 5 Enlève 10 fois le nombre de départ

essai-conjecture-preuve

Programme 21 :

Choisir un nombre. Calculer la somme de son double, de son triple et de sa moitié.Diviser ce résultat par 11.

Quelle conjecture peut-on faire? La démontrer.

Programme 22 :

Je choisis un nombre je lui ajoute 5, je multiplie le résultat par -5 puis j'ajoute le double du nombre de départ. Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 11, -4 ?

Programme 23 :

on choisit un nombreon soustrait 1 à ce nombreon multiplie le résultat par 10au résultat on soustrait le triple du nombre de départ puis on ajoute 3.

essai-conjecture-preuve

Programme 24 :

on choisit un nombre, on calcule la somme de son carré, de son double et de 1. Quel(s) nombre(s) a-t-on choisi si on obtient 0,25 ?

Programme 25 :

• Choisir un nombre

• lui ajouter 4

• Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi

• Ajouter 4 à ce produit

• Écrire le résultat obtenu.

Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 1 ?

Les grands types de tâches  en algèbre :

✗Passage de la formulation « en mots » à la formulation littérale (expression algébrique du programme de calcul).

✗Rechercher une écriture «mieux adaptée» à un certain travail mathématique

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Seminaire_2006-2007.pdf

Chevallard, 2007 (cours aux professeurs stagiaires)

(p.167-171)

Deux exemples d'utilisation des programmes de calculs :

Pré – équations

Preuve

Au tableau : Programme de calcul : Choisir 3 entiers consécutifsCalculer leur somme

Faire plusieurs essaisQuelle conjecture peut-on écrire  ?prouver la conjecture

Une activité de preuve

Objectifs : ✗ Notion de preuve (exemples / cas général, propriétés)

Outils (réinvestissement ) : ✗ Démarche Essai / conjecture / preuve✗ Propriétés d'algèbre (distributivité, commutativité)✗ Écriture des nombres consécutifs, des multiples

Institutionnalisation : ✗ On ne prouve pas la conjecture avec des exemples, il

faut utiliser des lettres et des propriétés.✗ La preuve peut être plus facile ou plus difficile suivant

le choix de l'écriture des nombres consécutifs.

Copies d'élèves

La conjecture n'est pas vraiment écrite mais indiquée en rouge

Plusieurs conjectures

Au tableau :Je choisis un nombreJe lui ajoute 3Je multiplie le résultat par 5je soustrais le nombre choisi

Quel nombre ai-je choisi si j'obtiens 35, si j'obtiens 25, si j'obtiens 28  ?

Pré-équation : Programme de calcul à remonter, 2ème séance

Objectifs : ✗ Montrer la nécessité de transformer le programme de

calcul pour pouvoir le remonter

Outils (réinvestissement ) : ✗ Opérations réciproques✗ Distributivité✗ Expression littérale <-->représentation ou langage

naturel

Institutionnalisation : ✗ On ne peut pas remonter un programme de calcul si

on utilise de nombre choisi à la dernière étape✗ On peut faire des essais organisés✗ On peut alors écrire l'expression du programme de

calcul et utiliser la distributivité pour le transformer en un programme que l'on peut remonter

Copies d'élèves

Écriture sous forme d'opération à trou

Essai / erreur

L'élève essaye de remonter le calcul

Tentative de simplifier le programme

TRAIN : Travail de Recherche ou d’Approfondissement avec prise d’INitiative

DES EXEMPLES D'UTILISATION DE LA MISE EN TRAIN deux premières semaines de cette année de cinquième.

MET Objectif Activité Bilan possible

1 Calcul mental Proposer des calculs : suite d'additions et suite de multiplications (compléments à 10, 100 ...)

Rappel des règles de calcul mental, commutativité, associativité.

2 Programme de calcul Je cherche le nombre qui lorsque je le multiplie par 3 donne 117

Opération réciproque

3 Calcul mental 98 x 44 + 44 x 227 x 104

Première approche de la distributivité avec des nombres.

4 Programme de calcul Je cherche le nombre qui lorsque je le multiplie par 3 et que j'ajoute

10 au résultat donne 73

Opération réciproque

5 Calcul mental 104 x 36 - 36 x 427 x 98

Distributivité avec des nombres.

6 Programme de calcul Je choisis un nombreJe lui ajoute 5Je multiplie le résultat par 2Je retranche 10

Quel nombre ai-je choisi si je trouve 32 ? 55 ?

Opération réciproqueÉmettre une conjectureRéfléchir à la preuve, à un codage pour le nombre choisi.(les élèves peuvent remonter le calcul ou remarquer que le résultat est le double du nombre choisi)

7 Calcul mental 106 x 38 – 38 x 6108 x 4596 x 4983 x 28 + 17 x 28

Distributivité avec des nombres, objectif d'écrire la formule avec des moules.

8 Production de formule Avec des allumettes, je construis des triangles selon le modèle ci-dessous

Combien faut-il d’allumettes pour construire 1 triangle ? 2 triangles ? 5 triangles ? 10 triangles ? 100 triangles ? 265 triangles ?Trouver une formule pour dire le nombre d’allumettes nécessaires en fonction du nombre de triangles construits.

Introduction de la lettre

TRAIN : Travail de Recherche ou d’Approfondissement avec prise d’INitiative

EXEMPLES D'UTILISATION DE LA MISE EN TRAIN : deux premières semaines de troisième.

MET Objectif Activité Bilan possible

1 Réviser le calcul fractionnaire Proposer deux calculs sur les fractions avec des priorités opératoires (sans division)

Rappel concernant les règles de calcul sur les fractions et sur la présentation.

2 Réviser la géométrie

A

C

B

?

AB = 5 cm et BC = 4 cm

Rappel des théorèmes sur le triangle rectangle

3 Réviser le calcul fractionnaire Proposer deux ou trois calculs sur les fractions avec les priorités opératoires et des divisions.

Rappel concernant la division de fractions

4 Réviser la géométrie

A

E

D

C

B

23

1

(AE) // (BD)Combien mesure [CE]

Rappel du théorème de Thalès

5 Réviser le calcul fractionnaire Problèmes sur les fractions Fraction d'une quantité, fraction d'une fraction, traduction du problème en opérations.

6 Réviser la géométrie Rappel des théorèmes sur le triangle rectangle et les aires.

7 Réviser le calcul fractionnaire Problèmes sur les fractions Fraction d'une quantité, fraction d'une fraction, traduction du problème en opérations.

8 Réviser la géométrie Tracer le triangle EFG tel que EF=3,6cm, EG=6cm, FG=4,8cm.Quelle est la mesure de l'angle EGF

Rappel sur la rédaction de la propriété de Pythagore, le cosinus

9 Utiliser l'arithmétique Le nombre de marches d’un escalier est compris entre 40 et 80.• Si on compte ces marches deux par deux, il en reste une.• Si on les compte trois par trois, il en reste deux.• Si on les compte cinq par cinq, il en reste quatre.Quel est le nombre de marches de cet escalier ?

Comment résoudre un problème :exposé des différentes stratégies des élèves

AB = 8 cm , AD = 4 cmCalculer l'aire du triangle ADB

Progression 3ème Cours principal Mise en TRAIN

Arithmétique (et fractions) et nombres 1. Savoir différencier un décimal d'un rationnel

non décimal 2. Savoir reconnaître multiple et diviseur 3. Savoir calculer le PGCD de deux nombres en

utilisant un algorithme 4. Savoir rendre une fraction irréductible 5. Savoir résoudre des problèmes relevant de

la division ou du PGCD

Boite mystère

écrire un

dans laquelle les élèves doivent trouver le nombre caché pour le premier jour puis on réinvestira régulièrement cette activité.

nombre non rationnel (pour introduire les irrationnels en leur donnant du sens) il s'agit de déterminer une partie décimale infinie qui ne soit pas périodique.

Géométrie : revenir sur triangle rectangle et cercle, cosinus, Thalès, Pythagore, mini démonstrations qui seront prises dans le livre pages 203, 204, 183 et 184 En profiter pour redonner les fiches outils.

Calcul fractionnaires

Exercices sur la

: Revenir sur les règles de calcul, priorités, problèmes avec des fractions

division euclidienne (problème des yaourts, des escaliers, des DVD…)

Reprise géométrie – Thales direct

1. Réactiver les connaissances de géométrie 2. Quadrilatères 3. Triangles : droites remarquables,

Pythagore, Cercle, Thalès 4. Revoir les règles de la démonstration 5. Savoir calculer des longueurs en particulier

à l’aide du théorème de Thalès Penser un peu avant un contrôle à mettre en place l’activité : « A votre avis, où se situera la moyenne de la classe au prochain devoir ? Justifier votre réponse » cf travail à faire en amont du chapitre Probabilité.

Trouve x : des « trouve x » parlé ( je pense à un nombre, je le multiplie par 4 et j’ajoute 7, je trouve 5 moins le produit de 3 par le nombre auquel je pense. Quel est le nombre en question ?) et des « trouve x » exprimés sous forme littérale ( résoudre l’équation 5x – 7 = 6 + 8x).

Expressions égales ou non :

5x + 2 = ? 2 ( x + 2) Vrai pour x=2 ? Vrai pour tout x ? 4(x+2)-2(x+5) = ? 6(x+5)+7(4-x)+3x Vrai pour x=2 ? Vrai pour tout x ? (8x-3)(5x+7)+(8x-3)(2x-5)= ?(8x-3)(7x+2) Essais-conjecture-preuve

des trouve x avec des expressions factorisées qu’il faudra développer avec la distributivité simple puis des expressions factorisées qu’il faudra développer avec la distributivité double. Objectifs : les élèves se re-familiarisent avec développements et réductions. Une même expression peut avoir plusieurs écritures équivalentes, ce qui permettra avec les équations-produit de légitimer la recherche de factorisation et les IR.

Problèmes

pgmes de calcul(reprise multiple, suivant, pair impair)...

nécessitant la mise en équations pb de point qui se déplace sur un segment → résolution d'équations : 2 rectangles, même périmètre puis même aire, triangle et carré…

Equations – équ. produit 1. Déterminer si un nombre est solution d’une

équation. 2. Résoudre une équation du premier degré à

une inconnue 3. Résoudre une équation produit 4. Résoudre un problème menant à une

équation-produit

Continuer à travailler le calcul fractionnaire

Puissances (uniquement en mise en TRAIN)

En amont Fonctions Lire et interpréter des graphiques : choix entre Fanion, espace vert, course, récipients Et raisonnement réciproque : Temp en fonction du temps, balade en vélo

Vacances de Toussaint Statistiques

1. série statistique donnée, savoir passer d’une représentation sous forme de liste à la construction d’un tableau, ou d’un diagramme

2. Savoir déterminer la valeur médiane d’une série et en donner la signification

3. Savoir déterminer des valeurs pour les premiers et troisièmes quartiles et savoir en donner la signification.

4. Savoir déterminer l’étendue d’une série 5. Prendre l’habitude de s’interroger sur la

signification des nombres utilisés et l’interprétation qu’on peut faire à partir d’un résumé statistique

6. Calculs de moyennes, de moyennes pondérées et moyenne pour une série répartie en classes de même amplitude.

7. Calculer des fréquences.

Les statistiques seront étudiées sur 4h en bloc et 4h réparties dans l'année (par ex exploiter les résultats des BB)

Exo de dénombrement: (c'est une préparation aux probabilités) S6,6 trouver tous les nombres entiers entre 100 et 1000 qui s'écrivent avec les chiffres 2,5, et 8 et dont les trois chiffres sont différents ou S6,4 Ex 13 Lyon 2005. Voir toutes les fiches PE1, dénombrement et arithmétique Continuer à travailler des petits pb d'algèbre. Puissances Espace/Volumes :

n°4 p224 (Calcul de volumes de différents solides) + 12 p 231

n°1 p223 ( Reconnaissance de différents solides, dans le b) rappel du vocabulaire sommet, arête ...se limiter à 1 ou 2 exemples en profiter pour faire rechercher dans le livre les formules de volume et lors de la correction pour faire tracer les solide en perspective),

Réciproque du th de Thales 1. Savoir démontrer que deux droites sont

parallèles ou ne le sont pas

Les deux programmes de calcul avant IR

En amont Fonctions : Les boîtes noires

Stage en entreprise

Identités remarquables des outils pour factoriser

1. Connaître et utiliser les trois identités remarquables

2. Factoriser une expression littérale 3. Développer une expression littérale 4. Calculer une expression numérique en

utilisant les identités remarquables 5. Calculer la valeur d'une expression littérale

pour une valeur donnée 6. Résoudre des problèmes nécessitant

l'emploi d'expressions littérales

Exercices de trigo reprenant le cosinus + En informatique : Conjecturer le lien entre la mesure d'un angle et les rapports donnant la tangente et le sinus à l'aide d'un logiciel de GD

Montrer que x3-x est un multiple de 6

Résolution de problèmes comme par exemple les tours de Fibonacci

Calculs astucieux sous forme de calcul mental

En amont Fonctions : Les sept familles

Vacances de Noël

Trigonométrie 1. Utiliser les formules liant les côtés d'un

triangle rectangle au cosinus, sinus et à la tangente d'un angle aigu de ce triangle

2. Calculer la mesure d'un angle 3. Calculer la longueur d'un segment 4. Utiliser les touches cos, sin cos-1, sin-1….

de la calculatrice en mode degré 5. Utiliser les formules liant le sinus et le

cosinus d'un angle et liant sa tangente, son sinus et son cosinus

6. Résoudre des problèmes où intervient la trigonométrie

Exercices de bachotage « type brevet »

Les 4 activités de préparation du chapitre racines : Act1 : approche visuelle en traçant des carrés Act2 : Racine de 2 est-il irrationnel ? montrer le Ppt sur les nombres Act3 : le rectangle RAIN pour les propriétés Act4 : les nombres intéressants

Racines carrées 1. Donner un résultat exact ou approché d'un

calcul avec des racines carrées (SOCLE) 2. Réduire des expressions en utilisant les

propriétés 3. Résoudre des problèmes dont les calculs

comportent des racines

Exercices de bachotage « type brevet »

En amont Fonctions : correspondance graphique / tableau de valeurs

1er Brevet Blanc

Probabilité 1. Connaître et utiliser le vocabulaire

spécifique aux probabilités 2. Connaître quelques définitions et propriétés 3. Savoir calculer des probabilités dans le cas

d’expériences à une ou deux épreuves. 4. Savoir utiliser un arbre dans le cas

d’expériences à deux épreuves simples 5. Approcher les probabilités comme un

modèle permettant de décrire des situations de la vie courante dans lesquelles la probabilité doit être approchée par des calculs de fréquences établies lors de simulations. (franc carreau ou punaises par exemple)

En amont Fonctions : traduction : lien verbal / machine / expression fonctionnelle

Vacances de Février

Espace : 1. Calculer le volume d'une boule et l'aire

d'une sphère connaissant son rayon 2. Connaître la nature des sections planes d'un

cube, d'un pavé par un plan parallèle à une face ou une arête

3. Connaître la nature des sections d'un cylindre par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe

4. Déterminer et représenter les sections d'un cône ou d'une pyramide par un plan parallèle à la base.

5. Placer sur la représentation d'une sphère le centre du cercle de section de cette sphère par un plan et calculer le rayon de ce cercle

6. Calculer le coefficient de réduction ou d'agrandissement ou les dimensions, aires, volumes après un agrandissement ou une réduction. (sera plutôt abordé dans le chapitre de proportionnalité)

Optimisation : resolution d’un problème type « maitre chien » avec le tableur

Proportionnalité 1. Reconnaître et appliquer une situation de

proportionnalité dans un tableau, un graphique, une formule

2. Utiliser les pourcentages (augmentation ou diminution, augmentations ou diminutions successives)

3. Interpréter les grandeurs composées et convertir leurs unités

4. Utiliser les effets d'une réduction ou d'un agrandissement sur une aire ou un volume

5. Résoudre des problèmes où intervient la proportionnalité

Préparer chapitre inéquation :

• travailler sur ordre et opérations 4 p 129 + Règle 21 p 266 24 et 25 p 137

• travailler sur solution ou non d'une inéquation 6 p 131 et 43 p 138

• Avoir même solution ou non 7 p 131 et 44 p 138 • Présenter les solutions d'une inéquation 8 p 131 + 45

– 46 – 47 p 138 • Changer de cadre : triangle sur rectangle, comparer

les périmètres

Ordre et Inéquations 1. L’effet de l’addition sur l’ordre 2. L’effet de la multiplication par un nombre

relatif sur l’ordre 3. Déterminer si un nombre est solution d’une

inéquation 4. Résoudre une inéquation du premier degré

à une inconnue 5. Représenter graphiquement les solutions

d’une telle inéquation 6. Résoudre un problème menant à une

inéquation

Prévoir une séance info : angles inscrits/au centre

Vacances de Pâques 2ème Brevet Blanc + Epreuve histoire de l’art

Angles inscrits, angles au centre

Déterminer l’expression d’une fonction affine ou linéaire

Fonctions 1. Faire émerger la notion de fonction comme

processus faisant correspondre, à un nombre un autre nombre.

2. Étudier les variations d'une grandeur en fonction d'une autre

3. Savoir repérer les variables dans une situation

4. Maitriser les différentes formes 5. Maitriser les notations et le vocabulaire

Construire des polygones réguliers

Systèmes 1. Dans une équation à deux inconnues

exprimer une variable en fonction de l'autre 2. Savoir si un couple est solution d'un

système 3. Savoir résoudre un système qui a une

unique solution 4. Savoir interpréter graphiquement les

solutions d'un système 5. Savoir mettre en équation et résoudre des

problèmes conduisant à des systèmes

Reprise du programme pour la préparation du brevet

Polygônes réguliers