1

PT : DS de Physique-Chimie n°3

Vous êtes priés de faire attention à la présentation et à la rédaction.

Tout résultat insuffisamment justifié ne sera pas pris en compte.

Faire chaque problème sur une copie différente

Calculatrice interdite

Partie physique - Durée : 2 heures

PROBLEME : MOUVEMENT D’UN GLACIER.

PREMIERE PARTIE

ECOULEMENT D’UN GLACIER

Un glacier est une masse de glace qui se forme par le tassement de couches de neige accumulées ; écrasée sous son propre poids, la neige expulse l’air qu’elle contient, se soude en une masse compacte et se transforme en glace.

Du fait de sa plasticité, un glacier s’écoule lentement sous l’effet de la gravité le long d’une pente avec une vitesse d’écoulement très variable selon la pente, la topographie du lit rocheux ou l’épaisseur de la glace. Sa vitesse moyenne est de l’ordre de quelques centimètres à quelques dizaines de centimètres par jour, le record revenant au glacier Kangerdlugssuaq dans le Groenland où la vitesse moyenne atteinte est de 14 kilomètres par an.

A / ETUDE PRELIMINAIRE (ECOULEMENT D’UNE COUCHE DE MIEL)

En préambule à l’étude d’un glacier, intéressons-nous à l’écoulement d’un fluide visqueux, par exemple une couche de miel, sur une plaque plane inclinée.

Une couche d’épaisseur constante h, d’un fluide visqueux newtonien incompressible, de viscosité

dynamique et de masse volumique , s’écoule dans le champ de pesanteur supposé uniforme, sur un plan

incliné faisant un angle avec l’horizontale (Figure 1).

La viscosité cinématique est définie comme le rapport .

On note Patm la pression atmosphérique. Le support plan incliné a pour équation z 0 et la surface

libre correspond à z h . Les forces de viscosité exercées par l’air sur la surface supérieure de la couche

de miel sont négligées. A l’interface airmiel, la pression est uniforme et égale à la pression atmosphérique. Les dimensions du système dans les directions Ox et Oy sont très supérieures à l’épaisseur h de la couche de miel.

Hypothèse : l’écoulement est réalisé en régime permanent. On modélise l’écoulement stationnaire par un écoulement unidirectionnel, tel que le champ de

vitesses s’écrit sous la forme : �⃗�(𝑀) = 𝑣(𝑧)𝑒𝑥.

ex

ey

ez

Z

h

O

x

Figure 1

z

air

miel

2

A1. Dans les conditions qui viennent d’être décrites, on admet que la relation fondamentale de la dynamique appliquée à une particule de fluide s’écrit :

−𝜕𝑃

𝜕𝑥𝑒𝑥 −

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑒𝑦 −

𝜕𝑃

𝜕𝑧𝑒𝑧 + 𝜌 �⃗� + 𝜂

𝑑2𝑣

𝑑𝑧2𝑒𝑥 = 0⃗⃗

Projeter cette équation sur la base (𝑒𝑥, 𝑒𝑦, 𝑒𝑧) et en déduire les expressions des trois dérivées

partielles de la pression sur cette base. Que remarquez-vous dans le cas où la vitesse est nulle ?

A2. Soit une fonction de deux variables 𝑓(𝑥, 𝑦), expliquer très rapidement pourquoi si 𝜕𝑓

𝜕𝑥= 𝑔′(𝑥) alors

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥) + 𝑐(𝑦) où 𝑔 est une fonction et 𝑔′ sa dérivée et 𝑐 une fonction que l’on ne cherche pas à déterminer.

Montrer que la pression 𝑃 dans le fluide est indépendante de 𝑦.

Que vaut 𝑃(𝑥, 𝑧 = ℎ), pour tout 𝑥 ? En déduire que 𝜕𝑃

𝜕𝑥= 0.

En déduire que la pression ne dépend que de z. Exprimer P(z) en fonction des données de l’énoncé.

A3. Etablir l’équation différentielle 2

2

d v(z)ksin 0

dz vérifiée par la vitesse v(z) et identifier k.

A la surface libre, sur le plan d’équation z h , la contrainte tangentielle exercée à la surface libre par la couche d’air sur la couche de miel est nulle.

A4. Ecrire, en les justifiant, la condition aux limites relative à la vitesse v en z 0 et celle relative à dv(z)

dz, en z h .

A5. Résoudre l’équation différentielle de la question A3 et montrer que le profil de vitesse dans la couche

de miel vérifie la relation : v(z) z 2h z . Expliciter .

Localiser le point où cette vitesse est maximale et préciser l’expression correspondante de la vitesse

vMAX. Calculer vMAX sachant que h 3,0 mm , 10 , 2

g 10 m.s

, sin 10 = 0,2, cos 10 = 1 et que,

pour le miel, 3 3

1,4.10 kg.m

et 𝜂 = 10 𝑃𝑙.

A6. Représenter le champ des vitesses de cet écoulement, en respectant sa configuration géométrique (figure 1).

La couche de miel possède une largeur W (selon Oy) qui demeure très grande par rapport à l’épaisseur h.

A7. Exprimer le débit volumique QV du miel en fonction de 𝛽, 𝑊 et ℎ. En déduire la vitesse moyenne vmoy de l’écoulement et l’exprimer en fonction de vMAX.

A8. Exprimer le nombre de Reynolds sous forme littérale puis sa valeur numérique. Qualifier la nature de l’écoulement et interpréter.

B / DYNAMIQUE D’UN GLACIER

Les mouvements d’un glacier peuvent être modélisés par l’écoulement d’un fluide newtonien extrêmement visqueux. Afin d’adopter une géométrie simple, la vallée glaciaire est assimilée à une

canalisation de section rectangulaire en forme de U dont le fond est incliné d’un angle par rapport à l’horizontale (Figure 2). La masse de glace occupant cette vallée possède une largeur moyenne a et une épaisseur moyenne h, avec a 2h .

Compte tenu de la géométrie proposée, la nouvelle répartition de la vitesse dans les couches du glacier s’écrit : �⃗�(𝑀) = 𝑣(𝑦, 𝑧)𝑒𝑥.

3

Dans ce cas l’équation différentielle décrivant l’écoulement du glacier en régime permanent s’écrit

−𝜕𝑃

𝜕𝑥𝑒𝑥 −

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑒𝑦 −

𝜕𝑃

𝜕𝑧𝑒𝑧 + 𝜌 �⃗� + 𝜂 (

𝜕2𝑣

𝜕𝑧2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2) 𝑒𝑥 = 0⃗⃗

B1. Donner les quatre conditions aux limites vérifiées par la vitesse.

Afin de simplifier la description de cet écoulement, réalisons les changements de variables suivants :

y y' a , z z' a . Les grandeurs y’ et z’ sont adimensionnées. On pose 𝑣 = 𝑣0. 𝑣′, avec 𝑣0 =𝜌𝑎2𝑔

𝜂𝑠𝑖𝑛 𝛼, 𝑣′

est sans dimension de façon à obtenir une équation différentielle adimensionnée, pouvant s’écrire : 2 2

2 2

v' v'1 0

y z

' '

B2. Quelle est la dimension de la viscosité dynamique. En déduire que l’équation donnant 𝑣0 est bien homogène. Donner les ordres de grandeurs de la viscosité dynamique de l’huile, de l’air et de l’eau. A votre avis, que pouvez-vous dire de la viscosité dynamique du glacier ?

La résolution informatique de cette équation différentielle permet d’obtenir le tracé de v’ en fonction de y’ (Figure 3) pour différentes valeurs du paramètre z’ (compris entre 0 et 1/2).

B3. Evaluer la valeur maximale MAXv ' atteinte par la vitesse adimensionnée v ' à la surface supérieure du

glacier.

�⃗⃗⃗�

Z

h

Figure 2

O

y

x

glacier

z

a 2h

0

v’ 0,06

0,04

0,02

0,4 0,4 0,2 0,2

y’

z' 1/ 2

z' 1/ 4

z' 1/8

z ' 0 Figure 3

4

De tout temps, les glaciologues ont tenté d’évaluer la déformation des glaciers et leur écoulement (autrefois à l’aide de pierres posées sur le glacier, plus récemment à l’aide de balises GPS et par interférométrie radar, comme étudié en seconde partie).

Etablie pour le glacier du Rhône près du col de la Furka dans le Valais suisse, la figure 4 présente, en superposition à une carte IGN, l’évolution d’une ligne d’environ 50 balises au cours d’une décennie

(années référencées A, A1, … , A9). A l’instant de référence (année A), les balises sont alignées sur la largeur a du glacier, entre deux moraines latérales. B4. Estimer le déplacement de la balise centrale sur la durée de 9 années. Calculer la vitesse maximale

de déplacement en m.an1.

B5. On admet que la vitesse moyenne est égale à la vitesse caractéristique v0 et vaut 2 µm.s-1, déterminer, puis calculer, la viscosité dynamique de la glace. Commenter.

Données : a 2h 800 m , angle moyen 14° et 2

g 10 m.s .

sin 15 = 0,24 et cos 15 = 0,97

Figure 4

a

A9

A8

A7

A6

A5

A4

A3

A2

A

A1

Alignement des balises

(année A de référence)

Ecoulement du glacier du Rhône

moraine

moraine

5

EXERCICE : POMPE A CHALEUR

L’épuisement progressif des réserves de pétrole et de gaz, le coût du chauffage électrique, amènent à envisager des solutions de chauffage, qui, dans certains cas, s’avèrent plus économiques, entre autres les PAC (pompes à chaleur). La PAC contient un fluide en écoulement permanent qui est amené à subir des changements d’état (liquéfaction ou vaporisation). Le fluide échange de la chaleur avec les deux sources en traversant des échangeurs appelés condenseur ou évaporateur, selon la source avec laquelle s’effectue l'échange. I. COP D’UNE POMPE A CHALEUR 1/ Sur UN schéma de principe, identifier les différents transferts énergétiques avec leur signe à l’œuvre dans une PAC, entre les différents éléments ci-dessous et les représenter au moyen d’une flèche ; identifier, en le justifiant, la source chaude et la source froide. 2/ Redémontrer l’inégalité de Clausius en appelant Tc la température de la source chaude et Tf la température de sa source froide. 3/ On considère une PAC idéale ; rappeler ce qu’on entend par « idéale » et déterminer l’expression du coefficient de performance ou COP en fonction des températures Tc et Tf. Comment serait modifié le COP pour une PAC réelle ? Pourquoi ? 4/ Doit-on placer le condenseur au contact de la source froide ou de la source chaude ? Pourquoi ? II. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT La PAC réchauffe l’eau du circuit de chauffage d’une habitation afin de maintenir sa température à 20°C, en lui fournissant une puissance thermique de 8 kW. L’eau du circuit de chauffage pénètre dans l’échangeur à 30°C et en ressort à 35°C. On rappelle la valeur de la capacité thermique massique de l’eau liquide : c = 4,18

𝐽. 𝑔−1𝐾−1. L’utilisation de ce diagramme demandant une familiarisation préalable, on indique ci-dessous l’allure sommaire, dans ce diagramme, de la courbe de saturation, de celle d’une isotherme et de celle d’une isentrope.

Eau du Circuit de Chauffage

(Te)

Air Extérieur

(Ta)

Fluide R 410 A

de la PAC

Pièces mobiles du

Compresseur

6

Le compresseur est le seul élément de la PAC comportant des pièces mécaniques mobiles. Le passage du fluide dans le compresseur est supposé réversible.

Le détendeur et le compresseur sont calorifugés : l’évolution du fluide y est adiabatique. 5/ Justifier l’allure d’une isotherme sous la courbe de saturation et dans le cas de la vapeur considérée comme un gaz parfait. Est-ce cohérent avec la courbe ci-dessus ? Expliquer simplement les éventuelles différences. 6/ Redémontrer le premier principe de la thermodynamique, appliqué aux grandeurs massiques, pour un fluide en écoulement permanent. On s’attachera à détailler toutes les étapes et préciser les hypothèses qui permettent d’arriver à l’énoncé simplifié ∆h = wi + q, en précisant le statut de wi et q. 7/ Montrer que l’évolution du fluide dans le détendeur est isenthalpique. 8/ En le justifiant, donner le type de transformation dans le compresseur. Le fluide réfrigérant entre dans le compresseur (état 1) à l’état de vapeur saturante sèche à une pression 𝑃1 = 6,0 𝑏𝑎𝑟, il sort (état 2) à une pression de 𝑃2 = 20 𝑏𝑎𝑟. Il est ensuite condensé dans le condenseur de manière isobare jusqu’à l’état de liquide saturant (état 3). Il est ensuite détendu dans le détendeur jusqu’à la pression 6,0 bar (état 4). Enfin il est évaporé dans l’évaporateur de manière isobare jusqu’à l’état de vapeur saturante sèche. 9/ Représenter sur le diagramme d’état (log P,h) en fin de sujet, A RENDRE AVEC LA COPIE, le cycle du fluide dans la PAC en faisant bien apparaître les quatre états en entrée et sortie des différents éléments de la machine thermique. 10/ Dans un tableau rapporter les valeurs (à deux chiffres significatifs) de P, h, s, T et x pour les quatre états du fluide. 11/ Quelle est, numériquement, la valeur massique du transfert thermique dans le condenseur ? Justifier. 12/ Quel doit être le débit massique du fluide de la PAC pour assurer une puissance de chauffage de 8 kW ? 13/ Calculer le COP de la PAC à partir des enthalpies massiques déduites de la lecture du cycle.

Allure sommaire du diagramme enthalpique

P (en bar), échelle

logarithmique

isentrope

isotherme

h (kJ/kg)

courbe de saturation

7