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Fiche d’approfondissement 02 : Equation différentielle linéaire d’ordre deux à coefficients constants avec second membre

dépendant du temps Lorsqu’un système est soumis à une tension d’entrée e(t), la modélisation aboutie à une équation différentielle de la forme :

𝑑!𝑠𝑑𝑡! + 2×𝑚×𝜔!

𝑑𝑠𝑑𝑡 + 𝜔!

!𝑠 = 𝐻!×𝜔!!×𝑒(𝑡)

avec 𝜔! : pulsation propre du système étudié (en rad/s) 𝑚 : coefficient d’amortissement du système étudié (sans unité) 𝐻!: amplification statique du système (sans unité) Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant avec second membre dépendant du temps. 𝑒 𝑡 étant un échelon de tension, on obtient pour t >0s :

𝑑!𝑠𝑑𝑡! + 2×𝑚×𝜔!

𝑑𝑠𝑑𝑡 + 𝜔!

!𝑠 = 𝐻!×𝜔!!×𝐸

Régime transitoire et régime permanent : La solution de l’équation différentielle est la somme de deux termes :

𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡 • 𝑠! 𝑡 : solution particulière de l’équation complète. Pour un échelon de tension e(t), on a une

solution continue : 𝑠! 𝑡 = 𝐻!×𝐸

• 𝑠! 𝑡 : solution générale de l’équation homogène associée !!!

!"!+ 2×𝑚×𝜔!

!"!"+ 𝜔!!𝑠 = 0 . La

solution de cette équation homogène dépend de la valeur de 𝑚 Etude théorique de l’équation homogène : � On associe à cette équation différentielle, un polynôme caractéristique : Equation/polynôme caractéristique : 𝑟! + 2×𝑚×𝜔! 𝑟 + 𝜔!! = 0 On recherche le discriminant : Δ = 𝑏! − 4 𝑎 𝑐 = 2𝑚𝜔! ! − 4𝜔!! = 2𝜔! ! 𝑚! − 1 En fonction du signe du discriminant, l’équation admet 3 solutions. � Régime apériodique pour 𝚫 > 𝟎 : Valeur de m :

𝑚! − 1 > 0 𝒎 > 𝟏

L’amortissement du système est important. Sachant que 𝑚 = !

!!, on a alors 𝑄 < !

! : le coefficient de qualité du système est donc faible.

Détermination de 𝑠! 𝑡 : Les solutions sont réelles négatives.

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Δ > 0 ⇒ r! et r! ∈ ℝ 𝑎𝑣𝑒𝑐 r!,! = −b± Δ

2a =−2𝑚𝜔! ± 2𝜔! ! 𝑚! − 1

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r!,! = 𝜔! −𝑚 ± 𝑚! − 1 = −𝜔! 𝑚 ∓ 𝑚! − 1

𝑠! 𝑡 = 𝐴 𝑒!!! + 𝐵 𝑒!!! = 𝑒! !! ! 𝐴 𝑒 !! !!!! ! + 𝐵 𝑒 !! !!!! !

A et B sont déterminées grâce aux conditions initiales.

� Régime critique pour 𝚫 = 𝟎 Valeur de m :

Δ = 2𝜔! ! 𝑚! − 1 = 0 ⟹ 𝒎 = 𝟏 Sachant que 𝑚 = !

!!, on a alors 𝑄 = !

!.

Détermination de 𝑠! 𝑡 :

Δ = 0 ⇒ r! racine double ∈ ℝ 𝑎𝑣𝑒𝑐 r! = −b2a = − 𝑚𝜔!

𝑠! 𝑡 = 𝑒!!! 𝐴𝑡 + 𝐵 = 𝑒! !!!! (𝐴𝑡 + 𝐵)

A et B sont déterminées grâce aux conditions initiales.

� Régime pseudo-périodique pour 𝚫 < 𝟎 Valeur de m :

Δ = 2𝜔! ! 𝑚! − 1 = 0 ⟹ 𝒎 < 𝟏 𝑚 < 1 correspond donc à un amortissement faible du système. Sachant que 𝑚 = !

!!, on a alors 𝑄 > !

! : le coefficient de qualité du système est donc important.

Détermination de 𝑠! 𝑡 : Les deux solutions de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées :

Δ < 0 ⇒ r! et r! ∈ ℂ 𝑎𝑣𝑒𝑐 r! = α+ i β et r! = α− i β

α = −b2a = − 𝑚𝜔!

β = −Δ2a =

− 2𝜔! ! 𝑚! − 12 = 𝜔! 1−𝑚! = 𝜔! 𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 − 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑠! 𝑡 = 𝑒! ! 𝐶 cos(𝛽𝑡 + 𝜑)

𝑠! 𝑡 = 𝑒! !!! ! 𝐶 cos(𝜔!𝑡 + 𝜑)

C et φ sont déterminées grâce aux conditions initiales.

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Retour sur l’équation différentielle complète : La solution générale devient alors

𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝐻!×𝐸

L’expression de 𝑠! 𝑡 dépend de la valeur du coefficient d’amortissement m. Graphiquement, on obtient :