Déterminer l’équation différentielle dérivant le mouvement

Exercices énergétique – Classes prépa PT – Icam NANTES – 08-exercices-energetique-1solide-corrige-0

1 - Pendule inversé

Déterminer l’équation différentielle décrivant le mouvement

du pendule

Masse m ponctuelle en C

𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = L 𝑦1⃗⃗ ⃗⃗

Ressort raideur Co en N.m/rd

Pivot en O.

Frottement visqueux en O en N.m.s/rd

OC = L



2 – Masse suspendue


de la masse m

Masse m ponctuelle

Ressort raideur K en N/m

Amortisseur coefficient µ en N.s/m

Came rayon R, excentricité e

g pesanteur

Bâti galiléen, 𝑦 ascendant

Masse m

Ressort K Amortisseur µ

𝑥

𝑥1⃗⃗⃗⃗ 𝑦




3 – Vibration d’une barre


de la barre

Masse m ponctuelle

Ressort raideur K en N/m

Amortisseur coefficient µ en N.s/m

g pesanteur

Bâti galiléen, 𝑦 ascendant

1. Isoler le solide et déterminer en statique L

2. Isoler le solide et déterminer l’équation de

mouvement selon (t) en utilisant les théorèmes

généraux.

3. Isoler le solide et déterminer l’équation de

mouvement selon (t) en utilisant le théorème

d’énergie-puissance.




4 – Transformation de mouvement

Dans le servomoteur schématisé ci-contre, le

moteur électrique entraîne un engrenage. L'arbre

de sortie de l'engrenage engendre un mouvement

de translation à l'aide d'un système vis-écrou.

Le moteur a une inertie sur son axe Jm

Les roues ont une inertie sur leurs axes

respectifs J1 et J2

La vis a une inertie sur son axe Jv, un pas

égal à p, un seul filet.

Le coulisseau a une masse M

1. Compléter le schéma bloc ci-contre

2. En écrivant que l’énergie cinétique totale

= la somme des énergies cinétiques,

déterminer l’expression de l’énergie

cinétique équivalente Jeq



5 – Transformation de mouvement

Cette voiture emmagasine de l’énergie cinétique

en la faisant rouler. Les roues arrière sont liées à

la roue 1. Celle-ci entraine le pignon-roue 2

(pignon et roue accolées). La roue 2 entraine le

pignon 3 et les disques d’inertie 4.

On tire sur cette voiture horizontalement avec

une ficelle. En supposant qu’il y a assez de forces

de frottement entre les roues et le sol :

1. Faire le schéma cinématique.

2. Déterminer la masse équivalente de

l’ensemble.

3. Déterminer l’accélération de la voiture.

4 3 2 1





Un cylindre S1, de masse m, de rayon r, roule sans

glisser sur un autre cylindre fixe (galiléen) de rayon R,

dans le champ de pesanteur𝑔 .

Rechercher l’équation de mouvement du cylindre à

partir des théorèmes généraux, et déterminer la

période des oscillations dans le cas de petits

mouvements. Discuter de l’apparition de glissement

au contact. On note f le coefficient de frottement

entre les deux solides.

Les paramètres de position sont les deux angles (t)

et (t).

Exprimer le vecteur rotation de la base (x, y, z) par rapport au référentiel galiléen R0.

Exprimer le vecteur rotation de S1 par rapport au référentiel galiléen R0.

Ecrire les conditions de roulement sans glissement reliant les paramètres (t) et (t).

Isoler le solide S, faire le bilan des actions mécaniques appliquées au solide.

𝑦0⃗⃗ ⃗⃗


Théorèmes généraux

Projeter sur l’axe de rotation x le théorème du moment dynamique appliqué au solide.

En déduire l’équation différentielle régissant le mouvement de (t).

Trouver la période T du mouvement de petites variations de (t).

Ecrire le théorème de la résultante dynamique, projeter sur y et z ; à quelle condition de (t) la composante normale de l’action de contact est-elle nulle ?

Discuter de la condition d’apparition de glissement en I.

Energétique

Ecrire le torseur cinématique galiléen de S1

Ecrire le torseur cinétique galiléen de S1

Calculer l’énergie cinétique du solide S1.

Calculer la puissance galiléenne des actions extérieures au solide S1.

Appliquer le théorème de l’énergie-puissance et retrouver l’équation de mouvement.




Déterminer l’équation de mouvement du cylindre roulant le long de la ligne de plus grande pente d’un plan

incliné de avec l’horizontale .

La condition de roulement sans glissement 𝑽𝑰𝑺/𝑹⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗= �⃗⃗� nous donne la liaison entre les paramètres : ° = - r

° et en dérivant °° = - r °°

Le théorème de l’énergie cinétique pour 1 solide se déplaçant par rapport à un référentiel galiléen s'écrit :

d/dt Ec(S/R) = P(extS/R)

Calculons l'énergie cinétique du solide S : Ec(S/R) = ½ { V (S/R) } { C (S/R) }

Ec(S/R) = ½ { ° 𝑧 ; ° 𝑥 }G { m ° 𝑥 ; JG ° 𝑧 }G

= ½ m °² + ½ JG °²

d/dt Ec(S/R) = m ° °° + JG °. °°

P(extS/R) = { F ext S }I { V (S/R) }I = {YIOS 𝑦 + XIOS 𝑥 – mg 𝑦𝑜⃗⃗⃗⃗ ; - m g r sin 𝑧 }I { ° 𝑧 ; 0⃗ }I

en remplaçant ° et °° : (m r² + JG) ° °° = - m g r ° sin

( m r² + JG ) °° = - m g r sin

𝒙𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗

�⃗⃗�

�⃗⃗�

I

G O

Paramétrage : (t) et (t)

Le déplacement se fait sur �⃗⃗� , (t) étant le

paramètre qui définit la position de G.

(t) = (�⃗⃗� , 𝒙𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗) étant le paramètre définissant

le changement d'orientation de S par rapport

à Rg

𝒚𝑶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗


On peut utiliser aussi le fait que le système est conservatif, il n’y a pas de perte d’énergie durant le mouvement. Alors on peut écrire que :

Ec(S/R) + Ep(S/R) = constante.

Ec(S/R) = ½ { ° 𝑧 ; ° 𝑥 }G { m ° 𝑥 ; JG ° 𝑧 }G

= ½ m °² + ½ JG °²

Ep(S/R) = - m 𝑔 .𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = - m 𝑔 . ( 𝑥 + r 𝑦 )= m g r cos - m g sin

En dérivant Ec(S/R) + Ep(S/R) = constante :

m ° °° + JG ° °° - m g ° sin = 0

En utilisant la liaison entre ° et °

m ( - r °) ( - r °°) + JG ° °° + m g r ° sin = 0

m r² °° + JG °° + m g r sin = 0

On obtient bien sûr le même résultat : ( mr² + JG ) °° = - m g r sin


On peut aussi utiliser la variation d'énergie cinétique :

Ec (S/R) finale - Ec(S/R) initiale = W F extérieures

W F extérieures : somme des travaux des forces extérieures

Ec(S/R) initiale = 0

Ec(S/R) finale = ½ m °² + ½ JG °²

½ m °² + ½ JG °² - 0 = m g sin

½ (m + JG/r²) °² = m g sin

dérivons d/dt : (m + JG/r²) ° °° = m g ° sin

On obtient encore le même résultat : (m + JG/r²) °° = m g sin


Exercice 2 : Un camion de masse M à l’arrêt se met à descendre une pente inclinée de direction x orientée

positive vers le bas, d’angle avec l’horizontale ; on néglige tous les frottements sauf au contact roue-sol. Les roues roulent sans glisser. On néglige l’inertie des roues. Déterminer l’équation du mouvement de ce camion.

En isolant une roue, on trouve que l’action du sol Ni 𝑦 sur une roue i est normale au sol (pas de moteur et pas de freinage, la roue est en équilibre :

( Froue = 0 et Mtsroue = 0)

Ec(S/R) = ½ m °²

d/dt Ec(S/R) = P(Fint) + P(extS/R)

d/dt Ec(S/R) = P(extS/R) =

(m g sin 𝑥 - m g cos 𝑦 ) ° 𝑥 + N1 𝑦 0 + N2 𝑦 0⃗ = m g ° sin

m ° °° = m g ° sin °° = g sin


Exercice 3 Une masse M = 120 kg en mouvement de translation rectiligne à 2 m/s est

freiné par un dispositif composé d’un vérin de piston 100 mm et d’une chambre sous

une pression de 6 bars

utilisons : Ec (S/R) finale - Ec(S/R) initiale = W F intérieures + W F extérieures

0 - ½ m v ² = 0 - p S x

ou d/dt Ec(S/R) = P(Fint) + P(extS/R)

d/dt Ec(S/R) = P(extS/R)

½ m °² = - p S x ° x = - p S °

dérivons d/dt : m ° °° = - p S °

m °° = - p S

On s ‘aperçoit que la deuxième formulation est mieux adaptée à la recherche d’équation

de mouvement.

6 bars

Masse M

Piston 100


Plaçons y vertical ascendant et x horizontal à droite et ° = r °, ° rotation du

cylindre dans le sens direct.

On peut utiliser le fait que le système est conservatif, il n’y a pas de perte d’énergie

durant le mouvement. Alors on peut écrire que Ec(S/R) + Ep(S/R) = constante. = o état initial

Ec(S/R) initial = 0

Ec(S/R) final = ½ m °² + ½ JG °²

Ep(S/R) initial = - m g.OG = m g y.- o y = - m g o

Ep(S/R) final = - m g.OG = - m g

0 + ( - m g o ) = ½ m °² + ½ JG °² + (- m g )

m g ( - o) = ½ m °² + ½ JG °² = ½ ( m + JG/r² ) °²

dérivons d/dt m g ° = ( m + JG/r² ) °°°

m g = ( m + JG/r² ) °°

M

Exercice 4 Une masse M est accrochée à l’aide d’un fil

supposé sans masse, de rayon négligeable, à un tambour

B, de rayon R et d’inertie J. Déterminer l’équation du

mouvement des deux solides quand on laisse descendre

sans vitesse initiale la masse M.

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