Q U E S T I O N N A I R E S U R L’ENSEIGNEMENT D E s MATH B M ATI Q U E s

dtabli par A. WITTENBERG, Toronto

Remarque : Pour limiter quelque peu les dimensions de notre probleme, nous vous demandons de n’envisager que l’enseignement secondaire des mathematiques destine aux eleves de votre pays appeles a poursuivre des etudes universitaires, donc, en regle generale, les eleves de lycees, colleges, gymnases, athCnees europeens, e t les (I college-bound high-school-students )) des Etats-Unis. I1 importe de se rappeler que les situations en Europe et aux Etats- Unis ne sont 9 vrai dire pas strictement comparables, puisque le premier groupe comprend environ 5 A 10% d’une generation de jeunes, tandis que le deuxieme en comprend environ 30%. E n d’autres termes, les questions qui suivent visent en fait un groupe de jeunes considkrablement moins selectionnk aux Etats-Unis qu’en Europe. - Nous designerons le groupe dont il s’agit par le terme d’cc ensemble de reference )).

1. Enseignement pour gui ?

1.1 Estimez-vous que tout l’ensemble de reference doit recevoir le m6me enseignement ?

1.2 Si en fait l’ensemble de reference se trouve &re decom- pose en sous-ensembles recevant un enseignement mathematique different (que vous-mCme trouviez cette fagon de faire justifike ou non), quels sont, d’aprks vous, les criteres qui devraient regir cette decomposition :

1.21 La destination professionnelle des kleves? 1.22 Les goats e t les aptitudes mathematiques prCsentes des

eleves ? 1.23 L’intelligence genbrale des Bleves ? 1.24 Plusieurs de ces criteres a la fois, entrainant une decompo-

sition qui est la superposition de deux au moins des prCcCdentes?

QUESTIONNAIRE 17

(Dans cette derniere option, il y aurait donc plusieurs sous-ensembles formes, par exemple, de futurs scientifiques a des niveaux diffe- rents d’aptitude ou de goQt mathematique, et de m6me peut-Ctre plusieurs sous-ensembles formes de futurs (( litteraires D plus ou moins interesses aux mathematiques.)

D’autres criteres ? Specifiez-les s’il vous plait. 1.25

1.3 La decomposition envisagee doit-elle &re fine, c’est-&dire avec un grand nombre de sous-ensembles tres differencies (par exemple : futurs mathematiciens, futurs physiciens, futurs chimis- tes, futurs sociologues etc.), ou grossidre en 2 ou 3 sous-ensembles seulement (par exemple : futurs (( litteraires )) et futurs (( scienti- fiques )) ; ou les 2 ou 3 types de gymnasiens suisses ou allemands ; ou autres?)

1.4 La decomposition envisagee doit-elle &re valable pour toutes les matibres qu’etudie l’eleve (dkomposition traditionnelle en classes recevant tout leur enseignement en commun), ou ne doit-elle s’appliquer qu’a I’enseignement des mathematiques? (Pratique anglaise du (( setting o, pratique americaine de considerer les cours de high school comme autant d’unites isolees?) Ou doit-elle s’appliquer a un ensemble de matikres, par exemple mathematiques et physique ?

1.5 Si l’option 1.21 ou 1.24 se trouve en fait realisee, estimez- vous que la decomposition doit 6tre definitive, de sorte qu’un eleve ne pourra par exemple poursuivre des etudes scientifiques que s’il a fait partie d’un sous-ensemble (( scientifique P a l’ecole (pratique franqaise e t anglaise). Ou estimez-vous que la decomposition ne doit 6tre qu’indicative, tout I’ensemble de reference etant suscep- tible d’Btre admis a des etudes scientifiques ou techniques dans la mesure ou il reussit dans ses etudes secondaires (pratique suisse e t allemande d’admettre dans les facultes de sciences pures e t appliqukes les porteurs de tous les types de maturit6 ou d’cc Abitur )).

1.61 A quel Age la decomposition de l’ensemble de reference doit-elle Ctre effectuee ?

2

18 A. WITTENBERG

1.62 Si le mode de decomposition en vigueur est la decorn- position definitive, estimez-vous qu’elle doit &re definitive imme- diatement a p r b la selection (avec peut-Ctre une phiode tres breve pour corriger les erreurs manifestes), ou qu’elle doit n’Ctre qu’indicative pour une annee au moins, pour devenir definitive aprks seulement ?

Dans ce dernier cas, quand la decomposition doit-elk devcnir definitive ?

1.63

1.71 D’apres quels critkres la decomposition doit-elle s’effec- tuer ?

1.72 L’attribution d’un eleve a un sous-ensemble determine doit-elle Ctre faite d’office par les autorites scolaires ? Doit-elle &re entierement determinee par le libre choix de l’eleve, respective- ment de ses parents? Lequel doit prkvaloir en cas de conflit?

1.81 Si vous avez jugs ne pas $tre en mesure de repondre a l’une ou l’autre des questions qui precedent, qui, d’aprks vous, doit constituer l’instance qui decide de ces questions ?

1.82 Sur quels criteres cette instance doit-elle baser ses decisions, e t d’apres quels criteres doit-elle juger apres coup si ses decisions ont 6te judicieuses?

2. Enseignemeni pour quoi ?

Cette section explore les buts de l’enseignement des mathema- tiques, e t le choix resultant des matieres.

2.1 1 Pensez-vous que l’enseignement doit transmettre a 1’61eve les connaissances dont il aura pratiquement besoin dans la vie quotidienne ?

On semble generaleinent d’accord pour reconnaitre que ces connaissances doivent au moins englober les sujets suivants : arithmktique simple ; notion tres concrete de fonction et de repre- sentation graphique ; notion tres concrete de statistique, de faqon a comprendre des notions telles que (( moyeniie 1). Etes-vous d’accord avec cette 6numeration? Quelles aufres connaissances pensez-vous qu’il faut transmettre a l’eleve sous la categorie 2.1?

2.12

QUESTIONNAIRE 19

N.B. Nous v o w demandons d’ktre aussi specifique que possible dans vos reponses a cette question e t aux questions suivantes. Evitez s’il-vous-plait des gherali tes (par exemple : t( notions de mathematiques finies ))), mais donnez plut6t des indications explicites (par exemple : (( algkbre elementaire des matrices - addition, multiplication, inversion ))).

2.13 Spkcifiez de quelle faCon les connaissances que vous venez d’knumkrer interviennent dans la vie quotidienne. (Soyez explicite, s’il-vous-plait ; s’il vous est impossible d’ktre complkte- ment explicite d a m un espace restreint, veuillez donner des exemples concrets aussi reprksentatifs que possible. Si, par exemple, vous avez inclu I’algebre elementaire des matrices dans votre enumeration, ne repondez pas ici (( r61e croissant de l’automati- sation D, mais donnez un exemple que vous considkrez comme carac- teristique d’une situation de vie quotidienne dans laquelle I’eleve aura besoin plus tard de multiplier ou d’additionner des matrices.)

2.21 Pensez-vous que l’enseignement doit transniettre a 1 ’ ~ l ~ v e des connaissances, non encore humerees sous 2.1, a cause de leur contribution a la culture generale de I’kleve? Donc des connaissances justifiees par des raisons du genre de celles-ci : transmettre a I’enfant notre heritage culture1 ; Ic mettre en mesure de comprendre la culture de notre temps; etc.?

2.22 Si votre rkponse est oui, spkciiiez de quelles connaissances il s’agit.

2.23 Spkcifiez la contribution de chacune des connaissances de votre liste aux buts envisages sous 2.21. (Ici encore, nous vous demandons d’ktre tout a fait explicite. Si par exemple votre liste inclut la familiarisation de I’enfant avec le langage de la theorie des ensembles, ne donnez pas une rkponse telle que t( familiariser l’enfant avec l’esprit des mathematiques contemporaines o, mais prkcisez quels aspects exactement des mathematiques contempo- raines vous faites saisir a I’enfant en lui enseignant ce langage).

2.24 Coordonnez vos reponses a 2.22 e t 2.23 avec celles donnees precedemment dans la section 1. En particulier :

2.241 Les connaissances envisagees dans 2.2 doivent-elles Ctre transmises ri tout l’ensemble de refkrence ‘?

20 A. WITTENBERG

2.242 Si votre reponse est non, veuillez expliciter la fonction qui associe A chaque sous-ensemble de la decomposition que vous envisagez un sous-ensemble de la liste donnee dans 2.22.

2.31 L’enseignement doit-il transmettre A l’eleve des con- naissances, non encore inurndries sous 2.1 e f 2.2, A titre de pre- paration

Si votre reponse est oui, spkcifiez les connaissances dont il s’agit. Si nbcessaire, restreignez votre reponse aux domaines d’ktudes supkrieures sur lesquels vous estimez Ctre en mesure de porter un jugement (par exemple : etudes superieures de sciences mathematiques et physiques).

Spkcifiez les relations des connaissances que vous avez enumerees avec les disciplines universitaires. (Evitez les genera- lit& Soyez concret ; par exemple : (( la connaissance de la theorie elementaire des groupes pourra &re utiliske de telle e t telle faqon clans tel et tel cours de Ire annee universitaire a).

2.34 Coordonnez explicitement vos reponses dans cette sous-section avec celles donnees dans la section 1. En particulier :

(1.1/1.2/1.3) : Des eleves doivent-ils acquerir des connaissances 6nurnerdes dans 2.32 parce qu’elles contribueront sinon h leur propre preparation professionnelle du moins A celle de certnins de leurs camarades?

(1.5) Si vous 6tes partisan d’une decomposition indicative, vos reponses dans cette sous-section sont-elles compatibles avec une telle decomposition ? En d’autres termes, des elkves n’ayant pas acquis les connaissances enurnCrees dans 2.32 seront-ils nean- moins en mesure de poursuivre des etudes scientifiques ou tech- niques sans handicap serieux ?

(1.6) Si vous Ctes partisan d’une decomposition definitive, precisez si les connaissances knum6rees dans 2.32 doivent Ctre enseignees a partir du moment oh la decomposition est devenue definitive, ou dkja avant - et, dans ce dernier cas, combien de temps avant.

ses etudes ou a sa profession futures? 2.32

2.33

2.41 L’enseignement doit-il transmettre a 1’Cleve des con- naissances, non encore CnumtrCes sous 2.1,2.2 e t 2.3, parce que

QUESTIONNAIRE 21

l’acquisition de ces connaissances contribue A (( aiguiser l’esprit o (gymnastique intellectuelle, (( training of the mind o) ?

2.42 Si votre reponse est oui, veuillez preciser l’envergure de ces connaissances par rapport a la formation mathematique totale de l’eleve, e t donner des exemples des connaissances que vous envisagez.

2.43 Coordonnez egalement vos reponses a 2.42 avec celles que vous avez donnkes dans 1.

2.5 L’enseignement doit-il transmettre a l’eleve des con- naissances non encore enumkrkes jusqu’a present, pour des raisons autres que celles considerees dans 2.1 1, 2.21, 2.31 et 2.41 ? Si votre rCponse est oui, veuillez specifier ces raisons e t les connaissances en question. Veuillez egalement coordonner d a m ce cas vos rkponses avec celles donnees dans 1.

3. Critkres de succb, respectivement d’e‘chec

Le but de cette section est d’explorer les conditions dans lesquelles on dira que l’on a re‘ussi a enseigner les connaissances envisagees precedemment.

3.1 Critdres de sucds global: Pour chacun des groupes de connaissances envisages dans 2.1 jusqu’a 2.5, indiquez separement quel pourcentage des eleves auxquels l’enseignement de ces matieres s’adresse doit reussir A les assimiler (au sens dkfini ci-aprCs) pour que vous disiez que cet enseignement a rkussi.

(Par exemple : si vous &tes partisan d’une decomposition grou- pant en un sous-ensemble les futurs ktudiants de mathkmatiques et de physique, e t si, d a m 2.31 vous avez indique une introduction a la thkorie des groupes, donnez ici une reponse comme la suivante : ((il y aura succ&s si 50% au moins des eleves reussissent, au sens dkfini ci-dessous, a comprendre la theorie enseignee. )))

3.2 Critires de succb indiuiduel. Cette sous-section explore, pour les connaissances envisagees precedemment, en quoi consiste

22 A. WITTENBERG

un (( succes D de l’enseignement pour un bleve individuel, e t par quels critkres les autorites responsables peuvent s’assurer s’il y a succbs ou non.

3.211 Dam quel cas direz-vous que l’enfant a reussi A acquerir les connaissances envisagees dans 2.1 ?

3.212 De quelle manikre les autorites scolaires doivent- elles s’assurer si l’enseignement a reussi au sens que vous veiiez de dkfinir? Si possible, donnez un ou deux exemples que vous considerez comme typiques de questions d’examen utilisables A cette fin.

3.213 Les mkthodes de contrdle que vous venez de decrire doivent-elles Ctre appliquees seulement pendant (ou au bout) de la scolarite de l’enfant, ou doivent-elles &re aussi appliquees plus tard a un echantillonnage statistique d’adultes ayant bkn6fici6 de cet enseignement, de faqon A determiner si ces adultes disposent vraiment encore de ces connaissances aux fins de leur vie quoti- dienne ?

3.221 3.222 3.223 Quels critkres proposez-vous pour determiner si les

connaissances enseignees ont effectivement contribuk au but qiie vous avez assign6 dans 2.23 A l’acquisition de ces connaissances? (Si par exemple vous avez propose d’enseigner le langage dc la thkorie des ensembles afin de familiariser l’elkve avec l’esprit des mathematiques contemporaines, precisez ici par quels critbres vous proposez de dkterminer si l’eleve qui a reussi A apprendre ce langage, tel qu’enseigne, a aussi acquis une (( familiarite avcc l’esprit des mathematiques contemporaines. )))

M&me question que 3.211 relativement a 2.3. (Soyez s’il vous plait explicite. Si par exemple vous avez inclus une introduc- tion au calcul infinitesimal dans votre enumkration clans 2.3, prkcisez ici si le but envisage consiste, par exemple, en une connais- sance des techniques formelles de derivation e t d’integration, une comprehension pour l’idee mathkmatique de limite, ou etc.)

M6me question que 3.212 relativement h 2.3. La definition suivante du (( succes D (relativement :lux

connaissances de 2.3) est-elle equivalente a celle que vous venez dc

MCme question que 3.211 relativement a 2.2. MCme question que 3.212 relativement a 2.2.

3.231

3.232 3.233

QUESTIONNAIRE 23

donner? Definition : 11 y a (( succes B si 1’Universite peut prendre les connaissances enumerees dans 2.3 comme acquises sans avoir a y revenir. (N.B. : (( sans avoir a y revenir )) se refere naturellement au m&me niveau que le niveau scolaire. I1 est entendu que 1’Uni- versite pourra revenir sur ces connaissances pour les reprendre dans un contexte approfondi - comme l’Universit6 revient sur l’arithmetique dans des cows de theorie des nombres ou de logique mathematique, sans cependant reenseigner l’arithmktique de l’ecole primaire).

3.24 Si vous avez enumere des connaissances sous 2.41, indiquez ici comment vous proposez de determiner si l’acquisition de ces connaissances a effectivement contribuk a (( aiguiser I’esprit )) de l’ekve.

3.25 Si vous avez Cnumere des connaissances sous 2.5, veuillez faire pour ces connaissances une discussion analogue aux precedentes.

4. Crittres d’efficacitt

4.1 1 Pour chacun des sous-ensembles de la decomposition envisagee dans 1, indiquez explicitement si les propositions que vous avez faites dans 2 impliquent une augmentation du nombre d’heures consacrkes presentement dans votre pays a I’enseignement des mathematiques. Le cas echeant, indiquez I’ordre de grandeur de l’augmentation envisagee. Si possible indiquez aussi quel pourcentage du temps total consacre aux etudes secondaires par un eleve doit &tre voue aux mathematiques, dans le cas de chacun des sous-ensembles.

Si vous envisage2 une augmentation du nombre d’heures pour tout ou partie des sous-ensembles, cette augmentation doit- elle &re realisee entierement par une augmentation egale du nombre total d’heures d’etude de l’hlkve?

4.13 Si votre rkponse A la question precedente, pour I’un au moins des sous-ensembles envisages, est non, precisez de quelle maniere vous proposez de liberer le temps necessaire. (Soyez speci- fique. Ne dites pas, par exemple, qu’ ((on enseigne beaucoup de choses inutiles n, mais (( je propose de supprimer l’enseignement

4.12

24 A. WITTENBERG

de la geographie )), ou (( je propose de n’enseigner que la gkographie de la patrie e t de supprimer le reste ))...)

4.2

4.21

Les questions de cette sous-section se referent exclusi- vement aux connaissances enumerdes dans 2.3 :

Si ces connaissances ne sont pas transmises par l’ecole, elles doivent Ctre transmises par 1’Universitk elle-meme. Assumant un enseignement sans deficiences tan t a I’ecole qu’a l’universite, quel est le rapport approximatif entre le temps f , Cpargne par 1’Uni- versite si ses etudiants arrivent dejA munis des connaissances en question, e t le temps t , nkcessaire a I’kcole pour transmettre ces connaissances ?

Le temps to est-il independant de, ou affecte par, la nature de I’enseignement des matieres non mathdmatiques A I’Ccole, e t en particulier par la nature de l’enseignement des matihres (4 litteraires b) (au sens large)? E n d’autres termes, un bon enseigne- ment de ces dernikres matieres peut-il reduire le temps to?

4.23 Si votre reponse a cette derniere question est oui, indi- quez votre reponse A la question 4.21 dans l’hypothese que l’ecole utilise le temps t , pour un bon enseignement de matieres non mathkmatiques bien choisies.

Assumant un choix optimal, soit C l’ensemble des con- naissances non-mathkmatiques susceptibles d’etre enseignkes dans le temps f , . Estimez-vous que le gain de temps i, justifie le sacrifice de C?

Si votre reponse a la derniere question est oui, precisez si votre reponse est basee de faqon primaire sur l’importance du gain f , , ou sur le peu d’importance de faire acqukrir C par l’kleve.

4.22

4.24

4.25

5. L’enseignement en prafique

5.11 Precisez, pour chacune des aires de connaissances enu- merees dans 2, si l’affirmation suivante est valable : (( Ces connais- sances peuvent Ctre utilement enseignees seulement si elles sont enseignees par un professeur doiit la propre formation englobe le contexte theorique des connaissances en question P. (Par exemple,

QUESTIONNAIRE 25

des notions de theorie des groupes ne pourraient &re utilement enseignees que par des professeurs dont la formation universitaire a englobe I’etude de la theorie des groupes. - On notera que la negation de l’affirmation ci-dessus est I’affirmation suivante : (c Ces connaissances peuvent &re utilement enseignees par des profes- seurs ayant r e p une prkparation ad hoc visant spkcifiquement I’enseignement qu’ils auront eux-m&mes a dispenser )) (pratique standard des groupes de rkforme americains).

A la lumiere de la reponse que vous venez de donner, prkcisez lesquelles de ces connaissances vous suggerez d’introduire dans I’enseignement sans plus tarder, e t pour lesquelles d’entre elles vous suggerez de subordonner leur introduction A la presence de professeurs compktents (au sens clue vous avez defini dans 5.1 1).

5.12

5.21 1 Etes-vous d’avis que l’enseignement doit motiver les developpements plus thkoriques ou plus abstraits par une pre- paration concrete et/ou intuitive ?

5.212 Etes-vous d’avis que l’enseignement doit chercher A faire redkcouvrir par l’el&ve hi-m&me les idCes, notions, mCthodes et faits mathematiques qu’il desire h i faire apprendre (enseigne- ment (( heuristique H ou (( de redkcouverte n) ?

Etes-vous d’avis que I’enseignement ne doit introduire des concepts (tels que le concept de agroupe ))) et des mkthodes (tels que le (( langage de la theorie des ensembles H) que dans la mesure oh il peut faire saisir leur nkcessite ou utilite par l’eleve hi-meme?

L’etendue des connaissances que vous avez enumerkes dans 2 est-elle compatible avec le temps nkcessaire pour suivre vos recommandations dans 5.21 ?

Les criteres que vous avez indiquks dans 3.2 sont-ils sufisants pour determiner si I’enseignement est conforme a vos recommandations dans 5.21 (donc pour determiner, le cas kcheant, si l’elkve comprend la base intuitive, ou la justification, des mathk- matiques qu’il (( sait n) ‘? Si la reponse est non, comment faut-il amender ces criteres?

5.223 Les professeurs qui dispenseront l’enseignement, aux termes de vos recommandations dans 5.1, seront-ils en mesure de suivre vos recommandations dans 5.21 ‘?

5.21 3

5.221

5.222

26 A. WITTENBERG

6. L’acquis et les probl6mes

6.1 A la lumiere des reponses que vous avez donnkes aux questions ci-dessus, veuillez specifier explicitement :

6.11 lesquelles de vos recommandations dans 1. et 2. vous suggerez de mettre immediatement en pratique.

6.12 lesquelles de ces recommandations vous suggerez de mettre en pratique au fur e t a mesure que des professeurs adequats deviennent disponibles.

lesquelles de ces recommandations ne doivent, a votre sens, constituer que des (( hypotheses de travail o pour des reflexions et experiences ulterieures, &ant bien entendu que vous ne sugge‘rez pas leur mise en application immediate.

Pour ces dernieres recommandations, pr6cisez la nature exacte des (( rbflexions et experiences )) que vous envisagez.

6.131

6.132

6.2 Veuillez indiquer, au moins dans les grandes lignes, de quelle maniere vous envisagez l’avenir du mouvement de reforme de I’enseignement des mathematiques. Precisez en particulier si vous considerez la procedure actuelle (propositions de reforme elaborees par des conferences d’cc experts )), choisis et reunis par des organisations telles que I’OCDE; manuels bases sur ces pro- positions ecrits par des groupes de professeurs de l’enseignement secondaire) comme essentiellement satisfaisante ? Le cas echeant, prkcisez les modifications que vous aimeriez voir introduire dans cette procedure.

Indiquez ici votre agrernent ou vos divergences d’avec les idees exprimbes dans l’editorial.

6.3

6.4 Veuillez ajouter ici toutes autres considerations non couvertes par ce questionnaire que vous aimeriez consigner pour le benefice de cette enquete.