ETUDE DE LA RACINE CARRÉE D’UNE FONCTION RATIONNELLE

Soit la fonction réelle de variable réelle

f : x 7→√

x− 2

x+ 1

Domaine de définition. Elle est définie pour x−2x+1 ≥ 0 et x+ 1 6= 0.

Le signe de x−2x+1 est le même que celui du trinôme (x− 2)(x+ 1), qui a pour racines 2 et −1, et qui est positif à

l’extérieur de ces racines.Donc Df =]−∞;−1[∪[2; +∞[(f(−1) n’est pas définie, alors que f(2) est définie)

Limites.

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

√x

x= 1

(à l’infini, la limite d’un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré)

limx→−1

f(x) = +∞

car x−2x+1 est de toute façon positif, x− 2→ −3 et x+1→ 0− (0− car en fait, on est à l’extérieur des racines donc

x→ −1−)

Dérivée. On sait que (√x)′ = 1

2√xdonc (

√u)′ = 1

2√u.u′ (on retiendra (

√u)′ = u′

2√u)

Alors

f ′(x) =1

2√

x−2x+1

.1(x+ 1)− (x− 2).1

(x+ 1)2

=1

2√

x−2x+1

.3

(x+ 1)2> 0

Remarque importantef ′(x) s’écrit aussi( 1)

3

2|x+ 1|√

(x− 2)(x+ 1)

et n’est pas définie aux points x = −1 et x = 2 (alors que f est définie en x = 2)

Tableau de variations. La fonction est (strictement) croissante sur tout son domaine de définition :x −∞ − 1 2 +∞

f ′(x) + || || +f(x) 1 ↗ +∞|| 0 ↗ 1

1. En effet, (x+ 1)2 = |x+ 1|2et |x+ 1| =√

(x+ 1)2

d’où√

x−2x+1|x+ 1|2 = |x+ 1|

√x−2x+1

(x+ 1)2 = |x+ 1|√

(x− 2)(x+ 1).

1

ETUDE DE LA RACINE CARRÉE D’UNE FONCTION RATIONNELLE 2

Courbe représentative.N.B. La dérivée tend vers +∞ lorsque x→ 2, cela veut dire que la tangente à la courbe au point d’abscisse x = 2

est verticale.