Raisonnement et logique

« A l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant »

1. Logique du langage courant et logique mathématique

•Valeur de vérité•Causalité et temporalité•Implication et équivalence

2.Place de la logique dans

l’enseignement

3.Propositions d’activités

1. Logique « naturelle » et logique mathématique

Raisonnement et logique

Valeur de vérité

Raisonnement et logique

Causalité et temporalité

Raisonnement et logique

Si tu pars après 9htu vas rater le train de

9h15.

Cause de la conclusion

Effet de l’hypothèse

Si tu fais allemand LV2 alors tu as cours le jeudi à 16h.

Si le triangle a un angle obtus l’orthocentre est à l’extérieur du triangle.

Implication

Raisonnement et logique

Si tu manges ta soupe tu auras un dessert

Condition nécessaire ou suffisante ?

Exemple : le labyrinthe

Vrai ? Faux ? On ne peut pas savoir ?X est passé par PSi X est passé par L alors X est passé par K

X est passé par M

Sortie

T S R Q P K L M N O J I H G F E D C B A

Entrée

Valeurs de x

– ∞ 2 +∞

Variations de g

2

g est une fonction définie sur IR

Vrai Faux On ne peut pas savoir 𝑔ሺ−1ሻ< 𝑔(0) 𝑔ሺ−1ሻ< 2 𝑔ሺ2ሻ> 𝑔(4) 𝑔ሺ−2ሻ< 𝑔(4)

Si x et y sont deux nombres réels tels que 𝑥< 𝑦 alors 𝑔ሺ𝑥ሻ< 𝑔(𝑦)

Valeurs de x

– ∞ 2 +∞

Variations de g

2

Dans les programmes et les manuels

Logique et raisonnement

Dans Belin (1994) :Implications et encadrements Objectif : repérer si une implication concernant les encadrements est vraie ou fausse. On pourra lier ces implications aux inclusions des intervalles correspondants aux encadrements.

Le professeur pourra donner un sens au mot « implication ».

Implication et fonction carréObjectif : repérer si une implication mettant en jeu la fonction carré est vrai ou fausse.

Le professeur pourra donner le sens du mot « implication ».

Dans Indice (2000) :La phrase « si A alors B » est une implication. On note AB et on lit « A implique B » ou « A donc B ».

Dans Hyperbole  (2009):La proposition « si P, alors Q » est appelée implication. On dit que P est l’hypothèse et que Q est la conclusion.Pour établir que la proposition « si P, alors Q » est vraie, on suppose que P est vraie et on démontre qu’alors Q est vraie.

Dans Indice (2009) :Pour prouver qu’un énoncé de la forme « si P alors Q » est vrai, on peut chercher un raisonnement qui permet, à partir de l’hypothèse P, d’obtenir la conclusion Q. On dit que P implique Q et l’on note PQ.Pour prouver qu’un énoncé de la forme « si P alors Q » est faux, on peut chercher un contre-exemple pour lequel la propriété P est vraie et la propriété Q est fausse.

Comment travailler avec les élèves ?

Logique et raisonnement

Exercice 1-1Un nombre est toujours inférieur ou égal à son carré. Cette phrase est-elle vraie ? Expliquez votre réponse.

Exercice 1-2 ABC est un triangle et I milieu de [BC]. Quel est des triangles AIB ou AIC celui qui a la plus grande aire ?Expliquez votre réponse Exercice 1-3La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours multiple de 3.Cette phrase est-elle vraie ? Expliquez votre réponse

Une évaluation diagnostique

MODULE :EXERCICE 2-1On demande à Pierre et à Paul de dire si cette phrase est vraie : « Un nombre est toujours inférieur ou égal à son carré ». - Pierre répond « cette phrase est vraie » car  Si je prends 3 : son carré est 9 et 3 < 9Si je prends 1,3 : son carré est 1,69 et 1,3 < 1,69Si je prends -2,1 : son carré est 4,41 qui est plus grand que -2,1Si je prends 11,6, son carré est 134,56 plus grand que 11,6Tu vois, le carré est toujours plus grand que le nombre choisi au départ, donc la phrase est vraie.- Paul répond « cette phrase est fausse » carSi je prends 0,7 : son carré est égal à 0,49 et 0,49 < 0,7

Cochez la case qui correspond à votre réponsePierre a raison et Paul a tort Pierre a tort et Paul a raison Ni Pierre ni Paul n’ont raison Pierre et Paul ont raison tous les deux Expliquez votre réponse.

 EXERCICE 2-2ABC est un triangle et I milieu de [BC]. On demande à Valérie et à Sonia de dire quel est celui des triangles AIB ou AIC celui qui a la plus grande aire. Valérie répond « ils ont la même aire car Pour le triangle AIB, j’ai mesuré le coté [AI] : 5cm et la hauteur [BH] : 1,3cm ; donc l’aire de AIB est (5×1,3) / 2 = 3,25cm². Pour le triangle AIC, j’ai mesuré le coté [AC] : 6,6cm et la hauteur [IK] : 1cm donc l’aire de AIC est (6,6×1) / 2 = 3,3cm².Ces deux résultats sont très proches, compte tenu de la précision des mesures permises par la règle, j’en conclus que les deux triangles ont la même aire.

Sonia répond « ils ont la même aire car ces deux triangles ont la même hauteur issue de A ; les côtés [BI] et [IC] correspondants à cette hauteur ont même longueur. Donc, quand on multiplie cette longueur par celle de la hauteur, on trouve la même chose, et aussi quand je divise par 2.

Parmi ces deux réponses, laquelle vous semble la plus convaincante ? Pourquoi ?

Donner un enjeu

Les énoncés suivants sont ils vrais ou faux ?

1. Si ABCD est un carré et I le milieu de [CD], alors = 60°.2. Quels que soient les nombres réels non nuls a et b,Si a b alors

3.  Un quadrilatère qui a deux angles droits a deux côtés parallèles.

4. La somme de deux nombres entiers naturels impairs consécutifs est multiple de 4.

Avec un tableur :

Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 22. Peut-on les trouver tous jusqu’à 5000 ?Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 99. Peut-on les trouver tous jusqu’à 5000 ?

Construire des phrases sur le modèle des précédentes et se prononcer sur leur valeur de vérité

Formuler des résultats

Les énoncés suivants sont ils vrais ou faux ?•Il existe des nombres multiples à la fois de 15 et 99 qui ne sont pas des multiples de 1485.•Si un nombre quelconque est multiple à la fois de 15 et de 22, et s’il est plus petit que 5000, alors il est un multiple de 330.

Progressivité des apprentissages

Un exemple : le sens de variation des fonctions

 

Etape 1 : Démonstration fondée sur l’utilisation de la situation que la fonction modélise.Lorsqu’on monte une côte à vélo, la vitesse est-elle une fonction croissante ou décroissante de la pente ?

Etape 2 : Description des variations de g Considérons la fonction g définie sur IR par .

Etape 3 :

Etude d’un tableau de variations

Vrai Faux On ne peut pas savoir 𝑔ሺ−1ሻ< 𝑔(0) 𝑔ሺ−1ሻ< 2 𝑔ሺ2ሻ> 𝑔(4) 𝑔ሺ−2ሻ< 𝑔(4)

Valeurs de x – ∞ 2 +∞

Variations de g

2

Etape 4 : formalisation de la définition

Imaginer un point M(x ; f(x))variable

savoir lire l’évolution de son ordonnée en fonction de celle de son abscisse

Utilisation de règles connuesVoici une règle :

Règle : Si un produit de deux facteurs est nul alors l’un ou l’autre de ces facteurs est nul. Dire si cette règle peut s’appliquer dans chacun des cas suivants.Si oui, expliquer pourquoi et dire ce que son utilisation permet d’affirmerSi non, expliquer pourquoi.

(x + 3) (y – 2) = 0(x + 3) + (y – 2) = 0 x (2x – 5) = 0(x + 1) (x + 7) = 7(5x + 1) (3x – 1) = (5x + 1) (x – 8)(7x – 3) (x + 1) = 0(x – 3) (y + 2) (z + 6) = 0

Logique et algorithmique

phrases V / F

contre-exemple

réciproque V / F

contre-exemple

1- Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont même longueur.

2- a, b, c et d désignent des nombres quelconques. Si a = b et c = d alors ac =bd

3- Si un nombre entier naturel est multiple de 3 alors il est multiple de 6.

4- Dans tout triangle, une droite qui passe par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté.

5- Dans le plan, si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une l’est à l’autre.

6- Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.

Toujours vrai, toujours faux, parfois vrai, parfois faux ?

Vrai ou faux

Aucun carré n'est un losangeTous les rectangles sont des carrésCertains losanges sont des rectanglesIl y a des rectangles qui ne sont pas des carrésParmi les losanges aucun n'est rectangleTous les carrés sont des losangesIl y a des carrés qui ne sont pas des losangesParmi les rectangles, aucun n'est losangeTous les carrés sont des rectanglesTout losange est un parallélogrammeTout parallélogramme est un losangeTout trapèze est un parallélogramme

 

Trouver un quadrilatère tel que...Construire un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur et qui ne soit pas un trapèze.  2- Soit un cercle de centre O et une corde [AB] de ce cercle. Soit C le symétrique de O par rapport à la droite (AB) et D le symétrique de O par rapport au point A. - démontrer que AOBC est un losange.- démontrer que ABCD est un parallélogramme.

Démontrer qu’un quadrilatère est un...1- Soit SAB un triangle isocèle en S, et soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I et de rayon IS coupe la droite (IS) en T. Démontrer que SATB est un losange.

Démontrer qu’un quadrilatère est un...

2- Soit un cercle de centre O et une corde [AB] de ce cercle. Soit C le symétrique de O par rapport à la droite (AB) et D le symétrique de O par rapport au point A. - démontrer que AOBC est un losange.- démontrer que ABCD est un parallélogramme.

ABCD est un quadrilatère. On note I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?

A quelles conditions IJKL est-il un losange ?

Si IJKL est un losange, peut-on affirmer que ABCD est un rectangle ?

Cherchez l’erreur