RappelANOVA à 1 facteur en groupes de

mesure indépendants

Variance

Donc pour calculer une variance on calcule une somme de carrés (des écarts de chaque note à la moyenne générale)

La variabilité des notes est mesurée par la variance qui est une mesure de dispersion des notes autour de la moyenne

Définition de la variance descriptive :

2

1

1

n

iixx

n

2

1

n

iixxSC

Somme des carrés

généx

notes

x1

x2

xi

xn

2

1

n

iixxSC

21

)(1 xxi

22

)(2 xxi

2)( xxiii

2)( xxnin

Exemple

Facteur C 3 degrés (c1,c2,c3)

Groupes de mesures indépendants

35

: CSPlan

Variabilité Totale

C1 C2 C3

1 3 5

2 4 6

3 5 7

4 6 8

5 7 9

généx

C1 C2 C3

1 3 5

2 4 6

3 5 7

4 6 8

5 7 9

1x

3x

généx

2x

Décomposition Variabilité Totale

TOT

SC gpslesENTRESC

__ gpeslesDANSSC

__

gpslesENTRESC

__

gpeslesDANSSC

__

Variabilité due au FACTEUR

Variabilité due à l’erreur expérimentale

Notations

1j 2j

2i x21

1i x11

i xi1

jni xn11

x22

x12

xi2

xn22

j

x2j

x1j

xij

xnjj

x2K

Kj

x1K

xiK

xnKK

1j

1i

i

jni

j

x1j

xij

xnjj

Kj

x1K

xiK

xnKK

1x

x11

xi1

xnj1

1

x

1ni

1i1i

x1

n

1j

1i

i

jni

j

x1j

xij

xnjj

Kj

x1K

xiK

xnKK

jx

x11

xi1

xnj1

j

x

nji

1iij

xj

n

1j

1i

i

jni

j

Kj

x

x1j

xij

xnjj

x1K

xiK

xnKK

x11

xi1

xnj1

x

nji

1iij

x KnNj

Kj

1j

Sommes des carrés

gpslesENTRESC

__ gpeslesDANSSC

__

TOTSC

K

1j

2n

1iijTOT

j

xxSC

Somme des carrés des écarts de toutes les notes à la moyenne générale

K

1j

2

jFacteurxxSC

Somme des carrés des écarts des moyennes des groupes à la moyenne générale

Somme pour chaque groupe, de la somme des carrés des écarts des notes de chaque groupe à la moyenne du groupe

2n

1i jijErreur

j

xxSC

Somme pour chaque groupe, de la

K

1j

Décomposition Variabilité Totale

TOT

SC gpslesENTRESC

__ gpeslesDANSSC

__

TOT

SC Facteur

SCErreur

SC

Variance = CM=SC/ddl

Variabilité due au FACTEUR

Variabilité due à l’erreur expérimentalesi

Suffisamment plus grand (test statistique)

Effet du facteur

si CMFacteurCMErreur

Absence d’effet du facteur

Variabilité due au FACTEUR

Variabilité due à l’erreur expérimentalesi

PAS suffisamment plus grand (test statistique)

si CMFacteurCMErreur

H0 : l’hypothèse nulle est une hypothèse simple

H1 : l’hypothèse alternative est une hypothèse composée

jtoutes les moyennes sont égales

jtoutes les moyennes ne sont pas égales

Les hypothèses s’écriront :Inférence sur un facteur en groupes de mesure indépendants

Il n’y a pas d’effet du facteur

Il y a un effet du facteur

Il y a au moins deux moyennes qui sont différentes

2j1j/2j,1j

Kj21 ...... 2j1jaon2j,1j

La statistique de décision

ddl)ddl,1K(àFisherdeF~CMCM

F ErreurErreur

Facteur)ddl,1K( Erreur

Si les conditions d’application sont vérifiées

1 Normalité des K populations parentes

2 Homogénéité des variances des K populations parentes

ddl Facteur = Nb de modalités – 1 = K - 1

ddl Erreur = Nb total de sujets – Nb de modalités : N - K

Distribution du F

A partir de la formule LOI.F, excel nous donnera la proba critique associée au F que l’on aura calculé

F observé

pc

La Décision statistique

Si pc < => RH0 Si pc > => NRH0

abscisse : valeur du F de 0 à

Ordonnée : fréquence

On peut affirmer, avec moins de 5% de chances de se tromper qu’il y a un effet du facteur

Conclusion

SI RHO

On ne peut pas affirmer, avec moins de 5% de chances de se tromper qu’il y a un effet du facteur

SI NRHO

Exemple

Facteur C 3 degrés (c1,c2,c3)

Groupes de mesures appariés

35C*S:Plan

Variabilité Totale

C1 C2 C3

1 3 5

2 4 6

3 5 7

4 6 8

5 7 9

généx

Sujets C1 C2 C3 Moy par sujet

‘i=1 1 3 5 3

‘i=2 2 4 6 4

‘i=3 3 5 7 5

‘i=4 4 6 8 6

‘i=5 5 7 9 7

1x

3x

généx

2x

Décomposition Variabilité Totale

TOTSC

GPS_ENTRESC

GPS_DANSSC SUJETS_ENTRE

SC

gpslesENTRESC

__Variabilité due au FACTEUR

gpeslesDANSSC

__

Variabilité due à l’erreur expérimentale

Sujets_les_ENTRESC Variabilité due aux

SUJETS

Variabilité due au FACTEUR

Variabilité due à l’erreur expérimentalesi

Suffisamment plus grand (test statistique)

Effet du facteur

CMFacteur CMErreursi

Absence d’effet du facteur

Variabilité due au FACTEUR

Variabilité due à l’erreur expérimentalesi

PAS suffisamment plus grand (test statistique)

CMFacteur CMErreursi

Notations

1j

1i

i

jni

j

x1j

xij

xnjj

Kj

x1K

xiK

xnKK

jx

x11

xi1

xnj1

j

x

nji

1iij

xj

n

1j

1i

i

jni

j

x1j

xij

xnjj

Kj

x1K

xiK

xnKK

x11

xi1

xnj1

i

x

K

1j ijx

K

ix

1j

1i

i

jni

j

Kj

x

x1j

xij

xnjj

x1K

xiK

xnKK

x11

xi1

xnj1

x

nji

1iij

x KnNj

Kj

1j