École Normale SupérieureM2 CFP Mécanique Quantique

2011-2012

Rapport de stage

Etude de quelques propriétés

d'un gaz quantique de Lithium

Stage eectué au

Laboratoire Kastler Brossel,

Sous la direction de

Frédéric Chevy et Christophe Salomon

Marion Delehaye

3 mai 2012

Table des matières

1 Introduction 2

1.1 Des outils de choix pour la simulation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Systèmes étudiés pendant le stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Présentation du dispositif expérimental 5

2.1 Chargement du MOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Premier refroidissement et préparation des atomes dans les états désirés . . . . . . 62.3 Phase nale : refroidissement par évaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Résultats 7

3.1 Gaz de fermions uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.1 Potentiels chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 Conditions sur les longueurs de diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.3 Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.4 Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.5 Linearisation et solution analytique approchée . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Coecient de pertes à trois corps K3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1 Description et enjeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.2 Equations cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.3 Réalisation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Equation d'état d'un gaz de Bose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.2 Expressions analytiques approchées de la densité . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Conclusion 19

1

1 Introduction

L'étude des gaz quantiques d'atomes froids s'est considérablement développée au cours desdernières décennies, avec les progrès du refroidissement laser qui ont permis en 1995 à E. Cornell,W. Ketterle et C. Wieman de réaliser pour la première fois un condensat de Bose-Einstein[1, 2],nouvel état de la matière prédit par Einstein en 1925. Parallèlement à ces avancées expérimentalesest née l'idée d'utiliser ces gaz quantiques comme modèles de systèmes plus compliqués de matièrecondensée : en 1998, Jaksch et Zoller [3], s'inspirant de la proposition avancée par Feynmann en 1982d'utiliser des ordinateurs quantiques pour eectuer des simulations en matière condensée, utilisentdes bosons ultra-froids dans un réseau pour tester expérimentalement le modèle de Bose-Hubbarden matière condensée. En eet, puisque les phénomènes de la matière condensée sont si compliqués,plutôt que d'eectuer des calculs exacts nécessitant une puissance de calcul démesurée, essayonsde simuler ce qui se passe avec des systèmes quantiques plus simples, contrôlables et réglables : lesatomes froids.

Que sont ces atomes froids ? Ce sont des atomes, bosoniques (spin entier) ou fermioniques (spindemi-entier), refroidis à des températures de l'ordre du µK. La densité dans l'espace des phases(dénie comme le produit de la densité d'atomes n0 par le cube de la longueur d'onde thermique deDe Broglie λth = h√

2πmkBT) est alors supérieure ou de l'ordre de 1 et on ne peut plus négliger les

eets quantiques dans l'étude des propriétés du système. Par ailleurs, comme on travaille avec dessystèmes à très basse température et très dilués (pour limiter les pertes à trois corps), la distanceinteratomique et la longueur d'onde thermique de De Broglie deviennent très grandes devant laportée du potentiel. Dans ces systèmes de `gaz dilués', apparaissent alors des phénomènes physiquesnon triviaux, en général déjà observés dans d'autres domaines tels que la matière condensée.

1.1 Des outils de choix pour la simulation quantique

Certains gaz quantiques - c'est le cas des gaz de Lithium, que nous utilisons dans les expériences -orent la possibilité de varier à souhait les interactions entre atomes. Les interactions entre atomessont caractérisées par un paramètre appelé longueur de diusion. La longueur de diusion estdénie à partir du déphasage subi par les fonctions d'onde lors d'une collision entre deux atomes :en eet, dans une limite asymptotique r →∞ (qui est justiée ici car on a des interactions à courteportée : λth b, où b est la portée des interactions, on peut donc oublier les détails du potentielpour se concentrer sur son eet à grande distance), la fonction d'onde de deux particules entranten collision peut être écrite de façon générale sous la forme :

ψ(~r) ∝ eı~k·~z + f~k(Ω)eıkr

r(1)

où l'onde plane représente l'onde incidente, et l'onde sphérique est l'onde émise lors de la collision.Le facteur f(Ω) représente l'amplitude de diusion, elle dépend a priori de la direction (caracté-risée par l'angle solide Ω) dans laquelle la particule est diusée. Mais comme on va se placer icidans le cas d'un potentiel isotrope et à basse énergie, les collisions dans les canaux de momentcinétique non nul sont supprimées par la barrière centrifuge associée au moment cinétique : on peutnégliger cette dépendance en Ω. Lors de la décomposition de cette fonction d'onde en harmoniquessphériques Y m`

` , on ne va donc ne s'intéresser qu'aux harmoniques m` = 0 et ` = 0, c'est-à-dire àY 0

0 qui est constante et correspond à une onde s, d'où le nom de `développement en onde s' de cesapproximations. On peut donc écrire :

f~k(Ω)k→0→ −a (2)

2

et ceci dénit la longueur de diusion a 1. À l'ordre suivant en a, l'amplitude de diusion vaut :

f~k(Ω) =−a

1 + ika(3)

la fonction d'onde est donc bien régulière, même quand a→ ±∞ (ce cas a une importance majeureen physique et sera discuté dans la suite).

La section ecace de diusion σ s'exprime aussi en fonction de la longueur de diusion :σ = 4π|f~k(Ω)|2 = 4πa2, et qui vaut donc au second ordre :

σ = 4πa2

1 + k2a2(4)

De plus, si g est l'intensité des interactions, elle s'exprime en fonction de la longueur de diusion :

g =4πh2a

m(5)

Les interactions sont donc bien caractérisées par la longueur de diusion. Or, dans le cas duLithium 6 et 7, cette longueur de diusion peut être choisie et changée simplement en faisant varierle champ magnétique, grâce à un phénomène appelé `résonnance de Feshbach' [4]. La dépendancede la longueur de diusion avec le champ magnétique est alors donnée par :

a = abg

(1 +

∆B

B −BF

)(6)

où abg est la longueur de diusion asymptotique, ∆B est la largeur de la résonance, et BF est lavaleur du champ magnétique à la résonance. L'évolution de la longueur de diusion avec le champmagnétique pour le 7Li dans son état fondamental (que nous considèrerons plus tard) est présentéegure 1.

700 720 740 760-1500-1000

-5000

50010001500

Magnetic Field HGL

Scat

teri

ngle

ngth

Ha0L

Figure 1 Longueur de diusion de l'état fondamental (|F = 1,mF = −1〉) du 7Li

Pour toutes les longueurs de diusion, les atomes subissent des interactions globalement attrac-tives, avec possibilité, du côté a > 0, de formation d'une état lié proche du seuil de dissociation etd'énergie −h2/ma2 entre deux particules, qui disparaît lorsque la longueur de diusion diverge etchange de signe : en eet, comme montré sur la gure 1 et dans l'équation 6, il peut arriver quepour un champ magnétique donné la longueur de diusion diverge (ce phénomène se produit icipour du 7Li, il se produit aussi entre diérents états atomiques du 6Li ou du 40K). On est alorsen présence d'un système avec de fortes interactions et beaucoup de collisions, on parle alors de

1. Dans le cas des gaz de fermions, à cause du principe d'exclusion de Pauli, il est inutile de s'intéresser à lalongueur de diusion entre deux fermions identiques : la fonction d'onde totale doit être antisymétrique par échangedes deux particules ; si ces deux particuls sont identiques, cela impose que ψ doit être impair, ce qui est exclu dansle cas d'une onde s. En revanche, dès que l'on est en présence de deux espèces de fermions, qu'il s'agisse de deuxatomes diérents comme dans le cas du mélange 6Li −40 K, ou alors de deux états internes ou de spin du mêmeatome, il devient très intéressant de dénir une longueur de diusion interespèces.

3

limite unitaire. Dans ce cas, comme l'amplitude de diusion et la section ecace de diusion sontdes quantités physiques, elles ne peuvent pas diverger, et donc saturent respectivement à −1/ik et4π/k2, d'après les équations 3 et 4.

En permettant de faire varier la force des interactions d'une limite fortement attractive (a > 0)à faiblement attractive (a < 0), le phénomène de résonance de Feshbach a permis dans le cas desfermions d'explorer expérimentalement la transition BEC-BCS qui interpole entre la condensationde Bose-Einstein de dimères fortement liés (BEC) et l'état BCS utilisé pour décrire les supra-conducteurs, en passant par la limite unitaire. Alors le paramètre important du problème, 1/kfa,où kF est le vecteur d'onde de Fermi, tend vers 0, et la seule échelle de longueur restant dansle problème est n−1/3

0 (où n0 est la densité atomique) : les propriétés de ces systèmes seront lesmêmes pour tous les systèmes de fermions en interaction forte (gaz quantiques, étoiles à neutrons,etc.), et seront qualiées d' `universelles'. Une représentation schématique d'un système de fermionspour diérentes longueurs de diusion est présenté gure 2. L'énergie E d'un gaz de fermions àla limite unitaire est, par analyse dimensionnelle, nécessairement proportionnelle à E, celle d'ungaz parfait de fermions sans interactions (E = 3/5NFEF , où NF est le nombre de fermions etEF = h2k2

F /2m l'énergie de Fermi ; kF est le vecteur d'onde de Fermi, kF = (3π2nF )1/3 et nF ladensité de fermions). On peut donc écrire :

E = ξE (7)

où ξ a été mesuré expérimentalement et vaut ξ ≈ 0.41 [5].

Figure 2 Représentation schématique d'un système contenant deux espèces fermioniques in-teragissant avec une résonnance de Feshbach. À gauche, pour une longueur de diusion positive,on a formation de paires à caractère bosonique qui peuvent condenser. Au milieu, la longueur dediusion est innie, on est à la limite unitaire, avec de fortes interactions entre particules. À droite,on a une longueur de diusion négative, avec formation de paires de Cooper.

1.2 Systèmes étudiés pendant le stage

Pendant ce stage, j'ai étudié diérents aspects des gaz quantiques de Lithium. Pour commencer, j'ai travaillé théoriquement sur une manière d'obtenir, à partir d'un mélangede bosons et de fermions dans un piège harmonique, un gaz de fermions uniforme, c'est-à-dired'utiliser les bosons pour compenser le potentiel de piégeage harmonique. L'étude théoriqueest assez encourageante, restent à réaliser les expériences et à mettre en évidence ce gazuniforme.

J'ai ensuite rééchi sur une manière d'adapter la technique de refroidissement à dilution del'hélium 3 et 4 liquide à nos gaz de Lithium. Ce projet est encore en cours et ne sera pasprésenté ici.

Pour passer davantage de temps dans le laboratoire, j'ai participé à la prise de données pourle calcul du coecient de pertes à trois corps K3 pour un gaz de bosons proche de la limiteunitaire, à diérentes températures.

Enn, je suis en train d'étudier l'équation d'état d'un gaz de Bose en interaction à tempéra-ture non nulle.

Le rapport comprendra d'abord une partie visant à présenter le dispositif expérimental, puisune partie traitant des résultats obtenus pour les trois points cités ci-dessus.

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2 Présentation du dispositif expérimental

La réalisation de gaz quantiques est une expérience assez lourde en termes de matériel optique,lasers, bobines de champ magnétique, etc. car il faut à la fois piéger, refroidir, et imager lesatomes, et chacune de ces étapes nécessite plusieurs lasers de polarisation, fréquence et intensitédéterminées. N'ayant pas pris part à la construction de l'expérience, je la présenterai succintement,sans détailler les circuits optiques ou électroniques.

La majeure partie des éléments évoqués dans la suite sont représentés gure 3, à l'exception duralentisseur Zeeman.

Figure 3 Schéma du montage, n'incluant pas le ralentisseur Zeeman. Le faisceau d'atomesralentis est piégé dans le MOT (lasers du MOT non représentés), puis sont déplacés dans l'appendice(appendage sur la gure) par déplacement du miniumum du champ magnétique en variant lesintensités dans les diérentes bobines. Une fois dans l'appendage, ils sont piégés dans un piège deIoe-Pritchard formé par les Bars et les bobines Curve et Feshbach. Enn, les atomes sont chargésdans le piège dipolaire (ODT).

2.1 Chargement du MOT

Comme précisé plus haut, les gaz étudiés sont des gaz de lithium 6Li (fermionique) et 7Li(bosonique). La présentation du dispositif expérimental sera relativement brève, puisqu'elle a déjàété détaillée dans plusieurs thèses, celle de F. Schreck notamment [6], et centrée sur la réalisationde gaz de bosons, étant donné que les fermions n'étaient pas utilisés dans l'expérience pendantmon stage.

Les atomes de Lithium sont issus d'un four contenant quelques grammes de lithium chauésà 400 − 500C. Le lithium est alors gazeux et s'échappe de l'enceinte du four à travers un tube,ce qui permet d'avoir un faisceau collimaté. Deux tubes de collimation supplémentaires ajoutent àcet eet.

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Les atomes sont ensuite ralentis par le ralentisseur Zeeman 2

Les atomes refroidis sont directement chargés dans un piège Magnéto-Optique (MOT) à la sortiedu ralentisseur Zeeman. Le MOT est constitué de 6 faisceaux, chacun de ces faisceaux contenantles fréquences de refroidissement et de repompage pour le Lithium 7 (et le lithium 6 lorsqu'il estprésent dans l'expérience), toujours autour de 671nm, et le champ magnétique est créé par les deuxbobines `MOT' de la gure 3 ; les atomes sont chargés dans le MOT en continu, il faut environ 45spour charger le MOT avec environ 1010 atomes de 7Li à une température d'environ 3mK.

2.2 Premier refroidissement et préparation des atomes dans les états

désirés

Quand il y a assez d'atomes dans le MOT, on peut lancer l'expérience. On souhaite, à terme,amener les atomes dans l'appendice (appendage sur la gure) : en eet, l'appendage étant pluspetit que la cellule de verre initiale, on peut placer des sources de champ magnétique plus prèsdes atomes et ainsi avoir un connement plus important. Avant cela, il faut d'abord les capturerdans le MOT, puis les déplacer. Les fréquences du MOT sont optimisées pour capturer les atomessortant du ralentisseur Zeeman, et qui ont donc une vitesse assez élevée. Le nuage obtenu grâce auMOT est alors plus gros que l'appendice : on augmente donc la densité en comprimant le MOT(qui devient un CMOT, Compressed MOT) en changeant les fréquences des lasers de façon à serapprocher de la résonnance. On coupe alors le repompeur de façon à piéger les atomes dans l'étatF = 1.

Pour déplacer les atomes, il va falloir déplacer le minimum du champ magnétique en augmentantprogressivement l'intensité du courant dans les bobines de Feshbach (voir gure 3) ; les atomessuivront le minimum du champ.

Mais pour que les atomes puissent être piégés dans un minimum de champ magnétique 3, il fautqu'ils soient dans un état hypern dont l'énergie augmente avec l'intensité du champ magnétique 4 :l'atome va alors se diriger vers les régions à bas champ (on parle de low eld seeker), il faut doncau préalable faire passer les atomes de l'état F = 1 (qui contient plusieurs niveaux hyperns, maistous high eld seekers à fort champ magnétique) vers l'état |F = 2,mF = 2〉, qui est bien low

eld seeker pour toutes les intensités du champ et qui est stable vis-à-vis des collisions du type|mF 〉+|mF 〉 → |mF +1〉+|mF−1〉 (qu'on cherche à éviter car les états |mF +1〉 et |mF−1〉 peuventêtre moins voire antipiégés, ce qui conduit à des pertes. En se plaçant dans le niveau `extrême'|F = 2,mF = 2〉 on évite ce type de collisions car le niveau |mF + 1〉 n'existe pas : puisque c'estl'état de F = 2 le plus énergétique, toute collision entre deux atomes redonne deux atomes ayantmF = 2. Ce ne serait pas le cas pour |F = 2,mF = 1〉 par exemple). Les atomes peuvent êtrepiégés par le piège quadrupolaire et déplacés dans l'appendage, où eectuées les mesures.

Les atomes sont ensuite chargés dans un autre piège magnétique, appelé piège de Ioe-Pritchard(voir gure 3). Pour éviter les pertes de Majorana (pertes par spin-ip) qui se produisent au centredu piège (région de l'espace où le champ s'annule et où la fréquence de Larmor devient trop faiblepour garantir un suivi adiabatique de la direction locale du champ par le spin atomique), un champmagnétique suplémentaire est créé par des bobines Curve : le piège est constitué de deux bobinespresque en conguration Helmholtz (les Curve) 5 et de 4 tiges métalliques parallèles à l'axe desbobines (Bars). Les tiges produisent un piège quadrupolaire dans la direction radiale, et les atomessont piégés axiallement grâce aux bobines. Commes le gradient de champ magnétique imposé par

2. Ce faisceau laser est issu d'un laser solide à 671nm obtenu par doublage de fréquence dans une cavité [7]. Tousles autres lasers utilisés reposent sur des système `maître-esclave' et des diodes lasers. Il y a trois lasers-maîtres : unpour la transition D1 du 6Li, un pour la transition D2 du 7Li, et un pour deux transitions D1 du 7Li et D2 du 6Li(ces deux transitions sont presque identiques).

3. Il ne peut y avoir de maximum de champ magnétique...4. On rappelle que l'énergie d'un atome plongé das un champ magnétique vaut −µB(~r), où µ est le dipole

magnétique de l'atome, µ = −mF gµB , g étant le facteur de Landau et µB le magnéton de Bohr5. En fait, les Curve sont un peu plus éloignées que dans la conguration Helmoltz. Elles créent donc une courbure

(ce qu'on souhaite pour piéger les atomes), et un champ de biais, qui lui n'est pas désiré. Pour s'en débarrasser, onutilise les bobines de Feshbach en conguration Helmoltz, de courbure supposée nulle.

6

les tiges est beaucoup plus important que celui imposé par les bobines, le piège résultant est trèsallongé dans la direction axiale.

Pour résumer cette partie, les atomes du MOT sont compressés dans un CMOT, puis subissentun pompage optique pour passer de l'état F = 1 à |F = 2,mF = 2〉, puis sont chargés dans unpiège quadrupolaire qui eectue un rôle d'ascenceur pour amener les atomes dans la cellule demesure, et sont enn chargés dans le piège de Ioe-Pritchard.

2.3 Phase nale : refroidissement par évaporation

Avant de procéder au refroidissement par évaporation, il faut d'abord eectuer un `pré-refroidissement'Doppler pour augmenter la section ecace de collision et ainsi l'ecacité du refroidissement parévaporation. En eet, le 7Li possède une longueur de diusion négative, et la section ecace de7Li présente alors un minimum autour de la température de 1mK, qui est à peu près la tempéra-ture dans le piège de Ioe-Pritchard. En eectuant ce pré-refroidissement Doppler, on augmentela section ecace de diusion jusqu'à des valeurs permettant le refroidissement par évaporation.

On peut enn procéder au refroidissement par évaporation : les atomes les plus énergétiquessont transférés dans l'état |F = 1,mF = 1〉 anti-piégé grâce à un `couteau' RF, et les atomes restantse rethermalisent grâce aux collisions. On abaisse progressivement le couteau RF, en diminuant lavitesse d'abaissement au fur et à mesure que le nuage se refroidit.

Enn, les atomes sont chargés dans un piège hybride dipolaire-magnétique. On commence parchanger le piégeage axial, coupant le courant circulant dans les bobines de Feshbach, et en gardantun courant très faible dans les Curve pour continuer à piéger les atomes. Puis on peut chargerles atomes dans un piège dipolaire, créé par un laser très désaccordé vers le rouge (1073nm), quiest allumé progressivement de manière à piéger radialement les atomes et à remplacer le champmagnétique créé par les tiges métalliques dans le piège de Ioe, qui est donc éteint progressivementune fois le laser allumé.

On peut alors créer un maximum de champ magnétique dans la direction axiale (les atomes sontdans un piège dipolaire dans la direction radiale), et faire passer les atomes dans l'état F = 1, surlequel on va réaliser les expériences, qui est un high eld seeker 6. On procède alors à un nouveaurefroidissement par évaporation, simplement en diminuant la puissance du laser du piège dipolaire.Le système est enn prêt pour les mesures.

Le fait de nir en piégeant les atomes dans piège dipolaire présente plusieurs avantages etinconvénients :

La forme du piège dépend de la puissance du laser, donc il est assez facile de modier sesparamètres : fréquences radiales, etc.

Il reste facile de changer la température, en modiant la puissance U du laser ; il faut toutefoisfaire attention aux modications du piège qui en résultent.

Le connement transverse est indépendant de la valeur du champ de biais, qui sert doncuniquement à contrôler la longueur de diusion. Ceci présente un intérêt considérable dansnotre expérience.

3 Résultats

3.1 Gaz de fermions uniforme

La réalisation expérimentale de gaz de fermions uniformes est à l'heure actuelle un enjeu scienti-que important : d'une part, la théorie est en générale faite pour des systèmes homogènes. D'autre

6. En fait, on utilise les Curve pour créer un champ magnétique connant, c'est-à-dire avec une courbure impor-tante, mais elles ont le défaut de créer un champ de biais qui va être minimal au centre du piège, les atomes high

eld seekers seraient donc antipiégés. Pour éviter cela, on utilise à nouveau les bobines de Feshbach pour créer unchamp magnétique à faible courbure, mais avec un biais opposé et légèrement supérieur à celui créé par les Curve.Cela permet d'inverser la courbure globale du piège, et de le rendre piégeant pour des high-eld seekers. Le choixdu signe du courant dans les bobines Curve et Feshbach permet donc au choix de piéger soit les low-eld seekers,soit les high-eld seekers. Voir [8].

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part, l'étude de diagrammes des phases révèle que certaines phases n'apparaissent que pour unevaleur précise de la densité (par exemple, pour les fermions, une densité correspondant à un demi-remplissage). Cependant, les gaz uniformes n'ont pas encore été réalisés expérimentalement car ilest pour l'instant toujours nécessaire d'utiliser un piège dipolaire et/ou magnétique pour réaliserdes condensats.

Ici, l'idée est d'étudier la possibilité de créer expérimentalement un gaz de fermions 6Li uniforme,en utilisant leur interaction avec une autre espèce (ici, les bosons 7Li), pour créer un potentiel quicompense le potentiel de piégeage supposé harmonique.

On considère un mélange contenant des bosons dans un seul état de spin, notés b, et desfermions dans deux états de spin diérents notés ↑ et ↓. Il faut donc a priori considérer plusieursinteractions. Les fermions n'interagissent pas avec les fermions dans le même état de spin à causedu principe de Pauli, et on règle les interactions entre les fermions ↑ et ↓ de façon à se placerà la limite unitaire : a↑↓ → ∞. Restent donc les interactions boson-boson (caractérisées par abb)et boson-fermion (caractérisées par ab↑ et ab↓). Ces interactions seront considérées comme faibles,pour que l'on puisse se placer dans la limite du champ moyen, et on fera l'approximation que lesbosons interagissent de la même façon avec les fermions des deux états de spin : ab↑ ≈ ab↓ ≈ abf .Des études théoriques sur des systèmes similaires de mélanges bosons-fermions sont décrites dans[9] et [10].

3.1.1 Potentiels chimiques

L'étude est inspirée de [11].En utilisant l'approximation de densité locale (qui consiste à dire que le potentiel extérieur

appliqué varie susamment lentement pour qu'en tout point le gaz puisse être considéré localementcomme uniforme), on peut écrire que le potentiel chimique µ(~r) vaut, en chaque point de l'espace :µ(~r) = µ−V (~r), où µ est le potentiel chimique global (uniforme) du système, et V (~r) le potentiel depiégeage. Or, le potentiel chimique d'une espèce est l'énergie à fournir pour rajouter une particulede cette espèce dans le système. Dans l'approximation de champ moyen, rajouter un boson dansun système de bosons à la densité nb(~r) coûte une énergie gbbnb(~r), et dans un système de fermionsà la densité nf (~r) coûte une énergie gbfnf (~r) (ici, nf (~r) est la densité totale de fermions - dans lesdeux états de spin).

On peut donc écrire que le potentiel chimique des bosons vaut, en tout point ~r de l'espace,

µb(~r) = µb − V (~r) = gbbnb(~r) + gbfnf (~r) (8)

Pour les fermions, en revanche, ce n'est pas exactement aussi simple : si le coût énergétiquede l'ajout d'un fermion dans un système de bosons à la densité nb(~r) peut être estimé à gbfnb(~r),l'approximation de champ moyen n'est plus valable pour l'ajout d'un fermion dans un systèmede fermions à la limite unitaire. Heureusement, et c'est là tout l'intérêt de se placer à la limiteunitaire, comme précisé dans la section 1.1, le potentiel chimique d'un gaz de fermions unitaire estle même que celui d'un gaz de fermions sans interactions, à un redimensionnement près, et vautξ h

2

2m (6π2nf (~r))2/3, où ξ est le facteur de redimensionnement et a été mesuré à ξ ≈ 0.41 [5].On obtient donc, pour les fermions, puisque µ↑(~r) = µ↓(~r) = µf (~r)

µf (~r) = µf − V (~r) = ξh2

2m(6π2nf )2/3 + gbfnb(r) (9)

Ce qui peut se réécrire, puisque µf et µb sont des potentiels chimiques globaux et uniformesdans le gaz :

µf = ξh2

2m(6π2nf )2/3 + gbfnb(r) + V (r) (10)

µb = gbbnb(r) + gbfnf (r) + V (r) (11)

V (r) est le potentiel piégeant, on le supposera harmonique : V (r) = 1/2m(ω2xx

2 + ω2yy

2 + ω2zz

2).

8

En combinant 10 et 11, on peut éliminer nb(r) de ces équations :

nb(r) =µbgbb− gbfgbb

nf (r)− V (r)

gbb(12)

µf =gbfgbb

µb + ξh2

2m(6π2nf )2/3 +

g2bf

gbbnf (r) + V (r)

(1− gbf

gbb

)(13)

On constate que si l'on se place dans le cas où gbb = gbf = g, la densité de fermions ne dépend plusde la position : on a réalisé un gaz de fermions uniforme. Reste maintenant à caractériser, d'unepart la faisabilité de cette condition, d'autre part le système ainsi obtenu. Dans toute la suite, onse plaçera dans le cas où :

gbb = gbf = g (14)

3.1.2 Conditions sur les longueurs de diusion

De telles conditions peuvent être réalisées expérimentalement, en utilisant les résonances deFeshbach pour `le bon' champ magnétique. Les paramètres variables sont le choix des niveauatomiques employés. Pour le 6Li, on a le choix entre les niveaux |F = 1/2,mF = −1/2〉 = |1〉6Li,|F = 1/2,mF = 1/2〉 = |2〉6Li et |F = 3/2,mF = −3/2〉 = |3〉6Li, et pour le 7Li, on a le choix entreles niveaux |F = 1,mF = 1〉 = |1〉7Li et |F = 1,mF = 0〉 = |2〉7Li. Ces diérents niveaux atomiquesainsi que leur dépendance avec le champ magnétique sont présentés gure 4, et les résonances deFeshbach sont données dans le tableau 1.

Figure 4 À gauche : états F = 1 et F = 2 du niveau 2S1/2 de l'atome de 7Li et leurs sous-niveaux Zeeman : de bas en haut : |F = 1,mF = −1〉, |F = 1,mF = 0〉, |F = 1,mF = 1〉,|F = 2,mF = −2〉, |F = 2,mF = −1〉, |F = 2,mF = 0〉, |F = 2,mF = 1〉, |F = 2,mF = 2〉.À droite, états F = 1/2 et F = 3/2 du niveau 2S1/2 de l'atome de 6Li et leurs sous-niveauxZeeman : de bas en haut : |F = 1/2,mF = −1/2〉, |F = 1/2,mF = 1/2〉, |F = 3/2,mF = −3/2〉,|F = 3/2,mF = −1/2〉, |F = 3/2,mF = 1/2〉, |F = 3/2,mF = 3/2〉

niveaux atomiques résonance (BF ) largeur (∆B)

|1〉6Li − |2〉6Li 834, 1G 300G|1〉6Li − |3〉6Li 690, 4G 122G|1〉6Li − |1〉6Li 811, 2G 222G

|1〉7Li − |1〉7Li 741, 8G 206G|2〉7Li − |2〉7Li 831G 34G

884G 7G

Table 1 Résonances de Feshbach pour les états atomiques proposés

9

Pour le 7Li, il y a deux résonances pour le niveau |2〉7Li, mais la première est très étroite, et ladeuxième n'est pas connue très précisément, donc on va préférer utiliser le niveau |1〉7Li. Il faut sesituer du côté abb > 0 de la résonance de Feshbach, sinon le condensat de bosons n'est pas stableet s'eondre. Il faut donc se placer à un champ magnétique inférieur à 741, 8G. Cependant, onsouhaite être à la limite unitaire pour le gaz de fermions, ce qui impose que le champ magnétiquevaut soit 834G, soit 690G, soit 811G. On va donc utiliser les niveaux |1〉6Li, |3〉6Li et |1〉7Li, et seplacer à B = 690G. Reste à vérier que on a bien abb ≈ ab↑ ≈ ab↓.

En utilisant l'équation 6 (avec abg = −16, 8a0) pour le niveau |1〉7Li, on trouve que abb ≈ 67a0,alors que abf ≈ ab↑ ≈ ab↓ ≈ 20 − 25a0, ce qui n'est pas complètement satisfaisant. Cependant,en se plaçant plutôt à un champ magnétique d'environ 650G, on a bien abb ≈ abf , et on peutconsidérer qu'on est encore à la limite unitaire |1〉6Li - |3〉6Li grâce à la largeur de la résonance :avec l'équation 6, on trouve que a↑↓ ≈ 3500a0. Dans la suite, on n'utilisera plus les longueurs dediusion, mais les forces d'interaction g qui sont liées aux longueurs de diusion par l'équation 5.

3.1.3 Unités

On peut adimensionner le problème précédent en prenant :

g = 1

ξh2

2m(6π2)2/3 = 1

1

2m = 1

ce qui revient, puisque[g] = ML5T−2[

ξh2

2m(6π2)2/3

]= ML4T−2

à prendre comme unité de longueur :

L =g

ξ h2

2m (6π2)2/3

On va également se ramener à un cas isotrope, qui est un changement d'échelle, et noter r ladistance au centre du nuage. Comme unité de temps :

T =

1

2m

g4(ξ h

2

2m (6π2)2/3)5

1/2

Et comme unité d'énergie :

E =

(ξ h

2

2m (6π2)2/3)3

g2

3.1.4 Résolution numérique

Les équations sur les potentiels chimiques se réécrivent donc :

µf = n2/3f + nb(r) + ω2r2 (15)

µb = nb(r) + nf (r) + ω2r2 (16)

En remplaçant (16) dans (15), on obtient :

µf − µb = n2/3f − nf (17)

10

On voit dans l'expression ci-dessus qu'il n'y a plus de dépendance en la position pour la densitéde fermions : quand gbb = gbf , elle est uniforme dans tout l'espace où il y a des bosons. Commesouvent dans le cas de mélanges, on va avoir une structuration du nuage, semblable à celle qui estobservée dans des gaz polarisés ou des mélanges d'atomes froids [12, 13]. Ici, dans le c÷ur du nuage,on va avoir un mélange de bosons et de fermions, la densité du gaz de fermions étant uniforme,et une partie extérieure contenant uniquement des fermions (voir gure 5) . L'équation 17 n'estévidemment valable que dans la région où il y a recouvrement entre le gaz de bosons et le gaz defermions. On note la densité uniforme de fermions nf . Notons Nf1 le nombre de fermions dans lec÷ur du nuage (c'est-à-dire la région de l'espace où la densité de fermions est uniforme), et RTFle rayon de ce c÷ur. On a immédiatement :

Nf1 = 43πR

3TFn

f (18)

RTF est dénit comme étant l'endroit où la densité de bosons s'annule : en utilisant l'équation16, on a

µb = nf + ω2R2TF (19)

En notant Nb le nombre total de bosons (et Nf le nombre total de fermions), on a :

Nb = 4π

∫ RTF

0

r2nb(r)dr = 4π

∫ RTF

0

(µb − nf − ω2r2)r2dr =4

3πR3

TFµb −Nf1 −4

5πω2R5

TF (20)

Nb +Nf1 = 43πR

3TFµb − 4

5πω2R5

TF (21)

À partir du moment où la densité de bosons s'annule (i.e. dès que r ≥ RTF ), le gaz de fermionsn'est plus uniforme, et la densité de fermions obéit à l'équation suivante :

n2/3f (r ≥ RTF ) + ω2r2 = µf = n

2/3f + ω2R2

TF (22)

Donc, en notant R′TF le rayon auquel la densité de fermions s'annule et Nf2 le nombre de fermionsdans la partie non uniforme, on a :

4π

∫ R′TF

RTF

nf (r)r2dr = Nf2 = 4π

∫ R′TF

RTF

r2(n2/3f + ω2(R2

TF − r2))3/2dr

D'où :

Nf2 = 4π∫ R′

TF

RTFr2(n

2/3f + ω2(R2

TF − r2))3/2dr (23)

Et enn, en utilisant le fait que nf (r = R′TF ) = 0, on obtient :

ω2R′2TF = n2/3f + ω2R2

TF (24)

En xant Nb et Nf1, on a donc 6 équations, et 6 inconnues : µb, µf , nf , RTF , R′TF et Nf2.

On pourrait aussi xer Nb et Nf = Nf1 +Nf2, mais la résolution numérique devient plus dicile :quand on xe Nb et Nf1, les équations (17), (18), (21), (19) forment un système indépendant, dontles solutions sont injectées dans les équations (24) puis (23) pour trouver R′TF puis Nf2.

Le prol radial du nuage est présenté gure 5.On peut faire la résolution sous Mathematica R©. Les courbes obtenues sont représentées gure

6.

11

Figure 5 Allure de l'évolution de la densité des bosons et des fermions en fonction de la distanceau centre du nuage

3.1.5 Linearisation et solution analytique approchée

On peut linéariser analytiquement ces équations dans la limite Nf1 Nb.

Dans les unités choisies, nf ≈ 10−6. Donc n2/3f nf . L'équation (17) devient :

µf − µb = n2/3f (25)

L'équation (18) reste telle quelle :

Nf1 =4

3πR3

TFnf (26)

Avec Nf1 Nb, l'équation (21) devient :

Nb =4

3πR3

TFµb −4

5πω2R5

TF (27)

En négligeant nf devant µb dans l'équation (19), on obtient :

µb = ω2R2TF (28)

L'équation (23), faisant intervenir une intégrale, est dicile à linéariser, elle sera traitée plustard.

L'équation (24) reste inchangée par la linéarisation.En supposant qu'on connait Nb et Nf1, on peut résoudre presque entièrement le système : en

injectant (28) dans (27), on a :

Nb =8πω2R5

TF

15

On peut alors obtenir RTF :

RTF =(

15Nb

8πω2

)1/5(29)

En réinjectant dans (28), on ptrouve µb :

µb = ω2(

15Nb

8πω2

)2/5(30)

12

Figure 6 Rapports Nf1/Ntot et RTF /R′TF pour diérents nombres d'atomes xés.

En utilisant (29) dans (26), on obtient la valeur de la densité uniforme nf :

nf =3Nf1

4π

(8πω2

15Nb

)3/5

(31)

On obtient donc l'expression de µf :

µf = ω2(

15Nb

8πω2

)2/5+(

3Nf1

4π

)2/3 (8πω2

15Nb

)2/5

À partir de (24), on peut aussi donner R′TF :

R′TF =

(1ω2

(3Nf1

4π

)2/3 (8πω2

15Nb

)2/5

+(

15Nb

8πω2

)2/5)1/2

(32)

Le premier terme de l'équation ci-dessus est supérieur au second si Nf1 ≥ 103, ce qui peut êtreréalisé expérimentalement.

Le seul moyen de rendre l'équation 23 explicite et de connaître Nf2 est de linéariser grossière-ment l'intégrale avec la méthode des rectangles :∫ b

a

f(r)dr ≈ (b− a)f(b− a

2)

avec a = RTF , b = R′TF , et f = 4πr2(n2/3f + ω2(R2

TF − r2))3/2. Ceci conduit à des erreurs del'ordre de 20% dans le nombre total de fermions.

13

En revanche, pour toutes les autres grandeurs, l'accord entre les valeurs obtenues après simpli-cation des équations et les valeurs obtenues en demandant àMathematica de résoudre les équations`brutes' est excellent : les 3 premiers chires signicatifs sont les mêmes pour une gamme de Nb etNf1 plus large que celle que nous utiliserons.

3.2 Coecient de pertes à trois corps K3

3.2.1 Description et enjeux

Après une étude des gaz unitaires de fermions, il était intéressant de se pencher sur les gazunitaires de bosons : la première question à se poser concerne leur réalisation : si les gaz unitairesde fermions sont facilement réalisables et manipulables, avec des temps de vie de quelques secondes,c'est parce que le principe de Pauli supprime les collisions entre particules de la même espèce. Cen'est plus le cas pour les bosons, et il faut prendre en compte des pertes, notamment à deux ettrois corps.

Dans un gaz, plusieurs types de collisions peuvent être envisagées, notamment des collisions àdeux et trois corps. La collision à deux corps correspond à de l'évaporation : deux atomes échangentde l'énergie, ce qui peut amener le plus énergétique des deux à ne plus être piégé. Dans une collisionà trois corps, il peut y avoir formation d'une paire entre deux des atomes, et l'énergie de liaisonde la paire est transférée au troisième atome. Dans le cas du gaz de 7Li, les trois atomes sont alorsperdus, car la paire est très fortement liée et l'énergie libérée, qui se répartit entre la paire et letroisième atome, est très supérieure à la profondeur du piège. On notera K3 le taux de collisionsinélastiques à trois corps, et L3 le taux de pertes d'atomes par collision inélastique à trois corps.Comme ici chaque collision inélastique à trois corps conduit à la perte de 3 atomes, on a L3 = 3K3.

Ce type de mesures a déjà été eectué sur un gaz de Bose [14, 15, 16], et on a pu montrerexpérimentalement et théoriquement que les pertes à trois corps variaient en a4. Les expériencessont plus diciles à mener à la limite unitaire : en eet, comme détaillé plus haut, quand lalongueur de diusion augmente, K3 augmente, il y a plus de collisions, et le nuage moins stable[17]. Toutefois, on assiste, de la même manière que pour le cas de la l'amplitude de diusion et dela section ecace de diusion (voir partie 1.1), à une saturation de ce taux de pertes à trois corps[18].

De plus, la valeur à laquelle ce taux de pertes à trois corps sature dépend de la température :plus elle est basse, plus la valeur de saturation prise par le taux de pertes à trois corps va êtreimportante (voir gure 7, extraite de [18]) : si on se place à des températures susamment bassespour avoir un condensat, le nuage est tellement instable que nous n'avons pas le temps de prendredes mesures. C'est justement cette dépendance du taux de pertes à trois corps avec la températurequi va nous intéresser dans la suite : dans l'article [18] est montré que la valeur maximale du tauxde perte à trois corps permise par la mécanique quantique varie comme l'inverse du carré de latempérature, avec une formule sans paramètres libres :

L3(T ) =216√

3h5

m3(kBT )2(33)

Cette dépendance en 1/(kBT )2 s'explique relativement bien : à la limite unitaire, le K3 sature àune valeur proportionnelle à λ4, et puisque λ = 2πh2/

√mkBT , on a une dépendance en 1/(kBT )2

deK3. Cette saturation rend réalisables quoique assez instables des gaz thermiques (non condensés)unitaires de bosons. Dans toutes les expériences, nous avons donc travaillé uniquement avec desgaz thermiques : à trop basse température, il devient très dicile de garantir l'équilibre thermiquedu condensat et de connaître la densité moyenne de façon able, et K3 ne peut plus être mesuréquantitativement. J'ai participé à la prise de données pour la mesure du coecient de pertes àtrois corps dans un gaz thermique unitaire de 7Li.

3.2.2 Equations cinétiques

An de mesurer le taux de recombinaison, nous mesurons la dépendance temporelle du nombred'atomes piégés en fonction de la température.

14

Figure 7 Courbe théorique extraite de [18]. Évolution de K3 en fonction de la longueur dediusion a pour diérentes températures. On remarque que plus la température est faible plus lavaleur de K3 à la limite unitaire est élevée.

En eet, le taux de pertes, dNdt est donné par

dN

dt= −NL3〈n2〉 (34)

oùN est le nombre d'atomes, n la densité, et L3 le taux de pertes. Dans cette formule, la dépendanceen n2 est caractéristique d'un processus à 3 corps.

Or, on va travailler avec des gaz de Boltzmann, et pour des gaz de Boltzmann on a 〈n2〉 ∝ 〈n〉2.De plus, toujours pour un gaz de Boltzmann, 〈n〉 ∝ N . On notera 〈n2〉 = αN2. On obtient donc :

dN

dt= −αL3N

3 (35)

dN

N3= −αL3dt (36)

3.2.3 Réalisation expérimentale

Comme précisé en 3.2.1, on a une compétition entre les pertes à deux corps et les pertes à troiscorps. Les pertes à deux corps sont responsables d'un refroidissement évaporatif, et on perd uneénergie de l'ordre de ηkBT par atome évaporé (η = U/kBT , où U est la profondeur du piège).En revanche, les pertes à trois corps sont liées à un phénomène d'anti-évaporation, et entraînentdu chauage (car les atomes sont éliminés préférentiellement au centre où leur énergie potentielleest la plus basse, et la dépendance en 1/k4 favorise l'élimination des atomes possédant une petiteénergie cinétique : on élimine préférentiellement des atomes possédant une énergie plus faible quela moyenne, ce qui chaue les atomes restants). Chaque atome perdu donne une énergie de l'ordrede kBT au système. La température risque donc a priori de varier en fonction du temps. Or,K3 dépend également la température, et si on n'y prend pas garde, chacun des deux termes del'équation 36 va avoir une dépendance non triviale avec le temps. Pour éviter cette complicationsupplémentaire, il faut que la température du système reste constante. Pour cela, il faut faire ensorte que le refroidissement dû à l'évaporation et le chauage dû aux collisions à trois corps secompensent, et donc limiter le refroidissement évaporatif. Il faut donc, après le refroidissementpar évaporation permettant d'avoir un gaz quantique, augmenter la profondeur du piège, ainsi lesatomes subissant des collisions à deux corps auront plus dicilement une énergie leur permettantde s'échapper du piège. Expérimentalement, on constate que la profondeur optimale du piège est

15

deux fois celle de la n de l'évaporation. On a donc une façon systématique de compenser chauageet évaporation.

L'allure de l'évolution de la profondeur du piège dipolaire en fonction du temps est présentéegure 8.

Figure 8 Allure de l'évolution de la puissance du laser lors du refroidissement (représenté icipour des temps variant entre 0 et 4, et pour la recompression (représentée ici pour les temps entre4 et 6)

Pour chaque tempéraure, quelques dizaines d'images sont prises, avec des temps d'attente variésdans le piège.

Pour chaque image, on tte le prol du nuage avec une gaussienne, ce qui permet d'obtenir satempérature et de comparer le nombre d'atome obtenu par le t avec celui obtenu par intégrationdu prol.

Ensuite, on eectue un t de ce nombre d'atome en fonction du temps d'attente dans le piègeavec la fonction obtenue à partir des équations cinétiques 36, ce qui nous donne la valeur de K3(T )(voir un exemple de courbe gure 9).

Figure 9 Décroissance en échelle logarithmique du nombre d'atomes en fonction du tempsd'attente dans le piège. Les points sont les données expérimentales, la courbe en trait plein est let par la fonction donnée par l'équation 36.

On peut enn tracer l'évolution du coecient de pertes à trois corps avec la température, etcomparer avec la courbe théorique sur la gure 10

On peut vérier que le refroidissement dû aux collisions à deux corps est bien limité, en traçantl'évolution de la température avec le nombre d'atomes (voir gure 11). Le chauage n'est pas nul,mais on considèrera qu'il est négligeable.

En comparant au taux de collisions élastiques (à deux corps), on observe que les pertes à troiscorps l'emportent sur la thermalisation lorsque nλ3

th ≥ 1, ce qui interdit donc d'étudier un gazthermalisé dans le régime de dégénérescence quantique.

Dans la suite du stage, j'ai donc cherché à obtenir l'équation d'état d'un gaz de Bose, y comprisdans le régime de dégénérescence quantique, mais en restant à petite valeur de a.

16

æ

æ

ææ

æ

ææ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

0 5 10 150

1.´10-20

2.´10-20

3.´10-20

4.´10-20

T in ÐK

L3

incm

6s

Figure 10 Évolution du coecient de pertes à trois corps avec la température, à la limiteunitaire, et comparaison avec la courbe théorique donnée par l'équation 33

Figure 11 Évolution en échelle logarithmique de la température en fonction du temps.

3.3 Equation d'état d'un gaz de Bose

3.3.1 Présentation du problème

L'étude de la thermodynamique des gaz d'atomes froids a commencé il y a quelques années,avec tout d'abord de fermions à température nulle et à la limite unitaire [12, 5], puis l'étude debosons à température nulle [19]. On cherche à étendre ces résultats pour de faibles interactions età température nie, et notamment autour de la température critique, où les comportements dugaz sont plus diciles à prédire théoriquement.

Le but de cette partie a donc été l'étude expérimentale de la fonction adimensionnée Pλ3th/kBT

pour un gaz de Bose. Par analyse dimensionnelle, on peut montrer que cette fonction ne dépendque de µ/kBT et a/λth, où P est la pression du gaz de Bose, λth la longueur d'onde thermique de

De Broglie(λth = 2πh2

√mkBT

), µ est le potentiel chimique du gaz, kB est la constante de Boltzmann,

T la température et a la longueur de diusion.

Pλ3th

kBT= F

[µ

kBT,a

λth

](37)

où F est la fonction de deux variables à déterminer.L'approche ici est identique à celle adoptée dans [20] :On dispose d'images prises à diérentes températures et pour diérentes longueurs de diusion.

Chaque image nous donne directement la densité doublement intégrée n(x) en fonction de la

17

position.Il est alors très facile d'accéder à la pression à partir du prol doublement intégré : en eet, on

a (voir [12] et [5])

P (µx, T ) =mω2

r

2πn(x) (38)

En utilisant l'approximation de densité locale µ(x) = µ − 1/2mω2xx

2 (où µ est le potentielchimique au centre du piège), chaque image nous donne accès à une certaine gamme de valeurs deµ/kBT .

L'étape délicate de l'analyse est l'extraction du µ et de la température de chaque prol :pour des gaz sans interactions et à haute température, la dépendance de la densité avec T et µest connue. En revanche, dès qu'on est à basse température ou avec des interactions, on n'a pasd'expression analytique exacte.

3.3.2 Expressions analytiques approchées de la densité

On va utiliser la fraction thermique non condensée du nuage pour obtenir la température et lepotentiel chimique global de tout le nuage. On peut mesurer directement la pression à l'aide del'équation 38, et par ailleurs, on connait l'expression de la pression dans le cas sans interactions :

P (µx, T ) =kBT

λ3th

g5/2(ζ) (39)

ζ = exp

(µ − 1/2mω2

xx2

kBT

)(40)

où la fonction gk(x) est la fonction polylogarithme : gk(x) =∑∞n=1

xn

nk . En ne gardant que lepremier terme du polylog, on obtient le t gaussien, que nous utilisons pour avoir une premièreidée de la température.

P (µx, T ) =kBT

λ3th

exp

(µ − 1

2mω2xx

2

kBT

)(41)

Ce premier développement ne permet pas de prendre en compte les interactions, même enchamp moyen. On va donc plutôt utiliser les termes suivants du développement du viriel :

P (µx, T ) =kBT

λ3th

(ζ + b2ζ2) (42)

Le second coecient du viriel b2 doit tenir compte à la fois du caractère bosonique des particuleset de leurs interactions : b2 = bbosons2 + binteractions2 . bbosons2 s'obtient trivialement en prenant le

second terme du polylog : bbosons2 = 1/25/2. binteractions2 se calcule aussi et vaut −2(a/λth).On peut donc a priori tter la partie du prol correspondant à la fraction thermique (c'est-à-

dire les ailes du nuage), et ce t nous donne à la fois µ et T . La première diculté à surmonterest qu'il n'est pas toujours facile de déterminer jusqu'où est valable le développement du viriel àl'ordre 2. Pour contourner ce problème, on eectue plusieurs ts sur le même prol, en augmentantprogressivement la taille des ailes. La température et le potentiel chimique évalués sont à peu prèsconstants jusqu'à ce que l'on commence à s'approcher du condensat. Cette méthode permet detter le maximum de points possibles, et donc d'avoir la meilleure précision sur µ et T , tout enétant certain de se limiter à la partie condensée. Les T et µ trouvés sont par contre uniformesdans tout le condensat, et on peut tracer la pression en fonction de µ/kBT et a/λth pour tousles points du nuage, y compris la partie condensée. Dans le plan µ/kBT , a/λth, chaque imagereprésente donc un segment (voir gure 12).

Une autre diculté, plus dicile à dépasser, est qu'en deçà d'une certaine température, lafraction non condensée devient trop faible pour être ttée avec précision. L'idée est alors d'utiliser

les points F

(µ

kBT, aλth

)obtenus à haute température pour trouver les µ et T qui minimisent

l'écart à la courbe pour les points de l'image (voir gure 13).

18

Figure 12 Plan µ/kBT , a/λth, et informa-tion obtenue pour une image : chaque imagereprésente un segment coloré. Le segment decouleur jaune, à basse température, est ob-tenu en minimisant l'écart avec le segmentrouge (voir gure 13).

Figure 13 Représentation schématique de lapression réduite en fonction du potentiel chimiqueréduit pour deux images, l'une donnant la courberouge (nuage ayant une partie thermique impor-tante et pour lequel on peut trouver la tempé-rature et le potentiel chimique en eectuant unt), et l'autre donnant la courbe jaune (ne pos-sédant pas assez d'atomes thermiques pour eec-tuer un t, et dont la température et le potentielchimiques ont été obtenus en minimisant l'écartentre les deux courbes.)

En raison de l'arrivée tardive de l'ordinateur sur lequel cette étude est eectuée, elle n'a paspu être achevée avant la n du stage.

4 Conclusion

Ce stage a été l'occasion d'étudier, sous des aspects théoriques et expérimentaux, des gazquantiques de Lithium. Des résultats ont été obtenus pour les fermions uniformes, même si la miseen évidence n'est pas encore complètement évidente ; l'étude expérimentale de tels systèmes devraitcommencer à l'automne prochain. Peu d'études expérimentales ont encore été eectuées sur desmélanges fermions dans deux états de spin/bosons, c'est donc encore un domaine à explorer. J'avaispar ailleurs abordé le problème d'un refroidissement supplémentaire sur le principe du réfrigérateurà dilution 3He/4He, mais nous avons été confrontés à un problème de sélectivité en impulsion lorsde la dilution que nous n'avons pas su résoudre.

Les expérimentateurs (Benno Rem, Igor Ferrier-Barbut, Andrew Grier et moi) ont obtenu desrésultats probants pour l'étude du taux de pertes à trois corps, à la fois à la résonance de Feshbach,en faisant varier la température, mais aussi à température xée, de part et d'autre de la résonance,ce qui a permis de discuter certains résultats théoriques proposés [18]. L'étude de l'équation d'étatdu gaz de Bose a été ralentie par diérentes dicultés techniques et matérielles, mais celles-ci ontété en majeures parties résolues, et l'étude est en bonne voie.

19

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