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Diples en rgime transitoire

1 Relations courant tension

Sil existe une relation linaire entre la tension u(t) et le courant i(t) dans un diple, celui-

ci est linaire . Rappelons les relations entre u(t) et i(t) pour les diples passifs usuels.

"""" RsistancesLa loi dOhm donne : U(t) = R.I(t) R en ohms()

"""" Inductances

De la loi de Lenz, on tire :

== dt)t(U

L

1)t(I

dt

)t(dIL)t(U L en henrys(H)

"""" Condensateurs

De dQ(t) = C.dU(t), on tire :

== dt)t(I

C

1)t(U

dt

)t(dUC)t(I C enfarads(F)

2 Diples passifs linaires en rgime variable

Soit un circuit constitu de diples passifs linaires soumis une tension de commande

V(t) et la variable y(t) dont la nature (intensit, charge) est fonction du problme considr.

On peut crire, pour ce circuit, une quation diffrentielle dont tous les coefficients ai sont

constants et dont la forme gnrale est :

a0.y + a1.y + a2.y + ... + an.y(n)= k.V(t)

On montre en analyse que la solution de cette quation est du type :

y(t) = y1(t) + y2(t)

y1(t) est la solution gnrale de lquation sanssecond membre.

y2(t) estunesolution particulire de lquation avecsecond membre.

Physiquement, y1(t) correspond au rgime libre cest--dire au fonctionnement ducircuit sans contraintes extrieures.

y2(t) correspond au rgime forc dont la nature est la mme que celle delexcitation V(t) qui est impose au circuit.

Aprs un rgime transitoire dont la dure est fonction des constantes de temps ducircuit, on obtient le rgime permanent.

Le systme est dit du premier ordre si lquation diffrentielle obtenue est du premierdegr, du second ordre si elle est du second degr ...

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/cours2.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/cours2.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/cours2.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/cours2.html

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3 Systmes du premier ordre3.1 Charge et dcharge dun condensateur"Charge

R

R

R

I

I

I

I

I

EV

C

G

G

E

E

U

Fig 1

On se place dans le cas le plus gnral : REest une

rsistance qui tient compte de la rsistance de fuite

du condensateur RF et de la rsistance de chargeventuelle RU. (RE= RU// RF).

Le gnrateur utilis pour la charge est modlis par

un gnrateur idal de f.e.m. E et de rsistance

interne RG.

Mthode des mailles

IG= I + IE= I + V/RE

I = dQ/dt = C.dV/dt

E = V + RG.IG=

V + RG.C.dV/dt + V.RG /RE

Vdt

dVRC

R

RE:on tire,

R

1

R

1

R

1:posantenDonc

dt

dVC

RR

R.RV

RR

R.E

dt

dV.C.R

R

RR.VE

GEG

GE

EG

GE

E

G

E

GE

+=+=

++=

+

+

+=

Mthode de Thvenin

R

E

V

C

T

T

Le gnrateur quivalent qui est reli au condensateur est caractris

par :

ET= E.RE /(RE+ RG) R = RT= RE.RG /(RE+ RG)

ET= V + RT.I

dt

dVR.C+V=

R

RE

G

(1)

" La solution gnrale de lquation sans second membre est :

0 = V + R.C.dV/dt

dV/V = 1/R.C. dt

Si A dsigne une constante arbitraire, la solution de cette quation (1erordre) est :

( )V A t RC= .exp / (2)Comme une quantit dlectricit est le produit dune capacit par une tension, en utilisant les

quations dites aux dimensions , on tire :

[Q] = [C].[V] = [ I ].[T] [C].[R].[ I ] = [ I ].[T] [R].[C] =[T]

RCqui a la dimension dun temps est la constante de temps du circuit." Solution particulire de lquation avec second membre :

Si V est constant alors dV/dt = 0.

V = E.R/RG est donc une solution. Elle correspond au rgime permanent : la charge ducondensateur est alors termine.

" Solution complte de lquation diffrentielle : V(t) = A exp(t/RC) + E.R/RG (3)

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" Solution physique de lquation diffrentielle :

Pour obtenir la solution du problme physique, il faut prciser les conditions initialesde

celui-ci. Si lon suppose le condensateur totalement dcharg lors de la mise sous tension du

montage : en t = 0, on a alors V = 0.

La valeur de la constante A est donc : A = E.R/RG. On en dduit :

VE.R

Re

G

t

RC=

1 (4)

La dure ncessaire la charge totale est donc infinie. En pratique, cherchons au bout de

combien de temps la charge atteint sa valeur finale un millime prs :

si (V V)/V= 103alors : exp(t/RC) = 1/1000.t/RC = Ln 1000 t 6,9.RC

Au bout de t 7., la charge ne diffre de la charge finale que de 0,001. On peut considrer lacharge du condensateur termine.

Cliquez ici pour visualiser le fonctionnement du circuit.

Graphes de la tension V et des divers courants :

IE= V/RE

IE.R

R Re

E

R Re

E

E G

t

E G

t

=

=

+

.1 1

I CdV

dt

E.

Re

E.R

R R

R

Re

G

t

E G

E

t

= = =

.

I I IE.R

R R

R

ReG E

E G

E

G

t

= + = +

.1

Bien noter sur ces graphiques les valeurs limites

des tensions et courants et les valeurs des pentes des

tangentes lorigine.

Un condensateur dcharg se comporte au dbut de la charge comme un court-

circuit pour lalimentation. Seule la rsistance RGlimite alors la valeur du courant..

"DchargeLe condensateur est isol du gnrateur et se dcharge dans sa rsistance

de fuite RFet dans la rsistance de charge RU. On pose RE= RU// RF

RE.I V = 0

I = dQ/dt (Le condensateur se dcharge : dQ est ngatif !)

V = REC.dV/dt V = A.exp(t/REC)En t = 0, on a : V = V0

La solution de lquation est donc :

)CR/texp(.VV E0 =

t

V

= R C

= R C

t

I

i

i

i

G

G

G

EEG

ER/R

E/R

R + R

E

R

I

V CE

Fig. 3

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/condo.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/condo.html

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3.2 tablissement du courant dans une inductance

V

I

2

1

VE L

R

L

R

Fig 4

Selon la position de linverseur, on aura soit le

rgime libre (position 2) soit le rgime forc

(position 1). Avec les notations de la figure 4, on a :

E = VR+ VL

Soit : E R I LdI

dt= +.

REGIME LIBRE(E = 0)

On obtient dans ce cas :dI

dt

R

LI

dI

I

dtavec

L

R+ = = =0

:

Exercice: Montrer que la constante a la dimension dun temps.

La solution du rgime libre est : I(t) = A.exp( t/)

La condition initiale est : I(t = 0)= I(0) = U0/R. Donc :

I t I e et V t LdI

dt

L Ie RI e

t

L

t t

( ) . ( ).

.= = = =

00

0

t

V

= L / R

= L / R

R . I o

t

I

I o = U o / R

Fig. 5 Bien noter que si la fonction I(t) est continue, la fonction VL(t) est discontinue.

REGIME FORCE(E 0)Si I(t = 0)= 0, on obtient (inverseur en position 1) :

I tE

Re et V E.e

t

L

t

( )=

=

1

Le courant dans le circuit tend vers E/R ; la tension aux bornes de linductance tend vers zro.

3.3 Particularits des systmes du premier ordreCes systmes satisfont une quation diffrentielle du premier ordre coefficients constants

de la forme :

dG t

dt

G tH

( ) ( )+ =

Pour le rgime libre, H est nul et en rgime forc continu H est constant.

La solution est de la forme :

G t G e H

t

( ) ( ). .= +

0

Cette solution dpend dune constante G(0) fonction des conditions initiales etdunparamtre (la constante de temps), caractristique du circuit.

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4 Systmes du second ordre

4.1 Le circuit R, L, C srie

Le condensateur C du circuit R, L, C suivant est charg par un gnrateur auxiliaire qui est

ensuite dconnect par K1.

R

V

IK2K1

VV

E L

R

LCC

Fig. 6

La charge initiale du condensateur est :q0= C.E

Si K2 est ferm et K1 ouvert, on a :

VC+ VL+ VR= 0

On obtient lquation :

0C

q

dt

dq.R

dt

qdL0I.R

dt

dIL

C

q2

2

=++=++

On pose :

LCR

LQ

L

R

R

L Q

0

2 0 012

2= = = = =; ;

Q est le facteur de qualit et le facteur damortissement.Lquation devient :

d q

dt Q

dq

dtq

2

20

02 0+ + =

. .

En cherchant des solutions de la forme q(t) = A.ert, on obtient lquation dite quation

caractristique suivante :

rQ

r2 0 02 0+ + = .

Ses racines sont :

rQ Q

QR

L1 2

0 0 2

2 21 4

2, = = =

La solution gnrale de lquation est de la forme :

)e.Ae.A.(ee.Ae.A)t(q t.2t.

1

ttr

2

tr

121 +=+=

La constante de tempsest ici : = 1/= 2L/R. Il faut connatre deuxconditions initiales.Selon le signe de , la nature des solutions diffre.

""""> 0 (Q < ou R LC

> 2 ) (amortissement fort)

Les deux racines sont relles. On pose :

= = = 0 22

021

1

4Q

Les conditions initiales sont q(t = 0) = q0et I(t = 0) = 0

212211210 A).(A).(A.rA.r0AAq +=++=+=

On tire :

+++

= ttt e).(e).(e

2

q)t(q 0

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Comme 2 2 2 02 = = , on obtient :

I t q e e et t t( )= 0 02

2

Ce rgime de fonctionnement est le rgime apriodique. Le systme revient son tatdquilibre (q = 0, i = 0) sans oscillations.

tT o

I

t

q

Fig. 7

EXERCICE: Montrer que T01

2

= +

ln

""""= 0 (Q = ) (amortissement critique)

Il y a une racine double r =

La solution gnrale est de la forme :

q t A t A er t

( ) ( . . ).= +1 2

Avec les conditions initiales prcdentes, on obtient :

( )q t q t e I t q t et t( ) . ( ) . .= + = 0 021

Le rgime de fonctionnement est apriodique et critique. Cest un rgime limite qui estobtenu en diminuant la valeur de R jusqu la valeur RC

LC

= 2 .

""""< 0 (Q > ou R LC

< 2 ) (amortissement faible)

On pose 2 02 2= . Les deux racines sont imaginaires conjugues et valent :

r j j1 2 02 2

, = =

Toujours avec les mmes conditions initiales (q(t = 0)= q0, i(t = 0)= 0), on obtient :

]e).j(e).j[(j2

eq)t(q tjtjt

0 +++

=

Fig. 8

Et en posant tg = /et donc cos = /0(car 1 + tg= 1/cos), on a :

q0

t1 /

T

q

q0.exp(-t)

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)tcos(.eq)tcos(j2

eq)t(q t00

t

0

=

=

On obtient un rgime oscillant amorti pseudopriodique ( cause de lamortissement le

phnomne nest pas exactement rptitif) caractris par une pseudopriode T = 2/et parle terme damortissement .

""""R = 0 (amortissement nul)

Lquation se rsume :

d q

dtq q t q t

2

2 02

0 00+ = = . ( ) cos

Le rgime est sinusodal (priodique, non amorti). La priode est : T = 2/0.

Cliquez ici pour tester le fonctionnement du circuit RLC srie en rgime libre.

4.2 Rgime forc du systmeLa solution est la somme du rgime propre et dune solution particulire du rgime forc.

En rgime forc, la puissance fournie par le gnrateur est rpartie dans les trois diples :

( )P E.I t R I t I t V V R Id

dtL I

q

CL C= = + + = + +

( ) . ( ) ( ). . .2 2 12

2 12

2

En rgime propre, E = 0 ; lnergie est emmagasine de faon successive dans linductance

et dans le condensateur.

4.3 Particularits des systmes du second ordre

Ces systmes satisfont une quation diffrentielle du second ordre coefficients constants

de la forme :

d G t

dt

dG t

dtG t H

2

2 022

( ) ( ). ( )+ + =

Pour le rgime libre H est nul et en rgime forc continu, H est constant.

Cette solution dpend de deuxconditions initialeset de deuxparamtres et 0caractristiques du circuit.

Selon les valeurs relatives de 0et de , on obtient diffrents rgimes de fonctionnement : Rgime apriodique si lamortissement est fort.

Rgime critique pour une valeur limite de lamortissement.

Rgime pseudopriodique si lamortissement est faible.

Rgime priodique si lamortissement est nul.

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