Relativité générale Relativité générale · Qu’est-ce que la gravitation ? La relativité générale, qui permet de décrire la gravita-tion dans un cadre qui respecte les

Qu’est-ce que la gravitation ?

La relativité générale, qui permet de décrire la gravita-tion dans un cadre qui respecte les lois de la relativitérestreinte, est une théorie complexe, dont l'étude et l'expertise sont longtemps restées réservées aux physi-ciens particulièrement courageux et amateurs de sensa-tions fortes mathématiques.

Depuis une vingtaine d'années, la situation a beaucoupchangé et plusieurs auteurs ont su extraire de cette complexité des façons beaucoup plus simples de présen-ter et d'enseigner cette discipline. Cette matière estaujourd'hui enseignée en début de master, voire en fin delicence universitaire, permettant à un grand nombre d'étudiants d'aborder des thèmes qui les intriguent oules font rêver : trous noirs, cosmologie, ondes gravita-tionnelles, etc.

La relativité générale à la portée de tous

L’ouvrage de Thomas A. Moore est un des premiers quiproposent un cours de relativité générale au niveau de la licence universitaire, en adaptant la présentation et lapédagogie à ce public pour qu’il découvre cette discipline,sans sacrifier pour autant le contenu : il est parfaitementadapté aussi pour les étudiants de master.

Un bon guide à travers les trous noirs

De la présentation des fondements de cette théorie à sesapplications les plus avancées (cosmologie, thermody-namique des trous noirs, ondes gravitationnelles), lelecteur est sans cesse guidé dans sa progression grâce à denombreux encadrés qui développent pas à pas la plupartdes calculs importants. Les aspects calculatoires sontclairement séparés des aspects conceptuels, dans le texteprincipal.

Traduction de l’édition américaine

Richard Taillet, ancien élève de l’ENS de Lyon enPhysique, Docteur en Physique théorique, dans ledomaine de l’astrophysique, est agrégé de SciencesPhysiques, Professeur à l’Université de Savoie etchercheur en astrophysique au LAPTH (Laboratoired’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique). Il est l'auteur de plusieurs ouvrages de physique destinésaux étudiants de licence.

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Relativité générale

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a Un livre de relativité générale abordable pour tousa Une pédagogie modernea Un schéma introductif qui montre les liens entre

les conceptsa Des encadrés de synthèse avec des exercicesa Des problèmes à la fin des chapitres

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ISBN : 978-2-8041-8470-4

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ASLANGUL, Mécanique quantique. 2. Développements et applications à basse énergie, 2e éd.

ASLANGUL, Mécanique quantique. 3. Corrigés détaillés et commentés des exercices et problèmes

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CHAMPEAU, Ondes lumineuses. Propagation, optique de Fourier, cohérence

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HECHT, Physique. 1. Mécanique

HECHT, Physique. 2. Électricité et magnétisme

HECHT, Physique. 3. Ondes, optique et physique moderne

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PÉREZ, LAGOUTE, PUJOL, DESMEULES, Physique. Une approche moderne

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TAILLET, Optique physique. Propagation de la lumière

TAYLOR, Mécanique classique

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par Richard Taillet

Moore


© De Boeck Supérieur s.a., 2014 1re édition Fond Jean Pâques, 4 - 1348 Louvain-la-Neuve Pour la traduction et l’adaptation française Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partiellement ou

totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé en Italie

Dépôt légal : Bibliothèque nationale, Paris: mars 2014 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles: 2014/0074/047 ISBN 978-2-8041-8470-4

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Notice de copyrightA General Relativity Workbook, by Thomas A. Moore, © University Science Books, 2013.


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Table des matieres

1 Introduction 1

2 Rappels de relativite restreinte 13

Encadre 2.1 : Les referentiels inertiels qui se chevauchent ont des vitesses rela-tives constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Encadre 2.2 : Conversions entre les unites SI et les unites RG . . . . . . . . . . 20

Encadre 2.3 : Une demonstration de la transformation de Lorentz . . . . . . . . 21

Encadre 2.4 : Transformations de Lorentz et rotations . . . . . . . . . . . . . . 25

Encadre 2.5 : L’intervalle d’espace-temps ne depend pas du referentiel . . . . . 26

Encadre 2.6 : L’ordre des evenements ne depend pas du referentiel . . . . . . . 26

Encadre 2.7 : Temps propre le long d’un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Encadre 2.8 : Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Encadre 2.9 : Transformation relativiste des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Quadri-vecteurs 31

Encadre 3.1 : Le produit scalaire est independant du referentiel . . . . . . . . . 36

Encadre 3.2 : La norme invariante de la quadri-vitesse . . . . . . . . . . . . . . 36

Encadre 3.3 : La limite de u a faible vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Encadre 3.4 : Conservation de la quantite de mouvement ou de la quadri-quantite de mouvement ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Encadre 3.5 : Exemple : la coupure GZK sur l’energie des rayons cosmiques . . 40

4 Notation indicielle 43

Encadre 4.1 : Comportement du delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . 48

Encadre 4.2 : Unite du champ electromagnetique dans le systeme d’unites RG . 48

Encadre 4.3 : Les equations de l’electromagnetisme en notation indicielle . . . . 49

Encadre 4.4 : Identifier les indices libres et les indices muets . . . . . . . . . . . 50

Encadre 4.5 : Violations des regles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Encadre 4.6 : Exemples de demonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Coordonnees arbitraires 53

Encadre 5.1 : La base naturelle en coordonnees polaires . . . . . . . . . . . . . 58

Encadre 5.2 : Demonstration de la loi de transformation de la metrique . . . . 59

Encadre 5.3 : Un exemple 2D : les coordonnees paraboliques . . . . . . . . . . . 60

Encadre 5.4 : Les transformations de Lorentz comme transformations generales 62

Encadre 5.5 : Transformation de la metrique en espace plat . . . . . . . . . . . 62

Encadre 5.6 : Une metrique pour la sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Equations tensorielles 65

Encadre 6.1 : Exemples de covecteurs gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Encadre 6.2 : Descendre les indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Encadre 6.3 : L’inverse de la metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Encadre 6.4 : Le delta de Kronecker est un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Encadre 6.5 : Operations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Equations de Maxwell 77

Encadre 7.1 : Equation de Maxwell-Gauss et theoreme de Gauss . . . . . . . . 82

Encadre 7.2 : La derivee de m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Encadre 7.3 : Monter et descendre des indices en coordonnees cartesiennes . . . 83

Encadre 7.4 : L’equation tensorielle de conservation de la charge . . . . . . . . 84

Encadre 7.5 : L’antisymetrie de F entraıne la conservation de la charge . . . . . 85

Encadre 7.6 : Le potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Encadre 7.7 : Demonstration des equations de Maxwell dans le vide (equation7.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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vi TABLE DES MATIERES

8 Geodesiques 89

Encadre 8.1 : La ligne d’univers de temps propre maximal en espace-temps plat 93

Encadre 8.2 : Derivation de l’equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . 94

Encadre 8.3 : Derivation de la seconde forme de l’equation des geodesiques . . . 95

Encadre 8.4 : Geodesiques de l’espace plat en coordonnees paraboliques . . . . 96

Encadre 8.5 : Geodesiques pour la surface d’une sphere . . . . . . . . . . . . . . 98

Encadre 8.6 : L’equation des geodesiques ne determine pas l’echelle de τ . . . . 100

Encadre 8.7 : Geodesiques de la lumiere en espace-temps plat . . . . . . . . . . 101

9 Metrique de Schwarzschild 105

Encadre 9.1 : Distance radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Encadre 9.2 : Chute libre depuis le repos dans l’espace-temps de Schwarzschild 111

Encadre 9.3 : Valeur de GM pour la Terre et pour le Soleil . . . . . . . . . . . 112

Encadre 9.4 : Decalage vers le rouge gravitationnel en champ faible . . . . . . . 112

10 Orbites de particules 115

Encadre 10.1 : Les orbites de Schwarzschild doivent etre planes . . . . . . . . . 120

Encadre 10.2 : L’equation de « conservation de l’energie » de Schwarzschild . . 121

Encadre 10.3 : Conservation de l’energie des orbites newtoniennes . . . . . . . . 122

Encadre 10.4 : Les rayons des orbites circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Encadre 10.5 : La troisieme loi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Encadre 10.6 : L’orbite stable de plus faible rayon . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Encadre 10.7 : Energie rayonnee par une particule spiralant vers l’interieur . . 126

11 Precession du perihelie 129

Encadre 11.1 : Verification de l’equation orbitale pour u(φ) . . . . . . . . . . . 135

Encadre 11.2 : Verification de l’equation orbitale newtonienne . . . . . . . . . . 135

Encadre 11.3 : Verification de l’equation sur la perturbation orbitale . . . . . . 136

Encadre 11.4 : Application a Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Encadre 11.5 : Construction du diagramme de plongement de Schwarzschild . . 137

Encadre 11.6 : Calcul du secteur angulaire δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Encadre 11.7 : Calcul numerique des orbites de Schwarzschild . . . . . . . . . . 138

12 Orbites de photons 143

Encadre 12.1 : Interpretation du parametre d’impact b . . . . . . . . . . . . . . 148

Encadre 12.2 : Demonstration de l’equation du mouvement pour un photon . . 148

Encadre 12.3 : Proprietes de l’energie potentielle pour la lumiere . . . . . . . . 149

Encadre 12.4 : Mouvement d’un photon en espace-temps plat . . . . . . . . . . 149

Encadre 12.5 : Evaluation des composantes d’un quadri-vecteur dans le refe-rentiel d’un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Encadre 12.6 : Une base orthonormee en coordonnees de Schwarzschild . . . . . 150

Encadre 12.7 : Angles critiques pour l’emission de photons . . . . . . . . . . . . 151

13 Deviation de la lumiere 153

Encadre 13.1 : Verification de l’equation 13.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Encadre 13.2 : L’equation differentielle donnant la forme de l’orbite des photons160

Encadre 13.3 : L’equation differentielle donnant la perturbation de l’orbite desphotons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Encadre 13.4 : La forme de la solution u(φ) dans la limite de grand r . . . . . . 161

Encadre 13.5 : L’angle de deviation maximale de la lumiere par le Soleil . . . . 161

Encadre 13.6 : L’equation des lentilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Encadre 13.7 : Rapport entre la luminosite des images et celle de la source . . . 163

14 Horizon des evenements 167

Encadre 14.1 : La distance jusqu’a r = 2GM est finie. . . . . . . . . . . . . . . 172

Encadre 14.2 : Temps propre lors d’une chute libre de r = R a r = 0. . . . . . . 174

Encadre 14.3 : Le futur est fini a l’interieur de l’horizon des evenements. . . . . 175

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Relativite generale vii

15 Coordonnees alternatives 179

Encadre 15.1 : Calcul de ∂t/∂r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Encadre 15.2 : La metrique de pluie globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Encadre 15.3 : Les limites de dr/dt a l’interieur de l’horizon des evenements . . 185

Encadre 15.4 : Obtention des coordonnees de Kruskal-Szekeres . . . . . . . . . 186

16 Thermodynamique des trous noirs 189

Encadre 16.1 : Temps de chute libre sur l’horizon depuis r = 2GM + ε . . . . . 194

Encadre 16.2 : Calcul de E∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Encadre 16.3 : Calcul de kB , ~ et T pour un trou noir solaire . . . . . . . . . . 196

Encadre 16.4 : Temps de vie d’un trou noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

17 Derivee covariante 199

Encadre 17.1 : Derivee covariante d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Encadre 17.2 : Derivee covariante d’un covecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Encadre 17.3 : Symetrie des symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . 205

Encadre 17.4 : Les symboles de Christoffel en fonction de la metrique . . . . . . 205

Encadre 17.5 : Verification de l’equation des geodesiques . . . . . . . . . . . . . 206

Encadre 17.6 : Une astuce pour calculer les symboles de Christoffel . . . . . . . 206

Encadre 17.7 : Le theoreme de platitude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

18 Deviation des geodesiques 211

Encadre 18.1 : Deviation de maree newtonienne pres d’un objet spherique . . . 216

Encadre 18.2 : Demonstration de l’equation 18.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Encadre 18.3 : La derivee covariante de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Encadre 18.4 : Demonstration de l’equation 18.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Encadre 18.5 : Exemple de calcul du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . 218

19 Tenseur de Riemann 221

Encadre 19.1 : Le tenseur de Riemann dans un referentiel localement inertiel . 224

Encadre 19.2 : Symetries du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Encadre 19.3 : Comptage des degres de liberte independants du tenseur deRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Encadre 19.4 : Identite de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Encadre 19.5 : Le tenseur de Ricci est symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Encadre 19.6 : Le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci pour une sphere . 228

20 Tenseur energie-impulsion 231

Encadre 20.1 : Pourquoi la source de la gravitation doit etre l’energie et non lamasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Encadre 20.2 : Interpretation de T ij dans un referentiel localement inertiel . . . 237

Encadre 20.3 : Le tenseur energie-impulsion d’un fluide parfait dans son refe-rentiel au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Encadre 20.4 : L’equation 20.16 se ramene a l’equation 20.15 . . . . . . . . . . 240

Encadre 20.5 : La dynamique des fluides a partir de la conservation de laquadri-quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

21 L’equation d’Einstein 245

Encadre 21.1 : Divergence du tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Encadre 21.2 : Determination de la valeur de b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Encadre 21.3 : Demonstration de −R+ 4Λ = κT . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

22 Interpretation de l’equation 255

Encadre 22.1 : La conservation de la quadri-impulsion entraıne que 0 = ∇ν(ρ0uµ).260

Encadre 22.2 : L’inverse de la metrique en champ faible. . . . . . . . . . . . . . 260

Encadre 22.3 : Le tenseur de Riemann dans la limite de champ faible . . . . . . 261

Encadre 22.4 : Le tenseur de Ricci dans la limite de champ faible . . . . . . . . 262

Encadre 22.5 : Les sources d’energie-impulsion des perturbations de la metrique 263

Encadre 22.6 : L’equation des geodesiques pour une particule lente dans unchamp faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

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viii TABLE DES MATIERES

23 La solution de Schwarzschild 267

Encadre 23.1 : Diagonalisation d’une metrique a symetrie spherique . . . . . . 272

Encadre 23.2 : Les composantes du tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . 273

Encadre 23.3 : Determination de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Encadre 23.4 : Determination de a(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Encadre 23.5 : Les symboles de Christoffel ayant pour indices tt . . . . . . . . . 277

24 L’Univers observe 281

Encadre 24.1 : Mesure des distances astronomiques dans le Systeme solaire . . 286

Encadre 24.2 : Determination de la distance des amas stellaires . . . . . . . . . 288

Encadre 24.3 : Relation entre decalage Doppler et vitesse radiale . . . . . . . . 289

Encadre 24.4 : Valeurs de la constante de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Encadre 24.5 : Tout point est le « centre » de l’expansion . . . . . . . . . . . . . 290

Encadre 24.6 : Indications de la presence de matiere noire . . . . . . . . . . . . 291

25 Une metrique pour le Cosmos 295

Encadre 25.1 : Le tenseur de Ricci de l’Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Encadre 25.2 : Montrer un indice du tenseur de Ricci de l’Univers . . . . . . . 300

Encadre 25.3 : Le tenseur energie-impulsion avec un indice en bas . . . . . . . . 300

Encadre 25.4 : L’equation d’Einstein avec un indice en bas . . . . . . . . . . . . 303

Encadre 25.5 : Verification de la solution pour q . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

26 Evolution de l’Univers 307

Encadre 26.1 : Les autres composantes de l’equation d’Einstein . . . . . . . . . 312

Encadre 26.2 : Conservation locale de l’energie et de la quantite de mouvement 313

Encadre 26.3 : Relation densite/echelle pour le rayonnement . . . . . . . . . . . 314

Encadre 26.4 : Demonstration de l’equation de Friedmann . . . . . . . . . . . . 314

Encadre 26.5 : L’equation de Friedmann pour le temps present . . . . . . . . . 315

Encadre 26.6 : L’equation de Friedmann en fonction des Omegas . . . . . . . . 315

Encadre 26.7 : Comportement d’un Univers domine par la matiere . . . . . . . 316

27 Implications cosmiques 319

Encadre 27.1 : Relation entre le redshift z et la constante de Hubble . . . . . . 324

Encadre 27.2 : La loi de Hubble en fonction du redshift z . . . . . . . . . . . . 324

Encadre 27.3 : Distance de luminosite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Encadre 27.4 : L’equation differentielle sur a(η) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Encadre 27.5 : Resolution numerique de l’equation 27.18 . . . . . . . . . . . . . 326

28 L’Univers primordial 329

Encadre 28.1 : Univers a une composante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Encadre 28.2 : Transition vers l’Univers domine par la matiere . . . . . . . . . 335

Encadre 28.3 : Relation temps/temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Encadre 28.4 : Decouplage des neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Encadre 28.5 : La densite numerique des photons . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

29 Fluctuations du CMB et inflation 341

Encadre 29.1 : La taille angulaire des plus grandes fluctuations du CMB . . . . 347

Encadre 29.2 : L’equation sur Ωk(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

Encadre 29.3 : Platitude cosmique a la fin de la nucleosynthese primordiale . . 349

Encadre 29.4 : La formule de l’inflation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . 349

Encadre 29.5 : Calculs d’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

30 Liberte de jauge 353

Encadre 30.1 : L’equation d’Einstein en champ faible en fonction de hµν . . . . 357

Encadre 30.2 : Inversion de la trace de hµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Encadre 30.3 : L’equation d’Einstein en champ faible en fonction de Hµν . . . . 359

Encadre 30.4 : Transformations de jauge des perturbations de la metrique . . . 360

Encadre 30.5 : Une transformations de jauge qui n’affecte pas Rαβµν . . . . . . 361

Encadre 30.6 : Jauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Encadre 30.7 : Liberte de jauge additionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

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Relativite generale ix

31 Detection des ondes gravitationnelles 365

Encadre 31.1 : Contraintes sur notre solution d’essai . . . . . . . . . . . . . . . 370

Encadre 31.2 : Transformation vers la jauge transverse de trace nulle . . . . . . 371

Encadre 31.3 : Une particule au repos reste au repos dans les coordonnees TT. 373

Encadre 31.4 : Effet d’une onde gravitationnelle sur des particules disposees encercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

32 Energie des ondes gravitationnelles 377

Encadre 32.1 : Le tenseur de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Encadre 32.2 : Le scalaire de courbure moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Encadre 32.3 : Densite d’energie des ondes gravitationnelles, dans le cas general 381

33 Sources des ondes gravitationnelles 385

Encadre 33.1 : Htµ pour une source compacte dont le centre de masse est aurepos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Encadre 33.2 : Une identite utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Encadre 33.3 : Les composantes transverses et de trace nulle de Aµν . . . . . . 392

Encadre 33.4 : Comment trouver...IjkTT pour des ondes se deplacant dans la

direction ~n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Encadre 33.5 : Le flux en fonction de I jk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

Encadre 33.6 : Evaluation des integrales dans le calcul de la puissance . . . . . 396

34 Astronomie des ondes gravitationnelles 399

Encadre 34.1 : Le I jk de l’haltere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Encadre 34.2 : Puissance rayonnee par l’haltere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Encadre 34.3 : Energie totale d’un couple binaire en orbite . . . . . . . . . . . . 406

Encadre 34.4 : Vitesse de variation de la periode orbitale . . . . . . . . . . . . . 406

Encadre 34.5 : Caracteristiques de ι Bootis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

35 Gravitomagnetisme 409

Encadre 35.1 : Condition de Lorenz pour les potentiels . . . . . . . . . . . . . . 414

Encadre 35.2 : Equations de Maxwell pour le champ gravitationnel . . . . . . . 415

Encadre 35.3 : Les equations de Lorentz gravitationnelles . . . . . . . . . . . . 416

Encadre 35.4 : Le « moment gravito-magnetique » d’un objet en rotation . . . 416

Encadre 35.5 : Vitesse angulaire de precession d’un gyroscope . . . . . . . . . . 417

36 Metrique de Kerr 419

Encadre 36.1 : Developpement de ‖~R− ~r‖−1 au premier ordre en r/R . . . . . 423

Encadre 36.2 : L’integrale donnant htx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

Encadre 36.3 : Pourquoi les autres termes du developpement donnent zero dansl’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

Encadre 36.4 : Transformation en coordonnees spheriques de la solution enchamp faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

Encadre 36.5 : La limite en champ faible de la metrique de Kerr . . . . . . . . 427

37 Orbites des particules dans l’espace-temps de Kerr 429

Encadre 37.1 : Calcul des expressions de dt/dτ et dφ/dτ . . . . . . . . . . . . . 433

Encadre 37.2 : Verification de la valeur de [gtφ]2 − gttgφφ . . . . . . . . . . . . 434

Encadre 37.3 : Les equations de « conservation de l’energie » au cours dumouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

Encadre 37.4 : Troisieme loi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

Encadre 37.5 : Rayon minimal des orbites circulaires stables quand a = GM . . 437

38 Ergoregion et horizon 439

Encadre 38.1 : Les rayons ou gtt = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

Encadre 38.2 : L’intervalle de vitesses angulaires lorsque dr ou dθ 6= 0 . . . . . 444

Encadre 38.3 : Limites sur la vitesse angulaire dans le plan equatorial . . . . . 445

Encadre 38.4 : La metrique de l’horizon des evenements . . . . . . . . . . . . . 446

Encadre 38.5 : L’aire de l’horizon des evenements externe de Kerr . . . . . . . 447

Encadre 38.6 : Transformations qui preservent le signe du determinant desmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

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x TABLE DES MATIERES

39 Orbites d’energie negative 451Encadre 39.1 : Forme quadratique pour la conservation de l’energie . . . . . . . 456Encadre 39.2 : La racine carree est nulle sur l’horizon des evenements . . . . . 457Encadre 39.3 : e ne peut etre negatif que dans l’ergoregion . . . . . . . . . . . . 458Encadre 39.4 : La limite fondamentale sur δM en fonction de δS . . . . . . . . 459Encadre 39.5 : δM ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Encadre 39.6 : La contribution de l’energie de rotation a la masse du trou noir 461

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Preface

Remarques preliminaires. La relativite generale est l’un des plus grands triomphesde l’esprit humain. Avec la theorie quantique des champs, la relativite generale consti-tue l’un des fondements de la physique contemporaines et represente aujourd’hui latheorie physique la plus ultime que l’on connaisse, ayant resiste a presque un siecle dedeveloppements et de tests toujours plus rigoureux, sans etre ni contredite, ni rempla-cee. Longtemps admiree pour sa beaute elegante, la relativite generale est aussi devenue(particulierement ces deux dernieres decennies) un outil essentiel pour les astrophysiciensprofessionnels. Elle fournit les bases pour comprendre une tres grande variete de pheno-menes astrophysiques, des noyaux actifs de galaxies, quasars et pulsars a la formation,aux caracteristiques et au devenir de l’Univers lui-meme. Elle a conduit au developpe-ment de nouveaux outils experimentaux pour tester la theorie et pour tenter de detecterdes ondes gravitationnelles, ce qui represente un des defis les plus excitants et les plusdifficiles de la physique contenporaine. Meme les ingenieurs commencent a preter atten-tion a la relativite generale : pour que le GPS (« Global Positioning System ») fonctionnecorrectement, il faut preter une attention particuliere aux effets de relativite generale.

Par certains aspects, la relativite generale etait tellement en avance sur son tempsqu’il a fallu un long moment avant que l’instrumentation et les applications se mettenten place et en fassent plus qu’une aventure intellectuelle reservee aux esprits curieux.Aujourd’hui, alors que la relativite generale a trouve sa place au cœur de la physiquecontemporaine avec une grande variete d’applications, dont la liste ne cesse de croıtre,il est devenu a la fois pertinent et important d’enseigner la relativite generale au niveaude la Licence. Le besoin de manuels et de livres de cours d’un niveau correspondant sefait donc urgent.

Audience. Ce manuel a ete ecrit comme un support de cours pour un enseignementd’introduction a la relativite generale d’un semestre, au niveau de la licence ou du master.Il s’adresse a des etudiants ayant suivi des cours d’analyse a plusieurs variables, de me-canique newtonienne au-dela de la mecanique elementaire, d’introduction a l’electriciteet au magnetisme. Ceux qui ont suivi des cours d’algebre lineaire, d’equations differen-tielles, d’electrodynamique et de relativite restreinte pourront avancer plus facilement etplus rapidement dans l’ouvrage. Ce livre est le fruit de mon experience d’enseignementde cette matiere, que j’ai enseignee quatorze fois au cours de ma carriere.

Cette longue experience m’a convaincu que non seulement des etudiants de licencepeuvent developper une bonne comprehension de la relativite generale, mais aussi quel’etude de ce sujet fournit une superbe introduction aux meilleures pratiques de la phy-sique theorique, ainsi qu’une sensibilisation stimulante et engageante a des idees qui setrouvent aux frontieres de la physique, ce a quoi les etudiants sont rarement exposespendant leurs cours de licence.

Remarques pedagogiques. Comme les etudiants voient rarement le calcul tensorielutilise en relativite generale, au cours de leur enseignement de mathematiques, un coursde relativite generale doit ou bien apprendre ces mathematiques depuis le debut, outenter de les contourner (avec un certain prix a payer sur la coherence et la profondeurde la comprehension). D’apres mon experience, les etudiants de licence et de masterpeuvent maıtriser le calcul tensoriel dans un cours concu de maniere convenable. L’efforten vaut la peine, car ceci fournit des fondements solides necessaires pour aborder lesapplications avec confiance et flexibilite.

Du point de vue pedagogique, la cle qui vous apportera cette maıtrise, en tant qu’etu-diant, est de vous approprier les mathematiques en reprenant vous-meme chacun des ar-

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xii PREFACE

guments, chaque demonstration. J’ai donc concu cet ouvrage comme un manuel. Chaquechapitre commence par une presentation concise des concepts fondamentaux qui vontvous permettre de vous faire une idee d’ensemble, sans distraction mathematique. Cettepresentation est suivie d’encadres qui vous permettent de vous guider a travers les de-monstrations et les details dont l’expose aurait pu dans un premier temps rendre obscuresles idees principales. J’ai pu constater que cette combinaison de presentations generaleset d’activites guidees etait particulierement efficace pour construire une comprehensiondes concepts au cœur de la theorie et de leurs fondements mathematiques.

La separation entre la synthese et les encadres vous aide aussi a rester concentre surla physique, tandis que les mathemaiques ne servent ici qu’a exprimer les idees physiques,a les servir. D’autres aspects de la conception de ce manuel s’appuient sur une mise enavant de la physique. J’ai ordonne les thematiques de facon a ce que les mathematiquessoient presentees non pas comme un gros bloc, mais graduellement, au fur et a mesuredes besoins, l’enchaınement des idees etant dicte par des considerations physiques. Parexemple, vous vous entraınerez a l’utilisation de la notation tensorielle en explorant desvraies applications physiques, en espace plat, avant d’aborder l’equation des geodesiquesqui decrit le mouvement des objets dans un espace-temps courbe. Vous passerez alors uncertain temps sur les consequences physiques de l’equation des geodesiques dans l’espace-temps particulier qui entoure un simple objet spherique, avant d’apprendre les techniquesmathematiques qui permettent de montrer pourquoi l’espace-temps est courbe de cettemaniere-la autour des objets spheriques. Au passage, j’utilise de nombreux exemples tressimplifies, dans des espaces bidimensionnels plats ou courbes, afin de vous aider a saisirle sens physique des idees fondamentales. La presentation graduelle des mathematiquesau fil du texte vous assure aussi d’avoir le temps d’assurer chacun de vos pas avant depasser a la marche suivante.

Pour utiliser cet ouvrage de maniere efficace, travaillez tous les encadres de ce livre.Ceci vous permettra d’atteindre une profondeur de comprehension difficile a obtenir pard’autres moyens.

Dependance des chapitres. Les chartes qui apparaissent au debut de chaque cha-pitre (et sur la page suivante) montrent comment les sections principales de cet ouvrages’articulent entre elles. Par exemple, vous pouvez y lire que les parties Introduction,Espace-temps plat et Tenseurs (chapitres 1 a 8) abordent des notions qui serontutilisees dans toutes les autres parties. Apres le chapitre 8, je recommande vivementde passer a la partie Trous noirs de Schwarzschild, qui vous permettra de mieuxcomprendre comment travailler avec des espaces courbes avant de vous confronter a en-core plus de mathematiques (et aussi parce que les trous noirs sont des applications de latheorie fascinantes). Toutefois, ce n’est pas une obligation et dans un court enseignementconsacre a la cosmologie, par exemple, on peut passer directement aux parties Calcul dela courbure, Equation d’Einstein et Cosmologie. Remarquez que les trois dernieresparties (Cosmologie, Ondes gravitationnelles et Trous noirs en rotation) sontcompletement independantes les unes des autres et peuvent etre etudiees dans n’importequel ordre. Attention toutefois, ces trois parties font appel a des notions exposees dansles parties Calcul de la courbure et Equation d’Einstein.

Il n’est pas non plus necessaire d’aller tout au bout de la partie Trous noirs deSchwarzschild. Les trois derniers chapitres (sur les trous noirs) ne sont indispensablesque si vous voulez etudier les deux derniers chapitres de la partie Trous noirs en ro-tation (meme s’il est difficile d’imaginer pourquoi on voudrait eviter la partie sur lestrous noirs !). On peut facilement omettre le chapitre « Deviation de la lumiere » sansperdre la continuite de l’ouvrage. Le chapitre « Precession du perihelie » est necessairepour aborder le chapitre « Deviation de la lumiere », mais vous pouvez passer les deux.Les deux premiers chapitres sont necessaires pour tous les suivants de cette section et lequatrieme chapitre sur « Orbites de photons » presente une technique mathematique quiest utilisee dans plusieurs exercices dans le reste de l’ouvrage, mais ce chapitre n’est abso-lument requis que pour les chapitres « Deviation de la lumiere » et « Thermodynamiquedes trous noirs ».

Dans la partie Cosmologie, les quatre premiers chapitres fournissent des notionsde base et devraient tous etre etudies si cette partie est abordee. Les deux dernierschapitres, en revanche, sont completement optionnels, vous pouvez passer les deux ouseulement le dernier.

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Relativite generale xiii

INTRODUCTION

ESPACE-TEMPS PLAT

CALCUL DELA COURBURE

COSMOLOGIE

ÉQUATIOND'EINSTEIN

TROUS NOIRS DESCHWARZSCHILDTENSEURS

ONDESGRAVITATIONNELLES

TROUS NOIRSEN ROTATION

Résumé de relativité restreinte

Quadri-vecteurs

Notation indicielle

Coordonnées arbitraires

Équations tensorielles

Équations de Maxwell

Géodésiques

Dérivée covariante

Déviation géodésique

Tenseur de Riemann

L'univers observé

Une métrique pour le Cosmos

Évolution de l'Univers

Implications cosmiques

L'Univers primordial*

Fluctuations du CMB & Inflation*

ceci dépend de cela

Tenseur énergie-impulsion

Équation d'Einstein

Interprétation de l'équation

Solution de Schwarzschild

Métrique de Schwarzschild

Orbites de particules

Précession du périhélie*

Orbites de photons

Déviation de la lumière*

Horizon des événements*

Coordonnées alternatives*

Thermodynamique des trous noirs*

Gravitomagnétisme*

Métrique de Kerr*

Orbite des particules*

Ergorégion et horizon*

Orbites d'énergie négative*

Liberté de jauge

Détection des ondes gravitationnelles

Énergie des ondes gravitationnelles*

Sources des ondes gravitationnelles*

Astronomie des ondes gravitationnelles*

Charte montrant les chapitres de l’ouvrage, regroupes en grandes parties, ainsi que la facon dont

ces parties dependent les unes des autres. Les chapitres marques d’une asterisque sont optionnels,

mais les chapitres optionnels suivants peuvent en dependre.

Meme si en principe il est possible de s’arreter apres les deux premiers chapitresde la partie Ondes gravitationnelles, je pense que la discussion sur l’energie et laproduction des ondes gravitationnelles est assez importante. Je recommande donc detraiter au moins les trois premiers chapitres de cette partie si vous voulez aborder lesondes gravitationnelles.

On peut raisonnablement choisir d’explorer seulement le chapitre « Gravitomagnetisme »dans la partie Trous noirs en rotation, ou s’arreter apres le chapitre « Metrique deKerr » ou « Ergoregion et horizon ». Toutefois, les chapitres de cette partie doivent etreetudies dans l’ordre et on ne peut pas facilement sauter un de ceux du milieu.

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xiv PREFACE

Le premier chapitre. Remarquez aussi que le premier chapitre a une structure dif-ferente des autres. Apres quelques remarques preliminaires, je termine generalement lapremiere seance de cours par un expose interactif de 40 minutes. Le premier chapitre estconstitue d’une transcription grossiere de cet expose. Il n’a pas d’encadre car je n’attendspas des etudiants qu’ils aient lu (ni meme achete) le livre avant le premier cours. Pourles aider a suivre l’expose, je leur donne la feuille recto-verso reproduite dans les deuxdernieres pages du premier chapitre.

Le deuxieme chapitre. Ce chapitre propose un expose tres concis de la relativiterestreinte, destine principalement aux etudiants qui ont deja etudie un peu de relativiteau cours de leurs etudes. Si vous n’avez jamais vu de relativite auparavant, vous trouverezce chapitre plus difficile. Meme si c’est le cas, vous trouverez dans ce chapitre tout ce quevous avez besoin de savoir sur la relativite restreinte pour aborder ce livre. Tout devraitbien se passer si vous prenez le temps d’avancer dans le chapitre a votre rythme, enfaisant bien les activites proposees, encadres et exercices. J’ai aussi inclus des referencesd’ouvrages qui pourraient vous apporter des complements utiles.

Site internet associe au livre. Vous trouverez plusieurs informations utiles, ainsi quedes programmes informatiques mentionnes dans le livre, a l’adresse du site compagnon(en anglais) :

http://pages.pomona.edu/~tmoore/grw

N’hesitez pas a m’ecrire par courrier electronique, si vous avez des questions, dessuggestions ou si vous reperez des erreurs dans l’ouvrage, mon adresse est la suivante :[email protected].

Information pour les enseignants. Jusqu’a maintenant, dans cette preface je mesuis adresse principalement aux etudiants. Dans la suite, je voudrais aussi mentionnerquelques points qui pourraient interesser les enseignants qui voudraient articuler leurcours autour de cet ouvrage.

Rythme du cours. J’ai concu ce cours de sorte que chaque chapitre puisse etre discutependant une unique seance de cours (de 50 minutes), en particulier si vous adoptez leformat que j’ai decrit plus haut pour ces cours. Votre vitesse peut varier (par exemplevous pourriez passer plus de temps sur le chapitre 2 si les prerequis de vos etudiants enrelativite restreinte sont faibles) mais cette regle generale devrait vous donner une bonneidee du rythme approprie pour ce cours.

Vous avez aussi beaucoup de souplesse dans le choix des chapitres abordes et deceux que vous pouvez passer : il y a au moins une vingtaine d’enchaınements differentsqui sont envisageables. Assurez-vous d’avoir lu attentivement le paragraphe qui precede« Dependance des chapitres » avant de decider d’omettre un chapitre. Personnellement,je parviens generalement a couvrir le livre entier en un semestre.

Je tiens a souligner de nouveau que les trois dernieres parties (Cosmologie, Ondesgravitationnelles, Trous noirs en rotation) sont independantes et vous pouvez lespresenter dans n’importe quel ordre. Un de mes collegues aime terminer le cours par lacosmologie, car il trouve que ce sujet constitue une fin stimulante. J’ai prefere mettrecette partie en premier, precisement parce que je pense aussi qu’elle est tres importante.Je traite les sujets dans l’ordre du livre et si je viens a manquer de temps, je prefere allerplus vite sur les trous noirs en rotation que sur la cosmologie ! De plus, les etudiants sontgeneralement plus debordes en fin de semestre et je prefere placer vers la fin les sujetsque je considere moins cruciaux. Mais vous pouvez bien sur choisir ce qui vous convientle mieux, a vous et a vos etudiants, ce manuel devrait vous permettre d’etre souple a cesujet.

Comment organiser le temps de classe. L’organisation de ce livre en manuel nesera efficace pour vos eleves que s’ils sont recompenses, d’une maniere ou d’une autre,pour avoir travaille les encadres. La derniere fois que j’ai enseigne ce cours, j’ai demandea chaque cours a plusieurs etudiants pris au hasard de me rendre leur livre pour queje commente et note leur travail et surtout leur effort a remplir les encadres, depuis laderniere fois que j’ai releve leur manuel, en pretant une attention particuliere au chapitrediscute ce jour-la. Ces notes comptaient pour environ 13 % dans la moyenne finale de cecours. Je me suis arrange pour que chaque etudiant rende son manuel environ cinq ousix fois par semestre.

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Relativite generale xv

Un de mes collegues, dans une autre institution, s’appuie sur une autre approchequi pourrait etre encore meilleure. Apres avoir determine quels exercices etaient suffi-samment simples pour pouvoir se passer de discussion, il affecte chaque exercice restanta un etudiant en suivant une rotation stricte, en s’incluant lui-meme dans la rotation.L’etudiant doit presenter la solution devant la classe. Ceci motive les etudiants a venirprepares sans avoir a les motiver avec une note formelle qui evaluerait leur prepara-tion, et ceci rend aussi le cours un peu plus dynamique qu’avec ma methode. Je prevoisd’utiliser cette methode la prochaine fois que j’enseignerai ce cours.

Vous pourrez trouver d’autres approches plus adaptees a vos etudiants, mais il mesemble tres important en concevant un cours base sur ce manuel de trouver une faconou une autre de recompenser les etudiants qui preparent les activites proposees dans lesencadres avant de venir en cours.

Pour chacune des approches decrites ci-dessus, nous passons beaucoup de tempsen classe a discuter des difficultes que les etudiants ont rencontrees en travaillant lesencadres. Comme ils ont au moins essaye de repondre aux questions posees avant le cours,ils arrivent generalement avec des questions interessantes, des questions directementreliees aux difficultes qu’ils ont rencontrees eux-memes. Nous pouvons ainsi passer dutemps en classe a repondre de maniere efficace aux veritables besoins des etudiants. S’ilreste du temps (et c’est generalement le cas), je developpe souvent plusieurs problemesen classe, cibles sur des questions de physique interessantes ou sur des points qui lesaideront a mieux preparer leur travail a la maison. Par experience, cette gestion dutemps de classe est beaucoup plus efficace que le cours magistral usuel.

Je vous recommande aussi (a vous, enseignant) de retravailler vous-meme tous lesencadres du chapitre que vous avez donne a preparer, avant le cours. Je le fais a chaquefois moi-meme, meme si j’ai deja fait tous les exercices plusieurs fois maintenant ! Ceciaide a se rafraıchir la memoire, a reperer certains problemes que vous pourriez rencontrerpendant le cours, et surtout a anticiper et apprecier les difficultes auxquelles les etudiantsauront ete confrontes avec les encadres.

J’ai intentionnellement concu la plupart des encadres de facon a ce qu’ils demandentaux etudiants de demontrer quelque chose, car le but essentiel de ces encadres est d’aiderles etudiants a s’approprier les concepts et les demonstrations discutes dans le texte.Les exercices proposes a la fin des chapitres sont souvent plus ouverts, fournissant auxetudiants l’opportunite de developper les idees presentees dans le texte, d’explorer desapplications physiques et meme d’aborder des sujets nouveaux. Certains des exercicessont aussi concus pour permettre en classe des discussions sur des sujets qui ne sont pastraites dans le cœur du texte.

Devoirs a la maison. Je demande typiquement aux etudiants de preparer deux exer-cices par chapitre, ce qui suffit a les maintenir occupes. Les exercices peuvent etre assezdifficiles et meme les meilleurs etudiants peuvent ne pas les resoudre correctement lapremiere fois. La notation du travail a la maison basee seulement sur la justesse desresultats peut rendre les etudiants anxieux. Toutefois, il est possible de mettre en placeun systeme de notation qui (1) permet aux etudiants de s’investir dans des exercicesdifficiles sans anxiete, (2) leur donne une opportunite d’apprendre des choses nouvelleset (3) vous rend plus aisee la tache de notation. La partie « Course Design » du site webcompagnon fournit un lien vers une page ou je presente un systeme de notation que jevous recommande fortement de considerer : non seulement il encourage les etudiants as’attaquer a des problemes sans craindre l’echec, mais je vous garantit qu’il vous feragagner du temps de correction et de notation !

Site web pour les enseignants. J’ai mis en place un site web d’acces restreint, pour lesenseignants. Si vous etes un enseignant et que vous voulez utiliser ce manuel, envoyez-moi(1) votre nom, (2) votre institution et (3) le nombre d’etudiants qui suivent votre cours,et je vous indiquerai comment acceder au site. Ce site contient les solutions completes desexercices et des encadres, des exemples de questionnaires, ainsi que d’autres informationsque les enseignants peuvent trouver utiles. Ces informations ne doivent pas etre mises ala disposition des etudiants de facon non controlee.

Je vous invite a m’ecrire par email si vous avez des questions, des commentaires, ousi vous notez des erreurs.

Remerciements. Je suis reconnaissant envers toutes les personnes qui ont participea l’aboutissement de cet ouvrage. Je tiens tout d’abord a remercier mes etudiants dePHYS 160 (en particulier Nathan Reed et Ian Frank) pour avoir releve les erreurs dans

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xvi PREFACE

les premieres versions et pour m’avoir offert leurs retours. L’idee de la structure syn-these/encadres est nee de conversations avec Dayton Jones (il y a plus de trente ans).Une correspondance fructueuse avec James Hartle m’a aide a formuler les objectifs de celivre et son excellent ouvrage m’a a la fois inspire et grandement appris. Je suis aussi re-connaissant envers Edwin Taylor, qui m’a remis en question et m’a permis d’elargir mesperspectives depuis que mes etudes au lycee, pour son soutien personnel et ses conseils.Merci aussi a Tom Baumgarte et a Ben Sugerman pour avoir teste les permieres versionsde ce livre dans leurs cours et pour m’avoir fourni des retours pertinents. Je remercie TomHelliwell, Nandor Bokor, Nelson Christensen et ses etudiants (Tom Callister, Ross Caw-thon, Andrew Chael, Micah Koller, Dustin Anderson et Davide Miller, qui m’ont tousenvoye des rapports individuels), Tom Baumgarte, Tom Carroll, Bryan van der Ende,ainsi qu’un rapporteur anonyme pour avoir lu une version quasi-finale de l’ouvrage etm’avoir propose de nombreuses suggestions valables et corrections d’erreurs. Il va de soique les erreurs qui restent sont de mon seul fait. Je veux aussi remercier les developpeursde MathMagic (le logiciel d’edition d’equations que j’utilise 1) pour leur extraordinairedisponibilite lorsque j’ai rencontre des problemes. Hilda Dinolfo et Christine Maynardont fourni une aide precieuse en imprimant les copies pour les differents relecteurs. Merciaussi a Sergio Picozzi et John Mallinckrodt pour avoir relu attentivement la copie finaleet pour avoir ecrit les louanges qui figurent sur la quatrieme de couverture. Merci aussia l’equipe de production (Lee Young, Richard Camp, Yvonne Tsang, Genette Itako Mc-Grew et tout particulierement Laurel Muller et Paul Anagnostopoulos) pour la qualitede leur travail, de leur ecoute et de leur patience devant un livre (et parfois un auteur)difficile. Je veux aussi remercier Jane Ellis, mon editeur a University Science Books, pourson soutien, son enthousiasme et son travail acharne pour amener ce projet a son terme,en acceptant de prendre un risque pour ce livre qui sort un peu de l’ordinaire.

Enfin, je remercie ma femme, Joyce, qui a toujours accepte et soutenu mon activited’ecriture avec grace et amour. Je vous remercie tous du fond du cœur !

Thomas A. MooreClaremont, CALe 11 juillet 2012.

1. Note du traducteur : les equations de la traduction francaise n’ont pas ete composees avec celogiciel mais avec LATEX.

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1. Introduction

INTRODUCTION

ESPACE-TEMPS PLAT


COSMOLOGIE

ÉQUATIOND'EINSTEIN





Quadri-vecteurs

Notation indicielle




Géodésiques



Tenseur de Riemann

L'univers observé




L'Univers primordial

Fluctuations du CMB & Inflation








Précession du périhélie

Orbites de photons

Déviation de la lumière

Horizon des événements

Coordonnées alternatives

Thermodynamique des trous noirs

Gravitomagnétisme

Métrique de Kerr

Orbite des particules

Ergorégion et horizon

Orbites d'énergie négative

Liberté de jauge


Énergie des ondes gravitationnelles

Sources des ondes gravitationnelles

Astronomie des ondes gravitationnelles

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2 1. INTRODUCTION

Comment lire ce chapitre. Ce chapitre a une structure differente de celle des autresqui composent cet ouvrage (voir la preface). Quand j’enseigne a partir de ce livre, je nedemande pas aux etudiants de lire ce chapitre, mais je leur presente son contenu lorsde la premiere seance de cours, pendant 40 minutes. Je leur distribue un document quicontient un resume des idees et les figures qui apparaissent dans ce chapitre (ce resumeest disponible a la fin de ce chapitre, on peut aussi le trouver sur le site internet del’ouvrage). C’est selon moi une maniere efficace d’utiliser le temps de la premiere seance,puisque les etudiants n’auront encore rien lu a l’avance, ainsi qu’une bonne maniere deles interesser au cours.

Ce chapitre est dont principalement destine aux enseignants, afin de les aider apreparer un cours similaire ou de fournir de la lecture a leurs etudiants s’ils preferentfaire autre chose pendant le premier, et a ceux qui utilisent ce cours pour apprendrepar eux-memes. Pour que tous en profitent de la meme maniere, ce chapitre est plus oumoins constitue d’une retranscription du premier cours que je donne a mes etudiants,plutot que d’une presentation structuree sur le modele que les chapitres suivants.

Introduction. La relativite generale, fondamentalement, est tres simple. Si on ne peutnier que les mathematiques auxquelles elle fait appel sont parfois complexes, ni queson interpretation subtile, les concepts au cœur de la theorie sont simples, plausibles etfaciles a comprendre. Cette simplicite fait toute l’elegance et la beaute de cette theorie,qui fournit un ideal que les autres theories physiques modernes tentent d’atteindre.

Dans la suite, je propose en quelques pages une vue d’ensemble de la structure concep-tuelle de la theorie. Le reste de l’ouvrage ne contient pas beaucoup plus que des detailset des applications de ces idees de base !

La curieuse egalite entre masse gravitationnelle et masse inertielle. Conside-rons tout d’abord deux charges electriques Q et q qui n’interagissent entre elles quede maniere electrostatique. Selon la loi de Coulomb et la relation fondamentale de ladynamique, on a alors

kQq

r2=

(kQ

r2

)q = Fe = mIa (1.1)

ou k designe la constante de Coulomb, r la distance entre les particules, Fe la norme dela force electrostatique que Q exerce sur q, a l’acceleration de q et mI sa masse inertielle,indiquant comment elle reagit en accelerant, lorsqu’on lui applique une force donnee. Laquantite entre parentheses est appelee la norme du champ electrique ~E que la particulede charge Q cree a la position de l’autre particule, et la quantite q determine commentcette autre particule repond a (on dit aussi « se couple a ») ce champ.

Considerons maintenant deux particules de masses M et mG qui n’interagissent entreelles que gravitationnellement. Selon la loi de la gravitation universelle de Newton et larelation fondamentale de la dynamique, on a

GMmG

r2=

(GM

r2

)mG = Fg = mIa (1.2)

ou G designe la constante de la gravitation universelle, Fg la norme de la force gravita-tionnelle que M exerce sur mG, et ou les autres quantites sont les memes que precedem-ment.

En s’appuyant sur l’equation 1.1, on interprete la quantite entre parentheses commela norme du champ gravitationnel ~g que la masse M cree a la position de l’autre particule,et mG determine comment l’autre particule se couple a ce champ.

J’ai mis des indices differents a mG et mI pour insister sur le fait que, meme sielles decrivent des proprietes de la meme particule, ces quantites sont conceptuellementtres differentes. La quantite mI correspond a la masse inertielle et indique la facondont la particule resiste a la variation de mouvement, sous l’effet d’une force donnee,tandis que mG represente la masse gravitationnelle, c’est-a-dire la facon dont elle secouple au champ gravitationnel. Ce sont des quantites physiques completement distinctes,exprimant des notions completement differentes. Nous n’avons pas plus de raison a prioride s’attendre a ce que mG soit relie a mI que nous n’en avions de relier q a mI dansl’equation 1.1.

Le fait de simplifier mG et mI des deux cotes de l’equation 1.2 (comme nous avonstous appris a le faire) constitue donc une hypothese forte, selon laquelle la masse iner-tielle d’un objet est egale a sa masse gravitationnelle. La plupart des physiciens, avant

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Relativite generale 3

Einstein, supposaient simplement que c’etait le cas. Mais l’est-ce reellement ? Nous sa-vons maintenant qu’un noyau d’or, par exemple, possede une masse inertielle (celle quemesure un spectrometre de masse) plus faible qu’un meme nombre de protons et deneutrons separes, a cause de l’importante energie de liaison de l’atome d’or. La massegravitationnelle ne pourrait-elle pas etre determinee par le nombre de nucleons et nonpar l’energie de liaison ? Qu’en disent les experiences ?

Pour comprendre comment repondre a cette question, divisons les deux cotes del’equation 1.2 par mI , sans supposer que mG et mI se simplifient. On obtient pourl’acceleration (

GM

r2

)(mG

mI

)= a (1.3)

Si mG et mI sont differents, alors le rapport mG/mI pourrait etre different d’un objeta l’autre, ce qui implique que ces objets seraient soumis a des accelerations differentes,dans le meme champ gravitationnel. C’est quelque chose que l’on peut tester experimen-talement.

Galilee et Newton ont fourni des premieres indications de l’egalite entre mG et Mi

(avec une precision d’un pour mille environ) au xviie siecle, ce qui a satisfait la commu-naute scientifique pendant longtemps. Toutefois, la situation a de nouveau interesse lesphysiciens a la fin du xixe siecle. Suite a une experience celebre realisee par Eotvos en1890, les physiciens du xxe siecle ont concu des experiences de plus en plus sophistiqueeset precises, utilisant diverses techniques. Les experiences actuelles ont etabli que mG etmI sont egales avec une precision d’un millionieme et les experiences les plus precisesa ce jour (qui utilisent une balance de torsion tres sensible pour rechercher des diffe-rences d’acceleration de differents objets dans le champ gravitationnel du Soleil, voir lesite www.npl.washington.edu/eotwash/ pour les details) donnent des incertitudes del’ordre de 10−13.

Maintenant, le fait que deux quantites a priori distinctes soient egales avec presque13 chiffres significatifs souleve des interrogations. La relativite generale fournit une ex-plication a la fois simple et elegante.

L’hypothese geodesique. La premiere etape de cette explication consiste a realiserque si mG est vraiment egal a mI , alors l’equation 1.3 implique que tous les objetssoumis a un meme champ gravitationnel subissent la meme acceleration. Tous les objetsdoivent donc suivre la meme trajectoire, dans un champ gravitationnel donne, s’ils sontlances depuis la meme position avec la meme vitesse initiale, meme s’ils different par leurmasse ou par d’autres caracteristiques. Attention, cette affirmation serait fausse pourl’electrostatique : des objets de charges differentes suivraient des trajectoires differentesdans un champ electrique donne, meme s’ils ont initialement les memes positions et lesmemes vitesses. Dans le cas gravitationnel, tout se passe comme si les trajectoires etaientdeterminees par l’espace dans lequel les objets se deplacent, plutot que par les proprietesdes objets eux-memes.

Comment un espace vide peut-il determiner une trajectoire ? Dans l’espace bidimen-sionnel que constitue une feuille de papier, il existe un chemin unique entre deux pointsquelconques, pour lequel la longueur est minimale : ce chemin est une ligne droite. Dememe, dans l’espace bidimensionnel associe a la surface d’un globe, les chemins analoguessont les « grands cercles ». Plus generalement, dans l’espace bidimensionnel associe a lasurface de tout objet tridimensionnel lisse et convexe, on peut trouver le plus court che-min entre deux points en tendant une corde entre ces deux points. Dans des espacesplus generaux, les chemins qui representent la distance la plus courte (ou de maniereplus technique, la distance extremale 1) entre deux points est appelee une geodesique.Les caracteristiques geometriques d’un espace determinent des chemins geodesiques demaniere unique, dans cet espace 2.

En relativite generale, l’hypothese geodesique affirme simplement que

Une particule libre suit une geodesique de l’espace-temps.

1. NdT : en fait, stationnaire2. Techniquement, si deux points de l’espace sont separes par des distances grandes devant l’echelle

sur laquelle la courbure de l’espace devient notable, on peut trouver plus d’une geodesique connectantces deux points. Par exemple, les poles d’une sphere peuvent etre relies par une infinite de grandscercles. Mais si les points sont separes par distances faibles devant cette echelle, la geodesique reliantun couple de points donne est unique. Supposons-le pour le moment.

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4 1. INTRODUCTION

ou le terme « particule libre » signifie qu’elle ne subit aucune interaction de nature nongravitationnelle. Selon cette hypothese, un champ gravitationnel deforme l’espace-temps,qui a son tour specifie les geodesiques que les particules doivent suivre.

L’hypothese geodesique doit etre appliquee a l’espace-temps, pas a l’espace tridimen-sionnel. Pour le voir, considerons un ballon que l’on lance et qui suit une parabole d’unpoint A a un point B, au voisinage de la surface de la Terre. On pourrait aussi tirerune balle de fusil depuis le point A, de maniere a ce qu’elle atteigne aussi le point B.A cause de sa vitesse plus grande la balle suivrait une trajectoire beaucoup moins cour-bee que le ballon (voir la figure 1.1). Toutefois, la definition des geodesiques impliquequ’il ne devrait y avoir qu’une geodesique entre les points A et B. La balle et le ballon,meme s’ils sont libres, ne peuvent pas suivre une geodesique de l’espace, contrairementa l’hypothese initiale !

Ce paradoxe est resolu si l’on considere que la balle et le ballon suivent des geodesiquesdans l’espace-temps. La figure 1.2 montre les trajectoires de la balle et du ballon dansl’espace et dans le temps. On peut tirer deux conclusions importantes de cette figure.D’une part, on voit que meme si la balle et le ballon partent de A au meme instant (parhypothese), ils n’arrivent pas au point B au meme instant, et leur trajectoire ne reliedonc pas les memes points dans l’espace-temps. Deux objets qui se deplacent de A a Bpendant le meme temps devraient avoir la meme vitesse initiale et suivraient exactementla meme trajectoire dans l’espace et le temps.

D’autre part, bien que les chemins suivis par la balle et le ballon sont clairementdes geodesiques differentes lorsqu’on les trace dans l’espace-temps, la figure 1.2 montreque celles-ci ont des rayons de courbure a peu pres identiques (environ 1 annee-lumiere),lorsqu’on exprime les durees comme les distances parcourues par la lumiere pendant cetemps. Ces geodesiques distinctes ont la meme courbure, qu’il est plausible d’attribuera la portion d’espace-temps contenant la Terre.

A B10 m

500 m/s

5 m/s

0.5 mm5 m

Fig. 1.1 – Les chemins suivis par unballon et une balle de fusil en chutelibre entre deux points A et B sontdifferents dans l’espace : il n’y a pasun chemin unique suivi par un ob-jet en chute libre entre deux points Aet B, dans l’espace. Adapte de Mis-ner, Thorne et Wheeler, Gravitation,Freeman, 1973, p. 33.

tB = c(0.02 s)= 6 × 106 m

ctBl = c(2 s) = 6 × 108 m

vers le centre de courbure vers le centre de courbure

ballon

RR R

balle de fusil

z

x

ct

A

B

Bl

h = 5 m

h = 0.5 mm

(pas à l’échelle)10 m

R ≈ 1 ly

Fig. 1.2 – Traces dans l’espace-temps, les chemins suivis par la balle et le ballon se terminenta des instants tA et tB differents, si bien que leurs points finaux dans l’espace-temps ne sontpas les memes. Toutefois, si on exprime l’evolution le long de l’axe temporel de ce diagrammed’espace-temps en termes de ct (ou c designe la vitesse de la lumiere dans le vide, une constantefondamentale), si bien que tous les axes sont gradues dans la meme unite, alors on s’apercoit queles deux chemins ont bien approximativement le meme rayon de courbure R ∼ 1 al, ou al signifieune annee-lumiere (voir le probleme P1.1). On remarque que deux projectiles qui evolueraiententre deux positions identiques dans l’espace et dans le temps devraient aussi avoir la memevitesse initiale, et suivraient donc la meme trajectoire (unique) dans l’espace-temps. Adapte deMisner, Thorne et Wheeler, Gravitation, Freeman, 1973, p. 33.

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Pourquoi la masse gravitationnelle est aussi la masse inertielle. Si l’on acceptel’hypothese geodesique, alors la masse gravitationnelle et la masse inertielle doivent etrela meme chose, comme nous allons le voir maintenant. A proximite de la surface de laTerre, la geodesique d’un objet lache au repos correspond a une trajectoire au cours delaquelle le corps est accelere vers le bas, avec une acceleration g = 9,81 m · s−2. Selonl’hypothese geodesique, c’est le chemin « naturel » que doit suivre un objet isole, analoguea la geodesique en ligne droite que devrait « naturellement » suivre un objet dans l’espaceprofond (loin de tout objet gravitant). Dans l’espace profond, pour accelerer un objetet l’ecarter de la geodesique en ligne droite, il faut lui appliquer une force. De maniereanalogue, si je tiens un objet au repos pres de la surface de la Terre, je dois exercersur lui une force dirigee vers le haut, pour l’accelerer vers le haut avec l’accelerationg = 9,81 m·s−2 par rapport a la geodesique dirigee vers le bas qu’il tendrait naturellementa suivre. L’intensite de cette force, selon la deuxieme loi de Newton, vaut simplementmg ou m designe la masse inertielle.

C’est precisement l’intensite de la force que nous exercons vers le haut pour retenirl’objet que nous mesurons lorsque nous « pesons » un objet. En mecanique newtonienne,nous imaginons que cette force dirigee vers le haut est exactement compensee par une« force gravitationnelle » mGg agissant sur l’objet, et on dit que la balance enregistre lepoids de l’objet qui, apres division par g, fournit la masse gravitationnelle mG. Du pointde vue de la relativite generale, la seule force qui agit sur l’objet est celle dirigee versle haut (puisqu’il faut exercer une force pour accelerer un objet et ainsi l’ecarter de sageodesique) et cette force a une intensite mIg. Ainsi, lorsqu’on croit mesurer la massegravitationnelle d’un corps a l’aide d’une balance, ce qu’on mesure reellement, c’est saresistance a l’acceleration. Bien sur que mG = mI , il s’agit de la meme chose !

Referentiels inertiels et non inertiels. Le paragraphe precedent implique qu’enrelativite generale, on considere que le « poids » d’un objet (c’est-a-dire la force gravi-tationnelle qui agit sur lui) est fictif, et non une force reelle. Pour le comprendre, nousdevons revenir sur la definition des referentiels inertiels et non inertiels.

En mecanique newtonienne, on definit typiquement un referentiel inertiel, d’ailleursplutot qualifie de galileen dans ce cadre, comme « un referentiel dans lequel un objetisole initialement au repos reste au repos ». Toutefois, il semble que nous derogeonsrapidement a cette definition lorsque nous traitons les referentiels inertiels au repos parrapport au referentiel terrestre comme des referentiels galileens ou inertiels, puisqu’unobjet initialement au repos ne le reste pas, il est accelere vers le bas avec l’acceleration g !L’explication newtonienne, bien sur, est qu’un tel objet situe pres de la surface de la Terren’est pas isole, il est soumis a la force gravitationnelle exercee par la Terre, ce qui causeson acceleration. Toutefois, la seule preuve de l’existence de cette force est le fait quel’objet qu’on lache est accelere, ce qui n’est le cas que si on commence par supposer quele referentiel lie a la surface de la Terre est inertiel.

En relativite generale, la definition donnee plus haut pour les referentiels inertiels estprise au serieux de maniere litterale. Un referentiel au repos par rapport a la surface dela Terre n’est pas inertiel, car un objet isole n’y reste pas au repos. Les seuls referentielsqui sont inertiels au voisinage de la Terre, en tout cas de maniere approchee, sont lesreferentiels en chute libre. Nous savons, par exemple, que dans un referentiel en chutelibre comme celui de la navette spatiale en orbite autour de la Terre, un objet place aurepos au milieu de la cabine continue de flotter au meme endroit, ce qui est compatibleavec la definition d’un referentiel inertiel !

Bien sur, un physicien newtonien repondrait qu’il s’agit d’une illusion, due au faitque l’objet et la navette spatiale sont tous deux en train de tomber vers la Terre avec lameme acceleration, et apparaissent donc au repos relativement l’un a l’autre. Le choixd’un referentiel inertiel, entre celui qui est lie a la surface de la Terre et celui en chutelibre, n’est-il donc qu’une affaire de point de vue ? Non ! L’une des plus grandes avanceesd’Einstein a ete de montrer que ce choix a des consequences physiques que nous allonsexaminer experimentalement.

Le principe d’equivalence. Einstein a fait remarquer que si un referentiel en chutelibre est vraiment inertiel, alors il devrait etre physiquement equivalent a un referentielsitue dans l’espace profond, en l’absence de gravitation (loin de tout corps massif), dansle sens ou toute experience realisee en chute libre devrait donner le meme resultat quedans le referentiel sans gravitation.

Inversement, un referentiel au repos par rapport a la surface de la Terre, comme il

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6 1. INTRODUCTION

est accelere vers le haut avec l’acceleration g = 9,1 m · s−2 par rapport aux referentielsinertiels que l’on peut considerer a cet endroit, devrait etre physiquement equivalenta un referentiel non inertiel uniformement accelere avec l’acceleration g par rapportaux referentiels de l’espace profond. Ce sont ces affirmations qui constituent ce que lesphysiciens appellent le principe d’equivalence.

Ce principe peut etre mis a l’epreuve, par exemple par l’experience suivante. Ima-ginons qu’un rayonnement lumineux de frequence donnee soit emise par une sourceaccrochee au plafond d’une piece immobile par rapport a la surface de la Terre. Cerayonnement est detecte et sa frequence est mesuree, par un appareil situe au niveaudu sol de la piece. Si ce referentiel etait vraiment inertiel (en contradiction avec la re-lativite generale), la lumiere detectee devrait etre observee avec la meme frequence quela lumiere emise. En revanche si un tel referentiel est non inertiel (comme le requiert leprincipe d’equivalence), alors le rayonnement devrait etre observe avec un leger decalagede frequence, comme nous allons maintenant le montrer.

D’apres le principe d’equivalence, ce qu’on observe dans un referentiel au repos parrapport a la surface de la Terre doit etre identique a ce qu’on observe dans une cabineacceleree, dans l’espace profond. Supposons que cette cabine se trouve etre immobilepar rapport a un referentiel inertiel a l’instant t = 0, auquel un photon est emis par leplafond de la cabine du referentiel accelere (voir la figure ??). Dans le referentiel inertiel,la frequence de ce photon reste constante. Mais pendant le temps t′ que met le photonpour atteindre le detecteur situe au sol de la cabine acceleree, ce dernier a acquis unevitesse v = gt′ par rapport au referentiel inertiel. Ainsi, dans le referentiel inertiel, ledetecteur situe au sol de la cabine se deplace a cette vitesse vers la source (qui etaitimmobile au moment de l’emission). Le detecteur verra donc le rayonnement legerementdecale vers le bleu, a cause de l’effet Doppler. Ce decalage sera tres faible (car t′ estpetit, voir le probleme P1.2 pour un calcul d’ordre de grandeur), mais non nul.

L’effet est si faible qu’il a fallu attendre plus de 50 ans apres la prediction d’Einsteinpour qu’on puisse le mesurer experimentalement de maniere indiscutable. En 1959, R.V. Pound et G. A. Rebka ont pu verifier cet effet dans une tour de 22,5 m de haut,au laboratoire Jefferson Physical Laboratory de l’universite de Harvard (voir Pound &Rebka, « Gravitational Redshift in Nuclear Resonance », Phys. Rev. Lett. 3, 439–441).Cette experience utilisait des rayons gamma emis par une source radioactive contenantdu 57Fe, et tirait parti de l’effet Mossbauer pour determiner tres precisement le decalageen frequence des rayons gamma, lorsqu’ils etaient absorbes par un autre echantillonde 57Fe situe a l’autre extremite de la tour. Cette experience a permis de verifier ledecalage vers le bleu avec une incertitude de l’ordre de 10 %. Des experiences ulterieuresont permis de verifier cet effet dans des referentiels lies a la Terre avec une precision del’ordre de 10−4.

On voit que les experiences confortent serieusement la conclusion selon laquelle lesreferentiels au repos par rapport a la surface de la Terre ne sont pas inertiels, tandisque les referentiels en chute libre le sont. Ceci signifie que la « force de gravitation » quisemble nous plaquer au sol dans les referentiels immobiles par rapport a la surface dela Terre n’est qu’une force fictive, aussi fictive que la force qui nous presse au sol dansun referentiel accelere vers le haut. En effet, cette force disparaıt dans un referentielveritablement inertiel (c’est-a-dire en chute libre) : dans ce referentiel les objets sont enapesanteur. Toute force qui apparaıt ou disparaıt selon le choix du referentiel ne peutpas etre reelle.

La realite de la gravite. La gravite est-elle donc entierement fictive ? N’y a-t-il doncrien a propos de la gravite qui soit reel (c’est-a-dire observable dans un referentiel iner-tiel) ? La reponse a ces deux questions est negative. La gravite est bien reelle, et certainesde ses manifestations sont observables dans les referentiels inertiels, ce n’est juste pas laforce dirigee vers le bas que l’on nomme usuellement « la gravite ».

Pour le voir, imaginons une grande cabine en train de tomber en chute libre versla Terre. Disposons quatre billes de maniere a ce qu’initialement, elles flottent au repospar rapport a la piece. Une est situee pres du plafond, une autre pres du sol, une autrepres d’un mur et la derniere pres du mur oppose (voir la figure 1.4). Qu’advient-il de cesbilles lorsque la cabine chute ?

vv

(a)

(b)

photon

détecteur

source

référentiel accéléré


référentiel inertielflottant

Fig. 1.3 – (a) A l’instant auquel lacabine acceleree dans l’espace pro-fond est au repos par rapport a unreferentiel inertiel de ce meme espaceprofond, un photon est emis par unesource situee au plafond de la cabine.(b) Pendant le temps que le photonmet pour atteindre le detecteur si-tue au sol de la cabine, celle-ci a ac-quis une vitesse non nulle par rapportau referentiel inertiel. Le detecteur vadonc mesurer pour le photon une fre-quence decalee vers le bleu. Comme lereferentiel accelere dans l’espace pro-fond est physiquement equivalent aun referentiel au repos a la surfacede la Terre, on s’attend a observeraussi un decalage vers le bleu de lafrequence du photon lorsque l’expe-rience est realisee sur Terre.

Pour predire ce qui se passe, replacons-nous pendant un moment dans le cadre new-tonien (qui permet d’expliquer le comportement observe, meme si l’interpretation n’estpas correcte). Dans ce cadre, le centre de masse de la cabine tombe vers la Terre avecune certaine acceleration. La bille situee pres du plafond est un peu plus eloignee du

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Terre

référentiel flottant dans l’espace vide

référentielen trainde tombervers la Terre

(a) (b)

vers le centre de la Terre

Fig. 1.4 – (a) Comme le champ gravitationnel de la Terre (ou de tout objet gravitant)n’est pas uniforme, les billes situees a des positions decentrees sont soumises a des petitesaccelerations par rapport au referentiel du centre de masse. (b) De telles accelerationsne sont pas observees dans un referentiel flottant librement dans l’espace profond : lesbilles initialement immobiles le restent.

centre de la Terre, et est donc soumise a une acceleration legerement plus faible. Dememe, la bille situee pres du sol est soumise a une acceleration legerement plus forte.Les billes situees pres des murs sont accelerees vers le centre de la Terre, c’est-a-diredans une direction legerement inclinee vers l’interieur par rapport a celle du centre demasse de la cabine. Au fil du temps, on observe donc que les billes situees en haut et enbas sont accelerees en s’eloignant du centre de masse, tandis que les billes du cote sontaccelerees vers le centre de masse. Ce n’est pas le comportement que l’on observeraitdans un referentiel flottant librement dans l’espace profond : dans un tel referentiel, lesbilles resteraient strictement au repos.

Les accelerations relatives de corps isoles decentres sont des phenomenes que l’onpeut observer dans un referentiel inertiel (en chute libre) pres d’un objet gravitant, maispas dans un referentiel inertiel flottant dans l’espace profond. Elles representent doncune indication independante du referentiel (et donc reelle) que l’on doit se trouver aproximite d’un objet gravitant.

Ces effets sont appeles effets de maree car, comme Newton lui-meme l’avait comprisle premier, ils permettent aussi d’expliquer les marees a la surface de la Terre. En effet,on peut considerer que la Terre est en chute libre dans le champ gravitationnel cree parla Lune. Comme les billes dans la cabine des paragraphes precedents, les eaux des oceanssituees sur les regions de la Terre situees les plus pres et les plus loin de la Lune sontaccelerees vers l’exterieur du centre de la Terre, et forment une bosse, tandis que leseaux situees sur les cotes sont attirees vers l’interieur de la Terre. Ceci explique le cyclede 12 heures de la variation du niveau des oceans.

L’espace-temps est courbe. Comment interpreter ces effets de maree dans le cadrede la relativite generale ? La figure 1.5 montre, dans un diagramme d’espace-temps, lestrajectoires des deux billes du cote, dans notre experience de chute libre decrite plus haut.Comme ces deux billes sont initialement au repos les unes par rapport aux autres, leurstrajectoires dans l’espace-temps sont initialement paralleles (elles gardent une separationconstante au cours du temps). Au fil du temps, elles se mettent a se deplacer l’une versl’autre avec une vitesse de plus en plus grande, et les trajectoires s’incurvent l’une versl’autre, comme on le voit sur la figure.

x

t

Fig. 1.5 – Tracees dans l’espace-temps, les geodesiques suivies par lesbilles de la figure 1.4 sont initialementparalleles (les billes ont des separa-tions initiales constantes), mais s’in-curvent peu a peu l’une vers l’autre(car leur separation diminue au coursdu temps). Ce flechissement de lignesinitialement paralleles indique quel’espace-temps sous-jacent est courbe.

Toutefois, souvenez-vous que ces trajectoires sont des geodesiques de l’espace-temps,c’est-a-dire les trajectoires les plus « droites » possibles dans l’espace-temps. Un axiomefondamental de la geometrie euclidienne (plane) est que deux droites initialement pa-

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8 1. INTRODUCTION

ralleles restent paralleles lorsqu’on les suit. Ici, nous voyons que des geodesiques dansl’espace-temps initialement paralleles ne restent pas paralleles. Ceci viole l’axiome dela geometrie plane, mais cette propriete est typique des espaces courbes. Par exemple,dans l’espace bidimensionnel correspondant a la surface d’une sphere, les lignes de lon-gitude constante (des grands cercles) sont des geodesiques. Ces lignes sont parallelesentre elles au niveau de l’equateur mais cessent de l’etre quand on s’approche des poles.En conclusion, l’acceleration relative des geodesiques pres d’un objet gravitant indiqueque la geometrie de l’espace-temps y est courbe (non euclidienne). Cette courbure del’espace-temps est la signature, independante du referentiel, qu’un champ gravitationnelest present. Une fois que nous aurons compris exactement comment l’espace-temps estcourbe pres des objets gravitants, nous pourrons calculer les geodesiques de cet espace-temps et ainsi predire comment les corps en chute libre s’y deplacent.

L’equation d’Einstein. Une fois formulee l’hypothese geodesique, l’objectif centrald’une theorie de la gravite est de predire comment un corps gravitant affecte la courburede l’espace-temps. Le 25 novembre 1915, Einstein termina la theorie de la relativite ge-nerale en proposant une equation qui lie la presence de matiere et d’energie a la courburede l’espace-temps, une equation qui porte aujourd’hui le nom d’equation d’Einstein. Elles’ecrit

Gµν = 8πGTµν (1.4)

ou Gµν est une matrice 4 × 4 (un tenseur, plus precisement) qui decrit la courburede l’espace-temps en tout point de l’espace-temps, G est la constante de la gravitationuniverselle, et Tµν est une matrice 4 × 4 decrivant la densite et le flux de matiere etd’energie au meme point de l’espace-temps. Cette equation forme, avec l’equation desgeodesiques utilisee pour calculer les geodesiques dans un espace-temps arbitraire, lecœur de la relativite generale.

La relativite generale en deux mots. Dans les chapitres qui suivent, nous allons ex-plorer tres en detail la signification mathematique de l’equation d’Einstein et de l’equa-tion des geodesiques. Pour le moment, toutefois, il suffit de retenir leur significationphysique. Pour resumer, si on sait comment l’espace-temps est courbe, on peut utiliserl’equation des geodesiques (l’equivalent mathematique d’etirer un elastique entre deuxpoints de l’espace-temps) pour calculer comment les corps se deplacent dans cet espace-temps. Si on connaıt la densite et les flux de matiere et d’energie dans l’espace-temps,on peut utiliser l’equation d’Einstein pour determiner la courbure de l’espace-temps.L’immense physicien John Archibald Wheeler resumait l’essentiel de cette theorie demaniere encore plus concise :

L’espace-temps dit a la matiere comment se deplacer : la matiere dit al’espace-temps comment se courber.

C’est la relativite generale en deux mots. Comment pourrait-ce etre plus simple ? Notrebut, dans la suite, sera simplement de derouler les consequences de cette affirmationsimple mais profonde.

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PROBLEMES

R

nis )(D R21

21=

h

21

21

parabole ≈ arc de cercle

base

soc )(R 21

Fig. 1.6 – Cette figure illustre la facon dont on peut decrire de maniereapprochee une parabole de hauteur h et de base D par un arc de cerclede rayon R.

P1.1 Ce probleme revient sur les affirmations faites dans la figure1.2.

a. Montrez que les valeurs de h et t pour les trajectoires de laballe de fusil et du ballon representees sur cette figure sont enaccord avec l’acceleration gravitationnelle g = 10 m · s−1.

b. Les trajectoires de la balle de fusil et du ballon dans le dia-gramme d’espace-temps de la figure 1.2 sont en fait des para-boles extremement peu courbees si l’on regarde la longueur deleur base. Comme le montre la figure 1.6, on peut utiliser unarc de cercle comme une excellente approximation d’une para-bole peu courbee. On peut calculer le rayon effectif de cet arcet ainsi quantifier la courbure de la trajectoire de facon directeet intuitive. On remarque sur la figure que le point le plus hautde l’arc est a une distance R du centre du cercle, mais que lecentre de la corde de l’arc n’est qu’a R cos( 1

2θ) du centre. Le

sommet de l’arc est donc situe a h = R[1 − cos( 12θ)] de la

corde. Comme l’angle θ est petit dans notre cas, on peut de-velopper cos( 1

2θ) en serie et negliger les termes d’ordre eleve :

cos( 12θ) ≈ 1 − 1

2( 1

2θ)2 = 1 − 1

8θ2 (en supposant que θ est en

radians et que sa valeur est tres petite par rapport a 1). Dansla meme limite, sin( 1

2θ) ≈ 1

2θ et la longueur D de la base vaut

2R sin( 12θ) ≈ Rθ. Or, sur la figure 1.2, la longueur des bases

de chacune des courbes dans le diagramme d’espace-temps estpresque exactement egale a ct, ou t designe le temps que metle projectile pour aller du point A au point B. En combinantles deux approximations precedentes avec les valeurs de h et tpour chacune des trajectoires, montrez que les rayons de cour-bure des trajectoires de la balle de fusil et du ballon de la figure1.2 sont tous les deux donnes par R ≈ 1016 m ≈ 1 al. Verifiezaussi que θ est bien tres petit pour les deux trajectoires, cequi justifie les approximations proposees.

P1.2 Un laser situe au plafond d’un laboratoire sur Terre emetun eclair lumineux vers un detecteur situe au sol a une distancede 25 m (le laboratoire est une tour). Ce laboratoire est equi-valent, du point de vue des effets de la gravite, a une grande sallequi serait acceleree vers le haut, dans l’espace profond, avec uneacceleration de norme g. On observe l’eclair lumineux dans unreferentiel inertiel qui entoure le laboratoire accelere. Par soucide simplicite, supposons que les deux laboratoires sont au reposl’un par rapport a l’autre au moment ou l’eclair est emis. Pen-dant le temps qu’il faut a l’eclair pour atteindre le sol (tempsmesure dans le referentiel inertiel), le laboratoire accelere a ac-quis une certaine vitesse v dans le referentiel inertiel. Ainsi, pourdes observateurs situes dans le referentiel inertiel, le detecteurau sol du laboratoire accelere se deplace vers la source avec lavitesse v au moment ou l’eclair est detecte. Ce detecteur mesuredonc que la longueur d’onde recue λ est decalee vers le bleu, cedecalage etant decrit par la formule de l’effet Doppler relativisteλ/λ0 =

√(1− v/c)/(1 + v/c), ou λ0 designe la longueur d’onde

de la lumiere emise par le laser et v la vitesse du detecteur parrapport au laser, au moment de la detection.

a. Montrez que la valeur relative du decalage de longueur d’ondeest donnee par

λ0 − λλ0

≈ gd

c2(1.5)

ou gd/c2 1 et v/c 1. Indication : vous pourrez utiliser ledeveloppement limite au premier ordre (1 + x)n ≈ 1 + nx.

b. Que vaudrait ce decalage relatif dans le cas d’un laboratoiresitue a la surface de la Terre ?

c. Que vaudrait ce decalage pour un laboratoire situe a la sur-face d’une etoile a neutrons de masse M = 3,0×1030 kg (≈ 1,5fois la masse du Soleil) et de rayon R = 12 km ? Indication :commencez par estimer la valeur de ~g en utilisant la loi de lagravitation universelle de Newton. Vous trouverez la valeur dela constante de la gravitation universelle G sur l’interieur dela page de couverture.

P1.3 Une autre consequence du principe d’equivalence est que lalumiere est courbee par un champ gravitationnel. Ceci n’a jamaisete mesure a la surface de la Terre, mais cet effet a ete verifie qua-litativement en observant la lumiere des etoiles passant pres dubord du Soleil lors d’une eclipse totale en 1919. Pourquoi cetteexperience ne peut-elle pas etre realisee a la surface de la Terre ?Calculons l’amplitude de la courbure que l’on devrait voir dansun laboratoire au repos a la surface de la Terre. On devrait yobserver la meme chose que dans un laboratoire situe dans l’es-pace profond et en train d’accelerer avec l’acceleration uniforme~a = −~g, ou ~g est l’acceleration de la pesanteur a la surface de laTerre. Un laser situe d’un cote du laboratoire emet un faisceaulumineux qui est envoye dans une direction parallele au sol dulaboratoire (horizontalement).

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10 1. INTRODUCTION

P1.3 (suite)Cette lumiere atteint le cote oppose du laboratoire situe a unedistance horizontale de 3 m.

a. Trouvez l’amplitude de la deviation dans le laboratoire situea la surface de la Terre.

b. Trouvez l’amplitude de la deviation si le laboratoire se trouvea la surface d’une etoile a neutrons de masse M = 3,0×1030 kg(≈ 1,5 fois la masse du Soleil) et de rayon R = 12 km ? In-dication : commencez par estimer la valeur de ~g en utilisantla loi de la gravitation universelle de Newton. Vous trouverezla valeur de la constante de la gravitation universelle G surl’interieur de la page de couverture.

P1.4 Vous pouvez calculer la deviation de la lumiere provenantdes etoiles lorsqu’elle rase le bord du Soleil (en utilisant le prin-cipe d’equivalence) de la facon suivante. On suppose que la de-viation est si faible que l’on peut approcher la trajectoire duphoton par une ligne droite le long de l’axe x qui rase la surfacedu Soleil, comme montre sur la figure 1.7. On suppose ensuiteque les photons subissent la meme acceleration que n’importequel autre corps passant a proximite du Soleil. Cette accelera-tion vaut |~a| = GM/r2 d’apres la physique newtonienne, ouG = 6,67 × 10−11 N · m2 · kg−2, M est la masse du Soleil et rla distance entre le photon et le centre du Soleil. La vitesse duphoton reste egale a c a tout instant. Comme le montre la fi-gure 1.7, le sinus de l’angle de deflexion δ sera egal a vy/c, ouvy designe la composante y de la vitesse finale ~v du photon. Onpeut determiner vy en integrant ay dt sur toute la trajectoire, enexprimant ay en fonction x et R et en ecrivant dt = dx/c puis enintegrant de x = −∞ a +∞. Il suffit enfin de chercher l’integraleobtenue et de remarquer que pour des angles petits, sin δ ≈ δ (siδ est exprime en radians). Montrez que la deviation predite vautδ = 4,1× 10−6 rad = 0,87 seconde d’arc (ce qui est suffisammentpetit pour justifier les differentes approximations que nous avonsfaites ci-dessus).

x

yvy

vv

trajectoire réelle(exagérée)

trajectoire approchée

Soleil

. R| x |

r

photon

Fig. 1.7 – Cette figure illustre la trajectoire d’un photon passant presdu bord du Soleil. Sa deflexion a ete grandement exageree. Le rayon Rdu Soleil est de l’ordre de 700 000 km.

Remarque : Einstein a publie cette prediction en 1907, apres

avoir formule le principe d’equivalence. Toutefois, comme nousle verrons au chapitre 13, la theorie complete de la relativite ge-nerale predit une deviation deux fois plus importante, commeEinstein l’a remarque en 1915. Ce dernier resultat fut confirmedurant l’eclipse de 1919. Il se trouve que le principe d’equivalences’applique bien dans des referentiels suffisamment petits devantl’echelle typique sur laquelle varie le champ gravitationnel. Dansle calcul precedent, nous utilisons implicitement un referentiel quiest grand devant cette echelle. Dans ce cas, comme Einstein l’alui-meme montre, l’application naıve du principe d’equivalencedonne des resultats incorrects.

P1.5 Considerons un referentiel en chute libre a proximite de lasurface de la Terre. Il est materialise par un cube de 44 m decote. On place des ballons au point A situe au centre du cube, aupoint B situe a 22 m au-dessus de A et au point C situe a 22 men dessous. Le centre de masse du cube tombe de la meme faconque le ballon en A, situe au centre du cube. A cause des effetsde maree, les ballons en B et C tombent respectivement moinsvite et plus vite que le cube dans son ensemble. Que valent lesaccelerations relatives de B et C par rapport a A (c’est-a-dire lanorme de ~aB −~aA et ~aC −~aA) ? Vous pouvez utiliser la physiquenewtonienne dans ce calcul : nous montrerons plus tard que larelativite generale conduit au meme resultat au voisinage de lasurface de la Terre, avec une precision correcte pour de nombreuxchiffres apres la virgule. Indication : vous aurez besoin du deve-loppement limite (1 + x)n ≈ 1 + nx. Si vous ne l’utilisez pas,vous risquez d’etre limite par la precision numerique de votrecalculatrice.

P1.6 De nombreux smartphones (dont l’iPhone) sont equipesd’accelerometres selon trois axes. Ces accelerometres mesurenttypiquement les composantes x, y et z de la force qui doit etreappliquee par unite de masse sur un composant interne pour lemaintenir au repos par rapport au reste du telephone. Si le tele-phone est en train de tomber, il materialise un referentiel inertieldans lequel ce composant devrait etre en apesanteur et ne de-vrait necessiter aucune force pour le maintenir au repos. Trouvezune application pour votre smartphone qui vous permet d’ac-ceder aux donnees de l’acceleration mesuree sur les trois axes,ouvrez cette application et lancez votre telephone le long d’unebelle parabole, en prevoyant une surface molle pour le reception-ner (attention, vous etes responsable si quelque chose se passemal !). A partir des donnees collectees, montrez que le telephoneconstitue effectivement un referentiel inertiel entre le moment ouil a quitte votre main et celui ou il a atterri.

Feuille recto-verso a distribuer pour ce cours −→

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Les concepts essentiels de la relativite generale

I. IDEES FONDAMENTALES

A. La curieuse egalite entre la masse gravitationnelle et la masse inertielle1. Illustrations de la difference :

a. Comparez la loi de Coulomb et la loi de la gravitation universelle de Newton ;b. Remarquez que les m de chaque cote de GMmG/r

2 = mIGM/r2 expriment des choses differentes ;2. Les experiences montrent que masse gravitationnelle = masse inertielle avec plus de 13 chiffres apres la virgule.3. On ne peut pas croire que ce soit un accident.

B. L’hypothese geodesique1. Argument de plausibilite : le chemin suivi par un objet en chute libre, puisqu’il est independant des proprietes

de l’objet, semble etre une propriete de l’espace et non de l’objet2. Qu’est-ce qu’une geodesique, au fait ?

a. C’est le plus court chemin possible (ou chemin de longueur extremale) dans l’espace ;b. La geometrie de l’espace specifie de tels chemins de facon unique ;

3. Enonce de l’hypothese : Une particule libre suit une geodesique dans l’espace-temps4. Remarque : ceci n’est vrai que si les chemins sont des geodesiques dans l’espace-temps (voir les figures 1.1 et 1.2)

II. CONSEQUENCES

A. Le « poids » represente la resistance de l’objet a l’acceleration (par rapport a sa geodesique) !1. La geodesique d’un objet au voisinage de la Terre accelere vers le vas a g = GM/r2 = 9,8 m · s−2.2. Pour maintenir un objet au repos, on lui donne une acceleration relative g, vers le haut.3. Ceci demande une force vers le haut mIg = mIGM/r2.4. Ainsi les deux m de chaque cote de l’equation GMmG/r

2 = mIGM/r2 representent bien la meme chose !B. Les referentiels inertiels et les referentiels en chute libre

1. Definition d’un referentiel inertiel : un corps libre initialement au repos dans ce referentiel reste au repos ;2. Pres d’un objet gravitant, seuls les referentiels en chute libre sont de veritables referentiels inertiels.

C. Le principe d’equivalence1. Un referentiel a la surface de la Terre est analogue a un referentiel accelere dans l’espace profond.2. Consequences

a. Deviation de la lumiere dans un champ gravitationnel (voir le probleme P1.3)b. Decalage gravitationnel vers le bleu (voir la figure 1.3)

III. LA REALITE DE LA GRAVITE

A. Qu’y a-t-il de reel (c’est-a-dire independant du referentiel) dans la gravite ?1. Est-elle totalement fictive comme la « force centrifuge » ?2. Non ! Les effets de maree de la gravite ne peuvent pas etre effaces par un changement de referentiel (figure 1.4)3. Les trajectoires initialement paralleles d’objets en chute libre ne restent donc pas paralleles (figure 1.5)4. Consequence : l’espace-temps doit etre courbe (c’est-a-dire avoir une geometrie non enclidienne)

B. L’equation d’Einstein1. Gµν = 8πGTµν , ou

a. Gµν est un tenseur symetrique 4× 4 decrivant la courbure de l’espace-temps en un pointb. Tµν est un tenseur symetrique 4× 4 decrivant la densite de masse-energie en ce point

2. C’est le lien entre la courbure de l’espace-temps et la masse qui en est responsable.

IV. LA RELATIVITE GENERALE EN UNE PHRASE

L’espace-temps dit a la matiere comment se deplacer : la matiere dit a l’espace-temps comment se courber.(J. A. Wheeler)

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A B10 m

500 m/s

5 m/s

0.5 mm5 m

tB = c(0.02 s)= 6 × 106 m

ctB = c(2 s) = 6 × 108 m

vers le centre de courbure vers le centre de courbure

ballon

RR R

balle de fusil

z

x

ct

A

B

B

h = 5 m

h = 0.5 mm

(pas à l’échelle)10 m

R ≈ 1 ly

Terre

référentiel flottant dans l’espace vide

référentielen trainde tombervers la Terre

(a) (b)

vers le centre de la Terre

x

t

(a)

photon


référentiel inertielflottant

v

(b)

détecteur

source


FIG. 1.1

FIG. 1.2

FIG. 1.3

FIG. 1.5

adapté de Misner, Thorne et Wheeler,Gravitation, Freeman (1975), p. 33

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2. Rappels de relativite restreinte

INTRODUCTION

ESPACE-TEMPS PLAT


COSMOLOGIE

ÉQUATIOND'EINSTEIN





Quadri-vecteurs

Notation indicielle




Géodésiques



Tenseur de Riemann

L'univers observé














Orbites de photons





Gravitomagnétisme

Métrique de Kerr




Liberté de jauge





13

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14 2. RAPPELS DE RELATIVITE RESTREINTE

Introduction. L’etude de la geometrie des surfaces bidimensionnelles commence parle concept de point : les autres elements geometriques (droites, courbes, triangles, etc.)sont des ensembles de points. Le concept analogue pour la geometrie de l’espace-tempsest l’evenement, une occurrence physique (par exemple la collision de deux particules)qui marque un point bien defini, dans l’espace et dans le temps.

Un referentiel permet de decrire de maniere quantitative la position de l’evenementdans l’espace-temps en fournissant une procedure (reelle ou hypothetique) pour attri-buer des coordonnees d’espace-temps (trois coordonnees d’espace et une coordonnee detemps) a tout evenement. On peut visualiser un referentiel comme un reseau cubiquerigide, fait d’un assemblage de regles graduees comprenant un detecteur et une horlogea chaque intersection (voir la figure 2.1). Tout ce qui se produit dans le reseau est enre-gistre par le detecteur le plus proche, et se voit assigner les trois coordonnees spatialescorrespondant a la position du detecteur sur le reseau, et la coordonnee de temps in-diquee par l’horloge associee au detecteur. On peut imaginer de reduire autant qu’il lefaut l’espacement des intersections du reseau pour atteindre n’importe quelle resolution.Un observateur collecte et interprete les donnees fournies par les detecteurs du reseau.

Un reseau cubique est generalement trop simple pour etre vraiment utile en pratique,mais cette simplicite le rend precieux pour visualiser la situation : il nous aide a imaginerclairement ce qu’est un referentiel et ce qu’il fait. Toute methode valide pour assignerdes coordonnees doit donner des valeurs coherentes avec celles obtenues par le reseaucubique.

Nous considererons souvent des referentiels attaches a des objets specifiques. Nousferons parfois allusion de maniere indirecte a un referentiel, en ecrivant « un observateurdans un vaisseau spatial trouve que » : puisque par definition, un observateur interpreteles mesures obtenues dans un referentiel donne, cette phrase sous-entend que le referentielest celui lie au vaisseau.

Referentiels inertiels. Suivant la facon dont il (ou l’objet auquel il est lie) se deplace,

Fig. 2.1 – Cette figure represente l’image mentale qu’on doit se faire d’un referentiel.La camera attachee a chaque horloge enregistre ce qui se passe dans son voisinage. Surchaque video est indique, en surimpression, le passage du temps mesure par l’horloge.Ces enregistrements sont alors envoyes a un observateur qui les interprete.

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un referentiel donne peut etre qualifie d’inertiel ou de non inertiel. Un referentiel inertielest defini en relativite restreinte et en relativite generale comme un referentiel dans lequelon observe qu’un corps libre se deplace a vitesse constante, c’est-a-dire que la premiereloi de Newton (ou « principe d’inertie ») est verifiee, partout dans le referentiel. Tous lesreferentiels ou ce n’est pas le cas sont non inertiels. Remarquez qu’un observateur den’importe quel referentiel peut determiner (en testant la premiere loi de Newton) s’il setrouve dans un referentiel inertiel sans faire appel du tout a d’autres referentiels.

En relativite generale, un corps est « libre » s’il ne participe a aucune interaction nongravitationnelle avec son entourage. La definition des referentiels non inertiels impliquedonc qu’au voisinage des corps massifs, les referentiels dont le caractere inertiel est lemieux realise sont les referentiels en chute libre sans rotation. Nous verrons plus loinqu’a cause des effets de maree, ces referentiels en chute libre ne sont pas rigoureusementinertiels, mais on peut supposer qu’ils le sont en aussi bonne approximation qu’on ledesire, en limitant le referentiel a une region de l’espace-temps suffisamment petite.

Dans le contexte de la relativite restreinte, comme dans celui de la relativite generale,vous pouvez montrer facilement (voir l’encadre 2.1) qu’un referentiel sera inertiel si etseulement s’il se deplace a vitesse constante et sans rotation, par rapport a un autrereferentiel dont on sait deja qu’il est inertiel (tant que les deux referentiels permettentd’assigner des coordonnees a des evenements dans une meme region de l’espace-temps).

Principe de relativite. Le principe de relativite stipule que

Les lois de la physique sont les memes dans tous les referentiels inertiels.

C’est un principe de symetrie, analogue aux autres principes plus connus, selon lesquelsles lois de la physique sont independantes du temps, de la position dans l’espace oude l’orientation dans l’espace. Comme c’est une affirmation sur la facon dont les loisde la physique doivent se comporter (y compris les lois que nous n’avons pas encoredecouvertes), elle est plus fondamentale que les lois elles-memes.

Ce principe signifie que tous les referentiels inertiels sont physiquement equivalents :aucune experience realisee entierement dans un referentiel inertiel donne ne peut mettreen evidence de difference avec un autre referentiel inertiel. Ceci n’implique pas que lesquantites physiques (comme l’energie ou la quantite de mouvement des particules) ontnecessairement la meme valeur dans differents referentiels inertiels, seulement que tousles observateurs trouvent que ces valeurs obeissent aux memes lois.

D’un autre cote, les equations de Maxwell indiquent que les ondes electromagnetiques(ce qui inclut les ondes lumineuses) se propagent dans un referentiel inertiel donne avecune certaine vitesse c qui apparaıt comme une constante bien determinee dans les equa-tions (une constante reliee a des proprietes de l’interaction electrostatique et de l’inter-action magnetostatique, que l’on peut mesurer experimentalement). La valeur de c estdonc un element intrinseque des lois de l’electromagnetisme et doit donc avoir la memevaleur dans tous les referentiels inertiels.

Unites relativistes. Comme la vitesse de la lumiere c ne depend pas du referentiel, onpeut relier les unites de longueur et de temps d’une maniere independante du referentiel.La convention quasi-universelle en relativite generale est d’exprimer a la fois les distanceset les durees en termes de longueurs (plutot que de temps), en definissant un « metrede temps » comme le temps que met la lumiere a parcourir une distance d’un metre.Comme la lumiere parcourt 299 792 458 m en 1 s (par definition du metre dans le SystemeInternational d’unites, note SI dans la suite), un metre de temps vaut 1/ 299 792 458 s≈ 3,34 ns.

Dans ce systeme d’unites, la lumiere se deplace a une vitesse de 1 m/1 m = 1 pardefinition, et toutes les autres vitesses sont exprimees comme des proportions relatives ala vitesse de la lumiere, sans unite. Ceci entraıne que la masse m, la quantite de mouve-ment (qui doit avoir la meme unite que mv) et l’energie (qui a la meme unite que 1

2mv2)

ont toutes la meme unite. Pour des objets macroscopiques, j’utiliserai le kilogramme duSI comme unite pratique pour ces quantites, mais pour des corps microscopiques (desmolecules ou des objets plus petits) j’utiliserai l’electron-volt (eV).

Nous nommerons ce systeme d’unites ou le temps et les distances s’expriment enmetres et la masse, la quantite de mouvement et l’energie en kilogrammes le systemed’unite RG pour « relativite generale ». Voir l’encadre 2.2 pour les facteurs de conver-sion avec les unites du SI.

Synchronisation des horloges. Pour que les coordonnees de temps indiquees parles horloges d’un referentiel du type de celui decrit dans la figure 2.1 puissent avoir la

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16 2. RAPPELS DE RELATIVITE RESTREINTE16 2. REVIEW OF SPECIAL RELATIVITY

all IRFs (as argued a few paragraphs back), these clocks will be synchronized if and only if an observer concludes that the speed of a light flash traveling between any pair of clocks is 1. This means that if a master clock emits a light flash at time t, a clock a distance d from the master will be correctly synchronized with it if it reads time t + d when a signal passes. This provides a straightforward method for synchronizing the clocks in an inertial frame.

(Note that this method does not work in NIRFs, so we will have to use a different approach to assigning events coherent time coordinates in general relativity.)

!"#$%&'#()*$!'+(,-&'.+)/&(0 Consider two IRFs S and Sl whose spatial coordinate axes are aligned (see figure 2.2). Suppose that Sl moves in the +x direction relative to S with speed ! and define t = 0 in both frames to be the instant when the spatial origins of S and Sl coincide. The principle of relativity and the definition of clock synchroniza-tion together imply (see box 2.3) that if the coordinates of an event are observed to be t, x, y, and z in frame S, the coordinates of the same event observed in Sl are given by the matrix equation

t

x

y

z

t

x

y

z

00

00

0010

0001

11where 2/

ccb

cbc

cb

=-

-

-

llll

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

(2.1)

This equation is called the Lorentz transformation equation, and the square matrix the Lorentz transformation matrix or simply the Lorentz transformation. (We can generate the inverse Lorentz transformation from primed to unprimed coordinates by replacing ! with –! as you will show in box 2.3.)

In many ways, the Lorentz transformation is analogous to the transformation be-tween two rotated coordinate systems on a two-dimensional plane (see box 2.4).

Because the transformation is linear, the same transformation law applies to coor-dinate differences !t, x, y, z between pairs of events:

t

x

y

z

t

x

y

z

00

00

0010

0001

TTTT

TTTT

ccb

cbc

=-

-llll

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW (2.2)

This means that observers in different IRFs will disagree about whether two events are simultaneous, as the first line of equation 2.2 tells us that t = 0 does not imply tT l= 0 if x " 0. Another way to say this is that an observer in one IRF will consider the clocks in a different IRF to be unsynchronized.

z

x

y

Frame S Frame Sl

!v

FIG. 2.2 Two reference frames (whose lattices here are represented by simple coordinate axes) whose lattice direc-tions are spatially aligned. (The spatial origins of these lines coincided a short time ago, which we define to be t = tl = 0.) We say that such frames are in standard orientation with respect to each other.

zl

xl

yl

moindre coherence, ces horloges doivent etre synchronisees entre elles. Comme la vitessede la lumiere c = 1 m/1 m = 1 doit avoir la meme valeur dans tous les referentiels iner-tiels (comme on l’a vu quelques paragraphes plus haut), ces horloges seront synchrones siet seulement si un observateur conclut que la vitesse d’un eclair lumineux se propageantentre n’importe quel couple d’horloges vaut 1. Ceci signifie que si une horloge-maıtresseemet un eclair lumineux au temps t, une horloge situee a la distance d sera synchroniseeavec celle-ci si elle indique un temps t+d au passage du signal. Ceci donne une methodefacile a mettre en œuvre pour synchroniser les horloges dans un referentiel inertiel.

Remarquez que cette methode ne marche pas dans les referentiels non inertiels et ilfaudra adopter une approche differente pour affecter des coordonnees de temps a desevenements de facon coherente en relativite generale.

Fig. 2.2 – Deux referentiels dont lesdirections des reseaux sont alignees(les reseaux sont ici representes sim-plement par les axes de coordon-nees). Les origines spatiales coınci-daient a un instant ulterieur, qu’ondefinit comme t = t′ = 0. On dit queces referentiels sont dans une confi-guration standard.

Transformation de Lorentz. Considerons deux referentiels inertiels S et S′ dont lesaxes de coordonnees spatiales sont alignes (voir la figure 2.2). Supposons que S′ sedeplace dans la direction +x par rapport a S avec la vitesse β et definissons t = 0 dansles deux referentiels comme l’instant ou les origines spatiales de S et S′ coıncident. Leprincipe de relativite et la definition de la synchronisation des horloges, pris ensemble,impliquent (voir l’encadre 2.3) que si les coordonnees d’un evenement sont t, x, y etz dans le referentiel S, alors les coordonnees du meme evenement observe dans S′ sontdonnees par l’equation matricielle

t′

x′

y′

z′

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

txyz

ou γ ≡ 1√1− β2

(2.1)

Cette equation est appelee la transformation de Lorentz. C’est aussi le nom qu’on donnea la matrice carree qui intervient dans cette expression. La transformation de Lorentzinverse qui permet de passer des coordonnees primees aux coordonnees non primees estobtenue en remplacant β par −β, comme vous le montrerez dans l’encadre 2.3.

La transformation de Lorentz presente bien des similitudes avec la rotation d’unsysteme de coordonnees dans un plan bidimensionnel (voir l’encadre 2.4).

Comme la transformation est lineaire, la meme loi de transformation s’applique auxecarts de coordonnees ∆t, ∆x, ∆y et ∆z entre deux evenements

∆t′

∆x′

∆y′

∆z′

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

∆t∆x∆y∆z

(2.2)

Ceci signifie que des observateurs situes dans des referentiels inertiels differents seront endesaccord sur le fait que deux evenements sont simultanes ou non, car d’apres la premiereligne de l’equation 2.2, le fait que ∆t = 0 n’implique pas que ∆t′ = 0 si ∆x 6= 0. Uneautre facon de le dire est qu’un observateur dans un referentiel inertiel va considerer queles horloges d’autres referentiels inertiels sont desynchronisees.

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L’equation metrique. L’intervalle d’espace-temps ∆s entre deux evenements est de-fini par l’equation metrique

∆s2 = −∆t2 + ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 (2.3)

Le carre de l’intervalle d’espace-temps ∆s2 correspond a l’oppose de l’intervalle de tempsentre deux evenements, mesure dans un referentiel inertiel dans lequel ils se produisentau meme endroit (∆x = ∆y = ∆z = 0) ou au carre de la distance spatiale entreces deux evenements dans un referentiel dans lequel ils se produisent au meme instant(∆t = 0). L’intervalle d’espace-temps est une notion importante car c’est une mesurede la separation des evenements qui ne depend pas du referentiel : les observateurs detous les referentiels inertiels s’accordent sur la valeur de ∆s entre deux evenementsdonnes (voir l’encadre 2.5) ! L’intervalle d’espace-temps et l’equation metrique sont al’espace-temps ce que sont la distance entre deux points et le theoreme de Pythagore ala geometrie plane ordinaire 1. Cette equation cruciale fournit le lien principal entre larelativite restreinte et la relativite generale.

Le choix du signe global dans l’equation 2.3 suit une convention bien etablie enrelativite generale qui met en avant l’aspect spatial de l’intervalle plutot que son aspecttemporel 2.

Categories d’intervalles d’espace-temps. Les intervalles d’espace-temps sont dits

du genre espace si ∆s2 > 0 ⇒ ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 > ∆t2

du genre lumiere si ∆s2 = 0 ⇒ ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 = ∆t2

du genre temps si ∆s2 < 0 ⇒ ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 < ∆t2

Ces distinctions proviennent uniquement du signe moins dans l’equation metrique :comme ce signe n’est pas present dans le theoreme de Pythagore dans l’espace ordi-naire, il n’y a qu’un type de distance. Comme les observateurs de tous les referentielsinertiels sont d’accord sur le signe de ∆s2, ils s’accorderont aussi tous sur le genre qu’ilfaut attribuer a l’intervalle entre deux evenements donnes.

Ces classifications sont importantes car les evenements dont l’intervalle est du genreespace ne peuvent pas etre connectes causalement : L’ordre temporel de tels evenementsdepend du referentiel (voir l’encadre 2.6). Ceci signifie qu’aucune particule, message,ou autre, ne peut se deplacer plus vite que la lumiere dans un referentiel inertiel.

Diagrammes d’espace-temps. Un diagramme d’espace-temps est un moyen pratiquede representer les relations entre les evenements dans l’espace-temps. Il consiste en ungraphe a deux ou parfois trois dimensions, avec le temps sur l’axe vertical et l’espacesur l’axe horizontal (ou les axes horizontaux en dimension trois). On choisit conven-tionnellement la meme echelle sur ces trois axes. Un evenement dans l’espace-tempsest represente par un point sur ce diagramme. La trajectoire d’une particule peut etrevue comme formant dans l’espace-temps une succession d’evenements qu’on appelle laligne d’univers et qui forme une courbe (eventuellement rectiligne) donnant la positionspatiale en fonction du temps t (le long de l’axe vertical). La vitesse d’un corps a uninstant donne est l’inverse de la pente de la courbe qui represente la ligne d’univers dansce diagramme, a l’instant considere. Les problemes P2.1–2.4 vous permettrons de vousentraıner a tracer et a lire de tels diagrammes.

La lumiere emise par un evenement E donne forme une surface spherique centreesur E qui s’expand au fil du temps. La projection de cette sphere dans le plan xy estun cercle dont le rayon augmente au cours du temps. Si on le trace dans un diagrammed’espace-temps, ce cercle en expansion forme un cone (voir la figure 2.3). On l’appelle lecone de lumiere de l’evenement. C’est une notion importante car la ligne d’univers detoute particule qui passe par E doit etre contenue a l’interieur du cone de lumiere (carla particule ne peut pas se deplacer plus vite que la lumiere) et tous les evenements quipeuvent etre causes par E doivent aussi etre situes dans ce cone.

Comme la metrique de l’espace-temps est differente de la metrique euclidienne del’espace ordinaire, la separation apparente des points d’un diagramme d’espace-tempsne donne pas d’indication sur l’intervalle spatio-temporel entre les evenements corres-pondants. Par exemple, l’intervalle entre les evenements E et L sur la figure 2.3 estnul !

y

x

cône de lumière

ligned’universpossible

E

L

F

événement A

t

Fig. 2.3 – Diagramme d’espace-temps montrant le cone de lumiereassocie a l’evenement E. On re-marque que l’evenement Q se situehors du cone de lumiere de E, sibien qu’il est causalement deconnectede E. En revanche, les evenementsL et F peuvent etre causes par E.Les lignes d’univers qui passent parE doivent rester a l’interieur de soncone de lumiere.

1. NdT : on qualifie la metrique d’« euclidienne » dans le cas de la geometrie plane ou tridimen-sionnelle ordinaire.

2. NdT : la convention inverse est elle aussi bien etablie, et on pourra trouver aussi bien l’une quel’autre dans les ouvrages de relativite generale.

ii


ii

ii


Temps propre. On peut calculer le temps propre ∆τ entre deux evenements A etB, mesure par une horloge H se deplacant le long d’une ligne d’univers qui relie cesdeux evenements, d’une maniere similaire au calcul de la longueur d’une courbe dansl’espace ordinaire. (1) On decoupe d’abord, en pensee, la ligne d’univers en segmentsinfinitesimaux. (2) On utilise l’equation metrique pour calculer le temps que mettraitune hypothetique horloge inertielle pour parcourir le segment. Si le segment est assezpetit pour pouvoir etre considere comme droit, ce temps sera essentiellement egal autemps dτ mesure par la vraie horloge H. (3) On ajoute les dτ de tous les segments. Leresultat s’ecrit (voir l’encadre 2.7)

∆τ =

∫ √−ds2 =

∫ tB

tA

√1− v2dt (2.4)

Contraction des longueurs. La longueur L d’un objet en mouvement dans un refe-rentiel inertiel est defini comme la distance entre deux evenements situes aux extremitesde l’objet et simultanes dans ce referentiel. Comme les observateurs de differents refe-rentiels ne considerent pas les memes couples d’evenements comme simultanes, ils sontaussi en desaccord sur la longueur de l’objet. Si on note LR la longueur de l’objet dansune direction donnee dans son propre referentiel inertiel, alors sa longueur dans un re-ferentiel inertiel dans lequel l’objet se deplace a la vitesse v dans cette direction s’ecrit(voir l’encadre 2.8)

L = Lr√

1− v2 (2.5)

Transformation des vitesses. On peut utiliser la transformation de Lorentz pourmontrer (comme vous le ferez dans l’encadre 2.9) que si la vitesse de la particule dansun referentiel inertiel a pour coordonnees ~v = (vx, vy, vz), alors les coordonnees de savitesse dans un autre referentiel en configuration standard par rapport au premier (voirla figure 2.2) sont

v′x =vx − β1− βvx

, v′y =vy√

1− β2

1− βvx, v′z =

vz√

1− β2

1− βvx(2.6)

De nouveau, on obtient la transformation inverse en remplacant β par −β. On remarqueque ce n’est pas une simple transformation lineaire, contrairement a la transformationde Lorentz.

Pour aller plus loin. Il existe de tres nombreux ouvrages donnant d’excellentes intro-ductions a la relativite restreinte, de maniere beaucoup plus complete et plus vaste quele survol supersonique presente dans ce chapitre. Les deux ouvrages suivants proposentune presentation bien plus approfondie tout en etant particulierement compatibles avecl’approche conceptuelle adoptee dans le present ouvrage.

Taylor et Wheeler, Spacetime Physics, 2e edition, Freeman, 1992Moore, Six Ideas that Shaped Physics : unit R, 2e edition, McGraw-Hill, 2003

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ii

ii


Encadre 2.1 : Les referentiels inertiels qui se chevauchent ont des vitesses relatives constantes

Dans cet encadre, notre objectif est de montrer qu’un referentiel rigide S′ est inertielsi et seulement si il se deplace a vitesse constante par rapport a un referentiel S donton sait qu’il est inertiel, en supposant que les deux referentiels decrivent une regioncommune de l’espace-temps. Nous commencerons par montrer le « si », c’est-a-dire quenous allons supposer que S′ se deplace a vitesse constante et demontrer qu’il est alorsnecessairement inertiel.Imaginons un corps libre dont on observe qu’il est au repos dans S. Comme S estinertiel par hypothese, la premiere loi de Newton implique que le corps va rester aurepos dans S, au fur et a mesure que le temps passe. Observons maintenant ce memecorps depuis le referentiel S′. On peut d’abord remarquer que tous les observateurssont d’accord sur le fait qu’un corps est « libre » ou non ; si l’objet n’est pas charge,n’est pas magnetique, tout le monde s’accordera a conclure qu’il n’est soumis a aucuneforce electromagnetique a longue portee, et s’il n’est en contact avec rien, tout le mondeadmettra qu’il ne participe a aucun autre type d’interaction. Ainsi, l’observateur dansS′ sera d’accord avec celui de S sur le fait que le corps etudie est libre. Ensuite,l’observateur de S′ observera aussi que ce corps libre se deplace a vitesse constante,puisque S se deplace a vitesse constante par rapport a S′ par hypothese, et puisquele corps est au repos dans S : l’observateur de S′ le verra se deplacer avec la memevitesse que le referentiel S lui-meme. L’objet se deplace donc a vitesse constante dans S′.Comme l’argument ne depend pas de la position du corps dans chacun des referentiels,tant que cette position peut etre decrite par les deux referentiels, on en deduit qu’uncorps libre se deplace a vitesse constante partout dans S′. Ainsi, S′ est inertiel, aumoins dans la region decrite de facon commune par S et S′. CQFD.

Exercice 2.1.1 : Dans l’espace ci-dessous, demontrer la partie « et seulement si » dela premiere affirmation : supposez que S′ est inertiel et montrez qu’il doit alors sedeplacer a vitesse constante par rapport a S. Commencez par considerer un corps aurepos dans S′.

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ii

ii


Encadre 2.2 : Conversions entre les unites SI et les unites RG

L’unite de temps du systeme RG est le metre : c’est la seule difference avec les unitesSI. L’unite de distance du SI, le metre, est defini comme la distance parcourue par lalumiere pendant (1/299 792 458) s. Le metre de temps de la RG est donc equivalent a

1 m =

(1

299 792 458

)s = 3,335 640 95× 10−9 s ≈ 3,34 ns (2.7)

A partir de cette definition de base, vous pouvez montrer que, avec quatre chiffressignificatifs,

1 µs = 299,8 m (de temps) (2.8a)

1 ms = 299,8 km (2.8b)

1 s = 299 800 km (2.8c)

1 min = 17,99× 106 km (2.8d)

1 h = 1,079× 109 km (2.8e)

1 jour = 25,90× 109 km (2.8f)

1 an = 9,461× 1015 m (2.8g)

age de l’Univers = 13,7 Ga = 1,30× 1026 m (2.8h)

On peut convertir n’importe quelle quantite des unites SI en unites RG en la multipliantpar autant de facteurs de conversion c = 1 = (2,997 924 58× 108 m/1 s) que necessairepour eliminer toutes les secondes des unites de cette quantite.

1 J = 1kgm2

Cs2

(1 Cs

299 792 458m

)2

= 1,112 6501× 10−17 kg (energie) (2.9a)

1 kg (energie) = 8,987 551 79× 1016 J (2.9b)

1 kg (quantite de mouvement) = 299 792 458 kg ·m · s−1 (2.9c)

1 eV = 1,602× 10−19 J = 1,782× 10−36 kg (energie) (2.9d)

1 eV (quantite de mouvement) = 5,34× 10−28 kg ·m · s−1 (2.9e)

L’unite eV pour les masses, les quantites de mouvement et les energies est beaucoupplus pratique que le kilogramme lorsqu’on a affaire a des particules subatomiques, desatomes ou des molecules.Voici quelques constantes qui seront utiles dans la suite, exprimees en unites RG :

g = 1,09× 10−16 m−1 = 1/(9,17× 1015 m) ≈ 1/(1 al) (2.10a)

G = 7,426× 10−28 m · kg−1 = 1477 m/(masse solaire) (2.10b)

Exercice 2.2.1 : Dans l’espace ci-dessous, verifiez les deux dernieres equations.

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ii

ii


Encadre 2.3 : Une demonstration de la transformation de Lorentz

Dans cet encadre, vous allez demontrer les equations decrivant la transformation deLorentz, a partir du principe de relativite, en utilisant le fait que la vitesse de la lumieredevrait valoir 1 dans tout referentiel inertiel. La litterature abonde de differentes faconsde mener cette demonstration. La methode que j’ai choisie (inspiree d’Alan Mcdonald,communication privee) me semble simple a comprendre, tout en faisant ressortir lesquestions conceptuelles les plus importantes. Nous allons considerer deux referentielsinertiels S et S′ en configuration standard, comme dans la figure 2.2.

Distances transverses a la direction du mouvement. Notre premiere tache est demontrer que tous les observateurs doivent etre d’accord sur les valeurs des distances me-surees perpendiculairement a la direction du mouvement relative des referentiels (l’axex dans notre cas). Voici une demonstration par l’absurde (tiree de Taylor et Wheeler,Spacetime Physics, 2e edition, Freeman, 1992, p. 65). Supposez pour commencer qu’unobservateur dans un des referentiels inertiels observe que la distance entre deux ob-jets est differente (disons plus petite) dans la direction perpendiculaire au mouvement,qu’un observateur dans le referentiel au repos de l’objet. Nous allons montrer que cettehypothese, ajoutee au principe de relativite, conduit a une conclusion absurde, ce quicontredit l’hypothese initiale.Imaginez un wagon dont les roues sont concues pour se poser directement sur les railslorsqu’il est au repos. D’apres notre hypothese, l’observateur au sol va conclure qu’aufur et a mesure que la vitesse du train augmente la distance entre les roues diminuejusqu’a ce que les roues glissent sur le bord interieur des rails, comme indique sur lafigure 2.4a. Toutefois, d’apres le principe de relativite, l’effet que nous venons de decrireau paragraphe precedent doit s’appliquer aux deux referentiels de maniere equivalente.Un observateur situe dans le train doit observer que c’est la distance entre les rails enmouvement qui diminue, au fur et a mesure que la vitesse du sol augmente, jusqu’a ceque les roues du train glissent sur le bord externe des rails, comme indique sur la figure2.4b.Mais ceci est absurde. Suite au deraillement predit par les deux observateurs, les en-queteurs ne peuvent pas trouver que les roues ont quitte les rails a la fois par l’inte-rieur (figure 2.4a) et par l’exterieur (figure 2.4b) ! Notre hypothese originale doit doncetre fausse : des observateurs dans differents referentiels inertiels doivent en fait etred’accord sur la valeur des distances mesurees perpendiculairement a la direction dumouvement relatif. Si les deux observateurs trouvent que la distance entre les roues esttoujours egale a celle entre les rails, la contradiction precedente disparaıt. Pour deuxreferentiels en configuration standard, on doit donc avoir y′ = y et z′ = z si le principede relativite est valide.

Comparaison des coordonnees de temps. Nous allons montrer qu’une horloge aurepos dans S′ qui est presente a deux evenements mesure une difference de coordonneestemporelles donnee par ∆t′ = ∆t

√1− β2, ou ∆t designe la difference des coordonnees

temporelles mesurees par deux horloges synchronisees, dans le referentiel S.

railrail

sol (au repos)(a) (b) sol (s’éloignantde l’observateur)

wagon(s’éloignant del’observateur)

railrail

wagon(au repos)

Fig. 2.4 – Illustration de l’argument du wagon pour montrer que les longueurs mesurees per-pendiculairement a la direction du mouvement relatif de deux referentiels inertiels sont iden-tiques dans ces deux referentiels.

ii


ii

ii


Encadre 2.3 (suite) : Une demonstration de la transformation de Lorentz

horloges synchronisées dans le référentiel S

horloge à lumièredans le référentiel Sl

événement A événement B

L

(b)(a)

Δd

Une horloge a lumiere est un type d’horloge qui utilise des eclairs lumineux se reflechis-sant entre deux miroirs pour mesurer le passage du temps (voir la figure 2.5a). Commela vitesse de la lumiere est egale a 1 dans le referentiel de l’horloge, celle-ci fonctionnecorrectement si elle indique une augmentation de 2L apres chaque aller-retour de lalumiere, ou L designe la distance entre les miroirs.Imaginez maintenant que cette horloge (avec tout le referentiel S′) se deplace a lavitesse β par rapport a un referentiel S, comme l’illustre la figure 2.5b. Soit A et Bles evenements successifs correspondant au moment ou la lumiere atteint le miroir dubas. Pendant le temps ∆t mesure dans S, l’horloge parcourt une distance ∆d = β∆t.Comme la vitesse de la lumiere vaut aussi 1 dans le referentiel S, ∆t doit etre le tempsmis par la lumiere pour parcourir la trajectoire en zigzag montree sur la figure 2.5b,ce temps etant directement donne en metres par la distance parcourue. D’apres letheoreme de Pythagore, cette distance s’ecrit simplement

∆t = 2

√L2 +

(1

2∆d

)2

=√

(2L)2 + ∆d2 =√

(∆t′)2 + ∆d2

⇒ ∆t′2

= ∆t2 −∆d2 = ∆t2 − (β∆t)2 ⇒ ∆t′ = ∆t√

1− β2 (2.11)

Transformation de Lorentz inverse. Considerons maintenant le diagrammed’espace-temps montre sur la figure 2.6. La ligne d’univers qui joint l’evenement Oa l’evenement F est celle que suit une horloge Q au repos en x′ = 0 dans le referentielS′ : l’evenement O est defini par t = 0 et x = 0 dans les deux referentiels. E est unevenement arbitraire et les lignes pointillees sont les lignes d’univers de deux eclairslumineux (qui n’ont rien a voir avec l’eclair montre dans la figure 2.5) : un des eclairsest emis vers la droite par l’horloge Q a l’evenement D pour aller vers E, l’autre estemis vers la gauche depuis E, pour retourner a l’horloge a l’evenement F .L’horloge Q est situee en x′ = 0 par definition, et les evenements D et F se produisenten x′D = x′F = 0 dans le referentiel S′. Comme l’horloge Q se deplace (en meme tempsque S′) a la vitesse β dans la direction +x dans S, en demarrant en x = 0 a t = 0, on axD = βtD et xF = βtF . Finalement, puisque l’horloge Q est presente aux evenementsO et D, on peut appliquer l’equation 2.11 et on sait donc que t′D = tD

√1− β2, ce qui

implique que tD = γt′D ou γ ≡ (1− β2)−1/2. De meme, tF = γt′F . Finalement,

Fig. 2.5 – (a) Une horloge a lumierevue depuis son referentiel au repos S′.(b) La meme horloge (avec le trajeten zigzag de la lumiere) vue depuis lereferentiel S dans lequel l’horloge sedeplace a la vitesse β.

x

ligne d’univers del’horloge

Q

éclair émis versla gauche

éclair émisvers la droite

O

D

E

F

t

Fig. 2.6 – Diagramme d’espace-temps montrant un evenement arbi-traire E et les eclairs lumineux reliantcet evenement a la ligne d’Univers del’horloge Q.

ii


ii

ii



tD − xD = tD − βtD = γ(1− β)t′D = γ(1− β)(t′D − x′D) (2.12a)

tF + xF = tF + βtF = γ(1 + β)t′F = γ(1 + β)(t′F + x′F ) (2.12b)

Comme la vitesse de la lumiere vaut 1 dans le referentiel S′, x′ augmente au memetaux que t′ le long de la ligne d’univers de l’eclair se dirigeant vers la droite, si bienque la quantite t′ − x′ aura la meme valeur numerique a tous les points de cette ligned’univers. Ceci est vrai aussi dans le referentiel S. Plus precisement, tE−xE = tD−xDet t′E − x′E = t′D − x′D, on a donc

tE − xE = γ(1− β)(t′E − x′E) (2.13a)

De la meme facon, dans les deux referentiels la valeur de x decroıt lorsque celle de taugmente le long de la ligne d’univers de l’eclair se dirigeant vers la gauche, on a donc

tE + xE = γ(1 + β)(t′E + x′E) (2.13b)

En ajoutant et en soustrayant ces deux equations, vous pouvez montrer que

tE = γt′E + γβx′E et xE = γβt′E + γx′E (2.14)

Exercice 2.3.1 : Dans l’espace ci-dessous, verifiez l’equation 2.14.

Comme l’evenement E etait arbitraire, les equations 2.14 s’appliquent aux coordonneesde n’importe quel evenement. De plus, tant que les evenements O, D, E et F ont lesmemes coordonnees y et z, cet argument ne depend pas des coordonnees y ou z del’evenement E. Les coordonnees d’un evenement quelconque dans les referentiels S etS′ sont donc reliees par les equations

t = γ(t′ + βx′)

x = γ(βt′ + x′)

y = y′

z′ = z

soit

txyz

=

γ γβ 0 0γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

t′

x′

y′

z′

(2.15)

C’est la transformation de Lorentz inverse, qui prend les coordonnees dans S′ et lesconvertit en coordonnees dans S.

ii


ii

ii



Transformation de Lorentz. D’apres l’equation 2.1, la transformation de Lorentzdirecte, des coordonnees dans S aux coordonnees dans S′ s’ecrit

t′

x′

y′

z′

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

txyz

(2.16)

Vous pouvez montrer que c’est correct par deux methodes differentes : (1) vous pouveztirer t′ et x′ des deux premieres lignes de l’equation 2.15, ou (2) vous pouvez mon-trer que la matrice de 2.16 est l’inverse de celle de 2.15, et que c’est donc bien latransformation qui vous emmene dans l’autre direction.Voici de nouveau l’equation 2.15 :

t = γ(t′ + βx′)

x = γ(βt′ + x′)

y = y′

z′ = z

soit

txyz

=

γ γβ 0 0γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

t′

x′

y′

z′

(2.15r)

Remarquez que vous pouvez convertir une matrice en l’autre en remplacant β par −β.On pouvait s’y attendre, car la seule difference entre S et S′ est que l’un se deplacedans la direction +x alors que l’autre se deplace dans la direction −x.

Exercice 2.3.2 : Dans l’espace ci-dessous, faites les calculs correspondant a une desdeux methodes proposees ci-dessus. Si vous choisissez la premiere, commencez parmultiplier l’equation du bas par β et par soustraire le resultat de l’equation du haut,en utilisant la definition de γ.

ii


ii

ii


Encadre 2.4 : Transformations de Lorentz et rotations

L’objectif de cet encadre est d’illustrer les similarites entre les rotations bidimension-nelles et les transformations de Lorentz. Considerons les systemes de coordonnees de Set S′ representes sur la figure 2.7. La transformation qui convertit les coordonnees d’unpoint donne du referentiel S a celles du meme point dans le referentiel S′ est donneepar l’equation matricielle (

x′

y′

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(xy

)(2.17)

Vous pouvez assez facilement verifier que c’est correct en prenant deux points le longdes axes x et y (par exemple x = r, y = 0) et en verifiant qu’ils se transformentcorrectement.La transformation de Lorentz peut s’exprimer d’une facon similaire en faisant appelaux fonctions de trigonometrie hyperbolique. Considerons le triangle rectangle de lafigure 2.8. Les fonctions trigonometriques usuelles permettent d’y exprimer les relationssuivantes :

sin θ ≡ y√x2 + y2

, cos θ ≡ x√x2 + y2

, tan θ ≡ y

x(2.18)

Les fonctions trigonometriques hyperboliques sont definies de facon analogue

sh θ ≡ y√x2 − y2

, ch θ ≡ x√x2 − y2

, th θ ≡ y

x(2.19)

Pour les fonctions trigonometriques ordinaires, le denominateur represente la longueurde l’hypotenuse du triangle et θ est le vrai angle entre l’hypotenuse et le cote horizontal.Pour les fonctions hyperboliques, ce n’est plus le cas et l’angle ne represente rien desimple, c’est juste un parametre abstrait. On peut tout de meme voir que les definitionsont des formes similaires.Imaginons maintenant qu’on definisse un « parametre de vitesse » θ tel que th θ ≡ β.En posant y = β et x = 1 dans les expressions ci-dessus, on voit que pour ce θ,

ch θ =1√

1− β2≡ γ , sh θ =

β√1− β2

= γβ (2.20)

et la transformation de Lorentz peut s’ecriret′

x′

y′

z′

=

ch θ −sh θ 0 0−sh θ ch θ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

txyz

(2.21)

La similarite entre la partie de la transformation de Lorentz qui agit sur t et x et larotation bidimensionnelle est tres claire. Il est parfois conceptuellement utile de penseraux observateurs de differents referentiels inertiels comme ayant differents « angles devue » sur la region de l’espace-temps qu’ils observent.

THE DETAILS 25

BOX 2.4 Lorentz Transformations and Rotations

The purpose of this box is to illustrate some similarities between a two-dimen-sional rotation transformation and a Lorentz transformation. Consider the S and Sl coordinate systems illustrated in figure 2.7. The transformation that converts the coordinates of a given point in the S frame to those of the same point in the Slframe is given by the matrix equation

cos

sin

sin

cosx

y

x

y

!!

!!

=-

ll= < =G F G (2.17)

You can check that this is correct pretty easily by looking at points along the x and y axes (for example, x = r, y = 0) and verify that they are correctly transformed.

The Lorentz transformation can be expressed in a similar way using hyperbolic trigonometric functions. Consider the right triangle shown in figure 2.8. The ordi-nary trigonometric functions are defined for this triangle as follows:

, ,sin cos tanx y

y

x yx

x

y2 2 2 2/ / /! ! !+ +

(2.18)

The hyperbolic trigonometric functions are defined analogously:

, ,sinh cosh tanhx y

y

x yx

x

y2 2 2 2/ / /! ! !- -

(2.19)

For ordinary trigonometric functions, the denominator is the length of the triangle’s hypotenuse and the angle is the actual angle between the hypotenuse and the hori-zontal leg, but for the hyperbolic functions, the denominator is not the triangle’s hypotenuse and ! is no longer the angle of anything simple, but is rather just an abstract parameter. Still, you can see that the definitions have a similar form.

Now, imagine that we define a “velocity parameter” ! so that tanh /i b . If we set y = " and x = 1 in the expressions above, we see that for this !,

,cosh sinh1

112 2/i

bc i

b

bcb=

-=

-= (2.20)

and the Lorentz transformation can be written

cosh

sinh

sinh

cosht

x

y

z

t

x

y

z

00

00

0010

0001

!!

!!

=-

-llll

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW (2.21)

The similarity between the part of the Lorentz transformation that involves t and x and the two-dimensional rotation is pretty clear. It is sometimes conceptually use-ful to think of observers in different IRFs as having different “angles of view” on the region of spacetime they both observe.

FIG. 2.7 A pair of rotated coordinate systems.

FIG. 2.8 A right triangle.

x

!

y

y

x

yl

xl

Fig. 2.7 – Systemes de coordonneestournes l’un par rapport a l’autre.

THE DETAILS 25

BOX 2.4 Lorentz Transformations and Rotations

The purpose of this box is to illustrate some similarities between a two-dimen-sional rotation transformation and a Lorentz transformation. Consider the S and Sl coordinate systems illustrated in figure 2.7. The transformation that converts the coordinates of a given point in the S frame to those of the same point in the Slframe is given by the matrix equation

cos

sin

sin

cosx

y

x

y

!!

!!

=-

ll= < =G F G (2.17)

You can check that this is correct pretty easily by looking at points along the x and y axes (for example, x = r, y = 0) and verify that they are correctly transformed.

The Lorentz transformation can be expressed in a similar way using hyperbolic trigonometric functions. Consider the right triangle shown in figure 2.8. The ordi-nary trigonometric functions are defined for this triangle as follows:

, ,sin cos tanx y

y

x yx

x

y2 2 2 2/ / /! ! !+ +

(2.18)

The hyperbolic trigonometric functions are defined analogously:

, ,sinh cosh tanhx y

y

x yx

x

y2 2 2 2/ / /! ! !- -

(2.19)

For ordinary trigonometric functions, the denominator is the length of the triangle’s hypotenuse and the angle is the actual angle between the hypotenuse and the hori-zontal leg, but for the hyperbolic functions, the denominator is not the triangle’s hypotenuse and ! is no longer the angle of anything simple, but is rather just an abstract parameter. Still, you can see that the definitions have a similar form.

Now, imagine that we define a “velocity parameter” ! so that tanh /i b . If we set y = " and x = 1 in the expressions above, we see that for this !,

,cosh sinh1

112 2/i

bc i

b

bcb=

-=

-= (2.20)

and the Lorentz transformation can be written

cosh

sinh

sinh

cosht

x

y

z

t

x

y

z

00

00

0010

0001

!!

!!

=-

-llll

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW

V

X

WWWWW (2.21)

The similarity between the part of the Lorentz transformation that involves t and x and the two-dimensional rotation is pretty clear. It is sometimes conceptually use-ful to think of observers in different IRFs as having different “angles of view” on the region of spacetime they both observe.

FIG. 2.7 A pair of rotated coordinate systems.

FIG. 2.8 A right triangle.

x

!

y

y

x

yl

xl

Fig. 2.8 – Un triangle rectangle.

ii


ii

ii


Encadre 2.5 : L’intervalle d’espace-temps ne depend pas du referentiel

Considerons deux evenements dont les ecarts de coordonnees dans un referentiel inertielsont donnees par ∆t, ∆x, ∆y, ∆z. Comme la transformation de Lorentz est lineaire,les ecarts de coordonnees dans un referentiel S′ en configuration standard par rapporta S sont donnee par

∆t′

∆x′

∆y′

∆z′

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

∆t∆x∆y∆z

ou γ ≡ 1√1− β2

(2.22)

On peut montrer par un calcul direct que

∆s′2 ≡ −∆t′

2+ ∆x′

2+ ∆y′

2+ ∆z′

2= −∆t2 + ∆x2 + ∆y2 + ∆z2 ≡ ∆s2 (2.23)

independamment des valeurs des ecarts de coordonnees ou de la valeur de β.

Exercice 2.5.1 : Montrez-le dans l’espace ci-dessous.

Encadre 2.6 : L’ordre des evenements ne depend pas du referentiel

Si l’evenement A cause l’evenement B, alors l’evenement A doit se produire avantl’evenement B dans tous les referentiels. Dans le cas contraire, les observateurs decertains referentiels inertiels verraient un evenement se produire avant sa cause, ce quiest absurde. Par souci de simplicite, nous allons definir le systeme de coordonnees desorte que les deux evenements se produisent sur l’axe x (c’est-a-dire en y = z = 0, avecx > 0) dans un certain referentiel S.

Exercice 2.6.1 : Dans l’espace ci-dessous, appliquez l’equation decrivant la transfor-mation de Lorentz aux differences de coordonnees pour montrer que si ∆t > 0 dansle referentiel S, mais si ∆s2 > 0, c’est-a-dire si l’intervalle entre les deux evenementsest du genre espace, alors il est possible de trouver un referentiel S′ se deplacant a lavitesse β < 1 par rapport a S et dans lequel ∆t′ < 0 (et donc ou l’ordre temporel estinverse). Montrez aussi que ceci n’est pas possible si ∆s2 < 0 (pour un intervalle dugenre temps).

ii


ii

ii


Encadre 2.7 : Temps propre le long d’un chemin

Imaginons que l’on decoupe la ligne d’univers d’une particule en d’innombrables pasinfinitesimaux, comme illustre sur la figure 2.9. Considerons une paire d’evenementsA et B sur cette ligne d’univers, separes par les coordonnees dt, dx, dy et dz dansle referentiel inertiel S dans lequel la particule est observee. Si les separations sontvraiment infinitesimales, l’element de ligne d’Univers qui joint A et B peut etre assimilea un segment de droite. Une horloge inertielle dont la ligne d’univers rectiligne passepar les deux evenements suivra donc quasiment le meme chemin que la particule. Dansle referentiel de l’horloge (appelons-le S′), les evenements se produisent a la memeposition, et donc dx′ = dy′ = dz′ = 0. Le carre de l’intervalle d’espace-temps entre cesdeux evenements s’ecrit donc

ds2 = −dt′2 + dx′2

+ dy′2

+ dz′2

= −dt′2 (2.24)

Une horloge qui accompagne la particule devrait indiquer le meme temps ecoule quecette horloge inertielle. Vous pouvez donc montrer que

dτ = dt′ =√−ds2 =

√dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = dt

√1− v2 (2.25)

ou v designe la vitesse mesuree dans le referentiel S. En integrant cette expression lelong de la ligne d’univers, on trouve bien l’equation 2.4.

Exercice 2.7.1 : Remplissez les etapes manquantes dans l’equation 2.25.

x

ligne d’universd’une particule

A

B

dt

dx

ds

t

Fig. 2.9 – Vue agrandie d’une por-tion infinitesimale de la ligne d’Uni-vers d’une particule.

Encadre 2.8 : Contraction des longueurs

Considerons un objet qui se deplace a la vitesse v par rapport a un referentiel inertielS. On definit la longueur L de l’objet le long de la direction du mouvement comme ladistance entre deux evenements qui se produisent simultanement (dans S) aux extre-mites de l’objet. Appelons S′ le referentiel lie a l’objet en mouvement. On peut definirle systeme de coordonnees de sorte que l’objet se deplace dans la direction +x dans Set aligner les axes de S′ pour se trouver en configuration standard par rapport a S. Cereferentiel se deplace a la vitesse β = v par rapport a S.Soit deux evenements F et B se produisant simultanement dans le referentiel S (∆t =0) aux deux extremites de l’objet. La distance entre ces evenements dans le referentielS definit donc la longueur de l’objet dans ce referentiel : L = ∆x. La distance ∆x′ entreles memes evenements dans le referentiel propre de l’objet S′ est egale a sa longueurau repos LR.

Exercice 2.8.1 : Dans l’espace ci-dessous, utilisez la transformation de Lorentz desdifferences de coordonnees pour montrer que L = LR

√1− β2 (equation 2.5).

ii


ii

ii


Encadre 2.9 : Transformation relativiste des vitesses

Considerons deux referentiels inertiels S et S′ en configuration standard. Un objetse deplace dans ces referentiels. On peut utiliser la transformation de Lorentz pourdeterminer les composantes de la vitesse de l’objet dans S′ si on connaıt celles dans S.Par exemple, prenons deux evenements infiniment proches l’un de l’autre, le long de laligne d’univers de la particule. La transformation de Lorentz nous dit que

v′y ≡dy′

dt′=

dy

γ(dt− β dx)=

dy/dt

γ[1− β(dx/dt)]=vy√

1− β2

(1− βvx)(2.26)

ou dans la derniere etape j’ai utilise la definition de γ.

Exercice 2.9.1 : Dans l’espace ci-dessous, utilisez la meme approche pour calculer v′x.

ii


ii

ii


PROBLEMES

HOMEWORK PROBLEMS 29

HOMEWORK PROBLEMS a. Where does event B occur in the station frame? Explain your reasoning.

b. Compute the magnitude of the ship’s acceleration in GR units (m–1) and in gs (where 1 g / 9.8 m/s2). Note that a shockproof watch can tolerate an acceleration of about 50 g.

c. When and where does event C occur in the station frame? When and where does event E occur?

P2.3 At t = 0, an alien spaceship passes by the earth: let this be event A. At t = 260 Gm (according to synchronized clocks on earth and Mars) the spaceship passes by Mars, which is 100 Gm from the earth at the time: let this be event B. (Note that 18 Gm of time = 1.8 ! 1010 m . 1 minute).Radar tracking indicates that the spaceship moves at a constant velocity between the earth and Mars. Just after the ship passes the earth, people on the earth launch a probe whose purpose is to catch up with and investigate the spaceship. This probe accelerates away from the earth, moving slowly at first, but moves faster and faster as time passes, eventually catching up with and passing the alien ship just as it passes Mars. In all parts of this problem, you can ignore the effects of gravity and the relative motion of the earth and Mars (which are small) and treat the earth and Mars as if they were both at rest in the inertial refer-ence frame of the solar system. The probe takes some pic-tures of the alien spacecraft at event B, and immediately sends them encoded as in a burst of laser light back to the earth. The burst arrives at the earth at event C.a. Use graph paper to draw a quantitatively accurate

two-dimensional spacetime diagram of the situation in the solar system frame, showing the worldlines of the earth, Mars, the alien spacecraft, the probe, and the flash of laser light (which you can treat as if it were a particle). Let the position of the earth define x = 0 in that frame. Note that it is conventional in spacetime diagrams to calibrate the t and x axes so that they have scales of the same size expressed in the same units (in this case, steps of 20 Gm will probably be appropriate). Also note that the probe’s worldline can never have a slope less than 1 (because it cannot move faster than light).

b. Explain how you determined the time coordinate of event C.

c. Use the metric equation to calculate the time that elapses between events A and B in the alien space-ship’s frame. (Hint: Note that since the spaceship is present at both events, they occur at the same place, the spaceship’s location, in the spaceship’s frame.)

P2.4 Imagine that your boss is on the earth-Pluto shut-tle, which travels at a constant velocity of 0.60 straight from the earth to Pluto, a distance of 5.0 Tm (5 ! 1012 m) in an inertial frame attached to the sun. Let event A be the shuttle’s departure from the earth. About 1.0 Tm into the flight (accord ing to your boss’ watch), your boss

P2.1 The spacetime diagram in figure 2.10 shows the worldlines of various particles moving along the x axis in space. Note that (as is conventional in spacetime dia-grams), I have calibrated the t and x axes in this diagram to have the same scales in the same units: this ensures that the worldline of a photon (which has a speed of 1) makes a 45° angle with each axis. For each labeled world-line, describe (1) where the particle is at time t = 0, (2) about how fast and in what direction (in the +x direction or the –x direction) the particle is moving at that time, and (3) whether the particle’s speed subsequently increases or decreases as time passes. Also identify the one worldline that is physically impossible, and explain why.

P2.2 Imagine that a spaceship is docked at a space sta-tion floating in deep space. Assume that the space station defines the origin in its own frame. At t = 0 (call this event A) the spaceship starts accelerating in the +x direc-tion away from the space station at a constant rate (as measured in the station frame). The spaceship reaches a cruising speed of 0.50 after 8 Tm of time as measured in the station frame (call this event B). (1 Tm of time = 1012 m . 0.93 h.) At this event, the spaceship sends a laser flash signal back to the station, reporting that it has reached its cruising speed. This signal reaches the station at event C. The technician on the space station sends a laser flash response to this message 0.5 Tm later after re-turning from a lunch break: call this event D. Some time later, the spaceship receives this acknowledgement (event E). Use graph paper to draw a quantitatively accurate two-dimensional spacetime diagram of the situation as an observer in the station’s frame would draw it, show-ing (and labeling) the worldlines of the space station, the spaceship, and the laser flashes (treated as if they were particles). Include labeled points representing the events A through E. Note that it is conventional in spacetime dia-grams to calibrate the t and x axes so that they have scales of the same size expressed in the same units (in this case, Tm). Also answer the following questions:

t

x

5 m

5 m–5 m

A B DC

E

F

FIG. 2.10 A spacetime diagram showing the worldlines of various particles.Fig. 2.10 – Diagramme d’espace-temps montrant les lignes d’univers

de diverses particules.

P2.1 Le diagramme d’espace-temps de la figure 2.10 montre leslignes d’univers de diverses particules se deplacant le long de l’axex. Remarquez que, comme on le fait usuellement dans des dia-grammes d’espace-temps, j’ai gradue les axes t et x pour avoirles memes echelles et les memes unites. Ceci assure que la ligned’univers d’un photon (dont la vitesse vaut 1) fait bien un anglede 45° avec chacun des axes. Pour chacune des lignes d’univers,reperees de A a F, decrivez (1) ou se trouve la particule au tempst = 0, (2) a quelle vitesse et dans quelle direction (+x ou −x) ellese deplace a cet instant et (3) si la vitesse de la particule croıt oudecroıt aux instants ulterieurs. Identifiez aussi la ligne d’universqui est physiquement interdite et expliquez pourquoi.

P2.2 Imaginez qu’un vaisseau spatial soit accoste a une stationspatiale qui flotte dans l’espace profond. On suppose que la sta-tion spatiale definit l’origine dans son propre referentiel. A t = 0(ce qu’on appellera l’evenementA), le vaisseau commence a s’eloi-gner de la station spatiale dans la direction +x, avec une acce-leration constante (mesuree depuis la station spatiale). L’evene-ment B correspond au moment ou le vaisseau atteint sa vitessede croisiere de 0,5 apres 8 Tm de temps, mesure depuis la stationspatiale (1 Tm de temps correspond a 1012 m ≈ 0,93 h). A cetevenement, le vaisseau envoie un signal laser vers la station, pourindiquer qu’il a atteint sa vitesse de croisiere. Ce signal atteintla station a l’evenement C. Le technicien de la station spatialeenvoie la reponse 0,5 Tm plus tard, apres sa pause dejeuner, ap-pelons D cet evenement. Quelque temps plus tard, le vaisseaurecoit cette reponse (evenement E). Tracer sur un papier milli-metre un diagramme d’espace-temps bidimensionnel quantitati-vement correct representant la situation telle que la decrirait unobservateur de la station spatiale, montrant les lignes d’universde la station, du vaisseau et des eclairs lumineux (traites comme

des particules). Indiquez les evenements A a E. On notera qu’ilest conventionnel de graduer les axes t et x pour qu’ils aient lesmemes echelles et les memes unites (ici, en Tm). Repondez aussiaux questions suivantes :

a. Ou se produit l’evenement B dans le referentiel de la station ?Justifiez votre reponse.

b. Calculer l’acceleration du vaisseau en unites RG (m−1) et eng (ou 1 g ≡ 9,8 m · s−2). Remarquez qu’une montre resistanteaux chocs peut tolerer une acceleration maximale de 50 g.

c. Quand et ou l’evenement C se produit-il dans le referentiel dela station ? Quand et ou l’evenement E se produit-il ?

P2.3 A t = 0, un vaisseau extraterrestre passe a proximite de laTerre. Appelons A cet evenement. A t = 260 Gm (d’apres deshorloges synchronisees, sur la Terre et sur Mars), le vaisseau at-teint Mars, qui est situe a 100 Gm de la Terre a ce moment-la(1 Gm de temps = 1,8 × 1010 m ≈ 1 min). Notons B cet evene-ment. Le suivi radar indique que le vaisseau se deplace a vitesseconstante entre la Terre et Mars. Juste apres que le vaisseau adepasse la Terre, les terriens lancent une sonde pour tenter derattraper le vaisseau pour l’etudier. La sonde accelere depuis laTerre, se deplacant d’abord lentement, puis de plus en plus vite,pour rattraper et depasser le vaisseau juste quand il atteint lui-meme Mars. Dans tout le probleme, vous pouvez ignorer les effetsde la gravite et le mouvement relatif de la Terre et de Mars (quisont faibles) et traiter la Terre et Mars comme si elles etaienttoutes deux au repos dans le referentiel inertiel lie au Systemesolaire. La sonde prend des photos du vaisseau extraterrestre al’evenement B et les transmet immediatement sous forme codee,grace a une bouffee de rayonnement laser dirige vers la Terre. Cerayonnement atteint la Terre a l’evenement C.

a. Sur du papier millimetre, tracez un diagramme d’espace-tempsbidimensionnel quantitativement correct representant la situa-tion dans le referentiel du Systeme solaire, montrant les lignesd’univers de la Terre, de Mars, du vaisseau extraterrestre etde la bouffee de rayonnement laser (que l’on traitera commeune particule). On notera qu’il est conventionnel de graduerles axes t et x pour qu’ils aient les memes echelles et les memesunites (ici, des graduations de 20 Gm conviendront probable-ment assez bien). Remarquez aussi que la ligne d’univers dela sonde ne peut pas avoir une pente inferieure a 1 (car ellene peut pas se deplacer plus vite que la lumiere).

b. Expliquez comment vous avez determine la coordonnee tem-porelle de l’evenement C.

c. Utilisez l’equation metrique pour calculer le temps ecouleentre les evenements A et B dans le referentiel du vaisseauextraterrestre. Indication : comme le vaisseau est present auxdeux evenements, ceux-ci se produisent a la meme positiondans le referentiel du vaisseau.

ii


ii

ii


P2.4 Votre patron est dans une navette Terre-Pluton qui se de-place en ligne droite a la vitesse constante de 0,60 pour parcourirune distance totale de 5,0 Tm (5 × 1012 m) dans le referentielinertiel lie au Soleil. Notons A l’evenement correspondant au de-part de la navette, depuis la Terre. Apres 1,0 Tm de vol selonla montre de votre patron (evenement B), celui-ci vous envoie,a vous reste sur Terre, un message laser vous demandant de luienvoyer un signal de reveil qui lui permette de faire une siestede 1 Tm (56 minutes), toujours selon sa montre a lui. Des quevous recevez ce message (evenement C), vous repondez immedia-tement en envoyant le signal de reveil et en vous excusant du faitqu’il arrivera trop tard, en expliquant que les lois de la physiquevous ont interdit de repondre a temps. Votre patron recoit cemessage a l’evenement D.

a. Sur du papier millimetre, tracez un diagramme d’espace-tempsbidimensionnel quantitativement correct representant la situa-tion dans le referentiel du Systeme solaire, montrant les lignesd’univers de la Terre, de Pluton, de la navette et des deuxmessages lumineux. Indiquez la position des evenements A,B, C et D. On notera qu’il est conventionnel de graduer lesaxes t et x pour qu’ils aient les memes echelles et les memesunites. Indication : vous aurez besoin de l’equation metriquepour determiner le temps ecoule entre les evenements A et Bdans le referentiel du Systeme solaire : ce temps n’est pas egala 1 Tm.

b. Expliquez par des mots pourquoi il est impossible pour vousde satisfaire la demande de votre patron.

c. Combien de temps a dormi votre patron (selon sa montre) aumoment ou il recoit votre message ? Expliquez soigneusement.Indication : de nouveau, utilisez l’equation metrique en remar-quant que les evenements B et D ont lieu a la meme positiondans le referentiel de la navette.

d. Dessiner un diagramme d’espace-temps de la situation vuedepuis le referentiel de la navette et montrez qu’on obtient lememe resultat (beaucoup plus facilement).

P2.5 Dans un certain referentiel S, on observe que deux eve-nements se produisent au meme endroit, mais separes tempo-rellement de ∆t = 60 m. Dans un autre referentiel, ces deuxevenements se produisent a 45 m de distance l’un de l’autre.

a. L’intervalle d’espace-temps entre ces deux evenements est-ildu genre espace, lumiere ou temps ?

b. Que vaut la difference des coordonnees de temps entre les deuxevenements dans le referentiel S′ ?

c. Calculez la vitesse du referentiel S telle que mesuree par desobservateurs dans le referentiel S′. Indication : les evenementsse produisent au meme endroit dans S. De combien S s’est-ildeplace pendant le temps ecoule entre les deux evenements,vus depuis S′ ? Quelle est la duree entre les deux evenementsdans le referentiel S′ ?

P2.6 Un train se deplacant a la vitesse β = 3/5 envoie un eclairlumineux en traversant une gare. On note A l’evenement corres-pondant au passage de l’avant du train a l’extremite nord de lastation et l’evenement B celui du passage de l’arriere du train ala meme extremite nord de la gare. Un observateur du quai dela gare mesure qu’il s’est ecoule 100 m de temps entre ces deuxevenements, il en deduit donc que la train fait β∆t = 60 m delong.

a. Utilisez les transformations de Lorentz pour determiner letemps et la distance entre ces evenements dans le referentieldu train.

b. Comment la distance entre les evenements A et B dans le re-ferentiel du train est-elle reliee a la longueur du train dans sonpropre referentiel ? Detaillez votre reponse.

P2.7 Un train depasse deux lumieres qui clignotent de facon syn-chrone, vues depuis le referentiel lie au sol. Dans le referentiel dutrain, quelle lumiere s’allume en premier, celle pres de l’avant oucelle pres de l’arriere du train ? Detaillez votre reponse.

P2.8 Un train de 100 m de long se deplace a une vitesse de 0,80par rapport au sol. Juste au moment ou l’arriere du train depasseun signal ferroviaire lumineux, celui-ci s’allume.

a. Combien de temps les photons du signal mettent-ils a at-teindre l’avant du train, selon les horloges a bord ?

b. Combien de temps les photons du signal mettent-ils a at-teindre l’avant du train, selon les horloges immobiles par rap-port au sol ?

P2.9 Deux vaisseaux A et B voyagent entre deux stations spa-tiales Alpha et Beta qui sont au repos l’une par rapport a l’autre,dans l’espace profond, a 6,0 Tm de distance (1 Tm = 1012 m).On se place dans un referentiel inertiel qui contient Alpha etBeta. Les deux vaisseaux quittent Alpha a midi, selon les hor-loge d’Alpha et arrivent a Beta 13 Tm plus tard (environ 12h), selon les horloges de Beta, qui sont synchronisees avec cellesd’Alpha. Le vaisseau A a parcouru un trajet en ligne droite avitesse constante entre Alpha et Beta, tandis que B a parcouruune trajectoire semi-circulaire de rayon 3 Tm a vitesse constante(remarquez que B doit pour cela accelerer en permanence).

a. Calculez le temps de parcours mesure par les horloges de A.

b. Calculez le temps de parcours mesure par les horloges de B.

P2.10 Considerons la situation montree sur la figure 2.5. Imagi-nez qu’on tourne l’horloge sur le cote pour que le rayon lumineuxse propage parallelement ou anti-parallelement au mouvement del’horloge. Montrez que l’equation 2.11 decrit encore la relationentre ∆t′ dans le referentiel de l’horloge et ∆t dans le referentiellie au sol.

P2.11 Un train se deplace a la vitesse 4/5. Un passager dirigeun pointeur laser vers la fenetre, perpendiculairement aux rails,et emet un bref eclair de lumiere. Quel angle la vitesse de l’eclairlumineux fait-elle avec les rails, dans le referentiel lie au sol ?

P.12 Un objet emet de la lumiere de facon uniforme, dans sonpropre referentiel. Imaginons que cet objet se deplace a la vitesseβ dans la direction +x par rapport a un referentiel inertiel S.

a. Montrez que la moitie de la lumiere emise dans l’hemi-sphere correspondant a l’avant, dans le referentiel propre del’objet, est vue concentree dans un cone faisant un angle

sin−1(√

1− β2)

par rapport a l’axe x.

b. Montrez que si β = 0,99, l’angle a l’interieur duquel estconcentree la moitie de la lumiere emise par l’objet vaut seule-ment 8,1°. Cette concentration vers l’avant du rayonnementemis par un objet en mouvement est appele effet projecteurou effet phare.

ii


ii

ii

3. Quadri-vecteurs

INTRODUCTION

ESPACE-TEMPS PLAT


COSMOLOGIE

ÉQUATIOND'EINSTEIN





Quadri-vecteurs

Notation indicielle




Géodésiques



Tenseur de Riemann

L'univers observé














Orbites de photons





Gravitomagnétisme

Métrique de Kerr




Liberté de jauge





31

ii


ii

ii

32 3. QUADRI-VECTEURS

Description du mouvement en fonction du temps propre. En relativite restreintecomme en relativite generale, il est pratique de decrire le mouvement d’un corps dans unreferentiel donne (ou dans un systeme de coordonnees quelconque en RG) en specifiantcomment ses coordonnees d’espace-temps dependent du temps propre τ du corps (parexemple en specifiant t(τ), x(τ), y(τ) et z(τ)) plutot qu’en exprimant les coordonneesde position en fonction de la coordonnee temporelle (c’est-a-dire en specifiant x(t), y(t)et z(t)). Nous verrons bientot pourquoi c’est crucial, mais en attendant on voit dejaque ceci a le merite de traiter les coordonnees d’espace-temps de facon symetrique.De plus, comme le temps propre est un parametre independant du referentiel, tous lesobservateurs s’accordent sur sa valeur en un evenement donne le long de la ligne d’universdu corps.

Quadri-vecteur position et quadri-vitesse. Considerons maintenant un pas detemps propre elementaire dτ le long de la ligne d’univers du corps, centre sur un cer-tain evenement E. On definit le quadri-vecteur deplacement ds pendant cet intervalleelementaire et la quadri-vitesse u a l’evenement E comme les quadri-vecteurs suivants

ds ≡

dtdxdydz

et u ≡ ds

dτ≡

dt/dτdx/dτdy/dτdz/dτ

≡ut

ux

uy

uz

(3.1)

Attention : ut doit se lire comme « la composante temporelle de la quadri-vitesse u » etnon «u a la puissance t». La raison pour laquelle on met l’indice t en haut deviendraclaire dans le prochain chapitre.

Comme les composantes de u sont les memes que les composantes de ds multiplieespar un meme scalaire independant du referentiel, tous les observateurs sont d’accord surle fait que u est tangent a la ligne d’univers du corps a l’evenement E (voir la figure3.1).

t

x

u

u

x

Fig. 3.1 – Diagramme d’espace-temps montrant la ligne d’universd’un corps. On peut etiqueter les eve-nements le long de la ligne d’Universd’apres le temps propre τ mesure parle corps, une fois choisi un evenementinitial de reference. La quadri-vitesseu est tangente a la ligne d’univers entout evenement, et doit se trouver al’interieur du cone de lumiere.

Quadri-vecteurs. L’interet de definir la quadri-vitesse de cette facon est que si onconnaıt les composantes de u dans un referentiel inertiel, alors on peut calculer sescomposantes dans n’importe quel referentiel inertiel en utilisant simplement la transfor-mation de Lorentz ! Examinons pourquoi. On sait que les composantes du deplacementds se transforment selon la transformation de Lorentz :

dt′

dx′

dy′

dz′

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

dtdxdydz

(3.2)

en supposant que les referentiels sont en configuration standard. Comme dτ est indepen-dant du referentiel, les composantes de la quadri-vitesse u d’un corps se transformentselon

u′t

u′x

u′y

u′z

=1

dτ

dt′

dx′

dy′

dz′

=1

dτ

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

dtdxdydz

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

ut

ux

uy

uz

(3.3)

C’est une jolie loi de transformation, simple et lineaire. Comparez a la transformationusuelle des composantes de la vitesse donnee par l’equation 2.6, compliquee et surtoutnon lineaire.

On definit un quadri-vecteur comme toute quantite a quatre composantes qui setransforment selon la transformation de Lorentz lorsqu’on change de referentiel inertiel.Comme les composantes d’un quadri-vecteur se transforment exactement comme cellesde ds, si un quadri-vecteur A arbitraire est parallele a un quadri-deplacement ds pourun observateur donne, alors c’est aussi le cas pour tous les observateurs. Ceci signifiequ’un simple quadri-deplacement ds peut servir d’indicateur universel pour la directionde A dans l’espace-temps, de la meme facon qu’un simple deplacement spatial representepar une fleche dans l’espace 3D ordinaire peut servir d’indicateur de direction pour lesautres vecteurs (force, vitesse, etc.) dans l’espace 3D.

Dans cet ouvrage, les quadri-vecteurs seront typographies en gras sans serif. Lors-qu’on ecrit a la main, on peut utiliser une ligne ondulee sous le symbole, par exemple A

∼

ii


ii

ii


(c’est la notation usuelle pour indiquer a un editeur qu’un caractere doit etre imprimeen gras).

Le produit scalaire et la norme. En relativite restreinte, le produit scalaire A ·B dedeux quadri-vecteurs A et B est defini comme

A · B ≡ −AtBt +AxBx +AyBy +AzBz (3.4)

et le carre de la norme d’un quadri-vecteur A arbitraire est defini par

A2 ≡ A · A = −(At)2 + (Ax)2 + (Ay)2 + (Az)2 (3.5)

Ces quantites sont importantes et interessantes car leurs valeurs sont independantes dureferentiel considere (voir l’encadre 3.1), de la meme facon que le carre de l’intervallespatio-temporel entre les evenements delimitant un quadri-deplacement infinitesimal

ds · ds = ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 (3.6)

ne depend pas du referentiel. Le carre de la norme de la quadri-vitesse d’un corps estdonne par

u · u ≡ −(ut)2 + (ux)2 + (uy)2 + (uz)2 = −1 (3.7)

quelle que soit la vitesse a laquelle le corps se deplace dans l’espace (voir l’encadre 3.2).C’est un resultat important que nous allons utiliser souvent dans la suite.

Quadri-vitesse et vitesse ordinaire. Nous avons vu dans l’encadre 2.7 qu’un depla-cement infinitesimal de temps propre dτ le long de la ligne d’univers du corps corresponda une duree elementaire dt dans un referentiel inertiel donne

dτ = dt√

1− v2 (3.8)

ou v designe la vitesse usuelle du corps dans le meme referentiel inertiel. Nous pouvonsutiliser cette relation pour exprimer les composantes de la quadri-vitesse d’un corps dansun referentiel inertiel donne en fonction de sa vitesse dans ce referentiel :

ut

ux

uy

uz

=

dt

dt√

1− v2

dx

dt√

1− v2

dy

dt√

1− v2

dz

dt√

1− v2

=

1√1− v2

vx√1− v2

vy√1− v2

vz√1− v2

(3.9)

Ainsi, si on connaıt ~v, on peut calculer u. Inversement, si on connaıt u, on peut aussicalculer ~v en divisant toutes les composantes de l’equation 3.9 par ut :vxvy

vz

=

ux/utuy/ut

uz/ut

(3.10)

D’apres l’equation 3.9, la quadri-vitesse d’un corps au repos s’ecrit

u =

1000

quand v = 0 (3.11)

Quand la vitesse d’un corps est faible, v 1, la racine carree est quasiment egale a 1,si bien que (voir l’encadre 3.3)

u =

ut

ux

uy

uz

≈

1vxvyvz

quand v 1 (3.12)

Nous verrons dans la suite que la quadri-vitesse est une quantite tres utile, et nous vousconseillons de vous familiariser avec les equations de ce chapitre.

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ii

ii


Quadri-quantite de mouvement. Si un corps a une masse m non nulle, on definit saquadri-quantite de mouvement p comme

p ≡ mu ⇒

pt

px

py

pz

=

mut

mux

muy

muz

=

m√1− v2

mvx√1− v2

mvy√1− v2

mvz√1− v2

(3.13)

Dans l’approche moderne de la relativite restreinte et de la relativite generale, la massed’un corps est consideree comme une quantite qui ne depend pas du referentiel (onparle de « masse invariante »). Les quatre composantes de p se transforment alors se-lon la transformation de Lorentz lorsqu’on change de referentiel (il suffit de multiplierl’equation 3.3 par m pour verifier que c’est le cas), ce qui signifie que p est aussi unquadri-vecteur.

Les equations 3.5 et 3.7 entraınent que le carre de la norme de la quadri-quantitede mouvement d’un corps est simplement donnee par l’oppose du carre de sa masseinvariante,

p · p = (mu) · (mu) = m2(u · u) = −m2 (3.14)

Conservation de la quadri-quantite de mouvement. A des vitesses suffisammentfaibles, l’equation 3.9 entraıne que les composantes spatiales de la quadri-quantite demouvement se ramenent aux composantes correspondantes de la quantite de mouvementnewtonienne :

px ≈ mvx, py ≈ mvy, pz ≈ mvz (3.15)

et la quadri-quantite de mouvement represente une generalisation relativiste raisonnabledu concept newtonien de quantite de mouvement.

En physique newtonienne, on suppose que la quantite de mouvement d’un systemeisole est conservee. Qu’est-ce qui est vraiment conserve, la quantite de mouvement new-tonienne ou la quadri-quantite de mouvement totale ? Il se trouve que la conservation dela quantite de mouvement n’est pas compatible avec le principe de relativite : a causede la forme de la transformation relativiste des vitesses (equation 2.6), si la quantite demouvement newtonienne est conservee dans un referentiel referentiel, alors elle ne l’estpas dans un autre. D’un autre cote, le caractere lineaire de la transformation de Lorentzimplique qu’une loi de conservation de la quadri-quantite de mouvement doit etre validedans tous les referentiels inertiels (tant que les quatre composantes de p sont conservees).Si donc quelque chose doit etre conserve, il s’agit de la quadri-quantite de mouvementtotale. Ce point est explore plus en detail dans l’encadre 3.4.

Energie et quantite de mouvement relativistes. La composante temporelle dela quadri-quantite de mouvement est appelee l’energie relativiste E ≡ pt. On defi-nit aussi conventionnellement la quantite de mouvement relativiste ~p comme le vec-teur tridimensionnel dont les composantes sont les composantes spatiales de p et ~p 2 =(px)2 + (py)2 + (pz)2 comme le carre de la norme de ~p (la notation ~p 2 permet de faire ladistinction avec p2 ≡ p · p). Les equations 3.5, 3.10 et 3.14 impliquent alors que

m2 = E2 − ~p 2 et ~v =~p

E(3.16)

La quantite E est appelee l’energie relativiste non seulement parce qu’elle est conservee(tout comme les autres composantes de p) mais aussi parce que quand v 1,

E ≈ m+1

2mv2 + · · · (quand v 1) (3.17)

(voir l’encadre 3.3). On voit que pour de telles vitesses, l’energie relativiste E qui seconserve se confond avec l’energie cinetique newtonienne, plus un terme egal a sa masse.Dans tout processus qui ne fait pas intervenir de variation de masse significative (c’est-a-dire la plupart des phenomenes de la vie courante), la conservation de E se ramenea la conservation de l’energie cinetique, et donc a la loi de conservation de l’energienewtonienne, sous sa forme la plus simple.

Toutefois, d’apres l’equation 3.17, l’energie totale d’un corps n’est pas donnee sim-plement par son energie cinetique, mais par la somme de son energie cinetique et de sa

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ii


masse. C’est cette somme qui est conservee et non chacun des termes pris separement.On voit donc que la masse d’un corps est juste une autre forme d’energie, qui peut enprincipe etre convertie en energie cinetique, et vice-versa. L’expression E = m qui decritl’energie d’un objet lorsqu’il est au repos prend une forme beaucoup plus connue lors-qu’on l’ecrit en unites du Systeme international : elle s’ecrit alors E = mc2 ; cette equa-tion constitue une icone culturelle traduisant l’idee que la masse est de l’energie, et demaniere plus generale le genie d’Einstein pour l’avoir realise. Cette idee etait choquantedu temps d’Einstein mais depuis, on a decouvert de nombreux processus physiques quiconvertissent de l’energie de masse en energie cinetique, et vice-versa.

L’equation 3.17 ne s’applique que quand v 1. Plus generalement, l’energie cinetiqueEc n’est pas definie par 1

2mv2 mais par la partie de l’energie relativiste qui depend de

sa vitesse :

E = m+ Ec ⇒ Ec = m

(1√

1− v2− 1

)(3.18)

Quadri-quantite de mouvement de la lumiere. De toute evidence, les photonstransportent de l’energie. L’energie est donnee par E = pt et les photons doivent euxaussi avoir une quadri-quantite de mouvement p. Or, le temps propre τ mesure le long dela ligne d’univers d’un photon est nul (voir l’equation 3.8) et l’on ne peut pas definir laquadri-vitesse du photon a partir de l’equation 3.1 ni sa quadri-quantite de mouvementa partir de l’equation 3.13. On peut remarquer, cependant, que l’equation 3.13 impliqueque pour des corps ordinaires,

p =

EEvvEvyEvz

(3.19)

Nous allons supposer que ceci s’applique aussi a des photons et le prendre comme ladefinition de la quadri-quantite de mouvement de la lumiere. Cette definition assureque p est parallele a la ligne d’univers de la lumiere, comme dans le cas des particulesmassives (voir la figure 3.2 qui illustre le cas particulier vx = −1, vy = vz = 0). Elleimplique aussi que la masse d’un photon (donnee par l’equation 3.16) est

m2 = E2 − ~p 2 = E2 − E2v2 = 0 (3.20)

Vous pouvez penser a l’energie du photon comme etant purement de l’energie cinetique,associee a aucune energie de masse.

t

x

pt

px

p

Fig. 3.2 – Ce diagramme montre enpointilles la ligne d’univers d’un pho-ton se deplacant dans la direction −xavec la vitesse 1. Remarquez qu’unquadri-vecteur parallele a la ligne ve-rifie px = −pt, ce qui correspondbien a l’equation 3.18 (remarquez quevx = −1).

Energie dans le referentiel d’un observateur donne. Un observateur au reposdans un referentiel inertiel S a une quadri-vitesse uobs de composantes ut = 1, ux =uy = uz = 0 dans ce referentiel (voir l’equation 3.11). Soit un corps en mouvement, dequadri-quantite de mouvement p. On a

− p · uobs = − (− pt · 1 + px · 0 + py · 0 + pz · 0) = + pt = E (3.21)

L’oppose du produit scalaire de la quadri-quantite de mouvement du corps et de laquadri-vitesse de l’observateur donne donc l’energie du corps, mesuree dans le refe-rentiel S de l’observateur. Comme la valeur du produit scalaire est independante dureferentiel, on peut calculer −p · uobs dans un autre referentiel, si possible plus pratique.Les composantes de p et uobs pourront etre completement differentes de celle donneesplus haut, mais on obtiendra finalement encore l’energie E mesuree dans le referentielde l’observateur. Ceci s’averera tres pratique dans certains calculs a venir. L’encadre3.5 presente un exemple de calcul qui illustre l’utilite du fait que le produit scalaire estindependant du referentiel.

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Encadre 3.1 : Le produit scalaire est independant du referentiel

Si A et B designent deux quadri-vecteurs, alors lorsqu’on passe d’un referentiel inertielS a un autre S′ en configuration standard, leurs composantes se transforment selonA′t

A′x

A′y

A′z

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

At

Ax

Ay

Az

,

B′

t

B′x

B′y

B′z

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

Bt

Bx

By

Bz

(3.22)

Vous pouvez montrer par un calcul explicite que

−A′tB′t +A′xB′

x+A′

yB′

y+A′

zB′

z= −AtBt +AxBx +AyBy +AzBz (3.23)

pour tout β < 1. Ceci implique que le produit A · B est independant du referentiel.

Exercice 3.1.1 : Dans l’espace ci-dessous, verifiez l’equation 3.23.

Encadre 3.2 : La norme invariante de la quadri-vitesse

Comme nous l’avons vu dans l’encadre 2.7, l’intervalle de temps propre dτ pour unpas infinitesimal le long de la ligne d’univers d’un objet est egal a

dτ =√−ds2 =

√dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (3.24)

Vous pouvez utiliser cette relation, la definition de u donnee par l’equation 3.1 etl’equation 3.6 pour montrer assez directement que u · u = −1.

Exercice 3.2.1 : Verifiez-le dans l’espace ci-dessous.

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Encadre 3.3 : La limite de u a faible vitesse

Quand |x| < 1, on peut developper (1 + x)a comme une somme de la forme

(1 + x)a = 1 + ax+a(a− 1)

2!x2 +

a(a− 1)(a− 2)

3!x3 + · · · (3.25)

C’est un developpement en serie de Taylor. On a donc

(1− v2)−1/2 = 1 +1

2v2 +

3

8v4 + · · · (3.26)

La quadri-vitesse peut donc s’ecrireut

ux

uy

uz

=

1 + 1

2v2 + 3

8v4 + · · ·

vx(1 + 12v2 + 3

8v2 + · · · )

vy(1 + 12v2 + 3

8v2 + · · · )

vz(1 + 12v2 + 3

8v2 + · · · )

(3.27)

Lorsque v 1, on peut negliger les termes faisant intervenir les puissances de v lesplus elevees, si bien que

ut

ux

uy

uz

=

1 + O(v2)

vx[1 + O(v2)]vy[1 + O(v2)]vz[1 + O(v2)]

(3.28)

ou O(v2) signifie que les termes correctifs sont d’ordre v2 ou encore plus petits. Quandv < 0,1, les composantes de u valent alors respectivement 1, vx, vy, vz avec une erreurinferieure a environ 1% pour chaque terme. Ceci justifie l’equation 3.12.Remarquez que dans l’absolu, les composantes spatiales de u sont plus petites que ut

par au moins un facteur v : le terme correctif pour ut est d’ordre O(v2) tandis que ceuxpour les composantes spatiales sont d’ordre O(v3).Remarquez aussi que dans la limite v 1,

E ≡ pt ≡ mut = m

(1 +

1

2v2 +

3

8v4 + · · ·

)= m+

1

2mv2 + O(v4) (3.29)

Ceci justifie l’equation 3.17.

Exercice 3.3.1 : Dans l’espace ci-dessous, montrez que l’equation 3.26 decoule de 3.25.

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Encadre 3.4 : Conservation de la quantite de mouvement ou de la quadri-quantite de mouvement ?

Un seul contre-exemple suffit a montrer que la conservation de la quantite de mou-vement newtonienne n’est pas compatible avec le principe de relativite. Consideronsla collision suivante. Dans un referentiel S, deux particules identiques de masse m sedeplacent avec des vitesses ~v1 et ~v2 opposees mais de meme norme (voir la figure 3.3a).Definissons le systeme de coordonnees de sorte que ~v1 pointe dans la direction +x. Lesparticules se collisionnent et forment une seule particule au repos (v3 = 0), de masseM = 2m. La quantite de mouvement du systeme est clairement nulle avant et apres lacollision, elle est donc bien conservee dans le referentiel S. Examinons maintenant cettememe collision depuis un referentiel S′ qui se deplace dans la direction +x a la vitesseβ = v. Vous pouvez utiliser la transformation relativiste des vitesses pour montrer (voirla figure 3.3b) que dans ce referentiel,

v′1x = 0, v′2x =−2v

1 + v2, v′3x = −v (3.30)

tandis que les autres composantes des trois vitesses restent nulles. Dans le referentielS′, la quantite de mouvement totale newtonienne vaut −2mv/(1+v2) avant la collisionet −2mv apres la collision : elle n’est pas conservee dans ce referentiel. Ceci contreditle principe de relativite, qui demande que les lois physiques s’appliquent dans tousles referentiels inertiels. La conservation de la quantite de mouvement newtonienne nepeut donc pas etre correcte.

Exercice 3.4.1 : Dans l’espace ci-dessous, montrez que l’equation 3.30 est correcte.

Nous allons maintenant montrer que la loi de conservation de la quadri-quantite demouvement est bien compatible avec le principe de relativite. L’argument ne fait appelqu’a la linearite de la transformation de Lorentz. Une des caracteristiques fondamen-tales d’une transformation lineaire est que la somme d’un ensemble de vecteurs trans-formes est identique au transforme de la somme des vecteurs originaux. En notationmatricielle, ceci peut s’ecrire TL

V1

+

TL

V2

+ · · · =

TL

V1

+

V2

+ · · ·

(3.31)

ou (TL) designe la matrice qui represente la transformation lineaire et (V1), (V2),. . . sont des vecteurs colonne. Considerons maintenant le cas particulier ou (TL) designela transformation de Lorentz et ou les vecteurs sont les quadri-quantites de mouvement.Supposons que la quadri-quantite de mouvement est conservee dans un referentiel S.Ceci signifie que si on soustrait le quadri-quantite de mouvement finale de la quadri-quantite de mouvement initiale, on trouve zero dans le referentiel initial,

p1i + p2i + · · · − p1f − p2f − · · · = 0 (3.32)

Utilisons la transformation de Lorentz pour calculer la quadri-quantite de mouvementdans un autre referentiel inertiel S′. L’equation 3.31 signifie que

AVANTm

v

MAPRÈS

AVANTm

MAPRÈS

12vv2+

m

v

(a)

m

v(b)

Fig. 3.3 – (a) Exemple de collisionvue depuis le referentiel S. (b) Lameme collision vue depuis un referen-tiel S′ se deplacant vers la droite ala meme vitesse que la particule degauche.

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Encadre 3.4 (suite) : Conservation de la quantite de mouvement ou de la quadri-quantite de mouvement ?

p′1i

+

p′2i

+ · · · −

p′1f

−p′2f

− · · ·=

TL

p1i

+

p2i

+ · · · −

p1f

−p2f

− · · · (3.33)

Or le quadri-vecteur qui figure dans la derniere parenthese est egal a zero, car nous avonssuppose que la quadri-quantite de mouvement est conservee dans le referentiel nonprime. Une autre caracteristique fondamentale des transformations lineaires est qu’ellestransforment necessairement le vecteur nul en le vecteur nul (une matrice multiplieepar un vecteur dont toutes les composantes sont nulles donne zero comme resultat).Ainsi le membre de gauche de l’equation 3.33 est lui aussi nul, ce qui implique que laquadri-quantite de mouvement est conservee dans le referentiel prime aussi.Voyons comment ceci se traduit dans le detail, dans le cas particulier de la collision quenous avons consideree plus haut. Dans le referentiel S, la conservation de la quadri-quantite de mouvement impose (comme v1 = v2 = v) que

1√1− v2

mmv00

+1√

1− v2

m−mv

00

=

M000

(3.34)

Les composantes spatiales de cette equation sont clairement satisfaites et la com-posante temporelle l’est aussi a condition que la masse de la particule finale verifieM = 2m/

√1− v2 (et non 2m). Ainsi, avec cette valeur de M , la quadri-quantite de

mouvement est conservee dans ce referentiel.L’est-elle aussi dans le referentiel S′ ? Si c’est le cas, on devrait avoir

m000

+1√

1− (v′2)2

m−mv′2

00

?=

1√1− v2

M−Mv

00

(3.35)

Exercice 3.4.2 : Montrez tout d’abord qu’avec la valeur de v′2 specifiee dans l’equation3.30, on a 1/

√1− (v′2)2 = (1 + v2)/(1 − v2). Utilisez alors la valeur obtenue plus

haut pour la masse finale M , independante du referentiel, pour montrer que la quadri-quantite de mouvement est bien conservee dans S′.

Remarquez que l’argument donne dans cet encadre n’implique pas que la quadri-quantite de mouvement est conservee, mais juste que la conservation de la quadri-quantite de mouvement est compatible avec le principe de relativite (contrairement ala conservation de la quantite de mouvement newtonienne). Ce sont des verificationsexperimentales intensives (des milliards de tests par an en physique des particules)qui fournissent la justification ultime pour la conservation de la quadri-quantite demouvement.

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Encadre 3.5 : Exemple : la coupure GZK sur l’energie des rayons cosmiques

(Adapte de Hartle, Gravity, Addison-Wesley 2003, p. 94) Les rayons cosmiques sontdes particules de haute energie accelerees par des phenomenes astrophysiques violents.Les protons constituent une part importante des rayons cosmiques, et certains d’entreeux ont ete observes en haut de l’atmosphere terrestre avec des energies superieures a3× 1020 eV (≈ 20 J !).Un des aspects troublants de ces particules extremement energetiques est qu’elles nedevraient pas etre capables de se deplacer sur de grandes distances dans l’espace in-tergalactique. L’espace intergalactique contient une densite de photons significative(≈ 4 × 108 m−3) constituant le rayonnement de fond cosmologique (CMB). Ces pho-tons ont ete emis au cours du Big Bang et ont subi un decalage vers le rouge au coursde l’expansion cosmologique (comme nous le verrons plus loin dans cet ouvrage). Ilsforment aujourd’hui un spectre de corps noir avec une densite d’energie moyenne del’ordre de 6,4 × 10−4 eV. En 1966, Griesen, Zatsepin et Kuz’min ont remarque qu’unproton d’energie suffisamment elevee peut, au cours d’un collision avec un de ces pho-tons, initier une reaction

p+ γ → p+ π0 ou p+ γ → n+ π+ (3.36)

entre autres, ou p designe le proton, γ le photon du CMB, n le neutron, π0 le pionneutre et π+ le pion charge positivement. Ces reactions, d’apres leur raisonnement,devaient reduire significativement l’energie des protons avant qu’ils puissent atteindrela Terre.A partir de quelle energie le proton est-il serieusement affecte par ces collisions ? Laconservation de la quadri-quantite de mouvement pour la premiere reaction ci-dessusimpose que

pp + pγ = pf + pπ (3.37)

ou pp, pγ , pf et pπ designent respectivement les quadri-quantites de mouvement duproton initial, du photon du CMB, du proton final et du pion (l’analyse de la reactionqui produit un neutron serait quasiment identique). Si on observe ce processus dansle referentiel du « centre de masse », dans lequel les composantes spatiales des quadri-quantites de mouvement des particules initiales sont exactement opposees, alors laquadri-quantite de mouvement totale initiale est nulle. La reaction n’est possible quesi les particules initiales ont une energie (dans ce referentiel) au moins egale a celle duproton et du pion au repos. Lorsque l’energie est tout juste suffisante, on a (dans lereferentiel du centre de masse)

pf + pπ =

mp

000

+

mπ

000

=

mp +mπ

000

(3.38)

La norme de cette quadri-quantite de mouvement totale pour le seuil de la reaction estdonnee par

(pf + pπ)2 = (pf + pπ) · (pf + pπ) = −(mp +mπ)2 (3.39)

et comme l’equation 3.37 implique que (pp + pγ)2 = (pf + pπ)2, on a

(pp + pγ)2 = −(mp +mπ)2 (3.40)

Cette expression donne la valeur de (pp + pγ)2 dans n’importe quel referentiel, car le

produit scalaire donne une grandeur independante du referentiel. Evaluons maintenantcette grandeur dans le referentiel lie a la Terre, ou l’on sait que les photons du CMBont une energie E ≈ 6 × 10−4 eV. En developpant le carre des deux cotes, on trouveque

p2p + 2pp · pγ +SSp

2γ = −m

2p − 2mpmπ −m2

π (3.41)

Remarquez que p2γ = [masse du photon]2 = 0. Choisissons le systeme de coordonnees

dans le referentiel terrestre de sorte que le proton et le photon se deplacent respective-ment dans la direction +x et −x. On a alors

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Index

β Persei, 408ι Bootis, 384µ Scorpii, 4081-forme, 662dF Galaxy Redshift Survey, 284, 28561 Cygni, 282

accelerometre, 10accretion (disque d’), 118, 119, 423action, 90

a distance, 232instantanee, 232adiabatique, 338, 339age de l’Univers, 285, 293, 310, 317, 318,

331, 333, 340Agence Spatiale Europeenne (ESA), 282,

369aire de l’horizon, 190, 192, 193, 197Alexandrie, 286, 287Algol, 408amas

d’etoiles, 193, 282, 288de galaxies, 157, 158, 283, 291, 294

amplification de luminosite, 157, 163–166

amplitude d’une onde gravitationnelle,369, 372, 375, 386, 401, 408

analogie electromagnetique, 355, 363analyse dimensionnelle, 328angle

de deviation, 161, 164d’echappement critique, 146, 147,

151, 152anisotropies du CMB, 342, 343, 347, 348anneau d’Einstein, 156, 157, 162, 164,

166annihilation, 332, 338, 339antimatiere, 237, 331, 340antimuon, 42antineutron, 340antiparticule, 190–192, 331, 340

creation de paire particule-, 190,192, 195

antiproton, 340apesanteur, 6, 10Apis, Subtle is the Lord, 130approximation

de la source compacte, 386, 387,390

de la source lente, 410Aristarque de Samos, 286auto-reaction, 379avance du perihelie de Mercure, 130, 132,

136

balance de torsion, 3balle de fusil, 4, 9baryon, 333, 339, 342base

de coordonnees, 145, 146, 150–152

naturelle, 55–58, 60, 63Bessel (Friedrich), 282Bianchi (identite de), 223, 227, 247, 251,

256Big Bang, 40, 198, 271, 280, 284, 296,

318, 320, 327, 330, 331, 335,337, 342, 344, 345

Big Crunch, 318binaire, 384, 386, 387, 400–402, 408Birkhoff (theoreme de), 270, 271, 278blague de geek physicien, 368blanche (naine), 114Blandford-Znajek (mecanisme de), 455,

463Boltzmann

constante de, 192, 196, 198facteur de, 332

boson, 335de Higgs, 344–346vecteur, 344

Boyer-Lindquist (coordonnees de), 422brisure de symetrie, 344, 345

calcul par ordinateur, 134, 142calcul perturbatif, 131, 133, 136, 141,

154, 160caoutchouc (feuille de), 134, 138–140cartesiennes (coordonnees), 54, 78–80,

83, 86, 88Cassini (sonde), 165censure cosmique (principe de), 249, 443cepheide, 282, 283, 288, 292champ

dipolaire, 412electrique, 46, 48, 49, 78–82, 88,

213, 220, 232, 278, 279, 411electromagnetique

tenseur du, 46, 51, 52, 76, 79–81,86, 88, 242, 278, 355

faible (limite en), 112–114, 247, 256–262, 264, 265, 268, 271, 310,354–357, 359, 360, 363, 364,366, 376, 379, 410, 415, 420–422, 426–428

gravitationnel, 2–4, 7–10, 213, 256repulsif, 248, 311

gravito-electrique, 259, 265, 285, 411,432

gravito-magnetique, 259, 265, 410,411, 431, 432

de Higgs, 344, 345, 352magnetique, 46, 48, 49, 80, 81, 86,

88, 411scalaire, 352stationnaire, 259, 264, 265

chandelle standard, 282, 283changement de coordonnees, 56, 57, 60,

200charge

conservation de l’, 232, 234

469

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ii

ii

470 39. ORBITES D’ENERGIE NEGATIVE

conservation de la, 81, 84, 85electrique, 271, 278, 279volumique, 78, 79, 84, 88, 232, 410

Christoffel (symbole de), 200–203, 205–207, 209, 210, 214, 215, 217–220, 222–224, 227–230, 234, 253,261, 269, 271, 277–280, 308,313, 418

chute libre, 4–8, 10, 111, 191, 194, 210,438, 449, 450

referentiel en, 5–7, 10, 15, 191, 192,195, 210, 212–214, 216, 220,431

circonferentiel(le)coordonnee radiale, 107, 114, 117,

132, 134, 142, 268, 269rayon, 107, 114, 117, 132, 134, 142,

268, 269Ciufolini & Wheeler, « Gravitation and

Inertia », 378CL0024+1654, 158CMB, 40, 41, 192, 248, 284, 291, 293,

296, 322, 327, 328, 330, 333,338–340, 342, 343, 351

anisotropies du, 342, 343, 347, 348fluctuations du, 342, 343, 347, 348

coalescence de trous noirs, 198, 386, 398comobile, 296, 342compacte (source), 386, 387, 390condition dominante sur l’energie, 243condition faible sur l’energie, 243cone de lumiere, 17, 176, 182, 183configuration standard, 16, 18, 21, 26–

28, 32, 36, 44conservation

de la charge, 232, 234de la charge electrique, 81, 84, 85de l’energie, 117, 121, 122, 144, 232,

234, 235, 237, 243, 256, 308,311, 313, 316, 336, 378, 379,387, 390, 430, 431, 435, 452,453, 456

du moment cinetique, 119de la quadri-quantite de mouvement,

34, 38, 39de la quantite de mouvement, 34,

38, 39, 234, 235, 240, 241, 246,256, 260, 313, 378, 387

constantede Boltzmann, 192, 196, 198cosmologique, 248, 298, 317de Coulomb, 46, 49, 78, 410, 411,

418de Fermi, 331de la gravitation universelle, 2, 8–

10, 107de Hubble, 283, 284, 290, 310, 311,

317, 318, 335de Planck, 192, 196de Stefan-Boltzmann, 119, 192, 197,

335

continuite (equation de), 236, 240contraction

d’indices, 68, 69, 73, 75, 223des longueurs, 27de Lorentz, 18, 27, 79relativiste des longueurs, 18, 27, 79

contrainte, 234contravariant (vecteur), 66, 67, 74convention

d’Einstein, 44de signe, 222, 223

coordonnee(s)base de, 145, 146, 150–152de Boyer-Lindquist, 422cartesienne, 54, 78–80, 83, 86, 88changement de, 56, 57, 60, 200comobile, 296, 297curviligne, 54, 57, 64, 200d’Eddington-Finkelstein, 190d’espace, 14, 32, 170d’espace-temps, 14, 32de Kerr, 422de Kruskal-Szekeres, 180, 182, 183,

186, 187, 190paraboliques, 60de pluie, 180–183, 185, 448, 450polaires, 55, 58, 63, 70, 71, 75, 132,

137, 210, 220quasi-cartesiennes, 257–259, 354–356,

360, 364, 390radiale, 296

de Schwarzschild, 106, 107, 114,168, 169, 172, 174

radiale circonferentielle, 107, 114,117, 132, 134, 142, 268, 269

radiale comobile, 296, 297, 308, 320de Schwarzschild, 108, 210semilog, 64, 210, 230sinusoıdales, 64, 210spheriques, 268systeme de, 54temporelle, 440, 442, 443, 448, 450

de Schwarzschild, 108, 124, 144,145, 150, 169–171, 176, 177,180, 181, 184, 188, 190, 269,270

de temps, 14, 21, 32, 296de temps conforme, 320, 323

corde(s)cosmique, 271, 280theorie des, 193, 198

corps libre, 15, 19, 90corps noir, 40, 41, 333, 335, 337

rayonnement d’un, 190, 192, 193,197, 198, 333, 335, 337

corps-test, 213cosmique (rayon), 40, 41cosmologie, 282, 317, 342Coulomb

constante de, 46, 49, 78, 410, 411,418

ii


ii

ii


loi de, 78couple, 412, 414, 417coupure GZK, 41courant

densite de, 79, 84quadri-, 46, 78, 79

courbe de rotation, 291, 293courbure

de l’espace-temps, 54, 134, 212, 214scalaire, 223, 229, 230, 354, 380,

381scalaire de, 246, 251spatiale, 132, 133, 310, 311, 316,

318, 320, 342, 344, 345covariant (vecteur), 66, 67, 74, 200covecteur, 66

derivee covariante d’un, 204creation de paire particule-antiparticule,

190, 192, 195crete de l’onde lumineuse, 108, 109, 321critique

angle d’echappement, 146, 147, 151,152

densite, 310, 311, 318, 320Crommelin (Andrew), 155curviligne (coordonnee), 54, 57, 64, 200

De Sitter (univers de), 317debat Shapley/Curtis, 282decalage vers le rouge, 109, 114, 283,

284, 289, 291, 293, 294, 322gravitationnel, 108, 109, 112–114,

147, 168, 170, 176, 178, 321–324, 327, 328

infini, 440–442decouplage, 331–333, 335, 337–340, 342

des neutrinos, 331–333, 337–340des photons, 333, 339, 340, 342

delta de Kronecker, 45, 46, 48, 73, 91densite

de charge, 78, 79, 84, 88, 232, 363,410

de courant, 79, 84d’energie, 411gravito-magnetique, 259, 265

critique, 310, 311, 318, 320, 332d’energie, 233–236, 239, 242, 243,

299, 308–311, 388, 390de courbure, 259, 265gravito-electrique, 259

de masse, 232, 242, 246, 271, 342de quantite de mouvement, 233, 242,

243deplacement (quadri-vecteur), 32, 33derivee covariante, 200, 201, 203–205,

209, 210, 214, 217, 247, 250,251

d’un covecteur, 204de la metrique, 203, 209, 210, 247,

250, 251d’un vecteur, 204

derivee d’un tenseur, 69descendre un indice, 66, 71detecteur d’onde gravitationnelle, 369,

386deuterium, 332deuxieme principe de la thermodynamique,

190, 198, 455, 462deviation

angle de, 161, 164des geodesiques, 212–216, 220, 222,

247, 248diagramme

d’espace-temps, 4, 7, 9, 17, 22, 29,30, 32, 35, 93, 109, 176, 177,180, 182, 183, 188, 289, 320

de Hertzsprung-Russel, 288de plongement, 132–134, 137, 142

disque d’accretion, 118, 119, 423distance, 55, 106, 107, 110, 114, 169,

173, 180, 184, 320, 342angulaire, 327echelle de, 282–284, 286–288de luminosite, 322, 323, 325, 327radiale, 107, 110, 114, 132, 134, 142,

168, 172, 173, 181, 296Terre-Lune, 287Terre-Soleil, 287

distorsion, 166domination

de la matiere, 311, 316, 317, 330,333–335, 342, 344, 345, 347,349, 351

du rayonnement, 317, 330, 333, 335,337, 344, 345, 349

du vide, 317, 318, 330, 342, 344,345, 349

Doppler (effet), 6relativiste, 9

dynamique (relation fondamentale de la),2, 78, 213, 214, 431

Dyson (Sir Frank), 155

E = mc2, 35echappement (angle critique d’), 146, 147,

151, 152eclipse, 9, 10, 155

de Lune, 286eclipse de 1919, 9, 10, 155Eddington (Arthur), 155Eddington-Finkelstein

coordonnees de, 190effet

Doppler, 6Doppler relativiste, 9, 293Lense-Thirring, 412–414, 418de maree, 7, 10, 15, 212, 213, 216,

220, 230, 247Mossbauer, 6phare, 30projecteur, 30Shapiro, 165, 166

ii


ii

ii


effets de maree, 230effondrement gravitationnel, 118Einstein

Albert, 3, 5, 6, 8, 10, 35, 80, 130,136, 155, 156, 248, 317

anneau d’, 156, 157, 162, 164, 166convention d’, 44equation d’, 8, 106, 200, 222, 223,

246–249, 252, 253, 256–259, 265,268–270, 278–280, 282, 296, 298,299, 303, 308–310, 312, 354–357, 359, 363, 364, 366, 370,376, 378, 379, 386, 410, 411,415, 421, 422, 428

tenseur d’, 246, 247, 256, 379electromagnetique

analogie, 355, 363, 410onde, 15

electron, 42, 78, 331–333, 339electron-volt, 15, 336electrostatique, 78, 106, 265

potentiel, 81ellipse, 130elliptique (galaxie), 283, 293energie

conservation de l’, 117, 121, 122,144, 232, 234, 235, 237, 243,256, 308, 311, 313, 316, 336,378, 379, 387, 390, 430, 431,435, 452, 453, 456

densite d’, 233–236, 239, 242, 243,299, 308–311, 388, 390

flux d’, 234, 242gravitationnelle, 378, 379-impulsion (scalaire), 297-impulsion (tenseur), 297, 298, 300de liaison, 3de masse, 232negative, 190, 191, 452, 453, 455,

458, 462noire, 285d’une onde gravitationnelle, 378, 380,

381d’un photon, 35potentielle, 311, 316, 317potentielle d’interaction, 235potentielle effective, 117, 118, 125,

144, 145, 149, 431, 432, 452,453, 462

relativiste, 34relativiste par unite de masse, 116,

117, 119, 126, 127, 184, 452du vide, 249, 253, 265, 271, 278,

285, 297, 309–311, 317, 318,328, 333, 342, 344, 345, 349,352

entraınement des referentiels inertiels,418, 431, 432

entropie, 190, 193, 198, 339, 463d’un trou noir, 190, 193, 198, 454,

455, 462

Eotvos (Lorand), 3equation

de continuite, 236, 240d’Einstein, 8, 106, 200, 222, 223,

246–249, 252, 253, 256–259, 265,268–270, 278–280, 282, 296, 298,299, 303, 308–310, 312, 354–357, 359, 363, 364, 366, 370,376, 378, 379, 386, 410, 411,415, 421, 422, 428

d’etat, 280, 309d’Euler, 236d’Euler-Lagrange, 90, 94, 95de Friedmann, 310, 311, 314, 315,

317, 325, 330des geodesiques, 90–92, 95–98, 100,

101, 103, 104, 111, 116, 120,124, 144, 202, 203, 206, 214,215, 217, 218, 228, 253, 257,259, 264, 270, 271, 367, 373,411, 416, 430, 432, 438

locale, 232, 236de Maxwell, 15, 49, 78, 81, 87, 88,

200, 203, 210, 279, 411gravitationnelle, 411

de Maxwell-Ampere, 49, 81de Maxwell-Faraday, 88de Maxwell-Gauss, 78, 80–82, 88metrique, 17, 18, 29, 30du mouvement, 296

equatoriel, 431, 432, 435radial, 144, 145

d’Oppenheimer-Volkoff, 280de Poisson, 75

equilibre thermique, 309, 330–333, 335,337–340, 343, 346, 351

equivalencemasse-energie, 35, 232principe d’, 5, 6, 9, 10, 109, 113,

114, 203, 212Eratosthene, 286, 287ere radiative, 330, 342ergoregion, 440–442, 452, 453, 455, 458,

462ESA, 282, 369espace

coordonnee d’, 14, 32genre, 17, 26, 30profond, 29

espace-tempscoordonnee d’, 14, 32courbure de l’, 54, 134, 212, 214,

222, 246, 248diagramme d’, 4, 7, 9, 17, 22, 29,

30, 32, 35, 93, 109, 176, 177,180, 182, 183, 188, 289, 320

geometrie de l’, 8, 14, 54, 268intervalle d’, 17, 26, 27, 30, 33, 47de Kerr, 420–422, 430, 431, 435–

438, 440, 441, 443, 449, 450metrique de l’, 17

ii


ii

ii


plat, 144, 148–150, 152de Schwarzschild, 107, 114, 116–118,

120, 130, 132, 133, 137, 144,145, 147, 148, 150–152, 154,190, 194, 200, 220, 249, 440,448–450

etoile(s), 282amas d’, 282, 288a neutrons, 9, 10, 107, 114, 118,

127, 141, 402, 408, 418, 421,427, 428

variable, 282Euclide, 212euclidienne (geometrie), 7, 8Euler-Lagrange (equations de), 90, 94,

95evaporation d’un trou noir, 193, 197, 198evenement(s), 14–18, 21–23, 26–30, 32,

106horizon des, 168, 171, 175–177, 278,

279, 386, 440–443, 446, 447,449, 450, 453–455, 457, 459,460, 462, 463

expansion de l’Univers, 40, 248, 283–285, 290, 293, 296, 305, 308,310, 317, 318, 320–322, 331,333, 338, 349

experience de Pound & Rebka, 6extreme, 428, 438, 441, 449, 450, 452–

454, 462, 463

facteur d’echelle, 296, 297, 308–310, 314,317, 318, 320, 321, 323, 330,331, 333, 334, 344, 347

facteur de Boltzmann, 332faible (champ), 112–114famille de neutrinos, 340Fermi (constante de), 331fermion, 335, 339, 340feuille de calcul en metrique diagonale,

269, 271, 273–275, 277–280, 297,300, 305, 308, 313, 380, 381,384, 418, 422

feuille de caoutchouc, 134, 138–140fission nucleaire, 119Flamm (paraboloıde de), 133, 134, 142fluctuation du CMB, 342, 343, 347, 348fluctuation quantique, 190–192fluide parfait, 235, 236, 238, 239, 242,

243, 253, 258, 259, 263, 410flux

d’energie, 234, 242, 388, 389, 395de quantite de mouvement, 234, 237

fonctionhyperbolique, 25, 42tremblotement, 131, 136

forcede gravitation, 2gravitationnelle, 5, 6de Lorentz, 46, 49, 78, 81, 88, 412

gravitationnelle, 411, 416, 418

friction, 118fusion nucleaire, 119futur, 170, 171, 175, 177, 440, 442, 443,

453

galaxie(s), 283–285, 290, 291, 293, 294amas de, 283, 291, 294elliptique, 283, 293spirale, 283, 291, 293

Galilee, 3Gamow, « My Worldline », 317Gamow (relation de), 331, 333, 338, 340Gauss

loi de, 76, 232, 246theoreme de, 78, 79, 82, 291, 378

gaz parfait, 235, 242, 342gel des reactions, 331genre

espace, 17, 26, 30, 170, 171, 182lumiere, 17, 30, 92, 170, 171temps, 17, 26, 30, 90, 170, 171, 175,

180–182, 185, 188geodesique, 3–5, 7, 8, 90–92, 95, 96, 116,

120, 127, 134, 144, 202, 210,212, 430

deviation des, 212–216, 220, 222,247, 248

equation des, 90–92, 95–98, 100, 101,103, 104, 111, 116, 120, 124,144, 202, 203, 206, 214, 215,217, 218, 228, 253, 257, 259,264, 270, 271, 367, 373, 411,416, 430, 432, 438

hypothese, 3–5, 8, 90, 256geometrie

de l’espace-temps, 8, 14, 54, 268euclidienne, 7, 8, 17plane, 7, 8, 17de Schwarzschild, 200, 423spherique, 299

gluon, 335gradient, 66, 70

absolu, 200, 201, 203–205, 209, 210d’un scalaire, 200d’un tenseur, 69, 78, 200, 201d’un vecteur, 200

grand cercle, 3, 8, 63grande unification (theorie de), 344–346,

350, 351gravitation

force de, 2, 5, 6loi de Newton de la, 78, 108, 112,

232quantique, 190

gravitation universelleconstante de la, 2, 8–10, 107loi de la, 2, 9, 10, 107, 401

gravito-electriquechamp, 259, 265, 285, 411, 432densite d’energie, 259potentiel, 259

ii


ii

ii


gravito-magnetiquechamp, 259, 265, 410, 411, 431, 432densite de courant, 259, 265moment, 412, 416, 417

Gravity Probe B, 413, 414Groupe local de galaxies, 118GUT, 344–346, 350, 351gyroscope, 412, 413

precession d’un, 412, 413, 417, 418GZK

coupure, 41paradoxe, 41

halo, 291halo galactique, 157haltere, 375, 398, 400, 401, 404, 405Hartle, « Gravity », 40, 152, 188, 351,

455, 463Hawking, 190, 192

rayonnement de, 190–192, 455Stephen, 190

Heisenberg (relation d’incertitude d’), 191helium, 332, 333Helliwell (Thomas), 378Hertzsprung (Ejnar), 288Hertzsprung-Russel (diagramme de), 288Higgs

boson de, 344–346champ de, 344, 345, 352mecanisme de, 345

Hipparcos, 282, 288, 292HiRes, 41Hobson, Efstathiou & Lasenby, « Relati-

vite generale », 279, 280, 346,352

homogeneite de l’Univers, 284, 296horizon

des evenements, 168, 171, 175–178,180–183, 185, 188, 190–194, 197,198, 278, 279, 386, 440–443,446, 447, 449, 450, 453–455,457, 459, 460, 462, 463

aire de l’, 190, 192, 193, 197probleme de l’, 343, 345, 346

horloge, 14, 15, 18, 21, 22, 27, 30, 91,108

a lumiere, 22, 29-maıtresse, 16synchronisation des, 15, 16, 21, 54,

108, 145, 170, 180HR (diagramme), voir Hertzsprung-RusselHubble

constante de, 283, 284, 290, 310,311, 317, 318, 335

Edwin, 248, 282, 283, 317loi de, 283, 284, 290, 293, 324parametre de, 310, 317, 318telescope spatial, 158, 283, 292

Hulse (Russel), 141, 402hydrogene, 291, 333

ionisation de l’, 333, 339

hypothesede la censure cosmique, 249geocentrique, 296geodesique, 3–5, 8, 90, 256

Icarus (projet), 166identite de Bianchi, 223, 227, 247, 251,

256images multiples, 156, 158impact (parametre d’), 144, 145, 147,

148indice

contraction, 68, 69, 73, 75, 223descendre un, 66, 71, 83, 86, 257libre, 46, 50, 51monter un, 83, 86, 257muet, 46, 47, 50, 352renommer des, 47repetes (sommation des), 44

inertie (principe d’), 15inertiel(le)

referentiel, 15–19, 21, 25–30, 35, 36,38, 42, 54

referentiel localement, 68, 202, 203,205, 207, 209, 210, 220, 222–225, 227, 232–238, 240, 242,243, 250, 253, 352

inflation, 344–346, 349–352interaction

electrofaible, 344electromagnetique, 344faible, 331, 344forte, 344

intervalle d’espace-temps, 17, 26, 27, 30,33, 47

inverse de la metrique, 67, 72, 260ionisation de l’hydrogene, 333, 339isotropie de l’Univers, 284, 293, 296

jauge, 356liberte de, 356, 362, 363de Lorenz, 88, 356, 362–364, 366,

367, 370, 373, 375, 379, 386,392, 410, 414

transformation de, 88, 355, 356, 360–363, 366, 371, 372, 388, 392,408

transverse et de trace nulle, 366,367, 371–373, 375, 388, 392,393, 395, 398, 408

TT, 366, 367, 371–373, 375, 388,392, 393, 395, 398, 408

Jefferson Physical Laboratory, 6joule, 336

Kant (Emmanuel, 282Kepler (troisieme loi de), 118, 124, 432,

436Kerr

espace-temps de, 420–422, 430, 431,435–438, 440, 441, 443, 449,450

ii


ii

ii


metrique de, 420–423, 427, 428, 430–432, 434, 440, 442, 443, 446,448

Roy, 422

trou noir de, 438, 440, 441, 449,450, 452–455, 460–463

Kronecker

delta de, 45, 46, 48, 73, 91

symbole de, 45, 46, 48, 73, 91

Kruskal-Szekeres (coordonnees de), 180,182, 183, 186, 187, 190

LAGEOS, 414

lagrangien, 90, 91, 102, 352

laplacien, 253

Large Hadron Collider (LHC), 198, 346

Laser Interferometer Space Antenna (LISA),369

Laser Interferometry Gravitational waveObservatory (LIGO), 369, 384,386

Leavitt (Henrietta), 282

Lemaıtre (Georges), 283, 317

Lense-Thirring (effet), 412–414, 418

lentille gravitationnelle, 156–159, 162, 164,166, 285, 291

lepton, 335

Lewiston (observatoire de), 292

LHC, 198, 346

liaison (energie de), 3

liberte de jauge, 356, 362, 363

libre

chute, 4–8, 10, 111, 210

corps, 15, 19, 90

indice, 46, 50, 51

ligne d’Univers, 17, 18, 22, 23, 27–30,32, 33, 35, 36, 42, 110, 114

des photons, 154, 182

LIGO, 369, 384, 386

limite

en champ faible, 247, 256–262, 264,265, 268, 271, 310, 354–357,359, 360, 363, 364, 366, 376,379, 410, 415, 420–422, 426–428

newtonienne, 232, 246–248, 253

de staticite, 441

LISA, 369

lithium, 332

localement inertiel (referentiel), 68, 202,203, 205, 207, 209, 210, 220,222–225, 227, 232–238, 240, 242,243, 250, 253, 352

loi

des aires, 118, 124, 432, 436

de Coulomb, 78

de Gauss, 76, 232, 246

des gaz parfaits, 242

de la gravitation de Newton, 78,232

de la gravitation universelle, 2, 9,10, 107, 401

de Hubble, 283, 284, 290, 293, 324de Maxwell-Gauss, 49de Stefan-Boltzmann, 119, 197, 309,

335de Wien, 198

longueurcontraction des, 27contraction relativiste des, 18, 27,

79d’onde, 42, 176au repos, 27

longueur d’onde, 198, 283, 289, 293Lorentz

contraction de, 18, 27, 79force de, 46, 49, 78, 81, 88, 412

gravitationnelle, 411, 416, 418transformation de, 16, 18, 21, 24–

28, 30, 32, 34, 38, 42, 44, 46,47, 51, 57, 62, 67, 69, 88

transformation de (inverse), 16, 18,22, 23, 44, 47, 79

Lorenz (jauge de), 88, 356, 362–364, 366,367, 370, 373, 375, 379, 386,392, 410, 414

lumierecone de, 17, 176, 182, 183genre, 17, 30, 92horloge a, 22, 29quadri-quantite de mouvement de

la, 146, 147vitesse de la, 4, 15, 16, 21–23, 92,

101, 354, 410luminosite, 157, 159, 163–166, 282, 283,

288, 292, 293, 389, 408distance de, 322, 323, 325, 327relation periode-, 282, 288

Lune, 7

macho, 157, 164, 165MACHO (experience), 159magnetostatique, 265magnitude, 292

absolue, 292apparente, 292

mareeeffets de, 7, 10, 15, 212, 213, 216,

220, 230, 247Mars, 141

precession du perihelie de, 141Martin, « General Relativity », 378masse, 34, 271, 422

densite de, 232, 242, 246, 271, 342energie de, 232gravitationnelle, 2, 3, 5inertielle, 2, 3, 5invariante, 34irreductible, 454, 455, 460des neutrinos, 340newtonienne, 271

ii


ii

ii


volumique, 232, 242, 246, 271, 342massive compact halo objects, 157matiere, 285, 309–311, 316–318, 330, 331,

333–335, 339, 340baryonique, 332, 333, 340domination de la, 311, 316, 317,

330, 333–335, 342, 344, 345,347, 349, 351

noire, 285, 291, 292, 309, 333, 340froide, 333

visible, 285matricielle (notation), 44Maxwell (equations de), 15, 49, 78, 81,

87, 88, 200, 203, 210, 279, 411Maxwell-Ampere (equation de), 49, 81Maxwell-Faraday (equation de), 88Maxwell-Gauss (equation de), 49, 78, 80–

82, 88mecanique newtonienne, 5, 6, 10, 34, 112,

116–118, 127, 130, 131, 155,168, 176, 212–214, 216, 220,259, 291, 406, 408, 428

mecanisme de Blandford-Znajeke, 455,463

mecanisme de Higgs, 345membrane (paradigme de la), 455, 463Mercure, 130, 165

avance du perihelie, 130, 132, 136metre de temps, 15, 20, 108metre deroulant, 321, 327metrique, 282, 321, 342, 410, 430

derivee covariante de la, 247, 250,251

derivee covariante, 203, 209, 210diagonale, 269, 272, 297

feuille de calcul en, 269, 271, 273–275, 277–280, 297, 300, 305,308, 313, 380, 381, 384, 418,422

equation, 17, 18, 29, 30de l’espace-temps, 17d’essai, 296inverse de la, 67, 72, 260de Kerr, 420–423, 427, 428, 430–

432, 434, 440, 442, 443, 446,448

pathologie de, 168, 169, 171, 180,182

perturbation de la, 257, 259–261,263–265, 354, 355, 357, 360,363, 364, 367, 376, 379, 386,400, 408, 410, 411, 414, 420

de Schwarzschild, 106–109, 114, 116,118, 121, 124, 128, 132, 137,141, 144, 147, 150, 168–170,172, 175, 176, 180–183, 185,186, 190, 206, 259, 265, 268,270, 271, 278, 279, 421–423,428

tenseur, 45, 55–57, 116, 121, 259,265, 355

Milne (univers de), 305, 306mirage gravitationnel, 156, 158Misner, Thorne & Wheeler, « Gravita-

tion », 4, 256, 408modele heliocentrique, 286moment cinetique, 412, 413, 417, 418,

420, 421, 423, 453, 454, 460,462

conservation du, 119relativiste par unite de masse, 116,

118, 119, 127, 184, 421, 422,430, 431, 452, 454, 462, 463

moment d’inertie, 398, 420tenseur de, 398

moment gravito-magnetique, 412, 416,417

moment magnetique, 412, 416moment quadrupolaire reduit, 387, 388,

395, 398, 400, 404, 405, 408Mossbauer (effet), 6moteur, 198muet (indice), 46, 47, 50muon, 42

naine blanche, 114NASA, 369naturelle (base), 55–58, 60, 63nebuleuse, 282, 283neutrino, 42, 192, 309, 330–333, 335–340

famille de, 340masse des, 340

neutron(s), 3, 40, 331, 332desintegration du, 332, 340etoile a, 9, 10, 107, 114, 118, 127,

141, 402, 408, 418, 421, 427,428

New Gravitational Wave Observatory (NGO),369

NewtonIsaac, 3, 7loi de la gravitation de, 78, 108,

112, 232premiere loi de, 15, 19, 203

newtonien(ne)limite, 232, 246–248, 253masse, 271mecanique, 5, 6, 10, 34, 112, 116–

118, 127, 130, 131, 155, 168,176, 212–214, 216, 220, 259,291, 406, 408, 428

orbite, 117, 118, 122, 130post-, 141potentiel, 259, 387

NGC 2403, 291, 293NGC 4526, 283NGO, 369Noether (theoreme de), 256non inertiel (referentiel), 15, 16norme, 33, 34, 38, 40, 45notation

indicielle, 44, 213

ii


ii

ii


matricielle, 44noyau atomique, 78nucleaire

fission, 119fusion, 119

nucleosynthese primordiale, 332, 349

objet compact, 118observateur, 14

de moment cinetique nul, 450referentiel local de l’, 145, 150robot, 180–182, 184, 188uniformement accelere, 177

observatoire de Lewiston, 292Ohanian & Ruffini, « Gravitation and

Spacetime », 198Olbers (paradoxe d’), 293onde

electromagnetique, 15, 402gravitationnelle, 354, 356, 364, 366–

369, 373–376, 378–381, 384, 386,400

amplitude d’une, 369, 372, 375,386, 401, 408

detecteur d’, 369, 386energie d’une, 378, 380, 381polarisation d’une, 367, 368, 374–

376, 379, 380, 384, 398, 400,401, 408

longueur d’, 42lumineuse, 15

crete de l’, 108, 109, 321plane, 366–368, 370, 372, 376

Oppenheimer-Volkoff (equation d’), 280orbite, 116, 117

circulaire, 117, 118, 122–125, 127,128

stable de plus faible rayon, 118,119, 122, 123, 125, 126, 432,433, 437

liee, 117newtonienne, 117, 118, 122, 130non liee, 117de photons, 144, 154de Schwarzschild, 120, 138–140spirale, 117terrestre, 282, 292

ordinateur (calcul par), 134, 142orthogonal (referentiel localement), 145,

150, 191, 253oscillateur harmonique, 131, 154, 328

force, 154, 318

paraboliques (coordonnees), 60paraboloıde, 64

de Flamm, 133, 134, 142paradigme de la membrane, 455, 463paradoxe d’Olbers, 293paradoxe GZK, 41parallaxe, 282, 283, 292parametre

cosmologique, 311, 315, 322, 323,330

de courbure, 311de Hubble, 310, 317, 318d’impact, 144, 145, 147, 148de vitesse, 25

parfaitfluide, 258, 259, 263, 410gaz, 342

particule, 190creation de paire antiparticule-, 190,

192, 195massive, 116, 126

pathologie de la metrique, 168, 169, 171,180, 182

Pauli (principe d’exclusion de), 335Penrose (processus de), 452–455Penrose (Roger), 249, 443, 452periastre, 141perigee, 141perihelie (precession du), 130, 132–134,

136, 141periode

orbitale, 118, 124, 127, 141, 402,403, 406, 408

relation luminosite-, 282, 288perturbation, 131, 133, 136, 141, 154,

160de la metrique, 257, 259–261, 263–

265, 354, 355, 357, 360, 363,364, 367, 376, 379, 386, 400,408, 410, 411, 414, 420

de trace opposee, 354–356, 358, 362,364, 367, 370, 387, 388

phare (effet), 30photon, 35, 42, 144–149, 151, 152, 154,

192, 309, 331–333energie d’un, 35ligne d’univers des, 154, 182orbite de, 144, 154quadri-quantite de mouvement d’un,

35physique statistique, 193pion, 40, 42Planck (constante de), 192, 196plaque massive infinie, 220, 265plat (espace-temps), 144, 148–150, 152platitude (probleme de la), 343, 345, 346,

349plongement (diagramme de), 132–134,

137, 142pluie (coordonnees de), 180–183, 185,

448, 450poids, 5poils des trous noirs, 279, 428Poisson (equation de), 75polaires (coordonnees), 55, 58, 63, 70,

71, 75, 132, 137, 210, 220polarisation circulaire, 401polarisation d’une onde gravitationnelle,

367, 368, 374–376, 379, 380,

ii


ii

ii


384, 398, 400, 401, 408position (quadri-vecteur), 32positon, 42, 331, 332, 339post-newtonien, 141potentiel

effectif, 117, 118, 125, 130, 144, 145,149, 431, 432, 452, 453, 462

electrostatique, 81, 355, 363, 386,410, 411, 420

gravitationnel, 192, 213, 232, 246,253, 258, 411

gravito-electrique, 259newtonien, 259, 387quadri-, 88vecteur, 86, 355

gravitationnel, 411poubelle, 455Pound & Rebka (experience de), 6poussiere, 232–235, 238, 257precession

geodetique, 413, 414, 418d’un gyroscope, 412, 413, 417, 418de Lense-Thirring, 412–414, 418

premier principe de la thermodynamique,309, 340

premiere loi de Newton, 15, 19, 203pression, 234–236, 239, 242, 243, 271,

308–310, 342des photons, 309du vide, 309

principede censure cosmique, 443d’equivalence, 5, 6, 9, 10, 109, 113,

114, 203, 212d’exclusion de Pauli, 335fondamental de la dynamique, 2,

78, 213, 214, 431d’inertie, 15de relativite, 15, 21, 34, 38, 39, 78de symetrie, 15

Principe (Afrique), 155principe cosmologique, 284, 293, 296prix Nobel de physique, 402probleme

de l’horizon, 343, 345, 346de la platitude, 343, 345, 346, 349

processus de Penrose, 452–455produit scalaire, 33, 35, 40, 41, 45, 55,

67projecteur (effet), 30projet Icarus, 166propre (temps), 18, 27, 32, 107–109, 114,

144proton, 3, 40, 41, 78, 331–333PSR 1913+16, 402, 403, 408PSR B1913+16, 141PSR J0737-3039, 408Ptolemee, 286puissance rayonnee, 389, 395, 396, 401,

402, 405, 408pulsar, 141, 402, 408

binaire, 402, 408Pythagore (theoreme de), 17, 22, 55, 63

Q0957+561, 166quadri-

acceleration, 210courant, 46, 78, 79divergence, 379force, 242potentiel, 88quantite de mouvement, 34, 35, 38–

40, 42, 49, 145, 191, 195conservation de la, 34, 38, 39de la lumiere, 146, 147

vecteur, 32–36, 39, 44, 45, 66, 150,201, 202

vecteur deplacement, 32, 33vecteur position, 32vitesse, 32, 33, 35–37, 111, 113, 116,

176, 191, 195, 202, 210, 222,238, 240, 242, 243, 247, 410

quantite de mouvementconservation de la, 34, 38, 39, 234,

235, 240, 241, 246, 256, 260,313, 378, 387

densite de, 233, 242, 243flux d’, 234, 237quadri-, 34, 35, 38–40, 42, 49, 145

de la lumiere, 146, 147relativiste, 34

quark, 335quasar, 166, 423

double, 166quasi-statique, 338, 339

radiale (distance), 107, 110, 114raie

a 21 cm, 291spectrale, 283, 321

rang d’un tenseur, 67, 200rasoir d’Ockham, 246rayon

circonferentiel, 107, 114, 117, 132,134, 142, 268, 269, 296, 305

cosmique, 40, 41de Schwarzschild, 106, 107, 168, 171de la Terre, 286

rayonnement, 285, 309–311, 314, 317, 318,330, 331, 340

d’un corps noir, 190, 192, 193, 197,198, 333, 335, 337

domination du, 317, 330, 333, 335,337, 344, 345, 349

d’un trou noir, 190–193, 197, 198rayonnement de fond cosmologique, 40,

41, 192, 248, 284, 291, 293,296, 322, 327, 328, 330, 333,338–340, 342, 343, 347, 348,351

rayonnement de Hawking, 190–192, 455rayons X, 118, 119

ii


ii

ii


recombinaison, 333redshift, 109, 114

gravitationnel, 108, 109, 112–114,147, 168, 170, 176, 178, 321–324, 327, 328

infini, 440–442referentiel, 14

en chute libre, 5–7, 10, 15, 191, 192,195, 210, 212–214, 216, 220,431

entraınement des, 418, 431, 432inertiel, 15–19, 21, 25–30, 35, 36,

38, 42, 54, 69, 75, 76localement inertiel, 68, 202, 203, 205,

207, 209, 210, 220, 222–225,227, 232–238, 240, 242, 243,250, 253, 352

localement orthogonal, 145, 150, 191,253

non inertiel, 15, 16regle de la main droite, 412, 417, 432regle de la main gauche, 412, 431, 432Reissner-Nordstrom (trou noir de), 271,

278, 279relation

fondamentale de la dynamique, 2,78, 213, 214

de Gamow, 331, 333, 338, 340periode-luminosite, 282, 288

relation d’incertituded’Heisenberg, 191

relativisteenergie, 116, 117, 119, 126, 127, 184,

452moment cinetique, 116, 118, 119,

127, 184, 421, 422, 430, 431,452, 454, 462, 463

relativiteprincipe de, 15, 21, 34, 38, 39, 78restreinte, 322

repos (longueur au), 27reseaux de spin (theorie de), 193ressort, 311, 398retard de l’echo radar, 165, 166RG (systeme d’unites), 15, 20, 29, 46,

48, 88, 107, 108, 197, 235, 242,283, 289, 335, 336, 350, 384,402, 411, 412, 418

Ricci (tenseur de), 223, 228–230, 246,250, 251, 253, 258, 262, 269,273, 280, 297, 300, 354, 357,363, 380, 381, 384, 422

Riemann (tenseur de), 212, 215, 218–220, 222–230, 232, 246–251, 253,256, 257, 261, 262, 278, 280,354, 355, 357, 361, 364, 380

Rindler, « Relativity », 177, 306robot observateur, 180–182, 184, 188rotation, 25Runge-Kutta, 449Russel (Henty), 288

scalaire, 70, 78, 200, 223courbure, 223, 229, 230de courbure, 246, 251, 354, 380, 381energie-impulsion, 297gradient d’un, 200produit, 33, 35, 40, 41, 45, 55, 67

Schwarzschildcoordonnee de, 108, 210coordonnee radiale de, 106, 107, 114,

168, 169, 172, 174coordonnee temporelle de, 108, 124,

144, 145, 150, 169–171, 176,177, 180, 181, 184, 188, 190,269, 270

espace-temps de, 107, 114, 116–118,120, 130, 132, 133, 137, 144,145, 147, 148, 150–152, 154,190, 194, 200, 220, 249, 440,448–450

geometrie de, 200, 423Karl, 106metrique de, 106–109, 114, 116, 118,

121, 124, 128, 132, 137, 141,144, 147, 150, 168–170, 172,175, 176, 180–183, 185, 186,190, 206, 259, 265, 268, 270,271, 278, 279, 421–423, 428

orbite de, 120, 138–140rayon de, 106, 107, 168, 171trou noir de, 128

second principe de la thermodynamique,190, 198, 455, 462

section efficace, 331, 333, 337semilog (coordonnees), 64, 210, 230separation (quadri-vecteur), 214, 217, 222separation (vecteur), 213seuil de reaction, 40Shapiro (effet), 165, 166singularite, 190, 249

geometrique, 443, 449, 450nue, 443, 454, 462

sinusoıdales (coordonnees), 64, 210Sirius, 114smartphone, 10Sobral, 155Soleil, 402, 407, 428solstice d’ete, 286sommation des indices repetes, 44son (vitesse du), 342sonde Cassini, 165source compacte, 386, 387, 390source lente, 410source stationnaire, 258spectre de corps noir, 40, 41sphere, 57, 63, 132, 137, 142, 223, 228–

230surface d’une, 106, 107, 114

spin, 335, 340spirale (galaxie), 283, 291, 293standard (configuration), 16, 18, 21, 26–

28, 32, 36, 44

ii


ii

ii


staticite (limite de), 441station spatiale, 29, 30stationnaire

champ, 259, 264, 265source, 258, 259, 420

Stefan-Boltzmannconstante de, 119, 192, 197, 335loi de, 119, 197, 309, 335

Steinhardt (Paul), 346stress-energy, 234supernova, 283, 285, 384surface

de decalage vers le rouge infini, 440–442

d’une sphere, 57, 63, 106, 107, 114,132, 137, 142, 223, 228–230

Susskind, « Trous noirs : la guerre dessavants », 193

Syene, 286, 287symetrie, 222symbole

de Christoffel, 200–203, 205–207, 209,210, 214, 215, 217–220, 222–224, 227–230, 234, 253, 261,269, 271, 277–280, 308, 313,418

de Kronecker, 45, 46, 48, 73, 91symetrie, 15, 116, 120, 201, 205, 256,

265, 268, 282, 296, 366brisure de, 344, 345cylindrique, 421, 422, 428principe de, 15spherique, 57, 106, 114, 120, 158,

253, 268–270, 272, 278, 279,296, 420, 422

synchronisation des horloges, 15, 16, 21,54, 108, 145, 170, 180

systeme d’unites RG, 15, 20, 29, 46, 48,88, 107, 108, 197, 235, 242,283, 289, 335, 336, 350, 384,402, 411, 412, 418

Systeme International d’unites, 15, 20,35, 196, 335–337

systeme de coordonnees, 54spheriques, 298

Systeme solaire, 283, 286, 408

t-metre, 108, 109, 170taux de reaction, 331, 337Taylor (Joseph), 141, 402Taylor & Wheeler, « Exploring Black

Holes », 180telescope spatial Hubble (HST), 158, 283,

292temperature, 190, 193

d’un trou noir, 190, 192, 193, 197,198, 463

tempscoordonnee de, 14, 21, 32, 296genre, 17, 26, 30, 90metre de, 15, 20

propre, 18, 27, 32, 107–109, 114,144, 248

retarde, 387de vie d’un trou noir, 192, 193, 197

temps propre, 169–171, 174–177, 222,440

tenseur, 67, 69, 78, 200, 222, 232, 378du champ electromagnetique, 46,

51, 52, 76, 79–81, 86, 88, 242,278, 355

derivee covariante d’un, 201derivee d’un, 69d’Einstein, 246, 247, 256, 379energie-impulsion, 88, 232–236, 238,

239, 242, 243, 246, 249, 253,257–259, 263, 265, 282, 285,297, 298, 300, 308, 309, 313,352, 378, 379, 384, 410

gradient d’un, 69, 78, 200metrique, 45, 55–57, 116, 121, 259,

265, 355de moment d’inertie, 398moment quadrupolaire reduit, 387,

388, 395, 398, 400, 404, 405,408

rang d’un, 67, 200de Ricci, 223, 228–230, 246, 250,

251, 253, 258, 262, 269, 273,280, 297, 300, 354, 357, 363,380, 381, 384, 422

de Riemann, 212, 215, 218–220, 222–230, 232, 246–251, 253, 256,257, 261, 262, 278, 280, 354,355, 357, 361, 364, 380

trace d’un, 75Terre, 141, 408, 418, 428

orbite de la, 282, 292precession du perihelie de, 141rayon de la, 286

Terre-Lune (distance), 287Terre-Soleil (distance), 287theoreme

de Birkhoff, 270, 271, 278de Gauss, 78, 79, 82, 291, 378de Noether, 256de Pythagore, 17, 22, 55, 63du Viriel, 291, 294

theoriedes cordes, 193, 198de grande unification, 344–346, 350,

351quantique des champs, 190, 191, 328des reseaux de spins, 193

thermodynamiquepremier principe de la, 309, 340second principe de la, 190, 198, 455,

462Thorne, Price & McDonald, « Black Holes :

The Membrane Paradigm »,455, 463

topologie de l’Univers, 299

ii


ii

ii


trace d’un tenseur, 75

trace opposee (perturbation de), 354–356, 358, 362, 364, 367, 370,387, 388

train, 21

transformation

de jauge, 88, 355, 356, 360–363, 366,371, 372, 388, 392, 408

de Lorentz, 16, 18, 21, 24–28, 30,32, 34, 38, 42, 44, 46, 47, 51,57, 62, 67, 69, 88

de Lorentz inverse, 16, 18, 22, 23,44, 47, 79

des vitesses, 18, 28, 34, 38, 42

transit de Venus, 287

transition de phase, 344

transverse-traceless, voir jauge transverseet de trace nulle

tremblotement (fonction), 131, 136

troisieme loi de Kepler, 118, 124, 432,436

trou noir, 108, 118, 119, 127, 128, 130,133, 147, 152, 168–170, 175,176, 178, 180, 182, 183, 188,190–193, 196–198, 210, 230, 369,386, 421–423, 427, 440, 450

coalescence de, 198

entropie d’un, 190, 193, 198, 454,455, 462

evaporation d’un, 193, 197, 198

de Kerr, 438, 440, 441, 449, 450,452–455, 460–463

extreme, 428, 438, 441, 449, 450,452–454, 462, 463

poils d’un, 279, 428

rayonnement d’un, 190–193, 197, 198

en rotation, 410, 420, 421, 428

de Schwarzschild, 128

supermassif, 127, 176, 398, 423

temperature d’un, 190, 192, 193,197, 198, 463

temps de vie d’un, 192, 193, 197

TT (jauge), 366, 367, 371–373, 375, 388,392, 393, 395, 398, 408

turbulence, 119

uniformement accelere (observateur), 177

unites

de la relativite generale (RG), 15,20, 29, 46, 48, 88, 107, 108,197, 283, 289, 335, 336, 350,384, 402, 411, 412, 418

du Systeme International, 15, 20,35, 196, 335–337

Univers

age de l’, 285, 293, 310, 317, 318,331, 333, 340

de De Sitter, 317

expansion de l’, 40, 283–285, 290,293, 296, 305, 308, 310, 317,

318, 320–322, 331, 333, 338,349

geometrie de l’, 282-ıle, 282ligne d’, 17, 18, 22, 23, 27–30, 32,

33, 35, 36, 42, 110, 114de Milne, 305, 306plat, 298statique, 248topologie de l’, 299visible, 320, 345

universite de Harvard, 6

vaisseau spatial, 29, 30, 42, 127, 171,176, 188, 210, 440

vecteurcontravariant, 66, 67, 74covariant, 66, 67, 74, 200dual, 66potentiel, 86quadri-, 32–36, 39, 44, 45, 66separation, 213, 214, 217, 222

Venus, 141, 165precession du perihelie de, 141transit de, 287

videdomination du, 317, 318, 330, 342,

344, 345, 349energie du, 249, 253, 265, 271, 278,

285, 309–311, 317, 318, 328,333, 342, 344, 345, 349, 352

Viriel (theoreme du), 291, 294viscosite, 235vitesse

angulaire, 440, 445, 450de la lumiere, 4, 15, 16, 21–23, 92,

101, 309, 354, 410, 441parametre de, 25quadri-, 32, 33, 35–37, 111, 113, 116radiale, 450du son, 342transformation des, 18, 28, 34, 38,

42Voie lactee, 282, 283

Wald, « General Relativity », 249Weinberg, Gravitation and Cosmology,

130Wheeler (John Archibald), 8, 279, 428Wheeler & Taylor, « Exploring Black

Holes », 180Wien (loi de), 198Wilkinson Microwave Anisotropy Probe,

322, 343, 351Wilson (Mont), 282wimp, 285, 291, 292, 335WMAP, 322, 343, 351

ZAMO, 450Zwicky (Fritz), 294

Qu’est-ce que la gravitation ?

La relativité générale, qui permet de décrire la gravita-tion dans un cadre qui respecte les lois de la relativitérestreinte, est une théorie complexe, dont l'étude et l'expertise sont longtemps restées réservées aux physi-ciens particulièrement courageux et amateurs de sensa-tions fortes mathématiques.

Depuis une vingtaine d'années, la situation a beaucoupchangé et plusieurs auteurs ont su extraire de cette complexité des façons beaucoup plus simples de présen-ter et d'enseigner cette discipline. Cette matière estaujourd'hui enseignée en début de master, voire en fin delicence universitaire, permettant à un grand nombre d'étudiants d'aborder des thèmes qui les intriguent oules font rêver : trous noirs, cosmologie, ondes gravita-tionnelles, etc.

La relativité générale à la portée de tous

L’ouvrage de Thomas A. Moore est un des premiers quiproposent un cours de relativité générale au niveau de la licence universitaire, en adaptant la présentation et lapédagogie à ce public pour qu’il découvre cette discipline,sans sacrifier pour autant le contenu : il est parfaitementadapté aussi pour les étudiants de master.

Un bon guide à travers les trous noirs

De la présentation des fondements de cette théorie à sesapplications les plus avancées (cosmologie, thermody-namique des trous noirs, ondes gravitationnelles), lelecteur est sans cesse guidé dans sa progression grâce à denombreux encadrés qui développent pas à pas la plupartdes calculs importants. Les aspects calculatoires sontclairement séparés des aspects conceptuels, dans le texteprincipal.


Richard Taillet, ancien élève de l’ENS de Lyon enPhysique, Docteur en Physique théorique, dans ledomaine de l’astrophysique, est agrégé de SciencesPhysiques, Professeur à l’Université de Savoie etchercheur en astrophysique au LAPTH (Laboratoired’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique). Il est l'auteur de plusieurs ouvrages de physique destinésaux étudiants de licence.

Relativitégénérale

M o o r e


M o o r e

a Un livre de relativité générale abordable pour tousa Une pédagogie modernea Un schéma introductif qui montre les liens entre

les conceptsa Des encadrés de synthèse avec des exercicesa Des problèmes à la fin des chapitres

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ISBN : 978-2-8041-8470-4

www.deboeck.com

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Relativité générale Relativité générale · Qu’est-ce que la gravitation ? La relativité générale, qui permet de décrire la gravita-tion dans un cadre qui respecte les