réponse sismique d'une couche de vase molle

par

A. PeckerJ.-P. Walter

Géodynamique et structureJ. SigismondE. D. F.-Septen

Dans le cadre d'une étude générale de faisabilitérelative aux fondations sur pieux d'ouvragesnucléaires, il est apparu important d'étudier lescaractéristiques de la réponse au séisme, êh I'absenced'ouvrages, du site envisagé. Les stratigraphies envi-sagées sont constituées d'une couche de sol defaibles caractéristiques mécaniques (vase) surmontantu ne couche résistante su r laq uelle viend raients'appuyer les pieux.

En I'absence d'un nombre suffisant d'enregistrementsréels de séismes en surface de telles couches de sol,if a été décidé d'effectuer l'étude sous un aspectnumérique. Les résultats de calcul obtenus ontensuite été comparés aux quelques enregistrementsréels disponibles.

A I'occasion de cette étude deux modèles decomportement de sol ont été étudiés : le modèleviscoélastique linéaire équivalent qui a fait I'objetd'utilisations intensives dans le domaine du génieparasismique et un modèle de sol non linéaire(modèle de Ramberg-Osgood).

1 Position du problème

Un séisme donne naissance au foyer, situé à quelqueskilomètres sous la surface de la terre, à un traind'ondes. Ces ondes vont se propager jusqu'auvoisinage de la surface terrestre. Le problème àrésoudre (fig. 1) est celui de la détermination dansles couches de sol proches de la surface du champdes déplacements u, des vitesses ù, des accélérationsû et des contraintes développées lors du passage desondes sismiques. La solution de ce problème com-porte les étapes suivantes :

mise en équation du problèffiê,choix de la loi de comportement du sol,détermination des conditions aux limites,mise en æuvre d'un schéma d'intég ration

numérique.

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1.1 Mise en équation du problème

Les. ondes émises au f oyer se propagent vers lasurface en traversant des terrains de moins en moinsrésistants. Elles subissent de ce fait des réfractionssuccessives qui modifient leur direction de propaga-tion initiale en la rendant subverticale. Dans le casextrême de la figure 1 où une couche de faiblescaractéristiques surmonte directement une couchetrès résistante, la direction de propagation des ondesdevient quasiment verticale dans la couchesupérieure. La réfraction des ondes à I'interfacesol-rocher donne naissance à des ondes de cisaille-ment polarisées SH et SV et à des ondes decompression. ll est alors justifié d'admettre que lemouvement horizontal résulte de la seule propagationverticale des ondes de cisaillement SH. Dans cesconditions, et pour une stratigraphie horizontale, leseul mouvement induit par le passage de I'onde SHest un mouvement horizontal d'amplitude u(t). Dési-gnant par :

p la masse volumique du sol;r(t) la contrainte de cisaillement développée sur

un plan horizontal.

L'équation différentielle régissant le mouvement de lacouche de sol s'écrit :

ô2u ôre

ôt'? :

a='

1.2 Loi de comportement du sol

Un échantillon de sol soumis au laboratoire à descycles de chargement cyclique présente une courbeeffort-déformation analogue à celle de la figure 2. Ondistingue une courbe de premier chargement (traittireté) et I'apparition, lors de décharges et rechargessuccessives, d'une boucle d'hystérésis. Plus la défor-mation maximale atteinte au cours du cycle augmenteplus le module de cisaillement sécant (pente de la

(1)

sor EfU

Fig. 1 Définition du problème

droite joignant I'origine à I'extrémité de la boucle)diminue. Cela signifie que sous chargement cyclique,tout comme sous chargement statique, le sol a uncomportement non linéaire. L'aire de la boucled'hystérésis, qui caractérise l'énergie dissipée par lematériau au cours du chargement, augmente lorsquela déformation maximale atteinte au cours du cycleaugmente. Enfin, on constate expérimentalement quela forme de la boucle d'hystérésis ne dépend pas dela fréquence de la sollicitation appriquée, ce quisignifie que I'amortissement du sol est de naturepurement hystérétique et non d'origine visqueuse.Pour rendre compte de ce type de comportement,nous avons choisi deux modèles, I'un linéaire, I'autrenon linéaire, dont les caractéristiques principales sontrappelées ci-dessous.

1.2.1 Modèle viscoélastique linéaire équivalent

Dans le modèle viscoélastique linéaire le'matériau estreprésenté d'un point de vue rhéorogique par unressort de raideur G et par un amortisseur decoeff icient rt. En plaçant ces deux éléments enparallèle on obtient le modèle de Kelvin-Voigt dontla loi de comportement s'écrit :

r: GI + rri e)où t et i représentent la déformation et la vitesse dedéformation. Dans ce type de modélisation, le coeffi-cient rt est en général pris constant, ce qui donnenaissance à un amortissement d'origine visqueuse, êhcontradiction avec les données expérimentales. pourtenir compte du comportement hystérétique du sot,il est possible d'introduire, selon une procéduredécrite par Jacobsen (1930), un amortissement vis-queux dit " équivalent,, permettant de ramener l'étuded'un matériau hystérétique à celui d'un matériauviscoélastique. Dans cette procédure, l'équivalence sefait sur l'égalité des énergies dissipées dans lematériau réel et, à résonance, dans re modèleviscoélastique. on déf init ainsi un pourcentaged'amortissement critique équivalent B :

AWlAWW 2rr G="y' max

où AW (aire de la boucle) représente l'énergie totaledissipée pendant un cycle et w l'énergie élastiqueemmagasinée au cours du même cycle. L'introductiond'un module de cisaillement comprexe G permetd'écrire la loi de comportement sous solticitationharmonique sous la forme :

Le module G est fonction des caractéristiques G etB du matériau. Le modèle de ce type le pluscouramment utilisé est celui développé par Lysmer(1e75) :

G*:c=[1-29"+2iBVî=z]. (s)

ce type de modèle permet de rendre compte descaractéristiques dissipatives du sor. La non-linéaritén'est prise en compte que de façon approchée à I'aided'un processus itératif (paragraphe 1.4.1 ). Le principalavantage de ce type de modèle est sa simplicité: laloi de comportement s'écrit formellement de façonéquivalente à celle de l'élasticité linéaire. ll permet decalculer de façon satisfaisante res accélérations etcontraintes maximales induites, tout au moins pourdes prof ils de sol présentant des caractéristiquesusuelles (Martin, 1975). Un des buts de l'étude étaitde tester sa validité pour des profits de sols mous.

1.2.2 Modèle non linéaire

une des f imitations principales du modèle viscoélasti-que linéaire équivalent est son incapacité à calculerles déformations permanentes résurtant d'une sollici-tation cyclique. Parmi le grand nombre de modèlesnon linéaires développés par divers auteurs, nousavons retenu le modèle de Ramberg-Osgood dont lavalidité a été vérifiée expérimentalement pour desmatériaux tels que vases et argiles (pecker-Dupas,1981). ce modèle découle des deux lois de Masing(1926) qui postulent que :

les déformations irréversibles du sot sont d'originepurement plastiques;

les courbes de recharge et décharge successivesse déduisent de la courbe de premier chargement parune affinité d'un facteur 2 sur les échelles horizontale(déformation) et verticale (contrainte).D'un point de vue rhéologique, lwan (1967) a montréqu'un matériau satisfaisant aux lois de Masing peutêtre représenté par un ensembte de ressorts et defrotteurs (fig. 3).

Les lois de comportement traduisant de façon mathé-matique ces deux postulats différent par I'expressiondonnée à la courbe de premier chargement. Laformulation de Ramberg-Osgood exprime la déforma-tion en fonction de la contrainte sour la forme :

r-r(") :î".* (t-"") [1

+ H (+)] (o)

avec :

T", rc : valeur de la contrainte et de ra déformationlors de la précédente inversion de ladirection du chargement.

n :paramètre de valeur 1 sur la courbe depremier chargement et 2 sur les courbes derecharge et décharge successives.

G-., : module de cisaillement maximar du sot(pente de la tangente à la courbe de 1.'chargement au voisinage de I'origine).

cr, R : constantes caractéristiques du matériau.ry : contrainte de cisaillement de référence.La loi de comportement implique la connaissance dequatre paramètres r G-.r, c, R, r". Seul G-., peut êtredéterminé à partir d'essais en place. La connaissancedes autres paramètres nécessite la rêalisation d'essais

J ù .i' ?

H(x)-.,(;)R-1 (7)

1B--'4n (3)

r: G*^y - G. ry.' -ôz'

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(4)

28

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F ig. 2 Courbe eff ort - déformation cycl ique

G1

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Fig. 3 Modèle plastique.Modèle de Masirg (twan, 1967)

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À2

29

Àn

Fig. 4 Condition limite à la base du profil de. sol

de laboratoire sous des conditionsdéformations contrôlées et pourd'amplitude très faibles à grandes.

ll est à noter que les paramètres G" et p du modèleviscoélastique linéaire équivalent peuvent être calcu-lés à partir du modèle de Ramberg-Osgood :

pVsY

-

incidente pour l'affleurement (condition de surfacelibre) mais est modifiée par la propagation à traversla couche de sol suivie de la réflexion à la surfacedu profil pour le point situé à la base de la cotonnede sol. En écrivant cette égalité des amplitudes desondes incidentes aux deux points considérés, Joyneret chen (1 975) ont montré q ue, dans I'hypothèsed'ondes de cisaillement à propagation verticale, lacondition aux limites exacte à la base de ta colonnede sol est donnée par :

sor

r/2 ESP.

Y

1/2 ESR

G,.,-tG=:iri;

e:?R-1[r_n}t' T R+1

de contraintes oudes sollicitations

la relation (4) oupropagation (1)différentielles du

du problème estlibre au sommet

I

"(t) | : pnVni'(t) - pnVn û(t, Z- H)

I z:H

(8)

(e)

Dans notre étude pour permettre la comparaisonentre le modèle linéaire et le modèle non linéaire,nous avons déterminé les paramètres de ce dernierpuis calculé ceux du modèle viscoélastique linéaireà I'aide des équations précédentes.

ou:pR, vR : masse volumique et vitesse de propagation

des ondes de cisaillement du rocher.y(t)

ù(t, H)

: vitesse connue du rnouvement de référenceà I'affleurement rocheux.

: vitesse inconnue à la base de la colonne desol.

La contrainte donnée par l'équation (11) est ta sommed'une contrainte extérieure, connue, appliquée à labase de la colonne de sol, pn. Vn. y(t), et d'unecontrainte proportionnelle à la vitesse à ta base decette colonne. Cette dernière est la contrainte quedéveloppe un amortisseur de caractéristiques pnVn.on obtient donc une analogie parfaite entre lacolonne de sol reposant sur un demi-espace élastiqueet la même colonne montée sur un amortisseur etsoumise à sa base à une contrainte p^V*y(t) tfig. al.Pour choisir un mouvement réaliste y(t) àI'affleurement rocheux nous avons examiné les spec-tres de réponse proposés par divers auteurs pour desenregistrements sur site rocheux. Ces spectres deréponse à 5 o/o d'amortissement critique, donnés parMohraz (1976), seed-ugas-Lysmer (1976) et Hayashiet al. (1971), sont rassembrés sur la figure5 etcomparés aux spectres E. D. F. 1973 et u. s. N. R. c.(R. G. 1.60). on constate un très bon accord entre lesspectres proposés par les trois groupes d'auteurs. parailleurs, le spectre E. D. F. représente une très bonneapproximation de ces spectres moyens. L'étude adonc été conduite avec un accélérogramme synthéti-que dont le spectre de réponse est conforme auspectre E. D. F. Cependant, pour mettre en évidenceI'influence du choix du mouvement de référencê,,certains calculs ont également été effectués avec unaccélérogramme dont le spectre de réponse estconforme à celui de la N. R. C.

(1 1)

La loi de comportement définie parla relation (6) et l'équation deconstituent le système d'équationsmouvement de la couche de sol.

1.3 Conditions aux limites

Une condition aux limites évidentefournie par la condition de surfacede la couche de sol :

I

"(t) | - 0.I Z:O

(10)

A la base de la couche de sol (Z:H) le mouvementu(t, H) est supposé connu. En pratique ce mouvementest défini par un accélérogramme jugé représentatifdu mouvement d'un rocher lors d'un séisme. Le choixde I'accélérogramme n'est donc pas indifférent.D'autre part, la nature exacte du mouvement durocher en profondeur n'est pas connue dans lamesure où les mouvements enregistrés lors deséismes réels sont obtenus en surface du sol,c'est-à-dire à une surface libre qui.modifie cemouvement. Pour pallier à ces difficultés nous avonsprocédé de la façon suivante :

le mouvement du rocher est supposé connu nonà la base de la colonne de sol mais à un affleurement.En faisant I'hypothèse que le rocher a un comporte-ment élastique linéaire, I'onde incidente du mouve-ment est la même à la base de la colonne de sol età I'afffeurement. Les mouvements en ces deux pointssont cependant différents car ils résultent de lacomposition de I'onde incidente et d'une onderéf léchie. Cette dernière est identique à I'onde

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l-(ÊUJJutg)o

0J0,4 FREOUENCE-Hz - r0 40

Fig. 5 Spectres de réponse sur rocher.Pourcentage d'amortissement critique 5 %

1.4 Algorithme d'intégration des équations dumouvement

L'intégration numérique des équations différentiellesdu mouvement peut être effectuée soit dans ledomaine f réquentiel, soit dans le domaine temps(intégration pas à pas). Ce dernier type d'intégrationest obligatoire lorsque la loi de comportement du solest non linéaire; par contre, le premier avec ledéveloppement de la transformation de Fourier rapide(F. F. T.) est particulièrement bien adapté à la loi decomportement viscoélastique linéaire équivalent.

1.4.1 Intégration dans le domaine fréquentiel

Le chargement (mouvement de référence) est exprimésous la forme de la somme d'une séried'harmoniques. La réponse est évaluée pour chaqueharmonique et les résultats individuels superposéspour obtenir la réponse globale. Ce type de solutionne peut évidemment être appliqué qu'aux matériauxdont les propriétés sont invariables avec ladéformation. Par ailleurs, le chargement pourra êtreexprimé sous la forme d'une série de Fourier s'il estpériodique. Cela ne constitue pas une limitation carpour les problèmes sismiques il suffit d'ajouter à la

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REPETITIOT DUlcr TRAlit D'OilDES

Fig. 6 lntégration dans le domaine fréquence

perturbation (accélérogramme) une zone de " blancs "suffisante pour que, compte tenu de I'amortissementinterne du matériau, la réponse au 1.' traind'excitation soit amortie avant I'arrivée du secondtrain identique au premier (fig. 6).

Le mouvement de référence s'écrivant :

N/2y(t): R.

j:o2'.j

W,:,Toù.iz : -1.R. : partie réelle.

T :durée totale d'un train d'onde (*blancs>compris).

(12\

(13)

N

Yi

La

: nombre de points de la transformée de Fouriernécessairement de la forme 2n.

: amplitude de I'harmonique j.

(14)

solution est obtenue sous la formeN/2

u(t, Z) : R.j:o

Les inconnues sont les amplitudes uj correspondantaux harmoniques wj. Portant l'équation (14) dansl'équation du mouvement (1) et en tenant compte dela loi de comportement du sol [eq. (4) et (5)] onobtient la solution :

uj : E;eikiz + F,e -'kiz (15)

avec ki : wi aÆ: .offtbre d'onde.

Le premier terme de l'équation (15) correspond à uneonde incidente et le second à I'onde réfléchie. Lesconstantes d'intéEration Ej et F,, sont obtenues parles conditions aux limiteq (10) et (1 1 ). Dans le casd'un profil de sol stratifié composé de n couchesayant des propriétés distinctes, il est aisé d'obteniren écrivant la continuité du déplacement et de lacontrainte de cisaillement à I'interface des relationsentre les constantes E, et Fj de la couche m et cellesde la couche (m + 1).

Cette méthode de calcul est très efficace du point devue numérique. Elle a été mise en æuvre par Schnabelet al. (1972) dans le programme de calcul Shake.Utilisée en conjonction avec un processus itératifpermettant d'ajuster les caractéristiques G= et I (éq. 5)du sol avec le niveau de déformation .. ffrovêIl )), prisusuellement égal aux 2/3 de la déformation maximale,elle permet de rendre compte de façon approchée ducaractère non linéaire hystérétique du sol; la solutionnon linéaire est, dans cette approche, approximée parune succession de solutions linéaires.

1.4.2 Intégration dans le domaine temps

Le schéma d'intégration utilisé a été obtenu parStreeter et al. (1973). ll est basé sur la résolution del'équation de propagation par la méthode descaractéristiques. L'équation (1) et la loi de compor-tement

(16)

peuvent être transformées en prenant comme varia-bles la contrainte de cisaillement r et la vitesseparticulaire V: ù. Le système d'équations différen-tielles obtenu :

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Fig. 7 lntégration le long des lignes caractéristiques

ôr ôV

n-o ut:oôr ^ôV ,

ôt - G uz:oest un système hyberbolique différentiel du premierordre dans lequel G est le module de cisaillementtangent :

G: ôf

ô^y

Ce système est à résoudre sous les conditions auxlimites (10) et (11). D'un point donné dans le plan(2, t) sont issues deux jlgnes caractéristiques C* etC- de pente tV= -*\/G/p le long desquelles sontvérifiées les relations linéaires suivantes :

(17)

(18)

(1e)

(20)

(21)'

c* *-u=dtr-pVsV-constante

t^,- dz _c- dt

: -v=r*pV=V-constante

r-f(^y):f (#)

Le calcul procède alors de la façon suivante (fig. 7)dans le plan (2, t\: à I'instant t en tous les points dumaillage (A,8,...) les valeurs de r et V sont connues.Du point B est issue la caractéristique C- qui autemps t + dt intersecte au point P la caractéristiqueC* issue de A. Le système d'équations linéaires (20)et (21\ permet alors de déterminer rp et Vp. Onprocède ainsi sur toute la verticale avant de passerau pas de temps suivant. Cette méthode est particuliè-rement bien adaptée au cas des matériaux linéairespour lesquels la pente des droites caractéristiques(V=) est constante. Le maillage vertical étant fixé, lepas de temps en découle. Pour un matériau nonlinéaire V", et donc la pente des caractéristiques,décroît avec une augmentation de la déformation. Lescaractéristiques aboutissant en P ne sont plus issuesde A et B mais de points intermédiaires R et S pourlesquels il faut déterminer les valeurs de r et V parinterpolation entre celles calculées en A et B.

tr3ulo2oILoÊÀ

Alluvion

DEFORMATION DE CISAILLEMENT

Fig. 8 Variation des caractéristiques dynamiques avec la déformation

2 Caractéristiques du profil de sol étudié

Le profil de sol étudié présente des caractéristiquesvoisines d'un site en bordure de la Loire à proximitéde Paimbæuf. Cependant les caractéristiques mécani-ques retenues pour l'étude peuvent être légèrementmeilleures que les caractéristiques réelles des sols dusite. En effet, les valeurs prises en compte constituentdes valeurs minimales acceptables pour permettreI'accès et la construction sur ce site et, en tout étatde cause, il sera nécessaire préalablement à toustravaux d'améliorer les sols en place pour obtenir cesvaleu rs.

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Depuis la cote 0 NGF, le site tel qu'il a été étudié estconstitué sur 13 m de vase argileuse, puis sur 5 m devase silteuse varvée surmontant 2 m d'alluvionsanciennes constituées de sables et graviers. Le rochersous-jacent est constitué de gneiss, plus ou moinsaltéré au contact. Les caractéristiques principales desdifférents terrains sont rassemblées dans le tableaul. Pour les besoins de l'étude, les caractéristiquesessentielles sont le poids volumique apparent humideet le module de cisaillement dynamique (ou la vitessede propagation des ondes de cisaillement). Pour lesvases, les valeurs du module ont été déduites d'essaistriaxiaux cycliques réalisés en laboratoire sur tes

MODULES0

DE CISAILLEMENT5t0

Mil /m2r5

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Moduh màximd

Module' compatibla déformation

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ÉDulêz0ILoÊÈ

Accéfôrcgramrnæ{

Fig. 9 Variation du module avec la profondeur.Accélérations à l'affleurement 0,3 g

EDFusluRc

vases de Montoir de Bretagne situé en face du sitesur I'autre rive de la Loire. Pour les alluvions et lerocher, ces valeurs ont été déduites de la littérature.Dans la pratique, compte tenu du contrâste trèsimportant entre les vitesses de propagation d'ondesdans le rocher ( - 1.500 m/s) et dans les vases (100 à150 m/s) la valeur exacte de la vitesse dans le rochern'a aucune influence sur les résultats; ce paramètren'a donc pas été étudié en détails.

Dans les vases le module de cisaillement maximal estde la forme :

G-",: KP. (#)" (ocR)k (22)

RE vuE F RANçAIsE DE GE orEcH N I ouE N uM E Ro 25 34

:paramètres caractéristiques du sol(tableau l)

: contrainte moyenne effective: pression atmosphérique:rapport de surconsolidation des sols.Supérieur à 1 puisque initialement le TNest à la cote 7 NGF et que les sols sontsupposés améliorés.

La variation du module de cisaillement maximal avecla profondeur est donnée sur la figure g.

Les courbes de variation du module de cisaillementet du pourcentage d'amortissement du sol avec ladéformation (équations 8 et 9) sont représentées surla figure 8.

avec :

K,crk

(''mPaocR

3 Études paramétriques effectuées

Ces études ont porté sur les caractéristiques dumouvement sismique de référence, sur la loi decomportement des sols et sur les caractéristiques duprofil de sol.

3.1 Nature du mouvement sismique

On a essentiellement f ait varier le niveaud'accélération à l'affleurement entre 0,20 g et 0,30 g.

Par ailleurs pour mettre en évidence I'influence de lanature du mouvement sismique et insister sur lanécessité de prendre en compte des mouvementsréalistes, une étude comparative a été faite à partirde I'accélérogramme synthétique représentant lespectre N. R. C. et à partir de celui représentant lespectre E. D. F. qui est le plus proche d'un accéléro-gramme de rocher.

Ces études paramétriques sur la nature du mouve-ment sismique ont été effectuées avec le modèlelinéaire équivalent.

3.2 Loi de comportement du sol

Pour le niveau d'accélération le plus élevé envisagé(0,30 g), un calcul non linéaire a été réalisé pourvérifier, dans les conditions les plus sévères, lavalidité du modèle linéaire équivalent. Compte tenudes comparaisons favorables obtenues, d'autres cal-culs non linéaires n'ont pas été entrepris.

3.3 Caractéristiques de la couche de sol

Pour juger de I'influence des caractéristiques de solsur la nature du mouvement à la surface, les modulesde cisaillement maximaux des trois couches constitu-tives du profil étudié ont été majorés de 50 "/" enconservant leurs épaisseurs constantes. Un autrecalcul a été effectué en majorant les modules de 50 %et f es épaisseurs de couches de 20 % de façon àconserver la f réquence fondamentale, à petitesdéformations, du profil de sol. Ces calculs ontégalement été rêalisés avec le modèle linéaireéquivalent.

4 lnfluence de la nature du mouvementsismique

Pour mettre en évidence l'influence de la nature dumouvement sismique sur les résultats, nous avonschoisi de présenter les résultats obtenus pourI'accélération à I'affleurement la plus élevée, soit0,30 g. Des résultats identiques à ceux-ci ont égale-ment été obtenus pour les niveaux d'accélération de0,20 g et 0,25 g.

La variation en fonction de la profondeur du modulede cisaillement compatible avec la déformation< moyenne > induite est donnée sur la figure 9. Laréduction par rapport au module maximal à petitesdéformations (équation 22'1 est importante pour lesdeux accélérogrammes; elle atteint, sous 10 m deprofondeur, un rapport de 1 à 3, voir 1 à 4. Laréduction est d'environ 30 % plus importante avecI'accélérogramme U. S. N. R. C. qu'avec I'accélé-rogramme E. D. F.

Le prof il d'accélération maximale est donné enfonction de la profondeur sur la figure 10. Les valeursobtenues avec les deux accélérogrammes ne sont pas

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AccÉlérogramrnc3 (EDF-USNRC

?F-;3tll

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20

Fig. l0 Variation de l'accélération avec la profondeur.Accélérations à I'aff leurement 0,30 g

essentiellement différentes (moins de 10 % d'écart).Cependant, et ce résultat a été obtenu de façonsystématique pour les autres calculs, t'accé-lérogramme U. S. N. R. c. conduit à des accélérationsde surface plus faibles que I'accélérogramme E. D. F.La tendance est inversée en profondeur.

La figure 11 donne les spectres de réponse dumouvement à la surface pour un pourcentaged'amortissement critique de 5 o/o. Ces spectres pré-sentent deux pics prononcés au voisinage de 1 Hz etde 3 Hz qui correspondent aux deux premièresfréquences propres de vibration de la couche de sol.Ces deux pics se retrouvent sur les fonctions detransfert du déplacement (fig. 12). lls correspondentà des .f réquences légèrement plus faibles lorsque

ACCELERATION MAXIMALE -9 -0 0.25 30

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0I0,4 1 FREOUEifCE -Hz-

Fig. | 1 Spectre de réponse à 5 % d'amortissement critique à la surface du sol.Accélérogramme 0,3 g à I'affleurement

I'accélérogramme U. S. N. R. C. est utilisé. Ce résultatest conforme à celui de Ia figure 9 qui a montré quecet accélérogramme conduisait à des modules plusfaibles que I'accélérogramme E. D. F.

Pour des fréquences supérieures au hertz, les deuxspectres de réponse sont voisins I'un de I'autre. Parcontre, aux faibles fréquences, I'accélérogrammeU. S. N. R. C. conduit à des accélérations spectralesnettement plus élevées. En rapprochant ces spectresde ceux des accélérogrammes de départ (fig. 5) onconstate que, quel que soit I'accélérogramme utilisé,pour les fréquences inférieures à 3 Hz, il y aamplification de I'accélération spectrale; cette amplifi-cation est particulièrement marquée au voisinage dela f réquence f ondamentale de la couche de sol( - 1 Hz). Au-delà de 3 Hz, il y a atténuation desaccélérations spectrales. Cette atténuation est plusmarquée avec le spectre U. S. N. R. C" plus riche enhautes fréquences que le spectre E. D. F.

L'ensemble de ces résultats met en évidence lescaractéristiques fondamentales de la réponse auséisme d'une couche de vase molle :

les hautes fréquences du mouvement sont filtréeset les basses fréquences amplifiées;

les spectres de réponse du mouvement à la surfacefont apparaître un pic prononcé à la fréquencefondamentale de la couche; un deuxième pic moinsmarqué apparaît pour la deuxième fréquence propre.Ce résultat montre, et cela est confirmé par I'examendes déplacements, que le mode de vibration fonda-mental de la couche (quart d'onde) est très nettementprépondérant sur les modes supérieurs.

Par ailleurs, ces résultats mettent en évidencel'influence du choix de la nature du mouvement àI'affleurement. Si ce dernier contient, comme c'est lecas pour I'accélérogramme U. S. N. R. C., des bassesfréquences peu représentatives de celles contenuesdans un mouvement de rocher, celles-ci serontamplifiées par la couche de sol et conduiront à desmouvements à basse fréquence trop importants. Lesdéplacements et déformations, gouvernés par lesbasses fréquences, seront donc surévalués. Ce résul-tat peut avoir des conséquences importantes pour lesouvrages fondés sur pieux souples suivant la défor-mation du sol. ll explique par ailleurs les résultats

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f040

des figures 9 et 10 : les modules étant fonction desdéformations induites, plus élevées avecI'accélérogramme U. S. N. R. C., sont naturellementplus faibles lorsqu'ils sont évalués avec ce dernier.

De même, le spectre U. S. N. R. C. étant plus riche enhautes fréquences que le spectre E. D. F., il induit desaccélérations plus fortes en base de couche; auvoisinage de la surface le filtrage plus important deshautes fréquences, lié aux valeurs plus faibles desmodules, conduit à des accélérations inférieures àcelles calculées avec I'accélérogramme E. D. F. Pources raisons et compte tenu des remarques faites auparagraphe 1.3 concernant les caractéristiques demouvements enregistrés sur rocher, la suite de l'étudea été conduite essentiellement avec I'accélérogrammeE. D. F.

5 lnfluence du niveau d'accélération àI'affleurement

Trois niveaux d'accélérations à I'affleurement ont étéenvisagés : 0,20 g, 0,25 g et 0,30 g. La variation deI'accélération maximale de surface en fonction decelle à I'affleurement est donnée sur la figure 13. Dansla plage des accélérations étudiées, il y a toujoursamplification de I'accélération maximale. Cette ampli-fication est plus importante avec I'accélérogrammeE. D. F. qu'avec I'accélérogramme U. S. N. R. C. Lors-que le niveau d'accélération à I'affleurementaugmente, I'accélération maximale de surface croîtmais moins rapidement. Le rapport d'amplificationentre les deux accélérations décroît et pour la valeurmaximale envisagée de 0,30 g, il est voisin de 1. llest vraisemblable que pour des accélérations plusélevées à I'affleurement, ce rapport deviendra infé-rieur à 1; il y aura atténuation de I'accélérationmaximale. Cette particularité est due à la non linéaritédu sol et à sa capacité limitée à transmettre descontraintes élevées. A une profondeur donnée lacontrainte de cisaillement maximale qu'il peut trans-mettre est égale à sa résistance au cisaillement souschargement cyclique. Ce plafonnement de .la con-trainte se traduit dans le calcul par la diminution dumodule et I'augmentation de l'amortissement lorsqueles sollicitations, donc les déformations induites,

36

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0.r5 020 o25ACCELERATION MAXIMATE A L'AFFLEUREMEiIT

Fig. 13 Variation de I'accélération de surtace en fonction de I'accélération à l'affleurement

CALCULItfoit LtilEAlRE

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o- - - ::,:Ti iill",i:ffi."ntFig. '16 Variation de l'accélération avec la profondeur.Spectre EDF 0,30 g à l'affleurement

particularités décrites précédemment à savoir deuxpics prononcés avec deux premières fréquencespropres de vibration de la couche de sol. Lorsque leniveau d'accélération à I'affleurement croît, les picsse décalent légèrement vers les basses fréquences dufait de la diminution de raideur de la couche due auxsollicitations plus élevées" Pour les fréquences supé-rieures à la f réquence fondamentale de la couche( - 1 Hz) les formes de spectres sont semblables. Parcontre, pour les fréquences inférieures, plusI'accélération est élevée à I'affleurement plus lespectre de réponse à la surface est riche en bassesfréquences. Ce résultat met en évidence les limitesd'utilisation de spectres de forme normalisée calésau niveau d'accélération approprié. Cette pratique estcependant souvent utilisée (Seed et al. 1976, Mohraz

ACCELERATIONt20 425

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Fig. 14 Spectre de réponse à 5 % d'amortissement critique.Norme à 'l G. Surface du sol

Fig. | 5 Variation de la contrainte de cisaillement avecla profondeur.Spectre EDF 0,3 g à I'aff leurement

augmentent. L'accélération maximale de surface doitdonc nécessairement tendre vers une limite fonctiondes caractéristiques de la couche de sol. Ceci a étéobservé et obtenu par le calcu! pour des niveauxd'accélération plus élevés (Mohammadioun-Pecker,1e83).

Les spectres de réponse du mouvement à la surfacesont donnés sur la f igu re 14 pour 5 "/"d'amortissement critique. Pour permettre la comparai-son les 3 spectres ont été normés par I'accélérationmaximale de surface. lls présentent tous les trois les

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Fig. 17 Spectre de réponse à 5Accélérogramme EDF 0,30 g à

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Fig. 18 Déplacement relatif entre la surface et la base du profil de sol

1976...) et est en particulier employée dans laréglementation de la N. R. C. américaine. La pratiquefrançaise en matière d'ouvrages nucléaires conduitau contraire à des formes de spectre adaptées auniveau sismique (Devillers-Mohammadioun, 1981).

6 Comp araison entre calcul linéaire équiva-lent et calcul non linéaire

Les Çalculs de réponse dynamique d'un profil de solsont généralement mis en æuvre avec le modèlelinéaire équivalent dans le but d'obtenir les accéléra-tions et contraintes maximales dans le sol. La validitéde tels calculs a été testée dans le cas de lasollicitation la plus élevée (0,30 g) et avecI'accélérogramme E. D. F. Les contraintes de cisaille-

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TÊMPS I r I

ment maximales sont comparées sur la f igure 15.L'accord entre les valeurs obtenues par les deuxcalculs est très bon sur toute la hauteur de la couche;l'écart est inférieur à 1O o/o. Les accélérations maxima-les sont comparées sur la f igure 16; bien que def égers écarts (15 à 20 "/"\ subsistent à certainesprofondeurs I'accord peut être jugé satisfaisantd'autant que dans le calcul non linéaire I'accélérationest obtenue à partir de la vitesse par dérivation, cêqui constitue une opération numérique très délicate.Les spectres de réponse en surface sont comparéssur fa figure 17. Jusqu'à une fréquence de 3 Hz ilssont parfaitement semblables. Pour les f réquencesplus élevées, le calcul non linéaire conduit à desaccélérations spectrales plus élevées. En d'autrestermes, le calcul linéaire équivalent filtre de façon

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Fig. l9 Spectre de réponse à 5 % d'amortissement critique à la surface du sol.Accélérogramme 0,30 g EDF

importante les hautes fréquences du mouvement. Lefiltrage des hautes fréquences par la couche de solexiste toujours mais de façon nettement moinsprononcée que ne le laisse supposer le calcul linéaireéquivalent et à partir des fréquences plus élevées, deI'ordre de 7 Hz. Ce filtrage des hautes fréquences estinhérent au calcul linéaire équivalent (Martin 1975) etprovient du fait que les modules et amortissementsdu sol sont évalués sur la base d'une déformationmoyenne contrôlée par les basses fréquences. ll enrésulte que les hautes fréquences, qui n'induisent quede faibles déformations, sont affectées d'un amortis-sement trop élevé.

Un des résultats nouveaux fourni par le calcul nonlinéaire est l'évaluation des déplacements de lasurface du sol. Le déplacement relatif entre la surfaceet la base du profil de sol est donné sur la figure 18.Le déplacement maximal relatif au cours de lasollicitation est de 6 cm mais, plus intéressant, estI'apparition d'un déplacement résiduel de I'ordre ducentimètre en f in de sollicitation" Ce déplacementrésu lte des non-linéarités d u sol (déformationd'origine plastique) et ne peut bien entendu êtreévalué avec le modèle linéaire équivalent.

Les comparaisons effectuées montrent que dans lescas étudiés "il est possible d'obtenir des résultatssatisfaisants à I'aide du modèle linéaire équivalent. llest cependant probable que pour des niveauxd'accélération plus élevés les comparaisons neseraient pas toujours aussi favorables comme d'autresétudes I'ont montré (Mohammadioun-Pecker, 1983).

7 Influence des caractéristiques mécaniquesdu sol

La figure 19 donne les spectres de réponse, à 5 o/o

d'amortissement critique du mouvement à la surfacef orsque le module du sol est majoré de 50 o/o en

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conservant l'épaisseur des couches constantes ou.enmajorant celles-ci de 2o "/". La figure 20 présente lesfonctions de transfert correspondant aux mêmes cas.une augmentation de la raideur du sol à épaisseurconstante conduit à des fréquences propres de lacouche de sol plus élevées (1,3 Hz au rieu de 1 Hzpour la fréquence fondamentale) et à une accéléra-tion maximale de surface plus élevée (0,43 g au lieude 0,32 g). En milieu élastique, l'augmentation deraideur du sol devrait conduire à une augmentationde la f réquence fondamentale de \45 :1,2.

L'augmentation calculée est plus importante car dufait de la non-linéarité du comportement,I'augmentation de raideur se traduit par des déforma-tions induites plus faibles et donc par une réductionmoins importante de la valeur du modure. En sebasant sur la fréquence fondamentale, I'augmentationde raideur effective du profil de sol est de To"/o etnon de 50 "/".De même, si on cherche à conserver la f réquencefondamentale de la couche de sol constante en sefondant sur les valeurs du module à petites déforma-tions (majoration de 50 "/" du module et de 20 "/o del'épaisseur), les spectres de réponse et fonction detransfert deviennent semblables à ceux du calculinitial. Une différence notable subsiste cependant dueégalement au comportement non linéaire du sor.

Ces résultats montrent clairement qu'it n'existe pas,en toute rigueur, de notion simple comme la tré-quence fondamentale d'une couche de sol. Du fait dela non-linéarité du sol, celle-ci dépend des déforma-tions indu.ites et donc en particulier du niveau de lasollicitation sismique. En conséquence, il apparaîtillusoire de vouloir extrapoler des mesures de fré-quences propres d'une couche de sol faites pour defaibles énergies mises en jeu (petits séismes, explo-sions de faible énergie...) à des secousses sismiquesimportantes.

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34FREOUETCE- Hz -

Fig. 20 Fonction de transfert du déplacement entre la base et la surface de la colonne de sol.Accélérations à l'affleurement 0p g

FREOUENCE - Hz -

Fig.21 Spectre de réponse à 5 o/o d'amortissement critique sur so/s mous

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Fig. 22 Comparaison entre spectre à 5 % d'amortissement critique calculé et enregistré à la surtace du sol

0l

I Comparaison avec des enregistrementsréels

Toutes les conclusions présentées précédemmentrésultent de calculs théoriques effectués de plus aveccertaines hypothèses restrictlves (nature des ondespar exemple). ll est donc intéressant et indispensablede comparer ces calculs aux quelques enregistre-ments réels disponibles. Ceux-ci, comme on I'aindiqué, sont peu nombreux dans le cas de sols mous.Les seules publications faisant état de tels enregistre-ments avec des renseignements suffisants sur lanature des sols sont à notre connaissance celles deSeed et al. (1976) et de Faccioli (1978).

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40

Les premiers auteurs ont proposé un spectre deréponse normalisé pour sols mous. Il n'est pas donnéde relations entre le niveau de calage du spectre(accélération maximale) et divers paramètres caracté-ristiques du séisme (intensité, magnitude, distancefocale...). Pour faciliter les comparaisons, on a retenuun niveau d'accélération maximale en surface égal à0,39 g. L€ spectre moyen à 5 "/" d'amortissementcritique ainsi calé arbitrairement est donné sur lafigure 21 . ll correspond à des sols constitués d'argilemolle et de sable (15 enregistrements). La fréquencefondamentale moyenne des sites étudiés est de 0,8 Hzpour une accélération moyenne en surface de 0,055 gpour I'ensemble des enregistrements. Les épaisseurs

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Distance hypocentrale : 35 kmAcc6lération rneximale : O,2 g

FREOUENCE - Hz -

de sol (40 m à 200 m) sont nettement plus importantesque celles considérées dans la présente étude.

Faccioli a donné à partir des 47 enregistrements, pourdes sols caractérisés par une épaisseur d'une dizainede mètres de matériau à vitesse de propagation desondes de cisaillement inférieure à 100 m/s, un spectrede réponse défini par points : I'accélération spectraleest donnée à chaque f réquence en fonction de lamagnitude et de la distance focale. On peut estimerd'après les lois d'atténuation de la plupart des auteursqu'un séisme de rnagnitude 7,5 à 35 kilomètres dedistance est susceptible de produire une accélérationsur du rocher de I'ordre de 0,30 g. On a donc retenuces conditions sismiques pour tracer le spectre(fig. 21) proposé par Faccioli. L'accélération maxi-male de surface est dans ces conditions de 0,39 g.

ll ressort de I'examen de cette figure que :

le spectre proposé par Seed et al., q u i est u n

spectre lissé, ne fait pas apparaître nettement lessingularités liées à la couche de sol en raison de lagrande disparité des profils étudiés. Pour les fréquen-ces supérieures à 3 Hz, il est proche du spectreproposé par Faccioli, compte tenu du niveau decalage retenu. Pour les basses fréquences (<1 Hz) ilest assez nettement enveloppe de ce dernier;

le spectre proposé par Faccioli présente deux picsanalogues à ceux obtenus dans nos calculs. Lesecond pic est cependant moins prononcé dans cecas. L'examen des spectres de Faccioli calculés pourdes conditions sismiques différentes de celles consi-dérées montre qu'en général le second pic est aussiimportant que le premier (fig. 22). Les deux pics sontlégèrement décalés vers des fréquences plus élevéesque celles obtenues dans nos calculs pour le profiltype. On a vu que la position de ces pics était liéeaux fréquences propres de la couche de sol. Lesprofils examinés par Faccioli étant moins profonds(une dizaine de mètres) que celui de la présenteétude, leurs fréquences propres sont plus élevées.

Les spectres obtenus par Faccioli (spectre moyen etspectre moyen plus un écart-type) sont comparés(fig.22\ à celui de la présente étude obtenu pour lecas du profil de sol le plus raide (modules majorés

de 50 o/o, êpaisseurs de couches constantes). Ce profilprésente la particularité, par rapport au profil type,de conduire à des fréquences propres de la coucheplus élevées, donc plus proches de celles des sitesanalysées par Faccioli. On constate que le spectrecalculé se situe pratiquement pour toutes les fréquen-ces entre les deux spectres de Faccioli qui, rappelons-te, proviennent d'enregistrements réels. La comparai-son avec les spectres de Faccioli a également étéeffectuée pour d'autres conditions sismiques. Des loisd'atténuation relatives aux sites rocheux, on a déduitque I'accélération maximale de 0,2 g à I'affleurementétait susceptible d'être produite par un séisme demagnitude 7 prenant origine à 35 kilomètres du site.Les spectres obtenus par le calcul et déduits desrésuf tats de Faccioli sont donnés sur la f igu re 22.L'accord est de nouveau remarquable.

Ces résultats mettent en évidence le fait qu'il estpossible à partir de calculs simples (uni-dimensionnels) de retrouver des résultats en très bonaccord avec les données expérimentales. Enparticulier, les principales caractéristiques de laréponse dynamique d'un profil de sol mou sont bienmises en évidence.

9 Gonclusions

Les calculs numériques réalisés dans le cadre de cetteétude ont permis de mettre en évidence les principa-les caractéristiques de la réponse au séisme d'unecouche de vase molle. En particulier, on a identifiéI'existence, dans le spectre de réponse du mouvementcalculé à la surface, de deux pics prononcés auvoisinage des deux premières fréquences propres dela couche. ll convient cependant de noter, qu'enraison du comportement non linéaire du sol, laf réquence propre n'est pas une caractéristigue intrin-sèque de la couche de sol; elle est fonction de lasévérité de la sollicitation et décroît lorsque celle-ciaugmente.

Parmi tous les paramètres qui conditionnent laréponse du mouvement en surface, la nature dumouvement sismique à I'affleurement et le choix de

Tableau 1

Caractéristiques moyennes des so/s

Caractéristiq uesNatu re Vase

arg ileuseVase

silteuseSable alluvions

anciennesRocher

Poids volumique apparent sec kN/m3 I 9 16 17

Teneur en eau o/o 80 70 25 24

Poids volumique total kN/m3 14,5 15.5 20 21 24Indice de plasticité % 60 40à50Angle de cisaillementinteroranulaire 18 25 30 35

hésion intergranulaire kPa 0 0 0 0Cohésion apparente kPa 1,3 h+5 1,7 h+30Module de cisaillementdynamique maximal (éq. 22)

K 2AO 340 1 000 2 000 54 000cr 0,6 0,5 0,5 0,5 0k 0,4 0,3 0 0 0

Pou rcentaEe d'amortissementcritique maximal o/o 30 28 24 20 0

Vitesse de propagationdes ondes de cisaillement m/s 1 500

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son accélération maximale sont les paramètresprépondérants. ll est donc fondamental, si I'on suitla méthodologie de cette étude pour déterminer lescaractéristiques du mouvement en surface du sol, dechoisir avec le plus grand soin ces conditionssismiques : I'accélérogramme imposé à I'affleurementdoit en particulier être représentatif d'un accéléro-gramme de rocher.

La méthodologie suivie constitue à notre avis unealternative à la pratique réglementaire permettant dedéfinir le mouvement à la surface du sol. Cettedern ière consiste à déterm iner u n n iveaud'accélération maximale puis de caractériser le mou-vement par un spectre de réponse calé à ce niveau.Ce spectre de réponse a soit une forme normaliséeinvariable (U.S.N. R. C.), soit une forme dépendantedes conditions sismiques mais indépendantes de lanature du sol (C. E.A.-E. D. F.), soit parfois une formedépendant de la nature du sol mais indépendante desconditions sismiques (Seed et al.).La présente étudemontre que, même calés au niveau d'accélérationapproprié, ils ne rendent pas compte des particulari-tés des sols mous; ils sous-estiment en particulier,dans la présente étude, les accélérations spectralesdans toute la plage des fréquences comprises entre1 Hz et 4 Hz. lls les surestiment parfois fortement pourd'autres fréquences.

En conclusion, nous pensons que la méthodologiesuivie permet de mieux rendre compte de la réalitéet de traduire plus valablement les caractéristiquesde la réponse au séisme des sols rnous. Lescomparaisons que nous avons pu effectuer avec desenregistrements réels le confirme de façon indiscuta-ble et offrent des perspectives certaines pourl'utilisation de telles approches.

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