Rés-Eq-Nonlinéaires (1)

7/24/2019 Rs-Eq-Nonlinaires (1)

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Rsolution numrique desquations non linaires

Imen Kallel Kamoun

Matre de Confrences

Dpartement de Gnie CivilEcole Nationale dIngnieurs Sfax

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Rsolution numrique des Equations Non Linaires

f (x)=0Objectif: chercher les racines relles de la fonction relle continue

Commentrsoudreles systmes suivants ?

0232

04

023

zyx

zyx

zyx

02

01)sin()1(81

01)cos(322

ze

zyx

yzx

xy

Mthodes directes : impossibles

Mthodes itratives

Mthodes directes

Mthodes itratives

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Soit une fonction f : RnR

n

continue sur un intervalleI

Drivable sur un intervalleI

Principe : trouver une mthode itrative qui converge vers la solution


Mthodes : Point fixe

Newton

Quasi-Newton (scante, Broyden, )

Gradient

Problmes : Convergence

Complexit 3


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f (x)=0 lorsque n=1

Recherche par dichotomie

mthode de la scante

mthode de point fixe

mthode de Newton-Raphson


Aussi lorsque 2n

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Thorme des valeurs intermdiaires :

Sifest une fonction continue sur [a, b], et sif (a)f (b) 0, alors il

existe au moins un point c [a, b] tel quef (c) = 0.

Si de plusfest strictement monotone sur [a, b], la racine est unique

dans [a, b].

f (x)=0 lorsque n=1

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f (x)=0 lorsque n=1

Recherche par dichotomie

cb

cfbf

ca

cfaf

ccf

bacbfaf

alors

sinonsi

alors

sinonsi

solutionlaestalorssi

0)()(

0)()(

)(

20)()(

Mthode: Lente

Convergente

a

bc =(a+b)/2

f(a)

f(b)

f(c)

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f (x)=0 lorsque n=1

Mthodede la scante

Mthode: Lente

Convergente

)()()(

)()(

)(

1

11

kk

kkkkk

xfxf

xxxfxx

afbf

abbfbc

a

b

f(a)

f(b)

c

f(c)

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f (x)=0 lorsque n=1

Mthode du point fixe

Principe :rcrire l'quationf(x) = 0 sous une forme quivalente

Ceci nous permettra dobtenir le schma itratif

x =g (x)

Qui converge vers le point-fixe de g

s s

f (x) g (x)Zro de la fonction f

Point fixe deg

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f (x)=0 lorsque n=1


Convergence :la condition de convergence est une condition de contraction

sur la fonctiong

Dfinition: Une applicationgdfinie de [a, b] dans [a, b] est une contraction,sil existe un nombre 0 < 1 tel que, pour tout couple de points

distincts (x1,x2) de [a, b], on ait :

|g(x1) g(x2)| |x1 x2|

Si gest drivable, la condition de contraction se ramne

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f (x)=0 lorsque n=1

Vitesse de Convergence

On suppose que la fonctiongest suffisamment drivable.

Le dveloppement de Taylor au voisinage de la racinesdonne :

alorssi

La convergence est linaire

si alors

La convergence est quadratique


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f (x)=0 lorsque n=1

Exemple: rsolution de f (x) =x2 - 2 = 0

Choix deg :


s0 = 1

s1 = 2

s2 = 1

s3 = 2

s4 = 1

g1

s0 = 1

s1 = 1.5000

s2 = 1.4167

s3 = 1.4142

s4 = 1.4142

s0 = 0.999

s1 = -0.0402

s2 = 49.668

s3 = 99.296

s4 = 198.57

g2 g3

|g'(s)| < 1

convergenceassure

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f (x)=0 lorsque n=1

Ordre de Convergence

alors

si


La mthode du point fixe est dordre k

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f (x)=0 lorsque n=1

Mthode de Newton

Principe :La mthode de Newton ou mthode de Newton-Raphson est une

mthode numrique itrative de rsolution des quations du typef(x)=0

qui repose sur la mthode du point fixe avec une fonctiongparticulire

dpendant de la drive def

Le schma numrique de la mthode de Newton est donc donn par

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xf (x) e x


Mthode de Newton

Interprtation gomtrique

Lquation de la tangente la courbefau

point (xn,f (xn))est:

Or

Qui reprsente alors labscisse du

point dintersection de la tangente y

avec laxe (Ox).

soit

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-1 3.71828183 -3.71828183

0 1 -2

0.5 0.10653066 -1.60653066

0.566311 0.00130451 -1.56761551

0.56714317 1.9648E-07 -1.56714336

0.56714329 4.4409E-15 -1.56714329

0.56714329 0 -1.56714329

xn f(xn) f(xn)

xf (x) e x

x

f '(x) e 1

n

n

xn

n 1 n x

e xx x

1 e


Mthode de Newton

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