C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Serie II 6, p. 117-119, 1998 MCcanique des fluides num&ique/Compufafiona/ fluid mechanics

R6sohtion des Cquations de Navier-Stokes dans la formulation en variables primitives par approximation diffuse StCphane COUTURIER, Hamou SADAT

I Laboratoire d’Btudes thermiques, UMR 6068, Ecole nationale supkrieure de m&anique et d’akotechnique, Chasseneuil du Poitou, 86960 Futuroscope cedex, France

E-mail : sadat@eil.univ-poitiers.fr

(Regu le 5 novembre 1997, accept6 le 17 novembre 1997)

R&urn& Une m&ode de rholution des Cquations de Navier-Stokes dans la formulation en variables primitives par approximation diffuse est propostk. Un exemple numhique qui permet d’illustrer son efficacitC est pr&ent& 0 Acadhmie des Sciences/Elsevier, Paris

approximation diffuse I cavitb entrainCe / algorithme de projection

Solution of Navier-Stokes equations in primitive variables by

diffuse approximation

Abstract. A di$use approximation method for solving Navier-Stokes equations in primitive variables is proposed. The results of a numerical example show the accuracy and ejiciency of this approach. 0 Acadt!mie des Sciences/Elseviel; Paris

diffuse approximation /driven cavity /projection algorithm

1. Introduction

L’approximation diffuse dont les fondements mathematiques ont et15 proposes par Nayrolles et al., [l] est une methode fondle sur une technique de moindres carry% pond&es localement, qui peut &tre utilisee pour la discretisation spatiale des equations aux derivees partielles. Son avantage principal reside dans le fait qu’elle permet de traiter des problbmes definis dans des gCom&ries complexes, saris necessiter de maillages en elements finis geometriques. La methode a et6 appliquee a la resolution des equations de Navier-Stokes dam la formulation fonction de courant-vorticit6 [2]. On propose dans

Note pr&ent& par Ibariste SANCHEZ-PALENCIA.

1251-8069/98/03260117 0 Acadhie des SciencesElsevier, Paris 117

S. Couturier, H. Sadat

cette note de l’ttendre a la formulation en variables primitives, en utilisant un algorithme du type sequentiel pour traiter le couplage pression-vitesse. L’exemple de la cavite entrainke permet d’illustrer le comportement de cette methode qui est gCdralisable aux problbmes tridimensionnels.

2. MCthode

Rappelons simplement ici qu’ttant donne un champ scalaire @ : R” + R et un nuage de points de discretisation xi , l’approximation diffuse permet d’estimer la valeur du champ et de ses derivees en un point x de R” en utilisant une m&ode de moindres car& [l]. Une fonction de ponderation w( x, ) : R" + R+ a support compact est d’abord associte B chaque nceud, definissant ainsi la zone d’influence de ce dernier. Une base constituee de polynbmes p( Xi - x ) et un ensemble a(x) de coefficients permettent ensuite d’estimer le developpement de Taylor B l’ordre k de 0 en X, en choisissant la colonne a*( x ) qui minimise la norme & discrete et ponderee :

I,= ~ cO(X,Xi-X) [~i-p’(Xi-X) ~(X)12 i=l

oti N est le nombre de nceuds voisins de x et ou Qi represente la valeur du champ en xi . La minimisation de Z, par rapport a (Y conduit au systeme lineaire :

A(x) a(x) = B(x)

avec :

N

A(X) = C ~(X,Xi--X)p(Xi-X)p’(Xi-X) i=l

N

B(X) = C O(X,Xi-X)p(Xi-X) pi i=l

(1)

(2)

(24

(2b)

L’inversion du systeme (2) donne finalement l’approximation du champ et de ses derivees. La resolution d’une equation aux derivees partielles peut alors etre effect&e par collocation, en remplacant les operateurs aux derivees par leurs approximations diffuses [2]. Dans ce travail, nous avons utilise comme fenetre de ponderation la gaussienne :

w(x,xi-x)=e(-3.1nIloq+)z) W(Xi-X)=0 si J/Xi-X1/s>C2 (3)

Nous avons en outre choisi de traiter le couplage pression-vitesse a l’aide d’un algorithme sequentiel de projection utilisant des interpolations d’ordre Cgal. Cet algorithme instationnaire, qui possede certaines caracteristiques principales de SIMPLE, est d&it dans [3]. La resolution des sysdmes d’equations 1inCaires est effectuee, quant a elle, par la methode du double gradient conjugue.

3. Exemple de la cavitk entrainee

L’exemple classique de la cavite entrainee nous sert ici d’illustration. La vitesse horizontale sur l’axe vertical median et le champ de pression obtenus avec un maillage regulier (101 “101) pour un nombre

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Resolution des equations de Navier-Stokes par approximation diffuse

de Reynolds de 5 000 sont present& sur les figures la et lb. Sur la premiere figure sont Cgalement report& les resultats de reference de Ghia et al. [4]. On observe le tres bon comportement de la methode.

a b

0.8

0.6

Y 0.4

0.2

o_ a.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u

Figure 1. CavitC entrainee. (a) Vitesse horizontale (Re = 5 000). (b) Champ de pression (Re = 5 000).

Figure 1. Driven cavity (a) Horizontal velociQ (Re = 5 000). (h) Pressure Jield (Re = 5 000).

4. Conclusion

On a montre dans cette note que la methode de l’approximation diffuse peut etre couplee a un algorithme sequentiel pour resoudre les equations de Navier-Stokes en variables primitives, N’utilisant pas de maillages en elements finis geometriques, la methode semble &r-e particulierement bien adaptee pour traiter les problemes de mecanique des fluides necessitant des adaptations ou des enrichissements de maillages.

Rkftkences bibliographiques

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