Rsum de cours sur les intgrales dpendant dun paramtre

On va considrer une fonction deux variables ' puis on tudiera lexistence,la continuit, drivabilit,...de la fonction F dnie par

x! F (x) =bZa

' (x; t) dt

F est une intgrale dpendant dun parmtre, en premier lieu elle sera de Rie-mann, et en second lieu elle sera gnralise.

I. Intgrales dnies dpendant dun paramtre.

Dnition 1 On considre un ouvert de R2 et ' une fonction relle de deuxvariables relles

' : ! R(x; t) ! ' (x; t)

Pour tout intervalle I R et tout a < b dans R; tel que D = I[a; b] :Sous des hypothses dintgrabilit; on dnit une nouvelle fonction relledune seule variable relle

F (x) : I ! R

x ! F (x) =bZa

' (x; t) dt

La fonction F est ainsi dnie par une intgrale o la variable x 2 Iapparait comme un paramtre do lappellation dintgrale dpendant dunparamtre.Autrement dit le le domaine de dnition de F est

DF = fx 2 R=' soit intgrable sur [a; b] selon la variable tg

Remarque 1 En gnral, dans la pratique on cherche les valeurs des (x; t) pourles quelles la fonction ' est continue. Cest direDF = fx 2 R=' soit continue sur D g

Thorme 1 (Continuit sous le signe "bRa

" ).

Si ' est continue sur D en tant que fonction de deux variables alors F estbien dnie et elle est continue sur I:Autrement dit

8x0 2 I : limx!x0

F (x) = F (x0), limx!x0

bZa

' (x; t) dt =

bZa

limx!x0

' (x; t)

dt =

bZa

' (x0; t) dt

1

Thorme 2 (Gnralisation du thorme 1). Si ' est continue sur D entant que fonction de deux variables et si u (x) et v (x) sont deux applica-tions continues de I vers [a; b].

Alors la fonction F : x! F (x) =v(x)Ru(x)

' (x; t) dt est continue sur I:

Thorme 3 (Conservation de la drivabilit sous le signe "bRa

" ). Si '

et@'

@xsont continues sur D ( ' 2 C1 (D)).

Alors F dnie sur I par : x ! F (x) =bRa

' (x; t) dt est de classe C1 sur

V I; V est un ouvert de R et on a:

8x 2 I; F 0 (x) =0@ bZa

' (x; t) dt

1A0 = bZa

@'

@x(x; t) dt:

Corollaire 1 Si ' 2 Ck (D) ; k 2 N [ f+1g :Alors F dnie sur I par : x ! F (x) =

bRa

' (x; t) dt est de classe Ck sur

V I; V est un ouvert de R et on a:

8x 2 I; F (m) (x) =0@ bZa

' (x; t) dt

1A(m) = bZa

@m'

@xm(x; t) dt; 8m 2 f0; 1; :::; kg

On gnralise le thorme 3 en variant les bornes.

thorme 4 ' 2 C1 (D) et si u (x) et v (x) sont deux applications drivablesde I vers [a; b].

Alors la fonction F : x ! F (x) =v(x)Ru(x)

' (x; t) dt est drivable sur I et sa

drive est donne par

F 0 (x) =

v(x)Zu(x)

@'

@x(x; t) dt+ v0 (x)' (x; v (x)) u0 (x)' (x; u (x)) :

2

II. Intgrales indnies dpendant dun paramtre. On se donne danstoute la suite, I un intervalle ouvert de R; un ouvert R2et une fonction' : ! R; (x; t)! ' (x; t) telle que ' soit localement intgrable sur [a; b[selon la variable t et D = I [a; b[ :O [a; b[ est lintervalle semi ouvert avec b = +1 ou b est un point desingularit pour la fonction conside. Les autres cas se dduisent de ce cas.

Dnition 1. ( Domaine de dnition de la fonction F ). Si lintgralebRa

' (x; t) dt

converge sur I, on dnie la fonction F par

F : I ! R

x ! F (x) =bZa

' (x; t) dt

En dautres termes, le domaine de dnition DF de F sera donn par

DF =

8

Thorme 1 (Critre de Cauchy pour la convergence simple). Les as-sertions suivantes sont quivalentes.

1) Lintgrale gnralisebZa

' (x; t) dt

est simplement convergente

2) Pour tout x 2 I x et tout " > 0; il existe un voisinage Vb de b tel que8u; u0 2 Vb; avec u0 > u, on ait

u0Zu

' (x; t) dt

"On crit la limite simple en x 2 I

limu;u0!b

0@ u0Zu

' (x; t) dt

1A = 03) Pour toute suite (tn)n qui croit vers b; la suite des intgrales dnies dpen-

dant du paramtre x 2 I dnit une suite (Fn)n de fonctions donnespar

Fn : I ! R

x ! Fn (x) =tnZa

' (x; t) dt

qui est simplement de Cauchy.

Remarque 1. La convergence absolue ) La convergence simpleDnition 4. (Convergence uniforme) Lintgrale gnralise

bZa

' (x; t) dt

est dite uniformment convergente si lintgrale gnralise

bZa

' (x; t) dt

est convergente indpendamment de x 2 I:

4

Remarque 2. La convergence uniforme ) La convergence simple.Thorme 2.( Critre de Cauchy pour la convergence uniforme) Les as-

sertions suivantes sont quivalentes.

1) Lintgrale gnralisebZa

' (x; t) dt

est uniformment convergente

2) Pour tout " > 0; il existe un voisinage Vb de b tel que 8u; u0 2 Vb; avecu0 > u, on ait

u0Zu

' (x; t) dt

"3) Pour toute suite (tn)n qui croit vers b; la suite des intgrales dnies dpen-

dant du paramtre x 2 I dnit une suite (Fn)n de fonctions donnes par

Fn : I ! R

x ! Fn (x) =tnZa

' (x; t) dt

qui est uniformment de Cauchy.

Dnition 5. (Convergence normale). lintgrale gnralise

bZa

' (x; t) dt

est dite normalement convergente sil existe une fonction

g : [a; b[! R+t ! g (t)

vriantj' (x; t)j jg (t)j ;8 (x; t) 2 D

dont lintgrale gnralisebZa

g (t) dt

est convegente.

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Remarque 3. Toute intgrale gnralise dpendant du parmtre x 2 I quiconverge normalement, converge uniformment, absolument et simple-ment.

Thorme 3. (Conservation de la continuit) Si

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1. ' et@'

@xsont continues sur D = I [a; b[ :

2. LintgralebRa

@'

@xdt CVU sur I:

3. Sil existe x0 2 I tel quebRa

' (x0; t) dt 2 R converge, alors lintgrale gnral-ise

bZa

' (x; t) dt

converge uniformment sur I et dnie une fonction

F : x! F (x) =bZa

' (x; t) dt, 8x 2 R

drivable et de drive continue sur I (autrement dit F 2 C1(I)) dont ladrive est

F 0 (x) =

bZa

@'

@x(x; t) dt;8x 2 I

Exemple 2. Etudier la drivabilit de la fonction F donne dans lexemple 1.

Rponse On a pour tout t 2 [1;+1[@'

@x(x; t) =

t sin (xt)t (1 + t2)

= sin (xt)(1 + t2)

Or sin (xt)(1 + t2) 11 + t2 1t2

et puisque lintgrale+1R1

1

t2dt est une intgrale gnralise convergente,

lintgrale+1R1

@'

@x(x; t) dt est normalement convergente et donc uniform-

ment convergente sur R: En appliquant le thorme de conservation de ladrive:

a. ' est continue sur D (daprs le (1:a) de lexemple (1))

b.@'

@xest continue sur D = R [1;+1[ comme tant le rapport de deux

fonctions continues dont le dnominateur est dirent de zro.

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c. Lintgrale+1R1

@'

@x(x; t) dt CVU sur R:

Alors F est drivable sur R et F 0 (x) =+1R1

sin (xt)(1 + t2)

dt:

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