Principe fondamental de la statique
McaniqueStatiqueStatique S2
Objectifs:
- Enoncer le principe fondamental de la statique;
- Indiquer plusieurs mthodes de rsolution de problmes rpondants
aux hypothses de la statique;
- Appliquer le P.F.S. des cas particuliers simples.
Statique
Principe fondamental de la statique
Note: Le Principe Fondamental de la Statique sera souvent not
P.F.S. par la suite.
1. Enonc du principe
1.1. Hypothses
On supposera que les solides sont:
( gomtriquement parfaits;
( indformables.
La matire est suppose:
( homogne: tous les atomes sont identiques, le centre de gravit
rel concide avec le centre de gravit gomtrique;
( isotrope: la matire a les mmes caractristiques mcaniques dans
toutes les directions.
1.2. Enonc gnral
Un solide indformable en quilibre sous laction de n forces
extrieures (F1, F2, , Fn) reste en quilibre si:
La somme vectorielle (rsultante R) de toutes les forces
extrieures est nulle:
R = =F1 + F2 + + Fn = 0(1)La somme vectorielle des moments
(moment rsultant _MI ) de toutes les forces extrieures en nimporte
quel point I de lespace est nul:
I = I(Fi) = I(F1) + I(F2) + + I(Fn) = 0(2)Lquation (1) est
appele Thorme de la Rsultante Statique ( T.R.S. )
Lquation (2) est appele Thorme du Moment rsultant Statique (
T.M.S. )
Remarque: Ce principe est galement vrifi pour des solides dont
le mouvement est effectu sans acclration, cas des solides en
mouvement de translation rectiligne uniforme.
1.3. Statique par les torseurs
Le principe nonc prcdemment (sous forme vectorielle) peut tre
crit en utilisant les torseurs.
Un solide (S), en quilibre sous laction de n torseurs dactions
mcaniques {T1/S}A, {T2/S}B, , {Tn/S}N reste en quilibre si la somme
des n torseurs, tous crits au mme point I, est gale au torseur nul
{0}:
{ 1/S }I + { 2/S }I + + { n/S }I = { 0 }
1.4. Equations de projection
Les quations vectorielles (1) et (2) donnent chacune trois
quations scalaires de projection sur les axes x, y et z. Dans le
cas le plus gnral, on disposera donc de six quations scalaires qui
permettront de dterminer, au plus, six inconnues.
Exemple:
X1
X2
Xn
F1Y1
F2Y2
()
FnYn
Z1
Z2
Zn
T.R.S. (Sur x: X1 + X2 + + Xn = 0
Sur y: Y1 + Y2 + + Yn = 0
Sur z: Z1 + Z2 + + Zn = 0Soit: 3 quations.
L1
L2
Ln
A(F1)M1
A(F2)M2
A(Fn)Mn
N1A,R
N2A,R
NnA,R
T.M.S. (Sur x: L1 + L2 + + Ln = 0Sur y: M1 + M2 + + Mn = 0Sur z:
N1 + N2 + + Nn = 0Soit: 3 quations.
2. Mthodes de rsolution
2.1. Mthode gnrale de rsolution
2.2. Tableau rcapitulatif des actions mcaniques
Pour simplifier lanalyse et comptabiliser les lments connus ou
inconnus, il peut tre intressant dutiliser un tableau
rcapitulatif.
Exemple:
2.3. Rsolution analytique
Lorsque ltude fournit au moins autant dquations que dinconnues,
la rsolution mathmatique de ce systme dquations est appele
rsolution analytique. Elle permet de dterminer jusqu 6
inconnues.
2.4. Rsolution graphique
Dans le cas particulier o les forces sont coplanaires (=
appartiennent toutes un mme plan), on peut envisager une rsolution
graphique du problme.
On trace alors un dynamique, qui reprsente une chelle donne les
diffrentes forces. En statique, les forces mises bout bout forment
un polygone ferm. On dit que le dynamique est ferm.
Exemple:
3. Cas particuliers de la statique
3.1. Solide soumis laction deux forces
Un solide soumis laction de deux forces reste en quilibre si les
deux forces sont gales en norme et opposes en sens.
Par consquent, les deux forces ont:
( Mme ligne daction
( Mme intensit
( Sens oppos
3.2. Solide soumis laction de trois forces concourantes
Un solide soumis laction de trois forces (non parallles) reste
en quilibre si les trois forces sont concourantes au mme point et
si la somme vectorielle des trois forces est nulle.
Tableau rcapitulatif:
ForcePoint
dapplicationDirectionSensIntensitAsol/1AVerticale(?Bsol/1BVerticale(?PGVerticale(12
000 N
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Principe Fondamental de la Statiquepage 1/4
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_1063731551.doc
Isoler le solide (ou lensemble de solides) considr.
Faire le bilan des actions mcaniques extrieures agissant sur le
solide isol. Tenir compte ventuellement des actions distance.
Comptabiliser le nombre N de coordonnes ou de composantes
torseur inconnues.
N ( 6
Exprimer tous les torseurs au mme point (choisir un point
simplifiant les calculs).
oui
non
Appliquer le P.F.S.En dduire les K quations scalaires de
projection.
Rsoudre.
N ( K
Conclure.
non
oui
Dterminer dautres composantes en isolant dautres solides et en
appliquant le principe des actions mutuelles
Rsolution impossible.
Systme hyperstatique.
possible
impossible
_1063731713.doc
F
-F
_1063731976.doc
A
B
G
P
1
Asol/1
Bsol/1
_1063731642.doc
I
F1
F2
F3
F1
F2
F3
F1 + F2 + F3 = 0
_1063731480.doc
Force
Point dapplication
Direction
Sens
Intensit
F1
I
( 45
(
100 N
F2
J
(
(
120 N
F3
K
?
?
?
Echelle: 1 mm (( 2 N
Point de dpart
F1
F2
F3
_1063729813.doc
x
y
z
_1040375015.unknown
_1063728459.doc
