Saint Rémi : MP David Corneillie

Chap AG4 :

Espaces prehilbertiens

Un lemme important :

Soit ( )nA∈ ℝM , on a : ( ) ( )( )2

,10 , , 0tnA X Y XAY= ⇔ ∀ ∈ =ℝM

I ) Algèbre bilinéaire : 1°) Formes bilinéaires : Def : E un espace vectoriel sur IR , on appelle forme bilinéaire de E toute application de E E× dans IR qui vérifie :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 21 2 1 2 1 2

3 21 2 1 2 1 2

, , , , : , , ,

, , , , : , , ,

x x y E f x x y f x y f x y

x y y E f x y y f x y f x y

α β α β α β

α β α β α β

∀ ∈ ∀ ∈ + = +

∀ ∈ ∀ ∈ + = +

ℝ

ℝ

Ex : ( )2

1 1 2 2: ,E f x y x y x y= = −ℝ

[ ]( )

( ) ( ) ( )

11

0

0,1 , : ( , ) ( ) ( )d

: , tn

E C f u v u t v t t

E f A B tr A B

= =

= =

∫ℝ

ℝM

Prop : L’ensemble des formes bilinéaires sur E est un IR-espace vectoriel ( )( )BL E

Def : Une forme bilinéaire f est dite symétrique si 2( , ) : ( , ) ( , )x y E f x y f y x∀ ∈ =

Def : Une forme bilinéaire f est dite antisymétrique si 2( , ) : ( , ) ( , )x y E f x y f y x∀ ∈ = − Def : Une forme bilinéaire f est dite alternée si : ( , ) 0x E f x x∀ ∈ = Prop : f est alternée ssi elle est antisymétrique Th : L’ensemble des formes bilinéaires est somme directe de l’ensemble des formes bilinéaires symétriques et de l’ensemble des formes bilinéaires antisymétriques

( ) ( ) ( )2 2, , ,BL E S E A E= ⊕ℝ ℝ ℝ

2°) Formes quadratiques : Def : Soit f une forme bilinéaire sur E , l’application q définie sur E dans IR par

( ) ( , )q x f x x= est appelée forme quadratique associée à f Une application q de E dans IR est une forme quadratique si et seulement si il existe une forme bilinéaire f sur E telle que ( ) ( , )q x f x x=

Soit Φ l’application de l’ensemble des formes bilinéaires dans l’ensemble des formes quadratique , qui à tout f associe ( )q f= Φ Φ est un morphisme d’espace vectoriel non injectif , en effet son noyau est l’ensemble des formes bilinéaires antisymétriques, donc la restriction de Φ à ( )2 ,S Eℝ est bijective

Th : Pour toute forme quadratique q, il existe une unique forme bilinéaire symétrique qui définisse q , cette forme bilinéaire symétrique sera appelée la forme polaire de q Prop : ( ) 2: ( )x E q x q xλ λ∀ ∈ =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2 2 2

, : ( ) ( ) 2 , ( )

, : ( ) ( ) 2 ,

, : 2 ( ) ( )

1 1, : ,

2 4, : ( ) ( ) 2 ,

x y E q x y q x q y x y où polaire q

x y E q x y q x q y x y

x y E q x y q x y q x q y

x y E x y q x y q x q y q x y q x y

x y E q ax by a q x b q y ab x y

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∀ ∈ + = + + =

∀ ∈ − = + −

∀ ∈ + + − = +

∀ ∈ = + − − = + − −

∀ ∈ + = + +

3° ) Cas de la dimension finie :

Si E est de dimension n et ( )1

n

i ie

= est une base de E , toute forme bilinéaire est caractérisée et

définie de manière unique par la donnée des n2 images des couples de vecteurs de bases

Il existe donc une unique forme bilinéaire f telle que ( ) ( ) [ ]2, , , 1,i j ijf e e i j nα= ∀ ∈

En effet on a ( ) ( )2

1 1

, , ( , ) ,n n

i j i ji j

x y E f x y f e e x y= =

∀ ∈ =∑∑

La matrice A carrée d’ordre n telle que : ( )ijA α= est la matrice associée à f dans la base

donnée , on a alors :

( )1 1

2 2 : ,.. ..

t

n n

x y

x yX et Y f x y XAY

x y

= = =

Prop : La dimension de l’ensemble des applications bilinéaires dans un espace de dimension n est donc n2 Prop : Une forme bilinéaire f est symétrique si et seulement si sa matrice est symétrique Prop : L’ensemble des applications bilinéaire symétriques est isomorphe à l’ensemble des

matrices symétriques , il est donc de dimension ( 1)

2

n n+

Pour les formes quadratiques on a : ( ) tq x XAX=

Soit : 2

1 1 1

( ) 2n n n

i j ij ii i ij i ji j i i j

q x x x x x xα α α= = = <

= = +∑∑ ∑ ∑ ( polynôme homogène de degré 2 )

Prop : En dimension finie, tout polynôme homogène de degré 2 en les coordonnées de x définit une forme quadratique. Dans ce cas on obtient les termes de la forme polaire associée en dédoublant les termes

( )2 1

2i i i i j j i i jx y x et x y x y x x↔ + ↔ ( règle de dédoublement )

Exo : Déterminer la matrice dans la base canonique de ( )2

1

( )ni j

i j n

de q x x x≤ < ≤

= −∑ℝ

4°) Effet d’un changement de base : Th : Soit ( ) ( )' 'i ie et eβ β= = deux bases de E , et P la matrice de passage de 'àβ β , si f

est une forme bilinéaire de E de matrice A et A’ relativement à 'etβ β , on a alors :

' tA PAP= Def : Deux matrices qui définissent la même forme bilinéaire relativement à 2 bases différentes sont dites congruentes ( c’est une relation d’équivalence ) 5°) Rang d’une forme bilinéaire symétrique ou d’une forme quadratique : Def : On appelle rang d’une forme quadratique, ou rang de sa forme polaire , le rang de sa matrice dans une base quelconque de E Prop : Cette notion est indépendante de la base choisie Def : Une forme bilinéaire symétrique est non dégénérée ssi son rang est égal à la dimension de l’espace ssi la matrice qui lui est associée est inversible II ) Etude des formes quadratiques : 1°) Définitions : Def : Une forme quadratique q sur E est dite définie ssi [ ], ( ) 0 0x E q x x∀ ∈ = ⇒ =

Une forme quadratique q sur E est dite positive ssi , ( ) 0x E q x∀ ∈ ≥ , elle est dite définie positive si elle est définie et positive ( on définit de même une forme négative et définie négative )

Ex : Sur ( )23 2, ( , , )q x y z x y z= − +ℝ est positive , mais pas définie positive

Sur ( ) ( )1, ( ) tq A tr AA=nM ℝ est définie positive , alors que ( )22( )q A tr A= n’est ni

positive, ni négative. Attention : ne pas confondre la notion définie avec l’expression bien définie qui a un sens lorsqu’une quantité mathématique existe !

Exo : Etudier les formes quadratiques de 3ℝ suivantes :

( )

( )( )

2 2 2

2 2 2

1, , 2 4

8

, , 3 13 2 4 4

, , 2

q x y z x y z xy yz

q x y z x y z xy yz xz

q x y z xy xz yz

= + − + −

= + + + − +

= + +

Def : Soit f une forme bilinéaire symétrique , f est positive lorsque la forme quadratique q associée est positive , de même elle est définie positive lorsque q l’est. 2°) Inégalité de Cauchy-Schwarz : ( Cauchy Augustin 1789-1857, Schwarz Hermann 1843-1921) Th : Soit q une forme quadratique de signe constant de forme polaire f alors on a :

( ) ( ) 22, , , ( ) ( )x y E f x y q x q y ∀ ∈ ≤

Th : Si q est définie et de signe constant , l’égalité a lieu si et seulement si la famille ( x , y ) est liée Corollaire : Inégalité de Minkowski ( Minkowski Hermann 1864-1909 ) Soit q une forme quadratique positive , on a :

( ) ( )2, , ( ) ( )x y E q x y q x q y∀ ∈ + ≤ +

III ) Espaces préhilbertiens réels : 1°) Produit scalaire : Def : Un espace vectoriel réel muni d’une forme quadratique q définie positive est appelé espace préhilbertien réel , s’il est de plus de dimension finie , il est euclidien La forme polaire f associée à q est un produit scalaire , que l’on note souvent :

( )( , ) ,f x y x y x y= =

Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique définie positive

Ex : 1

,n

ni i

i

E et x y x y=

= =∑ℝ

( ) ( )[ ]( )

,

, , , ( ) ( )d

t

b

a

E et A B tr AB

E C a b et f g f t g t t

= =

= = ∫

nM ℝ

ℝ

2°) Norme associée : Th et def : Si E est un préhilbertien et q la forme quadratique associée au produit scalaire ,

on définit alors , ( ) ,x E x q x x x∀ ∈ = = , qui est une norme sur E appelée norme

euclidienne. Tout espace préhilbertien réel est donc normé, s’il est de plus complet , on dit que E est un espace de Hilbert. Tout espace euclidien est un Hilbert

Prop : On a alors les relations suivantes 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 ,

2 ,

2 ( )

1,

4

,

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y identité du

x y x y x y

x y x y

+ = + +

− = + −

+ + − = +

= + − −

≤

▱

3°) Orthogonalité : Def : E un espace préhilbertien , un vecteur x est dit unitaire ssi 1x =

Prop : l’ensemble des vecteurs unitaires d’une espace euclidien est une partie compacte Def : x est orthogonal au vecteur y lorsque , 0 ,x y on note x y= ⊥

Soit A une partie de E , on appelle orthogonal de A , l’ensemble :

{ }, ,A A x E a A x a⊥ = ° = ∈ ∀ ∈ ⊥

Th de Pythagore ( 569-500 av. JC ) 2 2 2

x y x y x y⊥ ⇔ + = +

Prop : Soit E un préhilbertien réel , A et B deux parties de E

( )

{ }( )

0 , '

( )

A est un sev de E

A A

A B B A

A A l égalité a lieu si A est un sev

F G F G F et G sont des sev

A A

⊥

⊥⊥

⊥ ⊥

⊥

⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊥

⊂

⊂ ⇒ ⊂

∩ ⊂

+ = ∩

=

Exo : E = l’ensemble des fonctions de classe C1 sur [ 0 , 1 ] muni de 1

0

, ( ) ( )df g f t g t t= ∫ .

Soit F = l’ensemble de fonctions polynomiales sur [ 0 , 1 ] , déterminer l’orthogonal de F Exo : Dans ( )nM ℝ déterminer l’orthogonal de l’ensemble des matrices symétriques

Def : F et G deux sous espaces de E sont dit supplémentaires orthogonaux lorsqu’ils vérifient : E F G et F G= ⊕ ⊥

Th : Si F et G sont supplémentaires orthogonaux alors G F et F G⊥ ⊥= = Rem : Un sous espace quelconque n’admet pas toujours de supplémentaire orthogonal

4°) Projection orthogonale : Rappel : Si F est une partie de E on note : ( ), inf

y Ad a F y a

∈= −

Th : Soit E un espace préhilbertien réel , a un élément de E et F un sev de E alors :

: ( , )x F a x d a F a x F⊥∀ ∈ − = ⇔ − ∈

Si F admet un supplémentaire orthogonal , ( )Fp a est l’unique vecteur x de F qui

vérifie ( ) ( )2 22( , ) ,Fa x d a F et a p a d a F− = = +

Exo : Déterminer ( )( ) ( ), ,n nd A S A M∈ℝ ℝ

Th : p un projecteur de E est une projection orthogonale ssi ( )ker Imp p⊥=

IV ) Espaces vectoriels euclidiens : 1°) Bases orthonormales :

Def : Une famille ( )1,...., ne e est orthogonale ssi , 0i je e si i j= ≠

Elle est orthonormale ssi ,i j ije e δ=

Th : Soit p un entier et ( )1,...., pe e une famille libre de E, il existe une famille ( )1,...., pf f

orthonormale de E telle que : ( ) ( )1 1,...., ,...., ,k kVect e e Vect f f k p= ∀ ≤

Méthode pratique : Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ( Gram Jorgen 1850-1916 , Schmidt Erhard 1876-1959 )

1 21 2 2 1 1 2 1 2

1 2

1 2 1

11 1 1 1

11

', ' ' , 0 ,

'

,

': ' ,

'

kk

k k k k i iik

e ef e e f tq e f f

e e

on obtient e f

epuis k f où e e e f f

e

α

α

++ + + +

=+

= = + = =

= −

∀ = = −∑

Application : Etude des familles de polynômes orthogonaux ( Jacobi, Legendre, Tchebichev ) Corollaire : Dans tout espace euclidien , il existe des bases orthonormales , le procédé de Gram-Schmidt permet d’en construire Exo : Déterminer une base de [ ]3 XR orthonormale pour le produit scalaire canonique de

l’ensemble des fonctions continues sur [ ]0,1

Exo : Déterminer dans 4R une base orthonormale de l’hyperplan d’équation 0x y z t+ + + =

Th : Si E est un espace euclidien , tout sous espace admet un supplémentaire orthogonal, on a donc : E F F⊥= ⊕ 2°) Coordonnées dans une base orthonormale :

Th : Soit E un espace euclidien , si ( )1,..., pe e est une bon de F , alors

1

: ( ) ,p

F i ii

x E p x e x e=

∀ ∈ =∑

Inégalité de Bessel : 2 2 2

1

: ( ) ,p

F ii

x E p x e x x=

∀ ∈ = ≤∑

Th : Soit ( )1,...., ne e une base orthonormale d’un espace euclidien E alors pour tout élément x

de E on a : ( )1

, , ( )i

n

i i i i Vect ei

x x e e où x e e p x=

= =∑

Conséquences : Si ( )1,...., ne e une base orthonormale d’un espace euclidien E alors pour tout élément

x on a : 2 2 2

1 1

1

,

,

n n

i ii i

nt

i ii

x x e x

x y x y XY

= =

=

= =

= =

∑ ∑

∑

3°) Isomorphisme d’un espace euclidien sur son dual : Th : E espace euclidien et E* son dual Pour tout a de E, l’application ( ) : ,j a x a x→ est une forme linéaire sur E

Pour toute forme linéaire f sur E , il existe un unique a élément de E tel que pour tout x de E : ( ) ,f x a x=

Autrement dit, l’application j : ( )a j a→ est un isomorphisme de E sur son dual

Exemple : la définition du produit vectoriel Soit E un espace euclidien de dimension n > 2 , le produit mixte d’une famille ordonnée ( )1,..., nx x dans une base orthonormée B est donnée par :

[ ] ( )1 1,...., det ,....,n B nx x x x=

Pour toute famille ( )1 1,..., nx x − , il existe un unique vecteur a de E tel que

[ ]1 1, ,...., , ,nx E x x x a x−∀ ∈ =

Ce vecteur est appelé produit vectoriel de ( )1 1,..., nx x − , noté 1 1... nx x −∧ ∧

V ) Espaces préhilbertiens complexes : 1°) Formes sesquilinéaires : Def : E un espace vectoriel sur ℂ , on appelle forme sesquilinéaire de E toute application de E E× dans ℂ qui vérifie :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 21 2 1 2 1 2

3 21 2 1 2 1 2

, , , , : , , ,

, , , , : , , ,

x x y E f x x y f x y f x y

x y y E f x y y f x y f x y

α β α β α β

α β α β α β

∀ ∈ ∀ ∈ + = +

∀ ∈ ∀ ∈ + = +

ℂ

ℂ

Ex : [ ]( )1

1

0

0,1 , : ( , ) ( ) ( )dE C f u v u t v t t= = ∫ℂ

Prop : L’ensemble des formes sesquilinéaires sur E est un ℂ -espace vectoriel 2°) Expression en dimension finie :

( ) ( )

( )1

1 1

, ( , ) ,n n

n ni ij i j ij i ji

i j

t

ij

e base de f x y a x y où a f e e

X AY où A a

== =

= =

= =

∑∑ℂ

Prop : On obtient les formules de changement de base suivantes :

( ) ( )' '

' ' ' '

'

tt t t

t

X PX et Y PY

X AY PX APY X PAP Y

d où B PAP

= =

= =

=

3°) Forme hermitienne :

Def : f une forme sesquilinéaire possède la symétrie hermitienne ssi ( ) ( ), ,f y x f x y=

On dit alors que f est une forme sesquilinéaire hermitienne.

Rem : Si f est une forme hermitienne alors ( , ) ( , )f x x f x x= ∈ℝ Def : Si f est une forme hermitienne alors on définit la forme quadratique hermitienne associée à f par ( ) ( , )q x f x x= Prop : En dimension finie on a

( )

( )1 1

( ) ,n n

ij i j ij i ji j

t t

ij

q x a x x où a f e e

X AX où A a A

= =

= =

= = =

∑∑

On dit que A est une matrice hermitienne , t A s’appelle la transconjuguée de A

4°) Identité de polarisation : On a les égalités suivantes

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

( )

( ) ( ) 2Re ,

( ) ( ) 2

1,

4

q x q x

q x y q x q y f x y

q x y q x y q x q y

f x y q x y q x y iq x iy iq x iy

λ λ

λ µ λ µ λµ

=

+ = + +

+ + − = +

= + − − − + + −

Cette dernière égalité assure l’unicité de la forme sesquilinéaire hermitienne associée à q , on l’appellera alors sa forme polaire 5°) Produit scalaire hermitien : Def : Une forme hermitienne est définie ssi ( ) 0 0q x x= ⇒ = Elle est dite positive ssi ( ) 0q x ≥ Def : Un espace vectoriel complexe muni d’une forme quadratique hermitienne définie positive est un préhilbertien complexe , s’il est de plus de dimension finie , il est hermitien . La forme polaire associée à la forme hermitien est alors appelée produit scalaire hermitien ou produit hermitien

Prop : Inégalité de Cauchy Schwarz ( , ) ( ) ( )f x y q x q y≤

Def et Th : On définit sur E un espace préhilbertien complexe une norme, appelée norme

hermitienne par ( ) ,x q x x x= = , l’espace est donc normé , s’il est complet c’est un

Hilbert Prop : On a alors toutes les relations suivantes

( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2Re ,

2Re ,

2 ( )

1,

4

,

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y identité du

x y x y x y i y ix i y ix

x y x y

+ = + +

− = + −

+ + − = +

= + − − − + + −

≤

▱

6°) Orthogonalité : Def : E muni d’une forme hermitienne , on dit x est unitaire si 1x = , et que

, 0x y x y⊥ ⇔ =

Si A est une partie de E , on définit { }, ,A x E a A x a⊥ = ∈ ∀ ∈ ⊥

Th de Pythagore : 2 2 2

x y x y x y⊥ ⇒ + = +

Attention : la réciproque est fausse , 2 2 2

si y ix x y x y or y x= ⇒ + = + ⊥

Rem : On peut aussi définir sur un espace hermitien les supplémentaires orthogonaux ainsi que les projections ( voir la théorie sur les séries de Fourier ! )

Par exemple : si ( )1,..., pe e est une bon de F , alors ( )1

, ,p

F i ii

x E p x e x e=

∀ ∈ =∑

VI ) Adjoint d’endomorphisme dans un espace euclidien: 1°) Définition : Def : Soit E un espace euclidien , et u un endomorphisme de E , s’il existe un endomorphisme v de E tel que ( ) 2, : ( ), , ( )x y E u x y x v y∀ ∈ = On dit que v est l’adjoint de u

Th : Si un endomorphisme admet un endomorphisme adjoint , alors il est unique , on le notera alors u* Ex : Soit p la projection orthogonale sur F

( ), ', '' ' '' ' ''

( ), ', ' '' ', ' ' '', ' , ( )

' *

x E x x F F tq x x x et y y y

p x y x y y x y x x y x p y

d où p p

⊥∀ ∈ ∃ ∈ × = + = +

= + = = + ==

Th : Tout endomorphisme d’un espace euclidien admet un adjoint

Soit ( )1

n

i ie

= une base de E , S la matrice du produit scalaire : on a alors

( ) ( )( )

2

* 1

, : ( ), , *( ) *

'

t t

t

x y E u x y x u y MX SY XSM Y

d où M S M S−

∀ ∈ = ⇔ =

=

Conclusion : En base orthonormée on a * tM M= Conséquence : un endomorphisme u et son adjoint ont même rang

( ) ( ) ( ) ( )* det * detrang u rang u et u u= =

Th : Un projecteur est un projecteur orthogonal si et seulement si *p p= Def : Un endomorphisme u qui vérifie u* = u est dit autoadjoint ou symétrique Un endomorphisme u qui vérifie u* = - u est dit antisymétrique Prop : u est antisymétrique ssi ( ), , 0x E u x x∀ ∈ =

2°) Propriétés : Prop : Soit E un espace euclidien , u et v deux endomorphismes de E, on a alors :

( )( )( )

* *

* * *

* * *

u u

uov v ou

au bv au bv

=

=

+ = +

Th : Soit u un endomorphisme on a ( )ker * Imu u⊥=

Th : Soit u un endomorphisme, pour que F est un sous espace soit stable par u il faut et il suffit que F ⊥ est stable par u* 3°) Endomorphismes autoadjoints : Def : u est autoadjoint ssi u* = u , il est autoadjoint positif si de plus ( ), 0u x x ≥ , il est

défini positif si il est positif et ( ), 0 0u x x x= ⇒ =

Prop : Pour tout endomorphisme u de E , les endomorphismes u*ou et uou* sont autoadjoints positifs , si de plus u est bijectif , ils sont définis positifs Rem : Dans une base orthonormée , la matrice d’un endomorphisme autoadjoint est symétrique : t A A= L’ensemble des endomorphismes autoadjoints d’un espace euclidien de dimension n est un

sous espace vectoriel de l’ensemble des endomorphismes de dimension ( 1)

2

n n+

4°) Endomorphismes orthogonaux - Groupe orthogonal : Def : Un endomorphisme u de E est orthogonal ssi ( ) 2, , ( ), ( ) ,x y E u x u y x y∀ ∈ =

( on dit que u conserve le produit scalaire ) Th : Soit u un endomorphisme de E de dimension finie , les 3 propriétés sont équivalentes

(i) u conserve le produit scalaire (ii) u conserve la norme ( isométrie ) (iii) u est bijectif et 1*u u−=

Caractérisation matricielle :

( ) ( )( )

2, : ( ), ( ) ,

'

t t

t

x y E u x u y x y MX SMY XSY

d où S M SM

∀ ∈ = ⇔ =

=

Donc en base orthonormée on a : 1't tMM I d où M M−= =

Prop : L’ensemble des endomorphismes orthogonaux forme un groupe pour la loi o appelé groupe orthogonal , noté O ( E ) , si un endomorphisme est orthogonal on dit alors que sa matrice est orthogonale ( on note alors O ( n ) le groupe des matrices ) Prop : u est orthogonal ssi l’image de toute base orthonormée et une base orthonormée Prop : si u est orthogonal alors son déterminant vaut 1 ou - 1 Def : Si u est orthogonal et que son déterminant vaut 1 , on dit que u est orthogonal positif , il appartient alors au groupe spécial orthogonal : SO ( E ) A VOIR : l’étude des endomorphismes orthogonaux du espace de dimension 2 et 3 VII ) Réduction des endomorphismes autoadjoints et applications : 1°) Théorème : Th : Tout endomorphisme autoadjoint a des valeurs propres réelles et est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres ( ie E est somme directe orthogonale des sous espaces propres de u ) Corollaire : Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable sur IR , ie il existe une matrice P orthogonale telle que tA PD P= Conséquence : Les espaces propres d’un endomorphisme autoadjoint sont 2 à 2 orthogonaux Def : Soit A une matrice symétrique , cette matrice est positive si la forme quadratique canoniquement associée est positive ( idem pour définie positive ) , autrement dit si on a : ( ) , 0tX XAX∀ ∈ ≥n,1M ℝ

Th : Soit A est une matrice symétrique A est positive ssi son spectre est inclus dans +

R A est définie positive ssi son spectre est inclus dans *+

R Attention : A est définie alors A est inversible ( mais la réciproque est fausse ) 2°) Application à la norme subordonnée : Th : Soit u un endomorphisme autoadjoint de l’espace euclidien E , alors la norme de u est égal au rayon spectral de u , ie à la plus grande valeur propre de u en valeur absolue

( ) ( ) ( )( )0

sup max ,x

u xu u sp u

xρ λ λ

≠= = = ∈

Prop : pour tout endomorphisme u de E on a 2

* *u u et u ou u= =

Conséquence : pour tout endomorphisme de E : ( )*u u ouρ=

3°) Application à l’étude des formes quadratiques : Th : Pour toute forme quadratique q de E , il existe un unique endomorphisme autoadjoint u de E tel que pour tout x de E on ait : ( ) ( ),q x u x x= , u est l’endomorphisme autoadjoint

canoniquement associé à q ( il est naturellement diagonalisable ) La matrice de toute forme quadratique q de E est diagonalisable sur IR , la connaissance des valeurs propres permet de déterminer le signe de q . On peut ainsi effectuer une réduction en carrés de la forme quadratique --- > voir les formes quadratiques définies positives Def : On appelle signature de la forme quadratique q le couple d’entiers ( ) ( ),p s qσ= , où p

est le nombre de valeurs propres strictement positives et s le nombre de valeurs propres strictement négatives Prop : si ( ) ( ),q p sσ = alors le rang de q est p s+

Exo : Effectuer la réduction de 3( , , )q x y z xy xz yz sur= + + ℝ 4°) Application : étude des coniques et quadriques Nous appellerons conique toute courbe du plan dont une équation dans un repère orthonormé est de la forme : 2 22 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + =

On considère la forme quadratique 2 2( , ) 2q x y ax bxy cy= + + de matrice A

( ) 0tM C XAX d e X f∈ ⇔ + + =

or A est diagonalisable , il existe donc une base orthonormée ( u , v ) de vecteurs propres tq tA PD P= , d’où ( )' ' ' ' 0t tX PX donne X DX g h X f= + + =

L’équation devient alors : { }2 2' ' ' ' 0 , ( )x y gx hy f où sp Aλ µ λ µ+ + + + = =

( rem : le changement de base revient à effectuer une rotation car P est orthogonal ) On effectue ensuite une translation d’origine , l’équation devient : 2 2 0x yλ µ γ+ + = Th : Soit © la conique d’équation 2 22 0ax bxy cy cx ey f+ + + + + =

etλ µ les valeurs propres de la matrice sym réelle a b

Ab c

=

Si det 0A λµ= > , la conique est une ellipse , un singleton ou l’ensemble vide Si det 0A λµ= < , la conique est une hyperbole ou la réunion de 2 droites sécantes Si det 0A λµ= = , la conique est une parabole ou la réunion de 2 droites parallèles , ou une droite ou l’ensemble vide

Exo : Etudier la courbe d’équation 2 26 2 2 1 0x xy y x y− + + − + =

Etudier la courbe d’équation 2 22 2 2 3 0x xy y x y+ + − + =

Quelques rappels :

Une conique non dégénérée est l’ensemble des points M tel que ( , )

( , )

d M Fe

d M D=

F est un foyer , D une directrice et e l’excentricité si e = 1 , la conique est une parabole si e < 1 , la conique est une ellipse si e > 1 , la conique est une hyperbole

La conique a pour équation polaire ( , )1 cos

epr où p d F D

e θ= =

+

La parabole a pour équation réduite 2 2 ,02

py px où F

=

L’ellipse à pour équation réduite ( )2 2

2 2 22 2

1x y

où c a ba b

ε+ = = −

L’hyperbole a pour équation réduite ( )2 2

2 2 22 2

1x y

où c a ba b

− = ± = +

Nous appellerons quadrique toute surface de l’espace dont une équation dans un repère orthonormé est de la forme : 2 2 2 2 2 2 0ax by cz dxy eyz fxz gx hy iz j+ + + + + + + + + =

On considère la forme quadratique 2 2 2( , , ) 2 2 2q x y z ax by cz dxy eyz fxz= + + + + + or A est diagonalisable , il existe donc une base orthonormée ( u , v , w ) de vecteurs propres . L’équation devient alors : { }2 2 2 0 , , ( )X Y Z X Y Z où sp Aα β γ δ µ ν ρ α β γ+ + + + + + = =

( rem : le changement de base revient à effectuer une rotation car P est orthogonal ) On effectue ensuite une translation d’origine de manière à simplifier les termes de degré 1 Description des quadriques :

Les ellipsoïdes d’équation réduite : 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + = ( les vp sont de même signe )

Les hyperboloïdes d’équation réduite : 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ − = ± ( +1 à une nappe , -1 à deux

nappes )

Les cônes elliptiques d’équation réduite : 2 2 2

2 2 20

x y z

a b c+ − =

Les paraboloïdes d’équation réduite : 2 2

2 2

x yz

a b= ± ( + elliptique , - hyperbolique )

Rem : Observer les intersections avec les plans de coordonnées

Exo : Etudier la surface d’équation 2 2 2 2 0x y z xz− + + = Prop : La quadrique d’équation : 2 2 2( , , ) 2 2 2 0F x y z ax by cz dxy eyz fxz gx hy iz j= + + + + + + + + + =

possède un centre de symétrie si 0gradF =��������

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