Seconde 3 Mathématiques 1h 4/03/2013

Devoir N°6

correction

Probabilités :

On choisit au hasard un nombre parmi l’ensemble E des nombres entiers naturels de 1 à 10.

Calculer la probabilité des évènements suivants : (Bien rédiger et justifier les réponses)

1. D : « Obtenir un multiple de 2 » ; D = 2; 4; 6; 8; 10

𝑃 𝐷 =510 = 0,2

2. T : « Obtenir un multiple de 3 » ; 𝑇 = 3; 6; 9

𝑃 𝑇 =310 = 0,3

3. C : « Obtenir un multiple de 5 » ; 𝐶 = 5; 10

𝑃 𝐶 =210 = 0,2

4. K : « Obtenir un carré parfait » ; 𝐾 = 1; 4; 9

𝑃 𝐾 =310 = 0,3

5. N : « Obtenir un nombre qui n’a que deux diviseurs, 1 et lui même » ; 𝑁 = 2; 3; 5; 7

𝑃 𝑁 =410 = 0,4

6. S : « Obtenir un nombre strictement supérieur à 5 » ; 𝑆 = 6; 7; 8; 9; 10

𝑃 𝑆 =510 = 0,5

7. I : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 8 » ; 𝐼 = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

𝑃 𝐼 =810 = 0,8

8. Définir l’évènement C  ∩  N C’est l’événement qui réalise C et N donc 5

𝑃 𝐶 ∩ 𝑁 =110 = 0,1

9. Définir l’événement C  ∪  N et donner de deux façons différentes sa probabilité. C’est l’évènement qui réalise C ou N donc 2; 3; 5; 7; 10

𝑃 𝐶 ∪ 𝑁 = 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝑁 − 𝑃 𝐶 ∩ 𝑁 =210+

410−

110 = 0,5  𝑜𝑢  𝑃 𝐶 ∪ 𝑁 =

510

10. Définir l’évènement K  ∩  S C’est l’événement qui réalise K et S donc 9

𝑃 𝐾 ∩ 𝑆 =110 = 0,1

11. Définir l’événement K∪  S. C’est l’évènement qui réalise K ou S : 1; 4; 6; 7; 8; 9; 10

𝑃 𝐾 ∪ 𝑆 = 𝑃 𝐾 + 𝑃 𝑆 − 𝑃 𝐾 ∩ 𝑆 =310+

510−

110 = 0,7  𝑜𝑢  𝑃 𝐾 ∪ 𝑆 =

710

Fonction homographique

Soit  la  fonction  𝑓  définie  par  𝑓 𝑥 =−2𝑥 + 3𝑥 − 3  .

On  note  𝐶!  sa  représentation  graphique  dans  un  repère  orthonormé   O, 𝚤, 𝚥 .    

1. L’ensemble  de  définition  𝐷! = ℝ− 3 .    

2. Trouver  les  réels  a  et  b  tels  que  pour  tout  𝑥 ∈ 𝐷!  :  

𝑓 𝑥 = 𝑎 +𝑏

𝑥 − 3 =𝑎 𝑥 − 3 + 𝑏

𝑥 − 3 =𝑎𝑥 + 3𝑎 + 𝑏

𝑥 − 3  

𝑓 𝑥 =−2𝑥 + 3𝑥 − 3        par  identification  𝑎 = −2  et    𝑏 = −3  donc  𝑓 𝑥 = −2−

3𝑥 − 3 .  

 3. Pour  la  suite  on  pourra  admettre  que    

𝑓 𝑥 = −2−3

𝑥 − 3  Montrer  que  la  fonction  f  est  croissante  sur   −∞; 3 .  On  admettra  que  la  fonction  est  croissante  sur   3;+∞ .  Résumer  cette  étude  dans  un  tableau  de  variation.  Pour  tout  𝑎 ∈ −∞; 3  et  𝑏 ∈ −∞; 3  tel  que  𝑎 < 𝑏    on  a ∶  𝑎 < 𝑏 < 3  donc  𝑎 − 3 < 𝑏 − 3 < 0  deux  nombres  négatifs  et  leurs  inverses  sont  rangés  dans  un  ordre  différents  donc  1

𝑎 − 3 >1

𝑏 − 3  donc  −3𝑎 − 3 <

−3𝑏 − 3    et− 2−

3𝑎 − 3 < −2−

−3𝑏 − 3  donc  𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)  

 Les  nombres  et  leurs  images  respectives  sont  rangés  dans  le  même  ordre  donc  la  fonction  est  croissante  sur   −∞; 3  de  même  que  sur   3;+∞    

𝑥   −∞   3   +∞      𝑓    

     

 4.  

𝑓 𝑥 −   −2 = −3

𝑥 − 3  or  𝑥 − 3 < 0  si  𝑥 < 3  et  𝑓 𝑥 − (−2) > 0  si  𝑥 < 3  la  courbe  est  en  dessus  de  la  droite  d’équation  y  =  -­‐2    or  𝑥 − 3 > 0  si  𝑥 > 3  et  𝑓 𝑥 − (−2) < 0  si  𝑥 < 3  la  courbe  est  en  dessous  de  la  droite  d’équation  y  =  -­‐2  

5.  Recopier  et  compléter,  à  l’aide  de  la  calculatrice  le  tableau  suivant.    

x   -­‐7   -­‐5   -­‐3   0   1   2   2,5  f(x)   -­‐1,7   -­‐1,6   -­‐1,6   -­‐1   -­‐0,5   1   4  

 x   3,5   4   6   9   10   14  f(x)   -­‐8   -­‐5   -­‐3   -­‐2,5   -­‐2,4   -­‐2,3  

 6. Tracer  dans  le  repère  ci  dessous,  la  droite  (d),  la  droite  d’équation  x  =  3  et  la  courbe  

𝐶! .