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Section 2: cinématique des fluides

Exercice 1Le débit dans la conduite de la figure ci-contrepeut être considéré comme un écoulement unidi-mensionnel de vitesse v = v(x). En supposant quela vitesse varie linéairement de V0 à l’entrée à 3V0à la sortie de la conduite, a. déterminer l’accélération d’une particule fluide

en fonction de x. Pourquoi cette accélérationn’est-elle pas nulle alors que l’écoulement est stationnaire ?

b. calculer l’accélération d’une particule à l’entrée et à la sortie de la conduite si V0 = 3 m/s.

Exercice 2Le champ de vitesse d’un fluide est exprimé par vx = kx, vy = -ky et vz = 0; k est uneconstante positive.a. L’écoulement est-il stationnaire ?b. Déterminer et dessiner quelques lignes de courant, en indiquant la direction de

l’écoulement.c. Indiquer trois situations expérimentales différentes conduisant à ces lignes de cou-

rant.

Exercice 3Le réservoir cylindrique de la figure est rempli d’un li-quide parfait incompressible. Les conduites sont cylin-driques, de diamètre D1 = 5 cm et D2 = 7 cm.a. Déterminer une expression de dh/dt en fonction des

débits Q1, Q2, Q3 et du diamètre D du réservoir.b. Si h est constant, trouver la vitesse v2 si v1 = 3 m/s et

Q3 = 0,01 m3/s.

Exercice 4Une source (ou un puits) linéique correspond à un tube de très petit diamètre, dont laparoi est perméable et laisse passer un débit total Q réparti uniformément selon salongueur b.a. Montrer que les fonctions courant et potentiel des vitesses sont données dans un

système de coordonnées polaires (r,) par = m et = mlnr, où m est uneconstante à calculer.

Un tourbillon linéique décrit un écoulement orthoradial, i.e. perpendiculaire à l’axe dutourbillon et au rayon. La vitesse est ainsi décrite en coordonnées polaires (r,) par vr= 0 et v = /2r; est une constante appelée circulation (section 3.4 du polycopié).b. Montrer que les fonctions courant et potentiel des vitesses sont données par = (-/

2)lnr et = /2.Une représentation réaliste d’un plan d’une tornade ou de l’écoulement d’une bai-gnoire est obtenue en superposant, au même point, un puits et un tourbillon li-néiques.c.1. Calculer, identifier et interpréter physiquement les courbes r().

V0v = 3V0

L= 30 cm

hQ1

Q3

Q2

Physique des fluides Polycopié 2016 Prof. J.-J. Meister

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c.2. Calculer le rapport tg = v/vr et en déduire que l’angle que fait le vecteur vi-tesse avec le rayon vecteur r est constant.

c.3. Tracer quelques lignes de courant, un vecteur v et son angle dans un plan xy.

Exercice 5Le champ de vitesse d’un fluide a pour expression v = (3/r)êr + 4cosê [cm/s] encoordonnées polaires.Déterminer le taux de variation de la densité du fluide, donné par d/dt, au point Ade coordonnées r = 200 m et /6 où la densité vaut 100 kg/m3.

Exercice 6Un liquide parfait incompressible pénètre par le fond d’uncône à une vitesse augmentant avec le temps: v(t) = kt. Dé-terminer l’expression de l’augmentation de la hauteur h(t)au cours du temps.Indications: - le liquide entre dans le cône par un trou de dia-

mètre d,- les conditions initiales sont h = 0 à t = 0.

Exercice 7Un fluide incompressible s’écoule autour d’un axe de symétrie Oz; sa fonction de cou-rant est = - ar2z.a. Dessiner quelques lignes de courant dans un plan rz d’un système de coordonnées

cylindriques.b. Déterminer la vitesse v = (vr, 0, vz) en tout point de l’écoulement.c. Montrer que cet écoulement est irrotationnel et déterminer le potentiel des vitesses.d. Calculer le débit passant à l’intérieur du tube de courant défini par 1 = cste.e. Décrire la situation expérimentale décrite par cet écoulement.

Exercice 8Dans la description d’Euler, le mouvement d’un fluide le long d’un axe vertical des-cendant est décrit par v(z,t) = 2z/têz. Déterminer le champ des accélérations a(z,t) etidentifier le type de mouvement.

Exercice 9En régime stationnaire, le champ de vitesse d’un fluide est exprimé en coordonnéescartésiennes par vx = 2x, vy = 2y et vz = -z.Trouver l’équation de la ligne de courant passant par le point A de coordonnées(2,1,1).

Exercice 10Dans un plan horizontal, le champ de vitesse dans une tornade d’axe vertical est mo-délisé par:

- vitesse orthoradiale vc = tr dans le coeur de la tornade défini par r rc,- ve = k/r à l’extérieur du coeur.

Calculer k, puis le vecteur-tourbillon T si t = constant.

Exercice 11L’écoulement d’un fluide incompressible est décrit par v = 3yêx + 2xêy [a.u.].

v(t) = kt

h(t)


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a. Est-ce que cet écoulement satisfait l’équation de continuité ?b. Si oui, déterminer la fonction de courant et dessiner quelques lignes de courant.c. Indiquer une situation expérimentale conduisant à de telles lignes de courant.

Exercice 12Deux récipients cylindriques identiques sontremplis à une hauteur H de 2 solutions d’eaumélangée à un colorant en concentration molairec1 et c2 > c1. A l’instant t = 0, ils sont reliés par untube rempli de solution c2: figure. Montrer quece dispositif permet de faire varier linéairementla concentration du colorant dans la solution sortant de débit Q constant.

Exercice 13Les 3 récipients de la figure, de même surface de baseet de masse négligeable, sont remplis d’eau à unemême hauteur.Si ces récipients sont posés sur une balance, le poids indiqué est différent, bien que lapression et donc la force hydrostatique au fond des récipients sont les mêmes. Expli-quer de manière concise cette observation, appelée paradoxe de l’hydrostatique.

Exercice 14On considère un écoulement incompressible d’air à 20 oC dans une conduite cylin-drique de 20 cm de diamètre, à une pression de 3 bar et une vitesse de 3 m/s. Calculerle débit massique d’air.

Exercice 15Soit un écoulement de révolution autour de Oz.Montrer que le débit entre deux lignes de courant 1et 2 est donné par Q = 2(2 - 1).Indication: calculer le débit à travers l’élément de sur-face engendré par l’élément d’arc AB: figure.Utiliser ce résultat pour analyser l’écoulement d’unfluide visqueux dans une conduite cylindrique hori-zontale (axe z) de rayon R dont le profil de la vitesseest donné par:

a. Montrer que cet écoulement possède une fonction courant (r,z) axisymétrique,puis déterminer .

b. Calculer la vitesse moyenne vm = Q/R2 en fonction de la vitesse maximale vmax.

Exercice 16Un tube conique de sections S1 et S2 > S1 contient un liquide incompressible quis’écoule en régime stationnaire. En utilisant l’équation de continuité, montrer que lavitesse de sortie du liquide est reliée à la vitesse d’entrée par v2 = v1S1/S2.Hypothèse: la vitesse du liquide a la même valeur en tout point d’une section du tube:liquide non visqueux.

Q

c2c1

pompe

z

2

1

r

A

B

dln̂

v r vmax 1 r2 R2– =


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Exercice 17Calculer la puissance fournie par le coeur humain éjectant 75 ml de sang à chaque bat-tement à une pression moyenne de 100 mmHg. On suppose un rythme cardiaque de65 battements par minute.

Exercice 18Déterminer l’expression des composantes desvitesses de l’écoulement axisymétrique à sy-métrie cylindrique de la figure, connaissant lafonction (r,z).

r

z

v


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Section 3: dynamique des fluides parfaits

Exercice 19a. Pour un écoulement non-stationnaire d’un fluide parfait

incompressible, montrer que l’équation d’Euler s’écrit lelong d’une ligne de courant s joignant les points a à b par:

, avec ds = vdt

b. Utiliser ce résultat pour calculer la période de l’oscilla-tion d’un liquide parfait dans le tube en U de la figure ci-contre; L est la longueur moyenne du liquide dans letube.

Indication: (v.grad)v = grad(v2/2) - v^rotv.

Exercice 20Un fluide parfait incompressible se déplace de manièrestationnaire dans une conduite de section et hauteur va-riables: figure. Montrer que la conservation de l’énergiemécanique conduit à l’équation de Bernoulli.

Exercice 21De l’eau, considérée comme un fluide parfait incompressible, s’écoule dans un canalhorizontal de section rectangulaire variable. On admet que l’écoulement est perma-nent et que la répartition de la vitesse est uniforme dans toute la section.Déterminer comment varient la hauteur h du niveau d’eau et la vitesse v de l’écoule-ment lorsque la largeur l du canal diminue; discuter les cas possibles.Remarque: une application intéressante est le rétrécissement d’une rivière au passage

autour des piles d’un pont. Indication: s’intéresser à dv/dl et dh/dl

Exercice 22Les siphons (3) et (4) de la figure permettent de vider le récipient sans accessoire, sansincliner le récipient et sans aspirer le liquide ou placer au préalable le siphon dans leliquide.Pour le dispositif (3), il suffit de plonger le tube en fermant au préalable son extrémitéextérieure avec le doigt, puis d’enlever le doigt lorsque l’extrémité intérieure est quasiau fond du récipient. Le dispositif (4) démarre sans obturation préalable !a. Pour le dispositif (1), expliquer pourquoi le liquide sort de l’extrémité supérieure

du tube de diamètre D si le tube est plongé dans le liquide en fermant au préalableson extrémité supérieure avec le doigt, puis en enlevant le doigt lorsque l’extrémitéinférieure est quasi au fond du récipient.

b. Est-ce que la hauteur h’ à laquelle s’élève le liquide dans le dispositif (2), dont lapartie du tube hors récipient a un diamètre D < d, est supérieure à celle du siphon(1) ?

c. Déterminer la longueur L du la partie descendante du siphon (3) permettant de vi-der le récipient complètement.

d. Expliquer le fonctionnement du siphon (4).

a

b

Ltv sd

a

b

v2

2----- p

---+–

a

bg sd

a

b

+=

z1

z2


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Hypothèse: l’influence de la viscosité du liquide est négligeable.

Exercice 23Calculer la pression (en bars), le débit et la puissance hydraulique minimale de lapompe nécessaires pour alimenter un jet d’eau de diamètre initial 107 mm s’élevant àune hauteur de 156 m.Hypothèses: - La vitesse dans la conduite horizontale d’amenée d’eau est négligeable.

- Le réservoir alimentant la pompe est à la pression atmosphérique.

Exercice 24Une conduite de section constante est remplie d’unfluide parfait incompressible: figure. A l’instant t = 0,on ouvre brusquement la vanne du point C. Déterminerla répartition de la pression en tout point z et x de laconduite de hauteur et largeur H juste après l’ouver-ture de la vanne; montrer qu’elle vaut la moitié de savaleur avant l’ouverture dans le tronçon AB.Convention: la pression atmosphérique est prise commepression de référence, i.e. patm = 0.

Exercice 25Un planeur, dont la masse (avec son pilote) est de300 kg, a une surface d’ailes de 15 m2. Le planeurse trouve initialement à une hauteur de 1000 mdans un air sans courants verticaux ou horizon-taux. Déterminer le point de fonctionnement sur lapolaire du planeur (figure), l’incidence de l’aile, lesvitesses horizontale et verticale, le trajet parcouruet le temps de vol dans les deux situations sui-vantes:a. le pilote désire poser son planeur le plus loin

possible,b. le pilote désire avoir la vitesse absolue mini-

male.Hypothèse: le planeur est en descente stationnaire.

H

h

(1) (2) (3) (4)

L

A, ouvert

B C, fermé

x

g

z

0,2

0,4

0,6

0,8

0,04 0,080

Ct

Cp

= 0o

3o

-2o

5o


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Exercice 26De l’eau, considérée comme un liquide parfait in-compressible, s’écoule par l’orifice de section SBd’un récipient cylindrique de section S. Ce réci-pient peut être soit ouvert en enlevant le cou-vercle, soit fermé et contenir un gaz souspression.a. Déterminer le temps nécessaire pour que le ré-

servoir se vide de moitié dans le cas «ouvert».b. Etablir l’expression de la vitesse d’un point A de la surface du liquide lorsque le ré-

cipient est fermé et contient un gaz parfait à pression pg.c. Calculer le temps nécessaire pour que le réservoir se vide de moitié si un dispositif

permet de maintenir la pression du gaz et sa température (égale à celle de l’eau)constantes.

Hypothèse: l’écoulement est quasi-stationnaire, i.e. l’équation de Bernoulli peut êtreutilisée.

Exercice 27Calculer la puissance électrique que l’on pourrait générer si toute l’énergie de l’eautombant aux chutes du Niagara pouvait être utilisée.Données: hauteur moyenne des chutes: h = 30 m; vitesse de l’eau au sommet: 40 mph,débit du fleuve: 2835 m3/s.

Exercice 28On dispose d’un profil d’aile fixé à une hélice, caractérisé par une coefficient de por-tance Cp = 1 et une finesse f = 10.a. De quelle surface de voilure un homme devrait-il disposer pour voler par sa propre

énergie musculaire ?b. A quelle vitesse pourra-t-il se déplacer ?Données: poids de l’homme 70 kg et de la voilure 10 kg; puissance musculaire P = 200

W; rendement de l’hélice = 0,8.

Exercice 29Les anciens Egyptiens mesuraient le temps au moyen d’une cle-psydre constituée d’un récipient contenant un liquide incom-pressible, percé d’un trou dans sa partie inférieure. Le niveaudu liquide défile à des intervalles de temps égaux devant desgraduations équidistantes selon l’axe vertical du récipient. Dé-terminer la forme géométrique r(z) du récipient possédant unaxe de révolution vertical en supposant que le liquide est par-fait.

couvercle

Eau

Gaz

Hh(t)

A

B

r(z) z

0


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Exercice 30L’indication d’une jauge d’essence d’une voi-ture, placée au fond du réservoir, est propor-tionnelle à la surpression en cet endroit: figure 2.Le réservoir contient de manière accidentelleune hauteur de 2 cm d’eau. Quelle sera la hau-teur d’air restant lorsque l’indication indique“réservoir totalement plein”.Indications: ess = 680 kg/m3 et air = 1,2 kg/m3

Exercice 31Une voiture de course déploie un pa-rachute pour se freiner à partir d’unevitesse initiale de 100 m/s: figure. Ensupposant que les coefficients detraînée Ctv de la voiture et Ctp du parachute sont constants au cours de la décéléra-tion, calculer la distance parcourue et la vitesse de la voiture après 1, 10, 100 et 1000 s.Données: Ctv = 0,3; Ctp = 1,2; mv = 2000 kg, surface «portante» Sv = 1 m2 et Sp = 3 m2.

Ces surfaces correspondent aux surfaces de ces objets, projetées dans unplan perpendiculaire à la vitesse relative.

Exercice 32Etablir l’équation de Bernoulli décrivant l’écoulement stationnaire le long d’une lignede courant d’un gaz parfait en évolution isotherme.Indication: l’équation d’Euler décrivant l’écoulement stationnaire d’un fluide parfait

est donnée par:

Exercice 33Chaque aile d’un avion a une surface de 80 m2. L’air (fluide parfait) circule à une vi-tesse de 200 m/s au-dessus des ailes et 180 m/s au-dessous. Quelle est la force de por-tance dont bénéficie l’avion ?

Exercice 34Quel est le débit d’un robinet d’eau de 8 mm de diamètre si la pression dans laconduite est de 200 bars. Le diamètre de la conduite est beaucoup plus grand que ce-lui du robinet.

Exercice 35Le fond d’un récipient cylindrique de rayon R et dehauteur 2h est percé d’un trou circulaire de rayon r<< R: figure. On remplit le récipient jusqu’à unehauteur h avec un liquide incompressible de densi-té , supposé parfait .a. Calculer le temps T nécessaire pour vider le réci-pient.On répète l’expérience après avoir fermé la face supérieure du récipient. Initialement,la pression de l’air au-dessus du liquide de hauteur h est égale à la pression atmos-phérique pa:

patmh = ?

2 cm

30 cm

jauge

x

g gradp– grad v2

2----- – 2– v T=

2h

h

0

z


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b. Décrire par une phrase ce qui se passe au cours de l’écoulement.c. Si le récipient ne se vide pas complètement, déterminer la hauteur z du liquide res-

tant en supposant que la hauteur initiale h du liquide est telle que gh << pa.d. Application numérique: R/r = 100; h = 5 cm; = 1 g/cm3.Hypothèses: - la vitesse v du liquide est identique en tout point de la section du trou.

- l’air est un gaz parfait et les expériences ont lieu à températureconstante.Indication: pour x << 1,

Exercice 36Le seuil AB d’un déversoir* d’eaude largeur L est suffisamment longpour que la vitesse v du liquide soitconsidérée comme uniforme et hori-zontale dans la section S = L·(H - y)de liquide au-dessus du réservoir:figure.a. Déterminer, en fonction de la

baisse de niveau y et de la vitesse v0 (figure), le débit Q qui traverse la section S.b. pour quelle valeur de y le débit est-il maximal ?c. Calculer le débit maximal.d. Calculer le débit maximal en fonction de L et H si la vitesse v0 est négligeable.Hypothèses: l’eau est considérée comme un liquide parfait incompressible et l’écoule-

ment est stationnaire.*Ouvrage au-dessus duquel s’écoule le trop-plein des eaux d’un bassin ou d’un canal.

1 x+ 1 x 2+

A B

v0

yH

S


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Section 4: statique des fluides

Exercice 37Une centrifugeuse à lait est formée d’un corps cylin-drique creux tournant autour de son axe vertical à vi-tesse angulaire . Le lait est introduit par l’orifice 1.a. Indiquer par quel orifice sort la crème, dont la densité

c est plus petite que celle du petit lait: p.b. Déterminer le rapport entre la force de séparation

(horizontale) de cette centrifugeuse et la force verti-cale.

Application: 15’000 tours/min; r = 2 cm.Indication: le lait est une émulsion de graisses (crème)

dans une solution aqueuse (petit-lait)Hypothèse: les particules de crème ne se sont pas encore en mouvement au moment du

calcul !

Exercice 38Un flotteur sphérique de rayon R et poids P doit assurer l’ob-turation d’un orifice circulaire dans le fond d’un récipient: fi-gure. La hauteur H de liquide (densité ) peut être inférieureou supérieure à 2R - h.Tracer le graphique des forces de pression F(, R, h) sur leflotteur en fonction de H et discuter les possibilités d’obtura-tion en fonction de P.

Exercice 39Est-ce que le niveau de la mer change lorsqu’un iceberg flottant fond ?

Exercice 40Considérer le dispositif de la figure. Un tube cylindrique,de section A et longueur L, est ouvert à son extrémité infé-rieure. Il est plongé dans de l’eau et peut être placé à diffé-rentes hauteurs H. En considérant l’air comme un gazparfait, imaginer une méthode permettant de mesurer g sivous avez à disposition un système de mesure de lon-gueurs et si les températures Tatm et Ta de l’air dans letube sont connues.

Exercice 41Quelle est la valeur de l’angle dans ledispositif de la figure ci-contre.Données: h, L, huile et eau.Indication: les 2 surfaces libres sont encontact avec l’air.

1

23

r

h

HR

patm

patm

H L

eau

Lh

h

huile


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Exercice 42Un récipient cylindrique vertical, contenant un liquide incompressible, tourne autourde son axe à vitesse angulaire constante. Une boule de petites dimensions, de densi-té s, est immergée dans le liquide de densité > s; à une certaine distance r de l’axe.Elle est retenue par un fil fixé au fond du récipient.a. Exprimer les forces s’exerçant sur la petite bouleb. Déterminer l’angle de déviation du fil par rapport à la verticale en fonction de la

distance de la boule à l’axe du récipient, de et g.

Exercice 43Un accéléromètre bon marché peut êtreréalisé avec un tube en U: figure.a. Déterminer h si l’accélération a, hori-

zontale, est de 6 m/s2.b. Est-ce que la graduation de l’accéléra-

tion le long du tube est linéaire ?Application: L = 18 cm, D = 5 mm

Exercice 44Un ludion cylindrique (~verre renversé) de rayon r et massem est immergé dans un récipient d’eau: figure. Sa partie supé-rieure contient une hauteur h d’air. La pression au-dessus durécipient est la pression atmosphérique.a. Déterminer la résultante F des forces verticales agissant sur

le ludion en fonction de h et tracer le graphique F(z).b. Déterminer la profondeur z à laquelle le ludion sera en

équilibre.c. Que se passe-t-il si la pression atmosphérique augmente ?Indications: - l’air est considéré comme un gaz parfait isotherme,

- l’épaisseur des parois du ludion est négligeable.

Exercice 45Un tube fermé contenant un gaz parfait de masse molaireM tourne autour d’un axe vertical avec une vitesse angu-laire constante.Déterminer la pression en tout point du tube sachant quela pression sur l’axe de rotation vaut po.Indications: - l’effet de la pesanteur est négligeable,

- la température T du gaz est constante.- en coordonnées cylindriques (r,,z),

Exercice 46Le vendeur d’une magnifique couronne vous assure qu’elle est en or massif. Avant del’acheter, vous souhaitez naturellement le vérifier. Montrer qu’une balance et un réci-pient rempli d’eau vous suffisent.

a

L

L/2

h

D

niveau liquidelorsque a = 0

z

L

gradU Ur

------- 1r--- U

------- U

z-------

=


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Exercice 47Un ballon de volume V0 est rempli d’hélium au niveau de la mer. Son poids total estinférieur à la force d’Archimède qu’il subit.a. Montrer que la force d’Archimède décroît avec l’altitude, puis déterminer l’altitude

maximale théorique que le ballon atteindra. Utiliser les indications ci-dessous pourcalculer cette altitude maximale.

De manière à augmenter l’altitude maximaleque peuvent atteindre des ballons tout en ren-dant faisable les lancers, des scientifiques japo-nais ont construit un ballon de très grandvolume Vm qu’ils ont gonflé partiellement (vo-lume V0 << Vm) avec de l’hélium (Yamagami etal., advances in space research 33, 2004).b. Montrer que la force d’Archimède reste

constante en fonction de l’altitude tant queV(z) < Vm.

c. Déterminer l’altitude z’ à laquelle le ballon atteindra son volume maximal ainsi quela force d’Archimède à cette altitude.

d. Déterminer l’altitude maximale théorique z* que le ballon atteindra, puis utiliser lesindications ci-dessous pour calculer cette altitude maximale. Discuter la différenceentre votre réponse et l’altitude réelle de 53 km atteinte par le ballon japonais.

e. Quel est l’avantage d’un gonflement partiel du ballon lors du lancer ?Hypothèse: l’hélium et l’air sont considérés comme des gaz parfaits en équilibre de

température et de pression. L’air suit une évolution adiabatique.Indications: V0 = 100 m3; Vm = 60’000 m3; masse totale de chaque ballon m = 50 kg.

Exercice 48Une cloche hémisphérique, de rayon R et masse m, estposée sur une surface lisse horizontale: figure.On verse de l’eau par une ouverture existant au som-met de la cloche. A une hauteur d’eau h, la cloche sesoulève.a. Expliquer cette observation par une phrase.b. Déterminer l’expression de h.c. Application: m = 1 kgd. Peut-on trouver une contrainte géométrique de cette cloche qui l’empêcherait de se

soulever ?

Exercice 49Un wagonnet, rempli d’un liquide incom-pressible, monte le long d’un plan inclinéavec un accélération a constante parallèleau plan incliné: figure. Son toit est munid’une ouverture au point A.Déterminer la pression en un point quel-conque du liquide, puis aux points parti-culiers B, C et D.Indication: utiliser le repère indiqué sur la figure.

z = 0 z = z’

Vm

V0

h

a

LH

B

C

D

A

x

y


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Exercice 50Sur la place St-François de Lausanne, des étudiants en physique de l’EPFL proposentd’étonner le public en faisant éclater un tonneau en chêne en utilisant moins d’un litred’eau !Considérer le tonneau de la figure, formé de douves enchêne, rempli d’eau et fermé hermétiquement. Un petittrou est percé sur le sommet du tonneau pour intro-duire un tube capillaire de quelques millimètres de dia-mètre.a. Expliquer pourquoi le remplissage du capillaire avecmoins d’un litre l’eau pourrait permettre de faire écla-ter le tonneau ?b. Calculer la force exercée sur une douve.Application: chaque douve a une hauteur d’1 m et unelargeur de 10 cm; h = 10 m.Remarque: cette expérience historique est appelée «ton-neau de Pascal».

Exercice 51Déterminer la résultante des forces de pressionagissant sur la surface cylindrique A d’un récipientcontenant de l’eau: figure. La hauteur du liquide estégale au rayon de courbure R de la face A.Préciser le point d’application et la direction decette résultante.

Exercice 52On plonge un densimètre* dans un récipient d’eau:figure.On verse ensuite à la surface de l’eau une couched’huile de densité h inconnue.a. Que fait le densimètre.b. Déterminer la densité de l’huile.Indications:S est la section du tube du densimètre.V0 est le volume du densimètre depuis le bas jus-qu’au 1er trait de la graduation.*Un densimètre est un cylindre creux, lesté et gradué, qui s'enfonce plus ou moinsdans le liquide à mesurer selon sa densité. On lit directement la densité du liquidedans lequel il est plongé sur la graduation présente à la surface libre.

h

AR

L

h1

{V0

huile

eau


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Section 5: dynamique des fluides visqueux

Exercice 53Sous l’effet de la pesanteur, un liquidevisqueux et incompressible d’épais-seur constante a est en écoulementpermanent bidimensionnel sur uneplaque inclinée: figure.Soit v = (u,0,w) la vitesse du liquideselon les axes x, y et z.a. Montrer qu’en réalité l’écoulement est unidimensionnel selon x.b. Calculer la pression p(x,z) en tout point de l’écoulement.c. Déterminer l’expression de la vitesse u(x,z) du liquide.d. En déduire le débit volumique par unité de largeur de la plaque.

Exercice 54Un récipient cylindrique de rayon R laisse écou-ler le liquide visqueux qu’il contient par untube horizontal de rayon r et de longueur L.En t = 0, le niveau dans le récipient est à h0 au-dessus du tube. Après un temps t*, le niveau abaissé de moitié. Déterminer la viscosité de celiquide de densité . La hauteur est négli-geable.Indication: ln 2 0,7.Application: R = 2,5 cm; r = 0,5 mm; L = 40 cm; h0 = 5 cm; t* = 75 min; = 1,3 g/cm3

Exercice 55Deux tubes verticaux de diamètre D contiennent un liquide incompressible de densité et viscosité . Ils sont reliés à leur base par un petit tube horizontal de rayon r << Det de longueur L. Initialement, les niveaux de liquide dans les 2 tubes ont une diffé-rence de hauteur H1. Calculer le temps nécessaire pour que la différence de hauteurdiminue et devienne H2.Rappel: pour un écoulement de Poiseuille, le profil de vitesses dans un tube de rayon r

est décrit par: .

Exercice 56Considérer un écoulement de Poiseuille dans une conduite cylindrique horizontale.a. Déterminer l’expression et la direction des vecteurs tourbillon, puis discuter leur

origine.b. Exprimer le tenseur des contraintes dynamiques agissant en tout point du fluide.c. Calculer la force de frottement exercée par le fluide sur la paroi.

Exercice 57Déterminer, puis dessiner le profil des vitesses de l’écoulement d’un liquide visqueuxincompressible entre deux plans parallèles horizontaux séparés d’une distance 2h (fi-gure ci-dessous) lorsque:a. Le plan supérieur se déplace à une vitesse constante vt selon x et aucun gradient de

a

z

x

gliquide

v r' p4L----------- r2 r'2– =


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pression n’est appliqué. Cette situation vous rappelle-t-elle un résultat du chapitre«propriétés élastiques des solides et des fluides» ?

b. Les deux plans sont fixes, mais un gradient de pression constant p/x = - K est ap-pliqué

c. Le plan supérieur se déplace à vt et un gradient de pression p/x = - K est appli-qué.

Exercice 58Sous l’effet d’une différence de pression p1 - p2, un liquideincompressible de viscosité s’écoule entre 2 plans paral-lèles de longueur b, séparés par une distance e: figure. Ennégligeant les effets de bords, calculer:a. Le débit volumique Q pour une largeur a.b. La force exercée par le fluide sur une largeur a de l’une des plaques, en fonction du

débit Q.c. Calculer la vitesse moyenne du fluide dans le jeu e entre le cylindre et le piston.d. Utiliser ces résultats pour déterminer la force s’exerçant sur un

piston d’épaisseur b et de masse négligeable se déplaçant à vitessev0 constante dans un cylindre rempli d’un liquide visqueux: fi-gure. On admet que le jeu e entre le cylindre et le piston est beau-coup plus petit que le rayon r du cylindre.

Application: r = 5 cm; e = 1 mm; b = 10 cm; v0 = 1 cm/s; = 1 Pas

Exercice 59Un des premiers appareils de mesure de laviscosité des liquides était le viscosimètre ca-pillaire: figure.a. Montrer que la viscosité peut être détermi-

née en connaissant la géométrie du dispo-sitif, le débit du liquide et la hauteur h dela colonne de mercure.

b. Calculer la viscosité du plasma sanguinpour un capillaire de R = 0,8 mm de rayonsi h = 4 cm, Q = 5 ml/s, L = 10 cm.

Exercice 60Une maquette d’hydravion est réalisée à l’échelle 1/10. Elle décolle à la vitesse de 50km/h. En négligeant l’influence du nombre de Reynolds sur le coefficient de portanceCp, calculer la vitesse de décollage du prototype.

vx(z) = ?

x

z

vx(z) = ? vx(z) = ?

(a) (b) (c)

vt vt

p/x = 0 p/x 0 p/x 0

vt = 0

p1

p2

ba

v0

h

L

capillaireQ


- 16 -

Exercice 61La figure présente un vaporisateur rudimen-taire. Un débit permanent Qa d’air en A assureun débit Q de liquide en C. Les sections en A etC sont à la pression atmosphérique patm.a. Enoncer les hypothèses faites pour résoudre

ce problème.b. Etablir l’expression du débit Q en fonction du

débit Qa et des grandeurs connues.c. Tracer et discuter la courbe Q(Qa) lorsque Qa

diminue jusqu’à zéro.Indication: vitesse de l’air vA << vB.Connus: densité l et viscosité du liquide, densité a de l’air, rayon R et longueur L

du tube vertical, hauteur h, section SB de passage de l’air en B.

Exercice 62L’équilibre d’un fluide visqueux et incompres-sible est perturbé par le mouvement oscillatoirede la plaque horizontale “infinie” sur lequel ilrepose: figure. Ce mouvement, horizontal, estdécrit par vx(y=0,t) = v0cost.Déterminer:a. la vitesse vx(x,y,z,t) et la pression p(x,y,z,t) du fluide, sachant que vy et vz sont

nulles.b. la hauteur caractéristique y = telle que l’amplitude de la vitesse du fluide est

amortie d’un facteur 1/e par rapport à celle de la plaque.c. le rapport /L exprimé en fonction de = Lv0/; ±L/2 est l’amplitude du dépla-

cement de la plaque.Indications: - vx peut être calculé par la méthode de séparation des variables,

- relation des nombres complexes: ; a est un nombre réel.

Exercice 63Lors de l’étude de la viscosité d’unliquide incompressible, nous avonsconsidéré comme résultat expéri-mental le fait que la vitesse v aug-mentait linéairement entre deuxplaques en mouvement relatif.a. Démontrer ce résultat en partant

des équations de continuité et deNavier-Stokes appliquées à l’écoulement stationnaire entre deux plaques de dimen-sions infinies, séparées par une distance h, et dont l’une est en mouvement à vitesseconstante W par rapport à l’autre: figure.

b. En utilisant l’équation constitutive d’un fluide isotrope, retrouver l’expression de lacontrainte exercée sur la plaque supérieure.

c. Si la pression p0 sur la face supérieure du liquide est imposée, comment varie lapression selon la hauteur du fluide et comment le profil de la vitesse de la question(a) est modifié ?

h

A B

patm

L

C. .

y

xvx

e aj e a 2 ej a 2=

v(y)

W

x0

y


- 17 -

Exercice 64Une lance incendie de 8 cm de diamètre intérieur estmunie d’un embout de 3 cm de diamètre. Emboutouvert, la lance a un débit de 40 l/s.a. Calculer la pression totale p0 sous laquelle travaille

la lance. p0 est défini comme la pression que l’onobtiendrait si l’écoulement était décéléré sanspertes jusqu’à une vitesse nulle, i.e. p + v2/2. En déduire la surpression.

b. Déterminer la résultante des forces à laquelle doit résister le pas de vis lorsque l’em-bout est ouvert.

c. Déterminer la résultante des forces à laquelle doit résister le pas de vis lorsque l’em-bout est fermé.

d. Donner votre interprétation physique de la pression totale p0.

Exercice 65Un liquide incompressible de densité et de viscosité sort d’un grand réservoir viaun tube cylindrique horizontal de rayon interne R et de longueur L: figure. La hauteurdu liquide dans le réservoir reste pratiquement constante lors de l’expérience. L’écou-lement est laminaire en tout point du tube. En négligeant les pertes visqueuses dans leréservoir et à l’entrée du tube (en B), trouver en fonction de h, , , g, L, R et patm:a. la pression pB à l’entréedu tube,b. le débit Q dans le tube,c. la pression en tout pointdu tube.

Exercice 66Un cylindre (rayon R, longueur L) d’axe horizontaltourne à vitesse angulaire constante dans un fluideparfait de densité s’écoulant horizontalement à unevitesse constante v loin de cet obstacle: figure. Etablirla formule de Kutta-Joukowski exprimant la force deportance du cylindreIndication: la vitesse du fluide autour d’un cylindre ne tournant pas a été déterminée

dans l’exemple de la section 2.6.

Exercice 67Dans un échantillon de sang au repos, la différence de densité entre les globulesrouges (g = 1.1 g/cm3) et le plasma (p = 1.03 g/cm3) provoque une sédimentationdes globules. La vitesse de sédimentation, obtenue en mesurant la hauteur hp de plas-ma dans un tube après un temps T, est un paramètre de diagnostic.En considérant les globules sphériques de rayon R = 4,7 m, déterminer la vitesse desédimentation et la hauteur hp lorsque T = 1 heure si la viscosité du plasma est de1,7.10-3 Pas.Remarque: en réalité, un globule rouge a la forme d’un disque bi-concave de diamètred’environ 7.5 m et d’épaisseur de 2,8 m.

hB

L

A

C

y

r

v


- 18 -

Exercice 68On utilise une soufflerie pour reproduire avec une maquette de 20 cm de haut une si-tuation dans laquelle un véhicule de 5,5 m de haut se déplace à 15 m/s. Quelle doitêtre la vitesse de l’air dans la soufflerie? L’écoulement risque-t-il d’être turbulent ?

Exercice 69Les composantes vr, v de la vitesse et la pression du fluide dansun écoulement de Stokes autour d’une sphère de rayon R sontdonnées en coordonnées sphériques par:

a. Déterminer la vitesse v.b. Dessiner le graphique de p(z) le long du chemin A,B,C,D,E.c. Calculer la force de traînée.

Exercice 70Pour un vaisseau sanguin modélisé par un tube rigide de rayon a dont la longueur Let le débit Q sont imposés, Murray (1926) a proposé une fonction "coût", P, dont le mi-nimum devrait correspondre à une géométrie optimale des vaisseaux du système ar-tériel. Cette fonction P, exprimée en [W], est obtenue en considérant le travail àfournir pour assurer la circulation du sang ainsi que l'énergie métabolique absorbéepar la paroi, supposée proportionnelle à sa masse:

P = Qp + ka2L; k = constante de proportionnalitéLe modèle de Murray décrit de façon satisfaisante la géométrie de l'arbre artériel.a. Déterminer la relation optimale rayon-débit en minimisant la fonction coût et en

supposant un écoulement de Poiseuille.b. Les fonctions coût des différents

segments de l'arbre artériel étantadditives, déterminer la géomé-trie optimale en B, i.e. les angles et , d'une bifurcation reliant 3vaisseaux dont les débits et lesextrémités A, C et D sont fixés:figure.

c. En supposant des bifurcationstelles que a1 = a2 (==> = ), déterminer le nombre de bifurcations successives pourpasser de l'aorte (a0 = 1,3 cm) aux capillaires (a = 5.10-4 cm). En déduire le nombrede capillaires et comparer avec les données physiologiques !

Exercice 71Un cylindre horizontal de rayon R1 se déplace parallèlement à son axe avec une vi-

v

z

A

B

C

D

E

x

y

vr r v 13R2r-------–

R3

2r3--------+cos=

v r v– 13R4r-------–

R3

4r3--------–sin=

p r p v3R

2r2-------- cos–=

a2

a0

D

CL1

L0

L2

AB

a1


- 19 -

tesse u à l’intérieur d’un tube coaxial de rayon R2. Les 2 axes sont confondus. Déter-miner le profil de la vitesse du liquide visqueux incompressible occupant l’espace R1r R2 ainsi que la force de frottement par unité de longueur exercée sur le cylindreet le tube.Hypothèse: le régime stationnaire est établi.

Exercice 72Un liquide visqueux incompres-sible est en écoulement laminaireunidirectionnel (selon z) entre 2plaques parallèles séparées d’unedistance 2h: figure. L’écoulementest créé par un gradient de pres-sion dp/dz = -p constant.La plaque inférieure est immobileet la plaque supérieure se déplace à une vitesse V constante selon z > 0.Déterminer le profil des vitesses du liquide dans l’espace séparant les plaques, puisesquisser sans faire de calculs le résultat si:a. p > 0.b. p < 0.c. p = 0.Hypothèse: les effets de la gravitation sont négligeables (plaques horizontales).

Exercice 73Plusieurs places publiques sont agrémentéesd’une fontaine en granit, constituée d’unesphère de granit «flottant» sur un film d’eauen écoulement stationnaire et pouvant ainsiêtre mise en rotation sans effort: figure. Citonscomme exemple la fontaine placée devant leScience Museum of Virginia (USA), d’un dia-mètre de 2,65 m et d’un poids de 27 tonnes !Considérer une sphère de rayon R et masse men contact avec un film d’eau d’épaisseur hconstante sur une surface définie par l’angle variant de ±max. a. Estimer la pression moyenne du film d’eau nécessaire à la flottaison de la sphère.b. En négligeant l’effet des forces d’inertie, de gravitation et d’Archimède, déterminer:

b.1. Le profil de la vitesse du liquide dans le film en fonction du débit Q, de h, etR.

b.2. La pression dans le film d’eau en fonction de , h et Q. c. Analyser l’effet de la force de gravitation et montrer qu’elle est négligeable.d. Vérifier que la contribution de la force d’Archimède est négligeable.e. Est-ce que les particules fluides sont soumises à une force d’inertie ? Si oui, estimer

son importance.f. Montrer que si l’on considère uniquement la force d’inertie du liquide supposé par-

fait, la lévitation de la sphère est impossible.Hypothèses:

- L’eau est considérée comme un liquide visqueux incompressible.

y

zh

-h

0

Q


- 20 -

- Les contraintes tangentielles dans le liquide ne contribuent pas à la force de sus-tentation.- La force d’Archimède est négligée.- Les effets de la gravitation sont négligeables.- Le débit Q utilisé (cf indications) est suffisamment petit pour négliger les forces

d’inertie.Indications: R = 0,5 m; h = 0,3 mm; granit: = 2700 kg/m3; Q = 1 l/s; max = 35o (fon-

taine de la House of Science, Patras, Grèce).

Exercice 74La viscosité d’un milieu fluide de densité 1 = 0,8 g/cm3 est déterminée en mesurantle temps de chute d’une bille d’acier de densité 2 = 7,8 g/cm3 et de rayon r = 2 mm.L’expérience montre que la bille, partant avec une vitesse nulle, parcourt 10 cm en 5secondes.Calculer la viscosité du milieu fluide.

Exercice 75Considérer l’écoulement de Poiseuille défini et analysé à la section 5.2 du polycopié.a. Montrer que cet écoulement n’est pas irrotationnel et déterminer la direction et

l’amplitude des vecteurs tourbillon.b. Décrire le mouvement d’une particule fluide.c. Déterminer le tenseur des contraintes en tout point de l’écoulement, puis la force de

frottement exercée par la paroi sur le fluide.

Exercice 76Déterminer l’épaisseur e de la couche limite de fluide en-traînée par une plaque se déplaçant horizontalement dansce fluide à la vitesse constante v0: figure.Indication: fluide de densité et viscosité ; a << L.Application: pour L = 10 cm et v0 = 10 cm/s, calculer e pourl’eau et la glycérine.

Exercice 77Quelle est la force exercée par un jet d’eau sur uneparoi fixe contre laquelle il est projeté avec un angle à la vitesse v, et où il se disperse latéralement: fi-gure ?Hypothèse: l’eau est considérée comme un fluide par-fait.

S

La

v0

L

h

v


- 21 -

Exercice 78a. Quelle est la puissancefournie par une turbine àaubes et sous quelles condi-tions cette puissance est-ellemaximale ?Chaque aube est double surla largeur de la turbine: fi-gure vue de dessus.Indication: utiliser un réfé-rentiel en translation avecl’aube à vitesse u.b. L’alternateur couplé à la turbinedoit tourner à une vitesse u constantepour fournir un courant électrique defréquence fixe (50 Hz). La puissance àfournir pouvant varier en fonctiondes besoins des utilisateurs, la sectionS du jet est réglée par une vanne àpointeau: figure. Déterminer la puissance fournie en fonction de la pression p1 don-née par la hauteur de la chute d’eau, de S1 et S.

v

v

u

Aube, vue de dessus

u

vv1

p1

S

S1

p0


- 22 -

Section 6: physique des surfaces: tension superficielle et capillarité

Exercice 79Déterminer la hauteur h(x) du liquide à l’intérieur dusystème formé par deux plaques de verre verticales for-mant un angle faible .Indication: établir d’abord la loi de Jurin pour 2 plaques

parallèles.

Exercice 80Une bulle d’eau de savon a un rayon de 3 cm. Elle est distendue jusqu’à un rayon de5,4 cm.a. Quelle est la différence de pression initiale entre l’intérieur et l’extérieur de la bulle?b. Idem lorsque la bulle a pris sa dimension finalec. Quel est le travail fourni à l’atmosphère lors du gonflage de la bulle ?d. Quelle est l’énergie à fournir pour augmenter la surface de la bulle ?

Exercice 81Un liquide de densité mouille une paroi verticale: fi-gure.a. Considérer la partie du ménisque comprise entre x et

l’infini. Déterminer la projection horizontale de toutesles forces agissant sur cet élément du ménisque, puisécrire la relation z(x) décrivant son équilibre.

b. En déduire la hauteur h du ménisque.

Exercice 82La pression de vapeur saturante ps d’un liquide, indiquée dans les tables, se réfère àune interface liquide/vapeur plane.a. Ecrire les conditions d’équilibre mécanique et thermodynamique* d’un liquide pur

en équilibre avec sa seule phase vapeur lorsque l’interface a une courbure .b. Montrer que la pression de vapeur saturante ps d’une goutte sphérique de rayon r

est donnée par l’équation ci-dessous, puis discuter le résultat:

; est le volume occupé par une mole de liquide.

c. Déterminer la pression de vapeur saturante ps d’une cavité sphérique de rayon r etdiscuter le résultat.

d. Considérer un solide poreux dont les pores cylindriques de rayon r sont partielle-ment remplis d’un liquide dont la vapeur constitue la phase gazeuse. Le liquidemouille parfaitement la paroi des pores. Montrer que les pores vont se remplir de li-quide par condensation, même en présence d’une vapeur non saturée. Calculer en-suite le rayon des pores permettant de construire un dispositif de récupérationd’eau en condensant la vapeur contenue dans de l’air à 90% d’humidité.

Hypothèse: la température est constante et la vapeur est assimilée à un gaz parfait.*Rappel: l’équilibre thermodynamique impose l’égalité des potentiels chimiques des

x

h

x

h

ps r pse2Vl RTr

= Vl


- 23 -

phases.

Exercice 83Déterminer la force de «collage» de deuxplaques horizontales par un pont liquide quiles mouille partiellement, i.e. 0 < /2: fi-gure.Ce pont est obtenu en écrasant une goutteentre les 2 plaques.Hypothèses: H << R1 et effets de la gravitation négligeables.Application: eau, R1 = 1 cm, H = 5 m, = 30o.

Exercice 84Une goutte sphérique de rayon R est poséesur un cheveu de rayon b << R. Le liquidemouille le cheveu et s’y raccorde avec unangle = 0. La goutte prend une forme quiminimise sa surface en respectant cettecondition de bord; la figure décrit cetteforme dans le cas considéré ici où les effetsde la gravitation sont négligeables. s estl’abscisse curviligne le long de la surface supérieure de la goutte, dans le plan xz: fi-gurea. Montrer que le profil z(x) de la goutte est donné par:

avec

b. Calculer la surpression dans la goutte en fonction de sa hauteur L.

Exercice 85Déterminer le temps nécessaire pour vider l’air contenu dans une bulle sphérique derayon R en créant dans sa paroi un orifice de section S constante.

Exercice 86Un cylindre vertical de rayon r0 est partiellement im-mergé dans un liquide mouillant, de densité : figure.a. Exprimer la relation entre l’altitude z d’un point de

la surface libre du liquide et les rayons de courbureR1 et R2 en ce point.

b. Etablir l’expression de la surface libre z(r) en fonction de lg, , g et de l’angle deraccordement (r) uniquement.

c. Montrer que le poids FC du volume de liquide déplacé par la partie annulaire duménisque telle que r r0 est égal à la composante verticale de la force de tension su-perficielle due à lg, agissant sur la ligne triple.

H

R1yz

z

x

L s

z

1 z· 2+

1 2--------------------------- p

2------- z2 b2

– – b= z·xd

dz=

r

z


- 24 -

Exercice 87Deux tiges rectilignes pesantes sont reliées entre elles par deuxfils souples de même longueur que les tiges. Une lame liquide esttendue sur cet ensemble: figure. La tige supérieure étant fixée ho-rizontalement, la forme des fils est circulaire. Calculer la distanceséparant les tiges.Application: lame 50 dyn/cm; masse d’une tige 10 g; longueur des

fils et des tiges L = 10 cm; le poids des fils est négligeable.

Exercice 88Un récipient, fermé par un piston, contient une goutte liquide en contact avec unephase gazeuse constituée des mêmes espèces chimiques que la goutte.On suppose que les phases liquide , gazeuse et superficielle sont en équilibrechimique (égalité des potentiels chimiques) et thermique.a. Ecrire les équation de Gibbs de chaque phase ainsi que du système entier.b. Lors d’un déplacement du piston, le volume du récipient est diminué de dV. Mon-

trer que les pressions sont alors reliées par:

A est la surface et V le volume de la goutte.c. Montrer que la relation obtenue en b) conduit à la loi de Laplace si la goutte liquide

est sphérique.

Exercice 89Les pattes de certains insectes (p. ex. gerris) sont recouvertes d’une sorte de cire qui re-pousse l’eau (matériau non mouillant) et leur permet de marcher à la surface de l’eau.Déterminer le poids maximum d’un gerris pour qu’il puisse flotter sur l’eau et sur unenappe de mazout (mazout-air 1/3 eau-air).Indications: - Suite à une manipulation génétique, l’extrémité de chacune de ses 6 pattes est sphé-

rique, de rayon r = 20 m !- Supposer que la force d’Archimède est négligeable dans ce problème, puis justifier

en fonction du résultat obtenu.

Exercice 90Lorsqu’un bateau déverse du mazout dans la mer, on observe qu’il se répand unifor-mément à la surface de l’eau.a. Expliquer pourquoi.b. Une seule couche moléculaire perturbe gravement les échanges de gaz nécessaires

à la vie sous-marine. Calculer la quantité de mazout suffisant à créer une telle pollu-tion dans le lac Léman.

c. Quel sera l’effet d’un détergent répandu à la surface de l’eau ?Indications: - eau-maz << eau-air et maz-air = 1/3 eau-air

- mazout: M = 250 g/mole, 0,8 g/cm3 et diamètre des molécules = 10 Å- surface du lac Léman: 582 km2

Exercice 91On considère un tube capillaire de longueur L et rayon intérieur r dont on a placé une

p p– Vd

dA=


- 25 -

extrémité à la surface d’un récipient rempli d’eau. En précisant les hypothèses faites,a. Déterminer la hauteur à laquelle l’eau monte dans le capillaire (loi de Jurin) en utili-

sant les résultats obtenus pour une surface liquide; on suppose que cette interface li-quide-air est une calotte sphérique.

L’expérience est répétée avec le même tube dont l’ouverture supérieure est fermée.b. Déterminer la hauteur de l’eau dans le tube.Application numérique: L = 2m, R = 25 m.

Exercice 92Lorsque l’on fait des bulles de savon, il n’est pas rare d’obtenir un système formé de 2calottes réunies par une calotte intérieure.a. Déterminer les conditions d’équilibre à l’arête commune des calottes et en déduire

le rayon de la calotte intérieure.b. A l’aide d’un dessin déterminer l’angle des 3 forces agissant sur la ligne de contact.

Exercice 93Une méthode de mesure de la tension superficielle d’un liquide consiste à mesurer laforce nécessaire à arracher un anneau métallique trempé dans le liquide. Schématiserl’expérience par un dessin et déterminer la relation donnant .

Exercice 94Une grosse goutte liquide est posée surune surface solide. La figure montre unecoupe de cette goutte dans le plan verticalet l’on remarque que les effets de la gravitédominent dans la partie centrale de lagoutte.a. Calculer les différentes forces appliquées à un élément de surface vertical de la

goutte de hauteur e et de longueur unité selon y.b. Déterminer l’épaisseur e en fonction de la longueur capillaire et de l’angle uni-

quement.Rappel: longueur capillaire: Application: une ménagère lance un seau d’eau de 6 litres sur le sol. Calculer la surface

mouillée si = 180o et = 1o.

Exercice 95Si chaque élément du réseau vasculaire d’une plante (ensemble des tubes transportantles éléments nutritifs) a un rayon de 0.001 cm, quelle hauteur peut atteindre l’eaugrâce à la tension superficielle ?

Exercice 96Analyser l’ascension et la dépression d’un liquide le long d’une paroi.a. Exprimer l’ascension d’un point M(x,z) de la surface libre d’un liquide en fonction

des rayons de courbure en ce point: figure a. Ce liquide mouille la paroi verticale durécipient avec un angle de contact . Exprimer ensuite cette ascension lorsque lasurface libre n’est pas influencée par la capillarité en x = 0 (récipient large).

b. Utiliser le résultat (a) pour calculer l’ascension z du liquide le long d’une paroiplane d’orientation quelconque; supposer un mouillage parfait. La figure b montrela surface libre pour 3 inclinaisons de la paroi. Que vaut z pour l’eau mouillant une

e x

z

Lc lg g =


- 26 -

paroi verticale.c. Utiliser le résultat (b) pour calculer la dépression d’un liquide ne mouillant pas une

paroi plane d’orientation quelconque: figure c; supposer un angle de contact . Trai-ter ensuite le cas particulier du mercure posé sur une surface horizontale ( = 48o).

d. (facultatif) Utiliser le résultat (b) pour déterminer la condition de flottaison d’une ai-guille métallique graissée à la surface de l’eau; supposer un raccordement tangen-tiel.

Indication: la poussée d’Archimède contribuant à la flottaison de l’aiguille est calculéeen ne considérant que le volume de liquide déplacé par l’aiguille. Le volume de li-quide enfoncé par les ménisques latéraux n’intervient pas, puisque la poussée d’Ar-chimède correspondante est équilibrée par la tension superficielle, i.e. c’est leménisque créé par la tension superficielle qui a refoulé le liquide.L’angle est l’angle entre la tangente à la surface liquide et l’horizontale.

Exercice 97Montrer que le degré de mouillage (i.e.l’angle de contact ) d’une goutte sur un so-lide peut être modifié par l’application d’unetension électrique entre le liquide et le solide.Ce phénomène est appelé électrocapillarité.La figure illustre le cas d’un solide isolant,mais ce phénomène est également observableà une interface entre la paroi d’un récipient en métal et un électrolyte.

Exercice 98Une longue goutte d’un liquide visqueux setrouve à l’intérieur d’un tube cylindriquehorizontal de rayon intérieur R, à l’interfaceentre une paroi hydrophobe et une paroihydrophile: figure.Notation: la paroi hydrophile est indiquéepar i et la paroi hydrophobe par o.a. Est-ce que la partie hydrophile de la paroi se trouve à z > 0 ou à z < 0 sur la figure?b. Expliquer pourquoi la goutte va se déplacer et indiquer la direction de son déplace-

ment.c. Déterminer l’expression de la vitesse v de la goutte.d. Obtient-on le même résultat si les 2 parties de la paroi sont hydrophiles, mais aveci i ’ ?

z

(a) (c)

patm

x

z

M

(b)

y

x

métal

V V = 0

V > 0

isolant

z0

L


- 27 -

Exercice 99Considérer un liquide de densité mouillant ( < /2)une face d’une plaque verticale. L’autre face de la plaque aun revêtement tel que la surface du liquide n’est pas mo-difiée: figure a.a. Etablir l’équation de la surface libre.b. Déterminer la hauteur z(x) du ménisque en fonction delg, , g et (x). Pour cela, introduire l’abscisse curvi-ligne à partir d’un point non perturbé de la surface duliquide.

c. Calculer la projection horizontale de la résultante desforces appliquées par le ménisque sur la plaque en fonc-tion de lg uniquement.

d. Déterminer la hauteur z(x) du ménisque en fonction de la longueur capillaire uniquement si le rayon de courbure de la surface libre est grand quel

que soit x.e. Mêmes questions pour un liquide ne mouillant pas ( > /2) la face de la plaque:

figure b.

Exercice 100Un liquide incompressible de densité mouille partielle-ment une paroi verticale: figure.a. Déterminer la forme de la surface z(x) du liquide si l’on

suppose que z0 est petit, i.e. si le rayon de courbure R(x)du ménisque est tel que:

b. Indiquer sur un dessin la distance x* = Lc correspondant à la longueur capillaire:

x

h

x

z

z

h

(a)

(b)

Lc lg g=

x

z0

z

patm

1R----

x2

2

d

d z


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Section 2: cinématique des fluides - lcb.epfl.ch s... · PDF filePhysique des fluides Polycopié 2016 Prof. J.-J. Meister Section 2: cinématique des fluides ... mécanique conduit