Semaine finale – questions bilan du module SSI Page 1 Filtres (n entier, Te=1s) Le filtre suivant est-il causal ? Justifier Quelle est la fonction de transfert

Page 1

Semaine finale – questions bilan du module SSI

Filtres (n entier, Te=1s)

Le filtre suivant est-il causal ? Justifier

Quelle est la fonction de transfert de :

Comment programmer le filtre donné par

Trouver la réponse impulsionnelle de

2

)1()1()(

nxnxny

)()()1( nensns

82.0

18.0

)(

)(

zzX

zY

)1()()( nfnfnd

Page 2



Le filtre suivant est-il causal ? Justifier

Non, c’est un filtre anti causal, puisque y(n) dépend de x(n+1) qui lui est postérieur

Quelle est la fonction de transfert de :

Comment programmer le filtre donné par

Il faut programmer l’équation aux différences

Trouver la réponse impulsionnelle de

En appliquant l’impulsion (fonction de Kronecker) sur f(n), on trouve

d(0)=1,d(1)= -1, d(n>1)=0

2

)1()1()(

nxnxny

)()()1( nensns

82.0

18.0

)(

)(

zzX

zY

)1()()( nfnfnd

1

1

)(

)(

zzE

zS)()(

)()(

zSns

zEneTz

Tz

)1(18.0)1(82.0)( nensns

Page 3



Donner l’expression de la RH du filtre donné par

Peut on dire d’un filtre dont la réponse à un échelon est s’il est stable EBSB ?

Que vaut le gain statique du filtre (entrée e, sortie c)

Préciser la transformée en z inverse de

)1()()( nfnfnd

10/)( nnr

100

)1(99)1()(

ncnenc

25.0

1.0,

25.0

1.0

zet

z

z

Page 4



Donner l’expression de la RH du filtre donné par

La fonction de transfert étant

Peut on dire d’un filtre dont la réponse à un échelon est s’il est stable EBSB ?

Oui, il est instable, car pour une entrée bornée égale à 1, la sortie tend vers l’infini comme n/10

Que vaut le gain statique du filtre (entrée e, sortie c)

C’est un filtre EBSB stable, car le pôle de la FTz vaut 0.99. Faire disparaître n dans l’EaD conduit à un gain de 1

Préciser la transformée en z inverse de

Pour le premier cas, c’est

Second cas, ajouter un retard

)1()()( nfnfnd

10/)( nnr

100

)1(99)1()(

ncnenc

25.0

1.0,

25.0

1.0

zet

z

z

11)(

)( zzF

zD

sTcarefRH eif 1,1)( 2

0,25.01.0)( nnh n

1,25.01.0)( 12 nnh n

Page 5


Filtres simples (ordre 1 et 2)

Calculer b et a dans

avec fe=8kHz pour avoir

Même question pour a, b et c dans

Que réalisent F1 et F2, qu’ont-ils de commun et qu’ont-ils de différent ?

Stabilité EBSB et selon le cas gain statique de

)/()(1 azbzF

1..,16003 SGHzf dBcoup

222 2)(

bazz

czF

81.04.0

1

)(

)(2

zzzE

zS

Page 6


Filtres simples (ordre 1 et 2)

Calculer b et a dans

avec fe=8kHz pour avoir

Appliquons les formules données en cours

Même question pour a, b et c dans

Idem, on calcule un filtre de Butterworth d’ordre 2

Que réalisent F1 et F2, qu’ont-ils de commun et qu’ont-ils de différent ?

Il s’agit de filtres passe bas de même fréquence de coupure à 3 dB, de même fe, mais F2 filtre mieux que F1

Stabilité EBSB et selon le cas gain statique de

Le dénominateur a 2 pôles complexes conjugués

)/()(1 azbzF

1..,16003 SGHzf dBcoup

222 2)(

bazz

czF

81.04.0

1

)(

)(2

zzzE

zS

72.01

28.04.0

ab

ea

65.021

41.0,26.02

bac

ba

stabilité 181.09.0

7.0)81.04.01/(1.. SG

Page 7


Filtres rectangulaires

Proposer un vecteur H de longueur R=128 pour la RH d’un filtre rectangulaire si fe=8000Hz et fc=2000Hz

Si h(nTe) est la réponse impulsionnelle du filtre précédent, quel est le filtre dont la réponse est

Un filtre a pour réponse im-pulsionnelle pour , h(nTe)=0 sinon. Donner l’EaD, la FTz

Que réalisent les instructions suivantes ?fr= [0:R-1]*fe/Rspec=abs(fft(h))plot(fr,spec)

)()2/cos(2)( ee nThnnTg

3,2,1,0)( enTh3,2,1,0n

Page 8



Proposer un vecteur H de longueur R=128 pour la RH d’un filtre rectangulaire si fe=8000Hz et fc=2000Hz

H=[ones(1,33), zeros(1,63), ones(1,32)] % par exemple avec MATLAB, sachant

Si h(nTe) est la réponse impulsionnelle du filtre précédent, quel est le filtre dont la réponse est

C’est un filtre dont la RH s’obtient en décalant H du filtre précédent autour de f0=fe/4 et –f0=–fe/4

Un filtre a pour réponse im-pulsionnelle pour , h(nTe)=0 sinon. Donner l’EaD, la FTz, l’expression de la RH

Par définition

D’où l’EaD réalisant h

Que réalisent les instructions suivantes ?fr= [0:R-1]*fe/Rspec=abs(fft(h))plot(fr,spec)

Elles calculent et tracent le module de la RH(f) du filtre de réponse impul-sionnelle h.

)()2/cos(2)( ee nThnnTg

3,2,1,0)( enTh3,2,1,0n

32,4

120008000 N

R

N

NR

Hzf 20000

321 32 zzzzhFTzi

ii

)3(3)2(2)1()( nenenens

Page 9



Représenter le découpage en fréquence réalisé par un banc de 2 filtres si

passe dans un banc de 2 filtres, avec fe=8kHz quels sont les signaux des bandes ?

Quel est l’avantage des réponse harmoniques paires en fréquence

)2000cos()( ee TnnTx

kHzfe 8

Page 10



Représenter le découpage en fréquence réalisé par un banc de 2 filtres si

passe dans un banc de 2 filtres, avec fe=8kHz quels sont les signaux des bandes ?

Dans la première bande, on retrouve x(t) dont la fréquence est 1000Hz, et rien dans la deuxième

Quel est l’avantage des réponse harmoniques paires en fréquence

Elles correspondent à des réponses impulsionnelles réelles (sans partie imaginaire pure)

)2000cos()( ee TnnTx

kHzfe 8)(kHzf

842

1

RH

Page 11


Compresser avec un banc

Que devient un son wav de 33 Mo 44,1 kHz, 16 bit, mono, avec un taux de compression de 11? Quel est l’effet sur le débit ?

Un son wav 44100Hz, 16 bits, mono, est compressé en mp3 à 128kbps, que vaut C ?

Comment décimer avec MATLAB dans un facteur 10 le vecteur s suivant :s=sin(0.2*pi*[1:1000])

Pourquoi et comment peut-on décimer les signaux des bandes dans un banc de 32 filtres ?

Page 12



Que devient un son wav de 33 Mo 44,1 kHz, 16 bit, mono, avec un taux de compression de 11? Quel est l’effet sur le débit ?

Avec un tel taux, la taille du fichier compressé est de 3Mo, le débit 44100x16bps est divisé par 11 également

Un son wav 44100Hz, 16 bits, mono, est compressé en mp3 à 128kbps, que vaut C ?

Comment décimer avec MATLAB dans un facteur 10 le vecteur s suivant :s=sin(0.2*pi*[1:1000])

Il suffit de d’exécuter l’instruction :sdec= s(1:10:1000);

Pourquoi et comment peut-on décimer les signaux des bandes dans un banc de 32 filtres ?

On peut les décimer dans un rapport 32, parce que leur largeur de bande est réduite à fe/32

4.51024128

4410016

C

Page 13



Dans un banc de 32 filtres, donner la relation entre les filtres des bandes hi et les filtres interpolateurs ?

Que vaut le signal ym ci-dessous ?

Sur-échantillonner avec MATLAB et dans un rapport le signal s=sin(0.2*pi*[1:1000])

Avec un banc de 32 filtres, quel taux de compression atteint-on en négligeant 4 bandes ?

?2 mn ynx

2

Page 14



Dans un banc de 32 filtres, donner la relation entre les filtres des bandes hi et les filtres interpolateurs ?

C’est une relation de proportionnalité sur les réponses impulsionnelles, on a pour i de 1 à 32 : gi=32*hi

Que vaut le signal ym ci-dessous ?

Sur-échantillonner avec MATLAB et dans un rapport le signal s=sin(0.2*pi*[1:1000])

Faire :srec=zeros(1,2000);

puis srec(1:2:2000)=s;

Avec un banc de 32 filtres, quel taux de compression atteint-on en négligeant 4 bandes ?

En négligeant 4 bandes, on obtient C=8/7

?2 mn ynx

2

)2(,2

,...4,2,02

faitennmmy

ynx

m

mn

321,32

32

C

KC

Page 15


Quantification et loi mu

Que signifie en pratique un SNR égal à 48dB pour le signal et pour l’erreur ?

Le CODEC law est il plus performant en général que mp3 ou l’inverse ?

Un signal présente une densité de probabilité p uniforme dans [-1,1] . Qu’en déduit-on ?

Si le nombre de bits B décroît, quel est l’effet sur le rapport signal sur bruit ?

Page 16



Que signifie en pratique un SNR égal à 48dB pour le signal et pour l’erreur ?

Le CODEC law est il plus performant en général que mp3 ou l’inverse ?

Mp3 est potentiellement plus performant, on peut atteindre des taux de 10 au lieu de 2

Un signal présente une densité de probabilité p uniforme dans [-1,1] . Qu’en déduit-on ?

La densité de probabilité est constante et vaut 0.5, la moyenne est nulle, l’écart type vaut

Si le nombre de bits B décroît, quel est l’effet sur le rapport signal sur bruit ?

Le bruit de quantification croît, à signal inchangé, donc le SNR chute

2562

,8648)(log20

8

10

e

s

e

s

3/1

Page 17



Quand le bruit de quan-tification augmente, que fait le rapport signal sur bruit ?

Quel est l’effet d’une réduction d’amplitude du signal sur le SNR à B constant ?

On ramène B de 12 à 8 avec le CODEC law. Quel est le taux de compression résultant ?

Quelle est l’expression de la loi mu inverse ?

Page 18



Quand le bruit de quan-tification augmente, que fait le rapport signal sur bruit ?

Il chute à signal constant, car l’écart type du bruit de quantification croît, celui du signal restant constant

Quel est l’effet d’une réduction d’amplitude du signal sur le SNR à B constant ?

Cela détermine une dégradation (une chute) du SNR, car le signal diminue et l’erreur reste constante

On ramène B de 12 à 8 avec le CODEC law. Quel est le taux de compression résultant ?

C= 12/8 =3/2 =1.5

Quelle est l’expression de la loi mu inverse ?

On la retrouve dans le cours programmée avec MATLAB

255/)1256)(sgn( xxy

Page 19


• FFT• Banc de filtres • • Signal discret • Signal numérique • Pas de quantification • Temps de réponse • Gain statique • RH • Filtre antialiasing • énergie • Taux de compression

• Filtre interpolateur

• Allocation de bits

• harmoniques

• linéarité

• décimation

• Fréquence de coupure à 3dB

• résonance

• PCM

• kbps

• Impulsion de Dirac

• Fonction de Kronecker

• s = h*e

Connaissez vous les concepts et ou les symboles suivants vus en SSI ?

8

Documents

Semaine finale – questions bilan du module SSI Page 1 Filtres (n entier, Te=1s) Le filtre suivant est-il causal ? Justifier Quelle est la fonction de transfert