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Modélisation des maladies transmissibles
Séminaire sur les maladies transmissiblesJournée DES du 3 octobre 2011
Caroline Savalle Nicolas Griffon
22
DéfinitionModéliser, c’est convertir un problème concret, issu
du monde réel, en termes de nature mathématiques
Pour lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques…
Et trouver des solutions concrètes !
Nécessité d’alimenter le modèle :
Observations
Hypothèses
33
Différents types de modèles
x Susceptibles
y Infectés
α z Retirés β
τ: immunité temporaire
γ : vaccination
δ1
δ2 δ3
Mort
Naissance
ν
44
Le modèle SIR
α le taux d’infection
Β le taux de retrait
x Susceptibles
y Infectés
α z Retirés β
)()()(
)()()()()(
)()()()(
tttt
tttttt
ttttt
yzz
yyxyy
yxxx
55
Situation épidémiqueUne épidémie suppose une augmentation du
nombre de personnes infectées :
Théorème de seuil
1)(
)(
)()()(
t
t
ttt
x
x
yyx
66
Taux de reproduction
C’est le nombre de cas secondaires directement infectés par une unique personne infectieuse,
placée dans une population totalement susceptible à la maladie.
)(
)(t
tx
R
N
R
0
77
Enrayer une épidémie Augmenter β :
Traiter les cas
Diminuer α :Port de masqueLavage des mains
Diminuer x(t)
Vacciner la population :
0
11R
CV
88
Exemples empiriquesMaladie R0 Couverture vaccinale
d’enrayementGrippe 1,5-
2,533%-60%
SRAS 2-3 50%-67%Rougeole 15-
2093%-95%
Variole 4-5 75%-80%Chikungunya
3-5 67%-80%
Ebola 3-4 67%-75%
99
Intervalle intergénérationnelDurée D entre la
survenue d’un cas index et la survenue des cas fils
Estimation de l’incidence : DtRI /
0
D D D D
1010
Exemples empiriquesMaladie R0 Intervalle
intergénérationnel (jours)
Grippe 1,5-2,5 2-4Rougeole 15-20 15SRAS 2-3 10Variole 4-5 20Chikungunya 3-5 10-15Ebola 3-4 8-10
EXEMPLES
11
Exemple 1 : Bernouilli et la variole
Tenter de savoir si l'inoculation de la maladie présente plus d'avantages que de risques pour la population sujette à cette épidémie.
12
Étape 1 : retenir les hypothèses« Quant au risque annuel d’être attaqué par la petite
vérole, pour ceux qui ne l’ont pas eue, j’ai cru ne pouvoir satisfaire aux notions générales que nous avons sur cette maladie, qu’en la supposant d’un huitième, ce rapport de 1 sur 8 étant supposé constant »
« Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole pour ceux qui en sont attaqués : la plupart l’ont fait d’un septième ; je l’ai un peu diminué, en le faisant d’un huitième »
...
1313
Étape 2 : mettre en équations Modèle SIR avec mortalité
1414
)()()()()1(
)()()()()1(
8
1
8
18
1
ttttt
ttttt
xmxNN
xmxxx
Étape 3 : résoudre les équations
Laissons faire les mathématiciens...
1515
Étape 4 : analyser les résultats et la validité de la modélisation Impact de l’éradication de la maladie :
4 années d'espérance de vie supplémentaires
« … je me suis attaché surtout, à exposer dans une même Table les deux états de l’humanité, l’un tel qu’il est effectivement, et l’autre tel qu’il serait si on pouvait affranchir de la petite vérole tout le genre humain. J’ai pensé que le parallèle de ces deux états en expliquerait mieux la différence et le contraste, que ne ferait le plus ample commentaire… »
Plaidoyer pour la variolisationRisque individuel et bénéfice collectif
1616
Exemple 2 : Ross et le paludisme2 camps s’affrontent :
Éradiquer les moustiques éradiquer le
palu
Éradiquer les moustiques éradiquer le
palu
R Ross modélise le paludisme pour étayer sa
théorie
1717
Étape 1 : formulation d'hypothèsesModèle SI double
1818
Étape 2 : mise en équation
1919
Étape 4 : conclusionsThéorème du moustique de Ross :
Réduction de la population de moustiques pour combattre le paludisme
Éradication des moustiques non nécessaireDiminuer le R0
R0 dépend de beaucoup d'autres facteurs que le nombre de moustique
Lutte anti-vectorielle et disparition du paludisme dans certaines régions
2020
2121
Bibliographiehttp://lertim.timone.univ-mrs.fr/Ecoles/infoSante/
2007/supports_ppt/lundi%2016%20juillet/Flahault_Corte_0707.pdf
http://mbb.univ-montp2.fr/MBB/uploads/sallet.pdf
Boelle PY. La modélisation des épidémies de maladies émergentes : les exemples du chikungunya et de la pandémie grippale. Responsabilité & Environnement. 2008(07);51:49-55
Dartois Y. Modélisation des épidémies. IREM
« Un exemple de modélisation » par Annette Leroy2222
