Simulation dynamique des fluides avec Excel

Simulations Dynamique des fluides avec Excel

Simple vidange avec ou sans perte de charge

Pompe et rseau hydraulique

1. Prsentationdu problme:

On dsire transvaser un fluide (masse volumique (, viscosit () dun rservoir (o le niveau du liquide est zA, la pression pA, vitesse vA nulle) vers une citerne (sortie du tuyau la cte zJ et la pression pJ). Le fluide chemine travers un rseau o il subit des pertes de charges singulires (coudes, crpine) et des pertes de charges rgulires. Une pompe fournit lnergie ncessaire lcoulement et une vanne ouverture manuelle sert rgler le dbit.

2. But de la simulation:

La simulation sous Excel vise montrer linfluence de diffrents paramtres sur le dbit qui sinstaure en rgime permanent. Elle permet aussi de prvoir lvolution de la pression et de la hauteur de charge tout au long de lcoulement. On verra par la suite comment on peut supprimer la pompe et la vanne dans les simulations et se ramener des problmes plus simples.

3. Paramtres modifiables:

Pour le fluide: masse volumique ( et viscosit cinmatique(Pour la pompe: hauteur manomtrique totale dbit nul (HMT0), dbit volumique maximal Qvmax et un coefficient ( qui permet de modifier lallure de la caractristique: HMT = HMT0.(1 - eq \s\do1(\f(Qv;(.Qvmax)))

Pour le tronon AD: diamtre D1 , ctes zA, zA, zB, zD, longueurs AB, CD, hauteurs des asprits (1, et coefficient de singularit lentre dans le tuyau KA et coefficient de singularit au coude KB.

Pour le tronon EJ: diamtre D2, ctes zF, zH et zJ, longueurs EF, GH et IJ, hauteurs des asprits (2, coefficient de singularit en H.

Pour la vanne: coefficient de vanne cv et ouverture en %. Il en dcoule un coefficient de singularit Kvanne .

4. Thorie:

Le thorme de Bernouilli gnralis indique, quen rgime permanent,

HJ- HA + pertes = Hpompe

o H est la hauteur de charge de lcoulement(respectivement en J et en A) :

Hi = eq \s\do1(\f(vi;2g )) + eq \s\do1(\f(Pi;(g )) + ziCette hauteur de charge (exprime en m) reprsente ( un facteur (g prs) lnergie de lcoulement. Cette nergie est la somme dune nergie cintique due la vitesse (1 terme), dune nergie due la pression (2 terme) et dune nergie potentielle de pesanteur due la cte ou altitude du point (3 terme).

Le thorme de Bernouilli indique donc que la pompe (qui fournit de lnergie) est responsable de la diffrence de hauteur de charge entre les 2 extrmits de la ligne de courant, extrmitsentre lesquelles lcoulement peut rencontrer toutes sortes de pertes de charges (qui font diminuer son nergie).

Le problme est de chercher le dbit qui va sinstaurer. Or Hpompe, les pertes et les hauteurs de charges dpendent de ce dbit. Il convient donc de trouver le point de fonctionnement de ce circuit de la mme faon que, connaissant la caractristique u=f(i) dun gnrateur sur lequel est branch un diple de caractristique u = g(i), on peut prvoir lintensit du courant lectrique dans le circuit.

Il faut donc trouver Qv0 pour lequel Hpompe(Qv0) = Hrseau(Qv0)

5. Dtails sur la rsolution :

Pour les pertes de charges singulires (localises des endroits bien particuliers: vannes, coudes,)

Js = K. eq \s\do1(\f(v;2g)), K coefficient dpendant de la singularit

Pour les pertes de charges rgulires (rparties tout au long de lcoulement)

Jr = f. eq \s\do1(\f(L;D)). eq \s\do1(\f(v;2g)), f coefficient de frottement, (not parfois ()

f dpend de Qv ( travers le nombre de Reynolds Re = eq \s\do1(\f(vD;())) et de la rugosit relative eq \s\do1(\f((;D)).

Pour calculer f on utilise la formule de Colebrook: eq \s\do1(\f(1; )) = -2log( eq \s\do1(\f((;3,7.D )) + eq \s\do1(\f(2,51;.Re)))

La mthode utilise pour rsoudre cette quation complique consiste utiliser loutil valeur cible de Excel pour trouver, pour chaque valeur de Re, la valeur de f qui convient dans lquation

eq \s\do1(\f(1; )) + 2log( eq \s\do1(\f((;3,7.D )) + eq \s\do1(\f(2,51;.Re)))=0.

On rinjecte ainsi la valeur de f obtenue pour chaque valeur de Qv dans le calcul des pertes et donc de Hrseau et on finit alors par rsoudre lquation de Bernouilli en regardant la valeur Qv0 de Qv pour laquelle:

Hpompe(Qv0) Hrseau(Qv0) = 0

Dans la feuille calcul de f, on superpose les valeurs de f obtenues pour chaque Re avec celles donnes par labaque de Colebrook.

Attention, la simulation ne fonctionne quen rgime turbulent: en rgime laminaire, on sait que f = eq \s\do1(\f(64;Re)) et la dtermination numrique de Qv pose alors moins de problme.

6. Complments:

Cette simulation permet aussi de visualiser lvolution de la charge, de la pression et de la cote tout au long de lcoulement.

Si on a trouv Qv, il est alors facile de calculer la hauteur de charge en chaque point Hi = eq \s\do1(\f(vi;2g )) + eq \s\do1(\f(Pi;(g )) + zi:

Pour cela, on calcule HA et on dduit de proche en proche les valeurs de Hi en soustrayant les pertes et en ajoutant Hpompe.

La cte zi est connue, la hauteur de vitesse eq \s\do1(\f(vi;2g )) aussi, on connat donc la hauteur piezomtrique

Hpiezomtrique = ( eq \s\do1(\f(Pi;(g )) + zi)= Hi - eq \s\do1(\f(vi;2g ))On dtermine donc la pression par diffrence.

7. Astuces:

Pour supprimer la pompe dans la simulation il suffit de prendre HMT0 = 0

Pour supprimer la vanne dans la simulation il suffit de prendre cv trs grand (1E7 = 10^7 par exemple)

Pour supprimer les pertes de charges rgulires, il suffit de prendre des longueurs de tuyaux nulles mme si cest aberrant, en particulier lorsquil y a des diffrences daltitudes entre les points.

Attention: prendre (1 = (2 = 0 ne suffit pas annuler les pertes de charge rgulires: on se retrouve alors en rgime turbulent lisse pour lequel f = eq \s\do1(\f(0,316;Re 0,25)) ( 0

Pour avoir plus de prcision sur la valeur de Qv0, il suffit de modifier les valeurs de Qvmin et Qvmax servant au calcul (voir commentaires dans la feuille calcul de Qv). On conserve le mme nombre de calcul, savoir 100, mais on rduit lintervalle autour de Qv0 donc on diminue la rsolution et on augmente la prcision.

8. Exercices :

Exercice 1: Vrification du fonctionnement sur un cas simple

1. Quelle est la vitesse initiale, prvue par le thorme de Bernouilli, du fluide (eau) en sortie lors du vidage de cette cuvesi on nglige les pertes de charges ?

2. Quel dbit massique obtient-on?

3. Vrifier la valeur numrique obtenue grce la simulation en supprimant la pompe (HMT0 = 0) , la vanne (cv = 1E7) et en prenant des longueurs de tuyaux nulles.

4. Mmes questions en supposant quen sortie on a une singularit de coefficient de perte de charge K = 1 (calcul manuel et simulation). Commenter.

Exercice 2: Utilit et limite de la simulation1. Appliquer le thorme de Bernouilli entre les points A et B de la ligne de courant en tenant compte des pertes de charges rgulires entre A et B. A quel problme est-on confront pour dterminer le dbit?

2. Utiliser la simulation pour rsoudre ce problme.(on prendra un tuyau lisse). Le rgime qui stablit est-il bien turbulent?

3. On remplace le tuyau AB par un autre de longueur L = 20 m et de mme diamtre. Comment volue le dbit?

4. Comment volue le dbit lorsque le tuyau devient rugueux (exemple: (asprit = 2 mm)?

5. Comment volue le dbit lorsque la viscosit est diminue de moiti? (par exemple parce que la temprature augmente)

6. On remplace maintenant le tuyau AB par un autre de longueur L = 200 m et de diamtre D = 1 cm. Vrifier que le dbit propos par la simulation est infrieur 5.10-5 m3/s. Cette valeur annonce correspond-elle un rgime turbulent? Conclure.

Exercice 3: Commentaires sur diagramme de chargeDans la situation suivante, le tuyau de sortie fait un coude qui remonte dune hauteur de 1 m.

On a zA = 3m, zA = 2,5 m

B, C, D, E, F, G, H, I sont la cte 0 m.

Le point J est la cte 1 m.

On a LAB = 2,5 m, LCH = 10 m et LIJ = 1 m.

Le point D (confondu avec E, F et G) est au milieu du tronon CH.

Le tuyau, lisse, a un diamtre constant de 20 cm.

1. Commenter lallure du diagramme de charge.

2. Quest-ce qui est modifi si la cote des 4 points D, E, F et G passe 2 m?

3. Introduire des pertes de charges singulires KBC = KHI = 1. Comment volue le dbit?

4. Mettre toutes les longueurs 0 pour enlever les pertes de charges rgulires. Quelle est lvolution relative du dbit?

5. Quel est le problme rencontr lorsque la cote des points D, E, F et G augmente? Peut-on, par exemple, prendre pour ces points une cote de 11 m?

Exercice 4: Cv dune vanneLe Cv dune vanne est le dbit en gallons US par minute quelle laisse passer sous une (P de 1 psi (pound/square inch2).

On dsire vrifier cette loi.

Tous les points sont la mme cote (0 m)

On supprime toutes les pertes de charge (en annulant les longueurs) et on enlve la pompe (HMT0 = 0)

On prend PA = 1,069 bar et PJ = 1 bar.

Prendre un Cv de vanne gal 1 et une ouverture de 100%.

La diffrence de pression entre lentre et la sortie de la vanne est donc de 0,069 bar soit 1 psi.

Vrifier quil stablit un dbit volumique gale 1 Usgallon par min soit 3,785 L/min.

Montrer que le diamtre de la conduite ninflue pas sur le dbit mais sur Kvanne.

Exercice 5: Puissance dune pompeOn prend zA = 3 m, zA = 2,5 m et zJ = 5 m.

Tous les autres points sont la cote 0.

Les points A et J sont la pression atmosphrique.

La vanne est dabord parfaite (Cv = 1E7 par exemple pour avoir Kvanne = 0)

LAB = 2,5 m ; LCD = LGH = 5 m; LEF = 0 et LIJ = 5 m

Les tuyaux ont un diamtre de 50 mm; ils sont parfaitement lisses.

On prend des coefficients de singularit nuls pour BC et HI.

Pour la pompe on prend HMT0 = 5 m, Qvmax = 0,02 m3/s et alpha = 1

1. Quel est le dbit volumique?

2. En dduire, par 2 calculs diffrents, la puissance dlivre par la pompe.

On rappelle que, pour la pompe, P(W) = (.Qv.g.HMT ou P(W) = Qv.(P avec (P = variation de pression entre lentre et la sortie de la pompe.

Rservoir

Citerne

Pompe

Vanne

A

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Hauteur de pression

H = 3 m

D = 5 cm

D = 5 cm

H = 3 m

L = 10 m

A

A

B, confondu avec tous les autres points dans la simulation

J

I

H

G

F

E

D

C

B

A

A

Vanne

Pompe

Citerne

Rservoir