Prüfungsvorbereitung - MathematikSkript

2019 Dipl.-Phys. Manfred Bauer OTH mind - BMBF Verbundprojekt #aufstieggestalten

Dieses Material ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz (CC BY-SA 4.0). Bei einer Weitergabe soll der Name des Urhebers wie folgt genannt werden: „Manfred Bauer, OTH mind #aufstieggestalten, OTH Amberg-Weiden“

1

Inhaltsverzeichnis Seite

2 3

Prolog Kapitel 1: Folgen und Reihen, vollständige Induktion 1.1 Folgen 3 1.1.1 Begriffsklärung 4 1.1.2 Arithmetische Folgen 5 1.1.3 Geometrische Folgen 5 1.1.4 Monotonie 5 1.1.5 Konvergenz 6 1.1.6 Grenzwert 7 1.1.7 Schranken 8 1.2 Reihen 9 1.2.1 Arithmetische Reihen 9 1.2.2 Geometrische Reihen 9 1.2.3 Grenzwerte und Konvergenz von Reihen 10

11 Übungen zu Folgen und Reihen Kapitel 2: Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten 20 2.1 Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren 20 2.2 GAUSS-Verfahren, Rang und Lösbarkeit von Gleichungssystemen 21 2.3 Matrizen: Rechenregeln und Bestimmung der Inversen 25 2.4 Determinanten 28 2.5 Matrizen als Abbildungen, Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 33 Kapitel 3: Komplexe Zahlen (mit Anwendungen in der Elektrotechnik) 37 3.1 Die imaginäre Zahl i 37 3.2 Die GAUSSsche Zahlenebene und EULERsche Darstellung 38 3.3 Potenzen und Wurzeln 39 3.4 Anwendungen 40 Kapitel 4: Reelle Funktionen, Differential- und Integralrechnung 43 4.1 Funktionen 43 4.1.1 Begriffsklärung und allgemeine Eigenschaften 43 4.1.2 Potenz- und Wurzelfunktionen 45 4.1.3 Gebrochen rationale Funktionen 46 4.1.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen, hyperbolische Funktionen 47 4.1.5 Trigonometrische Funktionen 48 4.2 Grundlagen der Differentialrechnung 50 4.2.1 Vom Differenzen- zum Differentialquotienten 50 4.2.2 Differentiationsregeln 50 4.2.3 Anwendung: Kurvendiskussion und Extremwertrechnung 51 4.3 Grundlagen der Integralrechnung 52 4.3.1 Integration als Umkehrung der Differentiation 52 4.3.2 Methoden zur geschlossenen Integration 53 4.3.3 Anwendungen: Flächeninhalte, Bogenlängen etc. 57 Quellennachweis

Anhang: Aufgabensammlung

1

61

0 Prolog

Häufig vorkommende Fehler beim elementaren Rechnen

Es ist zu beobachten, dass Studierende häufig schon an der Anwendung elementarer Rechenvorschriften scheitern. Selbst bei gutem Willen, den höheren Ansprüchen der Hochschul-Mathematik folgen zu wollen,

führen die fehlenden Grundfertigkeiten regelmäßig zu Frustration und Misserfolg.

Einige der am häufigsten vorkommenden Defizite seien hier genannt:

• Schwierigkeit mit Termumformungen, d. h. Unfähigkeit einen mathematischen Ausdruck nach einer

Variablen oder Unbekannten aufzulösen. (Dazu mag beigetragen haben, dass viele auf Schulniveau

verwendete Taschenrechner in der Lage sind, diese Arbeit mit der „Solve“-Funktion zu

übernehmen.)

• Vereinfachen von Termen durch Umordnen und Ausklammern, Kürzen (Auch das ist vermutlich auf

den gewohnheitsmäßigen Gebrauch des Taschenrechners zurückzuführen: Es besteht überhaupt

kein Anreiz, unangenehm große Ausdrücke oder Zahlen zu vereinfachen.)

• Rechengesetze der Bruchrechnung werden grob falsch angewendet.

• Falscher Umgang mit binomischen Termen

• Sehr häufig sind Fehlverständnisse beim Umgang mit Potenz- und Logarithmengesetzen. (Das

dürfte ausnahmsweise mal nicht „Schuld“ des Taschenrechners sein, sondern darin begründet sein,

dass man solche Regeln nicht in ihrem logischen Zusammenhang begreift, sondern versucht, sie

schlicht auswendig zu lernen.)

Beispiele → Tafelschrieb

2

Kapitel 1: Folgen und Reihen, vollständige Induktion

1.1 Folgen

1.1.1 Begriffsklärung Bei einer Folge bestehen die Elemente der Definitionsmenge (n) aus IN (Menge der natürlichen

Zahlen: 1, 2, 3...) und der Wertebereich (an) aus IR (rationale Zahlen). Die Folgeglieder <an>

entstehen durch Bildungsgesetze. n gibt die Nummer des Folgegliedes an. Das n-te Folgeglied

heißt an , sein Vorgänger an-1 und sein Nachfolger an+1 .

Beispiel: Das Bildungsgesetz sei <an> = <n2>

Da n IN (sprich: n ist Element aus IN), ergibt sich für <an> die Folge der Quadratzahlen.

für n = 1 ergibt sich: a1 = 12 = 1

für n = 2 ergibt sich: a2 = 22 = 4

für n = 3 ergibt sich: a3 = 32 = 9

usw.

Wertetabelle:

n 1 2 3 ...

an 1 4 9 ...

Explizite Bildungsvorschrift!

Rekursive Bildungsvorschrift!

1.1.2 Arithmetische Folgen

Bei arithmetischen Folgen ist die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder konstant.

Es gilt: an+1 – an = d (d = Differenz)

Beispiel: <an> = < 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ... >

+4 +4 +4 +4

Das n-te Folgeglied einer arithmetischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied

(n – 1)-mal die Differenz d hinzuaddiert wird.

Daraus ergibt sich ein allgemeines Bildungsgesetz für arithmetische Folgen:

an = a1 + (n – 1) · d

3

Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier benachbarter Folgeglieder konstant.

Es gilt qa

a

n

n1

Beispiel:

(q = Quotient)

<an> = < 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ... >

·2 ·2 ·2 ·2

Das n-te Folgeglied einer geometrischen Folge wird errechnet, indem zum ersten Folgeglied

(n – 1)-mal der Quotient q hinzumultipliziert wird.

1.1.3 Geometrische Folgen

Daraus ergibt sich ein allgemeines Bildungsgesetz für geometrische Folgen:

an = a1 · qn-1

1.1.4 Monotonie Bei der Untersuchung auf Monotonie möchte man herausfinden, ob die Folgeglieder einer Folge

stets steigen oder fallen. Es handelt sich dann um monoton steigende oder monoton fallende

Folgen. Bei einer streng monotonen Folge dürfen zwei benachbarte Folgeglieder nicht den

selben Wert haben.

an+1 an für eine monoton steigende Folge gilt:

für eine monoton fallende Folge gilt: an+1 an

an+1 > an für eine streng monoton steigende Folge gilt:

für eine streng monoton fallende Folge gilt: an+1 an

Beispiel:

Überprüft wird die Folge <an> = <n

n 12

> auf die Eigenschaft „streng monoton steigend“.

an+1 > an

n

n

n

1

1

(n 1) 1 22

| · (n + 1) · n

(n1) 1 (n1)2 2n (n 1)

1n2 2n11n n3 n2 n

12 3 23n 2n n n n | – n3 – n2 + n + 1

012n n

Diese Aussage stimmt für alle „n“, d. h. die Folge ist streng monoton steigend.

_____

4

1.1.5 Konvergenz Der Konvergenznachweis bestätigt die Annahme eines Grenzwertes g. Dazu bestimmt man einen

Bereich um den Grenzwert (-Umgebung). Wenn die Annahme stimmt, müssen ab einem

bestimmten n alle weiteren Folgeglieder innerhalb der -Umgebung liegen.

Skizze:

Beispiel:

Überprüft wird, ob die Folge <an> = <n1

n> den Grenzwert g = 1 hat. Dazu wird eine

-Umgebung von = 0,01 angenommen. Gesucht wird nun das n , ab dem alle weiteren

Folgeglieder an in der -Umgebung liegen. Dazu muss gelten:

ga

gga

n

n |

0,0111

n

n| Betrag, falls sich die Folge aus dem negativen Bereich dem

Grenzwert nähert

0,011

1

1

n

n

n

n

0,011

1)

n

n (n

| Kehrwert bilden0,011

1

n(Ungleichheitszeichen dreht sich um!)

n 1100 | Betragstriche sind nicht notwendig, da n+1 positiv ist

n 99

Ab dem 100. Folgeglied liegen alle weiteren in der -Umgebung.

5

1.1.6 Grenzwert Bei der Grenzwertuntersuchung möchte man herausfinden, ob die Folgeglieder einer Folge sich

einem Wert annähern (konvergentes Verhalten = hat einen Grenzwert) oder ob sich die Werte ins

Unendliche bewegen (divergentes Verhalten = hat keinen Grenzwert).

gibt es einen Grenzwert g, so gilt: a gnnlim

gibt es keinen Grenzwert g, so gilt:

oderlim nn

a

Der Grenzwert kann ein beliebiger Wert sein. Ist der Grenzwert Null, so spricht man von einer

Nullfolge. Das „lim“ steht für Limes (lat. Grenze) und bedeutet, dass in Gedanken ein unendlich

großer Wert für n in das Bildungsgesetz der Folge einzusetzen ist.

Beispiel:

Gesucht wird der Grenzwert der Folge <an> = <2

62

n

n> . Dazu wird der Grenzwert für n gegen

Unendlich gebildet. Bei Brüchen werden alle Summanden des Zählers und des Nenners durch

die höchste Nennerpotenz dividiert. Nach dem Kürzen entstehen Konstanten und Nullfolgen

(Brüche mit n im Nenner).

Diese Folge hat den Grenzwert g = 2 . Mit wachsendem n nähern sich die Folgeglieder immer

mehr dem Wert 2.

Beispiel: 1

1

n

Gesucht wird der Grenzwert der Folge <an> = < > . Dazu wird der Grenzwert für n gegen2

Unendlich gebildet. Ist n ein Exponent, wird der Ausdruck so umgeformt, dass ein konvergentes

oder divergentes Verhalten zu erkennen ist.

1

2lim

1

n

n=

1

2

1

2lim

n

n=

n

n 2

1lim 2 =

n

n

n 2

1lim 2 =

n 2n

2lim = 0

Hier handelt es sich um eine Nullfolge (Grenzwert g = 0) . Mit wachsendem n nähern sich die

Folgeglieder immer mehr dem Wert Null.

2

62lim

n

n

n=

n n

nnn

n

n 2

62

lim =

n

nn 2

1

62

lim = 2 0

1 0

= 2

-

6

1.1.7 Schranken

Eine Schranke ist ein Wert, der von einer Folge nicht unter- oder überschritten wird. Bei

konvergenten Folgen nähern sich die Folgeglieder immer mehr dem Grenzwert, der dann auch

gleichzeitig eine Schranke ist. Bei alternierenden Folgen kann es zwei Schranken geben,

zwischen denen die Folgeglieder pendeln.

Beispiel:

Die Glieder der alternierenden Folge <an> = < 1n > pendeln ständig zwischen –1 und +1.

Dieses sind sogenannte Häufungspunkte der Folge. Diese Folge konvergiert nicht. Sie hat zwei

Schranken bei s1 = –1 und s2 = +1, die nie unter- bzw. überschritten werden.

Skizze:

Rechnerisch zeigen wir mit der Behauptung, es gäbe Werte, die kleiner als –1 sind, dass s1 eine

untere Schranke ist:

1) 1( n

Da n

ertenur die W1)( +1 und –1 annehmen kann, ist die Behauptung falsch, d. h. s1 ist eine

untere Schranke.

Def.: Eine konvergente Folge (Folge mit Grenzwert) ist damit auch beschränkt (die Folge hat

eine Schranke). Dagegen muss eine beschränkte Folge nicht unbedingt einen Grenzwert

besitzen.

Hinweis: Ist eine Folge nur einseitig (oben oder unten) beschränkt gilt die Folge insgesamt als nicht beschränkt.

7

1.2 Reihen1.2.1 Arithmetische Reihen

Bei der arithmetischen Reihe werden die Glieder einer arithmetischen Folge aufsummiert. Es

wird die Summe einer bestimmten Anzahl von Folgegliedern berechnet.

Es gilt: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Als Beispiel sollen die Folgeglieder der 5er Reihe aufsummiert werden:

Sn = 5 + 10 + 15 + ... + 40 + 45 + 50

Bei Änderung der Reihenfolge (a1 + an + a2 + an-1 + a3 + an-2 usw.) ergibt sich:

Sn = 5+50 + 10+45 + 15+40 + ...

Die Addition jeweils zweier Folgeglieder ergibt:

Sn = 55 + 55 + 55 + ...

Aus den 10 Folgegliedern der 5er Reihe wurden 10 : 2 = 5 Paare gebildet, deren Summe stets

55 beträgt:

Sn = 5 · 55

Sn = 275

Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Berechnung der arithmetische Reihe:

)(2

1 nn a an

S

setzt man für an die Formel der arithmetische Folge ein, ergibt sich:

)(n 1)(22

)(n 1)(2

1

11

dan

da an

Sn

1.2.2 Geometrische Reihen Bei der geometrischen Reihe werden die Glieder einer geometrischen Folge aufsummiert. Es

wird die Summe einer bestimmten Anzahl von Folgegliedern berechnet.

Es gilt: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

bzw: Sn = a1 + a1 · q + a1 · q2 + a1 · q

3 + ... + a1 · qn-1

Dieser Ausdruck wird mit q multipliziert:

Sn · q = a1 · q + a1 · q2 + a1 · q

3 + ... + a1 · qn-1 + a1 · q

n

Bei Subtraktion der beiden letzten Zeilen ergibt sich:

Sn · q – Sn = a1 · qn – a1

Sn (q – 1) = a1 (qn – 1)

Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Berechnung der geometrische Reihe:

1| für 1

11

q

q

qaS

n

n

1 | für 01

11

q

q

qaS

n

n

8

1.2.3 Grenzwerte und Konvergenz von Reihen Diese Themen werden oft erst in Mathematik 2 behandelt. Deshalb sei hie nur ein kurze Zusammenfassung wichtiger Regeln zur Konvergenz aufgef¿hrt.

Notwendige Bedingung:1X

n=1an konvergent =) limn!1 an = 0

1.Vergleichskriterium:

bn konvergent =)

Seien 0 · an · bn für n ¸ n0; dann gilt:1X 1X

n=1an konvergent (da;

n=n0

1Xan ·

1X

n=n0bn < +1)

n=11Xan divergent =)

n=1

1X

n=1bn divergent (da; +1 =

1X

n=n0an ·

1X

n=n0bn)

2.Vergleichskriterium:Falls lim

n!1anbn

= c 6= 0 existiert, dann gilt:1X

n=1an konvergent ()

1X

n=1bn konvergent

Wurzel - und Quotientenkriterium:Falls lim n

pn!1 janj = q oder

nli!m1

¯¯an+1

an

¯¯ = q existiert

=)1X

n=1an ist

8><>:

konvergent für q < 1divergent für q > 1keine Aussage möglich q = 1

Leibnizkriterium für alternierende Reihen:

Eine alternierende Reihe1X

n=1(¡1)n+1an ist konvergent, wenn

1.

2.

a1 ¸ a2 ¸ a3 ¸ : : : ¸ 0 (monoton fallend)

lim an = 0n!1

Wichtige Vergleichsreihen:

²1X

n=1

1n®

(divergent für ® · 1konvergent für ® > 1

speziell: die harmonische Reihe1Pn=1

1n

ist divergent

²1X

n=0a qn =

8<:

a

d1iv¡erq

(jqj < 1)

gent jqj ¸ 1(geometrischeReihe)

Beispiel:

Die Reihe1X

n=1

3n ¡ n3

n4 + 2n2 + 22nist konvergent, da:

an =¡

n4 +3n

2n2n+

3

22n¼

232

n

n =µ3

4

¶n= bn; nlim!1

anbn

= 1 6= 0 und1X

n=1

µ34

¶nkonvergent.

Majorantenkriterium

Minorantenkriterium

9

a) <an> = <2n> b) <an> = <2n– 1> c) <an> =n

1

Aufgabe 2)

Bestimmen Sie aus den angegebenen Folgegliedern a1 bis a5 die Bildungsgesetze:

a1 a2 a3 a4 a5

a) <an> 4 7 10 13 16

b) <an> 2 8 18 32 50

c) <an> 2

1

3

2

4

3

5

4

6

5

Aufgabe 3)

Bestimmen Sie die fehlenden Größen unter Verwendung des Bildungsgesetzes für atithmetische Folgen:

an a1 n d

a) 5 7 9

b) 27 4 8

c) 71 16 5

d) 69 9 21

Aufgabe 4)

Bestimmen Sie die fehlenden Größen einer geometrischen Folge:

an a1 n q

a) 3 4 2

b) 567 5 3

c) 245 5 7

d) 3,125 100 6

Aufgabe 5)

1

1

na) Ist die Folge <a > =

b)

n

n

<

Ist die Folge <a > = <22

2

n

n

> streng monoton fallend?

> monoton steigend?

Übungen zu Folgen und ReihenAufgabe 1)

Bilde a1 bis a5 (die ersten 5 Folgeglieder) für die folgenden Bildungsgesetze:

__ __ __ __ __

10

Aufgabe 6)Nehmen Sie für die folgenden Aufgaben eine -Umgebung von = 0,01 an und berechnen

jeweils das n.

a) Zeigen Sie, dass die Folge <an> = < > den Grenzwert g = 0 hat.

22 2

2

n

n> den Grenzwert g =

2

1 hat. b) Zeigen Sie, dass die Folge < an > = <

c) Zeigen Sie, dass die Folge < an > = <n3

1> den Grenzwert g = 0 hat.

Aufgabe 7)

Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen (falls vorhanden):

a) an> = <1

1

n> b) <an> = <

22n

3n> c) <an> = <

n

3 4

>

Aufgabe 8)

Zeigen Sie, dass die Folgen <an> Schranken besitzen:

a) an> = <n1(1) > b) an> = <

1 n

1> c) <an> = < )

2sin(

n>

Aufgabe 9)

Bestimmen Sie die fehlenden Größen der arithmetischen Reihe:

Sn a1 n d

a) 7 6 7

b) 258 12 3

c) 5050 1 1

d) 156125 2 250

Aufgabe 10)

Bestimmen Sie die fehlenden Größen der geometrischen Reihe:

Sn a1 n q

a) 2 6 5

b) 2925 4 8

c) 1050 50 4

d) 346 144 4

1

1

n

_

11

Aufgabe 11)Zwischen den Zahlen 1 und 256 sollen drei Zahlen so eingeschoben werden, dass eine

geometrische Folge entsteht. Welche Zahlen sind es?

Aufgabe 12)Das wievielte Glied einer arithmetischen Folge mit a1 = 10 und d = 25 ist gerade

größer als 10000?

Aufgabe 13)Das wievielte Glied einer geometrischen Folge mit a1 = 1 und q = 0,25 ist gerade

kleiner als 1000

1?

Aufgabe 14)Wie viele durch 6 teilbare Zahlen liegen zwischen 1 und 1000?

Aufgabe 15)Im Erdinneren wächst die Temperatur pro 100m Tiefe um 3°C. In 25m Tiefe ist die Temperatur

10°C.

a) Welche Temperatur ist in 575m Tiefe?

b) In welcher Tiefe beträgt die Temperatur 70°C?

Aufgabe 16)In einem Saal befinden sich in der ersten Reihe 81 Stühle. In jeder weiteren Reihe verringert sich

die Anzahl um 3 Stühle.

a) Wie viele Stühle befinden sich in der 9. Reihe?

b) Wie viele Stühle befinden sich in den ersten 9 Reihen?

Aufgabe 17)Bei einer geometrischen Folge ist a4 = 81 und a7 = 2187.

a) Wie lautet das Bildungsgesetz?

b) Das wievielte Folgeglied ist an = 19683?

Aufgabe 18)Zwischen den Zahlen 800 und 1575 sollen 24 Zahlen so eingeschoben werden, dass die Zahlen

die ersten Glieder einer arithmetischen Folge sind. Wie lautet das Bildungsgesetz?

Aufgabe 19)

Beim Verkauf eines Pferdes werden für den 1. Hufnagel 1DM, für den 2. Hufnagel 2DM, für den

3. Hufnagel 4DM usw. berechnet. Wie teuer ist das Pferd, wenn es mit 32 Nägeln beschlagen

ist?

Aufgabe 20)

Ab dem wievielten Glied einer unendlichen geometrische Folge mit a1 = 2 und q = 3

1 weicht

der Wert des Folgegliedes weniger als = 1000

1vom Grenzwert ab?

12

Aufgabe 21)Entscheiden Sie, ob es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge handelt und

bestimmen Sie:

a) gegeben: <an> = <1, 4, 7 ...>

b) gegeben: <an> = <7, 11, 15 ...>

c) gegeben: <an> = <3, 6, 12 ...>

d) gegeben: <an> = <36, 12, 4 ...>

e) gegeben: <an> = <-5, 25, -125 ...>

gesucht: a11

gesucht: a15

gesucht: a10

gesucht: a6

gesucht: a8

Aufgabe 22)

Wie viele dreistellige Zahlen sind durch 13 teilbar?

Aufgabe 23)Wie lautet das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge mit a1 = 16 und a25 = 160 ?

Aufgabe 24)Schalten Sie zwischen 5 und 5120 vier natürliche Zahlen so ein, dass eine geometrische Folge

von 6 Gliedern entsteht. Wie heißen die Folgeglieder?

Aufgabe 25)In 1590 Jahren zerfällt Radium auf die Hälfte seiner Masse (Halbwertszeit). In welcher Zeit sind

von 2g Radium noch 1mg übrig?

Aufgabe 26)Die Intensität einer radioaktiven Strahlung nimmt beim Durchgang durch eine Bleiplatte um

20% ab. Wie viel Prozent des Anfangswertes (100%) sind nach Durchdringung der 5. Bleiplatte

noch vorhanden?

Aufgabe 27)Ein Kapital K0 wird zu einem effektiven Jahreszins von p = 4,5% solange angelegt, bis es sich

verdoppelt hat. Wie viele Jahre muss man warten?

Aufgabe 28)Ein Turm wird aus Würfeln gebaut. Der erste Würfel hat eine Kantenlänge von l = 1m, der

zweite l = 0,5m. Jeder weitere hat die halbe Kantenlänge des darunter liegenden Würfels.

Welche Höhe nimmt der Turm an, wenn unendlich viele Würfel aufeinandergesetzt werden?

13

Lösungen:

1) a) <an> = < 2; 4; 6; 8; 10...>

b) <an> = < 1; 3; 5; 7; 9...>

c) <an> = < ...5

1;

4

1;

3

1;

2

1;

1

1>

2) a) <an> = < 3n + 1>

b) <an> = < 2n2>

c) <an> = <1n

n >

3) a) an = 59

b) a1 = 3

c) n = 12

d) d = 3

4) a) an = 24

b) a1 = 7

c) n = 3

d) q = 0,5

5) a) Die Folge ist streng

monoton fallend.

b) Die Folge ist

monoton steigend.

6) a) n > 99

b) n > 7

c) n > 5

7) a) g = 0

b) g =2

3

c) g = 0

8) a) s1 = –1; s2 = 1

b) s = 0

c) s1 = –1; s2 = 1

9) a) Sn = 147

b) a1 = 5

c) n = 100

d) d = 5

10) a) Sn = 7812

b) a1 = 5

c) n = 3

d) 3

2q

11) a2 = 4

a3 = 16

a4 = 64

12) n = 401

13) n = 6 14) n = 166

15) a) C 5,26

b) t = 2025m

16) a) a9 = 57

b) S9 = 621

17) a) 133 q

na

b) n = 9

18) 31)1(800 nan

19) 214748364832 a DM 20) ab dem 8. Folgeglied

21) a) a11 = 31 arithm.

b) a15 = 63 arithm.

c) a10 = 1536 geom.

d) a6 = 148,0 geom.

e) a8 = 390625 geom.

22) n = 69

14

23) 6)1(16 nan24) a1 = 5

a2 = 20

a3 = 80

a4 = 320

a5 = 1280

a6 = 5120

25) t = 17435,6 Jahre

Ansatz: 1590

2

12001,0

n

27) t = 15,7 Jahre

Ansatz:

n

KK

100

5,412

26) 26,2%

Ansatz: 6

6 8,0a

28) h = 2m

Ansatz:

2

11

2

11

1lim

n

nh

15

Die Vollständige Induktion ist eine Beweismethode, mit der man eine Aussage (in der Regel) für alle natürlichen Zahlen beweist. Man beweist die Aussage erst für den Induktionsanfang (I.A.), meistens n = 0 oder n = 1. Dann beweist man, dass die Aussage für n+1 gilt, wenn die Aussage für n gilt (Induktionsschluss).

Beispiel: ∑ i = 1

n i =

n ∗ (n + 1)2

Induktionsanfang: n = 1: linke Seite: ∑ i = 1

1 i = 1; rechte Seite:

1 ∗ (1 + 1)2 = 1

Die Aussage gilt für n, zeigen Sie, dass es für n + 1 gilt (Induktionsschluss):

∑ i = 1

n + 1 i = ∑

i = 1

n i + (n +1)

I.A.=

n ∗ (n + 1)2 + (n +1) =

n ∗ (n + 1)2 +

2 ∗ (n +1)2 =

(n + 2) ∗ (n +1)2

Übung 1 Beweisen Sie folgende Gleichungen:

a) ∑i = 1

n 2i = n ∗ (n+1)

b) ∑i = 1

n (2i - 1) = n²

c) ∑ i = 1

n i² =

n ∗ (n + 1) ∗ (2n + 1)6

d) ∑ i = 1

n i³ =

n² ∗ (n + 1)²4

Übung 2 Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussagen:

a) 23 i - 1 ist immer durch 7 teilbar.

b) n5 - n ist immer durch 5 teilbar.

c) 72n - 2n ist immer durch 47 teilbar.

1.3 Vollständige Induktion

16

Lösungen:

Übung 1

a) ∑i = 1

n 2i = n ∗ (n+1)

Induktionsanfang:

Linke Seite: ∑ i = 1

1 2i = 2, rechte Seite: 1 ∗ (1+1) = 2

Induktionsschluss:

∑ i = 1

n + 1 2i = ∑

i = 1

n 2i + 2∗(n+1)

I.A.= n ∗ (n+1) + 2∗(n+1) = (n+1) ∗ ( (n+ 1) + 1)

b) ∑i = 1

n (2i - 1) = n²

Induktionsanfang:

Linke Seite: ∑ i = 1

1 (2i - 1) = 1, rechte Seite: 1² = 1

Induktionsschluss:

∑ i = 1

n + 1 (2i - 1) = ∑

i = 1

n (2i - 1) + (2∗(n+1) - 1) = n² + 2n + 1 = (n+1)²

c) ∑ i = 1

n i² =

n ∗ (n + 1) ∗ (2n + 1)6

Induktionsanfang:

Linke Seite: ∑ i = 1

1 i² = 1, rechte Seite:

1 ∗ (1 + 1) ∗ (2∗1 + 1)6 = 1

Induktionsschluss:

∑ i = 1

n + 1 i² = ∑

i = 1

n i² + (n+1)² =

n ∗ (n + 1) ∗ (2n + 1)6 + (n+1)² =

n ∗ (n + 1) ∗ (2n + 1)6 +

6∗(n+1)²6

= (n + 1) ∗ ( n ∗ (2n + 1) + 6 ∗ (n+1) )

6 = (n + 1) ∗ ( 2n² + n + 6n + 6)

6 =

(n + 1) ∗ ( (n + 2) ∗ (2n +3)) 6 =

(n + 1) ∗ (n + 2) ∗ (2 ∗ (n+1) +1) 6

d) ∑ i = 1

n i³ =

n² ∗ (n + 1)²4

Induktionsanfang:

Linke Seite: ∑ i = 1

1 i³ = 1, rechte Seite:

1² ∗ (1 + 1)²4 = 1

Induktionsschluss:

i = 1

n + 1

∑ i³ = ∑ i = 1

n i³ + (n+1)³ =

n² ∗ (n + 1)²4 + (n+1)³ =

n² ∗ (n + 1)²4 +

4∗(n+1)³4 =

(n + 1)² ∗ (n² + 4n + 4)

4(n + 1)² ∗ (n + 2)²

4=

17

c) 72n - 2n ist immer durch 47 teilbar

Induktionsanfang: 7² - 21 = 49 - 2 = 47 ist durch 47 teilbar

Induktionsschluss: 72(n+1) - 2n+1 = 49∗72n - 2∗2n = (47+2) ∗72n - 2∗2n

= 47 ∗72n + 2 ∗72n - 2∗2n = 47 ∗72n + 2 ∗ (72n - 2n)

2 ∗ (72n - 2n) ist laut Induktionsannahme durch 47 teilbar und 47 ∗72n ist durch 47 teilbar, da 47 ein Faktor ist.

Übung 2

a) 23 i - 1 ist immer durch 7 teilbar.

Induktionsanfang: 2³ - 1 = 7, ist durch 7 teilbar.

Induktionsschluss:

23 (i+1) - 1 = 23 i ∗ 8 - 1 = 23 i ∗ (7 + 1) - 1 = 7 ∗ 23 i + 23 i - 1

7 ∗ 23 i ist durch 7 teilbar und 23 i - 1 ist laut Induktionsannahme teilbar durch 7.

b)

n5 - n ist durch 5 teilbar

Induktionsanfang:

15 - 1 = 0 ist durch 5 teilbar

Induktionsschluss:

(n+1)5 - (n+1) = n5 + 5n4 + 10n³ + 10n² + 5n + 1 - n - 1 = (n5 - n) + 5∗(n4 + 2n³ + 2n² + n)(n5 - n) ist laut Induktionsannahme durch 5 teilbar und 5∗(n4 + 2n³ + 2n² + n) ist durch 5 teilbar, weil 5 ein Faktor ist.

18

Auch auf Ungleichungen ist das Prinzip der vollständigen Induktion anwendbar. Beispiel:

19

Kapitel 2: Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten

2.1 Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit p Gleichungen und n Unbekannten x1, . . . , xn hat die Form

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

...

ap1x1 + ap2x2 + . . . + apnxn = bp .

aij : Koeffizienten, bi : rechte Seiten (alles reell).Sind im LGS alle rechten Seiten gleich 0, so heißt das LGS homogen. Eine Losung dann: Setze alle xi = 0.

Gesucht: x1, . . . , xn, die die p Gleichungen gleichzeitig l osen.

Frage: Wie findet man die Losungen eines LGS?Mogliche Strategien:

Gleichsetzen: Löse zwei Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und setze diese gleich.Einsetzen: Lose eine Gleichung nach einer Variable auf und setze dann in eine andere Gleichung ein.Addieren: Multipliziere zwei Gleichungen mit reellen Zahlen, so dass sich beim Addieren

der Gleichungen eine Variable weghebt.

Problem: Wie kann man diese Umformungen systematisch anwenden?

Allgemeine Strategie: Andere Form des LGS ohne Losungsmenge zu andern und so, dass zuletzt die Losungen leicht ablesbar sind.

Beispiel

Von unten nach oben kommt in jeder Gleichung eine Unbekannte hinzu. Losungen

lassen sich leicht von unten nach oben durch Ruckwarts-einsetzen bestimmen:

Die 3. Glg. liefert z = 25, die 2.Glg. y = 100 − 3z = 25 und die 1.Glg. x = 50.

x + y + z = 100 5y + 15z = 500

8z = 200

20

Idee: Bringe das LGS auf die Form des ersten Beispiels und bestimme die Losungen durch Ruckwartseinsetzen.

Definition

Ist ein LGS gegeben, in dem bei Betrachtung von unten nach oben in jeder Zeile mindestens eine Variable dazu kommt, so heißt das LGS gestaffelt oder in Zeilenstufenform.

Die folgenden Umformungen ändern die Lösungsmenge eines LGS nicht und man kann sie systematisch anwenden, um ein beliebiges LGS auf Zeilenstufenform zu bringen:

Vertauschen von zwei Gleichungen, Multiplikation einer Gleichung mit einem r ∈ R, r = 0, Addition einer mit r ∈ R multiplizierten Glg. zu einer anderen.3

Algorithmus (GAUSS–Verfahren)

Gegeben sei ein LGS. Die Anwendung der folgenden Schritte ergibt eine Zeilenstufenform:

1) Vertausche zwei Zeilen, so dass die erste Unbekannte in der ersten Glg. auftaucht (fallsnotwendig). Die erste Zeile heißt nun Pivotzeile und die erste Variable Pivotelement.

2) Addiere ein Vielfaches der Pivotzeile zu den Zeilen darunter. Wähle fü jede Addition dasVielfache so, dass sich das Pivotelement bei der Addition weghebt.

3) Wähle nun als neue Pivotzeile die Gleichung unter der bisherigen Pivotzeile. Gibt es keineGleichung unter der bisherigen Pivotzeile, dann stoppe.

4) Neues Pivotelement wird nun die Variable, die nach dem bisherigen Pivotelement kommt.Ist diese Variable in der Zeile nicht vorhanden, vertausche zwei Zeilen passend.

5) Gehe zu Schritt 2.

2.2 Gauss-Verfahren, Rang und Lösbarkeit von Gleichungssystemen

21

Beispiel

2x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 02x1 − 2x2 − x3 − 2x4 + x5 = −7−2x1 + x2 − 2x3 − x4 + 2x5 = −7

4x1 − 2x2 + x3 − x4 − x5 = 22x1 − x2 − x3 + x4 + x5 = −2

2x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0− x2 − 2x3 − x4 = −7

− x3 − 2x4 + 3x5 = −7− x3 + x4 − 3x5 = 2− 2x3 + 2x4 = −2

2x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0− x2 − 2x3 − x4 = −7

− x3 − 2x4 + 3x5 = −73x4 − 6x5 = 96x4 − 6x5 = 12

2x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0− x2 − 2x3 − x4 = −7

− x3 − 2x4 + 3x5 = −73x4 − 6x5 = 9

6x5 = −6

Ruckwartseinsetzen liefert nun:x5 = −1, x4 = 1, x3 = 2, x2 = 2, x1 = 1.

Kurzschreibweise: Alle Umformungen im Gauß–Algorithmus passieren mit den Koeffizienten und nicht mit den Variablen. Daher lässt man die Variablen haufig weg, um sich Schreibarbeit zu sparen.

Beispiel2 −1 1 −1 1 02 −2 −1 −2 1 −7−2 1 −2 −1 2 −7

4 −2 1 −1 −1 22 −1 −1 1 1 −2

In der Kurzschreibweise wird die rechte Seite mit einem senkrechten Strich abgetrennt. Die Umformungen macht man dann ganz analog.

22

Gauss-Jordan-Verfahren

Von der Zeilenstufenform ausgehend kann man das Verfahren von unten nach oben weiter durchfuhren bis auf der linken Seite nur noch Einträge in der Diagonalen stehen.

Man spricht dann vom vollstandigen Gauß–Verfahren oder vom (Gauß–Jordan–Verfahren).

Beispiel+ x5 = 02x1 − x2 + x3 − x4

− x2 − 2x3 − x4 = −7− x3 − 2x4 + 3x5 = −7

3x4 − 6x5 = 9x5 = −1

= 1= −7= −4

2x1 − x2 + x3 − x4

− x2 − 2x3 − x4

− x3 − 2x4

3x4 = 3x5 = −1

2x1 = 2x2 = 2

x3 = 2x4 = 1

x5 = −1

x1 = 1

x2 = 2

x3 = 2

x4 = 1

x5 = −1

23

Rang und Lösbarkeit von Gleichungssystemen

Nicht jedes Gleichungssystem ist lösbar. Im Allgemeinen treten folgende Fälle auf:

1. Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.Beispiel: −2x + y = 3,

−4x + 2y = 2.Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen als Geradengleichungen interpretiert. Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/die Schnittpunkt(e) der Geraden. Im vorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber parallel und sie schneiden sich folglich nicht. Somit ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

2. Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung.Beispiel: x + 3y = 9,

−2x + y = −4.

Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen alsGeradengleichungen interpretiert. Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/dieSchnittpunkt(e) der Geraden. Im vorliegenden Fall schneiden sich die Geraden in genaueinem Punkt. Somit hat das Gleichungssystem die Lösung x = 3 und y = 2.

3. Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

Beispiel: 4x − 2y = 6,−2x + y = −3.

Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man die beiden Gleichungen alsGeradengleichungen interpretiert. Die Lösung des Gleichungssystems sind dann der/dieSchnittpunkt(e) der Geraden. Im vorliegenden Fall sind die beiden Geraden aber iden-tisch und damit ist jeder Punkt der Geraden Lösung. Somit besitzt das Gleichungssystemunendlich viele Lösungen .

Diese drei Fälle kann man auch in der nach dem GAUSS-Verfahren erzeugten Zeilenstufenform eines LGS gut ablesen.Wir führen hierzu den Begriff des Ranges ein:Als Rang einer Matrix in Zeilenstufenform definieren wir die Anzahl der nichtleeren Zeilen, also komplette Nullzeilen werden nicht gezählt.Der Rang einer Matrix kann nicht größer sein als die Anzahl der Zeilen (=Zahl der Gleichungen) oder der Spalten (=Zahl der Unbekannten).

24

2.3 Matrizen: Rechenregeln und Bestimmung der Inversen

Grundsätzlich ist ein LGS nur lösbar, wenn der Rang der reinen Koeffizientenmatrix (linke Seite des Gleichungssystems) genauso groß ist wie der der um die Ergebnisspalte (rechte Seite) erweiterten Koeffizientenmatrix.Steht nämlich in der rechten Spalte ein von Null verschiedener Eintrag und links davon (in der letzten Zeile der Zeilenstufenform) eine Null, ergibt das den Widerspruch "Null = Zahl". Das LGS ist nicht lösbar.Ist der Rang kleiner als die Zahl der Unbekannten (weil z. B. weniger Gleichungen als Unbekannte vorliegen), dann hat die Lösung des LGS so viele freie Parameter wie die Differenz zwischen Rang und Anzahl der unbekannten beträgt.Ist der Rang genauso groß wie die Zahl der Unbekannten spricht man von maximalem Rang. In diesem Fall muss das LGS genau eine Lösung besitzen.Merke:LGS können entweder gar keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen (in Form freier Parameter) besitzen. (Es gibt keinen Fall mit zwei oder drei Lösungen!)

Was ist eine Matrix?

Zur Vereinfachung des Rechenschemas für LGS haben wir im GAUSS-Verfahren bereits das als Matrix bezeichnete Zahlenschema eingeführt.Verallgemeinernd kann man formulieren:Eine Matrix vom Typ m×n (oder eine m×n-Matrix) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n...

......

am1 am2 ... amn

.

Die Zahlen aij ∈ R heißen Komponenten (oder Elemente) der Matrix A. M

25

Rechenregeln für Matrizen

Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar

Für Matrizen A = (aij ) und B = (bij ) gleichen Typs m×n und jede Zahl λ ∈ R ist die Summe A + B und das λ-fache von A komponentenweise definiert:

A + B = (aij + bij )m×n und λA = (λaij )m×n.

Die Differenz zweier Matrizen gleichen Typs ist definiert als

A − B = A + (−1)B = (aij − bij )m×n.

Hieraus folgen die Rechenregeln:Für beliebige Matrizen A, B, C gleichen Typs m×n und beliebige reelle Zahlen λ, ν gilt:

1. A + B = B + A (Kommutativität),

2. (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativität),

3. A + O = A (Nullelement),

4. A + (−A) = O, (inverses Element der Addition),

5. (λµ)A = λ(µA),

6. 1 A = A

7. (λ + µ)A = λA + µA,

8. λ(A + B) = λA + λB.

Die Matrix, deren Komponenten alle gleich Null sind, heißt Nullmatrix O.

26

Matrizenmultiplikation

Das Produkt einer m × ~k -Matrix

A = (aij )m×n =

~a1

~a2...~am

(Zeilendarstellung)

(~b1 ~b2 ... ~bn

)(Spaltendarstellung)

mit einer ~k × n-Matrix

B = (bij )k×n =

ist definiert durch

AB :=

~a1 · ~b1 ~a1 · ~b2 ... ~a1 · ~bn

~a2 · ~b1 ~a2 · ~b2 ... ~a2 · ~bn...

......

~am · ~b1 ~am · ~b2 ... ~am · ~bn

,

mit ~ai · ~bj =k∑

r=1

ai r br j = ai1b1j + ai2b2j + ... aik bkj

Hinweis:Betrachte die Matrix A als aus Zeilenvektoren bestehendund die Matrix B aus Spaltenvektoren bestehend,multipliziere jeweils einen Zeilenvektor mit einem Spaltenvektornach der Regeln des Skalarprodukts und trage die Summe an der Position Zeile x Spalte in die Ergebnismatrix ein.(Es ist also klar, dass eine Matrizenmultiplikation nur ausführbar ist, wenn die Anzahl der Elemente in den Zeilen der linken Matrix identisch ist mit der Anzahl der Elemente in den Spalten der rechten Matrix.)

Für die Multiplikation von Matrizen gelten die folgenden Rechenregeln:Für beliebige m × n-Matrizen A, A1, A2, n × r -Matrizen B, B1, B2 und r × s-Matrix C gilt:

1. (A1 + A2)B = A1B + A2B, A(B1 + B2) = AB1 + AB2, (Distributivgesetze),

2. α(AB) = (α A)B = A(α B), α ∈ R,3. A(BC) = (AB)C, (Assoziativität der Matrizenmultiplikation),4. Em A = A En = A, Einheitsmatrizen En, Em

5. Aber im Allgemeinen ist AB 6= BA.

27

Invertierbare Matrizen

Wir betrachten nun sogenannte quadratische n x n-Matrizen.(Zeilen und Spalten haben also die gleiche Anzahl Elemente.)Als Einheitsmatrizen E bezeichnen wir die quadratische Matrizen, deren Elemente in der Diagonalen (Zeilennummer = Spaltennummer) den Wert 1, sonst 0 haben.

Eine n × n - Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n × n -Matrix B gibt, so

dass gilt: AB = BA = E .

In diesem Fall ist die Matrix B eindeutig bestimmt, sie wird mit A −1 bezeichnet

(d.h. B := A −1), und heißt inverse Matrix oder die Inverse von A .

Wie berechnet man nun die Inverse einer Matrix?

Wir benutzen hierzu das GAUSS-JORDAN-Verfahren, wie wir es bereits zur Lösung von LGS verwendet haben.

Es sei A eine n × n-Matrix.1. Man füge die n x n-Einheitsmatrix an die Matrix A an, d.h. man bilde die

Matrix (A | E ).

2. Man erzeuge durch äquivalente Zeilenumformungen gemäß dem Gauß-Jordan-Algorithmus die Gauß-Jordan-Normalform der Matrix (A |E ).Ist die erzeugte Gauß-Jordan-Normalform von der Gestalt (E |B ), so ist B die zu A inverse Matrix.Ist es nicht möglich die Gestalt (E |B ) zu erhalten, dann ist A nichtinvertierbar.

(Insbesondere ist es nicht möglich, eine Matrix zu invertieren, bei der durch Zeilenumformungen eine komplette Nullzeile entstehen würde oder anders gesagt: Der Rang einer Matrix muss maximal sein, damit diese invertierbar ist.)

28

Rechenregeln für das Invertieren von quadratischen Matrizen

1. Die Inverse einer invertierbaren n × n-Matrix A ist invertierbar;(A−1)−1

= A.

2. Das Produkt AB zweier invertierbarer n × n-Matrizen ist invertierbar;

(AB)−1 = B−1A−1.

3. Die transponierte AT einer n × n-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn A inver- tierbar ist. In diesem Fall ist(

AT )−1=(A−1)T

.

(Die Transponierte AT entsteht aus der Matrix A durch das Vertauschen von Zeilen und Spalten, oder anders gesagt durch Spiegelung alle Elemente an der Hauptdiagonalen.)

Worin besteht nun der besondere Wert von inversen Matrizen?Es sei 𝑥 = 𝐴−1 𝑏

ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten. Wenn die zu A inverse Matrix A−1 existiert, ist die Lösung des Gleichungssystems eindeutig bestimmt durch

A =

(a bc d

)a, b, c, d ∈ R, mit ad − bc 6= 0

Für 2x2-Matrizen kann man Inverse nach folgender Vorschrift bestimmen:

ist A−1 =1

ad − bc

(d −b−c a

).

𝑥 = 𝐴𝐴−1𝑏

denn wir multiplizieren die Ausgangsgleichung auf beiden Seiten von links mit 𝐴𝐴−1

𝐴𝐴−1𝐴𝐴 𝑥 = 𝐴𝐴−1𝑏 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴−1 𝐴𝐴 = 𝐸𝐸

Damit können wir die Gleichung 𝐴𝐴 𝑥 = für beliebige rechte Seiten lösen. b b

29

2.4 Determinanten

Determinanten sind reelle (oder auch komplexe) Zahlen, die eindeutig einer quadratischen Matrix zugeordnet sind.(Bemerkung: Für nichtquadratische Matrizen ist die Determinante nicht definiert.)

Determinante einer 2x2 Matrix - die Zuordnung geschieht folgendermaßen:

2221

1211

aa

aaA 21122211

2221

1211det a aa a

aa

aaA A

Beispiel:

23

54A 234 (2) 5 3

23

54det

A A

Determinante einer 3x3 Matrix - die Zuordnung geschieht folgendermaßen:

122133112332132231322113312312332211

333231

232221

131211

det a a aa a aa a aa a aa a aa a a

aaa

aaa

aaa

AA

Mit der „Regel von Sarrus“ wird der Versuch unternommen, mittels eines Schemas dieses „Ausmultiplizieren“ übersichtlicher zu gestalten:

die Produkte der „Hauptdiagonalen“ (rot) gehen positiv,

die der „Nebendiagonalen“ (blau) negativ in das Ergebnis ein.

Determinante einer m x m -Matrix – hier hilft der LAPLACEschen Entwicklungssatzes:

mmm

m

m

a aa

aaa

aaa

A

m1 2

22221

11211

det A

30

Gegeben sei eine (n × n)-Matrix A.

Definition: 1. det Aij ist diejenige (n − 1)-reihige Unterdeterminante, die verbleibt, wenn in A die i-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen werden.

2. det Aij := (−1)i+j det Aij ist die mit dem Vorzeichenfaktor (−1)i+j multiplizierte (n − 1)-reihige Unterdeterminate det Aij und heißt Adjunkte.

Satz: (Laplacescher Entwicklungssatz)Die Determinate det A lässt sich nach einer beliebigen Zeile oder Spalte von A = (aik)

(i, k = 1, . . . , n) entwickeln. Es gilt

det A = ai1 det Ai1 + ai2 det Ai2 + . . . + ain det Ain (Entwicklung nach i-ter Zeile)

oder

det A = a1k det A1k + a2k det A2k + . . . + ank det Ank . (Entwicklung nach k-ter Spalte)

(Hinweis: In dieser Darstellung ist der Vorzeichenwechsel bereits in die Unterdeterminante einbezogen.)

Rechenregeln für Determinanten

Eigenschaften der Determinante

Die Matrix B entstehe aus der Matrix A durch

Einfluß der Operation auf den Wert derDeterminante

Vertauschung

Vertauschung

zweier Zeilen von A

zweier Spalten von A

Multiplikation der Elemente einer Zeile von A mit reeller Zahl λ

Multiplikation der Elemente einer Spalte von A mit reeller Zahl λ

Addition des λ-fachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile

Addition des λ-fachen einer Spalte von A zu einer anderen Spalte

det B = − det A

det B = − det A

det B = λ det A

det B = λ det A

det B = det A

det B = det A

31

Betrachtet werden Matrizen A, B vom Typ (n, n), E ist die Einheitsmatrix.

Multiplikationssatz: det(A ·B) = det A ·det B ,

det E = 1 .

Transpositionssatz: det(AT ) = det A .

Satz ¨ über die Inverse: det A−1 = (det A)−1 .

Invertierbarkeitstest: A invertierbar ⇔ det A 6= 0 ,

äquivalent dazu: rg A < n ⇔ det A = 0 .

Def.: A heißt regulär :=A heißt singulär :=

det A 6= 0 det A = 0 .

Folgerungen aus dem Multiplikationssatz:1. det(AB ) = det(BA).

2. det(Ak ) = (det A)k , (k ∈ N).3. det(C−1AC ) = det A, für alle invertierbaren Matrizen C ∈ Rn×n.

Wozu braucht man Determinanten?

Mit Hilfe der Determinanten kann man

• Aussagen über Lösbarkeit von Gleichungssystemen treffen

• Überprüfen, ob ein System von Vektoren linear unabhängig ist

• Determinanten können im R2 anschaulich als Fläche des durch zwei Vektorenaufgespannten Parallelogramms, im R3 als Volumen eines durch drei Vektorenaufgespannten Parallelepipeds (Spatprodukt) gedeutet werden.

32

2.5 Matrizen als Abbildungen, Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Abbildung

Die Schreibweise 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ist uns als Funktion, die zu einem bestimmten 𝑥𝑥 ein bestimmtes 𝑦𝑦 erzeugt, vertraut.

Analog kann man sich vorstellen, dass mit der Vorschrift

aus einem Vektor 𝑥 ein neuer Vektor 𝑦 erzeugt wird.

Beispiel:

Man kann also mit Hilfe von Matrizen auch in mehrdimensionalen Räumen eine Funktionszuordnung oder Abbildung erzeugen.

Ein typischer Anwendungsfall ist z. B. die Berechnung von Bildpunkten in Computer-Graphik-Programmen.

Betrachten wir nun einmal die Anwendung einer (3𝑥𝑥3)-Matrix auf die Basis-Einheitsvektoren des ℝ3

𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33

1

0 ∗ 0 =

𝑎𝑎11𝑎𝑎21𝑎𝑎31

Das Ergebnis ist genau die erste Spalte der erzeugenden Matrix – analog mit den weiteren Basisvektoren.

Wir stellen also fest: In der Abbildungsmatrix stehen spaltenweise die Vektoren, die „unter der Abbildung“ aus den Einheits-Basisvektoren entstehen würden.

Umgekehrt können wir aber auch mit dieser Erkenntnis die Matrix „konstruieren“ zu einer Abbildung, von der wir wissen, wie sie geometrisch die Basisvektoren umwandelt, z. B. Streckung, Spiegelung, Drehung usw.

33

Eigenwerte und Eigenvektoren

Interessant ist nun die Frage: Gibt es bei einer gegebenen Abbildungsmatrix 𝐴𝐴 möglicherweise bestimmte Vektoren 𝑣, die nach Anwendung der Abbildung in dieselbe Richtung zeigen, wie der Ausgangsvektor?

Dann müsste gelten: 𝐴𝐴 ∗ 𝑣 = 𝜆𝜆 ∗ 𝑣 oder 𝐴𝐴 ∗ 𝑣 − 𝜆𝜆 ∗ 𝑣 = 0

Um den zweiten Term auf das gleiche Format zu bringen, multiplizieren wir mit der Einheitsmatrix 𝐸𝐸 und erhalten: 𝐴𝐴 ∗ 𝑣 − 𝜆𝜆 ∗ 𝐸𝐸 ∗ 𝑣 = 0

Wir können nun 𝑣 ausklammern und erhalten: (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝐸𝐸)𝑣 = 0 .

Das ist ein homogenes LGS und wir wissen: Ein solches LGS hat nur dann eine von der trivialen Lösung 𝑥 = 0 verschiedene Lösung, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist.

Aus dieser Bedingung können wir nun also zunächst 𝜆𝜆-Werte berechnen mit denen unser Gleichungssystem Lösungen hat. Man nennt diese 𝜆𝜆-Werte Eigenwerte.

Die Rechenvorschriften für Determinanten liefern dabei zu einer (𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛)-Matrix genau ein Polynom vom Grad 𝑛𝑛 zur Bestimmung von 𝜆𝜆. Das ist das charakteristische Polynom des Eigenwertproblems.

Die so bestimmten 𝜆𝜆-Werte werden nun konkret in die Matrix 𝐴 = (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝐸𝐸) eingesetzt und damit Lösungen für das homogene LGS 𝐴 ∗ 𝑥𝐸𝐸 = 0 gelöst.

Die so gefundenen Vektoren 𝑥𝐸𝐸 nennt man Eigenvektoren zur Matrix 𝐴𝐴.

Beispiel A =

2 −3 13 1 3

−5 2 −4

det(A− λE) =

∣∣∣∣∣∣∣2− λ −3 1

3 1− λ 3

∣∣∣∣∣∣∣−5 2 −4− λ

= (2− λ) ∗ (1− λ) ∗ (−4− λ) + (−3) ∗ 3 ∗ (−5) + 1 ∗ 3 ∗ 2

−(−5) ∗ (1− λ) ∗ 1− 2 ∗ 3 ∗ (2− λ)− (−4− λ) ∗ 3 ∗ (−3)

= (2− λ− 2λ + λ2) ∗ (−4− λ) + 45 + 6

+5 ∗ (1 − λ) − 6 ∗ (2 − λ) + 9 ∗ (−4 − λ)

= (2− 3λ + λ2) ∗ (−4− λ) + 51 + 5− 5λ− 12 + 6λ− 36− 9λ

= −8 + 12λ− 4λ2 − 2λ + 3λ2 − λ3 + 8− 8λ

= ︸−λ3 −︷︷λ2 + 2λ︸Char. Polynom

= 0

34

EigenwerteDie Losungen der Gleichung −λ3 − λ2 + 2λ = 0

berechnet man folgendermaßen:Zuerst kann man −λ ausklammern:

−λ3 − λ2 + 2λ = −λ(λ2 + λ− 2).

λ2 + λ− 2 lasst sich darstellen als

(λ− 1)(λ + 2) (= λ ∗ λ− 1λ + 2λ− 2 = λ2 + λ− 2)︷︷︸ ︸Probe

also

Das heisst

−λ3 − λ2 + 2λ = −λ(λ− 1)(λ + 2) = 0.

λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = −2 sind die Eigenwerte der Matrix A.

Nun wollen wir die 3 Eigenvektoren der Matrix A bestimmen:

• λ1 = 0: Der 1.Eigenvektor ergibt sich aus folgender Gleichung:

(A− 0E)x1 = 0⇒ Ax1 = 0⇒

2 −3 13 1 3

−5 2 −4

x1

x2

x3

= 0.

Eigenvektoren

Man kann zeigen, dass eine Losung dieses Systemsx1 = 10, x2 = 3, xx = −11 ist.

D.h. unser 1.Eigenvektor ist:c

103

−11

.

• λ2 = 1: Der 2.Eigenvektor ergibt sich aus folgender Gleichung: (A− 1E)x1 = 0

also 2 −3 1

3 1 3−5 2 −4

− 1

1 0 00 1 00 0 1

x1

x2

x3

= 0

2− 1 −3 13 1− 1 3−5 2 −4− 1

x1

x2

x3

= 0

⇒

1 −3 13 0 3

2 −5

x1

x2

x3

= 0

Die Lösung dieses Systems ist: x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1

D.h. unser 2.Eigenvektor ist:c

−101

.

35

• λ3 = −2: Der 3.Eigenvektor ergibt sich aus folgender Gleichung: (A− (−2)E)x1 = 0

⇒

2− (−2) −3 13 1− (−2) 3−5 2 −4− (−2)

x1

x2

x3

= 0

⇒

4 −3 13 3 3

2 −2

x1

x2

x3

= 0

Eine Losung dieses Systems ist: x1 = 4, x2 = 3, x3 = −7.

Der 3.Eigenvektor ist demnach:c

43

−7

.

36

Kapitel 3: Komplexe Zahlen (mit Anwendungen in der Elektrotechnik)

3.1 Die imaginäre Zahl 𝒊𝒊

Mit imaginären Zahlen lassen sich Gleichungen lösen, deren Lösungen keine reellen Zahlen sein können. Die Gleichung 𝑥𝑥2 − 1 = 0 hat zur Lösung zwei reelle Zahlen, −1 und +1.

Die Gleichung 𝑥𝑥2 + 1 = 0 hingegen kann keine reelle Lösung haben, da Quadrate reeller Zahlen niemals kleiner als 0 sind, also nie den Wert −1 annehmen können.

Um solche Gleichungen lösen zu können hat man die imaginäre Einheit 𝒊𝒊 eingeführt mit der Definition:

𝒊𝒊𝟐𝟐 = −𝟏𝟏 (Die Schreibweise 𝑖𝑖 = √−1 dagegen ist falsch!)

Die Bezeichnung „imaginär“ wurde zuerst 1637 von René Descartes benutzt.

Kombiniert man „normale“ reelle Zahlen mit reellen Vielfache solcher imaginären Einheiten erhält man komplexe Zahlen mit in der Darstellung 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖.

Die Koeffizienten 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 werden als Real- bzw. Imaginärteil von 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 bezeichnet. Man schreibt:

𝑎𝑎 = 𝐑𝐑𝐑𝐑(𝑧𝑧) und 𝑏𝑏 = 𝐈𝐈𝐈𝐈(𝑧𝑧)

(Beachte: 𝐑𝐑𝐑𝐑(𝑧𝑧) und 𝐈𝐈𝐈𝐈(𝑧𝑧) sind reelle Zahlen. Zu schreiben z. B. 𝐈𝐈𝐈𝐈(𝑧𝑧 = 1 − 2𝑖𝑖) = 2𝑖𝑖 wäre falsch!)

Rechnen mit komplexen Zahlen

Es zeigt sich, dass man Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen problemlos durch getrennte Addition und Subtraktion von Real- und Imaginärteil der Zahle ausführen kann.

Beispiel: 𝑧𝑧1 = 3 + 4𝑖𝑖 und 𝑧𝑧2 = 5 + 6𝑖𝑖 dann ist 𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2 = 8 + 10𝑖𝑖. Bei der Multiplikation kommt uns zugute, dass das Produkt 𝑖𝑖 ∙ 𝑖𝑖 wieder eine reelle Zahl, nämlich -1 ergibt.

Man multipliziert also wie gewohnt zwei Klammern Term für Term und erhält z. B.: 𝑧𝑧1 ∙ 𝑧𝑧2 = 15 + 18𝑖𝑖 + 20𝑖𝑖 + 24𝑖𝑖2 = (15 − 24) + (18 + 20)𝑖𝑖 = −9 + 38𝑖𝑖.

Bei der Division benutzen wir einen Trick: Wir haben gesehen, dass die Multiplikation uneingeschränkt

ausführbar ist, also können wir die Erweiterungsregel für Brüche anwenden.

Wir erweitern den Bruch 𝑧𝑧1𝑧𝑧2

mit einer Zahl 𝑧𝑧2 der sogenannten konjugiert komplexen Zahl zu 𝑧𝑧2.

𝑧𝑧2 unterscheidet sich von 𝑧𝑧2 dadurch, dass der Imaginärteil das entgegengesetzte Vorzeichen hat.

Im Beispiel: 𝑧𝑧1𝑧𝑧2

= 3+4𝑖𝑖5+6𝑖𝑖

= (3+4𝑖𝑖)∙(5−6𝑖𝑖)(5+6𝑖𝑖)∙(5−6𝑖𝑖)

= 15−18𝑖𝑖+20𝑖𝑖−24𝑖𝑖2

25−36𝑖𝑖2= 41+2𝑖𝑖

61

(Wir haben im Nenner die dritte binomische Formel benutzt.)

Wir haben nun also gesehen, dass wir alle vier Grundrechenarten mit den komplexen Zahlen ausführen können. Die komplexen Zahlen bilden also einen eigenen Zahlenraum, üblicherweise bezeichnet mit dem Symbol ℂ.

Damit ist es also auch möglich, Funktionen im Komplexen zu definieren und zu bearbeiten, z. B. Nullstellen zu bestimmen.

37

3.2 Die GAUSSsche Zahlenebene und EULERsche Darstellung

Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen funktionieren ganz ähnlich wie Addition und Subtraktion von Vektoren im zweidimensionalen Raum ℝ2.

Es liegt also nahe, dass man komplexe Zahlen auch in einem Koordinatensystem darstellen kann. In der

waagerechten Richtung trägt man den Realteil, in der vertikalen Richtung den Imaginärteil der Zahl ab.

Man nennt diese Darstellung „Gaußsche Zahlenebene“.

Man sieht in dieser Darstellung unmittelbar, dass jeder Punkt in dieser Ebene entweder durch „Koordinaten“ 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 eindeutig bestimmt ist, oder auch durch Angabe seines Abstandes 𝑟𝑟 zum Ursprung und des Winkels

𝜑𝜑 zur positiven Re-Achse festgelegt ist.

Erstere Darstellung nennt man algebraische oder kartesische Form, die andere Darstellung ist die

Polarform.

Mithilfe trigonometrischer Beziehungen kann man ohne weiteres von der Polarform in die kartesische umrechnen: Re(𝑧𝑧) = 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜑𝜑 Im(𝑧𝑧) = 𝑏𝑏 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟𝜑𝜑

Umgekehrt sieht man: 𝑟𝑟 = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2. Man bezeichnet 𝑟𝑟 auch als Betrag von 𝑧𝑧 (Kurzschreibweise |𝑧𝑧|).

Den Winkel 𝜑𝜑, auch Argument von 𝑧𝑧 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀(𝑧𝑧) genannt, ermittelt man auch über Winkelfunktionen,

z. B. 𝜑𝜑 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑏𝑏𝑎𝑎. Da 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 nicht eindeutig ist, sind ggfs. Korrekturwinkel in Abhängigkeit von den

Vorzeichen von 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 zu bestimmen. (Siehe Tafelschrieb.) Eine ganz wichtige Elementar-Beziehung für das Rechnen mit komplexen Zahle ist die EULERsche Relation:

𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜑𝜑 + 𝑖𝑖 ∙ 𝑟𝑟𝑖𝑖𝑟𝑟𝜑𝜑.

Damit lassen sich auf komplexe Zahlen in der Darstellungsform 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 die Rechengesetze für Potenzen

anwenden.

Zwei Zahlen 𝑧𝑧1 = 𝑟𝑟1𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖1 und 𝑧𝑧2 = 𝑟𝑟2𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖2 lassen sich dann multipliplizieren 𝑧𝑧1 ∙ 𝑧𝑧2 = 𝑟𝑟1 ∙ 𝑟𝑟2𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑖𝑖1+𝑖𝑖2).

Die Division 𝑧𝑧1𝑧𝑧2

vereinfacht sich dann zu 𝑧𝑧1𝑧𝑧2

= 𝑟𝑟1𝑟𝑟2𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑖𝑖1−𝑖𝑖2).

Verbal formuliert: Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen in der Eulerschen Form werden die Beträge

multipliziert und die Argumente (Winkel) addiert.

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=54559304

38

3.3 Potenzen und Wurzeln

Insbesondere gilt für das wiederholte Multiplizieren, also Potenzieren einer komplexen Zahl mit sich selbst:

𝑧𝑧𝑛𝑛 = |𝑧𝑧|𝑛𝑛𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑛𝑛∙arg(𝑧𝑧)) = 𝑟𝑟𝑛𝑛𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑛𝑛𝑖𝑖)

Hinweis: Es macht aber keinen Sinn rein reelle oder rein imaginäre komplexe Zahlen zum Potenzieren erst in die Eulersche Form umzurechnen. Reelle Zahlen werden wie gewohnt potenziert für rein imaginäre Potenzen nutzt man aus, dass 𝑖𝑖2 = −1 , 𝑖𝑖4 = +1 und teilt die eine gegebene Potenz in entsprechende Bestandteile.

Beispiel: 𝑖𝑖2019 = 𝑖𝑖 ∙ 𝑖𝑖2018 = 𝑖𝑖 ∙ (𝑖𝑖2)1009 = 𝑖𝑖 ∙ (−1)1009 = −𝑖𝑖

Die Umkehren des Potenzierens, also Wurzelziehen geht nun analog:

Man erhält eine Lösung von 𝑢𝑢 = √𝑧𝑧𝑛𝑛 = |𝑧𝑧|𝑛𝑛 ∙ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑧𝑧)

𝑛𝑛 = √𝑟𝑟𝑛𝑛 ∙ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜑𝜑𝑛𝑛 .

Aber sind das alle Lösungen von 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑧𝑧 ?

Hier kommt zum Tragen, dass die Eulersche Darstellung 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 nicht eindeutig ist.

Addiert man nämlich zum Winkel 𝜑𝜑 ein Vielfaches von 2𝜋𝜋 (also jeweils ganze Umdrehungen) dazu, landet man

wieder auf dem selbem Punkt in der Gaußschen Zahlenebene.

Es ist aber ein Unterschied, ob man als Winkel 𝑖𝑖𝑛𝑛 oder 𝑖𝑖+𝑘𝑘∙2𝜋𝜋

𝑛𝑛 (𝑘𝑘 ∈ ℤ) berechnet.

Also theoretisch gibt es unendlich viele Lösungen für 𝑢𝑢𝑘𝑘 = √𝑧𝑧𝑛𝑛 = √𝑟𝑟𝑛𝑛 ∙ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜑𝜑+𝑘𝑘∙2𝜋𝜋

𝑛𝑛 .

Man sieht aber: Sobald 𝑘𝑘 auf ein Vielfaches von 𝑟𝑟 trifft, ergibt sich ein Winkel der sich von einem vorher be-

rechneten genau um 2𝜋𝜋 (oder Vielfache) unterscheidet, also wieder auf die selbe Stelle in der Zahlenebene

trifft.

Deshalb schränkt man die Lösungsmenge der Wurzeln ein auf:

𝑢𝑢𝑘𝑘 = √𝑧𝑧𝑛𝑛 = √𝑟𝑟𝑛𝑛 ∙ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖+𝑘𝑘∙2𝜋𝜋

𝑛𝑛 (𝑘𝑘 ∈ ℤ|𝑘𝑘 = 0, 1, … ,𝑟𝑟 − 1)

Damit ergibt sich folgendes „Kochrezept“ zum Wurzelziehen vom Grad 𝑟𝑟 bei komplexen Zahlen:

1. Bringe die komplexe Zahl (falls nicht schon gegeben) in die Eulersche Form 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑖𝑖)

2. Ermittle die reelle Zahl √𝑟𝑟𝑛𝑛 . Alle Lösungen liegen auf einem Kreis mit diesem Radius.

3. Teile den Winkel 𝜑𝜑 durch 𝑟𝑟 und mit diesem Winkel ergibt sich die erste Lösung.

4. Addiere nun den 𝑟𝑟-ten Teil von 2𝜋𝜋 immer wieder ((𝑟𝑟 − 1)mal) zu dem unter 3. ermittelten

„Startwinkel“.

Beispiel: Gesucht sind alle Lösungen von 𝑢𝑢5 = 1 + 𝑖𝑖√3

39

3.4 Anwendungen

Hinweis: Bei Anwendungsrechnungen ersetzt man häufig die imaginäre Einheit 𝑖𝑖 durch den Buchstaben 𝑗𝑗 ,

um (speziell in der Elektrotechnik) Verwechslungen mit der Stromdichte 𝑖𝑖 zu vermeiden.

Rechnen mit komplexen Zahlen ist in Physik und Technik eine wichtige Rechenhilfe. So lässt sich z.B. die Behandlung von Schwingungsvorgängen vereinfachen. Komplizierte Beziehungen in Zusammenhang mit der Überlagerung von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen (Additiontheoreme) werden durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzt, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen.

In der komplexen Wechselstromrechnung fügt man geeignete Imaginärteile in die reellen

Ausgangsgleichungen ein. Man ergänzt die reellen harmonischen Schwingungen zu Kreisbewegungen in der

komplexen Ebene (“kreisender Zeiger”), mit denen sich einfacher rechnen lässt.

Beispiel:

Gesucht ist die U berlagerung der beiden Wechselspannungen

u1 (t) = 4 sin(2 t) und u2 (t) = 3 cos(2 t− π

6

).

Bevor man diese beiden harmonischen Funktionen uberlagert, stellt man

z.B. u2 (t) als Sinusfunktion dar:

u2 (t) = 3 cos(2 t− π

6

)= 3 sin

(2 t− π

6+π

2

)= 3 sin

(2 t+

π

3

).

u1 (t) = 4 ei 2 tUbergang−−−−−−−−−−→ins Komplexe

π3

π3u2 (t) = 3 ei(2 t+ ) = 3 ei ei 2 t.

Komplexe−−−−−−−−→ u (t) = u1 (t) + u2 (t)

Additionπ3= 4 ei 2 t + 3 ei ei 2 t =

(4 + 3 ei π

3)ei 2 t.

Addition der komplexen Amplitudenπ3c = 4+3 ei = 4+3

(cos π

3 + i sin π3

)= 4+3

(12 + i 12

√3)

= 5, 5+i 2, 6.

Darstellung von c in Exponentialform

|c| =√

5, 52 + 2, 62 = 6, 08 ,

Re ctanϕ = Im c = 2,65,5 → ϕ = 25, 28=0.44 .

⇒ c = Aeiϕ mit A = 6, 08 ϕ = 0.44

⇒ u (t) = 6, 08 ei 0.44 ei 2 t = 6, 08 ei (2 t+0.44).

Ubergang−−−−−−−→ins Reelle

u (t) = Im u (t) = 6, 08 sin (2 t+ 0.44) .

40

Eine wichtige und weitverbreitete Anwendung ist die Berechnung von „Scheinwiderständen“ in

Wechselstromkreisen.

Induktive (Spulen) und kapazitive (Kondensatoren) führen in Wechselstromkreisen zu einer Phasenverschiebung

zwischen Spannung und Strom. Das führt dazu, dass das Produkt von Strom und Spannung, also die Leistung,

kleiner ausfällt, als es die Amplituden von Strom und Spannung erwarten ließen – daher die Bezeichnung

„Scheinwiderstand“. Dem trägt man durch komplexe Ersatzwiderstände 𝑍 Rechnung.

• Ohmsche Widerstände bleiben rein reell: 𝑍𝑅𝑅 = 𝑅𝑅

• Kapazitiver Blindwiderstand (Spannung eilt nach): 𝑋𝑋𝑐𝑐 = 1𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗

• Induktiver Blindwiderstand (Strom eilt nach): 𝑋𝑋𝐿𝐿 = 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗

Der Gesamtwiderstand einer Zusammenschaltung von Bauelementen kann nun nach den gleichen Regeln

berechnet werden wie von Ohmschen Widerständen bekannt:

• Bei Reihenschaltungen addieren sich die Teilwiderstände,

• bei Parallelschaltungen addieren sich die Reziprokwerte der Widerstände.

Beispiel:

R1 L1

R2

R3 L2

R4

¯

Gegeben ist nebenstehende Schaltung.Berechnen Sie den Komplexen Ersatzwi-derstand Z der Schaltung sowie seinen Be-trag Z und den Phasenverschiebungswin-kel ϕ. Folgende Werte sind bekannt:R1 = 100 Ω R2 = 200 Ω R3 = 200 ΩR4 = 100 Ω L1 = 0,1 H L2 = 0,1 H ω = 1000 s−1

Losung: Wir bestimmen zunachst aus den gegebenen Daten die komplexen Wirk- undBlindwiderstande.

R¯ 1 = 100 Ω

R¯ 2 = 200 Ω

R¯ 3 = 200 Ω

R¯ 4 = 100 Ω

X¯L1 = j100 Ω

R1 = 100 Ω ⇒R2 = 200 Ω ⇒R3 = 200 Ω ⇒R4 = 100 Ω ⇒

XL1 = 1000 s−1 · 0,1 H = 100 Ω ⇒XL2 = 1000 s−1 · 0,1 H = 100 Ω ⇒ XL2 = j100 Ω

41

Z¯ ¯ ¯

Ich fasse R1 und XL1 mit der Formel fur die Reihenschaltung als Z1 zusammen.

1 = R1 + XL1 = 100 Ω + j100 Ω

Ich fasse Z1 mit R2 zu Z2 zusammen. Dazu verwende ich die Formel fur die Parallel-schaltung.

Z¯2 = 1 · R¯ 2Z

¯Z¯ ¯1 + R2

=(100 Ω + j100 Ω) · 200 Ω

100 Ω + j100 Ω + 200 Ω=

20000 Ω2 + j20000 Ω2

300 Ω + j100 Ω

Damit die Zahlen und die Einheiten nicht so groß werden, klammere ich im Zahler undim Nenner 100 Ω aus und kurze dadurch.

Z¯2 =

100 Ω · (200 Ω + j200 Ω)

100 Ω · (3 + j1)=

200 Ω + j200 Ω

3 + j1

Das muss ich jetzt aufteilen konnen in Real- und Imaginarteil. Dazu muss ich den BruchKonjugiert Komplex erweitern.

· 3− j13− j1

=600 Ω− j200 Ω + j600 Ω + 200 Ω

32 + 12=

800 Ω + j400 Ω

10Z¯Z¯

200 Ω + j200 Ω2 =

3 + j1

2 = 80 Ω + j40 Ω

Ahnlich mussen wir auch die rechte Teilschaltung zusammenfassen. Die Reihenschaltungaus R3 und XL2 bekommt den Namen Z3. Die Parallelschaltung von Z3 mit R4 nenneich dann Z4.

3 = R¯ ¯3 + XL2 = 200 Ω + j100 ΩZ

¯

Z¯4 = 3 · R¯ 4Z

¯Z¯ ¯

=(200 Ω + j100 Ω) · 100 Ω

3 + R4 200 Ω + j100 Ω + 100 Ω=

20000 Ω2 + j10000 Ω2

300 Ω + j100 Ω

200 Ω + j100 Ω100 Ω · (200 Ω + j100 Ω)= =

100 Ω · (3 + j1)

(200 Ω + j100 Ω) · (3− j1)=

(3 + j1) · (3− j1)

3 + j1

600 Ω− j200 Ω + j300 Ω + 100 Ω=

32 + 12=

700 Ω + j100 Ω

10

Z¯4 = 70 Ω + j10 Ω

¯ ¯ ¯Um den Gesamtwiderstand Z zu bestimmen, muss ich nun noch Z2 und Z4 addieren.

Z¯ ¯ ¯

= Z2 + Z4 = 80 Ω + j40 Ω + 70 Ω + j10 Ω = 150 Ω + j50 Ω

¯

Mit den entsprechenden Formeln kann ich dann den Betrag Z und den Phasenverschie-bungswinkel ϕ von Z berechnen.

Z =√

(ReZ¯)2 + (ImZ

¯)2 =

√(150 Ω)2 + (50 Ω)2 ≈ 158 Ω

ϕ = arctanImZ

¯ReZ

¯

= arctan50 Ω

150 Ω≈ 18,43

42

Kapitel 4: Reelle Funktionen, Differential- und Integralrechnung

4.1 Funktionen 4.1.1 Begriffsklärung und allgemeine Eigenschaften Vielfach wird unter Funktion nur die Darstellung eines algebraischen Terms in Form eines Graphen

z. B. für 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) verstanden.

Der Funktionsbegriff ist aber viel weiter gefasst. Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift (häufig auch als

Abbildung bezeichnet) von Elementen einer Menge (dem Definitionsbereich) auf Elemente einer anderen

Menge (des Wertebereichs).

Klassisches Beispiel einer solchen allgemeinen Zuordnungsvorschrift ist eine Preisliste.

Eine ganz elementare Forderung an eine Funktion ist die Eindeutigkeit der Zuordnung.

Nun klassifiziert man dies Eindeutigkeit weiter: Man spricht von einer injektiven Funktion, wenn es zu jedem Element des Definitionsbereichs nur

genau ein Element im Wertebereich gibt. Damit kann man auch rückwärts einem durch die Abbildung

entstandenen Element aus dem Wertebereich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich

zuordnen. Die Abbildung ist umkehrbar eindeutig.

Man spricht von einer surjektiven Funktion, wenn es möglich ist, zu allen Elementen des Werte-

bereichs über die Umkehrabbildung ein passendes Element im ursprünglichen Definitionsbereich zufinden.

Man spricht von einer bijektiven Funktion, wenn die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Hinweis: Vielfach kann man durch Einschränkungen von Definitions- und/oder Wertebereich Injektivität oder Surjektivität erreichen.

Im Folgenden wollen wir uns aber tatsächlich wieder mit den „üblichen“ Funktionen befassen. Wir meinen damit (wenn nicht anders angegeben) Abbildungen 𝑓𝑓:ℝ→ℝ in der Form 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Man spricht dann auch von 𝑥𝑥 als dem Argument und 𝑦𝑦 als dem Funktionswert der Funktion 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

43

Welche weiteren allgemeinen Eigenschaften kann man an solchen Funktionen betrachten? Da steht zunächst die Frage: Gibt es Einschränkungen des Definitionsbereichs, also z. B. nicht erlaubte

Werte für 𝑥𝑥 ? Einen solchen ggfs. eingeschränkten Definitionsbereich nennt man dann die

Definitionsmenge 𝑫𝑫𝒇𝒇.

Weiterhin ist einsichtig, dass es Abbildungen gibt, durch die nicht der ganze Wertebereich ganz ℝ

„getroffen“ wird. Auch der Wertebereich kann auf eine Wertemenge 𝑾𝑾𝒇𝒇 eingeschränkt sein.

In einem solchen Fall spricht man von Beschränktheit der Funktion.

Hinweis: Die allgemeine Bezeichnung „beschränkt“ gilt nicht für nur einseitig beschränkte Funktionen. Unter allgemeine Eigenschaften von Funktionen kann man deren Monotonieverhalten betrachten.

Eine Funktion ist monoton wachsend wenn gilt: Ist 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ⇒ 𝑓𝑓(𝑎𝑎) ≤ 𝑓𝑓(𝑏𝑏).

Eine Funktion ist monoton fallend wenn gilt: Ist 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 ⇒ 𝑓𝑓(𝑎𝑎) ≥ 𝑓𝑓(𝑏𝑏).

Von strenger Monotonie spricht man, wenn in o. g. Beziehungen das Gleichheitszeichen nicht mit gilt.

Hinweis: Vielfach wird versucht, Monotonie über die erste Ableitung von Funktionen zu definieren. Das kann zu Fehlinterpretationen führen. Beispiel: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3

Beim Symmetrieverhalten einer Funktion wird untersucht, was passiert, wenn man das Vorzeichen derArgumente 𝑥𝑥 vertauscht.

Eine Funktion heißt gerade, wenn gilt: 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

(Anschaulich entspricht das einer Achsenspiegelung an der 𝑦𝑦-Achse.) Eine Funktion heißt ungerade, wenn gilt: 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥).

(Anschaulich entspricht das einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung.) Eine Funktion kann periodisch sein. Dann gilt: 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑝𝑝) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 𝑝𝑝 ∈ ℝ…𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃ä𝑃𝑃𝑛𝑛𝑃𝑃

Das Krümmungsverhalten einer Funktions(kurve) oder von Teilen davon wird durch die Angaben konkav

oder konvex beschrieben. Man spricht auch von rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt.

Charakteristische Punkte einer Funktion sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, also welchenWert hat 𝑓𝑓(0) und wo gilt 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 ? Letztere sind auch als Nullstellen bekannt

konkav konvex

44

Transformationen

Wird die Funktion 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ersetzt durch 𝑦𝑦𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) so ist das Bild von 𝑦𝑦𝑎𝑎 gegenüber 𝑦𝑦 in Richtung der 𝑦𝑦-Achse um den Faktor 𝑎𝑎 „gestreckt“.

Wenn in einer Funktion (𝑥𝑥) durch (𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥) ersetzt wird, wird das Funktionsbild in Richtung der 𝑥𝑥-Achse um den Faktor 𝑎𝑎 „gestaucht“.

Wenn in einer Funktion (𝑥𝑥) durch (𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) ersetzt wird, wird das Funktionsbild in Richtung der 𝑥𝑥-Achse um den Abstand (−𝑏𝑏) verschoben.

Umkehrfunktionen

Wir haben in der allgemeinen Betrachtung schon festgestellt, dass eine injektive Abbildung grundsätzlich umkehrbar ist. Dabei tauschen Definitions- und Wertebereich ihre Rollen.

„Rechnerisch“ gewinnt man eine Umkehrfunktion zu 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) indem man die Gleichung nach 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑦𝑦)auflöst

und anschließend wieder 𝑥𝑥 und 𝑦𝑦 tauscht.

Achtung: Bei diesem Verfahren muss man streng prüfen, ob tatsächlich Definitions- und Wertebereich adäquat

getauscht sind! (Der Rechenweg könnte nämlich nicht eindeutige Umformungen wie Quadrieren enthalten.)

Ebenso ist Vorsicht geboten mit der Interpretation: Eine Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Geraden 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 !

4.1.2 Potenz- und Wurzelfunktionen Funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), die sich in der Form 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑝𝑝 (𝑝𝑝 ∈ ℝ ) darstellen lassen, nennt man allgemeine Potenzfunktionen.

Bei Potenzfunktionen im engeren Sinne ist für 𝑝𝑝 ∈ ℕ. Beispiele: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢.

Ist 𝑝𝑝 ∈ ℚ , also als Bruch darstellbar, spricht man von Wurzelfunktionen.

Beispiele: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥12 = √𝑥𝑥,𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

13 = √𝑥𝑥 3 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢.

Achtung! Wurzelfunktionen sind grundsätzlich nur für nichtnegative Argumente definiert, auch wenn rechnerisch z. B. die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl denkbar ist.

Funktionen mit negativen 𝑝𝑝 ∈ ℤ nennt man auch Hyperbelfunktionen.

Beispiele: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−1 = 1𝑥𝑥

,𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−2 = 1𝑥𝑥2𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢.

Solche Funktionen haben stets eine Definitionslücke bei 𝑥𝑥 = 0. Eine Summe von Potenzfunktionen der Form 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 nennt man

Polynomfunktion vom Grad 𝑃𝑃 mit Koeffizienten 𝑎𝑎𝑛𝑛.

45

Zerlegungssatz Ist 𝑥𝑥1 eine Nullstelle einer Poynomfunktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) vom Grad 𝑃𝑃, dann lässt sich 𝑓𝑓(𝑥𝑥) immer zerlegen in das

Produkt 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) ⋅ 𝑛𝑛(𝑥𝑥)

Dabei ist 𝑛𝑛(𝑥𝑥) ein Polynom vorm Grad 𝑃𝑃 − 1.

𝑛𝑛(𝑥𝑥) kann weiter faktorisiert werden, wenn es Nullstellen besitzt, andernfalls nennt man es irreduziblen Term.

Achtung! Der irreduzible Term kann maximal den Grad 2 haben!

Also lässt sich ein Polynom vom Grad 𝑃𝑃 immer darstellen in der faktorisierten Form:

𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑘𝑘)𝑘𝑘 ∙ … ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐) …

𝑎𝑎𝑛𝑛…Leitfaktor des Polynoms

𝑥𝑥𝑗𝑗 , 𝑥𝑥𝑘𝑘 , …mehrfache Nullstellen von 𝑃𝑃(𝑥𝑥)mit der Vielfachheit 𝑗𝑗, 𝑘𝑘 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢.

(𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐) … irreduzible Terme mit 𝑏𝑏, 𝑐𝑐… ∈ ℝ

Umgekehrt lässt sich aber aus bekannten Nullstellen und einer weiteren Bedingung (z. B. einem bekannten

Funktionswert an einer bestimmten Stelle) immer eindeutig ein Polynom in der bekannten Form herleiten! (Beliebter Aufgabentyp!)

4.1.3 Gebrochen rationale Funktionen Kombiniert man Polynomfunktionen 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) und 𝑄𝑄𝑛𝑛(𝑥𝑥) zu einem Bruch 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑄𝑄𝑃𝑃𝑛𝑛𝑛𝑛

((𝑥𝑥𝑥𝑥

)) so spricht man von gebrochen

rationalen Funktionen.

Maßgeblich für Einschränkungen des Definitionsbereichs solcher Funktionen ist die Frage, ob 𝑄𝑄𝑛𝑛(𝑥𝑥) den Wert

Null annehmen kann. Man muss also 𝑄𝑄𝑛𝑛(𝑥𝑥) auf Nullstellen überprüfen.

Mitunter haben 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥) und 𝑄𝑄𝑛𝑛(𝑥𝑥)identische Nullstellen. Dann kürzen sich diese im Bruch weg und man spricht

von einer hebbaren Definitionslücke. Von einer echt gebrochen rationalen Funktion spricht man wenn der Grad des Zählerpolynoms 𝑃𝑃𝑛𝑛(𝑥𝑥)

kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms 𝑄𝑄𝑛𝑛(𝑥𝑥).

Ist der Grad des Zählerpolynoms größer oder gleich dem des Nennerpolynoms, kann man den Term durch

Polynomdivision aufteilen

in einen Anteil mit einer einfachen Polynomfunktion + einem Anteil echt gebrochen rationalen Funktion.

Beispiel: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+3)𝑥𝑥−2

= 𝑥𝑥 − 2 − 1𝑥𝑥−2

46

4.1.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen, hyperbolische Funktionen

Exponentialfunktionen

Funktionen des Typs 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ∙ 𝑞𝑞𝑥𝑥 (𝑎𝑎, 𝑞𝑞 ∈ ℝ ∖ 0) bezeichnet man als Exponentialfunktionen.

Diese haben charakteristische Eigenschaften:

Für 𝑎𝑎 > 0 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 , für 𝑎𝑎 < 0 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0, aber 𝑓𝑓(𝑥𝑥) kann niemals Null werden!

Für 𝑞𝑞 > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend, für 𝑞𝑞 < 0 streng monoton fallend (für 𝑎𝑎 > 0).

Alle Kurven schneiden die 𝑦𝑦-Achse im Punkt (0, 𝑎𝑎).

Exponentialfunktionen mit 𝑞𝑞 > 0 wachsen schneller als jede Potenzfunktion(Das ist wichtig z. B. bei Grenzwertbetrachtungen.) Von besonderer Bedeutung ist dabei die Exponentialfunktion zur Basis 𝑞𝑞 = 𝑃𝑃(Eulersche Zahl),also 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑥𝑥.

Logarithmusfunktionen Ein Logarithmus ist bestimmt durch: 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 ⟺ 𝑎𝑎 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 .

Also können wir eine Umkehrfunktion zu 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑞𝑞𝑥𝑥 finden in der Form 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑦𝑦) = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑞𝑞𝑦𝑦.

Wir tauschen die Variablen und erhalten die Logarithmusfunktion in der üblichen Form: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑛𝑛𝑞𝑞𝑥𝑥.

Wir finden auch hier charakteristische Eigenschaften: Logarithmusfunktionen sind nur definiert für Argumente 𝑥𝑥 > 0 !

Für 𝑞𝑞 > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend, für 𝑞𝑞 < 0 streng monoton fallend.

Alle Kurven schneiden die 𝑥𝑥-Achse im Punkt (1,0).

Logarithmusfunktionen mit 𝑞𝑞 > 0 wachsen langsamer als jede Wurzelfunktion

Von besonderer Bedeutung ist dabei die Logarithmusfunktion zur Basis 𝑃𝑃, der Logarithmus naturalis

also 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑥𝑥.

Hyperbolische Funktionen (nur informativ)

Als hyperbolische Funktionen bezeichnet man die Funktionen, die aus Exponentialfunktionen in folgender Weise

entstehen: sinh(𝑥𝑥) = 12

(𝑃𝑃𝑥𝑥 − 𝑃𝑃−𝑥𝑥) cosh(𝑥𝑥) = 12

(𝑃𝑃𝑥𝑥 + 𝑃𝑃−𝑥𝑥).

(Merkregel: 𝑢𝑢𝑃𝑃𝑃𝑃ℎ(𝑥𝑥) ist wie 𝑢𝑢𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑥𝑥) eine ungerade Funktion, muss also durch den Koordinatenursprung gehen. Da 𝑃𝑃𝑥𝑥 nie Null werden kann, kommt für 𝑢𝑢𝑃𝑃𝑃𝑃ℎ(𝑥𝑥) nur das Minuszeichen zwischen den 𝑃𝑃-Funktionen infrage.)

47

4.1.5 Trigonometrische Funktionen Ursprünglich sind die Winkelfunktionen als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und daher nur für Winkel von 0 bis 90 Grad definiert:

Als grundlegende Winkelfunktionen haben sich etabliert:

sin 𝛼𝛼 = 𝐺𝐺𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑘𝑘𝑎𝑎𝑒𝑒ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝐻𝐻𝐻𝐻𝑝𝑝𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝐻𝐻𝐻𝐻𝑒𝑒

cos 𝛼𝛼 = 𝐴𝐴𝑛𝑛𝑘𝑘𝑎𝑎𝑒𝑒ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝐻𝐻𝐻𝐻𝑝𝑝𝐻𝐻𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝐻𝐻𝐻𝐻𝑒𝑒 tan 𝛼𝛼 = 𝐺𝐺𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑛𝑛𝑘𝑘𝑎𝑎𝑒𝑒ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝐴𝐴𝑛𝑛𝑘𝑘𝑎𝑎𝑒𝑒ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

Tabellen mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglichen Berechnungen bei Vermessungsaufgaben, die Winkel und Seitenlängen in Dreiecken nutzen.

Die Erweiterung dieser Definitionen ergibt sich, wenn 𝛼𝛼 als Drehwinkel am Einheitskreis betrachtet wird:

Nun sind die Winkelfunktionsgrößen für beliebige

Winkel definierbar und man sieht unmittelbar,

dass sich die Größen nach Umlauf von 360° oder

2𝜋𝜋 im Bogenmaß wiederholen. Diese Periodizität

ist eine ganz wesentliche Eigenschaft der

Winkelfunktionen.

In der üblichen Darstellung als Funktionsgraphs sehen die Winkelfunktion so aus:

Man sieht in dieser Darstellung eine wichtige Beziehung: Die Kurven unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung um

𝜋𝜋

2 : cos(𝑥𝑥) = sin (𝑥𝑥 + 𝜋𝜋

2) 𝑢𝑢𝑃𝑃𝑃𝑃(𝑥𝑥) = cos (𝑥𝑥 − 𝜋𝜋2)

Eine weitere wichtige und oft gebrauchte Beziehung ist der sogenannte trigonometrische Pythagoras:

𝑢𝑢𝑃𝑃𝑃𝑃2(𝑥𝑥) + 𝑐𝑐𝑃𝑃𝑢𝑢2(𝑥𝑥) = 1

Bogenmaß 𝑥𝑥

48

Weitere häufig gebrauchte Umrechnungen und Verknüpfungen von Winkelfunktionen findet man in gängigen Formelsammlungen.

Die Tangensfunktion tan(𝑥𝑥) = sin (𝑥𝑥)𝑐𝑐𝐻𝐻𝐻𝐻(𝑥𝑥) weist aufgrund der Tatsache, dass 𝑐𝑐𝑃𝑃𝑢𝑢(𝑥𝑥) auch Null werden kann,

Definitionslücken auf.

Zu beachten: Bei Rechnungen mit Winkelfunktionen, speziell bei der Bestimmung von Nullstellen muss immer

die Periodizität beachtet werden (es gibt in der Regel unendlich viele Lösungen)!

Auch bei der Bestimmung von Umkehrfunktionen muss man achtgeben:

Zur „Konstruktion“ von Umkehrfunktionen eignen sich nur die Intervalle, in denen die Originalfunktionen injektiv sind:

Bei Sinus −𝜋𝜋2

< 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋2 (also nur eine halbe Periode)

Bei Kosinus 0 < 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋 (…halbe Periode)

Bei Tangens −𝜋𝜋2

< 𝑥𝑥 < 𝜋𝜋2 (hier die ganze Periode)

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4032129

49

4.2 Grundlagen der Differentialrechnung 4.2.1 Vom Differenzen- zum Differentialquotienten Das Bedürfnis, von einer Funktion nicht nur den Funktionswert 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) an einer Stelle 𝑥𝑥0 zu kennen, sondern auch bewerten zu können, wie stark die Änderungsrate an dieser Stelle ist, hat zur Entwicklung der Differentialrechnung geführt. Dazu betrachtet man zunächst zwei benachbarte Punkte (𝑥𝑥0, 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) und (𝑥𝑥0 + ℎ, 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 + ℎ)) und verbindet diese

durch eine Gerade. Diese hat den Anstieg 𝑓𝑓(𝑥𝑥0+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥0)ℎ

(Differenzenquotient). Lässt man nun ℎ gegen Null

gehen, wird die Verbindungsgerade zur Tangente an die Kurve im Punkt (𝑥𝑥0, 𝑓𝑓(𝑥𝑥0). Ihr Anstieg entspricht der

momentanen Änderungsrate der Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) an der Stelle 𝑥𝑥0. Den Grenzwert des Differenzenquotienten für

ℎ → 0 nennt man dann Differenzialquotient. Für diese Änderungsrate hat man auch die Bezeichnung

Ableitung von 𝑓𝑓(𝑥𝑥) an der Stelle (𝑥𝑥0) oder kurz 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) oder 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒𝑥𝑥

(𝑥𝑥0) eingeführt.

Hinweis: Voraussetzung für diese Operation ist selbstverständlich, dass die Funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) an der Stelle 𝑥𝑥0 keine

Definitionslücke hat, also stetig ist und außerdem muss der Grenzwert des oben beschriebenen Differenzenquotienten bei links- und rechtseitiger Annäherung an 𝑥𝑥 0 identisch sein.

4.2.2 Differentiationsregeln Die bekannten Differentiations- oder Ableitungsregeln lassen sich alle elementar durch Anwendung des o. g. Verfahrens des Übergangs vom Differenzen- zum Differentialquotienten herleiten.

Wir wollen im Folgenden zwei hilfreiche Methoden näher betrachten.

Kettenregel Angenommen wir haben eine „verschachtelte“ Form einer Funktion vorliegen in der Art: 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑛𝑛(𝑥𝑥))

Dann bilden wir für 𝑒𝑒𝐻𝐻𝑒𝑒𝑥𝑥

zunächst 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒𝑒𝑒

, dann 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥

. Multipliziert man 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒𝑒𝑒⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥

sieht man, dass sich 𝑃𝑃𝑛𝑛 kürzen würde und

wir haben gefunden: 𝑒𝑒𝐻𝐻𝑒𝑒𝑥𝑥

= 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒𝑒𝑒⋅ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑥𝑥

(Kettenregel).

Ableiten mit Hilfe von Umkehrfunktion

Angenommen wir haben gegeben eine Funktion 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) deren Ableitung wir noch nicht kennen. Wir kennen aber die Ableitung der Umkehrfunktion 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑦𝑦).

Wir bilden also zunächst 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝐻𝐻

= 𝑛𝑛′ und bestimmen dann 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒𝑥𝑥

als „Kehrbruch“ 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒𝑥𝑥

= 1𝑒𝑒′

.

Beispiel: Wir wollen die „unbekannte“ Ableitung von 𝑦𝑦 = ln (𝑥𝑥) bestimmen.

𝑦𝑦 = ln (𝑥𝑥) ist adäquat zu 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃𝐻𝐻. Wir bilden 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝐻𝐻

= 𝑃𝑃𝐻𝐻. Also ist 𝑒𝑒𝐻𝐻𝑒𝑒𝑥𝑥

= 1𝑒𝑒𝑦𝑦

= 1𝑥𝑥 .

(Hinweis: Diese Methode gilt als mathematisch nicht „sauber“, funktioniert aber „anwenderfreundlich“.)

50

4.2.3 Anwendung: Kurvendiskussion und Extremwertrechnung Wozu ist nun die Möglichkeit, die momentane Änderungsrate einer Funktion bestimmen zu können, nützlich?

Angenommen wir suchen den lokalen Maximal- (oder Minimal)-Wert einer gegebenen Funktion.

Nun könnte man durch Ausrechnen möglichst vieler Funktionswerte in der Nähe des vermuteten Gipfels

vielleicht zufällig tatsächlich den Größtwert „treffen“.

Eleganter ist es jedoch, die Tatsache zu nutzen, dass der Anstieg auf dem „Gipfel“ ja gleich Null sein muss. Von

links kommend verlief die Kurve ansteigend, rechts vom Gipfel fällt sie ab. Wir haben gefunden, dass wir mit Hilfe der Ableitung den Anstieg an jeder Stelle 𝑥𝑥 bestimmen können.

Die Ableitung 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ist aber im allgemeinen selbst wieder eine Funktion, deren Nullstellen wir mit bekannten

Methoden bestimmen können.

Dieses Verfahren bietet also die Grundlage zu den aus der Schule bekannten Kurvendiskussionen.

Bei der Extremwertrechnung dagegen müssen wir in der Regel aus gegebenen Zusammenhängen erst

einmal eine Funktion aufstellen, deren Extremum wir dann mit Hilfe der Ableitung ermitteln können.

Beispiel: Herleitung des Brechungsgesetzes

Wir bestimmen die Zeit, die das Licht benötigt, um von

A nach B zu gelangen.

Im Medium 1 ist die Laufzeit 𝑡𝑡1 = 𝐻𝐻1𝑐𝑐1

=𝐻𝐻12+𝑥𝑥2

𝑐𝑐1 ,

im Medium 2 ist die Laufzeit 𝑡𝑡2 = 𝐻𝐻2𝑐𝑐2

=𝐻𝐻22+(𝑥𝑥2−𝑥𝑥)2

𝑐𝑐2 .

Die Gesamtlaufzeit 𝑡𝑡𝐺𝐺 = 𝑡𝑡1 + 𝑡𝑡2 soll minimal werden in

Abhängigkeit von 𝑥𝑥.

Also bilden wir 𝑒𝑒𝑒𝑒𝐺𝐺𝑒𝑒𝑥𝑥

= 2𝑥𝑥

2𝑐𝑐1𝐻𝐻12+𝑥𝑥2

− 2(𝑥𝑥2−𝑥𝑥)

2𝑐𝑐2𝐻𝐻22+(𝑥𝑥2−𝑥𝑥)2

.

Wir kürzen und ersetzen nun wieder die Wurzelausdrücke: 𝑒𝑒𝑒𝑒𝐺𝐺𝑒𝑒𝑥𝑥

= 𝑥𝑥𝑐𝑐1𝐻𝐻1

− (𝑥𝑥2−𝑥𝑥)𝑐𝑐2𝐻𝐻2

Wir erkennen 𝑥𝑥𝐻𝐻1

= sin𝛼𝛼 und (𝑥𝑥2−𝑥𝑥)𝐻𝐻2

= sin𝛽𝛽 .

Wenn wir 𝑒𝑒𝑒𝑒𝐺𝐺𝑒𝑒𝑥𝑥

gleich Null setzen erhalten wir sin 𝛼𝛼𝑐𝑐1

− sin𝛽𝛽𝑐𝑐2

= 0 oder sin𝛼𝛼sin𝛽𝛽

= 𝑐𝑐1𝑐𝑐2

51

4.3 Grundlagen der Integralrechnung4.3.1 Integration als Umkehrung der DifferentiationDie Integration ist die „Umkehroperation“ zur Differentation.

Ist f eine reelle Funktion, dann heißt eine reelle Funktion F eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f gilt.

Ist F eine Stammfunktion von f, so ist auch F + c eine Stammfunktion von f.

Sind F und G Stammfunktionen von f und g, dann ist F + G Stammfunktion von f + g. k⋅F ist

Stammfunktion von k⋅f (k∈R).

Wichtig: Bei der Angabe unbestimmter Integrale ist stets eine Integrationskonstante c mit anzugeben!

Eine häufige Anwendungsaufgabe der Integralrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will man beispielsweise den Inhalt der Fläche unter dem Graph der beschränkten Funktion f : [a, b] → R ermitteln, so zerlegt man das Intervall [a, b] durch Punkte a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b und bezeichnet eine solche Zerlegung mit Zn. Man wählt außerdem Zwischenpunkte ξk ∈ [xk−1, xk], k = 1, . . . , n. Die sogenannte Riemannsche Summe

S(Zn) :=∑nk=1

f(ξk)(xk − xk−1)

stellt die Summe der Flächen aller Rechtecke dar.

Wenn man diese Zerlegung immer mehr verfeinert, d.h. die Zahl der Zerlegungspunkte erhöht und diese immer dichter zusammenliegen, so ist intuitiv klar, dass die Riemannsche Summe immer besser die gesuchte Fläche unter der Kurve approximiert.

Definition 1. Es sei f eine auf dem Intervall [a, b] definierte Funktion. Existiert unabhän-gig von der Wahl der Zerlegung und der Zwischenpunkte der Grenzwert

limn→∞

∑ni=1

f(ξi)(xi − xi−1) =:

∫baf(x) dx,

so heißt er das bestimmte Integral von f über [a, b], die Randpunkte heißen Integrati-onsgrenzen. f wird Integrand genannt.

Definition 2. Eine auf dem Intervall I differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktionvon f, wenn F′(x) = f(x) für alle x ∈ I gilt.

Integralberechnung:Wenn eine solche Stammfunktion F von f existiert, gilt:

∫baf(x) dx = F(x)

∣∣∣∣ba

:= F(b) − F(a).

52

4.3.2 Methoden zur geschlossenen Integration

Partielle IntegrationFür je zwei auf einem Intervall I = (a, b) stetig differenzierbare Funktionen u und v ist wegen der Produktregel der Differentialrechnung (uv)′ = u′v + uv′ die Funktion uv eine Stammfunktion von u′v + uv′, d.h.

∫ [u′(x)v(x) + u(x)v′(x)

]dx = u(x)v(x) +C

bzw. ∫u′(x)v(x) dx = u(x)v(x) −

∫u(x)v′(x) dx.

Für das bestimmte Integral lautet die entsprechende Formel:

au′(x)v(x) dx = u(x)v(x)∣∣

a

−

∫b ∣∣b ∫bau(x)v′(x) dx.

Beispiele:•∫xex dx

•∫

ln x dx

∫• sin2 x dx

Substitutionsmethode

Grundlage für die Substitutionsmethode der Integralrechnung ist die Kettenregel der Dif-ferentiation d

dx F(g(x)) = F′(g(x))g′(x), d.h. mit f(x) = F′(x), ist F(g(x)) eine Stammfunk-

tion von f(g(x))g′(x).

Für das praktische Anwenden kann diese Formel folgendermaßen gedeutet werden:

- Das Integral ∫ f x( ) dx wird durch eine Substitution mit x = g(t) in das Integral ∫ f g( (t)) ⋅ g′(t) dt übergeführt

- x wird durch g(t) ersetzt

- dx wird durch g´(t) dt ersetzt- Die Grenzen a, b können durch die Gleichung x = g(t) umgerechnet oder nach dem Ermitteln der Stamm-

funktion und Rücksubstitution beibehalten werden.

53

Beispiel 1: Berechnen Sie das unbestimmte Integral ∫ + 1x d .x

Wahl einer geeigneten Substitution: + =x t x = 2t1 1− =; (g t ′g); =t( ) t2

Substitution im Integral: ∫ x d+ =x1 2t ⋅ t dt∫ ∫= t2 dt 2=

t3

23

Rücksubstitution: 1+x dxx

= +∫2 +1

3( 3)

c

Beispiel 2: Berechnen Sie das unbestimmte Integral ∫ sin2 ( ) ⋅ cos(x x) .dx

Wahl einer geeigneten Substitution: (g x) = sin( x) = t ; g ′( x) = cos( x)

Substitution im Integral: sin ( ) ⋅ cos(x x2 ) 23

3dx = t dt t

=∫∫

Rücksubstitution: sin ( ) ⋅ cos(x x2 ) sin x3 ( )13

dx = c+∫

Weitere Beispiele:

•∫f ′(x)

f(x)dx •

∫esin x cos x dx •

∫ba

ln xx

dx

Beispiel 3: Berechnen Sie das bestimmte Integral 13 52

3

xdx

−∫ .

Wahl einer geeigneten Substitution: 53 53

13

x (g t=−+t x =

t; = g ′ t); =( )

Da das bestimmte Integral zu berechnen ist, müssen diesmal auch die Grenzen umgerechnet werden.

α = ⋅3 2 5− = 1; β = ⋅3 3 − 5 = 4

Substitution im Integral: 1

53⋅

1 13

13

1

2

3

1

4

1

4

xdx

tdt

tdt

−== ∫∫ = ⋅ ∫

13 3

4 13

1 ,0 4621

4ln( t ) |⋅ =

1 ln(⋅ ) − ln(⋅ ) =

Es läßt sich das Integral natürlich auch durch Rücksubstitution und Einsetzen der ursprünglichen Grenzen

berechnen.

Rücksubstitution: 1

3 513

3 5 13

4 13

1) = 0,4622

3

2

3

xdx

−∫ = ⋅ ln( x − ) | = l⋅ n( ) − l⋅ n(

54

Partialbruchzerlegung

Für die Integration der rationalen Funktionen der Form fQ

x( ) =P x( )

x( ), wobei P(x) und Q(x) Polynomfunktionen

sind und der Grad von Q(x) größer als der Grad von P(x) ist (durch Herausheben mittels Polynomdivision leicht

erreichbar), reichen die bisherigen Integrationsmethoden nicht aus. Das Beispiel 3 der

Aax + b∫ dx mit a,b ∈ R und a ≠ 0 Substitutionsmethode hat gezeigt, daß sich das Integral der allgemeinen Form

lösen läßt. Substituiert man nämlich, so ergibt sich: ax b+ = t x =; −t b

a= (g t g′ t) =; 1( )

a

Aax + b

dx =Aa t

dt =Aa

Aa

ax + b| ) + c⋅ ∫ ⋅ = ⋅∫1 ln(| t| ) ln(|

Da die Logarithmusfunktion nur für Argumente größer Null definiert ist, sind die Betragstriche in der allgemeinen Form unbedingt notwendig!

Um das Integral einer rationalen Funktion zu lösen, formt man nach Möglichkeit die Funktion aufgrund

obiger Überlegungen zu Teilbrüchen (Partialbrüche) der oben genannten Form um. (P x(Q x

(P xx x1)− −(x x

A−x x

A−x x

A−x xn

n

n

))

)( )... ( )

=x x−

= + +...+2

1

1

2

2

Hierbei sind die xi die reellen Nullstellen der Nennerfunktion Q(x). Da sich aber nicht jede Polynomfunktion

Q(x) vom Grad n unbedingt in n verschiedene Linearfaktoren (x−xi) zerlegen läßt, sind zwei Fälle der

Zerlegung der rationalen Funktion in Partialbrüche möglich, wenn man sich auf die Fälle mit ausschließlich

reellen Nullstellen des Nennerpolynoms beschränkt.

1. Fall: Das Nennerpolynom Q(x) hat nur einfache reelle Nullstellen.

Ansatz: (P x(Q x

(P xx x1)− −(x x

A−x x

A−x x

A−x xn

n

n

))

)( )... ( )

=x x−

= + +...+2

1

1

2

2

Die Koeffizienten A1, A2, ..., An lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln. Für die einzelnen Integrale

gilt: Ai dx−x xi

A= ⋅ ln(|i∫ x − x | ) +i c

2. Fall: Das Nennerpolynom Q(x) hat mehrfache reelle Nullstellen.

Ansatz: (P x(Q x

(P xx x 1)1− −k (x x

A−x x

A−x x

Ax xr

kk

kr

))

)( )k .2 .. ( ) ( ) ( )

=x x−

= + +...+−

+2

11

1

12

12

1

1

1

1

A−x x

A−x x

A−x x

A−x x

A−x x

A−x x

kk

r

r

r

r

rk

rk

r

r

21

2

22

22

2

2

1 22

2

2+ +...+ +

...+

+ +...+

( ) ( )

( ) ( )

55

Die Koeffizienten A11, ..., Ark1 lassen sich durch Koeffizientenvergleich ermitteln. Für die einzelnen Integrale

gilt: A−x x

dx x − x | ) +i c

A−x x

dx =A

r (x xc

i

ii

i

ir

i

ir

A= ⋅

−⋅

−+

∫

∫ −

ln(|

( ) )11

1

Beispiel: Berechnen Sie das unbestimmte Integral 3 + 7 1+ 3 4

2

3 2

x xx x

dx−−∫ .

Bestimmen der Nullstellen des Nennerpolynoms: x x3 2+ −3 4 = x( )−1 ⋅ (x + 2)2

Partialbruchzerlegung:3 + 7 1

3 x( + 21

21 2 3

2

x xx

A A A−=

x3 2+ − 4 x −+ +

) x + 2( )

Daraus ergibt sich: 3 7 1 2 1 121

232+x x − = A ⋅ x +( ) + A (⋅ −x ) x +( )2 + A (⋅ −x )

3 7 1 4 221 2 1 2 3 1 2 3x x+ − = A +( )A ⋅ 2x + ( A + A + A ⋅) x + 4( A − A − A )

Der Koeffizientenvergleich führt zu einem Gleichungssystem:

+A A+A A + AAA − A

21

21 3

1 2 3

374

4 2 1

==

− = −

Die Koeffizienten lauten daher: A A A1 2 3= =1 2; ; = 1

Somit lautet das Integral: 3 + 7 1

4+ 31

1+

22

12

2

3 2 2

x xxx

dxx

dxx

dxx

dx−=

− ++

+∫ ∫ ∫ (∫ )

Integrieren: 3 + 7 1

4+ 3|1 + 2 1

2

2

3 2

−

xxx x

dx x xx

c−−

= − + 2 ⋅ −+

+∫ ln(| ) ln(| | )

56

4.3.3 Anwendungen: Flächeninhalte, Bogenlängen etc.

FlächenberechnungenEs sei f eine in [a;b] integrierbare Funktion und F das Flächenstück, das vom Funktionsgraphen,

der x-Achse und den beiden Ordinaten in den Intervallenden begrenzt wird.

- Gilt f(x)≥0 für alle x∈[a;b] (a≤b), so ist der Zahlenwert A(F) des Flächeninhaltes A des

Flächenstückes F der Zahlenwert:

a

- Gilt f(x)≤0 für alle x∈[a;b] (a≤b), so ist der Zahlenwert A(F) des Flächeninhaltes A des

Flächenstückes F der Zahlenwert: A F( ) = | ∫ f(x)dx |a

b

A f(x)dxb

F( ) = ∫

Die obige Defintion sagt aus, dass die Berechnung des Flächeninhalts mittels Integralrechnung für

Flächen, die komplett oberhalb der x-Achse sind, einen positiven Zahlenwert ergibt und für Flächen, die

komplett unterhalb der x-Achse sind, einen negativen Zahlenwert ergibt.

Dies hat aber zur Folge, daß der Flächeninhalt einer Fläche, die sich sowohl ober- als auch unterhalb der

x-Achse erstreckt, nicht durch Integration von linker Begrenzungsordinate zur rechten Begrenzungsordinate

ermittlet werden kann. Das Intervall [a;b] muß in Teilintervalle zerlegt werden, in denen f(x) jeweils

konstantes Vorzeichen hat. Die Teilintervallgrenzen ergeben sich durch die Nullstellen im Intervall [a;b].

Somit erhält man allgemein für den Flächeninhalt:

Flächeninhalt im Intervall [a;b]: A F( ) |= +|f∫ ∫| | .f + .. |+ ∫ |fa

x

x

x

x

b

i

1

1

2

mit f(xi) = 0

Das Verfahren zur Berechnung des Flächeninhaltes zwischen einer Funktion, der x-Achse und den

Ordinaten läßt sich leicht zur Berechnung des Flächeninhaltes eines von zwei Funktionsgraphen begrenzten

Flächenstücks erweitern.

Es seien f und g zwei in [a;b] integrierbare Funktionen mit f(x)≥g(x) für alle x∈[a;b] und F das

Flächenstück, das von den beiden Funktionsgraphen und den Ordinaten in den Intervallenden

begrenzt wird. Dann gilt: A F( ) ∫ (= −f )ga

b

Die Formel ergibt sich aus der Berechnung der einzelnen Flächen A1, A2 zwischen den Funktionsgraphen

und der x-Achse im Interval [a;b]. Da f(x)≥g(x) gilt, ist der Flächeninhalt Ages zwischen den Funktions-

graphen im Intervall [a;b] die Differenz dieser einzelnen Flächen: gesA A= −1 2A ∫ ∫f − g =; (∫ f − g)

57

Die obige Definition setzt durch f(x)≥g(x) voraus, daß im Intervall [a;b] der Funktionsgraph von f(x) stets

oberhalb des Funktionsgraphen von g(x) liegt. Haben f und g jedoch Schnittpunkte, an denen die gegen-

seitige Lage von f und g zueinander wechselt, so muß (wie schon zuvor) das Intervall [a;b] in Teilintervalle

zerlegt werden.

Flächeninhalt zwischen f und g im Intervall [a;b]:

A(F) | (= −f )|g |∫ ∫+ ( −f )| .g .+ . |+ (∫ −f )|ga

x

x

x

x

b

i

1

1

2

mit f(xi)=g(xi)

Betrachtet man die Differenz f−g selbst als Funktion h mit h = f−g, so entspricht die Berechnung des

Flächeninhalts des Flächenstücks zwischen den Funktionen f und g in [a;b] der Berechnung des Flächen-

inhaltes zwischen der Funktion h und der x-Achse im Intervall [a;b]. Die Schnittpunkte von f und g sind dann

die Nullstellen von h, denn aus f(x) = g(x) folgt f(x)−g(x) = 0 und aus h(x) = 0 ergibt sich h(x) = f(x)−g(x) = 0.

Es ist also zumeist zweckmäßig, von vornherein die Differenzfunktion h = f−g zu erstellen.

Beispiel: Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen

f x( ) 1 x= − und g x( ) x= +2

32 im1 Intervall [−4;6].

h x( ) ( x= − )3 ( x− + ) = x2 2 x− −12

1 12

4Die Differenzfunktion h lautet:

Nullstellen von h (Schnittpunkte von f und g): h x( ) = 0

12

4 0 41 22x x− − = x = −; ;2 x =

Teilintervalle: A | h( x d) |x | h= + +( x d) |x h( )x dx−−

−

∫ ∫ ∫| |4

2 4

6

4

2

h x( )dx∫ ∫ x= − x − dx 1= x − x x−

12 6

12

44 32 2

Flächeninhalt: 1A x= −| 3 2x 4− x 1 x −3 2x 4− x

− −| +| | | |+ x| − x 4− x =| |

612 6

12

16

124

−2

2

43 2

4

6

| |+ −| +| | |223

18 223

32 23

=

58

Volumenberechnungen

Ähnlich der Berechnung von Flächeninhalten einer ebenen Figur kann man auch den Rauminhalt eines

Körpers berechnen. Überträgt man die Überlegungen der Herleitung des Flächeninhaltes einer ebenen Figur

auf räumliche Körper, so legt man am besten ein Koordinatensystem in den zu berechnenden Körper. Der

Körper K werde nun an den Stellen x = a und x = b von zwei zur x-Achse normalen Ebenen begrenzt. Jede

Ebene normal zur x-Achse soll den Körper in einer Schnittfigur schneiden, deren Flächeninhalt q(x) eine

Funktion der Schnitthöhe x ist (Querschnittsfunktion).

Zerlegt man nun den Körper K in Schichten, so

kann man das Volumen des Körpers durch die

Summe der Volumina dieser Schichten annähern.

Da für die x-Werte der Zerlegung die Funktion q(x)

die Querschnittsflächen beschreibt, lassen sich die

Volumina der einzelnen Schichten als Vi = q(xi)⋅∆x

leicht errechnen.

Abhängig davon, ob die durch die Zerlegung

entstehenden Schichten größer oder kleiner als

der tatsächliche Teil des Körpers in diesem

Abschnitt, entstehen so wieder Unter- bzw.

Obersummen für das Volumen des Körpers.

Es sei K ein Körper, der zwischen den Ebenen mit den Gleichungen x = a und x = b (a<b) liegt,

und es sei q die zugehörige Querschnittsfunktion. Ist q(x) integrierbar, so ist der

Zahlenwert V(K) des Rauminhaltes des Körpers K der Zahlenwert V q(x)dxa

b

K( ) = ∫Beispiel: Die Funktion f x( ) = 3x sei die Seitenkante einer quadratischen Pyramide.

Berechnen Sie das Volumen der Pyramide im Intervall [0;10].

Wenn durch die Gerade f(x) = 3x eine Seitenkante einer quadratischen Pyramide darstellt und die x-Achse

die Höhe dieser Pyramide ist (und die Seiten der Grundfläche parallel zu den anderen Achsen sind), dann ist

die Seitenlänge des quadratischen Querschnitts 2⋅f(x). Die Querschnittsfunktion lautet dann:

q x( ) [= ⋅ f x( )]2 4= f⋅ x( )2 = x362 2

Das Volumen der quadratischen Pyramide ergibt sich dann als Integral:

V ∫ 36 2x dx= = 12x 12000=10

3

0

10|

0

59

Im weiteren werden die Volumsberechnungen auf sogenannte Rotationskörper eingeschränkt. Das sind

Körper, die durch Rotation einer Funktion um eine der beiden Achse entstehen. Dies hat den Vorteil, daß die

Querschnittsfläche unabhängig von der rotierenden Funktion als Kreis von vornherein bekannt ist.

Rotiert ein Flächenstück, das vom Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [a;b] begrenzt wird,

um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper, dessen Querschnitte, die durch Ebenen normal zur x-Achse entstehen, Kreisflächen sind. Der Radius einer Kreisfläche an der Stelle x ist der Funktionswert f(x).

Die Querschnittsfunktion lautet daher: q x( ) π= ⋅ f 2(x) .

Der Rauminhalt des Drehkörpers ist nun gegeben durch: xV π= ⋅ ∫ 2( )f x .dxa

b

Entsprechend läßt sich das Volumen des Drehkörpers bei Rotation der Funktion f um die y-Achse

berechnen. Die Querschnitte, die durch Ebenen normal zur y-Achse entstehen, sind wieder Kreisflächen.

Der Radius einer Kreisfläche an der Stelle f(x) ist der x-Wert, die Grenzen für die Integration sind y-Werte.

Für das Volumen ergibt sich dann mit =x f *( )y : yV f ( )y . dy(f a

(f b

π= ⋅ ∫ *2

)

)

Weitere Anwendungsbereiche

Im folgenden sind einige weitere Anwendungsbereiche der Integralrechnung aufgelistet. Die Formeln

werden ohne Herleitung angegeben und sollen nur die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten der

Integralrechnung aufzeigen.

Berechnung der Länge eines Kurvenbogens

Bogenlänge s eines Kurvenbogens f in [a;b]: s [ ]f a

b

∫= 1+ ′2

Berechnung des Flächeninhaltes der Mantelfläche eines Drehkörpers

dx

Mantelfläche M bei Rotation von f um die x-Achse in [a;b]: M π= ⋅ ∫2 ⋅f [ ]fxa

b

1+ ′2 dx

Häufige weitere Anwendungen sind sind Schwerpunktberechnungen an Flächen und Körpern. Formeln finden sich in Formelsammlungen.

60

Quellennachweis Für diese Arbeit wurde überwiegend auf frei verfügbare pdf-Dateien zurückgegriffen. Nachweislich sind folgende Autoren:

Klaus Berger, mathe-online.at Bernstein, TU Freiberg Dr. Thorsten Camps, TU Dortmund David, learnable.net Dr. Hempel, Uni Magdeburg Ganster, TU Graz Jonas/ Kröger/ Rademacher/ Stry, GSO HS Nürnberg Wolfgang Kippels Ralf Glege, mathesite.de Kuhlisch, TU Dresden Mahnke/ Schlüchtermann, HS München Neundorf, TU Ilmenau Pöschl/ Kloster, HS München Prof. Dr. C. Portenier, Uni Marburg Prof. Dr. J. Puhl, FHS Jena Prof. Dr. O. Sander/ Dr. G. Scheithauer, TU Dresden Prof.Dr. E. Triesch, RWTH Aachen

61

Impressum

Autor:

Herausgegeben durch:

Kontakt:

Copyright:

Hinweis:

Dipl.-Phys. Manfred Bauer

Teilprojekt #aufstieggestalten der OTH Amberg-Weiden aus dem Verbundprojekt „OTH mind“ mit der OTH Regensburg des Bund-Länder-Wettbewerbs „Aufstieg durch Bildung: offene Hochschulen“

Hetzenrichter Weg 15, 92637 Weiden in der Oberpfalz othmind@oth-aw.de www.oth-aw.de/oth-mind

Dieses Material ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz (CC BY-SA 4.0). Bei einer Weitergabe soll der Name des Urhebers wie folgt genannt werden: „Manfred Bauer, OTH mind #aufstieggestalten, OTH Amberg-Weiden“.

Diese Publikation wurde im Rahmen des vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) geförderten Bund-Länder-Wettbewerbs „Aufstieg durch Bildung: offene Hochschulen“ erstellt. Die in dieser Publikation dargelegten Inhalte liegen in der alleinigen Verantwortung des Autors/der Autorin.

62