EXERCICE 1– (4 points) Points

Question 1

- Proposition A : vraie. Soit n= 10d + 2 (d désigne le nombre de dizaines de n), on a :

n2=(10 d2+4 d )×10+4Le chiffre des unités de n2 est bien 4.- Proposition B : faux. Un contre-exemple attendu (les carrés respectifs de 14, 24 et 34 sont respectivement196, 576 et 1156).

0,75

Question 2

a)

       d'où :        soit :    0,25

b) n = 10a + 5, D’où

n2=(a2+a)×100+25=a(a+1)×100+25Donc n2 a bien a(a+1) centaines et se termine par 25.

0,75

Question 3

a) 1000 ¿ N < 2000 donc N = 1 ddu . Il existe 10 valeurs possibles pour d et u ; donc il existe 100 nombres N 0,75

b) Le Plus grand entier N multiple de 4 est 1996 0,5c) La somme des 4 chiffres (1 + d + d + u) de N doit être multiple de 3 et u peut prendre les valeurs 0 ou 5.On en déduit qu’il y a sept nombres solutions :1110 ; 1440 ; 1770 ; 1005 ; 1335 ; 1665 ; 1995

1

EXERCICE 2 – (4 points)

PointsQuestion 1 Figure : AD = 6 cm , DC = 14 cm, BC = 4 cm et C

milieu de [BE]0,25

Echelle : 1/100 000 0,5Question 2 - On a par propriété (la symétrie est une isométrie) :

FB=FE et MB=ME.- AM + MB = AM + ME > AE.- Or AE= AF+FE=AF+FB. D’où : AM + MB > AF + FB

0,75

Question 3 Le point G est confondu avec le point F 0,25Question 4

D’après le théorème de Thalès :

FDFC

= ADEC

=64 .

D’où FD =

32 FC.

0,75

Question 5 On a : DF + FC = DC. Donc, d’après la question

précédente

32 FC + FC = 14, D’où FC=14÷2,5= 5,6km.

0,5

Question 6 -D’après le théorème de Pythagore dans le triangle AFD : AF2 = AD2 + DF2 d’où AF2 = 106,56.-D’après le théorème de Pythagore dans le triangle BFC : BF2 = BC2 + CF2 d’où BF2 = 47,36.Par conséquent le trajet minimal est environ 17,205 km.

1

EXERCICE 3 – 4 pointsPoints

Question 1 Division euclidienne : 1001 = 91 ¿ 11 + 0 (1001 est donc multiple de11).

0,5

Question 2D’où mcdu = (1001 – 1) ¿m ¿ c ¿ d + u= 1001¿m 99 ¿ c 11¿ d - m c -d u.

0,75

Question 3

a) On a : mcdu = 1001m 99c 11d -m c -du.

D’où mcdu =(11¿ 91)m ¿ 11)c d -mc-d umcdu = 11 ¿ (91m c d) - m c -d u (1).

- D’après l’égalité précédente : si un nombre mcdu est divisible par 11, alors le nombre - m c -d u est multiple de 11 (condition nécessaire).- Réciproquement, si − m c − d u = 11 k’ (k’ entier),

alors mcdu = 11¿ (91m c d + k’) et on conclut

que mcdu est bien divisible par 11.

- Conclusion : pour que mcdu soit divisible par 11, il faut et il suffit que le nombre (-m c -d u) le soit.

1

b) On peut procéder par essais en cherchant des entiers

s’écrivant38 du . On peut produire les entiers 3806 ; 3817 et 3818.

0,5

Question 4a) abmcdu = ab0000+mcdu .En procédant comme précédemment, on montre que :

abmcdu = 100 001a – a + 9 999b + b +1001m 99c 11d - m c -d u.

D’où : abmcdu = 11 x (9 091a + 909b + 91m +9c + d) – a + b - m c -d uEn raisonnant comme à la question 3a, on montrerait

que abmcdu est divisible par 11 si et seulement si (– a + b - m c -d u) l’est.

0,75

b)1,2452¿ 1011 = 124 520 x 1 000 000.Considérons le nombre 124 520 (6 chiffres) ; on a : -1 +2 - 4+ 5 – 2 + 0 = 0 qui est multiple de 11 donc 124 520 l’est aussi , ainsi que 124 520 x 1 000 000.

0,5