Spectromètres Electrostatiques. Partie III

SpectromCtres Electrostatiques. Partie III

Laborutoire de Physique Atonzique et Molkculaire, Dkpartenzent de Physique, et Centre de recherches sur les atornes et les mol~cules, Facultk des Sciences, U~ziuersitk Laaal, Qukbec 10, Qukbec

R e ~ u le 25 janvier 1971

La mkthode utilisie pour le calcul de la distribution en Cnergie des electrons transmis par un sklecteur electrostatique, presentee dans la partie I, est appliquee aux principaux types de spectrometres Clectro- statiques, soit les spectrometres toroi'dal, cylindrique 127" et sphirique 180°, et les miroirs plan et cylindrique. Les calculs sont effectuks en fonction des principaux parametres gComCtriques soit, la largeur des fentes et l'ouverture angulaire. Dans le but de gineraliser les risultats et de rendre possible leur extension a des spectrometres de toutes dimensions, les parametres geomktriques sont exprimes en fonction de la dimension principale de chaque appareil: le rayon moyen dans le cas des spectrometres du type toroldal, et la distance entre les fentes dans le cas des miroirs. De la mdme maniere, comme les calculs ont Bte effec- tuCs pour une Cnergie nominale du faisceau dlClectron de 1 eV, I'Cchelle d'6nergie peut dtre considCree comme arbitraire et il suffit de la multiplier par I'knergie nominale de son choix. Les equations utilisies dans les calculs sont donntes pour chaque type de spectrometre. Pour diffkrentes valeurs de la largeur des fentes et de I'ouverture angulaire, on prksente un repertoire assez vaste de profils de distributions d'tnergie avec leurs caracteristiques usuelles, i.e. la largeur a demi-intensite (AE,), la largeur a la base (AEB) et le nombre total d'klectrons transmis (I,).

The method of calculating the energy distribution of electrons selected electrostatically, presented in Part I, has been used to calculate the distribution profiles for principal electrostatic spectrometers: toroidal, cylindrical 127" and spherical 180" spectrometers, parallel plate and cylindrical mirrors. The calculations have been performed as a function of the most important geometrical parameters of the spectrometers: the slit width and the angular aperture. They have been made in a generalized form by expressing these geometrical parameters as a function of the main dimension of each apparatus: main radius in the case of toroidal-type spectrometers, distance between the slits in the case of mirrors. In this way results presented may be extended to spectrometers of any size. Similarly as calculations have been performed for a nominal energy of the electron beam of 1 eV, the energy scale may be considered as arbitrary and it suffices to multiply it by the nominal energy of interest. For each type of spectrometer, equations used in calculations are given. For various slit widths and angular apertures of spectrometers, nu- merous energy distribution profiles are presented with the usual characteristics of energy distribution, that is half-intensity width (FWHM or AE,), base width (FWB or AEB), and arbitrary transmitted current (I ,) .

Canadian Journal of Physics, 49, 2138 (1971)

En physique des collisions, la ntcessitt d'une meilleure rtsolution pour la production d'tlectrons monotnergetiques et pour l'analyse de faisceaux de particules chargtes, a entrain6 l'ttude et la mise au point de quatre principaux types de monochromateurs ou spectromktres tlectrostatiques.

(1) Le condensateur ou prisme cylindrique dont le champ radial donne a la sortie, ap rb une dtflexion de 127", l'image d'une source situte l'entrte; ses proprittts ont d'abord t t t ttudiees par Hughes et Rojansky (1929).

(2) Le condensateur ou prisme sphtrique dont le champ central donne a la sortie, aprks une dtflexion de 180°, l'image d'une source situte a l'entrte (Purcell 1938).

(3) Le condensateur a plaques parallkles (miroir plan) dont le champ uniforme permet

aussi d'obtenir la focalisation d'un faisceau incident, i.e. l'image de la source (Pierce 1949; Green et Proca 1970).

(4) Enfin le condensateur cylindrique, utilist de f a ~ o n longitudinale (miroir cylindrique), qui donne sur I'axe de symttrie l'image d'une source tgalement situte sur l'axe (Zashkvara et al. 1966).

Dans le domaine exptrimental, plusieurs chercheurs ont Ctudit ces appareils, les ont perfectionnts et utilists; ainsi Clarke (1954) et Marmet et Kerwin (1960) ont perfectionnts tour a tour le spectromktre cylindrique, de m&me que Ballu (1968). D'autre part, Simpson (1964) a mis au point et utilist un spectromktre sphtrique. Quant au miroir plan, c'est d'abord par Yarnold et Bolton (1949), puis par Harrower (1955), qu'il fut utilist comme spectromktre tlectrostatique. Enfin le miroir cylindrique, d'abord employ6 par

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Blauth (1957) pour I'analyse d'tlectrons secon- tlectrons, on observe des pics tris etroits, de daires, a t t t ttudii autant sur le plan thtorique l'ordre de 0.05 eV. Comme I'interpretation thto- qu'exptrimental par Sar-E1(1967), de m&me que par Aksela et al. (1970).

I1 ressort de I'ensemble de ces travaux que chacun de ces appareils posside certaines proprittts ou caracttristiques qui lui sont propres. Ainsi le choix d'un chercheur pour tel ou tel spectromitre ne dtpend pas seulement de sa resolution, mais aussi d'une foule d'autres facteurs. Aussi, pour une ttude de collisions par impact d'tlectrons monotnergttiques, l'un des facteurs les plus im- portants est la forme du faisceau a la sortie du

rique des mtcanismes de diffusion depend principalement du profil de ces pics, il est encore evident qu'une interpretation beaucoup plus exacte peut &tre apportke partir d'une connaissance prtcise du profil de la distribution d'tnergie des tlectrons.

Jusqu'a maintenant, les contributions thtori- ques n'ont principalement portt que sur la dtter- mination de 1 'intensitt du courant transmis et de la largeur des distributions a la base ou demi- intensite. Ces caracttristiques sont importantes

monochromateur;etcetteformeest trisdifferente et significatives mais elles ne sont pas toujours pour chaque type d'appareil. suffisantes pour juger de la qualitt d'une dis-

Dans le but d'en faire le meilleur usage pos- tribution et encore moins pour effectuer de f a ~ o n sible, les chercheurs s'efforcent de connaitre de la precise des calculs de dtconvolution en autres f a ~ o n la plus exacte possible les caracteristiques de leur appareil et celles du faisceau qu'il produit. C'est pourquoi plusieurs ttudes ont ttt effectutes dans le but de prtciser ces caracttristiques et de trouver les conditions o ~ t i m a de fonctionnement quant a l'intensitt du courant transmis (Kuyatt et Simpson 1967) et a leur rtsolution (Sar-El 1970).

Cependant, mise A part la mtthode utiliste par Ballu (1968) et celle de Paolini et Theodoridis (1967), lesquelles n'ont pas t t t gtntralistes, au- cune mtthode n'a encore t t t prtsentte dans le but de calculer le profil exact de la distribution d'tnergie pour I'ensemble des spectromitres Clectro- statiques. L'importance de ce point rtside dans la nature m&me des mesures couramment effectutes au moyen de ces appareils. A titre d'exemple, mentionnons deux mesures exptrimentales tris typiques en physique des collisions: I'ttude de I'ionisation par impact tlectronique dans une cible gazeuse (Marchand et al. 1969) et I'ttude de la diffusion d'tlectrons par un gaz (Schulz 1964).

Dans le premier exemple, on dtsire trouver avec une grande precision, particuliirement pris du seuil. la valeur de la section efficace d'ionisation en fonction de l'tnergie des tlectrons. L'ttalement de la distribution d'tnergie des tlectrons a pour effet de convoluer la courbe natu-

analyses de donnts exptrimentales. Aussi nous a-t-il semblt important de gtntraliser la mtthode de calcul mise au point par Delage et Carette (1971) (partie I) et de I'appliquer aux principaux spectromitres tlectrostatiques; ceci permettra de mieux en conna'itre les proprittts.

I. MCthode de calcul

La mtthode de calcul proposte par Delage (Allard 1968; Roy et Carette 1970; Roy 1970) exige la connaissance des equations qui dtcrivent la trajectoire des tlectrons (dans un plan) dans le champ Clectrique de l'appareil considtrt. Le faisceau tlectronique incident, compost d'un tris grand nombre d'tlectrons, est initialement dtcrit par une distribution uniforme en tnergie, position et direction, propre B couvrir en entier le spectre de transmission de l'appareil.

Chaque tlectron est alors dote de conditions initiales prtcises et distinctes; et deux conditions de stlection lui sont appliqutes:

(1) au cours de son passage dans le spectromitre, son kcart maximum avec la trajectoire principale (i.e. "l'apogte" ou "le ptrigte") ne doit pas exctder les limites dttermintes par les tlectrodes ;

relle de la section efficace et d'entacher la mesure (2) lorsqu'il parvient a proximitt de la sortie d'une certaine erreur; et cette erreur ne peut &tre du spectromitre, sa coordonnte finale doit &tre dtterminte que si I'on connaft, de f a ~ o n precise, comprise A l'inttrieur des limites dttermintes par le profil de la distribution en energie des tlectrons la fente de sortie. (Moore 1968). Les tlectrons qui respectent ces deux conditions

Dans le second exemple, on veut analyser les sont considtrts comme transmis par le spec- tlectrons diffusts par voie de collisions tlastiques tromitre et sont compilts en fonction de leur et intlastiques; dans le spectre d'tnergie de ces tnergie.

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2140 CANADIAN JOURNAL OF PHYSICS. VOL. 49, 1971

TABLEAU 1. Angles maxima de transmission

Spectromktre cylindrique 127" Spectromktre sphtrique 180" Spectromktre torordal 147"

AGIRo = (Rz - RI) /Ro a_' a+' a_' a+' a_' a+O

Miroir plan 45" Miroir plan 30" Miroir cylindrique

AG/D a_O a+O Af/D a_' a+O a_' a+"

Cette mtthode de calcul a t t t appliqute aux mentales. C'est pourquoi les valeurs des angles principaux spectrometres tlectrostatiques (Roy maxima de transmission pour les principaux cas et Carette 1970; Roy 1970), soit d'abord le spec- ttudits sont prtsenttes au Tableau 1. Rappelons trombtre toroldal sous sa forme gtntrale et ses que de f a ~ o n gtntrale ces angles limites se retrou- deux principaux cas particuliers, le cylindrique vent (changts de signe) B la sortie du spectrometre (127") et le sphtrique (180°), et ensuite les spec- et qu'ils dtterminent alors la forme du faisceau trometres du type miroir, le miroir plan et le sortant. miroir cylindrique. Dans les paragraphes qui suivent, on prtsente les rtsultats obtenus pour 11. S~ectrometres toroidaux, c~lindriques chacun de ces types d'appareils, avec les Cqua- et sphhriques tions utilistes pour I'application de la mtthode Ewald et Lieb1(1955), Albrecht (1 956) de m&me de calcul. aue Wollnik (1965. 1967). ont fait une ttude dt-

, A

Dans le but de gtntraliser les rtsultats, les taillte des prismes tlectrostatiques B symttrie de dimensions gtomttriques des spectromktres sont rotation sous leur forme la plus gtntrale, i.e. sous exprimtes en terme fractionnaire de la dimension la forme toroldale. Sur les Figs. 1 et 2, qui pre- principale, soit pour les spectrometres toroidaux: sentent respectivement un schtma des spectromk- R,, le rayon de la trajectoire principale, et pour tres cylindriques et sphtriques, si l'on dtsigne par les spectrometres miroirs: D, la distance entre les R, le rayon de courbure de I'tquipotentielle mt- ouvertures d'entrte et de sortie. La m&me gtnt- diane dans le plan de la figure et que I'on imagine ralisation ~ e u t &tre effectute auant B I'tnergie un rayon de courbure transverse-R dans un ~ l a n - nominale des tlectrons. En effet, dans les tqua- perpendiculaire B la figure, on rtalise facilement tions des trajectoires, I'tnergie initiale de chaque que les prismes cylindrique (R infini) et sphtrique Clectron apparait sous forme de rapport avec (R = R,) ne sont que des cas particuliers du l'tnergie nominale, correspondant B la trajec- prisme toroidal. toire principale. Comme la valeur de 1 eV B t t t Pour transformer le prisme en un monochro- choisie pour l'tnergie nominale de stlection de mateur ou spectrometre, on place aux bouts des chaque spectrometre, on peut considtrer les tlectrodes un diedre formt de deux plaques sur tchelles d'tnergie comme relatives et les mul- lesquelles une ouverture de largeur Af est prati- tiplier par I'tnergie nominale de son choix. qute B une distance R, du centre de courbure

La connaissance de I'ouverture angulaire d'un (Figs. 1 et 2). Ce diedre est plact au m&me poten- spectrornetre, i.e. les angles maxima d'incidence tie1 que celui de I'tquipotentielle mtdiane de I'ap- que peuvent avoir les tlectrons pour &tre trans- pareil, soit V, qui correspond aussi B l'tnergie mis par I'appareil, peut avoir une certaine im- nominale (E , = eV) du faisceau incident et A portance pour l'ttude de ses proprittts et surtout I'tnergie exigte pour la trajectoire circulaire. pour sa mise au point et son utilisation exptri- D'autre part, selon I'usage le plus courant, les

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FIG. 1. SchCma du spectrometre cylindrique 127".

FIG. 2. SchCma du spectrometre sphCrique 180".

spectrometres considCrCs dans cette section sont tous "auto-focalisants", i.e. que les distances objet et image, I' et I" (Wollnik 1967), sont nulles. ConsCquemment I'angle du diedre et l'angle de dCflexion du prisme sont choisis Cgaux B l'angle de focalisation, qui est reliC B la courbure des tlectrodes de la f a ~ o n suivante (Ewald et Liebl 1955):

o a c, = R,/R est le facteur qui tient compte de la gComCtrie du prisme.

Pour plus de gCnCralitt, I'etude qui va suivre portera d'abord sur le spectrometre toroidal dans sa forme la plus gCnCraIe; ses deux cas particuliers bien connus, les spectrometres cylindrique et sphCrique, feront ensuite l'objet d'une Ctude par- ticuliere.

Prtcisions que les spectrometres toroi'daux proprement dits (R, # R # 0), quoique moins ripandus que le cylindrique et le sphCrique, sont aussi utilisCs comme sClecteurs en Cnergie pour particules chargCes, par exemple en tandem avec

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un spectromktre de masse (Sauermann et Ewald trique dans un prisme toroi'dal (Roy 1970), il est 1959). possible de ramener les tquations difftrentielles

de l'orbite en une seule equation difftrentielle du II.1. SpectromBtres toroi'daux premier ordre. On pose alors la dtrivee premiere Les conditions d'application de la mtthode de egale a zero et peut resoudre (par approxima- calcul exigent la connaissance des relations qui tion du second ordre) de a obtenir la valeur permettront de dtterminer les caracteristiques de de l'apogte (r,) ou du ptrigte (r-) de chaque la trajectoire de chaque electron, d ' aprb ses con- trajectoire, soit, avec r* = Ro/(z, + I), ditions initiales: soit sa coordonnCe r, dans le plan de la sortie et son tcart maximum par rapport ii la trajectoire principale, i.e. "l'apogte" de sa trajectoire. On considkre donc un tlectron d'tnergie cinttique eVo = +mvo2 qui franchit l'e- quipotentielle du dikdre d'entrte (la reference) avec une vitesse initiale v,, une position r, et une directions avec la normale B l'entrte (Figs. 1 et 2) ; de plus, sur ces figures qui nous montrent le plan dans lequel s'effectue le calcul, r et 4 dCsignent les coordonntes de l'electron, R, et R2 les rayons des electrodes inttrieure et exttrieure, et R, le rayon de la trajectoire principale correspondant B une vitesse v et une Cnergie (nominale) Eo = eV = ) mu2.

A partir du formalisme dlEuler-Lagrange, Wollnik (1965, 1967) a dCrivt une equation qui dtcrit (au second ordre) la trajectoire d'un Clec- tron r(4) dans un prisme toroi'dal. La position finale d'un electron de conditions initiales donntes, apres son passage dans un tel prisme, peut donc &tre obtenue a partir de cette solution, pour un angle 4 tgal a celui de focalisation (tq. [I]):

oh les difftrents coefficients sont

A partir d'un dCveloppement en strie du second ordre pour l'expression du champ Clec-

Uo = ('0 - R0)IRo

Dans les calculs, les valeurs r + et r- sont res- ~ectivement attributes a des directions incidentes (a) positives et negatives.

Les Cqs. [2] et [3] permettent donc d'appliquer chaque electron les deux conditions de trans-

mission comme I'exige la mtthode de calcul: l'tcart maximum de chaque trajectoire par rapport B la trajectoire principale doit &tre inftrieur aux limites dktermintes par les tlectrodes de focalisation, et la coordonnee finale de chaque electron doit &tre comprise entre les limites de la fente de sortie.

Les distributions d'tnergie des electrons transmis par un tel spectromktre ont t t t calcultes selon cette mtthode. La symttrie de chacun des spectromktres est dtfinie par les paramktres suivants (outre le rapport R,/R): Af, la largeur des fentes d'entrte et de sortie, et AG = R, - R,, la distance inter-tlectrode qui determine l'ouverture angulaire de l'appareil (Figs. 1 et 2); chacune de

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FIG. 3. Distributions d'energie pour diffkrents types de spectrometres toroi'daux.

ces quantites est exprimte en terme de Ro, le rayon de la trajectoire principale. De plus, les calculs ont t t t effectuts pour difftrentes valeurs du rapport Ro/R, correspondant B divers types de monochromateurs toroi'daux.

Sur la Fig. 3, on prtsente les distributions d'tnergie obtenues pour quatre valeurs difftrentes de Ro/R. Chacune de ces distributions est accompagnte des valeurs correspondantes de Ro/R, qui dttermine la gtomttrie particulikre du spectromktre toroidal, I $ , I'angle de dtflexion du prisme, et enfin AE, et AE, qui correspondent respectivement B la largeur B la base et a demi- intensitt de la distribution d'tnergie. On remarque sur cette figure que le nombre d'tlectrons transmis augmente rapidement au fur et a mesure que les electrodes deviennent cylindriques. L'in- terprttation de cette observation rtside dans le fait que, pour un angle de focalisation plus faible, les trajectoires d'tlectrons sont plus courtes et le faisceau incident est moins disperse au moment de l'analyse; il s'ensuit donc une diminution de resolution accompagnte d'une augmentation d'intensitt.

Enfin, dans le cas du spectrometre cylindrique 127", on remarque I'apparition d'une importante dissymttrie B la base de la distribution. Comme on le verra plus loin, cette dissymttrie se retrouve dans tous les spectromktres tlectrostatiques lorsque l'ouverture angulaire est suffisamment grande. Dans la plupart des cas, elle peut Etre

considtrte comme une manifestation de la dispersion angulaire en ct2. En effet, l'ttalement des trajectoires d'un seul cbtt de I'image (Hughes et Rojansky 1929) entraine que les electrons inci- dents avec de grandes valeurs de ct ne peuvent Etre transmis que si leur tnergie est plus grande que l'tnergie nominale: c'est ce qui entraine la dissymttrie vers les hautes tnergies. Cependant, comme ces trajectoires avec un angle kct deviennent alors dissymttriques par rapport A la trajectoire principale (Roy 1970), les tlectrodes inter- ceptent les trajectoires positives alors que certaines trajectoires ntgatives sont encore trans- mises par I'appareil. Ces contributions intgales des angles positifs et ntgatifs entrainent donc un Ctalement suppltmentaire la base de la distribution d'tnergie.

La Fig. 4 montre comment varient les caracttristiques de la distribution, en fonction de Ro/R, soit les caracttristiques AEB, A El et l'intensitt totale I,, i.e. le nombre total d'tlectrons transmis. Les valeurs de I$ correspondant B chacune des valeurs de Ro/R sont aussi donntes sous I'tchelle pour chaque valeur de Ro/R indiqute. Chacun des spectrometres considtrts posskde la m&me gtomttrie que celle qui est indiqute a la Fig. 3. On remarque ici la dtcroissance de chacune des caracttristiques qui accompagne I'augmentation de Ro/R; ce qui correspond bien aux remarques faites au sujet de la Fig. 3. D'ailleurs, on peut constater que A E, subit une dtcroissance plus rapide ;

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FIG. 4. Caract6ristiques de distribution en fonction de la courbure des klectrodes du spectrometre torofdal.

ce qui s'explique par la dissymttrie mentionnee RJR

auparavant, B la base des distributions. Enfin la Fig. 5 permet de voir pour quelques

valeurs particulikres de Ro/R, comment se comportent les caracttristiques de la distribution en Cnergie, en fonction de l'ouverture angulaire totale (a,) du spectrometre. o -

Pour ce graphique, l'ouverture angulaire totale a , a t t t prtftrte a a , B cause de la dissymttrie entre les angles maximaa. eta- (Figs. I et 2). Les

0.20 - valeurs de ces angles maxima de transmission, 0.0

pour chaque distance inter-electrode AG, sont donntes au Tableau 1 (pour Af = 0.02R0). Les 0.16 - 0.5

remarques effectutes prtctdemment au sujet de A

l'effet de l'ouverture angulaire sur l'tlargisse- 1 .o

ment de la distribution i la base expliquent bien l'allure des courbes prtsenttes ici.

Dans le but de mieux connaitre les caracttris- 0.08-:

tiques des spectrometres toroidaux et peut &tre tirer des conclusions plus prtcises sur leurs carac- 0.04- _________------- __---

__________----------- ttristiques, deux des cas particuliers les plus _____---- _______-------

utilists soit le cylindrique et le sphtrique, vont , ,

a, (DEGR~S)

maintenant faire l'objet d'une ttude plus dt- KJ 20 30

taillte. OUVERTURE ANGULAIRE TOTALE

FIG. 5. Caractkristiques de distribution en fonction de 11.2. Spectrom2tre cylindrique 127" I'ouverture angulaire pour diffkrents types de spectro-

Le prisme B tlectrodes cylindriques correspond metres toroldaux.

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SPECTROMETRE CYLINDRIQUE 127'

DISTRIBUTION EN FONCTION DE OC

Afe = Afs = 0.03 Ro

0.960 1.000 1.040 0.960 1.000 1.040 1.000 1.040 1.080 1.120 1.000 1.040 1.080 1.120 1.160 L200-

FIG. 6. Pour le spectrornttre cylindrique 127", distributions d'inergie pour diverses valeurs de l'ouverture angulaire (AG ou a).

i un prisme toroi'dal dont le rayon de courbure transversal (Fig. 1) est infini de sorte que R,/R = 0. Ce spectrombtre dont I'angle de focalisation (tq. [1]) est de 127.3", posslde les caracttristiques gtomttriques prtsenttes i la Fig. 1, oh les symboles ont m&me signification que prtctdemment.

A partir de la thtorie de base proposte par Hughes et Rojansky (1929) pour le mouvement d'un electron dans un champ radial, Delage et Carette (1971) (partie I) ont d t j i dtrivt la solution des tquations du mouvement dans un spectrombtre cylindrique, en utilisant des approximations du second ordre. Ces m&mes auteurs ont de plus effectut le calcul de distribution d'tnergie pour des spectromktres cylindriques 127" de gtomttrie bien dtterminte.

La mtthode de calcul a donc t t t appliqute ici A partir des m&mes tquations pour des appareils de gtomttrie plus gtntrale. Les distributions d'tnergie obtenues sont prtsenttes aux Figs. 6 et 7, oh les divers symboles ont la m&me signification que pour le spectromktre toroi'dal. Ces distributions

sont normalistes par rapport i I'amplitude du maximum afin d'en faciliter la comparaison. La Fig. 6 illustre le comportement du profil des distributions en fonction de ~'ouverture aneulaire de ., I'appareil. On observe sur cette figure la prtsence d'une dissymttrie assez prononcte vers les hautes Cnergies, qui s'accentue avec l'ouverture angulaire; ce comportement s'explique par les remarques faites prbctdemment au sujet de la dispersion angulaire en a2. D'autre part, on constate que 1'Clargissement de la distribution i la base s'effectue beaucoup plus rapidement, en fonction de AG, que celle i demi-intensitt. Ce comportement montre bien aue. dans certaines conditions. . , il peut devenir fallacieux de prtciser la qualitt d'une distribution uniquement par sa largeur i demi-intensitk. D'autre part, la Fig. 7 illustre le comportement du profil de la distribution d'tnergie en fonction de la largeur des fentes.

La Fig. 8 permet de vkifier, pour des spectromktres de gtomttrie difftrente, que les caracttristiques I,, AE, et AE,,, dtpendent lintaire-

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2146 CANADIAN JOURNAL O F PHYSICS. VOL. 49, 1971

- 0.04 R, 0.05R0 ( Af, = Af,

0.960 1.000 1040 1.080 1.120 0.960 1000 1.040 1.080 1.120 1.160 -

.02 R, ,0313, ( A t = Af,

FIG. 7. Pour le spectromttre cylindrique 127", distributions d'energie pour diverses valeurs de la largeur des fentes (Af).

ment de la largeur des fentes, alors que AEB semble plut6t obtir i une fonction quadratique de l'ouverture angulaire. Les valeurs d'angles qui dtterminent I'ouverture angulaire sont donnCes au Tableau 1 (pour Af = 0.02 R,).

Mentionnons que pour les valeurs de AE, et AEl12, il existe une ICgire imprtcision (en gCnCral 1: 0.001 eV) due particulierement au caractere discontinu des variables manipulCes dans les calculs, et que cette imprtcision peut s'accroitre avec I'ouverture angulaire. C'est ce qui explique par exemple le ICger Ccart entre les caracttristiques de la distribution calculCe anttrieurement pour le spectromttre toroi'dal (Ro/R = 0, Fig. 3) et celles de la distribution correspondante sur la Fig. 7. On remarque cependant que la forme gCnCrale du profil de ces distributions prtsente les m&mes caractkristiques. Quant i I'erreur introduite par les approximations du second ordre, son Cvalua- tion prCcise (partie I) a montrC quselle Ctait nCgli- geable pour les cas prCsentCs ici (gCnCralement inferieure B 1%).

Enfin, il faut rappeler que les Cquations utilisCes pour effectuer ces calculs, dans le cas des spec-

trometres toroi'daux et du cylindrique 127", ne tiennent compte que du probleme bidimension- nel. La validit6 des risultats est donc soumise aux m&mes restrictions et reserves. En effet, i cause de la longueur finie des fentes, le plan de la trajectoire des Clectrons transmis n'est pas nCcessaire- ment perpendiculaire aux fentes, de sorte que dans ces calculs on a nCgligC la composante axiale de vitesse et I'Cnergie cinCtique qui lui est asso- ciCe.

Un traitement statistique (Roy et a/. 1971) qui permet de tenir compte de ce facteur a montrC qu'il entrainait du cdtC des hautes Cnergies un Clargissement supplkmentaire proportionnel au carrC de la longueur des fentes selon l'axe, avec un ICger dCplacement du maximum Cgalement vers les hautes energies. Toutefois cet Clargissement modifie tres peu le profil gCnCral de la distribution et les rCsultats qui viennent d'&tre prCsentCs demeurent exacts pour une fente tres courte.

11.3. Spectromdtre sphkrique 180" Le second cas particulierement intkressant des

spectrometres a electrodes toroi'dales est le spectrometre sphCrique 180". Pour celui-ci, la courbure des electrodes est la m&me dans toutes les directions (Ro/R = 1) et la focalisation (lq. [l I) se produit apres une dCflexion de 180". Le spectrometre est donc form6 de deux calottes hCmi- sphCriques et concentriques, dont un schema en coupe est present6 i la Fig. 2 ; les paramttres y ont la m&me signification que sur la figure prCcCdente.

Les relations utilistes pour l'application de la mCthode de calcul au cas du spectrometre sphC- rique (Roy 1970) sont les suivantes: la premiere s'obtient de 1'Ctude prCsentCe par Purcell (1938) sur le mouvement des Clectrons dans un champ central. La coordonnie y = R,/r de I'Clectron est donnCe en fonction de 4 par I'Cquation

y (4) = -yo t g a sin 4 + (yo - c2) cos 4 + c2

Pour une dtflexion de 180°, la coordonnCe finale de I'Clectron i la sortie de I'appareil devient alors

oh c2 est le facteur qui tient comptedes conditions initiales, soit

2 C = Vyo2

vo c 0 s 2 a - 2V(1 - yo)

On rappelle que V dCsigne le potentiel correspondant B l'tnergie de la trajectoire circulaire si

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FIG. 8. Pour le spectromttre cylindrique 127", caracteristiques de distribution en fonction de: (a) la largeur des fentes (A f), et (b) I'ouverture angulaire totale (a,).

la difftrence de potentiel V, entre les tlectrodes satisfait l'expression

La secondecondition de transmission s'obtient, comme dans les cas prtdtdents, a partir de l'tquation difftrentielle du premier ordre ou l'on pose la dtrivte premikre tgale i ztro (Roy 1970). Les tcarts maxima r , = l l y , de chaque trajectoire par rapport a la trajectoire principale sont donc donnts par

Ainsi pour que l'tlectron soit transmis par le spectromktre, il faut que sa coordonnte finale r,, donnee par la relation [4], soit comprise a I'inttrieur des limites de la fente de sortie et que r,, relation [ 5 ] , ne se trouve pas en dehors des limites impostes par la position des tlectrodes.

A cause de la symttrie sphtrique du champ central et de I'appareil lui-m2me, les calculs effectuts a partir de considtrations bidimension- nelles (dans un plan) sont automatiquement valables a trois dimensions. Ajoutons cependant qu'il est prtftrable que la forme des ouvertures

soit celle d'un secteur d'anneau plut6t que simple- ment circulaire. L'avantage de cette forme d'ouverture s'explique par le fait que, sous une rotation du planconsidtrt (Fig. 2) autour de I'axe vertical, on retrouve toujours un plan Cquivalent, i.e. avec des fentes de m&mes dimensions, occu- pant les m2mes positions relatives, par rapport i l'axe de rotation.

Les rtsultats des calculs pour le spectromktre sphtrique 180" relativement aux distributions d'tnergie en fonction de l'ouverture angulaire, sont prtsentts a la Fig. 9, et ceux relatifs A la largeur des fentes a la Fig. 10. On y constate que les remarques faites prtctdemment s'appliquent aussi au spectromktre sphtrique. Cependant, les dissymttries qui apparaissent dans les distributions sont ici moins prononctes que dans le cas du spectromktre cylindrique. De plus, il faut remarquer que les caracttristiques et le profil gkntral de la distribution d'tnergie obtenue anttrieurement dans le cas du spectromktre toroidal avec Ro/R = 1 (Fig. 3) est en trks bon accord avec la distribution correspondante sur les Figs. 9 et 10.

Enfin, la Fig. 1 1 permet de regrouper les caracttristiques I,, AE, et A E I l , pour difftrentes gtomttries de spectromktre, et de vtrifier leur comportement, lintaire ou quadratique selon le cas, en fonction de la largeur des fentes et de

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2148 CANADIAN JOURNAL O F PHYSICS. VOL. 49, 1971

Af, = A f , = 0.02 R,

AG = 0.5

AEg = 0.140

AE,,, = 0.022

Proca (1970) et qui focalise pour un angle quelconque d'incidence si la source est situte B l'ex- ttrieur de l'appareil (Fig. 16). Comme ce dernier arrangement a la proprittt d'offrir une focalisation d'un ordre suptrieur si I'angle d'incidence est de 30°, le miroir plan sera aussi t tudit sous cette forme. Par la suite, on fera donc la distinction entre le miroir plan 45" et le miroir plan 30".

1 1 , \, III.1. Le miroir Miroir plan plan 45" consiste en un condensateur 5 plaques paralleles entre lesquelles une difftrence

ENERGIE (ev) de potentiel est appliqut de faqon i crter un champ tlectrique uniforme qui peut Etre utilist pour la dispersion en tnergie d'un faisceau de particules chargtes. Pierce (1949) et Harrower (1955) ont montrt que pour une incidence de 45" (Fig. 12), I'appareil donnait dans la fente de sortie I'image d'une source placte dans la fente d'entrte. Le schtma prtsentt B la Fig. 12 permet de reprtsenter le fonctionnement de ce spectrometre et de rappeler les principaux parametres gtomttriques. L'ouverture angulaire de I'appareil est ici dtlimitte par un diaphragme, centrt sur la trajectoire principale, dont l'ouverture est

0 . m I.W l.020 IW IMO 1 ~ 0 3 1.020 IWO IW 1.020 1010 1.060 notte AG. Bien entendu la nature de ce dia-

FIG. 9. Pour le spectrometre spherique 180°, distribu- phragme doit et peut Etre telle que la distribution

tions d'energie pour diverses valeurs de 190uverture angu- naturelle des tquipotentielles du condensateur laire (AG ou ct). soit respectte.

Les equations qui dtcrivent la trajectoire des 170uverture angulaire. Les valeurs des angles Clectrons dans cet appareil ont d t j i t t t prtsenttes maxima pour chaque distance inter-tlectrode AG (Pierce 1949; Harrower 1955), et l'on tire facile- sontdonntes au Tableau 1 (pour Af = 0.02R0). ment de ces ttudes les relations ntcessaires pour

I'application de notre mtthode de calcul. Ainsi, si 111, SpectromMres miroirs plan et cylindrique

Par rapport aux spectrometres Clectrostatiques du type toroi'dal, les spectrometres du type "miroir" sont caracttrists par le fait que les tlectrons dtcrivent des trajectoires, non pas dans un plan i symttrie de rotation, mais plutat dans un plan ii symttrie de rtflexion comme le montrent les schtmas des Figs. 12, 16 et 20.

On distingue les deux principaux types de miroirs selon la gtomttrie de leurs tlectrodes: soit le miroir plan dont les tlectrodes sont planes et paralleles, et le miroir cylindrique qui est formt de deux cylindres coaxiaux. Dans le .cas des miroirs plans, on distingue deux cas: (1) celui qui a d'abord t t t prtsentt par Pierce (1949) et qui focalise sous une incidence de 45" avec des distances objet et image nulles (Fig. 12), et (2) la version plus gtntrale qu'ont rtcemment ttudite Green et

la difftrence de potentiel V, entre les tlectrodes satisfait a V, = 2dV/D, la projection x, de la trajectoire sur I'axe x (ou sur la plaque inftrieure, Fig. 12) est donnte par

[6 1 x, = D(V,/V) sin 2 0

et son apogte y, est donnte par

[71 y , = 3 D(Vo/V) sin2 0 oh Vo/V est toujours le rapport de I'tnergie de I'tlectron ii l'tnergie nominale.

Ces deux tquations constituent donc les conditions de passage auxquelles doit satisfaire la trajectoire de I'tlectron pour qu'il soit transmis par le spectrometre; d'abord l'apogte y , doit Etre comprise entre les limites du diaphragme de largeur AG, et la longueur x, doit Etre comprise B I'inttrieur des limites dttermintes par la position et les dimensions de la fente de sortie.

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ROY ET CARETTE: SPECTROMETRES ELECTROSTATIQUES. PARTIE I11

FIG. 10. Pour le spectrometre spherique 180", distributions d'energie pour diverses valeurs de la largeur des fentes (A f ).

FIG. 11. Pour le spectrometre spherique 180", caracteristiques de distribution en fonction de: (a) la largeur des fentes ( A f), et (b) I'ouverture angulaire totale (a,).

Les rCsultats des calculs effectuCs a partir de ces les spectrom6tres CtudiCs prCcCdemment, et que considCrations sont prCsentCs aux Figs. 13, 14 et les remarques relatives au profil de la distribution 15. L'Ctude des distributions d'tnergie ainsi ob- s'appliquent encore ici. I1 en est de meme pour la tenues (Figs. 13 et 14), en fonction de l'ouverture Fig. 15 o t ~ l'on prCsente les caractkristiques de angulaire et de la largeur des fentes, rCv6le que le distribution en fonction de la largeur des fentes et miroir plan est soumis aux memes conditions que de l'ouverture angulaire (les valeurs d'angle sont

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C

FIG. 12. SchCma du miroir plan 45".

Af, = Af, = 0.01 D

- 0.05D 0.113 0.15D 0,213 1 AG A v, w r

rr a [L

8

3 -b 1 % ! cn AE,=.028 / AE, = 0.050 W I

I ENERGIE (ev)

1.000 1.020 1.000 1.020 1.040 1,000 1.020 1.040 1.060 1.080 1000 1.020 1.040 1.060 1.080 1.100

FIG. 13. Pour le miroir plan 45O, distributions d'inergie pour diverses valeurs de I'ouverture angulaire (AG ou a).

donnCes au Tableau 1 pour Af = 0.020). Cette similitude que l'on retrouve dans l'allure gCnCrale des rCsultats obtenus pour le miroir plan et ceux des spectrom2tres toroi'daux s'explique assez bien par le fait que dans l'un et l'autre cas, la dispersion angulaire est en a'. Ajoutons que les courbes prtsenties A la Fig. 15 sont en excellent accord avec celles calculCes analytiquement par Har- rower.

Enfin, il faut prCciser que pour le miroir plan comme pour le spectrometre cylipdrique, les calculs ne sont valides que dans le cas bidimension- nel cause de la longueur finie des fentes. L'Ctude de l'influence de ce facteur (Roy et al. 1971) a montrC que la distribution subissait un Ctalement supplCmentaire, proportionnel au carrC de la longueur des fentes, et un lCger dCplacement de

son maximum vers les hautes Cnergies. Ces rtsultats demeurent cependant valides pour une fente t r b courte.

111.2. Miroir plan 30" Tel que dCjA mentionnC, Green et Proca (1970)

ont montrC que le miroir plan avait la propriCtC de produire une focalisation (du premier ordre) pour un angle 0 quelconque si la distance h entre la source et l'appareil (Fig. 16) satisfait 5 la relation

h = 2d (V,/V,) cos 20 sin20

oh les symboles ont mzme signification que dans le cas du miroir plan 45". Or ces mEmes auteurs ont montrC que pour 0 = 30" la focalisation est alors du second ordre. I1 peut donc Etre intires-

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AG = O.ID

FIG. 14. Pour le miroir plan 45", distributions d'Cnergie pour diverses valeurs de la largeur des fentes (A/).

FIG. 15. Pour le miroir plan 45", caractkristiques de distribution en fonction de: (a) la largeur des fentes (A/), et (b) l'ouverture angulaire totale (a,).

A s 1- D -A Ac FIG. 16. SchCma du miroir plan 30".

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AS = AC = 0.02 0

FIG. 17. Pour le miroir plan 30", distributions d'tnergie pour diverses valeurs de l'ouverture angulaire (A f).

sant d'ttudier les performances du miroir plan dans ces conditions.

Ainsi, avec Vd = 3'12 dV/D, les expressions pour la projection x, de la trajectoire et pour l'apogte y, deviennent

18 1 xo = (20/3'12) (Vo/V) sin 28

La projection totale de la trajectoire est donc 2h cotg 8 + xo et la distance d entre les tlectrodes est donnte par d = (0/3lI2) v ~ / v , 051 Vd/V a t t t choisi tgal a l'unitt.

Ainsi, tel qu'illustrt a la Fig. 16, les tlectrons sont issus de la fente (ou source) AS et leur trajectoire doit passer par les ouvertures Afe, Afs et AC pour qu'ils soient transmis par l'appareil. La condition de passage par la premibre fente (Af,) dtpend donc de h cotg 8, par la seconde (AfJ de hcotg 8 + xo et par la dernibre (AS) de 2h cotg 8 + x,. Comme l'ouverture angulaire de l'appareil est tvidemment dtterminte par les fentes Af, la presence d'un diaphragme est inutile et la seule restriction sur l'apogte y, est qu'elle doit &tre plus petite que d, la distance inter-tlectrode.

Les rtsultats de ces calculs sont presentts aux Figs. 17, 18 et 19. Les distributions d'tnergie de la Fig. 17 ont Ctt calcultes pour diverses valeurs de l'ouverture angulaire dtterminte par Af et celles

de la Fig. 18, pour diverses valeurs des ouvertures AS et AC. L'examen de ces deux figures rtvble quelques points nouveaux. D'abord les distributions, dans I'ensemble, sont beaucoup plus symt- triques par rapport ?I l'tnergie nominale que pour les autres spectrombtres; et ce fait est surtout re- marquable dans le cas de la Fig. 17 oh les distributions sont prtsenttes en fonction de l'ouverture angulaire. D'autre part, sur la Fig. 18, on remarque qu'une certaine dissymttrie de la distribution se manifeste aussi du c6tC des basses tnergies. Enfin, l'ttalement de la distribution caust par une grande ouverture angulaire (Fig. 17) se manifeste maintenant de chaque c8tt de la distribution.

C'est par I'ttude de la focalisation de l'appareil que ces observations peuvent &re expliqutes. Dans les spectromstres CtudiCes prtctdemment, aussi bien le miroir plan 45" que les spectrombtres toroi'daux en gtntral, la focalisation est du premier ordre et par constquent la dispersion angulaire du faisceau dtpend d'un terme en a2. Ainsi, tel que mentionnt dans la section 11.1, I'ttalement des trajectoires se produit d'un seul c6tt du foyer; et c'est pourquoi la distribution d'tnergie tpouse toujours cette forme carac t~r i s t i~ue qui a Ctt sig- nalte dans les sections prtctdentes.

Cependant, dans le cas du miroir plan 30" (Green et Proca 1970) oh la focalisation est du second ordre, la dispersion angulaire dtpend d'un terme ntgatif en a3. Dans ces conditions, tel que signal6 par Hafner et al. (1968) au sujet du miroir cylindrique, les trajectoires se comportent de la

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t A f I D = 0.2

FIG. 18. Pour le miroir plan 30", distributions d'energie pour diverses valeurs de la largeur des fentes (AS = AC).

0.08 -

ASID = ACID

FIG. 19. Pour le miroir plan 30", caracteristiques de distribution en fonction de: (a) la largeur des fentes (AS = AC), et (b) l'ouverture angulaire totale (a,).

f a ~ o n suivante: elles se croisent avant d'atteindre le foyer et s'ttalent de chaque c6tt de celui-ci. Ce comportement a d'ailleurs t t t rappelt par Sar-El (1 970).

En constquence, les contributions respectives des angles positifs et ntgatifs ne se font pas sentir du m&me c6tt de la distribution d'tnergie et celle- ci est en gtntral plus symttrique. Ces contributions n'ttant pas tout A fait tgales, une Itgkre dissymttrie peut ainsi se manifester du c6te des basses tnergies 5 cause des angles ntgatifs. De plus, pour une grande ouverture angulaire, un

ttalement doit alors apparaitre de chaque c6te de la distribution, comme c'est le cas sur la Fig. 17.

Enfin les courbes prtsenttes A la Fig. 19 illus- trent la variation des caracttristiques de distribution en fonction des dimensions des ouvertures AS et AC, et de I'ouverture angulaire totale. Les valeurs d'angles sont donntes au Tableau 1 pour AS = AC = 0.020. Dans ce dernier cas, pour une grande valeur de a,, les difftrentes courbes pour AEB manifestent une certaine convergence. Cet effet est di3 A la presence des quatre ouvertures du spectromktre qui dtlimitent I'ouverture angu-

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FIG. 20. Schtma du miroir cylindrique.

laire du faisceau. Ainsi on a pu observer que le paralltlisme de ces courbes est mieux conservC si elles sont plutat tracCes en fonction de Af, principal facteur determinant l'ouverture angulaire. Enfin, rappelons que du point de vue de la validit6 tridimensionnelle de ces rCsultats, les restrictions mentionnkes prCcCdemment s'appliquent Cgale- ment ici.

111.3 Miroir cylindrique Le second type de miroir Clectrostatique utilisC

comme spectromttre est le miroir cylindrique, for- mC de deux cylindres coaxiaux. La Fig. 20 montre une coupe de cet appareil qui peut &tre comparC au miroir plan, en particulier le miroir plan 30" (Fig. 16). Ici encore, c'est par les fentes Af que s'effectue le passage de la region unipotentielle a la region oh s'exerce l'action du champ Clectrique, ou inversement. Ces fentes ont la forme d'un seg- ment d'anneau dont la longueur d'arc peut atteindre la circonfkrence entitre du cvlindre intCrieur de f a ~ o n a profiter au maximum de la symetrie du syst6me.

Comme le miroir cylindrique posstde, sous certaines conditions, la propriCtC de former en I, sur I'axe, l'image d'une source S Cgalement placCe sur I'axe (Zashkvara et al. 1966), des segments A S et A C sont donc utilisCs pour dCsigner effectivement une source et un collecteur de dimensions finies, situCs sur l'axe. Ces segments peuvent aussi Ctre des ouvertures si les Clectrodes cylindriques ne dCcrivent pas une circonference compltte, comme dans le cas du prototype mis au point par Sar-El(1967).

Tout comme le miroir plan gCnCralisC par

Green et Proca (1970), le miroir cylindrique a la proprittt de produire une focalisation (du premier ordre) pour un angle (0) d'Cmission quelconque. En rCalitC, il n'est pas indispensable que la source soit situCe sur l'axe; mais Aksela et al. (1970) ont montre que cette situation permet en fait d'approcher les conditions optima quant a la rCsolution et la transmission de I'appareil.

Des Ctudes dCtaillCes sur les propriCtCs de focalisation et de dispersion du miroir cylindrique ont dCjA rapportCes (Zashkvara et al. 1966; Sar-El 1967; Aksela et al. 1970) et on tire facilement de ces travaux les conditions necessaires A l'application de la mCthode de calcul B ce spectromttre.

L'apogCe r , de la trajectoire de 1'Clectron est donnCe par la relation

Ce facteur tient compte de la gComCtrie des Clec- trodes (Fig. 20) et de la difference de potentiel V, qui leur est appliquie, de mEme que de 1'Cnergie des tlectrons.

Comme Sar-El(1967) a montrC que pour 0 = 42.3" et KO = 1.3098 le miroir cylindrique pro- duisait une focalisation du second ordre, c'est donc dans ces conditions optima que I'appareil sera CtudiC. Selon la dCfinition [I I ] du facteur KO, la diffirence de potentiel Vd s'Ccrit donc

oh V correspond A 1'Cnergie nominale.

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L'tquation [I 1 ] devient ainsi

La projection totale Z de la trajectoire sur l'axe central (Fig. 20) peut s'tcrire de la faqon suivante (Aksela et al. 1970):

[I41 Z =

2 a cotg 0[1 + K eK2/2 (n/2)'l2 erf ( ~ / 2 ' / ~ ) ]

La fonction erreur sera CvaluCe dans les calculs par l'approximation suivante (Gautschi 1965) :

[15] erf (K/2'I2) =

oh t = 1/(1 + pK/21/2) et E est une quantitC nkgligeable de l'ordre de 10- 5. Les coefficients de ces relations ont les valeurs numCriques suivantes :

Comme, par analogie avec le miroir plan, la distance D entre les fentes Af a CtC choisie comme unit6 de longueur, le rayon a vaut donc 0.2540. Quailt a 6, il dCpend du choix de la valeur du potentiel Vd appliqut entre les tlectrodes, selon la relation [12]; comme Vd/V a Ctt choisi Cgal a 17unitC, b vaut donc 0.9420.

Dans les calculs, c'est 1'Cq. [14] qui determine, a partir de la projection de la trajectoire sur l'axe, si 1'Clectron est susceptible de passer par chacune des ouvertures du spectromktre. Ainsi le passage par la premiere fente (Afe) depend de a cotg 0, par la seconde (AfJ de Z - a cotg 8 et par la dernikre (AC) de Z. L'autre condition B imposer aux electrons est fournie par 1'Cq. [lo]: si r , est plus grand que 6, l'tlectron est considCre comme in- terceptC par 1'Clectrode supkrieure.

Prtcisions que la symCtrie mise en jeu ici est telle que les resultats sont valables pour le cas tridimensionnel si les Clectrons sont issus de l'axe. Ce fait peut Etre illustrC par la Fig. 20 oh l'on peut constater que le plan considtrC dans les calculs est tout a fait quelconque et qu'une rotation de ce plan autour de l'axe z ne modifie aucunement les conditions du calcul. Cependant le diamktre fini d'une source rCelle peut entrainer l'existence de certaines trajectoires paraxiales susceptibles de causer une distorsion de l'image et de rCduire la rCsolution en Cnergie du spectromktre. Zashkvara et al. (1966) proposent cependant de placer sur l'axe, 2 proximitC du collecteur, un diaphragme

dont l'ouverture correspond exactement a la section transversale de la source; selon ces auteurs, ce dispositif permet thtoriquement d'tliminer ces trajectoires paraxiales et leurs inconvtnients, surtout s'il est possible de placer deux spectromktres semblables en tandem.

Les rCsultats des calculs pour le miroir cylindrique sont prCsentCs aux Figs. 21, 22 et 23. Les distributions d'knergie prCsenttes aux Figs. 21 et 22 ont respectivement CtC calculCes en fonction de I'ouverture angulaire, dtterminte par Af, et en fonction de la largeur des ouvertures AS et AC (Fig. 20). Les caracttristiques de distribution sont mises en graphique A la Fig. 23 (les valeurs d'angles sont donnCes au Tableau 1 pour AS = 0.020).

On constate qu'il existe une similitude remar- quable entre ces rCsultats et ceux du miroir plan 30"; pour chaque type de calcul, les caractCris- tiques gCnCrales se retrouvent dans l'un et l'autre cas. L'explication de ces observations rCside dans le fait que, dans le miroir cylindrique, la focalisation est aussi du second ordre et la dispersion angulaire dipend d'un terme negatif en a3 (Hafner et al. 1968). Toutes les remarques faites prCcCdemment au sujet des resultats du miroir plan 30" s'appliquent donc intbgralement ici. Cependant, d'une faqon gCnCrale, la rCsolution semble meilleure dans le cas du miroir cylindrique.

IV. ParalEle entre les spectromctres Plusieurs auteurs ont dCjA comparC les per-

formances calcultes des differents spectromMres Clectrostatiques, B partir de certains critkres bases sur la dispersion angulaire et,en Cnergie (Hafner et al. 1968), ou sur la luminositt de ces appareils (Sar-El 1970). Or notre mCthode de calcul a CtC appliquCe de f a ~ o n gCnCrale a tous les principaux spectromktres Clectrostatiques. Sans pritendre proposer un meilleur critkre de comparaison, on peut regrouper sur un mEme graphique certains rCsultats obtenus pour chaque appareil dans des conditions voisines.

On peut ainsi s'inspirer du graphique prCsentC i la Fig. 5 oh sont regroupCes les caractCristiques de distribution I,, AE, et AEl12 en fonction de l'ouverture angulaire totale pour differents types de spectromktres toroi'daux. Pour ce faire, il faut auparavant dCfinir une gComCtrie qui serait Cqui- valente pour tous les appareils, ce qui se ramkne B trouver un lien entre la stparation D des fentes dans les miroirs et R, le rayon moyen des spectromitres toroi'daux.

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CANADIAN JOURNAL OF PHYSICS. VOL. 49. 1971

MlROlR CYLINDRIQUE , DISTRIBUTION D'ENERGIE

t EN FONCTION DE L'OUVERTURE ANGULAIRE - AS = AC = 0.02 D

FIG. 21. Pour le miroir cylindrique, distributions dlCnergie pour diverses valeurs de I'ouverture angulairc (A f).

MlROlR CYLINDRIQUE , DISTRIBUTION D'ENERGIE

t EN FONCTION DE LA LARGEUR DES FENTES AS ET AC Af = 0 . 2 D

FIG. 22. Pour le miroir cylindrique, distributions d'Cnergie pour diverses valeurs de la largeur des fentes (AS = AC).

Comme le miroir et le spectromktre cylindri- 0.5980. Cette relation qui ttablit une corre- ques sont avant tout deux condensateurs du spondance entre R, et D nous a permis d'effec- m&me type, une relation peut &tre ttablie 2 partir tuer une strie de calculs pour l'ensemble des cinq de ce point de vue. Ainsi, dans la section 111.3, les spectrom&tres dotts d'ouvertures de dimensions valeurs attributes aux rayons a et b du miroir tquivalentes. Les caracttristiques des distribu- cylindrique dtfinissent un rayon moyen R, = tions obtenues sont tractes en fonction de l'ou-

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ROY ET CARElTE: SPECTROMETRES ELECTROSTATIQUES. PARTIE 111

FIG. 23. Pour le miroir cylindrique, caractiristiques de distributions en fonction de: (a) la largeur des fentes (AS = AC), et (b) I'ouverture angulaire totale (a,).

verture angulaire totale a , a la Fig. 24. Bien entendu, le faisceau tlectronique B I'entrCe de chacun des spectromitres, comportait la m&me distribution angulaire et spatiale, i.e. le m&me nombre d'tlectrons par unitt de longueur et d'angle.

A partir des m&mes donntes, outre les caracttristiques AE,, A E , / , et I,, d'autres critires peuvent &tre dttermints pour ttablir un parallile entre ces spectromitres. On dtfinit par exemple le rapport I,,,,,/AE, qui reprtsente l'intensitt du maximum de la distribution sur la largeur a la base, et le rapport 111,/1, qui reprtsente la frac- tion des tlectrons transmis qui se situent dans la bande de largeur AE, /,. Ces rapports sont mis en graphique B la Fig. 25, aussi en fonction de a , . Les dimensions des ouvertures de chaque appareil sont les m&mes que pour la Fig. 24.

M&me si les rtsultats prtsentts sur ces der- niires figures permettent d'ttablir un certain classement qui se retrouve B peu pris inchangt sur chaque graphique et qui favoriserait peut- &tre le miroir cylindrique et le miroir plan 30°, quelques rCserves doivent cependant &tre appor- tees afin dYCviter certaines conclusions hbtives. I1 faut ainsi remarquer que I'angle a , est la somme des angles limites a + et a - ; ces angles sont inC- gaux et leur disproportion (qui n'est pas exactement la meme pour chaque appareil) augmente avec AG (ou AS) comme le montre le Tableau 1. Les contributions de chacun de ces angles dans

FIG. 24. Parallele entre les spectrometres a partir des caractkristiques de distribution en fonction de I'ouverture angulaire totale (a,).

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Imar - 6 0 - A E B

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60 - 9 L i

40 - 4

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20-9

FIG. 25. Parallele entre les spectrornetres a partir des rapports Im,,/AEB et 411, en fonction de I'ouverture angulaire totale (a,). Les abbreviations designent les diffkrents spectrornetres, soit: SC, le spectrometre cylindrique, SS, le spectrometre spherique, MP, le rniroir plan et MC, le miroir cylindrique.

une distribution sont inCgales et, de plus, ne se font pas sentir du meme c8tC de la distribution lorsque la dispersion angulaire de l'appareil est en a3. D'autre part, il est important de rappeler que les rtsultats de ces calculs sont valables B trois dimensions uniquement dans le cas du spectromitre sphCrique et du miroir cylindrique.

Enfin, remarquons que les caractkristiques prC- sentees aux Figs. 24 et 25, de meme que l'aberra- tion rCduite (Hafner et al. 1968), ou la rCsolution effective et la IuminositC (Sar-El 1970), ne sont pas les seuls criteres qui dkterminent le choix d'un chercheur en faveur d'un type d'appareil. En effet, ce choix dCpend souvent de considtrations plus accessoires comme l'espace disponible dans un montage, la complexitC de la rCalisation tech- nique ou encore, et surtout s'il s'agit d'une Ctude de collisions par impact Clectronique, la forme

V. Discussion

Les principales hypotheses sur lesquelles se fonde cette mtthode de calcul ont t t t expostes et discutCes dans la premiere partie de ce travail (Delage et Carette 1971). La plus importante hy- pothkse est sans doute celle d'assigner des conditions initiales 2 chaque tlectron du faisceau incident, B partir d'une distribution uniforme en position, direction et Cnergie. Cette hypothese est courante en optique Clectronique et est en general justifiable. Le point le plus arbitraire est peut- Stre la distribution angulaire initiale qui depend en rtalitC de plusieurs facteurs exptrimentaux difficilement contralables. On considere cependant que le nuage Clectronique qui se forme Q proximite du filament et de la fente d'entrCe peut en quelque sorte etre reprtsentt par une source uniforme dans le plan de la fente d'entrie.

D'autre part, les effets parasites causts par exemple la charge d'espace, les charges de surface, les potentiels de ptnttration (si des grilles sont utilistes) et les champs de frange, peuvent gCnCralement etre minimists si certaines prC- cautions sont prises. Quant a la prtcision du calcul, les equations utilistes pour dtcrire le mouvement des tlectrons sont gCnCralement exactes. Dans le cas du spectrometre cylindrique, l'tvaluation de l'erreur introduite par les approximations du second ordre (partie I) a montrC qu'elle ttait tres nCgligeable pour les cas ttudits. I1 en est d'ailleurs de meme Dour la ~ l u ~ a r t des - A

hypoth&ses, i.e. que les cas ttudits dans ce travail demeurent gCnCralement dans les limites oh ces hypotheses conservent leur validitC.

Outre les confirmations expCrimentales ap- portCes par Allard et Carette (deuxieme partie), une application de cette mCthode de calcul au cas prtsentt par Paolini et Theodoridis (1967) nous a permis d'obtenir des rCsultats en excellent accord avec ceux qu'ils prCsentent (Roy 1970). Cette mCthode qu'ils ont dCveloppC a partir de considCrations analytiques et graphiques leur a permis de prtdire les performances de leur appareil, un spectrometre sphCrique 180". Comme leurs rCsultats experimentaux se sont avCrCs en tres bon accord avec leurs calculs, ceci constitue indirectement une confirmation de la validit6 de nos rtsultats.

VI. Conclusion

que revet le faisceau d'tlectrons la sortie du L'importance du r61e des spectrometres Clec- spectrometre. trostatiques en physique des collisions, pour la

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production d'Clectrons monoCnergCtiques, est AKSELA, S., KARRAS, M., PESSA, M. et SUONINEM, E. maintenant bien Ctablie. Toutefois, a l'heure ac- 1970. Rev. Sci. Instrum. 41, 351.

ALBRECHT, R. 1956. Z. Naturforsch. l l a , 156. tuelle, la poursuite de travaux plus poussCs et ALLARD, P. 1968. Thtse de maitrise, DCpartement de l'exploitation plus complete des risultats dCji Physique, Universitt Laval, Quebec, QuCbec. acquis, exige une meilleure connaissance du profil BALLU, Y. 1968. Rev. Phys. Appl. 3, 46. des distributions d'Cnergie des electrons transmis BLAUTH. E. 1957. Z. Phys. 147, 228.

CLARKE, E. M. 1954. Can. J. Phys. 32, 764. par ces a ~ ~ a r e i l s ' cet le prCsent DELAGE, Y . et CARETTE, J.-D. 1971. Can. J. phys. Cette travail avait pour but la gCnCralisation d'une Cdition. methode de calcul de distribution d'Cnergie et son EWALD, H. et LIEBL, H. 1955. Z. Naturforsch. lea, 872. application aux principaux spectromttres elec- GAUTSCHI, W. 1965. Handbook of mathematical func-

trostatiques. tions, kdite' par M. Abramowitz et I. A. Stegun (Dover Public. Inc., New York), Chap. 7, 299. Les calcu'seffectu~sontpermisdegrouperdans GREEN, T. S. et PROCA, G. A. 1970. Rev. Sci. Instrum. 41,

un rkpertoire relativement complet les courbes de 1409. distribution en Cnergie pour les spectromttres Clectrostatiques les plus frCquemment utilisCs. Ces resultats ont etC presentes en fonction de certains paramttres generaux quant a 1'Cnergie nominale du faisceau d'electrons et a la gComCtrie des spectromttres; ce mode de prksentation con- fire aux rCsultats la plus grande gCnCralitC possible. De plus ces courbes ont servi 2 Claborer des graphiques sur lesquels sont prCsentCes les carac- tCristiques gCnCralement cities pour indiquer le rendement d'un appareil. Ce sont, en fonction des paramttres gComCtriques les plus significatifs, les largeurs 2 la base et a demi-intensite de la distribution, ainsi que 1'intensitC relative du courant transmis.

Comme le montre I'ensemble de ces resultats, cette mCthode de calcul s'avtre un outil souple, assez prCcis et facile d'application pour prCdire les caractkristiques d'un spectromttre Clectro- statique. Ces donnCes nouvelles pourront donc s'avCrer d'une grande utilitC pour les nombreux chercheurs qui utilisent couramment ces appareils.

Remerciements

Les auteurs tiennent 2 remercier le Dr Yves Ballu et le Dr Marcel Baril pour leurs suggestions concernant ce travail. Les calculs ont CtC effectuCs au Centre de Traitement de 1'Information de lYUniversitC Laval. Enfin, ce travail a CtC rendu possible gr2ce l'octroi A-3170 accord6 par le Conseil National de Recherches du Canada.

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Spectromètres Electrostatiques. Partie III