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1
III- Interprétation cinématique
III-1 Trajectoire d’un point mobile
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, 𝑖, ⃗ 𝑗,⃗⃗ ) :
le point 𝑀(𝑡)(𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)) désigne un point mobile avec 𝑡 appartenant à un
intervalle de temps I.
la courbe (Γ) définie par : {𝑥 = 𝑥(𝑡)
, 𝑡 > 0𝑦 = 𝑦(𝑡)
est la trajectoire du point
mobile 𝑀(𝑡).
III-2 Vecteur vitesse du mobile
le vecteur 𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑑𝑡(𝑡0)(𝑥
′(𝑡0), 𝑦′(𝑡0)) est appelé vecteur vitesse du point mobile à
l'instant 𝑡0.
Exemple :
Soit (C) la courbe représentative définie par : {𝑥(𝑡) = −2𝑡² + 𝑡
𝑦(𝑡) = −4𝑡2 + 4𝑡
, 𝑡 ∈
Le vecteur dérivé au point 𝑀(𝑡) est �⃗� (𝑡)(−4𝑡+1−8𝑡+4
)
La tangente au point 𝑀(1) est dirigée par �⃗� (1) (−3−4
)
La tangente au point 𝑀(2) est dirigée par �⃗� (2) ( −7−12
).
Exercice d’application
Déterminer les points de la courbe (𝒞) définie par le système d’équations
paramétriques :
{𝑥(𝑡) = 𝑡² + 𝑡4
𝑦(𝑡) = 𝑡3 − 𝑡
, 𝑡 ∈ où les tangentes sont parallèles aux axes du repère.
IV- Exemple d’étude d’une courbe paramétrée
2
Etudier puis représenter la courbe (Γ) définie par :
𝑀(𝑡): {𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛3𝑡
, 𝑡 ∈
On admettra que la tangente au point M(𝜋
2) est verticale.
IV-1 Détermination de l’intervalle d’étude
a) Périodicité
La fonction 𝑡 ↦ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 est 𝜋-périodique et la fonction 𝑡 ↦ 𝑠𝑖𝑛3𝑡 est périodique
de période 2𝜋
3. La plus petite période commune est donc 2𝜋.
La courbe complète est donc obtenue en faisant varier le paramètre 𝑡 dans un
intervalle d’amplitude 2𝜋. Pour exploiter les symétries éventuelles, nous
choisissons un intervalle centré en O c’est-à-dire [−𝜋; 𝜋].
b) Parité
Pour tout 𝑡 ∈ [−𝜋; 𝜋], −𝑡 ∈ [−𝜋; 𝜋]. On a :
{𝑥(−𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(−2𝑡)
𝑦(−𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(−3𝑡)
⟺ {𝑥(−𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑦(−𝑡) = −𝑠𝑖𝑛3𝑡
⟺ {𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)
𝑦(−𝑡) = −𝑦(𝑡)
𝑥 est paire et 𝑦 impaire : la courbe (Γ) est symétrique par rapport à l’axe des
abscisses et on peut choisir comme intervalle d’étude [0; 𝜋].
Comparons les positions des points 𝑀 (𝜋
2+ 𝑡) et 𝑀 (
𝜋
2− 𝑡)
𝑀(𝑡) {𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛3𝑡
, 𝑡 ∈
𝑀 (𝜋
2+ 𝑡){
𝑥 (𝜋
2+ 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2 (
𝜋
2+ 𝑡)
𝑦 (𝜋
2+ 𝑡) = 𝑠𝑖𝑛3 (
𝜋
2+ 𝑡)
⟺
3
𝑀 (𝜋
2+ 𝑡){
𝑥 (𝜋
2+ 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 2𝑡)
𝑦 (𝜋
2+ 𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 (
3𝜋
2+ 3𝑡)
⟺
𝑀 (𝜋
2+ 𝑡){
𝑥 (𝜋
2+ 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 2𝑡)
𝑦 (𝜋
2+ 𝑡) = sin (𝜋 + (
𝜋
2+ 3𝑡))
⟺
𝑀 (𝜋
2+ 𝑡){
𝑥 (𝜋
2+ 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 2𝑡)
𝑦 (𝜋
2+ 𝑡) = −𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
2+ 3𝑡)
⟺
𝑀 (𝜋
2+ 𝑡){
𝑥 (𝜋
2+ 𝑡) = −𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑦 (𝜋
2+ 𝑡) = −𝑐𝑜𝑠3𝑡
𝑀 (𝜋
2− 𝑡){
𝑥 (𝜋
2− 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2 (
𝜋
2− 𝑡)
𝑦 (𝜋
2− 𝑡) = 𝑠𝑖𝑛3 (
𝜋
2− 𝑡)
⟺
𝑀(𝜋
2− 𝑡){
𝑥 (𝜋
2− 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 2𝑡)
𝑦 (𝜋
2− 𝑡) = −𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
2− 3𝑡)
⟺
𝑀 (𝜋
2− 𝑡){
𝑥 (𝜋
2− 𝑡) = −𝑐𝑜𝑠2𝑡
𝑦 (𝜋
2− 𝑡) = −𝑐𝑜𝑠3𝑡
.
𝑥 (𝜋
2+ 𝑡)= 𝑥 (
𝜋
2− 𝑡) et 𝑦 (
𝜋
2+ 𝑡)= 𝑦 (
𝜋
2− 𝑡) : les points 𝑀 (
𝜋
2+ 𝑡) et 𝑀 (
𝜋
2− 𝑡)
sont donc confondus. On peut alors restreindre l’intervalle d’étude à [0;𝜋
2].
Résumé des transformations géométriques conduisant à la courbe entière :
D’après l’étude de la périodicité, la courbe (Γ)est complète sur [– 𝜋; 𝜋].
D’après l’étude de la parité la courbe (Γ) est symétrique par rapport à (𝑂𝑥).
Il suffit donc d’avoir la partie de (Γ) sur [0; 𝜋] que l’on complètera par
symétrie orthogonale.
Pour tout 𝑡ϵ[0; 𝜋] ; les points 𝑀 (𝜋
2+ 𝑡) et 𝑀 (
𝜋
2− 𝑡) sont confondus, donc
la partie de (Γ) sur [0;𝜋
2] est la partie complète de (Γ) sur [0; 𝜋].
4
IV-2 Etude des variations des fonctions 𝒙 et 𝒚
𝑥: 𝑡 ⟼ 𝑐𝑜𝑠2𝑡
La fonction 𝑥 est définie et dérivable sur [0;𝜋
2] et ∀𝑡 ∈ [0;
𝜋
2], on a :
𝑥′(𝑡) = −2𝑠𝑖𝑛2𝑡
= −2(2𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡)
𝑥′(𝑡) = −4𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡
Pour ∈ [0;𝜋
2], 𝑠𝑖𝑛 𝑡 ≥ 0 et 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ≥ 0 ⟺ −4𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 ≤ 0
⟺ 𝑥′(𝑡) ≤ 0
La fonction 𝑥 est donc décroissante sur[0;𝜋
2].
𝑦: 𝑡 ↦ 𝑠𝑖𝑛3𝑡
La fonction 𝑦 est définie et dérivable sur [0;𝜋
2] et ∀𝑡 ∈ [0;
𝜋
2] on a :
𝑦′(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠3𝑡.
Pour 𝑡 ∈ [0;𝜋
2], 𝑦′(𝑡) = 0 ⟺ 𝑡 =
𝜋
6 ou 𝑡 =
𝜋
2
Pour 𝑡 ∈ [0;𝜋
6], 𝑦′(𝑡) ≥ 0 et pour 𝑡 ∈ [
𝜋
6;𝜋
2], 𝑦′(𝑡) ≤ 0. Par conséquent, la
fonction 𝑦 est donc croissante sur [0;𝜋
6] et décroissante sur [
𝜋
6;𝜋
2].
Tableau de variation conjoint
5
𝒕 0 𝝅
𝟔
𝝅
𝟐
𝒙′(𝒕) 0 - -√𝟑 - 0
𝒙(𝒕) 1
𝟏
𝟐
-1
𝒚′(𝒕) 3 + 0 - 0
𝒚(𝒕) 1
0 -1
IV-3 Tracé de la courbe
Tableau des coordonnées des points particuliers et les vecteurs directeurs des
tangentes en ces points.
𝑡 𝒙(𝒕) 𝒚(𝒕) �⃗� (𝑡) Observations
0 1 0 �⃗� (0) (
0
3)
Tangente parallèle à (Oy)
𝜋
6
1
2
1 �⃗� (
𝜋
6) (
−√3
0)
Tangente parallèle à (Ox)
𝜋
4 0 √2
2 �⃗� (
𝜋
4) (
−2
−3√22
) Tangente oblique d’équation
𝑦 =3𝑥√2
2+
√2
2
𝜋
2 -1 -1
�⃗� (𝜋
2) (
0
0)
Tangente parallèle à (Oy)
6
Représentation graphique
Exercices
Exercice1
Soit (𝐶) la courbe définie par : {
𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠𝑡
2
𝑦(𝑡) = 4𝑠𝑖𝑛𝑡
2
, 𝑡 ∈
1) Démontrer que le système admet une période T que l’on précisera. Comparer
alors les points 𝑀(𝑡) et 𝑀(𝑡 + 𝑇).
2) Comparer les points 𝑀(−𝑡) et 𝑀(𝑡) puis les points 𝑀(2𝜋 − 𝑡) et 𝑀(𝑡).
Déduire des questions précédentes que l’on peut choisir comme ensemble
d’étude le domaine 𝐷𝐸 = [0; 𝜋].
3) Soit (𝐶1): {
𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠𝑡
2
𝑦(𝑡) = 4𝑠𝑖𝑛𝑡
2
, 𝑡 ∈ [0; 𝜋]
a) Par quelles transformations successives obtient-on (𝒞) à partir de (𝒞1)?
b) Etudier les variations des fonctions 𝑥 et 𝑦 et dresser le tableau de
variations conjoint.
2-1-2
2
-1
-2
0 1
1
x
y
7
c) Tracer la courbe (𝒞1) puis la courbe (𝒞) en indiquant par des flèches le
sens de parcourt sur la courbe, et les tangentes parallèles aux axes des
coordonnées.
Exercice2
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, 𝑖, ⃗ 𝑗,⃗⃗ ) d’unité graphique 6 cm, on
considère la courbe (𝒞) de représentation paramétrique :
{
𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦(𝑡) =𝑠𝑖𝑛²𝑡
2+𝑠𝑖𝑛𝑡
, 𝑡 ∈ [−𝜋
2;3𝜋
2]
1) On note 𝑀(𝑡) le point de coordonnées (𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)).
a) Comparer les points 𝑀(𝑡) et 𝑀(𝜋 − 𝑡).
b) En déduire que l’on peut restreindre le domaine d’étude de (𝒞) à [−𝜋
2;𝜋
2].
2)a) Montrer que 𝑦′(𝑡) =𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡(4+𝑠𝑖𝑛𝑡)
(2+𝑠𝑖𝑛𝑡)2
b) Etudier le sens de variation de 𝑥 et 𝑦 sur [−𝜋
2;𝜋
2].
c) Dresser le tableau de variation conjoint de 𝑥 et 𝑦 sur [−𝜋
2;𝜋
2].
3) Tracer (𝒞) après avoir placé les points remarquables avec les tangentes
associées. On admettra que le vecteur directeur de la tangente au point M(0) est
�⃗� (0) (−11).
Exercice3
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, 𝑖, ⃗ 𝑗,⃗⃗ ) d’unité graphique 2 cm.
On note (𝒞) l’ensemble des points 𝑀(𝑡) du plan de coordonnées (𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)) telles
que :
{𝑥(𝑡) =
1
2𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑡
, 𝑡 ∈
8
1)a) Comparer 𝑀(𝑡) et 𝑀(𝑡 + 2𝜋) pour tout réel 𝑡 et en déduire que l’on peut
restreindre le domaine d’étude de (𝒞) à l’intervalle [– 𝜋; 𝜋].
b) Comparer 𝑀(𝑡) et 𝑀(−𝑡) pour 𝑡 ∈ [– 𝜋; 𝜋] et en déduire que l’on peut à
nouveau restreindre le domaine d’étude de (𝒞) à l’intervalle[0; 𝜋].
2) Etudier le sens de variation de 𝑥 et 𝑦 sur [0; 𝜋] et dresser le tableau de variation
conjoint de 𝑥 et 𝑦 sur [0; 𝜋].
3) Construire la courbe (𝒞).
Exercice 4 (non corrigé)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (𝑂; 𝑖 , 𝑗 ). (unité graphique 2cm)
On considère la courbe paramétrée (Σ) définie par : {𝑥(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛3𝑡𝑦(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡
, 𝑡 ∈
On note 𝑀(𝑡) le point de coordonnées (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)).
1) a) Comparer les positions des points 𝑀(𝑡 + 2𝜋) et 𝑀(𝑡); des points 𝑀(−𝑡) et
𝑀(𝑡), et celle des points 𝑀(𝜋 − 𝑡) et 𝑀(𝑡).
b) En déduire que les fonctions 𝑥 et 𝑦 peuvent être étudiées sur l'intervalle [0;𝜋
2].
2) a) Etudier les variations des fonctions 𝑥 et 𝑦 sur l'intervalle [0;𝜋
2].
b)Dresser un tableau de variation conjoint des fonctions 𝑥 et 𝑦.
3) a) Préciser les équations des tangentes à la courbe (Σ) aux points 𝑀(0), 𝑀(𝜋
6),
𝑀(𝜋
3) et 𝑀(
𝜋
2).
b)Tracer ces tangentes ainsi que la partie (Σ1) de la courbe (Σ) correspondant à
[0;𝜋
2]; puis construire en justifiant, la courbe (Σ) dans le repère.
9
Corrigé des exercices en fin de chapitre
Exercice 1
(𝒞) {𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠
𝑡
2
𝑦(𝑡) = 4𝑠𝑖𝑛𝑡
2
, t ϵ
1) Démontrons que le système admet une période T à déterminer.
La fonction t : ⟼ cos 𝑡
2 est périodique de période 4π
La fonction t : ⟼ sin 𝑡
2 est périodique de période T = 4π
Comparons M(t) et M(t+4π)
M(t) : {𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠
𝑡
2
𝑦(𝑡) = 4𝑠𝑖𝑛𝑡
2
M(t+4π) : {𝑥(𝑡 + 4π) = 2𝑐𝑜𝑠 (
𝑡+4π
2)
𝑦(𝑡 + 4π) = 4𝑠𝑖𝑛 (𝑡+4π
2)
M(𝑡 + 4𝜋): {𝑥(𝑡 + 4π) = 2𝑐𝑜𝑠 (
𝑡
2+ 2𝜋)
𝑦(𝑡 + 4π) = 4𝑠𝑖𝑛 (𝑡
2+ 2𝜋)
M(𝑡 + 4𝜋): {𝑥(𝑡 + 4π) = 2𝑐𝑜𝑠 (
𝑡
2)
𝑦(𝑡 + 4π) = 4𝑠𝑖𝑛 (𝑡
2)
On a : x(t+4π)= x(t) et y(t+4π)=y(t) donc les points M(t) et M(t+4π) sont confondus
2) comparons les points M (-t) et M(t) puis les points M (2π-t) et M(t)
M(t) {𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠 (
𝑡
2)
𝑦(𝑡) = 4𝑠𝑖𝑛 (𝑡
2)
M(-t) : {𝑥(−𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (−
𝑡
2)
𝑦(−𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 (−𝑡
2)
M(-t) : {𝑥(−𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝑡
2)
𝑦(−𝑡) = −𝑠𝑖𝑛 (𝑡
2)
10
On a : x (-t)= x(t) et y (-t) =-y(t), donc les points M(t) et M (-t) sont symétriques par rapport à
l'axe (Ox).
M(2π-t) : {𝑥(2π − t) = 2𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋−𝑡
2)
𝑦(2π − t) = 4𝑠𝑖𝑛 (2𝜋−𝑡
2)
M(2π-t) : {𝑥(2π − t) = 2𝑐𝑜𝑠 (𝜋 −
𝑡
2)
𝑦(2π − t) = 4𝑠𝑖𝑛 (𝜋 −𝑡
2)
M(2π-t) : {𝑥(2π − t) = −2 cos
𝑡
2
𝑦(2π − t) = 4 sin𝑡
2
On a : x (2π-t)= -x(t) et y (2π-t) = y(t), donc M (2π-t) et M(t) sont symétriques par rapport à l'axe
(Oy).
Déduisons-en que l’on peut choisir comme ensemble d’étude 𝐷𝐸=[0; 𝜋]
Comme M(t) et M(t+4π) sont confondus alors la courbe est complète sur un intervalle
d’amplitude 4π, 𝑠𝑜𝑖𝑡 [−2𝜋; 2𝜋]. Comme les points M (2π-t) et M(t) sont symétrique par rapport à (Oy) alors on peut prendre
comme ensemble d’étude un intervalle d’amplitude 2π, soit [−𝜋; 𝜋]. Les points M(-t) et M(t) sont symétriques par rapport à (Ox), donc on peut prendre comme
ensemble d’étude 𝐷𝐸=[0; 𝜋]
3) Soit (𝐶1) {𝑥(𝑡) = 2 𝑐𝑜𝑠
𝑡
2
𝑦(𝑡) = 4 𝑠𝑖𝑛𝑡
2
, t ∈ [0; 𝜋]
a)Transformons successives qui permettent d’obtenir (𝒞) à partir de (𝒞1).
t ϵ[0; 𝜋] ⟺ 0 ≤ t ≤ π
⟺ - π≤ -t ≤0
⟺ π ≤ 2π-t ≤ 2π
Si (𝒞1)est la courbe obtenue pour t ϵ[0; 𝜋], alors on obtient la courbe sur [𝜋; 2𝜋] en prenant le
symetrique de (𝒞1) par rapport à (Oy).
Ainsi : (𝒞1) ∪ 𝑆(𝑂𝑦)(𝒞1) est la partie de la courbe obtenue sur [0; 2𝜋].
On complète la courbe sur [−2𝜋; 0] en prenant le symétrique de la partie précédente par rapport à
(Ox).
b) étudions les variations des fonctions x et y sur DE = [0; 𝜋]
11
x est dérivable sur DE et pour tout t ϵ DE on a :
x’(t)=-𝑠𝑖𝑛𝑡
2
Pour tout t ϵ [0; 𝜋] ; 𝑡
2 ϵ [0,
𝜋
2] et sin
𝑡
2 ≥ 0 ; donc –sin
𝑡
2 ≤ 0 . D’où x’ (t) ≤ 0 sur [0; 𝜋] et par suite
la fonction x est décroissante sur[0; 𝜋].
y est dérivable sur DE et pour tout t ϵ DE on a y’=2cos 𝑡
2
Pour tout t ϵ [0; 𝜋] ; 𝑡
2 ϵ [0;
𝜋
2] et cos
𝑡
2 ≥ 0 .
cos 𝑡
2 ≥ 0 ⟺ 2cos
𝑡
2 ≥ 0
⟺ y’(t) ≥ 0 sur [0; 𝜋], et par suite y est une fonction croissante sur [0; 𝜋]
Tableau de variation conjoint
t 0 π
x’(t) 0 - -1
y’(t) 2 + 0
x(t)
2
0
y(t)
4
0
Traçons la courbe (𝒞1) puis la courbe (𝒞).
12
Tableau de valeurs
t x(t) y(t)
0 2 0
𝝅
𝟑 √3 2
𝝅
𝟐 √2 2√2
𝟐𝝅
𝟑
1 2√3
π 0 4
Tangente parallèle à (Ox) : y’(t)=0 ↔t=π → (0 ; 4)
Tangente parallèle à (Oy) : x’(t)=0↔ t=0 → (2 ; 0)
Représentation graphique
2 3-1-2-3
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
13
Exercices 2
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, 𝑖, ⃗ 𝑗,⃗⃗ ) d’unité graphique 6cm, on
considère la courbe (𝒞) de représentation paramétrique :
{
𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦(𝑡) =𝑠𝑖𝑛²𝑡
2+𝑠𝑖𝑛𝑡
, 𝑡 ∈ [−𝜋
2;3𝜋
2]
1) a)Comparaison des points M(t) et M (π-t)
x(t)= cos t et y(t)= 𝑠𝑖𝑛2 𝑡
2+𝑠𝑖𝑛 𝑡
x (π-t)= cos (π-t)= -cos t = -x(t)
y (π-t)= 𝑠𝑖𝑛2 (𝜋−𝑡)
2+𝑠𝑖𝑛 (𝜋−𝑡) =
𝑠𝑖𝑛2 𝑡
2+𝑠𝑖𝑛 𝑡 = y(t)
x (π-t)= -x(t) et y (π-t) = y(t), alors M(t) et M (π-t) sont symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
b)Restriction du domaine d’étude de (C) à [−π
2;π
2].
Pour t ϵ [−𝜋
2;𝜋
2] on a :
−𝜋
2≤t≤
𝜋
2 ⟺ π-
𝜋
2≤π-t≤π+
𝜋
2 .
On a 𝜋
2≤π-t≤
3𝜋
2 et comme M(t) et M (π-t) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées
alors on peut restreindre le domaine d’étude de (C) à [−𝜋
2;𝜋
2]; puis on complète la courbe par
une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
2) a)Démonstration que y’(t)=𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑡 (4+𝑠𝑖𝑛 𝑡)
(2+𝑠𝑖𝑛 𝑡)2
y’(t)=(𝑠𝑖𝑛2 𝑡
2+𝑠𝑖𝑛 𝑡)′
= 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 (2+𝑠𝑖𝑛 𝑡)−𝑐𝑜𝑠 𝑡 (𝑠𝑖𝑛2 𝑡)
(2+𝑠𝑖𝑛 𝑡)2
= 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 (4+2 𝑠𝑖𝑛 𝑡−𝑠𝑖𝑛 𝑡)
(2+𝑠𝑖𝑛 𝑡)2 =
𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 (4+𝑠𝑖𝑛 𝑡)
(2+𝑠𝑖𝑛 𝑡)2
Ainsi y’(t)= 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 (4+𝑠𝑖𝑛 𝑡)
(2+𝑠𝑖𝑛 𝑡)2
b)Sens de variations de x et y sur [−π
2;π
2]
x’(t)=-sin t et y’(t)= 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 (4+𝑠𝑖𝑛 𝑡)
(2+𝑠𝑖𝑛 𝑡)2
sin t ≥-1 ; alors 4+sin t ≥3>0 et (2 + 𝑠𝑖𝑛 𝑡)2>0.
Et sur [−𝜋
2;𝜋
2] on a cos t ≥0.
Alors y’(t) est du signe de (sin t) dans [−π
2;π
2]
1er cas : tϵ[−𝜋
2; 0]
sin t ≤0, donc x’(t)≥0 et y’(t)≤0.
2e cas : tϵ[0;𝜋
2]
sin t ≥0, donc x’(t)≤0 et y’ (t)≥0.
14
{𝑥′(𝑡 ) ≥ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ∈ [−
𝜋
2; 0]
𝑥′(𝑡) ≤ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ∈ [0;𝜋
2; ]
et {𝑦′ ≤ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ∈ [−
𝜋
2; 0]
𝑦′(𝑡) ≥ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 ∈ [0;𝜋
2]
Ainsi :
𝑥 est croissante sur [−𝜋
2; 0] et x est décroissante sur [0;
π
2].
y est décroissante sur [−𝜋
2; 0] et y est croissante sur [0;
𝜋
2].
c)Tableau de variation conjoint de x et y sur [−π
2;π
2]
3) Construction de la courbe (𝐶).
-1
-1
0 1
1
x
y
t −𝝅
𝟐 0
𝝅
𝟐
x’(t) 1 + 0 - -1
y’(t) 0 - 0 + 0
x(t) 1
0 0
y(t) 1 𝟏
𝟑
0
15
Exercice 3
{𝑥(𝑡) =
1
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 𝑡 , t ϵ ℝ
1)a) Comparons M(t) et M(t+2π) et déduisons que l’on peut restreindre le domaine d’étude de (C) à
[−𝜋; 𝜋].
∀ 𝑡 ∈ ℝ , 𝑜𝑛 𝑎 {𝑥(𝑡 + 2𝜋) =
1
2𝑐𝑜𝑠(2 𝑡 + 4𝜋) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡 + 2𝜋)
𝑦(𝑡 + 2𝜋) = 𝑠𝑖𝑛(𝑡 + 2𝜋)
⟺ {𝑥(𝑡 + 2𝜋) =
1
2cos 2 𝑡 + cos 𝑡
𝑦(𝑡 + 2𝜋) = sin 𝑡 ; car les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de
période 2𝜋.
D’où {𝑥(𝑡 + 2𝜋) = 𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡 + 2𝜋) = 𝑦(𝑡) , ainsi les points M(t) et M(t+2𝜋) sont confondus. Par suite la courbe (C) est
entièrement obtenue sur un intervalle quelconque d’amplitude 2π. On donc peut restreindre le domaine
d’étude de (C) à l’intervalle [−π; π].
b) Comparons M(t) et M (-t) pour t ϵ [−𝜋; 𝜋] et déduisons que l’on peut restreindre le domaine d’étude
de (C) à [0; 𝜋].
∀ 𝑡 ∈ [−𝜋; 𝜋]; −𝑡 ∈ [−𝜋; 𝜋] et on a :
{𝑥(−𝑡) =
1
2cos(−2𝑡) + cos (−𝑡)
𝑦(−𝑡) = sin(−𝑡) ⟺ {
𝑥(−𝑡) =1
2cos 2𝑡 + cos 𝑡
𝑦(−𝑡) = −sin 𝑡 , car
cos(−𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 et sin (−𝑡) = −𝑠𝑖𝑛𝑡.
D’où {𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)
𝑦(−𝑡) = −𝑦(𝑡). Par suite les points M (-t) et M(t) sont symétriques par rapport à l’axe des
abscisses. On en déduit alors que (C) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses et par conséquent
on peut restreindre le domaine d’étude de (C) à l’intervalle [0; 𝜋].
2) étudions les variations de x et y sur [0; 𝜋]
Les fonctions x et y sont continus et dérivables sur [0; 𝜋] et on a :
{𝑥′(𝑡) = −𝑠𝑖𝑛 2𝑡 − 𝑠𝑖𝑛 𝑡
𝑦′(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ⟺ {
𝑥′(𝑡) = (−2𝑠𝑖𝑛 𝑡)(𝑐𝑜𝑠 𝑡 +1
2)
𝑦′(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝑡
Considérons : x’(t)= (-2 sin t) (cos t +1
2)
∀ 𝑡 ∈ [0; 𝜋]; 2𝑠𝑖𝑛 𝑡 ≥ 0 , 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥′( 𝑡) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 [−(cos(𝑡) +1
2)] .
{𝑐𝑜𝑠 𝑡 +
1
2= 0
0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 ⟺ 𝑡 =
2𝜋
3. D’où le tableau de signe ci-dessous.
16
t 𝟎 𝟐𝝅
𝟑 π
cos t + 𝟏
𝟐
+ 0 -
Par suite, ∀ 𝑡 ∈ [0;2𝜋
3], x’(t)≤0 et ∀ 𝑡 ∈ [
2𝜋
3; 𝜋], x’(t)≥0. Donc x est décroissante sur [0;
2𝜋
3] et x
croissante [2𝜋
3; 𝜋].
Considérons : y’(t)=cos t
∀ 𝑡 ∈ [0;𝜋
2], cos t ≥0 et sur [
𝜋
2; 𝜋] 𝑐𝑜𝑠𝑡 ≤ 0. Donc y’(t) ≥0 sur [0;
𝜋
2] y’(t)≤0 sur [
𝜋
2; 𝜋]. Alors y est
croissante sur [0;𝜋
2] et y est décroissante sur [
𝜋
2; 𝜋].
Dressons le tableau de variations conjoint de x et y sur [𝟎; 𝝅]
t 0 𝝅
𝟐
𝟐𝝅
𝟑 π
x’(t) 0 - -1 - 0 + 0
y’(t) 1 + 0 - −𝟏
𝟐 - -1
x
𝟑
𝟐
−𝟏
𝟐
−𝟏
𝟐
−𝟑
𝟒
y
1
√𝟑
𝟐
0 0
3)Construction de la courbe (𝐶).
17
(C)
2-1-2
2
-1
-2
0 1
1
x
y
