statique

Rsistance des Matriaux Philippe SZKLAREK

STATIQUE DU SOLIDE

I.U.T. Gnie Civil Le Havre

Philippe SZKLAREK - IUT du Havre dpartement de Gnie civil cours de RdM

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TABLE DES MATIERES

I. QUELQUES ELEMENTS 3

I.1. Notion de torseur 3 I.1.1. Dfinition 3 I.1.2. Elments de rduction du torseur en O 3 I.1.3. Quelques proprits 3 I.1.4. Torseur associ un systme de vecteurs 4

I.2. Torseurs et forces 4

I.3. Calcul du moment dun torseur associ une force 4

I.4. Conclusions 5

II. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS) 6

II.1. Notion de solide 6

II.2. Enonc du principe 6

II.3. Utilisation pratique 6

II.4. Actions extrieures et intrieures 7

II.5. Principe des actions rciproques 7

II.6. Quelques rsultats 8

III. TYPES DE CHARGES ET LIAISONS DANS LE GENIE CIVIL 9

III.1. Introduction 9 III.1.1. Les efforts connus 9 III.1.2. Les efforts inconnus 9

III.2. Liaisons et efforts de liaisons 9 III.2.1. Appui simple 10 III.2.2. Appui lastique 11 III.2.3. Articulation 12 III.2.4. Encastrement 13

III.3. Actions concernant le Gnie Civil et modlisation 14 III.3.1. Poids propre des lments 14 III.3.2. Charges rparties quelconques 15 III.3.3. calcul des lments de rduction des charges rparties 16


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IV. ELEMENTS DE LA THEORIE DES POUTRES 17

IV.1. Poutres 17

IV.2. Hypothses 18 IV.2.1. Hypothse sur le matriau 18 IV.2.2. Hypothses mcaniques 18 IV.2.3. Hypothses sur le comportement des sections. 18

IV.3. Expression des sollicitations internes 19 IV.3.1. Introduction 19 IV.3.2. Analyse de lquilibre dun tronon de poutre. 20 IV.3.3. Etude de lquilibre du tronon de poutre gauche de S(x) 21 IV.3.4. Sollicitations internes 22 IV.3.5. Sollicitations simples 22 IV.3.6. Sollicitations dans le plan 23


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I. QUELQUES ELEMENTS

I.1. Notion de torseur

I.1.1. Dfinition

Soit x un espace affine de dimension 3 E un espace vectoriel associ

le champ vectoriel : O x m E )O(m

r

un vecteur ER

Le vecteur R et le champ vectoriel m dfinissent un torseur si et seulement si "(O,O) x m (O) = m (O) + R ? 'OO

I.1.2. Elments de rduction du torseur en O

On appelle lments de rduction du torseur en O :

m (O) : moment en O du torseur R : rsultante du torseur (indpendante de O)

On notera

t un torseur quelconque et

O

t ses lments de rduction en O.

I.1.3. Quelques proprits

a) La somme de deux torseurs est un torseur et ses lments de rduction sont la somme des lments de rduction des torseurs constituant la somme.

Soit

+

=

21 ttt , alors " O x :

O2

O1

O

+

=

ttt

b) On appellera et on notera torseur nul :

{ } O tel que " O x : { } 0 (0) m

0 R O O

==

=

c) Deux torseurs sont gaux si et seulement sils ont les mmes lments de rduction.

=

21 tt " O :

( ) ( )

0 m 0 mR R

11 =

= 21

d) On appelle couple, un torseur dont la rsultante est nulle et dont le moment rsultant est indpendant du point de calcul.


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I.1.4. Torseur associ un systme de vecteurs

Soit la donne dun vecteur V et dun point A dapplication, on appelle glisseur le couple (A, V ) et on peut lui associer un torseur. De mme pour un systme de glis-seurs.

I.2. Torseurs et forces

La dfinition prcdente permet donc dassocier un torseur une force et son point dapplication, ou un ensemble de forces et leurs points dapplication.

Exemple :

On a alors { } 0 P

P G =

et par exemple : { } M P AG

P P

AP

A=

=

I.3. Calcul du moment dun torseur associ une force

Cas du plan :

Par dfinition : OA ? F = OA . F. sin ( OA , F ) = OA.F sin a Or asinOA = OH = d

d est la distance du point O la droite daction (?) de F . On lappelle encore bras de levier de F . Le signe du sinus donne le signe du moment.

Poutre

A

G

P

nous avons : F = OAM OF

A

O

( D F)

F

d

H

a

; notation utilise par la suite.


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Cas gnral : Soit (O , k,j,i ) une base associe un systme daxes (O, x, y, z) le tout formant un repre orthonorm.

soient les coordonnes des vecteurs :

kfjfif

f

f

f

F

kjiOA

321

3

2

1

F

z y x OA

z

y

x

++==

++==

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [

[ ] [ ] [ ] z z z y y y x x x

z y x

zy x

32

3232

kkfjkfikf

kjfjjfijfkifjifiif

kf jf ifkkf jf ifjkf jf ifi

kf jf ifk j iFOA

1

111

321321321

321

+++

+++++=

++++++++=

++++=

ou :

( )[ ] ( ) [ ] ( )[ ] k y fxf j xf-zf i z f-yf FOA 123123 -++=

ou encore :

yxxz

zy

zy

x

12

31

23

3

2

1

ffff

ff

ff

f

--

-

=

I.4. Conclusions

Les dfinitions prcdentes nous permettent de faciliter le travail sur les systmes de forces et notamment sur les systmes de forces en quilibre.

On peut dire que la rduction dun systme de forces en un point consiste

remplacer ce systme par un systme de forces quivalent au point de vue statique. La rduction a souvent un rle simplificateur.

La notion de force permet dexprimer laction quexerce un corps sur un autre,

elle prend un sens uniquement sil y a un rcepteur. Elle se rapporte toujours au corps sur lequel elle agit, elle est le rsultat dune action.

On entend par action toute cause sollicitant une construction, cest le cas du

vent ou des sismes par exemple.


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II. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS)

II.1. Notion de solide

Un solide est un systme de points matriels immobiles les uns par rapport aux autres. Il est donc suppos indformable sous laction des forces exerces.

II.2. Enonc du principe

Soit un solide (S) soumis un systme de forces extrieures modlis par { } F ext Soit {R} le rfrentiel associ (S) ; (S) est en quilibre si et seulement si :

{ } { } O F ext =

II.3. Utilisation pratique

Nous avons vu que lgalit de deux torseurs entranait lgalit de leurs lments de rduction. Soit O le point choisi :

{ } { }OOext O F = extFR = O (1) O/F extM =O (2)

Soit deux quations vectorielles qui donnent : dans lespace 6 quations scalaires. dans le plan 3 quations scalaires

Remarque : En gnie civil nous nous ramenons le plus souvent possible ltude de problmes plans, cest dire ltude de structures charges dans leur plan de symtrie.

- les forces ont deux composantes : (1) 2 quations scalaires - le moment est un produit de vecteurs appartenant toujours (P) (plan de sym) : (2) 1 quation scalaire (z ^ (P))

z

A F

(P) x

y

o (OA F )


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II.4. Actions extrieures et intrieures

Soit deux solides (S1) et (S2) et (S) le systme form par (S1) et (S2).

Soit : (1) { F } = { F 1} + { F 2} torseur des actions du monde extrieur sur (S)

{ F 1} sappliquant sur la frontire extrieure de (S1) { F 2} sappliquant sur la frontire extrieure de (S2)

Faisons le bilan des actions sexerant sur (S1), on a, en isolant (S1) :

(2) { 1D } = { F 1} sappliquant sur la frontire libre de (S1)

{ F 2/1} actions exerces par (S2) sur (S1) sur la frontire commune.

Dfinition : Si on isole (S), { F } = {F 1} + {F 2} modlise les actions extrieures appliques sur (S) et { F 2/1} les actions intrieures (S). Si on isole (S1), { F 1} et { F 2/1} modlisent des actions extrieures pour (S1).

II.5. Principe des actions rciproques

Si on isole maintenant (S2) le bilan des actions extrieures donne :

(3) { } { }{ }( )

( ) ( ) S surS par exerces actions S de libre frontire la surappliquant s'

F

F D

1/ 2

2

21

22 =

On a : (S) = (S1) (S2) et donc :

{ } { } { }

{ } { }( ) { } { }( ) { } { }( )

212/121/21

21

FFFFFF

DDF

+=+++=

+=

(2) (3) (1) soit : { } { } { } 0 F F // =+ 2112 Principe des actions rciproques

(S1) (S)

(S2)


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II.6. Quelques rsultats

Ltude de lquilibre des solides va revenir chercher lquilibre du systme de forces qui sapplique sur lui. Cest dire que le systme de forces doit produire un effet nul sur le solide suppos indformable.

Un solide S soumis laction de deux forces est en quilibre si et seulement si

ces deux forces sont gales et directement opposes.

Un solide S soumis laction de trois forces est en quilibre si et seulement si ces trois forces sont concourantes en un point et coplanaires.


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III. TYPES DE CHARGES ET LIAISONS DANS LE GENIE CIVIL

III.1. Introduction

Les actions extrieures (forces extrieures) sappliquant sur les solides sont, au niveau mathmatique, de nature diffrente.

III.1.1. Les efforts connus

On retrouve les efforts modlisant, les actions du poids propre des lments, les actions climatiques (vent, neige, houle) et les actions dexploitation. Ces actions sont donnes par le cahier des charges dutilisation du btiment : poids des machines, action des ponts roulants, utilisation des locaux, etc Elles sont aussi dtermines de faon rglementaire, laide des DTU (documents techniques unifis) ou laide de normes. Actuellement, un document europen a pour vocation dunifier le mode de calcul des charges ainsi que leur dfinition : cest lEurocode 1.

III.1.2. Les efforts inconnus

Ils sont dvelopps par les liaisons du solide tudi avec les lments de transfert des charges. Les liaisons servent bloquer certains degrs de libert (ddl) des solides.

III.2. Liaisons et efforts de liaisons

Nous effectuerons notre analyse dans le cadre du plan et du Gnie Civil. Les liaisons, pour bloquer les dplacements, gnrent des efforts inconnus appels efforts de liaison. On associera la liaison un torseur defforts li ses caractristiques cinmatiques. Les mouvements lmentaires possibles dans le plan sont :

Les principales liaisons du gnie civil sont : Lappui simple 1 ddl bloqu 1 inconnue de liaison Lappui lastique 1 ddl contrl 1 inconnue de liaison et une loi de

comportement Larticulation 2 ddl bloqus 2 inconnues de liaison Lencastrement 3 ddl bloqus 3 inconnues de liaison

deux translations : Dx et Dy une rotation : W =W k

z

y

W

?x et ?v

(P)

x


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III.2.1. Appui simple

Il bloque la translation dans la direction de lappui, il permet une translation Dx dans la direction perpendiculaire et une rotation W autour de laxe perpendiculaire au plan de la liaison.

. Modlisation :

Elments de rduction du torseur en A :

k 0 M

j Y R

A

AA

A =

==

t

Exemples de ralisation :

A

y

YA

x

W A A

x

y

x

y ddls

xD

appuis simples poutres-poteaux BA


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Remarque : en gnie civil, lappui simple ne sera pas ponctuel mais plutt du type surfacique. Lappui des lments sexercera souvent sur une "certaine surface".

III.2.2. Appui lastique

Il contrle une translation par la connaissance de la raideur de lappareil dappui. On a une relation de comportement de lappui du type :

F = k Dy Il permet une translation contrle Dy, peut permettre ou non une translation Dx (appui glissant) et il permet une rotation W

Modlisation :


k 0 M

jy k j Y R

A

AA

A =D==

=

t

W Dy

ddls

A x

y

A x

y

A

y

YA

x

appui simple dun treillis mtallique sur un massif bton.

appui simple dun treillis mtallique sur un poteau mtallique.


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III.2.3. Articulation

Elle permet de bloquer les 2 translations possibles dans le plan, il reste une rotation libre W.

Modlisation :


k 0 M

j Y i X R

A

AAA

A =+=

=

t


appareil dappui pot unidirectionnel

appareil dappui en lastomre glissant

pied de poteau en lamell coll avec un axe pied de poteau en lamell coll avec un grain

y

W A A

x

y

x

ddls

XA

A

YA

x

y


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Remarque : Les rotations admises sont faibles, de lordre de 10-1 radian (voir plus pour certains cas).

III.2.4. Encastrement

Cette liaison bloque les 3 degrs de libert possibles : 2 translations lmentaires et une rotation.

Modlisation :


k M

j Y i X R

AA

AAA

A mt

=+=

=


joint de continuit de deux poutres mtalliques par encastrement dans une entretoise en bton arm

A x

y

YA

mA

XA

A

y

x

ancrage dun pied de poteau en profil laide de crosses mtalliques


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Remarque : lencastrement parfait sera difficile et coteux raliser, surtout en construction mtallique. En fait, dans la ralit constructive, les liaisons fonctionnent dans un domaine compris entre larticulation parfaite et lencastrement parfait.

III.3. Actions concernant le Gnie Civil et modlisation

Outre les charges ponctuelles ou modlises comme telles, on retrouve les densits de charge pour traduire leffet les actions sexerant sur les btiments et les ouvrages.

III.3.1. Poids propre des lments

La prise en compte de laction du poids propre des systmes se fait par lutilisation des charges rparties. Cette notion permet de quantifier laction de la pesanteur sur des lments volumiques. Les lments sont gnralement modliss dans leurs plans de symtrie, par leur ligne moyenne. Cette ligne imaginaire reprsente le lieu des centres de masse sur la longueur de llment.

encastrement dun pied darc sur un massif en bton arm

action de la pesanteur sur un lment de volume dV modlise par dF = r p.dV

encastrement dune poutre sur un poteau en bton arm


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III.3.2. Charges rparties quelconques

Si la plupart du temps les charges rparties ont des allures simples, elles peuvent avoir un type de variation plus complexe. Cela peut dpendre du type de charge, mais aussi du transfert des charges entre porteurs.

Exemple :

modlisation du poids propre dun profil mtallique en console

modlisation de la pousse hydrostatique sur le montant horizontal dun bassin de piscine


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III.3.3. calcul des lments de rduction des charges rparties

On considre la densit de charge linaire suivante : 21

j)x(pi)x(p)x(p +=

applique sur une poutre de longueur l, reprsente par sa ligne moyenne. On peut, en isolant un tronon de poutre de longueur infinitsimale dx, associer un torseur defforts la rsultante de la charge rpartie et son point dapplication G(x). On a :

0 M

j dx )x( p i dx )x( p Rd

)x(G

21

)x(G =

+==

t

Soit calculer les lments de rduction en A de la charge rpartie exerce sur un tronon de poutre de longueur x.

R (x) = jdx)x(pidx)x(px

2

01

+

= jdx)x(pidx)x(pxx

0

20

1

+

= A1 (x) i + A2 (x) j

M (x)/A = kdx)x(pxx

0

2

= xG A2 (x) = xG R2 (x) k

R(x) tant une valeur algbrique, les valeurs A1 (x) et A2 (x) reprsentant les aires comprises entre les courbes respectives des composantes p1(x) et p2(x) et laxe des x.

Remarque : Dans la plupart des cas les charges rparties sont de types : uniformes, trapzodales ou triangulaires.

p (x)

d R (x) p (x)

G(x) A

x

dx

l

x


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IV. ELEMENTS DE LA THEORIE DES POUTRES

IV.1. Poutres

Une poutre est un solide gnr par des sections droites (S), dont le centre de gravit G dcrit une courbe (G). Les sections (S) restant perpendiculaires (G) en G.

Laxe G(s)x est tangent (G) en G(s) ;

R (G(s), x, y, z) est un repre local associ la section droite (S). Le point G dpend de labscisse curviligne s ;

La poutre est telle que les deux dimensions caractrisant (S) sont petites devant la troisime qui est la longueur. Sa section (S) peut varier lentement. Dans ce dernier cas, on dit que la poutre est inertie variable.

Si (G) est gauche alors la poutre est dite gauche ; si (G) est droite, la poutre est droite.

G

y

b h 10b et h/L 1/5 le rayon de courbure doit tre grand devant b et h

S(0)

G(s)

y

x

z

G(o)

x

z

S(s)

O X

Z

Y

h

b


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IV.2. Hypothses

IV.2.1. Hypothse sur le matriau

1. Continuit : Le milieu est continu, il ny a pas de vide ni daccident dans la matire ; 2. Homognit : Tout volume lmentaire est semblable son voisin. Lhomognit peut dpendre de lchelle dobservation. 3. Isotropie : En tout point et toute direction, le matriau a les mmes proprits mcaniques.

On reste dans le domaine de comportement lastique du matriau, ceci permet dappliquer le principe de superposition : si les causes sadditionnent les effets sadditionnent aussi.

IV.2.2. Hypothses mcaniques

a) Les systmes tudis sont modliss :

Dcoupage de la structure en barres et nuds ; Dfinition des plans et axes de symtrie.

b) On ne peut pas remplacer un systme de forces par un systme mcaniquement quivalent.

c) On reste dans lhypothse des petits dplacements, cest dire que le domaine dtude (dintgration) est connu et correspond la configuration non dforme de la structure et des sections droites.

IV.2.3. Hypothses sur le comportement des sections.

a) Principe de Navier Bernoulli : les hypothses de Navier donnent une dfinition rigidifiante du dplacement des points dune section droite. Le champ des dplacements est donc un champ de dplacements solide.

Hypothse simple : Les sections droites qui sont planes avant dformation restent planes aprs dformation.

Hypothse gnralise : Deux sections droites SS infiniment voisines qui se gauchissent restent superposables par simple dplacement aprs dformation de la poutre.


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b) Dplacement solide dun point dans lespace :

Soit R(O, X, Y, Z) un repre orthonorm, soit un point M et un point M son image dans le dplacement, la position de Mest dfinie par :

( ) OM T MM' M u +== Wr

avec

C

B

A

Tr

(vecteur translation) et

c

b

a

Wr

(vecteur

rotation)

on a :

( )( )

( ) bX aYaZ cX

cY bZ

C

B

A

Mu

Mu

Mu

Z

Y

X

-

-

-

+=

si on se place dans le repre local R (G, y, z) le vecteur translation dfinit le dplacement du point G et les coordonnes du vecteur dplacement deviennent pour M (0, y, z) :

( )( )

( ) ayaz

cy bz

C

B

A

Mu

Mu

Mu

z

y

x

-

-

+=

Nous travaillons dans le plan moyen de la poutre (Gxy), les dplacements qui nous intressent concernent les directions Gx et Gy. On travaille donc sur les projections suivantes :

ux(M) = A + bz + cy

uy(M) = B az

IV.3. Expression des sollicitations internes

IV.3.1. Introduction

Nous avons pu, laide du PFS, dterminer la rsultante et le moment en nimporte quel point du torseur des actions extrieures au solide (efforts de liaison compris).

Noublions pas que notre objectif est de rechercher lexpression des efforts internes dvelopps au sein matriau. Nous allons donc rechercher lexpression du torseur des efforts internes, plus particulirement ses lments de rduction en G.


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IV.3.2. Analyse de lquilibre dun tronon de poutre.

a) Remarque

Pour voir ce qui se passe au sein du matriau, nous allons effectuer une coupure fictive au niveau dune section S(x) dune poutre droite. La coupure se fait une abscisse x quelconque dans le repre local li la poutre.

b) Systme tudi

Soit une poutre droite soumise laction dun chargement modlis par { }extF , et un plan de coupe fictif (P) :

On distingue :

deux solides : le tronon de gauche et le tronon de droite deux chargements : { } { } gauche ext droite ext F et F

C1

p1 F4

F3 F1

y

G(x)

y

x

z G(L)

z

y

G(0) x

z

x F2

F5

tronon de droite

O X

Z

Y

tronon de gauche

S(x)

S(0)

S(L)


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IV.3.3. Etude de lquilibre du tronon de poutre gauche de S(x)

Soit le repre global R (0, X, Y, Z) et le repre local R (G(x), x, y, z).

a) Bilan des efforts

Le tronon est soumis un chargement modlis par le torseur { } gauche extF et laction du tronon de droite est modlise par le torseur { }gauchedroiteF .

La coupure tant virtuelle, { }gauchedroiteF est un torseur defforts internes, et reprsente les actions de cohsion de la partie gauche sur la partie droites au niveau de S(x) ; leur rpartition est encore priori inconnue.

Le bilan se fait en terme de rsultantes : )F(R gauchedroite G et )F(M gauchedroite G .

b) Application du PFS au tronon de gauche

{ } { } { }0 F F gauchedroite gauche ext =+

Soit en crivant lgalit des lments de rduction en G(x) :

00rr

rr

rr

)(FM )F(R

)(F M )F(R

gauchedroite G

gauchedroiteG

gaucheextG

gaucheextG =+

Remarque : Nous venons de relier, grce aux deux quations vectorielles prcdentes, efforts internes et efforts extrieurs.

)F(R gauchedroite G

)F(M gauchedroite G

p1

F1 y

x

z

y

G(0)

x

z

x

F2

O

X

Z

Y

G(x)


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IV.3.4. Sollicitations internes

On pose : k (x)V j (x)V i N(x) (x)V i N(x) )F(R zygauchedroite G

rvrrrr++=+=

j )x(Mf k )x(Mf i )x(T )x(fM i )x(T )F ( M zygauchedroite Grrrrrr

++=+=

)x(S de plan tranchant effort )x( V

)x( V

normal effort )x(N

)F(R

z

ygauchedroite G

r

)x( de plan tflchissan moment )x(Mf

)x(Mf

torsion de moment )x(T

)F ( M

z

ygauchedroite G S

r

IV.3.5. Sollicitations simples

Dfinition : si les lments de rduction en G(x) du torseur des sollicitations internes ne fait apparatre quun seul des lments N(x), Vy(x), Mfz(x), etcLa sollicitation est dite simple.

0 0 0

M

0 0

)x(N R

G

G

0 0 0

M

0

(x)V 0

Rou (x)V

0 0

R

(x)V

ou (x)V 0

R

G

yG

z

G

z

yG

Compression traction simple Cisaillement pur

(x) Mf0 0

Mou 0

(x)fM 0

Mou

(x) Mf

(x)fM 0

M

0 0 0

R

z

GyG

z

yG

G

(x) Mf

(x)fM 0

M

(x)V

(x)V 0

R

z

yG

z

yG

Flexion pure dvie ou droite Flexion dvie


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(x) Mf

(x)fM 0

M

(x)V

(x)V N(x)

R

z

yG

z

y

Flexion compose

IV.3.6. Sollicitations dans le plan

Pour les poutres planes charges dans leur plan de symtrie on a :

0 0 0

M

0 0

)x(N R

G

0

0 0

M

0

(x)V 0

R

G

y

Compression traction simple Cisaillement pur

(x) Mf

0

0

M

0

(x)V 0

R

z

G

y

(x) Mf

0 0

M

0

(x)V (x)N

R

z

G

y

Flexion simple Flexion compose

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