Statique hélicoptère 1/3

STATIQUE ANALYTIQUE

1 – MISE EN SITUATION

L’hélicoptère proposé évolue horizontalement à vitesse constante suivant l’axe (O, x) ; l’axe (O, z)

est vertical. La résultante →F et le moment résultant

→M modélisent les actions exercées par l’air sur les

pales du rotor principal. La résultante →QF et le moment résultant QM

→ modélisent les actions exercées

sur le rotor anti-couple, →R représente la résistance de l’air sur l’ensemble de l’appareil et

→P le poids

total de l’hélicoptère.

2 – ANALYSE STATIQUE (méthode analytique) Objectif de votre étude

Déterminer la norme des résultantes →R (résistance de l’air),

→Q (action du rotor anti couple) et

→F (action

de l’air sur le rotor). 2.1 - Effectuer le bilan des actions mécaniques agissant sur l’hélicoptère ?

2.2 - Appliquer le Principe Fondamental de la Statique à l’hélicoptère ?

2.3 - Ecrire le théorème de la résultante appliqué à l’équilibre d l’hélicoptère ?

2.4 - Ecrire le théorème du moment résultant appliqué à l’équilibre d l’hélicoptère ?

2.5 - Ecrire les équations issues des théorèmes de la résultante et du moment résultant ?

2.6 - Résoudre les équations et déterminer les résultantes (forces) →R ,

→Q et

→F ?

Données : →P = 30000 N

→M = 400 Nm

QM→

= 30 Nm

Statique hélicoptère 2/3

CORRIGÉ STATIQUE ANALYTIQUE HÉLICOPTÈRE

2.1 – Bilan des actions mécaniques

Isolons l’ensemble de l’hélicoptère : celui-ci est soumis à l’action de 4 actions mécaniques extérieures.

Hélicoptère

Pesanteur Résistance

de l’air

Lame fixe 3

Action sur rotor

principal

Action sur rotor de queue

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { })z,y,x,(

Q

B)z,y,x,(

MQ

B

TT

)z,y,x,(F

F

F

A)z,y,x,(MF

F

F

A

TT

)z,y,x,(

R

C

TT

)z,y,x,(G)z,y,x,(PG

TT

YQYYcoupleantirotorair

Z

Y

X

ZZ

Y

X

principalrotorair

x

hélicoair

z

hélicopesanteur

000

30

00

000

00

0400

0

0

0

0

0

000

00

0

0030000

00

00

00

00

00

4

3

2

1

−=

==

=

==

==

−=

==

−→

→

→

→

2.2 – Application du Principe Fondamental de la Sta tique

On écrit le Principe Fondamental de la Statique appliqué à l’hélicoptère.

{ } { } { } { } 0=+++ −→→→→ coupleantirotorairprincipalrotorairhélicoairhélicopesanteur TTTT

nota : pour que cette somme de torseurs soit mathématiquement correcte, il faut que chaque torseur soit définit au même point. On choisira le point A car celui-ci est le point de définition du torseur qui possède le plus d’inconnues : { }principalrotorairT → .

Ecriture vectorielle de la somme des torseurs au po int A

=

∧++

+

∧++

∧+→

→

→→→

→

→

→

→→→

→

→→→

→

0

0

00 QABM

Q

M

F

ARAC

R

PAG

P

QAAA

Statique hélicoptère 3/3

Ecriture des 3 produits vectoriels issus du transport des torseurs au point A :

Y

YX

X

Q

Q,

Q

,

R,

R

,,

,

QABMRACPAG

24

30

0

0

0

0

0

24

0

30

0

0

51

0

0

0

51

0

3

0

6000

0

30000

0

51

0

20

−−=∧

−+−−=∧

−−=

−∧

−

−

∧+∧∧→→→→→→→

Ecriture de la somme algébrique des 4 torseurs écrits au point A :

00

00

00

240

30

00

400

0

0

00

510

0

030000

60000

00

=−

−++−+−

−

YAZ

X

A

X

X

AAQ,

YQ

F

YF

F

R,

R

2.3 – Ecriture des équations issues du PFS les six équations algébriques issues du PFS sont :

(1) : R X + F X = 0

(2) : F Y + Q Y = 0

(3) : -30000 + F Z = 0 (4) : 0 = 0 (5) : -6000 - 1,5 R X - 30 = 0

(6) : 400 – 4,2 Q Y = 0

2.4 – Détermination des inconnues (5): 4020

51

6030 −=−=,

R X

(1): 4020=−= XX RF (3) : 30000=ZF

(6): 9524

400 ==,

Q Y

(2) : 9530000 −==−= YY QF

NR 4020=→

NQ 95=→

( ) ( ) === ++++→

2 2222 30000954020222 ZYX FFFF 30268 N