Stfl_exo

5/11/2018 Stfl_exo - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/stflexo 1/4

Exercices de statique des fluides

I 53 .

DS : exercices de statique des fluides, page 1

m

t et de hauteur et d’une

bo

rtaine hauteur de la

tig densité sur les aduations de la tige.

1) Une éprouvette cylindrique de section S est graduée régulièrement en

volume ; elle contient du mercure de masse volumique µm = 13 600 kg.m–3 et de

l'eau de masse volumique µe = 1000 kg.m–3. On y introduit un objet de forme

cylindrique de hauteur h = 10 cm et de section s qui vient flotter, axe vertical, à la

surface de séparation des deux liquides. Le niveau (défini par rapport à lagraduation) du mercure s'est élevé de v1 = 80 cm3 et celui de l'eau (défini aussi par

rappor tà la graduation) de v2 = 240 cm3. Déterminer la masse volumique µ de ce

solide.

2) Le même solide est en équilibre dans un vase beaucoup plus large contenant les mêmes liquides, si bien que leniveau de ces liquides n'est pratiquement pas affecté par l'introduction du solide. L’axe du solide reste vertical. On

enfonce alors légèrement le solide. Calculer la période des oscillations lorsqu'il est abandonné à lui-même en négligeant

le mouvement des liquides.

3) Si l’on tient compte du mouvement des liquides, comment celui-ci affecte-t-elle qualitativement la période

d’oscillation ?

II 59 .La pression partielle du dioxygène dans l’air sous p0 = 1 bar à T0 = 300 K est p(O2) = 0,21 bar. Quelle est sa

concentration en mol/L ?1 bar = 105 Pa ; R = 8,314 J.mol–1.K–1.

III 30 . Baromètre d’Huyghens.Masse volumique du mercure : ρ = 13600 kg.m–3 ; de la glycérine : µ = 1050 kg.m–3.

L’appareil est constitué d’une cuve à mercure dont la surface, à l’air libre, mesure S =

50 cm2, dans laquelle plonge un tube contenant de bas en haut du mercure, de la

glycérine et le vide. La section de ce tube est S1 = 5 cm2 à l’interface entre le mercure et

la glycérine et S2 = 0,25 cm2 à l’interface entre la glycérine et le vide.

1) Exprimer la pression atmosphérique H en cm de mercure en fonction des abscisses

x, x1 et x2 des surfaces séparant l’air atmosphérique, le mercure, la glycérine et le vide.

x2

x1

x

mercure

glycérine

2) Exprimer la sensibilité de ce baromètre dx2 /dH, x2 étant l’abscisse de la surface

séparant la glycérine du vide. Quel est l’intérêt de ce baromètre ?

IV 40 . Densimètre.La densité d’un liquide ou d’un solide est le rapport de sa

asse volumique à celle µ de l’eau.

Un densimètre est constitué d’une tige cylindrique de sec ion s M h

ule lestée. L’ensemble a pour volume v et pour densité 0d .

Lorsque le densimètre est plongé dans un liquide de densité d , une ce h e émerge. On lit directement la gr

1) Exprimer d en fonction de ,h H s

= et 0d .v

n d a tig a

du so e et

somm

2) Dans quel intervalle doit se trouver d pour être mesurable ?

3) Comment peut-on agir pour augmenter la sensibilité sans changer 0d ?

4) La variatio e densité d ∆ entre deux traits consécutifs de la tige est la même tout le long de l e. Soit h ∆ l

distance entre deux traits consécutifs à la distance h mmet de la tig 0∆ la valeur de cette distance près duh

h

h M

et de la tige. Exprimerh ∆

0h ∆e vertical, quelle est la période de ses oscillations, en admettant que les lois de la statique des

i

V ,

, par ρ la masse volumique de l’eau et

pa

e la cloche esttel

en fonction de h et H . Où les traits sont-ils les plus serrés ?

5) Si le densimètre rest

flu des restent valables ?

18 . Cloche dans l’eau (d’après ENAC pilotes 2004).1) Une cloche cylindrique de masse m, dont l'épaisseur des parois est négligeable

est plongée verticalement dans une cuve remplie d'eau. On désigne respectivement

par S et H 0 la section et la hauteur du cylindre

h

H 0

S

air

air

eau

r p0 la pression atmosphérique extérieure.

La cloche s’enfonce dans le liquide en emprisonnant un volume d'air initial égal à

son volume intérieur (cf. figure ci-contre). La répartition de la masse dle que dans son état d'équilibre final elle flotte en restant verticale.




era que la pression de l'air (que l'on assimilera à un gaz parfait) à l'intérieur du récipient est uniforme.

périeure de la cloche permet d'évacuer une quantité d'air suffisante pour que la

clo

r l'eau et elle est remplie d'un liquide de masse volumique ρ0 >ut mettre dans la cloche avant qu'elle ne coule ?

VI 31. Montgo IT 2001).Pression au ni ; accélération de la pesa

de l’air

rt au niveau d

tenant de l’air ; on chauffe

ce

rge de la montg o pour masse totale

fo de la force de pression et comptée positivement vers leha onction de

eloppe étant ouverte, la pression est la même à l’intérieur et à

l’e la

force de pression sur la montgolfière est nulle.

6) Pourquoi un vol d’une montgolfière dure-t-il pl jour que la nuit pour la même quantité de gaz ?

ponses

)

La température est uniforme et constante partout. On négligera la masse volumique de l'air devant celle de l'eau et

l'on suppos

Exprimer la pression p1 de l'air emprisonné dans la cloche, son volume V 1 et la hauteur h de la partie immergée du

récipient.

2) Une vanne située dans la partie su

che s'enfonce jusqu'à ce que la base du cylindre affleure juste la surface de l'eau dans la cuve. Calculer la pression p2

et le volume V 2 de l'air dans la cloche.

3) La cloche vide est maintenant déposée à l'envers suρ. Quel est le volume maximal V M de liquide que l'on pe

lfière (d’après ENSAveau de la mer 5 nteur0 10 Pa 1barP = =

29,8m.s= ; masse molaire 128,9g.mol ; constante des gaz parfaits1 18,31J.mol .KR − −= .

g − M −=

1) On suppose la température 280KT = uniforme dans l’atmosphère. Exprimer l’altitude z par rappo e la mer pour laquelle la pression est P .

2) Une montgolfière comporte une enveloppe ouverte à sa base con

t air interne, de volume 33000V = , grâce à un brûleur à gaz, de sorte qu’il se trouve à la température i T T > .

L’enveloppe et la cha olfière nt

m

850kgm = .

Exprimer la rce ascensionnelle F , résultante du poids etut, en f , , , , , ,i m M V g T T R et de P .

3) Calculer i T pour que la montgolfière décolle tout juste.

4) Si 380Ki T = , calculer la pression et l’altitude atteinte par la montgolfière.

5) Que pensez-vous de l’argumentation : l’env

xtérieur, chaque élément de surface de l’enveloppe subit deux forces de pression opposées sur ses deux faces, donc

us longtemps le

Ré

1 2 1 3

2

( )52I. 1 00 kg.mm e v v v

v −+ −

= =µ µ

µ ; 2) 2 0( )m e

h T

g = =

−µ

π

µ µ ,408s ; 3) période plus grande.

2II. 2( /Lc O .( )) 0,00842molp O RT

= =

III. 1) ( )1 2H x x x x µ

= − + −ρ 1 ; 2) 2

2 2 2

11

S S ⎟⎜+ + − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ρ

IV. 1)

1

17,8

dx

S S S dH

S

= =µ ⎛ ⎞

; ce baromètre est plus sensible.

0

1 /d

h H =

−; 2)

d 00

1 /M

d d h H

< <−

; 3) en diminu longeant la tige, ou en

augment

d ant la section, en al

ant le volume de la boule terminale et la masse de lest ; 4) ( )2

01

h h

h H

∆= −

∆; graduations s plus serrées en

ba 02Hd

s ; 5) T gd

= π .

V. 1) 1 0mg p pS

= + ;20 0

10

p H S V p S mg

=+

; 0

0

mgH m h p S mg S

= ++ ρ

; 2) 2 0mg p pS

= + ; 2m V =ρ

; 3)

0

0M

H S m V

ρ −=

ρ.

VI. 1)0

lnRT P

z Mg P

= − ; 2)1 1

i

MPV F m g

R T T

⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − −⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎝ ⎠ ⎠; 3)

1363K

1 mR

T MPV −

i T = = ; 4)

86685Pa1 1

i

mRP

MV T T

= =⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

; 0ln 1170mRT P

z Mg P

= = ; 5) et 6) voir corrigé.

P, V, Ti

P,T



Corrigé

I.1) D’après l’énoncé, le volume de la partie immergée dans le mercure est v1 = 80 cm3 et le volume total est v2 = 240

cm3. Le poids équilibrant la poussée d’Archimède, la masse du corps est égale à celle des liquides déplacés,

soit : 1 2 12 1 2 1

2

( ) 13600 80 1000 (240 80)( ) 5200 kg.m

240m e

m e

v v v v v v v

v

µ µµ µ µ µ

−+ − × + × −= + − ⇒ = = = 3

2) Si le solide s’élève de x, sa poussée d’Archimède varie de ( , donc qui est

l’équation d’un oscillateur harmonique pour lequel :

)e m sxg µ µ− ( )e m mx sxg µ µ= −

( ) ( ) 5200 0,1; 2 2 0,408

( ) (13600 1000) 9,8m e m e

m e

sg g h T T

m h g

µ µ µ µ µω ω π π

µ µ µ

− − ×= = = =

− − ×s=

3) La période est augmentée si l’on tient compte de ce que la masse effective qui se déplace est supérieure parce

qu’elle inclut aussi celle des liquides proches du corps.

II.5

2 2 32 2 2

( ) ( ) 0,21.10( ) ( ) ( ) 8, 42mol.m 0,00842mol/L

8,314 300

n O p O p O V n O RT c O

V RT −= ⇒ = = = = =

×

III.1) Quand on se déplace dans un fluide au repos, la pression varie selon dp , d’où

.

gdz = −µ

( ) (1 2atm p g x x g x x = ρ − + µ − )1

H D’autre part, , d’oùatm p g = ρ ( )1 2H x x x x µ

= − + −ρ 1 .

2) La conservation des volumes de mercure et de glycérine s’écrit et , d’où :1 1 0Sdx S dx + = 2 2 1 1 0S dx S dx − =

( )

2 2 2

2 1 1

2

2 2 2

1 1

1

1 17,8

0, 25 0, 25 1050 0, 2511

5 50 13600 5

dH S S S

dx S S S

dx

S S S dH

S S S

µ ⎛ ⎞⎟⎜= + + − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ρ

= =µ ⎛ ⎞⎟⎜ + + −+ + − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ρ

=

Ce baromètre est huit fois plus sensible qu’un baromètre à mercure classique, pour lequel 2 1dx dH .

IV.1) La masse du densimètre est ; quand le densimètre flotte, elle est égale à celle de l’eau déplacée :

. D’où

0m d v = µ

(m d v hs = µ − ) 0

1 /

d d

h H =

−.

2) d est mesurable si , soit0 M h h < <0

0 1 /M

d d d

h H < <

−.

3) Pour augmenter la sensibilité, il faut augmenter . Cela peut se faire :/H v s =

• soit en diminuant la section, ce qui rend le densimètre fragile ;

• soit en allongeant la tige, ce qui rend le densimètre plus encombrant ;

• soit en augmentant le volume de la boule terminale et la masse de lest qu’elle contient, de façon à ne pas changer; cette solution est la meilleure.0d

4)( )

( ) ( )2 2

002

0 0 0

11 1

1 /

dd d H d h H d h h h h

dh H d H d h H h H

∆ ∆ ∆= ⇒ ∆ = − ∆ = = −

∆−.

Les graduations sont donc plus serrées en bas du densimètre.

5) Si le densimètre monte de x , la poussée d’Archimède diminue de , d’où :sxg µ

020

0 00 2

dg gd Hd d vx d sxg x x + = T

d H Hd gd µ = − µ ⇒ ω = = π .

V. Cloche à air.1) La cloche est en équilibre si la somme des forces qui lui sont appliquées est nulle, soit

0 1 1 0

mg

mg p S p S p p S + = ⇒ = + .




Comme la transformation est isotherme, elle obéit à2

0 01 1 0 0 1

0

p H S PV cste p V p H S V

p S mg = = ⇒ =

+.

D’après la loi fondamentale de la statique des fluidesdp

g dz

= −ρ ,

( ) 1 0 0 0 01 0 0

0 0

p p p H S mg mgH m p p g h H h H H h

g p S mg S g p S mg S

−= + ρ − = + = − + = +

ρ + ρ + ρ.

2) L’équilibre de la cloche implique 2 0 2 0mg p S mg p S p pS

= + ⇒ = + .

D’après la loi fondamentale de la statique des fluides 22 0 2

V m p p g V

S = + ρ ⇒ =

ρ.

On peut aussi appliquer le théorème d’Archimède à l’ensemble de la cloche et de l’air qu’elle contient.

3) L’équilibre de la cloche a lieu si la masse de la cloche et du liquide situé dedans est égale à la masse de l’eau

déplacée, soit 00 0

0M M

H S m m V H S V

ρ −+ ρ = ρ ⇒ =

ρ.

VI. Montgolfière.

1) La masse volumique µ de l’air se déduit de l’équation des gaz parfaits :m m

PV RT M V

= ⇒ µ = =MP

RT .

0 0ln

P

P

dP MP dP Mg RT dP RT P g g dz z

dz RT P RT Mg P Mg P = −µ = − = − − = = −∫

2) La masse d’air dans la montgolfière est i i

MPV m

RT = ; elle déplace la masse d’air d

MPV m

RT = . D’où

( )1 1

i d i

MPV F m m m g F m

R T T

⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= − − + = = − −⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎝ ⎠ ⎠g

3)

5

1 10 363K

1 850 8, 311

280 0,0289 10 3000

i F T mR

T MPV

= = = =×

−−× ×

4) ( )850 8,31

0 86685Pa1 11 1 0, 0289 3000280 380i

mR

F P MV T T

×

= = = =⎛ ⎞⎟⎜ × × −− ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠;

0 8,31 280 100000ln ln 1170m

0,0289 9,8 86685

RT P z

Mg P

×= = =

×

5) La pression est la même à l’intérieur et à l’extérieur au niveau de l’ouverture, mais elle varie plus lentement avec

l’altitude à l’intérieur de la montgolfière qu’à l’extérieur, car la masse volumique de l’air interne est plus faible ; aussi,

la pression est un peu plus grande dans la montgolfière qu’à l’extérieur.

6) Le Soleil chauffe la montgolfière le jour, mais pas la nuit ; aussi la consommation de gaz est plus faible le jour.


Documents

Stfl_exo