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Chapitre 5
Suites réelles
Sommaire
5.1 Variations d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Suites majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Suites monotones et applications à la convergence . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4.1 Borne inférieure, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4.2 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4.3 Application : les suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.4 Applications aux nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 Suites divergentes vers l'in�ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5.1 Limite in�nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5.2 Opérations avec les limites in�nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5.3 Composition par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5.4 Lever une forme indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5.5 Encore quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Ce chapitre regroupe toutes les dé�nitions et propriétés que vous devez connaître sur les suites réelles.Il sera également l'occasion de rappeler les techniques classiques étudiées en terminale pour étudier lanature des suites, et de les compléter.
39
CHAPITRE 5. SUITES RÉELLES
5.1 Variations d’une suite
La première chose intéressante lorsqu'on étudie une suite est de regarder ses variations.
Une suite réelle (un)n∈N est dite
1. croissante lorsque pour tout entier n, on a un+1 ≥ un.2. décroissante lorsque pour tout entier n, on a un+1 ≤ un.3. monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante.
4. constante lorsque pour tout entier n, un+1 = un.
5. strictement croissante lorsque pour tout entier n, on a un+1 > un.
6. strictement décroissante lorsque pour tout entier n, on a un+1 < un.
7. strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
8. constante lorsqu'il existe c ∈ R tel que pour tout entier n, un = c.
9. stationnaire lorsqu'il existe c ∈ R et n0 ∈ N tels que pour tout entier n ≥ n0, un = c.
Dé�nition 5.1 (Variations d'une suite)
�Une suite peut être :• ni croissante, ni décroissante, comme par exemple la suite de terme gé-néral un = (−1)n.• à la fois croissante et décroissante, dans ce cas, elle est constante.
Remarque 5.1
40 Cours ECS1
5.1. VARIATIONS D'UNE SUITE
Plusieurs méthodes sont à votre disposition. Il faut apprendre à intuiter la meilleure selon lesexercices.
• Etudier le signe de un+1 − un .
Cette méthode est la plus courante. Elle fonctionne très bien lorsque la suite est unesomme de plusieurs termes.
Exemple 5.1.Soit (un) la suite dé�nie, pour tout n ∈ N, par un = n2 − n. Etudier ses variations.
• Comparerun+1
unà 1.
Cette méthode n'est à appliquer seulement lorsque un > 0, pour tout n ∈ N.Elle fonctionne bien lorsque le terme générale de la suite est un produit ou un quotientcar elle conduit à des simpli�cations.
Exemple 5.2.Soit (un) la suite dé�nie, pour tout n ∈ N∗, par un = 2n
n . Etudier les variations de cettesuite.
• Lorsque la suite est dé�nie de manière explicite, c'est à dire que un = f(n) avecf : [0,+∞[7→ R, on peut appliquer la propriété suivante :
Si la fonction f est monotone, alors la suite (un)n est également monotone et a lemême sens de variation que f .
Propriété 5.1
Exemple 5.3. Etudier les variations de la suite (un)n dont le terme général est dé�nipar un =
√n− 2.
Méthode 5.1 (Etudier les variations d'une suite)
Ces techniques sont celles que vous allez utiliser le plus souvent, mais la liste n'est évidementpas exhaustive. Vous pourrez découvrir d'autres techniques dans les exercices du TD5.
Remarque 5.2
Exercice 5.1. Etudier les variations de la suite dans chacun des cas suivants :
1) ∀n ∈ N, un = n+3n+1 .
2) ∀n ∈ N, un =
n∑k=0
1
2k− n.
3) ∀n ≥ 1, un = nn
n! .
https://tatianaaudeval.wordpress.com/ 41
CHAPITRE 5. SUITES RÉELLES
On dit qu'une suite véri�e une propriété P, à partir d'un certain rang lorsqu'il existe un entiern0 tel que la propriété P soit vraie pour tous les termes un véri�ant n ≥ n0.
Dé�nition 5.2 (APCR)
Il est courant qu'une suite soit monotone seulement à partir d'un certain rang. En pratique,cette propriété nous su�t, parce que nous nous intéressons au comportement de la suite à
l'in�ni (c'est à dire pour n grand).
Remarque 5.3
5.2 Suites majorées, minorées, bornées
Il est ensuite souvent très utile de savoir dans quel intervalle �uctuent les termes de la suite.
Une suite (un)n∈N est dite
1. minorée si ∃m ∈ R, ∀n ∈ N, m ≤ un (on dit que m est un minorant de la suite).
2. majorée si ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un ≤M (on dit que M est un majorant de la suite).
3. bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Cela équivaut à dire qu'il existe un réelM tel que pour tout entier n ∈ N, |un| < M .
Dé�nition 5.3
Exemple 5.4. • La suite (un)n∈N dé�nie par un = (−1)n est majorée par 1, minorée par -1 etbornée par 1.
• La suite (un)n∈N dé�nie par un = n2 est-elle majorée ? Minorée ?
Une suite majorée admet une in�nité de majorants ; une suite minorée admet une in�nité deminorants.
Remarque 5.4
Il n'y a pas de méthode type, cela dépend vraiment de la forme de la suite. On peut cependantciter quelques méthodes à essayer :
� Etudier les bornes de la fonction f si (un) est dé�nie explicitement.� Démontrer l'inégalité par récurrence (surtout si on nous donne les bornes).� Travailler par raisonnement direct en écrivant une suite d'inégalités le plus �nes pos-sibles.
Méthode 5.2 (Trouver des bornes à une suite)
42 Cours ECS1
5.3. SUITES CONVERGENTES
Exercice 5.2. 1) Trouver un majorant et un minorant de la suite dé�nie par ∀n ∈ N, un = nn2+n+1 .
2) On dé�nie la suite (un)n par u0 = 0 et ∀n ≥ 0, un+1 =√un + 6. Montrer que ∀n ∈ N, un ∈ [0, 3].
3) En montrant que 1k2 ≤
1k−1 −
1k pour tout k ≥ 2, donner un majorant et un minorant de la suite
de terme général un =
n∑k=1
1
k2, n ≥ 1.
Lorsqu'une suite est bornée à partir d'un certain rang, elle est bornée. En e�et, il n'y a qu'unnombre �ni de terme avant un0
. En revanche, si on �xe la borne, la propriété peut être vraie àpartir d'un certain rang. Par exemple, la suite u =
(3n
)n∈N∗ est dans l'intervalle ]0, 1[ à partir
du rang 4.
Remarque 5.5
5.3 Suites convergentes
Mais ce qui intéresse le plus le mathématicien, c'est de connaître le comportement d'une suite lorsque ndevient grand.
5.3.1 Dé�nition
On appelle intervalle ouvert de R, tout intervalle de la forme ]a, b[ avec a ∈ R ∪ {−∞} etb ∈ R ∪ {+∞}.
Dé�nition 5.4 (Intervalle ouvert de R)
On dit qu'une suite (un) converge (ou admet une limite �nie) lorsqu'il existe un réel l tel quetout intervalle ouvert I contenant l contient tous les termes de la suite sauf un nombre �nid'entre eux.
Dé�nition 5.5 (Suite convergente)
La dé�nition précédente est celle qui est dans le programme o�ciel. Il existe deux dé�nitionséquivalentes, qui sont souvent utilisées.
Remarque 5.6
On dit qu'une suite (un) converge (ou admet une limite �nie) lorsqu'il existe un réel l tel que :• pour tout intervalle ouvert I contenant l, on a un ∈ I à partir d'un certain rang.• pour tout ε > 0, il existe un rang n0 ∈ N à partir duquel |un − l| ≤ ε :
∃` ∈ R, ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N t.q ∀n ≥ n0, |un − l| ≤ ε.
Dé�nition 5.6 (Suite convergente BIS)
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CHAPITRE 5. SUITES RÉELLES
� La preuve de l'équivalence des trois dé�nitions est admise, en revanche, on retiendra(comme nous l'avons déjà démontré en exercice) que
|un − l| ≤ ε⇔ un ∈ [l − ε; l + ε].
� La dernière dé�nition reste vraie si on remplace ≤ par <.
Remarque 5.7
Si une suite ne converge pas, on dit qu'elle diverge. On verra par la suite que ce terme contientplusieurs comportements à l'in�ni.
Lorsqu'on demande d'étudier la nature d'une suite, cela signi�e qu'il faut déterminer si elleconverge ou si elle diverge.
Dé�nition 5.7 (Divergence)
Exercice 5.3. Soit (vn) une suite réelle telle que√nvn converge vers 1. Montrer qu'il existe un n0 ∈ N
tel que :
∀n ≥ n0,1
2√n≤ vn ≤
3
2√n.
Exercice 5.4. Montrer que la suite (un)n dé�nie par ∀n ∈ N, un = an avec a ∈]0, 1[ converge vers 0.
Exercice 5.5. Montrer que la suite (un)n dé�nie par ∀n ∈ N, un = n diverge.
Si une suite réelle admet deux réels l et l′ pour limite, alors l = l′.
On note alors limn→+∞
un = l ou un −→n 7→+∞
l et on dit que l est la limite de la suite.
Théorème 5.1 (Unicité de la limite)
5.3.2 Propriétés
Les propriétés suivantes permettent de manipuler correctement les suites convergentes.
Soient (un)n∈N une suite réelle et l un réel. On a alors :
un −→n 7→+∞
l⇔ un − l −→n 7→+∞
0⇔ |un − l| −→n 7→+∞
0.
En particulier, lorsque l = 0, on a :
un −→n7→+∞
0⇔ |un| −→n 7→+∞
0.
Propriété 5.2
44 Cours ECS1
5.3. SUITES CONVERGENTES
Exemple 5.5 (Exemple classique). Soit a ∈] − 1, 1[. On a |an| = |a|n. Comme |a| ∈ [0, 1[, on sait que|a|n −→
n 7→+∞0. Donc an −→
n 7→+∞0
Une suite convergente est bornée.
Propriété 5.3 (Bornée)
La preuve de cette proposition est une excellente illustration de ce que nous avions souligné àla Remarque 3.
Remarque 5.8
Exercice 5.6. Montrer qu'une suite de nombres entiers relatifs convergente est stationnaire.
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites convergentes de limites respectives l et l′. Alors
1. La suite (un + vn)n∈N est convergente de limite l + l′
2. Pour tout réel λ, la suite (λun)n∈N est convergente de limite λ× lce qui peut s'écrire lim
n→∞(λun) = λ lim
n→∞un
3. La suite (unvn)n∈N est convergente de limite l × l′
4. Si tous les termes vn sont non nuls à partir d'un certaine rang n0 et l′ 6= 0, alors la suite(unvn
)n≥n0
, dé�nie pour n ≥ n0, est convergente de limitel
l′
Théorème 5.2 (Operations sur les limites)
Exercice 5.7. Etudier la nature de la suite de terme général un =1n+2
4n2 +5+2e
1n.
Soient (un) et (vn) deux suites réelles. On suppose que :1) Les deux suites sont convergentes.2) A partir d'un certain rang, un ≤ vn
Alors, limn→∞
un ≤ limn→∞
vn.
Théorème 5.3 (Passage à la limite dans les inégalités)
�Attention, si on a une égalité stricte dans l'hypothèse 2), la conclusion conserveune inégalité large. On dit que le passage à la limite transforme les inégalitéstrictes en inégalités larges. Par exemple, ∀n > 0, 1
n > 0 mais limn→∞
1n = 0 !
Remarque 5.9
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CHAPITRE 5. SUITES RÉELLES
�Pour utiliser ce théorème il faut avoir montré que la suite (un) était conver-gente !
Remarque 5.10
Exercice 5.8. On considère une suite (un)n convergente telle que ∀n ∈ N, un ∈]a, b[. Que peut-on diresur sa limite ?
Soient (un) , (vn) et (wn) trois suites telles que :
1. (un) et (wn) convergent vers une même limite l .
2. A partir d'un certain rang, un 6 vn 6 wn.
Alors (vn) converge aussi vers l .
Théorème 5.4 (Théorème d'encadrement)
Si on veut montrer qu'une suite (vn)n converge vers 0 en travaillant avec sa valeur absolue, onpeut utiliser ce théorème en ne travaillant que sur (wn)n car une suite (vn)n toute trouvée estla suite nulle !
Remarque 5.11
Exercice 5.9. Etudier la limite de la suite (un) dé�nie, pour tout entier par : un =3n+ 5× (−1)n
2n.
�Contrairement au Théorème 3, le Théorème 4 ne nécessite pas de montrerd'abord que la suite (un)n converge. C'est la conclusion du théorème qui permetde l'a�rmer.
Remarque 5.12
Exercice 5.10. Soit (un)n une suite convergeant vers l et telle qu'il existe a ∈ [0, 1[ tel que pour toutentier naturel k, |uk − l| ≤ ak.
Montrer que la suite de terme général vn = 1n
n∑k=1
uk (n ∈ N∗) converge également vers l.
5.4 Suites monotones et applications à la convergence
Il existe un lien fort entre la monotonie et la convergence d'une suite, comme nous allons le voir. Celapeut conduire à de beaux résultats comme on le verra en dernière partie.
5.4.1 Borne inférieure, borne supérieure
Commençons par introduire quelques outils.
46 Cours ECS1
5.4. SUITES MONOTONES ET APPLICATIONS À LA CONVERGENCE
Soit A une partie de R. On dit que M ∈ R est une borne supérieure de A si :1) pour tout x ∈ A, x ≤M .2) si M ′ est un majorant de A, alors M ≤M ′.
Dé�nition 5.8 (Borne supérieure d'une partie de R)
La borne supérieure est le plus petit majorant d'un ensemble.
Remarque 5.13
Soit A une partie de R. On dit que m ∈ R est une borne inférieure de A si :1) pour tout x ∈ A, m ≤ x.2) si m′ est un minorant de A, alors m′ ≤ m.
Dé�nition 5.9 (Borne inférieure d'une partie de R)
La borne inférieure est le plus grand minorant d'un ensemble.
Remarque 5.14
Si une partie A non vide de R admet une borne supérieure (respectivement inférieure), alorscelle-ci est unique. On la note Sup(A) ou Inf(A).
Propriété 5.4 (Unicité de la borne supérieure)
Exercice 5.11. Les ensembles suivants admettent-ils une borne supérieure ? Une borne inférieure ? Sioui, les déterminer.
N, [−1; 3[, [0, 1] ∩Q,{
(−1)n +1
n2, n ∈ N∗
}.
Par dé�nition, Toute partie de R admettant une borne supérieure et une borne inférieure est donc bornée.Qu'en est-il de la réciproque ?
Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) admet une borne supérieure (resp. inférieure).
Théorème 5.5 (Propriété de la borne sup (admise))
5.4.2 Suites monotones
Le théorème suivant est très important.
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CHAPITRE 5. SUITES RÉELLES
1. Toute suite croissante et majorée est convergente vers une limite l ∈ R véri�ant ∀n ∈ N,un ≤ l.
2. Toute suite décroissante et minorée est convergente vers une limite l ∈ R véri�ant∀n ∈ N, un ≥ l.
Théorème 5.6 (Théorème de la limite monotone)
�Ce théorème ne donne pas la limite de la suite. Si (un) est croissanteet ∀n > 0, un 6 5. Alors il est est faux de dire et d'écrire : (un) convergevers 5. On sait seulement que (un) est convergente vers une limite l telle que
l 6 5. Par exemple, la suite (un)n∈N∗ dé�nie par un = 2 − 1
nest croissante et
majorée par 5 mais sa limite est 2.
Exercice 5.12. 1. Donner un exemple de suite croissante qui diverge, et de suite majorée qui di-verge.
2. Montrer que la suite de terme général un =
n∑k=0
1
(k + 1)2, (n ∈ N) converge. On pourra pour cela
considérer la suite de terme général vn =
n∑k=1
1
k(k + 1), (n ≥ 1).
5.4.3 Application : les suites adjacentes
Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si :
1. (un) est croissante,
2. (vn) est décroissante,
3. limn→+∞
(vn − un) = 0
Dé�nition 5.10
Exemple 5.6. Les suites de termes généraux un = −1n et vn = 1
n2 sont adjacentes.
Si deux suites (un) et (vn) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
De plus, si on suppose que (un) est croissante et qu'on appelle l leur limite alors
∀n ∈ N, un ≤ l ≤ vn.
Théorème 5.7 (Convergence des suites adjacentes)
Exercice 5.13. Soient les suites u et v dé�nies pour n ≥ 1 par
un =
n∑p=1
1
p!, vn = un +
1
n!.
Montrer que ces deux suites sont adjacentes (leur limite commune est e, on le démontrera ultérieurement,on peut obtenir un joli encadrement de e avec ces deux suites).
48 Cours ECS1
5.5. SUITES DIVERGENTES VERS L'INFINI
5.4.4 Applications aux nombres réels
Soit x ∈ R. On appelle partie entière de x et on note bxc l'unique entier relatif tel que
bxc ≤ x < bxc+ 1.
Il s'agit du plus grand entier minorant x.
Dé�nition 5.11 (Partie entière d'un réel)
Exercice 5.14. Quelle est la partie entière de π ? Celle de −π ?
Exercice 5.15. Pour deux réels x et y, montrer que
bxc+ byc ≤ bx+ yc ≤ bxc+ byc+ 1.
Tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels. Autrement dit, pour tout x ∈ R,il existe une suite (un)n telle que ∀n ∈ N, un ∈ Q et lim
n→∞un = x.
Théorème 5.8 (Approximation d'un réel par une suite de rationnels)
Ce théorème, bien qu'hors programme, est crucial dans le monde des mathématiques. Il dit enfait que Q est dense dans R. Les mathématiciens utilisent beaucoup ce genre de propriétés parcequ'elles leur permettent de démontrer des théorèmes sur Q pour les étendre ensuite facilementsur R (moins manipulable que Q). Mais c'est ici la preuve qui nous intéresse car elle est unebelle illustration de la puissance des outils que nous avons développés dans cette partie.
Remarque 5.15
5.5 Suites divergentes vers l’infini
Si nous ne savons pas dire grand chose sur les suites n'ayant pas de limite, beaucoup de résultats sontconnus sur les suite ayant une limite in�nie.
5.5.1 Limite in�nie
On note R l'ensemble R ∪ {+∞}.
Notation 5.3 (Ensemble R)
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CHAPITRE 5. SUITES RÉELLES
A nouveau, trois dé�nitions équivalentes sont à connaître.On dit qu'une suite diverge vers +∞ lorsque :
i) tout intervalle ouvert du type ]A ; +∞[ avec A > 0 contient tous les termes de la suitesauf un nombre �ni.
ii) tout intervalle ouvert du type ]A ; +∞[ avec A > 0 contient tous les termes de la suiteà partir d'un certain rang.
iii) pour tout A > 0, il existe un rang N à partir duquel, un ≥ A :
∀A > 0, ∃N ∈ N t.q ∀n ≥ N, un ≥ A.
On note alors limn→+∞
un = +∞ ou un −→n 7→+∞
+∞.
La suite (un) diverge vers −∞ si la suite (−un) diverge vers +∞.
Dé�nition 5.12 (Divergence vers +∞ ou −∞)
Exemple 5.7. La suite (un) dé�nie par un = 3n− 5 est divergente vers +∞.
Exercice 5.16. Soit (un)n une suite réelle. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes.
i) (un)n tend vers +∞.ii) (u2n)n et (u2n+1)n tendent vers +∞.
Soit (un) une suite réelle et ` ∈ R∪ {+∞,−∞}. Les propositions suivantes sont équivalentes :i) (un)n tend vers `.ii) (u2n)n et (u2n+1)n tendent vers `.
Théorème 5.9 (Théorème des deux suites suites extraites)
Lorsqu'une suite (un)n converge vers un réel l et qu'à partir d'un certain rang, un > l (resp.un < l), on dit que (un)n tend vers l par valeurs supérieures (resp. inférieures) et on noteun −→
n 7→+∞l+ (resp. un −→
n 7→+∞l−).
Dé�nition 5.13 (Limite par valeurs inférieures ou supérieures)
Exemple 5.8. On a 1n −→n 7→+∞
0+ mais 2− 1n2 −→
n 7→+∞2−.
5.5.2 Opérations avec les limites in�nies
Lorsqu'on inclut l'in�ni dans les limites, il y a des complications : par exemple, que vaut 0×+∞ ? Nousallons résumer les règles de calculs sur les limites (�nies et in�nies) par des tableaux.La notation F.I. (pour forme indéterminée) signi�e qu'aucun théorème ne nous permet de conclure engénéral.
50 Cours ECS1
5.5. SUITES DIVERGENTES VERS L'INFINI
Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles admettant des limites dans R et λ un réel. On a alors :
Limite de (λun)n :
λ \ limu −∞ a ∈ R +∞λ < 0 +∞ λa −∞λ = 0 0 0 0λ > 0 −∞ λa +∞
Limite de (un + vn)n :
lim v \ limu −∞ a ∈ R +∞−∞ −∞ −∞ FIa ∈ R −∞ a+ b +∞+∞ FI +∞ +∞
Limite de (un.vn)n :
lim v \ limu −∞ a < 0 a = 0 a > 0 +∞−∞ +∞ +∞ FI −∞ −∞b < 0 +∞ ab 0 ab −∞b = 0 FI 0 0 0 FIb < 0 −∞ ab 0 ab +∞+∞ −∞ −∞ FI +∞ +∞
Limite de ( 1vn
)n (on suppose vn 6= 0 APCR) :
lim v −∞ 0− b ∈ R∗ 0+ +∞lim 1/v 0− −∞ 1/b +∞ 0+
Limite de (unvn )n (on suppose vn 6= 0 APCR) :
lim v \ limu −∞ a < 0 a = 0 a > 0 +∞−∞ FI 0+ 0 0− FIb < 0 +∞ a/b 0 a/b −∞0− +∞ ∞ FI −∞ −∞0+ −∞ −∞ FI +∞ +∞
B > 0 −∞ a/b 0 a/b +∞+∞ FI 0− 0 0+ FI
Théorème 5.10
Exercice 5.17. Etudier la limite des suites de termes généraux un = 16n7 et vn = n2+5n+1
5n2+8n .
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CHAPITRE 5. SUITES RÉELLES
5.5.3 Composition par une fonction
Soient a et b deux éléments de R. Soit I un intervalle contenant a ou admettant a pour borne.Soient f : I 7→ R et (un)n une suite réelle. Si
1) un −→n→+∞
a et APCR un ∈ I,2) f(x) −→
x→ab,
alors f(un) −→n→+∞
b.
Théorème 5.11 (Composition par une fonction)
Exercice 5.18. Déterminer les limites des suites de termes généraux un = exp(− 1n2
), vn = ln(n8 + 3)
et wn = sin(
12n
).
Soit q ∈ R. Le comportement de (qn)n est résumé dans le tableau suivant.
q ]−∞,−1] ]− 1, 1[ 1 ]1,+∞[qn pas de limite −→
n→+∞0 = 1 −→
n→+∞+∞
Propriété 5.5
5.5.4 Lever une forme indéterminée
Le but du mathématicien étant d'étudier la nature des suites avec lesquelles il travaille, il est très impor-tant de pouvoir "lever les formes indéterminées". Voici les cas où l'indétermination d'une limite est levéedirectement d'après le cours.
Pour tout réel a > 0 et pour tout réel b > 0, on a : limn→+∞
(ln(n))b
na= 0.
Pour tout réel a > 0 et pour tout réel q ∈]− 1, 1[, on a : limn→+∞
naqn = 0.
Pour tout réel a > 0 et pour tout réel q > 1, on a : limn→+∞
na
qn= 0.
Pour tout q > 1, limn→+∞
qn
n!= 0 et pour tout q ∈]0, 1[, lim
n→+∞n!qn = +∞.
Théorème 5.12 (Croissance comparée)
En résumé, soient a et b deux nombres réels. Soit q un réel strictement positif.
1. La suite (n!) l'emportent sur les suites (qn), (na) et(ln(n)b
).
2. Les suites (qn) l'emportent sur les suites (na) et(ln(n)b
).
3. Les suites (na) l'emportent sur les suites(ln(n)b
).
Cela signi�e que si on e�ectue un produit ou un quotient de deux de ces suites, la limiteest celle de la suite qui l'emporte.
Remarque 5.16 (Interprétation)
52 Cours ECS1
5.5. SUITES DIVERGENTES VERS L'INFINI
On rappelle, comme déjà vu dans le cours de Terminale, que l'exponentielle est une puissance :exp(n) = en et exp(−n) = 1
en .
Remarque 5.17
Exemple 5.9. limn→+∞
(ln(n))3
√n
= 0 et limn→+∞
2n
n100= +∞.
Exercice 5.19. Donner la limite des suites de terme général :
1.ln(n)
n
2. ne−n
3.n10000
(1, 1)n
4. ln(n)n−15(1, 1)n.
1. S'assurer qu'on a bien a�aire à une forme indéterminée.
2. Si c'est une croissance comparée, conclure directement en rédigeant � par croissancecomparée �sur la copie.
3. Sinon, essayer d'utiliser une des méthodes suivantes :
(a) factorisation par le terme prépondérant (très générale)
(b) méthode de la quantité conjuguée (plus marginale)
Méthode 5.4 ( Lever une forme indéterminée )
A noter qu'il existe des calculs de limite qui nécessitent des méthodes bien plus complexes,voire pour lesquels on ne connait pas encore de méthode !
Remarque 5.18
Exercice 5.20. Dans chacun des cas, trouver la limite de la suite de terme général :
1.−2n3 + 2n
n3
2.√
4n2 + n− n3.√
4n2 + n− 2n
4. n1n
5.5.5 Encore quelques propriétés
On termine cette partie avec quelques dernières propriétés, permettant parfois d'étudier une limite lorsqueles techniques directes ne fonctionnent pas.
Soit (un)n une suite réelle. Alors :1) Si (un)n est croissante et non majorée, alors elle diverge vers +∞.1) Si (un)n est décroissante et non minorée, alors elle diverge vers −∞.
Théorème 5.13 (Limite monotone - suite)
Si on joint les Théorème 6 et 11, on a donc démontré que toute suite croissante admet unelimite dans R : une limite �nie si elle est majorée, +∞ sinon.
Remarque 5.19
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CHAPITRE 5. SUITES RÉELLES
Exercice 5.21. Etudier la nature de la suite (un)n dé�nie par u0 > 0 et un+1 = u2n + un pour tout
n ≥ 0.
Soient deux suite réelles (un)n et (vn)n telles que APCR un ≤ vn.1) Si un −→
n→+∞+∞ alors vn −→
n→+∞+∞.
2) Si vn −→n→+∞
−∞ alors un −→n→+∞
−∞
Théorème 5.14 (Comparaison - Suite)
Exercice 5.22. Quelle est la nature de la suite de terme général un = nn
n! ?
�Attention, cela signi�e que n! << nn. On pourra le retenir en l'ajoutant à laconclusion du Théorème 11.
Remarque 5.20
54 Cours ECS1
