S u r le p o l y g o n e d e NEWTON

Par J E ~ D~EUDO~/~ ~ Nancy

1. La m~thode du ~polygone de NEWTON~ est d'ordinaire pr~sent~e en liaison ~troite a v e c l a th~orie des fonctions alg~briques (ou alg~broides) d'une variable complexe , et les ,,d~veloppements de PuIsEux>~ d'une telle fonetion au voisinage d'un point, qu'elle permet de former. Nous nous proposons de montrer que cette m~thode se rattache en r~alit~ ~ l'~tude locale des fonetions d'une variable r~elle au voisinage d'un point, et plus pr~cis~ment h la th~orie des ~ordres d'infinitude,~ de DU BOIS-I~]~y~IOND et I-IARDY1); ce point de vue permet d'ailleurs d'~tendre considSrablement le champ d'application usuel de ]a m~thode.

2. Nous commencerons par l'~tude d'un cas simple, qui g~n~ralise directement le cas classique des courbes alg~briques. Soient (~i,/3,) n couples de nombres r~els >~ 0, queleonques, distincts du couple (0,0) et tets que Min (~i) -~ ~[in (fl,) ~-0, et con- siderons l'~quation

t(x, y) = a, [1 + y)] = o (1) *'=1

o~ les a; sont des nombres r~ets ~ 0, les % des fonctions ddfinies et continues dans un voisinage du point (0,0) et tendant vers 0 lorsque (x, y) tend vers ce point; ]a fonction/(x,'y) est done d~finie et continue dans un voisinage de (0,0) et tend vers 0 lorsque (x, y) tend vers ce point. Supposons qu'il existe une ,,branehe" de la ,,courbe" (1) aboutissant au point (0,0), c'est-~-dire une fonction continue 9~(x), d~finie et >~ 0 clans un intervalle 0 ~<x ~< b, telle que ~(0) =- 0, et que l'0n air identiquement / Ix , ~(x)] ---- 0. Nous nous proposons de montrer que, lorsque x tend vers 0, on a ~(x) :-, l x', o~ r e t / t sont des hombres r~els ~ 0, ne pouwnt prendre qu'un nombre fini de valeurs bien d~termin~es; nous examinerons ensuite si, ~ ees valeurs, correspondent inversement des ,,branches" de la courbe (1) passant pur l'origine.

3. Commenr par montrer que, pour tout nombre r~el /~ ~ 0, la fonction q~(x)/x" tend vers une l imite finie ou infinie lorsque x tend vers 0. En effet, pour

tout nombre t > 0, considfirons la fonction/(x, t x ,'~) ---- ~ , a i t ~i X ai+~#i [1 2 c ~i(X, t X ~)] ; /=1

1) Cf. G. H. HA~DY, Orders of infinity (Cambridge Tracts, 1N ~ 12, 2 e ~d., Cambridge, 1924) Nous d6signerons ce livre par la let tre [H].

Archly der Mathematik, Bd. 2, Heft 1. 4

50 J. DIEUDONNI~

soit ? la plus petite des valeurs des exposants a i -~/~ fli; le coefficient de x r dans /(x, t x ~) tend versc = ~ a it ~i (sommation 6tendue aux indices i tels que al +/a fll = ?),

et cette expression ne peut ~tre nulle que pour un nombre fini de valeurs de t; si t n'est pas ~gal ~ une de ces valeurs,/(x, t x ~) ,.~ c x r, et par suite, il existe un inter- valle 0 < x < co(t) dans lequel la fonetion/(x, t x ~) est 4= 0. ]] en r~sulte aussit6t que lorsque x tend vers 0, ~(x)/x" ne peut avoir deux valeurs d'adh6rence distinctes h < k, car il r~sulterait du th. de BOLZ~O que pour t~)ut t tel que h < t < k, la fonction ~(x) - - t x" s'annulerait une infinit~ de fois au voisinage de 0, done/(x, t x ,u) s'annulerait aux m~mes points, contrairement ~ ee qu'on vient de voir.

Cela ~tant, si on cherche la condition pour que q~(x)/x" air une limite ]inie et non nulle lorsque x tend vers 0, on trouve aussit6t, pax le raisonnement classique de la m~thode de I~.WTO~, que /~ dolt ~tre tel que, pour deux couples distincts au moins (a~, fl~) et (a~, ilk), on ait a~ + # flh = ak + /~ ilk, et al + / ~ fll >t a~ + /~ flh pour tout autre indice i. On obtient ainsi un hombre fini de valeurs possibles/~j pour/~, les nombres --1//~j ~tant les pentes des droites contenant au moins deux points (a;, ill) et telles que tousles autres poi~/ts (ak, ilk) soient au-dessus de la droite consid~r~e.

Reste i~ prouver que pour un au moins de ces nombres/~j, q~(x)/x,"J tend effective- meat vers une limite finie et non nulle. Nous allons d'abord prouver que si ~[~1 est le plus petit des nombres/~j, le rapport ~(x)/x ~' tend vers une limite finie.

D'apr~s les hypotheses sur les ~,., on peut toujours supposer que si i e t ] sont deux indices distincts queleonques, on n'a jamais ~ la fois a,. ~.< aj et fl~ ~ flj (sans quoi on ferait rentrer le terme x~]-~iy6 "--~ [1 + ~j(x, y)] dans ~i(x, y)). On peut done supposer les fll ranges par ordre d~croissant, et on a done ax = 0, et fl; < fl~ pour i > 1; d'apr~s la d~finition de /~ , il existe au moins un couple (a~, fl~) (h > 1) tel que fix ~u~ = a~ + / ~ fl~. On peut alors 6crire l'~quation (1) sous la forme

t r u ~' [~ + w(~,u)] + ~ ~ ~ u ~ [~ + n(~,u)] = - ~ ~ ~v u~, [~ + vS~,u)] (~)

J

off, daas le premier membre, h parcourt les indices > 1 tels que a~ +/~x fl~ =/~x fl~, et dans le second, ~" paxeourt los indices tels que a~. +/~x fl~ > / ~ fix. En posaat t(x) = ~(x) /x ~, on a done

a~ [1 + @x(x, y)] ~ a:[t(x)l ~ - z i [1 + ~ . . . . . . + ~ ( ~ , y)] =

= - - ~ ~i ~,+",~T~,~, [t(~)]~;-~, [~ + ~(~, u)] J

Comme fl~ - - fl~ < 0 et fl~-- fl~ < 0, si t(x) teadait vers -~ r torsque x tend vers 0, tousles termes de cette 6quatioa tendraient vers 0 saul a~, ce qui est absurde.

Daas le cas particulier off le polygoae de N~WTO~ n'a qu'un seul cot6, le raisonne- meat pr6c6dent, off on permute les r61es de x et de y, montre que t(x) ne peut tendre

Sur le polygone de NEWWON 51

vers 0 ; done t(x) a n~eessairement une valeur limite ]ini~ e$ non nulle, racine de l'~quation

~1 t~, + . ~ ~ ~ = o . (3) h

Lorsqu'au contraire le polygone de NEWTON a r cot~s, raisonnons par r~eurrence sur r: si t(x) tend vers une ]]mite finie et ~= 0, notre proposition est d~montr~e. Sinon, t (x) tend vers 0 le long de la <~branche~> de courbe consid~r~e; posons alors dans (1), y = z x ,~'; apr~s division par x ,~ ' , la relation entre z et x s'6erit

n

Z ~, ~~ ~" [z + ~,(~, �9 ~,)] = o (4) i = 1

et par hypoth~se, z(x) = qJ(x)/x ~" tend vers 0 avee x; nous sommes done ramen~s au m~me probl~me pour la courbe (4); or, on vdrifie aussitSt que le polygone do I~SWTO~ pour cette courbe n'a que r - - 1 cot~s, correspondant aux nombres /~]--/~i (pour ] :> 1); en vertu de l'hypoth~se de rdeurrence, notre proposition est ddmontr~e dans t ous l e s cas.

4. Reste i voir si i un cot6 du polygone de NEWTON correspondent effectivement une ou plusieurs ~branehes~ de la eourbe (1) tendant vers l'origine. On peut se bonier au cas o~ le polygone de I~WTo~ n'a qu'un seul cot6, le raisonnement ~tant le m~me dans tousles cas. En raison des limitations x > / 0 et y >i 0, la branehe de courbe consid~rde ne peut e.xister que si l'dquation (3) a des racines atrictement po-

sitives. Soit t o une telle racine, et soit q son ordre de multiplicit6; en posant y = z x ~

l 'dquation (4) peut s'derire

(~--to)' = ~ ( ~ , ~) (~ > o) (5)

off iV(x, z) est une fonction continue, tendant vers une limite b =~ 0 lorsque le point

(x, z) tend vers (0, to); en outre, si les fonctions ~i(x ,y) ont des ddriv~es partielles ~-~

continues au voisinage de (0,0), ~ existe e t e s t continue au voisinage du point

(0, to). Cela ~tant, si q est ~gair, il ~/e peut y avoir de solutions que si b ~ 0, et t 'dquation (5) se d~compose en deux dquations

i 1

- to = • ~' [~(~, ~)]~ (6)

chacune desquelles on peut appliquer le th6or6me des fonctions implicites, qui prouve qu'il existe alors deux branches de courbe correspondant i la racine to. Si au contraire q est iron, air, l'6quation (5) dquivaut i

X 1

_ to = ~:v [~(~, ~)] ~ (~)

qr5 a une solution continue au voisinage de x = 0 (b pouvant cette lois ~tre quelcon- que).

4 ~

52 J. D~su~o~.

8. Fassons maintenant au cas g~n~ral. Nous allons consid~rer une ~quation de la forme

y) = u [: + u)] (8) i - - 1

off les r ont la m~me signification que ci-dessus, off les fl,. sont des hombres ~ 0, les a,. des nombres r~els ~ 0 et enfin les g~(x) des fonctions ex~onentio-logarithmi- ques ([H], p. 16--22) born~es et :> 0 au voisinage de x----- 0 (d~finies pour x >/0) . On sait que route fonction exponentio-logarithmique a une ]imite (finie ou infinie) au point x ---- 0, et que le rapport de deux fonctions exponentio-logarithmiques en est une r done tend vers une limite (finie ou infinie). Nous supposerons que, dans (8), tous les termes tendent vers 0, mais qu'on ne peut mettre en facteur aucune puissance positive de y [c'est-~-dire que ~Iin (fli) = 0] ni aueune fonetion de x tendant vers 0 avec x (ce-qui implique qu'une au moins des fonetions gl est une constante non nulle). En vertu de l'hypoth~se sur les ~;, on peut supposer en outre que si fl] < fit, on n'a pas en m~me temps g , .= O(gj) sans quoi, on pourrait faire rentrer y~rZJgi(x)/g2(x ) dans ~,(x, y). Les fll dtant alors ranges par ordre d~croissant, gl(x) est n~cessairement une constante a 1 =~ 0, en vertu de cette derni~re remarque et du f~it qu'une des gk au moins est une constante ~ 0; en outre, toujours d'apr~s la m~me remarque, gj(x) tend vers 0 avec x pour tout indice)" > 1.

1

Cela ~tant, les fonctions [g,(x)] z~-~" sont des fonctions exponentio-logarith- miques tendant vers 0 avec x (i ~ 1); il existe done un indice m ~* 1 tel que

1 1

[g,(x)] ~'-~" ~ O [g~(x)] ~ ' - ~ pour tous les indices i; d~signons par h les indices 1 1

> 1 pour lesquels le rapport [g~(x)] ~,-~h/[g~(x)] ~'-z~ tend vers une constante =k 0, pa r j les indices pour lesquels le rapport analogue tend vers 0, et posons

y-~z[g,,(x)]~'-~'~; la relation (8) peat alors s'~crire, en remarquant que

g~(g~j z~-z,, est ~quivalente ~ g~ ~ ' - ~ (~ un facteur constant pros =~ 0)

+ U)] + + u)] =

d

off les v/~(x, y) tendent vers 0 lorsque (x, y) tend vers (0,0) et les bi. sont des nombres # 0. Le m~me raisonnement qu'au N ~ 3 montre alors que le long d'une branche de courbe tendant vers (0,0), z tend vers une limite finie (parce que fl~ est le plus grand des fl,.). Si cette limite n'est pas nulle, elle vfrifie l'$quation

b~ t z, + ~ 5t, t z~ = 0. (10)

Sur le polygone de NEWTON 53

Darts le cas contraire, la relation (9) entre z et x est de la m~me forme que (8), reals, si flq est le plus petit des fib, elle s'~crit encore

b~ z~q [1 + O,(x, z)] + ~ z~J ai(x ) [1 + Oi(z, z)] = 0

o~t les Gj(x) sont des fonctions exponentio-logarithmiques tendant vers 0 avec.x, les O 1 des fonctions tendant vers 0 lorsque (x, z) tend vers (0,0). Or, le hombre de termes de cette "nouvelle relation est au plus n - 1 (et se r~duira davantage en g~n~ral, s'fl existe certains des flj. qui sont > flq). On peut done reeommencer l'application du m~me proc~d~, et au bout de n - - 1 operations au plus, on arrive une relation pour laquelIe, dans la relation (9) correspondante, les indices j n'existent pas, et par suite l'exposant flq est n~eessairement 0.

Une lois d~termin~es les parties prineipales possibles de y le long des diverses ((branches,~ de la courbe (8) aboutissant au point (0,0) et le long desquelles x e t y sont ~ 0, il reste ~ voir si h chacune de ces parties prineipales correspond effee- tivement une ou plusieurs de ces ,,branches", ce qui se fait exaetement comme au 1~ ~ 4. La m4thode que nous venons de d6velopper est donc bien la g~n~ralisation de la m~thode du polygone de N~WTO~, et permet comme cette derni~re de d~ter- miner la nature de toutes les ({branches}) de la courbe (8) passant par l'origine.

Consid~rons par exemple la relation 1

y7 + y 4 x t o g z + y~ xe__e ~ ----- 0

L'application de la m~thode pr~c~dente montre qu'fl existe trois branches de la courbe aboutissant h l'origine, le long desquelles x et y s ont > 0, et y est respec- tivement ~quivalent aux trois fonctions exponentio-logarithmiques

1 1

x log-; , o x

D'une maniSre g~n~rale, les parties principales trouv~es pour y le long des bran- ches de la courbe (8) sont toujours des [onctions exponentio-logarithmiques.

6. Grace aux r~sultats precedents, nous allons' pouvoir g~n~raliser un tMor~me de H~P~uY ([HI, p. 57--60) sur le eomportement s l'infini des solutions de eertaines ~quations diff~rentielles du premier ordre. Consid~rons une ~quation diff~rentielle de la forme

y , P(x, y) (11) q(x, y)

ou P(x, y) et Q(x, y) sont des polynomes en y, dont les coefficients sont des/onctions exponentio-logarithmiques d~finies dans un voisinage de -~ co (le cas particulier que consid~re H~nDy est celui ou ees coefficients sont des Tolynomes en x). Supposons que l'~quation (11) air une solution y continue clans un voisinage de -~ r (ce qui

54 ~ DIEU~ON~

n'est pas toujours ]e cas, comme le montre l'exemple classique y' ~ 1 + y2). Nous allons montrer qu'au voisinage de + co, log I Y ] eat e~rui~lent* h une /oration ex- Tonentio-Zogarithmique.

Commencons par ~tablir un certain nombre de r~sultats pr~liminaires. Soit W(x,u) un polynome en u dont les coefficients sont des fonctions exponentio- logarithmiques au voisinage de + co; alors, au voisinage de + co, l'~quation W(x, u ) = 0 a au plus un nombre fini de solutions continues, dont chacune est ~quivalente ~ une fonction exponentioologarithmique. En effet, on volt en premier lieu que le long d'une (~branche~) de la courbe W(x, u) = 0, u tend vers une limite (finie ou infinie) lorsque x tend vers + co, en raisonnant comme au d~but du N ~ 3; si u tend vers une limite finie Uo, v = u - - u o tend vers 0 et satisfait k une ~quation analogue Z(x, v) = O, ~ laquelle (par le changement de variable t = l /x) les r~sultats du I~ ~ 5 s'appliquent; si au contraire u tend vers + co, on applique les r~sultats du t-~ ~ 5 ~ la fonction 1/u.

Soit maintenant z ~ B (x,u) une fraction rationnelle en u, dent le num6rateur et le d~nominateur ont pour coefficients des fonctions exponentio-logarithmiques au voisinage de + co. Alors, le long d'une branche de la courbe W(x, u ) = O, la fonction/~(x, u(x)) est encore ~quivalente a une fonction exponentio-logarithmique; en effet, en ~Hminant u entre les deux ~quations W(x, u) = 0 et z ~ / ~ ( x , u) = 0, il vient une relation T(x, z) = 0 ou T e s t un polynome en z, a coefficients exponentio- logarithmiques, ~quation ~ laquelle s'applique donc le r~sultat pr~c6dent.

En particuHer, le long d'une branche de la courbe W(x, u) = O, on a u'(x) = W~'/W~', donc u'(x) est une fonction rationnelle de u a coefficients exponentio-

logarithmiques; par suite, ou bien erie est identiquement nulle, dans un voisinage de + co, ou bien elle garde un signe constant clans un tel voisinage, et par suite u(x) est strictement monotone dans un tel voisinage si erie n'est pas constante.

Montrons alors, avec HA~DY ([H], p. 58--59) que si H(x, y) = K(x, y)/L(x, y) est une fonction rationnelle de y ~ coefficients exponentio-logarithmiques au voisinage de + ~ , H(x, y) est arictement monotone clans un voisinage de + oo le long d'une branche de courbe int6grale y = y (x) de (11), ~ moins que H ne soit constante, ou qu'on n 'ai t Z(x, y ) = 0 identiquement, le long de cette branche. En effet,

dtt U(x, y)/V(x, y) le long de la branche consid~r6e compt e tenu de (11), on a - ~ - =

/ ' , U et V 6tant des polynomes en y, ~ coefficients exponentio-logarithmiques; si

d/ / n'est pas identiquement nulle et ne garde pas un signe constant le long d e / ' dx (au voisinage de + co), elle dolt s'annuler ou devenir infinie une infinit6 de lois le long d e / ' . Darts le Premier c a s , / ' dolt avoir une infinit6 d'intersections avec au moins une des branches ~ (en nombre fini) de la courbe U(x, y ) = 0; soit y = u(x)

l'6quation de ~ , u'(x) p[x,u(,)] est fonotion rationnelle de la solution u de Q[~:.u(x)] U(x, u) = O, ~ coefficients exponentio-logarithmiques; done, si cette fonetion n'est

Sur le polygone de Nv.wTo~ 55

pas identiquetnent nulle (auquel cas H est constante le long de/~), elle garde un signe constant au voisinage de ~ oo; en deux points d'intersection cons~cutifs de C et de P, u'(x) ~ y'(x) serait done non nul et de m~me signe, ce qui est absurde. On montre de la m~me faqon que H ne peut devenir infinie en un point de F que si L(x, y) ~ 0 en ce point, et qu'on ne peut avoir L(x, y) ---- 0 en une infinit~ de points de P (tendant vers l'infini) que si cette relation a lieu identiquement sur F.

Le raisonnement se termine alors comme darts HARDY ([I-I], p. 59---60); le long de T', le rapport de deux termes de Q y ' - - P , 4tant de la forme g(x)y", ou

h(x)y" y' -~ h(x) y" P(x, y) est fonction rationnelle de y k coefficients exponentio- Q(x, y) ' logaxithmiques, donc est monotone et par suite a une limite lorsque x tend vers

co. O n en d~duit que ym, ou ym+l ( s im :~ - - 1) ou log [ Y I ( s im ---- - - 1) est ~quivalente ~ une fonction exponentio-logarithmique, ou ~ une primitive de fonc- tion exponentio-logarithmique; mais une primitive de fonction exponentio-loga- rithm~que est elle-m~me ~quivalente ~ une fonction exponentio-logarithmique ([H]), p. 37), ce qui ach~ve la d~monstration.

(Eingegangen am 7. 4. 1949)