Sur le théorème de finitude de la cohomologie p-adique d'une variété affine non singulière

Sur le théorème de finitude de la cohomologie p-adique d'une variété affine non singulièreAuthor(s): Z. MebkhoutSource: American Journal of Mathematics, Vol. 119, No. 5 (Oct., 1997), pp. 1027-1081Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/25098565 .

Accessed: 17/12/2014 23:44

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SUR LE TH?OR?ME DE FINITUDE DE LA COHOMOLOGIE /?-ADIQUE D'UNE VARI?T? AFFINE NON SINGULI?RE

By Z. Mebkhout

R?sum?. On d?montre dans cet article que le Th?or?me de l'indice pour une classe d'?quations diff?rentielles p-adiques sur la droite projective entra?ne le Th?or?me de finitude de la cohomologie

/7-adique de Monsky-Washnitzer d'une vari?t? affine non singuli?re. La classe pr?c?dente d'?quations est contenue dans une classe d'?quations o? le Th?or?me de l'indice est aujourd'hui ?tabli.

1. Introduction. Dans cet article nous montrons par la m?thode de Dwork

Monsky ([D5], [M05]) en utilisant la th?orie des modules exponentiels de Dwork

[D4] que le th?or?me de l'indice pour une classe d'?quations diff?rentielles p

adiques Mf^m entra?ne le th?or?me de finitude de la cohomologie /?-adique d'une

vari?t? affine non singuli?re sur un corps fini [M-Wi]. L'id?e de cette r?duction ? la dimension une, que nous avons faite en 1989

([M-N2]), ind?pendamment de l'article de Monsky, apr?s nos efforts pour d?mon

trer le th?or?me de finitude [M-N3] par voie purement alg?brique, nous a ?t?

sugg?r?e par la d?monstration g?om?trique du th?or?me de constructibilit? ([M

Ni], [M-N4]) o? un th?or?me de finitude des solutions d'un syst?me diff?rentiel

complexe en toutes dimensions est r?duit au cas de la dimension une et m?me

au cas de la dimension z?ro, tout ceci gr?ce ? la monodromie complexe. Le point clef de la d?monstration est le th?or?me de comparaison relative qui

permet de passer d'une situation/?-adique ? une situation alg?brique. D'ailleurs le

point clef de la d?monstration g?om?trique du th?or?me de constructibilit? est un

th?or?me de comparaison relative qui permet de m?me de passer d'une situation

analytique complexe ? une situation alg?brique complexe, ce qui montre la simil

itude entre les deux situations. La d?formation par les modules exponentiels dans

le cas /7-adique est analogue ? l'extension canonique dans le cas complexe. Les

deux situations rel?vent du Th?or?me de semi-continuit? de l'irr?gularit? [Me2] dans le cas de la ramification constante le long des fibres.

La d?monstration du th?or?me de comparaison relative utilise des ?l?ments du

formalisme de la th?orie des Pi^-modules

introduite dans ([M-N3], [M-N2]) dans

le cadre des sch?mas formels faibles de Meredith [Mr]. Le lecteur remarquera que cette th?orie est le cadre naturel des th?ories de Dwork, tout au moins dans leurs

aspects formels, cohomologie locale, dualit? locale et globale, transformation de

Fourier... Elle permet souvent de donner des d?monstrations bien plus simples

Manuscript received February 21, 1996; revised June 5, 1996.

American Journal of Mathematics 119 (1997), 1027-1081.

1027



1028 Z. MEBKHOUT

de r?sultats plus g?n?raux que ceux obtenus auparavant, comme par exemple la

suite exacte de Gysin/?-adique [Moi]. Ce Th?or?me ainsi que le Th?or?me de finitude de la cohomologie locale

/7-adique ponctuelle ([M-N2], 4.5.4) nous a motiv? ? poursuivre en collaboration

avec G. Christol d?s octobre 1989 le programme de P. Robba ([Ri], [R2], [R3],

[R4], [R5], [Rs], [R-C]) sur le th?or?me de l'indice des ?quations diff?rentielles

p-adiques qui s'est r?v?l? ?tre ? la base de la d?finition des coefficients p-adiques sur les vari?t?s ouvertes ainsi que des propri?t?s de finitude de leurs cohomologies de de Rham. La d?monstration du Th?or?me de l'indice est maintenant achev?e

dans les articles ([C-M1], [C-M2], [C-M3]) et va bien au-del? du Th?or?me de

finitude des nombres de Betti p-adiques. Le dernier argument a ?t? obtenu ? la

fin de l'ann?e 1994 cf. ([C-M2], introduction). Elle permet d?j? la d?finition de

la cat?gorie des coefficients p-adiques sur les courbes qui a toutes les propri?t?s et tous les invariants de la cat?gorie des coefficients Sadiques sur les courbes

pour ? 7- p ([C-M3], ?9). Ceci devrait permettre ? terme de montrer l'analogue

p-adique du Th?or?me de puret? Sadique en dimension une de Deligne ([De2],

[De3]) par la m?thode de la transformation de Fourier pour les V^ ?Q-modules

sur la droite affine [L]. On passe de l?, par la r?duction de cet article, au Th?or?me

de puret? des valeurs propres de l'endomorphisme de Frobenius [M04] op?rant sur les espaces de cohomologie p-adiques d'une vari?t? affine non singuli?re sur

un corps fini.

Les exposantsp-adiques txpQ,R^(P) d'une ?quation diff?rentielle P ayant la

propri?t? de Robba dans une couronne ont ?t? d?finis dans les articles ([C-Mi],

[C-M2]), c'est l? un point crucial rendu tr?s d?licat par l'existence des nombres de

Liouville dans les diff?rences ([C-Mi], 2.2, page 1555). Le probl?me de l'indice

est alors r?solu pour une ?quation totalement ramifi?e dans [C-Mi] et pour une

?quation mod?r?ment ramifi?e dont les diff?rences les exposants, ainsi que les

exposants ont la propri?t? (NL) dans [C-M2].

Cependant, comme les exemples du dernier paragraphe de cet article le mon

trent, une ?quation diff?rentielle de la classe Mf^m n'est en g?n?ral ni totalement

ramifi?e, ni mod?r?ment ramifi?e en z?ro. D'autre part la classe Mf^m fournit

des exemples d'?quations diff?rentielles provenant de la g?om?trie o? le principe de transfert pour les singularit?s irr?guli?res n'a pas lieu. Elles nous ont alors

fourni le mod?le du th?or?me de d?composition [C-M3] qui r?sout, entre autre,

le probl?me de l'indice pour toutes les ?quations dont les diff?rences des ex

posants ainsi que les exposants eux-m?mes ont la propri?t? (NL). C'est le cas,

en particulier, des ?quations ayant une structure de Frobenius ([C-M3], Th?or?me

7.5.2).

Comme cons?quence du th?or?me de comparaison relative, les ?quations de

la classe MTeich(^)nm qui sont d?finies sur un corps localement compact sont

munies d'une structure de Frobenius. On obtient la finitude des nombres de Betti

p-adiques de toute vari?t? alg?brique affine non singuli?re ainsi que la finitude

des espaces de cohomologie p-adiques des modules exponentiels.



FINITUDE DE LA COHOMOLOGIE p-ADIQUE 1029

Si X une vari?t? affine non singuli?re sur le corps r?siduel d'un sous-anneau

? valuation discr?te complet V de l'anneau des entiers de Cp de corps de fraction

K, les nombres de Betti /radiques BP?(X) sont d?finis comme les dimensions

des ^-espaces de de Rham /?-adiques Hl(X;K) [M-Wi]. Les nombres BP$(X)

([M-Wi], 7.1) et BPti(X) [Mo3] sont finis. On obtient finalement:

Th?or?me 1.0-1. ([C-M3], 10.0.4) Les nombres de Betti BPj(X) sontfinis pour tout i.

En particulier la factorisation p-adique de la fonction z?ta d'une vari?t? affine

non singuli?re sur un corps fini ([M04], Thm. 4.6) ? l'aide de s?ries enti?res est

une factorisation par des polyn?mes. Voici le contenu de ce travail. Dans le paragraphe 2 nous rappelons le for

malisme des complexes de de Rham, nous d?finissons la structure de modules des

modules exponentiels p-adiques sur l'anneau des op?rateurs diff?rentiels d'ordre

infini. Nous montrons un th?or?me de comparaison au niveau des modules sur

un anneau d'op?rateurs diff?rentiels d'ordre infini pour en d?duire un th?or?me

de comparaison sur les complexes de de Rham relatifs et nous d?finissons les

?quations exponentielles Mf^m. Dans le paragraphe 3 nous montons les qua tres ?tapes de r?duction du th?or?me de finitude de la cohomologie p-adique au

th?or?me de l'indice des ?quations Mf^m, r?duction au cas des ouverts principaux de l'espace affine, r?duction au cas des modules exponentiels sur l'espace affine, r?duction ? la d?formations des modules exponentiels sur le produit de l'espace affine avec la droite affine ?point?e et r?duction au cas des modules exponentiels

Mf^m sur de la droite affine ?point?e. Nous montrons un th?or?me de Bertini

en caract?ristique p > 0 pour les vari?t?s affines et la suite exacte de Gysin

p-adique en toutes codimensions. Dans le paragraphe 4 nous ?tudions la classe

d'?quations exponentielles Mf^m, la structure de Frobenius, la structure du point

singulier r?gulier ? l'infini et la structure du point singulier irr?gulier ? l'origine

qui est au coeur du probl?me. Cette situation est stable par transformation de

Fourier. Nous ?tudions quelques exemples qui montrent les diff?rentes situations

que l'on rencontre. Nous d?finissons les poids ponctuels des modules exponentiels t t

Mj n m et nous conjecturons que les modules exponentiels Mj n m sont ponctuelle ment purs ainsi que leurs cohomologie de de Rham p-adique interm?diaire d?finie

dans ([C-M3], ?9).

A l'occasion de cet article, nous souhaitons rendre hommage ? Paul Mon

sky dont le caract?re explicite des travaux nous a permis d'aller au "fond du

probl?me" de la cohomologie p-adique. Nous voudrions remercier Gilles Christol, Luis Narv?ez-Macarro pour leurs

longues collaborations et contributions respectives et Alberto Arabia de l'aide

consid?rable qu'il nous a apport?e tout au long de ce travail.



1030 Z. MEBKHOUT

Notations. On utilise dans cet article les notations suivantes, aussi proches

que possible de celles utilis?es le plus souvent dans les th?ories des ?quations diff?rentielles et de la cohomologie de de Rham p-adiques ([D4], [D5], [M-Wi],

[Ka], [Mo5], [Ri]...):

p > 0 : un nombre premier.

Zp : anneau des entiers p-adiques.

Qp : corps des fractions de l'anneau Zp.

Qp : une cl?ture alg?brique du corps Qp.

Cp : le compl?t? de

Qp.

|.| : la valeur absolue p-adique dans le corps Cp normalis?e par \p\ =

\/P. ord(.) : =

-Logp(|.|) : La valuation p-adique.

Ilgauss la valeur absolue de Gauss dans une alg?bre de polyn?me ? coef

ficients dans le corps Cp.

Ocp : l'anneau des entiers de Cp.

?p : le corps r?siduel de l'anneau

Ocp. V : un sous-anneau local complet ? valuation discr?te de l'anneau

?<cp K : le corps des fractions de l'anneau V.

k : le corps r?siduel de l'anneau V.

m : l'id?al maximum de l'anneau V.

V[x] : = l'alg?bre des polyn?mes en les ind?termin?es x := (x\, ,xn) ?

coefficients dans l'anneau V, que nous noterons aussi An quand il n'y a pas de risque de confusion.

Rr : l'anneau des polyn?mes de Laurent en la variable F ? coefficients

dans l'anneau V.

(V[x])? : l'alg?bre des s?ries formelles en les ind?termin?es x ? coefficients

dans l'anneau V de rayon de convergence strictement plus grand

que 1, que nous noterons A\ quand il n'y a pas de risque de con

fusion.

Ry : l'alg?bre des s?ries de Laurent ? coefficients dans V en la variable

r convergentes dans la couronne 1 ? e < |T| < 1 + e, pour un r?el

e strictement positif non pr?cis?.

y[*>?y : l'alg?bre de Weyl des polyn?mes diff?rentiels en les variables

x = (x\,... ,xn) et dx := (d\,..., dn) ? coefficients dans

l'anneau V, que nous noterons aussi Dn quand il n'y a pas de risque

de confusion.

Dn,Y : r alg?bre de Weyl des polyn?mes diff?rentiels en les variables

(x, r, dx, dr) ? coefficients dans l'anneau V, que nous noterons

aussi Dn+\ quand il n'y a pas de risque de confusion.

Af<g>Q : le Q-objet M^Q associ? ? un Z-objet M.

7T : un nombre p-adique solution de l'?quation tvp~1 +p = 0, on sup

posera que 7T appartient ? V.




, 9^1 ?kn

A* : l'op?rateur -jh - ?

-fr si k := (k\,... ,kn) est un n-uple.

I^loo : la longueur k\ + ? + kn d'un n-uplet d'entiers naturels.

Ak?W l'espace des fonctions analytiques dans la classe r?siduelle de a ?

coefficients dans le corps K.

ÂT?(l) l'espace des fonctions analytiques au bord de la classe r?siduelle

de a ? coefficients dans le corps K.

WKa(l) : l'espace de cohomologie ? support compact dans la classe r?siduelle

de a valeurs dans les fonctions analytiques ? coefficients dans le

corps K.

Exp^ : le module exponentiel d?fini par ng pour un polyn?me g h n

variables ? coefficients dans un anneau contenant n.

Expy m r : le module exponentiel Expg pour

g(x) =f(x) + T(Xî,...^*?*) Pour un polyn?me/ ? n-variables et

un entier naturel m. Nous

utilisons surtout les modules exponentiels Exp^ m r*t, Exp? m r, Exp? m r*

obtenus par changement de base en 2.3.2.

Nous avons suppos?, pour fixer les id?es, que l'anneau complet ? valuation

discr?te V est un sous-anneau de Ocp.

Mais le lecteur remarquera que dans cet

article on peut partir d'un anneau V ? valuation discr?te complet de corps r?siduel

k de caract?ristique p > 0 parfait et de corps de fraction K de caract?ristique nulle. L'hypoth?se de locale compacit? de l'anneau de d?finition des ?quations

A//>,m n'intervient que dans le Th?or?me de d?composition ([C-M3], Th?or?me

6.1.1). Comme nous l'avons dit dans l'introduction de [C-M3] on peut remplacer

l'hypoth?se de locale compacit? du corps de fraction par ?tre maximalement

complet, l? n'est pas le probl?me.

2. Le th?or?me de comparaison relative.

2.1. Le formalisme du complexe de de Rham. Nous allons rappeler le

formalisme du complexe de de Rham dans le langage des foncteurs d?riv?s dans

les cat?gories d?riv?es essentiels pour montrer le th?or?me de comparaison. Soient (x, T) = (jci,... ,xn, F) n + 1 variables. Notons

Ân[T]/v[T] :=Dn+i/(dx)Dn+i

le D,H-i-module ? droite d?fini par l'id?al (dx) := (dX],.. .,dXn). C'est donc un

(Dr,?n+i)-bimodule. Notons de m?me

Ân[T]/v := Dn+\/(dx, dr)Dn+\

le Dn+\-module ? droite d?fini par l'id?al (dx, dr) := (dXx,..., dXn,dr).



1032 Z. MEBKHOUT

D?finition 2.1-1. Pour tout complexe M de Dn+\ -modules ? gauche posons

DRAn[ryv(M) := QAn[r]/v ? M[ - n - 1]

Dn+l

et

L

DRAn[r]/v[r](M) := ?^n[r]/v[r] ? Mt ~

"]

Le signe <8)_}n+1 d?signe le foncteur d?riv? ? gauche du foncteur produit ten

soriel dans la cat?gorie des Dn+\ -modules. Si M est un Dn+\ -module ? gauche en degr? z?ro, le complexe DRAn[ryv(M)

est un complexe de V-modules con

centr? cohomologiquement entre les degr?s 0 et n + 1 alors que le complexe

DRAn[Y]/v\T](M)est un complexe de Dp-modules ? gauche concentr? cohomologique

ment entre les degr?s 0 et n, o? Dp := V[F, gp ]. En prenant les r?solutions de

Koszul K(Dn+i ;dXl,'-,dXn,dr) et K(Dn+\ ; dX], , dXn) on retrouve les d?finitions

traditionnelles des complexes de de Rham.

Proposition 2.1-2. Pour tout complexe M de Dn+\-modules ? gauche on a un

isomorphisme canonique de projection

DRv[ryv(DRAn[ryv[r](M)) ->

DRAn[ryv(M).

D?monstration. La proposition 2.1-2 r?sulte des isomorphismes

L

et de la formule de composition des foncteurs d?riv?s dans la cat?gorie d?riv?e.

L'int?r?t de la formule de projection est qu' on ne fait aucune hypoth?se de

finitude sur le complexe M.

Pour exposer le formalisme du complexe de de Rham nous avons suppos?

que l'anneau de base est l'anneau V[F]. Mais on peut remplacer l'anneau de base

V[T] par l'anneau R*r. Cela revient ? faire le changement de bases

V[T] - 4.

Nous noterons pour simplifier, malgr? l'abus de notations,

A->r*t :=/?r?v[nî+i'

Z\r*t :=

r[ <S>v[T] Dn+\




et

Dr*t := r\> ?vm Dr

les anneaux obtenus par ce changement de base. Si M est un complexe de DnPt modules ? gauche on d?finit les complexes de de Rham

DRA t(M)

On a alors l'isomorphisme de projection qui se montre exactement comme la

proposition 2.1-2:

Proposition 2.1-3. Pour tout complexe M de DnT*\-modules on a un isomor

phisme canonique de projection

?*4/v(DVt/4(M)) -

DR\,^^M)

La formule de projection vaut bien s?r dans un cadre tr?s g?n?ral cf. ([M-N4], II 5.5).

2.2. Op?rateurs diff?rentiels p-adiques d'ordre infini.

2.2.1. Nous avons besoin d'introduire un anneau d'op?rateurs diff?rentiels

? puissances divis?es d'ordre infini. Les faisceaux d'anneaux d'ordre infini ?

puissances divis?es ont ?t? introduits dans [M-N2], [M-N3] dans le cadre des

sch?mas formels faibles [Mr]. Si X^ =

(Xk,oX?) est un V-sch?ma formel faible [Mr] le faisceau des

op?rateurs diff?rentiels p-adiques d'ordre infini est un sous-faisceau d'anneaux du

faisceau des endomorphismes Homy (?x\, ?x\ ) ([M-N2] 4.2.1, [M-N3] 4.4.5). On peut transposer dans ce cadre l? tout le formalisme usuel des modules sur les

anneaux des op?rateurs diff?rentiels.

Nous n'aurons ? consid?rer dans cet article, pour l'essentiel, que les cas

de l'espace affine ou du compl?mentaire d'un hyperplan dans l'espace affine.

Soit (x,T) := (x\,... ,xn,T) un syst?me de coordonn?es sur l'espace affine de

dimension n + 1 et (dx, dr) := (d\,..., dn, dr) les d?rivations correspondantes.

D?finition 2.2-1. On d?finit D\t

comme l'espace des s?ries

?//eN^'eN"0/ju^'-* T drAx



1034 Z. MEBKHOUT

? coefficients dans V telles que la s?rie X//en,k,k' eNnî,k,v',*'**Tlr]1

' ?k appartient ?

Af /i2(?+l)'

On d?finit D\Y* comme l'espace des s?ries îez,ifeN,k,kreN1 î,k^'rldfAk ?

coefficients dans V telles que la s?rie X/ez/'eNfcfc'eAP10/*-"7** V1 ?* appartient ?

A2n+l,r*'

On a not? AJ>W+1 r* l'espace des s?ries qui convergent dans un domaine |jc| <

1 + 6, |?| < 1 + e, \r]\ < 1 + e, 1 ? e < |r| < 1 + e pour e > 0 non pr?cis?.

D*xT est l'espace des sections globales du faisceau des op?rateurs diff?rentiels sur

l'espace affine de dimension n+ 1 ([M-N2], 4.4) alors que ^r* est l'espace des

sections globales du faisceau des op?rateurs diff?rentiels sur le compl?mentaire de l'hyperplan T = 0. C'est donc des sous-anneaux non commutatifs.

2.2.2. Nous consid?rons un sous-anneau commutatif de l'anneau A[r*. Notons A?r* l'alg?bre des s?ries ? coefficients dans V, J.iei,k>î,kV1^ o? /

parcourt Z et o? k parcourt N1, qui convergent dans un domaine 1 ? e < |T| <

1 + e, \x\ < 1 + e pour un e > 0 non pr?cis?. Donc par d?finition

Air*:=(V[x,r,r-l])i.

D?finition 2.2-2. On d?finit v\ r* comme l'espace des s?ries L?ez,k^wî,k^lAkx

? coefficients dans V telles que la s?rie Zeez,keffiahk^lzk appartient ? A^r*.

V? r* est un sous-anneau commutatif d'op?rateurs diff?rentiels d'ordre infini

de l'anneau D\r*

, sans V-torsion et qui est une extension de l'anneau Rr[dx].

Proposition 2.2-3. L'extension induite

est plate si V est un anneau de valuation discr?te complet contenant tt.

D?monstration. Soit / un id?al de l'anneau /?p[cy <g>Q engendr? par les op?rateurs

p1(?x,r,r"1),...,/,/(??,r,r-1)

que l'on peut supposer ? coefficients dans l'anneau V. Soit 7l(P\,... ,Pf) une rela

tion de l'id?al / dans l'anneau v\ r*<g>Q que l'on peut supposer ? coefficients dans

l'anneau des entiers V. Faisons le changement de variables d\ := ixz\, .. ,dn :=

TTZn ([M-N2], 4.4.2), de sorte que A* = 1jrZk.

Comme les nombres ^

sont des

entiers on obtient une relation des op?rateurs P\(nz,T,T-1),... ,P?(ttz,I\r-1)




dans l'anneau A?r*. Mais l'anneau A?r* est noeth?rien comme quotient d'un

compl?t? faible d'une alg?bre de polyn?mes [F]. De plus l'id?al m est contenu

dans le radical de l'anneau A^r*.

D'autre part le morphisme

devient un isomorphisms modulo les puissances de l'id?al maximal de l'anneau

des entiers. Il r?sulte alors du crit?re local de platitude de Bourbaki [BOU] que cette extension est plate. La relation K(P\,... ,P?) est engendr?e par les relations

dans l'anneau Pp[z]. Faisons le changement de variable zk := -^jA* qui introduit

des d?nominateurs de valuations logarithmiques. Mais les conditions de conver

gences font que ces d?nominateurs ne changent pas les conditions de convergence et l'obtient que la relation 1Z(P\,... ,P?) dans l'anneau

v\ r*<g)Q est engendr?e

par les relations de / dans l'anneau Rr[dx]. D'o? la Proposition 2.2-3.

Posons alors

Vlr,[x,dr] :=

V^ ?R?[dx] Rl[x,dx,dr],

qui est un anneau d'op?rateurs diff?rentiels polynomiaux en jc et 9p. De plus il

est noeth?rien ([M-N2], 4.4.1) mais nous n'aurons pas ? utiliser ce fait. Il peut aussi ?tre d?fini par

vlx,r* [*> or! = RUx> d*> dr] ?Rhdx] Vhx*

L'anneau V? r* t*? ̂ r] aPPara?t comme une extension de l'anneau R*r[x, dx, dp] et

on d?duit de la Proposition 2.2-3 par changement de base:

Proposition 2.2^1 L'extension

Ppt*, 3*? dr]^Q -^ vlx,r* ̂ ' dr]?^

est plate ? droite et ? gauche.

2.3. Modules exponentiels de Dwork.

2.3.1. R?partitions.

D?finition 2.3-1. Si ? est un n-uple d'entiers on appelle r?partition de ? une

application rdelf dans N telle ? =

Sqgn? K?Oa.

On note TZ(?) l'ensemble des r?partitions non nulles de ?. Une r?partition de

? est presque nulle. L'ensemble TZ(?) est fini. Si r est une r?partition de ? on



1036 Z. MEBKHOUT

appelle longueur de r et on la note l(r) le nombre entier Yla r(?0- On note TZ(?, l) l'ensemble des r?partitions de ? de longueur /.

Soit g(x) une s?rie formelle ? n variables sur un corps de caract?ristique nulle

et Exp(g) le module exponentiel de rang un sur l'anneau des s?ries formelles ?

n variables x muni de sa connexion integrable naturelle. La proposition suivante

nous a ?t? communiqu?e par L. Narv?ez:

Proposition 2.3-2. Soit ? un n-uple d'entiers naturels alors on a V?galit?

D?monstration. On convient que (A^(g))? = 1. On raisonne par r?currence

sur 1/3 |oo. On peut supposer que |/3|oo > 1. Soit e? le n-vecteur dont toutes les

composantes sont nulles ? l'exception de la /-?me qui est ?gale ? 1. La proposition est une cons?quence de la formule

e n?T b,pw \reK(?+ea) VaeN" K ' II

(??(g))r{a) p,+ 1\ \rem?,i-i) Vaeiv rw'

\ \rG^(A/) V^GN? W

/ / /

On convient que 1Z(?,? + 1) est vide.

2.3.2. Modules exponentiels. Soit/ :=/(jc) un polyn?me, non constant, ?

coefficients dans l'anneau V en les variables x = (jci,... ,xn) et m un entier > 0.

Notons efjn la s?rie formelle en (je, T)

exp (*[/(*) +T? Y, x?

Notons Expj m r le module libre de rang 1 sur An^ engendr? par eftm. Le module

Exp^m r est muni d'une connexion integrable par

digef,m =

(di(g) + 7T

(di(f) +

mr^"1) g) ef/n




et

arge/* = dr(g) + ir ]T x? )g \ eu \ \i=\,...n / )

Notons

ExP/,m,r*t>

ExP/,m,r>

ExP/>,r*

les modules libres de rang 1 ? connexion integrable obtenus respectivement par les changements de bases

Proposition 2.3-3. Uaction ? gauche de Dnr sur Exp? m r se prolonge en une

action de Vanneau D\ r et Vaction ? gauche de Z\r* sur Exp? m r* se prolonge en

une action de Vanneau D t n,T*

D?monstration. Soit ? un n + 1-uple, / < |/?|oo un entier et r une r?partition

? de longueur /, alor

de la proposition 2.3-2

de ? de longueur /, alors r*t ^ri v est un entier p-adique. En vertu de la formule

Af,r(^m) =

P?(x, T)efym

o? P? est un polyn?me de degr? born? par m\?\oo de norme de Gauss born?e

par 1. Cela entra?ne que si P(x, T, Ax, Ap) est un op?rateur diff?rentiel p-adique d'ordre infini sur l'espace affine et g(x,T) une fonction qui converge dans un

domaine |jt| < 1 + e, |T| < 1 + e, e > 0 alors

P(gef,m) =

he/jn

o? h(x, T) est une fonction qui converge, quitte ? changer de e, dans un domaine

\A < 1 + e, |T| < 1 + e, e > 0. De m?me, si P(jc,r,r_1, A*, Ap) est un op?rateur diff?rentiel p-adique d'ordre infini sur le compl?ment de l'hyperplan T = 0 dans

l'espace affine et g(x,F,T~l) une fonction qui converge dans un domaine |jt| <



1038 Z. MEBKHOUT

1 + 6,1 - e < |T| < 1 + e, e > 0 alors

P(gef,m) =

hefym

o? A(jc, T, T-1) est une fonction qui converge, quitte ? changer de e, dans un

domaine |jc| < 1 + e, 1 - e < |T| < 1 + e, e > 0.

2.4. Le th?or?me de comparaison. Le module exponentiel Exp^ m r*t est un

A? r*t [d*, 9r]-module ? gauche et Expj m r* est un

a\ r* [dx, <9r]-module ? gauche. On a donc un morphisme AnT^[dx,?^]-lin?aire

ExP/,m,r*t

-

ExP/,m,r*

Th?or?me 2.4-1. Supposons que V est de valuation discr?te contenant tt et

que m est un nombre premier avec p et strictement plus que le degr? total de f, alors le morphisme induit

est un quasi-isomorphisme de complexes de R*r[dr]?Q-modules

? gauche.

En vertu de la Proposition 2.3-3 le module exponentiel Exp? r* est un

Va r* [*' ?r]-module ? gauche. On peut alors consid?rer le morphisme

vlxT*[x,dr] ?Anr^[dx,dr] Exp/mjM ->

ExpJ^r*

de v\ r* [x, dr]-modules ? gauche, qui ? P (g) e/,m associe P<?/,m.

Th?or?me 2.4-2. Si V est de valuation discr?te contenant n et m est un nombre

premier avec p strictement plus grand que le degr? total def, alors le morphisme induit

Vi^r-fodr] ?V*t[Sr.*] ExP/,m,r*t ?Q -> ExP/,m,r*

m

est un isomorphisme de V\ r* [jc, dr\?Q-modules ? gauche.

Lemme 2.4-3. On peut diviser dans Vanneau V? r*[x,dr] tout op?rateur par

l'id?al (dXi ?

^(^.(/i+mrif-1),..., dr ?

7r(?*=i,...,?-*?*)) de telle sorte que le reste

soit un op?rateur de degr? m ? 2 en x?, i = 1,..., n et de degr? z?ro en ?p.




D?monstration. On peut supposer que m > 2. On choisit (dp,/"-1,... ,x%~1) comme exposants dans la division.

Notons Rr[x,dx]m-2 l'espace des op?rateurs diff?rentiels d'ordre fini, de

degr? m?2 en jc?, / = 1,..., n et de degr? z?ro en dp et V? r* [x]m-2 le sous-espace

de V^ r* [jc, <9p] des op?rateurs diff?rentiels de degr? m ? 2 en x?, i = 1,..., n et

de degr? z?ro en 9p. Notons 0y?/w l'application

Pp[*, #x]m_2 ?>

ExP/,m,r*t

qui ? P associe /te/,m et 0? l'application

vax,t* (4-2 ?

ExPJ, ,r*

qui ? P associe /te/,m.

Th?or?me 2.4-4. 5/ V ?si ?fe valuation discr?te contenant tt et m est un nombre

premier avec p strictement plus grand que le degr? total de f, alors Vapplication lin?aire 0? induit un isomorphisme d'espaces vectoriels sur K:

V?X,T* Mm-2?Q -

ExPf,m,r* ?Q

D?monstration. Si m est strictement plus grand que le degr? total de / , en

regardant les termes de plus haut degr? en dx il est facile de voir que l'application

0/> entre les espaces R\\x, dx]m-2?Q et Exp^ m r*t ?Q est un isomorphisme. Soit

alors xa un mon?me et posons:

?J,mêf,m) := Pa(x,Y-\A^x)

= J2cUr~l&*?

?,s

Pa(x,T~l,Ax) est un polyn?me en x,T~l,Ax ? coefficients dans K de degr? au

plus m

? 2 en jc,-, / =

1,..., n.

Lemme 2.4-5. Sous la condition pr?c?dente le degr? total de Pa(x,T~l,Ax) est born? par \a\oo pour m > 3 et par 2\a\OQ pour m = 2.

D?monstration. La d?monstration se fait ais?ment par r?currence sur la longueur de a.

Th?or?me 2.4-6. Sous la condition pr?c?dente on a la majoration

iPalgauss < C(p\a\oo)n o? C := |7r|-"(m-2).



1040 Z. MEBKHOUT

Le lecteur trouvera la d?monstration dans le paragraphe 2.6.

D?monstration du th?or?me 2.4-4. Notons, pour un e > 0, AXiT*(l+e) l'espace des fonctions analytiques dans le domaine |jc| < 1 + e, 1 - e < |T| < 1+6.

Muni de la topologie de la convergence uniforme sur les polycouronnes ferm?es

du domaine |x| < 1 + e, 1 ? e < |T| < 1+6, Ax,t*(\ + e) devient un espace vectoriel topologique sur K de type T, m?trique complet [Gi]. Notons de m?me

v{xX* Mm_2(l+e) l'espace des s?ries E?eN>,kez,Si<m-2,i=\,...,n a?XsT~kxsA^ telles

que les s?ries J2?eNl,k&,s<m-2,i=\,...,na?Xs^~kxS^ convergent dans le domaine

|?| < 1 + e, 1 ? e < |r| < 1 + e. L'espace V\ r*Mw_2(l + e) muni de la topolo

gie, par transport de structure, de la convergence uniforme sur les polycouronnes ferm?es devient un espace vectoriel topologique sur K de type T. Si on mu

nit l'espace Pp*[*](l + e) des fonctions polynomials en x de la topologie in

duite par *Ajc,r*(l + <0 et l'espace Rr[x, dx]m-2(l + e) de la topologie induite par

v{xXAx\m-2(\ + 0 l'application Qjl ,m

Pp*M?Q^/,m ?y

R^[x, dx]m-2?Q

est continue en vertu du Lemme 2.4-5 et de la majoration du Th?or?me 2.4-6.

Elle se prolonge donc contin?ment aux compl?t?s:

A,r*(l + e)ef,m ?

vlxX* Wm_2(l + e).

D'o? par limite inductive une application 0?~

ExP/,m,r* ?Q ?' vbx* Ww-2?Q

dont nous allons voir que c'est un inverse de l'application ??m. Soit e' > 0 et

1+6 := (1+e7)^. Alors l'application ?Jm et continue de l'espace v\x r*Mm-2(l +

e') dans l'espace Ax,r(l +e)ef,m> D'o? par composition, une application continue

0?"1 o0?

V??r* Wm-2(1 + c7) ? V^[4-2(l

+ e)

qui co?ncide avec la restriction sur le sous-espace dense des op?rateurs diff?rentiels

d'ordre fini. Elle donc co?ncide avec la restriction dans l'espace tout entier. Par

passage ? la limite inductive on trouve que l'application O?~ est un inverse

? gauche de ??m.

Par le m?me raisonnement on trouve que c'est un inverse ?

droite, ce qui montre que 0? est un isomorphisms topologique d'espaces de

type CF [Gi]. D'o? le Th?or?me 2.4-4.




D?monstration du Th?or?me 2.4-2. Le Th?or?me 2.4-4 entra?ne bien s?r que

le morphisme du Th?or?me 2.4-2 est surjectif. Voyons que le Lemme 2.4-3

entra?ne que le morphisme du Th?or?me 2.4-2 est injectif. Si P est op?rateur de

l'anneau V^ r* [jc, dp] qui annule efym dans An r* le reste de sa division par l'id?al

(di-7r(di(f)-\-mTxm~l,..., <9p-7r(?i=i,...,n.xf )) est un op?rateur de v? r* [x]m-2?Q

qui annule e/,m et qui est donc nul en vertu du Th?or?me 2.4-4. Mais l'annulateur

de efjn dans A\T*[dx,dp]

est engendr? par l'id?al

(?i

- 7T (dx(f)

+ mTxm-x)

,...,dr-ir (Iî,...^))

.

Ceci entra?ne que P<8>efym est nul. D'o? l'injectivit? du morphisme du Th?or?me

2.4-2.

D?monstration du Th?or?me 2.4-1. Voyons maintenant comment le Th?or?me

2.4-2 entra?ne le Th?or?me 2.4-1. Il faut montrer que le morphisme

D\,r*t/4(EXP^'r*t)0Q "

D\r,W4(EXP^)m

est un isomorphisme. En vertu de la Proposition 2.2-3 et du Th?or?me 2.4-2 on

a les isomorphismes (dans la cat?gorie d?riv?e)

t L t V},xX*[x,dr]?Q

? ExP/,m,p*t

^ V^r>[^9r]?Q?At [? wExp/mr*t

- ExP/,m,r*

?Q

Appliquant le foncteur DnT*-f/{dx)<S^> , on trouve l'isomorphisme

L + L L + A*,r*tl(Qx) ? V^r*[x,<9p] <8> Expf mT*\ -*

Dnr*t/(dx) (g) Exp?mr* <g>Q. Dn,r*t

'

Dn,r*t

' ' '

D?,r*t

'

Mais alors on a les isomorphismes en vertu de la platitude ? gauche de la Propo sition 2.2-4

?\p*t/(dx) I vIj*[x,dr] ~

Z\r*t/{?x) ?Dnr+t v{xT*[jc,dr] Dn,T*?

Mais on a aussi les isomorphismes

A.,r*t/(&) <8> vj_>r*[x,<9p]?Q ~

vj^[x,?r]/(9A)?Q -

D?r*t/(0,)?Q. D?,r*t



1042 Z. MEBKHOUT

Ceci montre que l'on a l'isomorphisme du th?or?me de comparaison 2.4-1

D\^t/4(ExP/,-,r*t)^

-

D\x,t/4(ExP),m,r*)^

2.5. D?finition des ?quations MJnm. Comme cons?quence du th?or?me de

comparaison nous allons montrer le th?or?me d'acyclicit? et d?finir les ?quations

Mkm

Corollaire 2.5-1. Si V est ? valuation discr?te contenant n, m est un nombre

premier avecp et strictement plus grand que le degr? total def on a les annulations

si i ̂ n:

Ri (^.t/^P/'Ô

0Q = /// (D\x.t/4(Exp/^))

?Q = 0

et le R*r[dr]?Q-module ? gauche

H" (D\,r,t/*t(ExP/,m,r*t))

^Q * H" (D/?Vit/Rt(Exp|m,r,))

m

est libre en tant que Pp?Q-module de rang (m ?

1)" engendr? par les classes des

mon?mes x1, l - (l\,..., ln), // < m ?

2 .

D?monstration. Ceci r?sulte du th?or?me de comparaison 2.4-1 et du lemme

([Mo5], 3.1):

Lemme 2.5-2. Soit R un anneau, u une unit? de Ret m un entier > 2. Supposons

que V?, / = 1,..., n sont n op?rateurs R-lin?aires commutant entre eux sur l'anneau

R[x\,..., xn] tels que V/(g) = ux ~~]

g+ des termes de degr? strictement inf?rieur ?

m?\, alors d'une part le complexe de Koszul K(R[x\,... ,xn];Vi,i = l,... ,n) est

acyclique en degr?s < n ? 1 et d'autre part le conoyau R[x\,... ,xn]/(Vi,i =

1,... ,n) est un R-module libre engendr? par les classes des mon?mes xl,l =

(h,...,ln),li <m-2.

La d?monstration du lemme pr?c?dent se fait par un calcul direct. On applique

le lemme ? R = Pp<g>Q, u = mnF, V? =

dXi + ir

(dx?(f) +

m^"1 j pour trouver le

Corollaire 2.5-1.

D?finition 2.5-3. Si m est un nombre premier avec p et strictement plus grand

que le degr? total de/ on d?finit Mf^m comme le Pp[?r]-module quotient

Rrlxy((dXx+ir(dXx(f)+mT^-x) Rr[x] ,..., (dXn+7r (dXn(f)+mrx%-{) Rr[x])




o? Rr[x] :- Rt[x\, ,xn] et MJnm

comme le PJ4<9r]-module quotient

4M/((4i+?t (dXl(f)+mTjt?-1) 4M, ..., (dXn+ir (dXn{f)+mT^-1) r\[x])

o\xR\[x] :=R]T[x\,...,xn].

MfA,m?Q est libre sur Rr?Q de rang (m -

\)n et MJ^m<s>Q

est libre sur Pp?Q de

rang (m ?

1)".

Corollaire 2.5-4. Si V est ? valuation discr?te contenant tt, m est un nombre

premier avec p et strictement plus grand que le degr? total def on a les annulations

si i 7- n, n + 1

H\DRAn^/v(ExpffmX*i))w =

H\DRAnr^/v{ExplmX*))m = 0

et Von a les isomorphismes:

H?DR(MtnJ?Q =* H"

(Dtfv,t/v(Exp/)m>r.t)) ?Q

Hhn(Ml,m)?Q ^ Hn+l

(DRAnrtt/v(ExpLm^))m

^H"+l(DRAn^/v(ExplmX,))m

d'espaces vectoriels sur le corps des fractions de Vanneau V.

D?monstration. Ceci r?sulte du th?or?me de comparaison 2.4-1, de la Propo sition 2.1-3 et du Corollaire 2.5-1.

Remarque 2.5-5. La situation du Th?or?me de comparaison est similaire

? la situation du Th?or?me de semi-continuit? de l'irr?gularit? d'une famille

d'?quations diff?rentielles dans le cas complexe [Me2]. Les r?sultats du Corol

laire 2.5-1 s'expliquent par la constance de la ramification p-adique ? l'infini le

long des fibres de la projection

Spec (fp[xu ...

,jc?,7,7-1]) -

Spec (^[7,7-*])

.

2.6. Preuve de la majoration fondamentale. Soit donc/ =

/(jc) un polyn?me non constant ? coefficients dans l'anneau V, contenant tt, en les variables x\,...,xn et un entier m strictement plus grand que le degr? total de/. Si jcq =

jc^1 ...x^n est un mon?me on obtient en effectuant la division euclidienne dans l'anneau



1044 Z. MEBKHOUT

K[x,r,r~l,Ax] d'exposants mTx%~\...,mTx^~l l'?galit?

x" = E Q?7r(mTx^-l^dXi(f))~dXi)^Ra(x,T-l,Ax), i=\,...,n

o? le reste est un polyn?me Ra(x, P-1, Ax) qui peut s'?crire:

avec 5 = (5i,.. .,sn),Si < m ?

2, /? = (?\,... ,?n) et

C?s(T~l) sont des polyn?mes

en T-1 ? coefficients dans K. De plus on voit par r?curence sur la longueur de a

que la longueur ? est born?e par la partie enti?re de |a|oo/m? 1. Nous utiliserons

que l'in?galit? ?vidente |/5|oo < |a|oo. Il nous faut montrer que |c^(r~1)|gauss est born? par C(p\a\OQ)n. Nous allons, pour cela, utiliser la transformation de

Fourier.

D?finition 2.6-1. On d?finit la transformation de Fourier de Ar(T)-alg?bres

TF de l'alg?bre de Weyl K(T)[x,dx] dans l'alg?bre de Weyl #(r)[?,<%] par

TFte) := -%/tt, TF(?Xj.)

:= tt?.

Remarque 2.6-2. La transformation de Fourier TF se prolonge ? l'alg?bre

des op?rateurs diff?rentiels p-adiques d'ordre infini sur l'espace affine Dl?Q par

Tf( E cÂ := E (-1)H~^^.^/3

La transformation de Fourier est un isomorphisms de Ar(T)-alg?bres. On

trouve donc:

= E irar> ((

- ir-1 ^r?g-1 + E Jt4

- 6 i=l,...,n \ y,|y'|<m-2

s,?

o? les coefficients ?ty sont d?finis par:

WWW?:- E ?t?i /,|/|oo<W-2




Consid?rons le ?"(r)[?? <9?]-module ? gauche

TF(Exp/?m>r):=A:(nK,? ]//

o? / est l'id?al

mY

(-7T)" er-l + aXj mT

-1M Trly'k^

^' '(_7r)m-l?? ;.|j|oo<m-2

" V '

m-1

;\|;|oo<w-2 /

C'est un iT(r)[?]-module libre de rang (m?l)n engendr? par les classes [?|]

des

op?rateurs dLsi < m ?

2, / = 1,..., n.

Notons Gi, i = 1,..., n la matrice d'action de d^,i = 1,..., n dans la base

[d?/n^00]. On a les ?galit?s

dm-\ Si

(-1)"

mT Y, 7rm"1-|^00aIy^-7rm-1^ *?7V?

?Moo<m-2

, / = 1,..., n

modulo l'id?al /. On obtient alors les ?galit?s:

k=\,...,n

o? les matrices A?,Bk sont ? coefficients dans l'anneau Z[a?/,7r, l/raT]. Soit ? =

(il,..., f?) un point "g?n?rique". Notons

aGN"

la s?rie formelle de matrices (m ?

1)" x (m ?

1)" solution du syst?me diff?rentiel:

F0 = W,

dc? =

GiU,i =

1,... ,n.

Les matrices Fa = Fa(i) sont des fonctions polynomials en t =

{t\,..., /?).

Lemme 2.6-3. 5/ m est premier avec p les normes de Gauss des matrices Fa sont born?es par {tt^00/a\\.



1046 Z. MEBKHOUT

D?monstration. Si m = 2 la solution formelle est la fonction exp(^((a

+

0(? ?

0 + ?(? ?

02) o? a et A sont des nombres de V. D'o? le lemme dans ce

cas l?.

Si m ? 1 > 2, notons et le vecteur dont les composantes sont nulles ?

l'exception de la i-?me composante qui alors ?gale ? 1. On a alors les ?galit?s

pour / = 1,..., n

Fa+e; = -r A/ + Y^ tkBk Fa +- V^ BkFa-ek y k=\,...,n / k=l,...,n

Comme m ? 1 > 2 ces relations montrent par r?currence sur |a|oo que l'on a des

?galit?s

TtHoc F =_M 1 a , 1?a

al

o? les matrices Ha sont ? coefficients dans l'anneau Z[<z,y, ^, tt, 1/mT], ce qui montre le lemme.

Notons plus g?n?ralement Ga la matrice repr?sentant l'action de d? dans la

base {[d^/TT^î

< m - 2,/ = 1,... ,n}.

Proposition 2.6?4. On a les ?galit?s

G*(0 al

= Fa(0

D?monstration. C'est l? un r?sultat g?n?ral pour les modules libres de type fini ? connexion integrable sur l'alg?bre de s?ries formelles sur un corps de

caract?ristique nulle. On raisonne par r?currence sur |a|oo. On peut supposer que

Moo > 2. Soit / tel que al > 1. Par d?finition on a

GQ(0 := dc.Ga-e?0

+ Ga-e,(OGi(0

Que cela ne d?pende pas de l'indice i est ?quivalent aux conditions d'int?grabilit?. Si on note G) pour tout rc-uple k la matrice

c?|G, la proposition est ?quivalente

? l'?galit?

qui se montre ais?ment par r?currence.

D?monstration de la majoration 2.4-6. En vertu du lemme et de la proposition

pr?c?dents la norme de Gauss de la matrice ^p-

est born?e par |7rial??/a!|.




En particulier les coefficients de sa premi?re ligne qui sont les composantes de

A?([l]) sont de norme de Gauss born?s par |7rlal??/a;!|. Mais par construction

*(m>-(-.M-)??(_ 4*-')^ M) "'

\?,s<m-2 IJ'n

)

Ceci implique en passant ? la base ([?i], s\ <m ? 2,i= 1,..., n), par r?curence

descendante en s, les in?galit?s

^(r_1) /?!7tM=

< h\-n(m-2) = C.

gauss

Donc les in?galit?s:

^(r-1) < c

gauss 7T Mo ?\

ni' < C ?\

7T \?\o

Rappelons que si k = a\pl +... a?> est le d?veloppement p-adique d'un entier k on

a ord{k\) -

-0f o? sj? = a/ + flo- Par ailleurs on sait que -^?-

< 1 + Logp{k).

Donc si a est un rc-uple d'entiers naturels on obtient la majoration:

al

rMc <p"NSo.

Comme |/?|_o < |a|oo on obtient les in?galit?s:

?\ c%s(r-1)

< c I gauss

qui est la majoration cherch?e.

7Tl> < C{p\a\00)n

A l'occasion de la preuve de la majoration pr?c?dente nous avons rencontr?

le probl?me d'?quations aux diff?rences finies suivant. Soit/ un polyn?me ? n

ind?termin?es jc = {x\,... ,xn) ? coefficients dans une Z-alg?bre A et m un entier

strictement plus grand que le degr? total de/. Consid?rons le module diff?rentiel

formel engendr? par:

efjn :=exp ?T [/(*)+ ]T j?

o? T est une ind?termin?e. Pour tout mon?me jcq il ais? de voir que

xaeLm = Pa{x, T~l,Ax){effm)



1048 Z. MEBKHOUT

o? Pa est un polyn?me de degr? au plus m ? 2 en jc?, i = 1,... ,n. De plus on

peut ?crire

P (x T~l A ) - V ^?(ff + fr)' *A/3

*,|0+*|oo<[|a|oo/m-l]

o? les coefficients c^ks

sont des ?l?ments de A ?z Q.

Proposition 2.6-5. Sous les conditions pr?c?dentes les coefficients Cqs sont

des ?l?ments de l'alg?bre A\m~x\

La d?monstration se fait par la m?thode pr?c?dente ? l'aide de la transfor

mation de Fourier. Alberto Arabia a r?dig? un programme pour Maple intitul?

"Magic Bound" qui corrobore cette propri?t? avant qu'on trouve la d?monstration

pr?c?dente.

Remarque 2.6-6. Le polyn?me/(x)+r(X^=i,...,?-*f) n'est pas commode selon

la d?finition de l'article d' Adolphson-Sperber [A-S]. Nous ignorons si l'on peut

appliquer leurs m?thodes, qui sont compl?tement diff?rentes et ind?pendantes des

m?thodes de cet article, pour montrer le th?or?me de comparaison et d'acyclicit?. Les m?thodes de cet article se situent dans le cadre de la th?orie des

2}^t?Q modules et sont susceptibles de g?n?ralisations aux fibres de rangs sup?rieurs.

2.7. Cas des fibres de rang sup?rieur. Si au lieu de consid?rer le fibre

trivial A\+x muni de la connexion naturelle on consid?re un A?+1 -module libre

de rang fini Aft muni d'une connexion alg?brique integrable tel que l'action

de l'alg?bre A\+X[d\,... ,dn,F] se prolonge en une action de l'alg?bre D^r des

op?rateurs diff?rentiels d'ordre infini sur l'espace affine de dimension n+ 1, alors

on peut montrer que le DxX-modu\t ? gauche tordu Exp? ?4t M^ est un DxT

-module ? gauche. Le Th?or?me de comparaison pr?c?dent pour m assez grand

premier ? p reste valable avec la m?me d?monstration.

3. Le Th?or?me de R?duction du th?or?me de finitude de la cohomologie

p-adique au th?or?me de l'indice pour la classe Mf^m. Nous allons trans

poser, ? partir du th?or?me de comparaison relative pr?c?dent, les ?tapes de la

d?monstration de Monsky [M05] du th?or?me de finitude de la cohomologie de

de Rham d'une vari?t? alg?brique non singuli?re sur un corps de caract?ristique

nulle, dans le cas p-adique en utilisant la th?orie des modules exponentiels de

Dwork ([D5], [D6]): Premi?re ?tape: R?duction au cas des ouverts principaux des espaces affines.

Deuxi?me ?tape: R?duction au cas du module Expjy

sur les espaces affines.

Troisi?me ?tape: D?formation du module Expj

en Expjm.




Quatri?me ?tape: R?duction au th?or?me de l'indice pour les ?quations diff?rentielles de la classe Mf^m. Chemin faisant nous montrerons un Th?or?me de Bertini en caract?ristique p > 0

adapt? ? la situation p-adique et la suite de Gysin en toute codimension.

3.1. La Cohomologie de de Rham p-adique d'une vari?t? affine.

3.1.1. Soit (V, m, k, K) un quadruplet o? V est un anneau ? valuation discr?te

complet, d'id?al maximum m, de corps r?siduel k de caract?ristique p > 0 et de

corps de fraction K de caract?ristique nulle. Si A est une ?-alg?bre de type fini

non singuli?re, en vertu du th?or?me d' Elkik [E] il existe une V-alg?bre de

type fini non singuli?re A dont la r?duction modulo l'id?al maximal de V est

isomorphe ? A. On consid?re le compl?t? faible A* de l'alg?bre A [M-Wi], c'est

une alg?bre quotient d'une alg?bre {V[x\,... ,xn])^ qui d?finit un sch?ma formel

faible [Mr] topologiquement de type fini non singulier X^ := {Xk, Ox\) o? Xk est

la vari?t? affine non singuli?re Spec A. Soit Vx\ le faisceau sur Xk des op?rateurs diff?rentiels p-adiques d'ordre fini ([M-N3]). Pour tout Vx\ -module ? gauche M^

on pose

DR(M*) :=RhomVxi (OxUM*)

et on d?finit sa cohomologie de de Rham

H'Dr(M*/V)

comme la cohomologie du complexe RT{Xjc;DR(Mj[)). Prendre garde que les

espaces H'DR(M^ /V) ne sont isomorphes dans le cas affine aux espaces de de

Rham des formes s?par?es ferm?es modulo les formes exactes que sur Q. Les

espaces vectoriels sur K

HDR(Ox,/K) :=HDR{Ox,/V)?Q

ne d?pendent ? isomorphisme canonique pr?s que de A [M-Wi]. On les note

HDR{MK)

ou HDR{Xk\K) qui alors d?finissent des foncteurs contravariants en A [M-Wi]. Pour ?viter toute confusion due ? l'utilisation tr?s r?pandue du terme "cohomolo

gie p-adique ", nous notons HDR(A;K) la cohomologie de de Rham p-adique de Xk au lieu de H (A;K) ou HMW{A;K) ou encore HDMW(A\K) employ?es par certains auteurs. L'important pour le lecteur est de savoir que ce sont les m?mes

espaces de cohomologie. Si A est une ?-alg?bre de type fini non singuli?re il existe un triplet {V,k,K)

comme pr?c?demment et une ?-alg?bre A* de type fini non singuli?re telle que



1050 Z. MEBKHOUT

k <g>jc Ak czA. On d?finit

H'DR(?\K)

comme

K?KHDR(?k\K).

Ces ?T-espaces ne d?pendent que de l'alg?bre A et d?finissent des foncteurs con

travariants parce que la cohomologie p-adique commute au changement de base

fini [M-Wi].

Si Xk est une vari?t? alg?brique non singuli?re sur k la m?thode de Grothen

dieck ([G3], page 320) du site des rel?vements locaux de Monsky-Washnitzer, un

objet du site ?tant un ouvert de Xk muni d'un sch?ma formel faible, permet de

d?finir la cohomologie p-adique de Xk comme l'hypercohomologie du complexe de de Rham sur ce site qui est l'aboutissement de la suite spectrale Cech-de

Rham [G2] d'un recouvrement affine de Xk. Cette m?thode est toute indiqu?e

pour passer, de fa?on g?n?rale, des d?finitions de nature locale obtenus gr?ce ?

l'existence de rel?vement locaux aux d?finitions analogues de nature globale et

ramener les probl?mes de nature globale aux probl?mes de nature locale.

3.2. Le th?or?me de Bertini.

Th?or?me 3.2-1. Soit X une vari?t? affine non singuli?re sur un corps k

alg?briquement clos et Y un ferm? irr?ductible de codimension > 2. Alors il existe

une hypersurface Z\ de X qui contient Y dont le lieu singulier sing (Z\) est contenu

dans Y et est de dimension < dim Y.

D?monstration. Soit B l'alg?bre des fonctions de X et / =

(/o,... ,fu) un

syst?me de g?n?rateurs de l'id?al p de Y. Soit P^ l'espace projectif de dimen

sion u > 1 et Z T hypersurface du produit X x? P| d?finie par la fonction

F(x, X) = S/=o,...,w -V*- Soit g et h les morphismes Z ?> X, Z ?

Pj induits

par les projections naturelles. Notons Ch l'ensemble critique du morphisme A qui est d?fini localement par l'id?al

F(x,X), E Aidxxf,..., E IM i=0,...,u i=0,...,u

pour un syst?me de coordonn?es locales x = (x\,..., xn) de X et d =

(dXl,..., dXn )

les champs de vecteurs tangents associ?s. La matrice jacobienne (dXjf?J = \... ,n\

i = 0,..., u) est en tout point lisse de Y de rang codim* Y > 2 en vertu du crit?re

jacobien puisque Y est irr?ductible et que le corps de base est alg?briquement clos.

La dimension de l'ensemble Y xx Ch est strictement plus petite que dim Y + u

et sa dimension relativement ? P^

est strictement plus petite que dim Y. Mais

l'ensemble Z Xx (X ?

Y) est lisse.




Si la caract?ristique de k est nulle la fibre g?n?rique du morphisme Z Xx

(X ?

Y) ?> Pj

est lisse parce que toute composante irr?ductible de l'ensemble

critique est separable sur son image par A. Ceci entra?ne que la fibre g?n?rale Z\

du morphisme Z ?> P|, qui est une hypersurface de X qui contient Y et dont le

lieu singulier est de dimension strictement plus petite que dim Y, a les propri?t?s du Th?or?me 3.2-1.

Si la caract?ristique de k est positive les composantes irr?ductibles du lieu

critique de A ne sont pas ? priori separables sur leur image, l'argument pr?c?dent ne marche plus.

Nous allons utiliser la m?thode de Altman-Kleiman [A-K], qui montrent le

th?or?me de Bertini pour les sections hypersurfaces, pour construire un syst?me de g?n?rateurs de p qui convient. Soit les inclusions

FClCAfc/f k k

o? A^

est l'espace affine de dimension N. Notons *P l'id?al de Y dans l'espace

affine A^

et Ij Ie faisceau d'id?aux de l'adh?rence de Y dans l'espace projectif

Pj!. Soit un entier s tel que le faisceau Tj(s) est engendr? par ses sections globales.

D'o? un morphisme surjectif

Ox-y ?-kT (/f ;Ij(s)) -+ Ox-y(s).

Comme le faisceau Ox-y(s) est inversible on en d?duit ([G-Di], 4.2.4) une section

du fibre projectif trivial sur X ? Y qui suivi de la projection naturelle fournit un

morphisme

x-y-.p(r(/f;jy(j))).

On a not? P(E) l'espace projectif des hyperplans de l'espace vectoriel E ([G-Di],

?4). En combinant le morphisme pr?c?dent avec l'inclusion X ? Y ? P^

:= ?N+l

P((k )*) on en d?duit une immersion

x-Y^p(r(p?k-,iY(s)))xP((kN+iy),

qui suivi de l'immersion de Segre ([G-Di], 4.3.3) fournit une immersion:

X-Y^p(r(pl;lyis))?-k(kN+y).

Notons p le morphisme canonique

r(/f;%(s))%(^y-,r(/f;j7(S +

i))



1052 Z. MEBKHOUT

et G{p) son conoyau. Les morphismes

Ox-y ?-k r (/f \iY{s)) ?-k (kN+y

- 0X-Y(s + 1)

et

Ox-y ??fr (/f ; Jy(5+ 1))

- Ox-y(s+1)

sont surjectifs. On d?duit des morphismes

P (r (/f;lyis)) % (k )*)

_ P (r {P*;ly(s

+ 1)))

-P(G(p))-^P(r(/f;JF(S+l)))

qui montrent, puisque X? Y ?> P ( T (/^ ;2y0)j <% (?

+ ) )

est une immersion,

que le morphisme

X-F-P^/f-.TyKs+l))) est une immersion.

Soit (7o,..., crM une base de l'espace vectoriel T (p^;2y{s

+ 1) j, elle d?finit

donc l'immersion X - Y ?> P (T [P^',ly{s

+ l)j J. Puisque le corps ? est infini

on peut appliquer le th?or?me de Bertini pour les sections hyperplanes d'une

vari?t? quasi-projective cf. ( [G-D2], [Kl]). Il existe un ouvert non vide de k

tel que l'hypersurface de X ? Y d?finie par

J2 A^(jc) = 0 i=0,...,u

est non singuli?re pour tout ? := (?o,..., AM) dans cet ouvert. D'autre part les

images des sections 00,..., ou par le compos? des morphismes canoniques:

r (/f -,iY{s +

d) - r

(Af,T(5 +

d) - r

(a%;Iy)

engendrent *p. Leurs images,/o,... ,/M, dans B = T(X; Ox) engendrent p. L'hyper

surface de X d?finie par __)?=o,...,M A?/?- est d'une part lisse au point g?n?rique de

Y pour ? appartenant ? un ouvert non vide ku parce que k est alg?briquement clos et Y est irr?ductible. D'autre part elle est non singuli?re en dehors de Y pour

un ouvert non vide de ku parce que k est infini. L'hypersurface Z\ d?finie par

J2i=o,...,u îfi Pour A g?n?ral a toute les propri?t?s du th?or?me 3.2-1.

Corollaire 3.2-2. Soit X une vari?t? affine de type fini et non singuli?re sur

un corps alg?briquement clos ketZ une hypersurface de X. Alors il existe un entier




M > 0 une filtration X = Xo D X\,... D Xm par ?tes ouverts affines telle que

que X/+i est le compl?mentaire dans X/ d'une hypersurface non singuli?re pour

i-o,...,Met que Xm est contenu dans X ?

Z.

D?monstration. On raisonne par r?currence sur la dimension du lieu singulier

sing(Z) de Z. Si dim sing (Z) est nulle il passe par tout point de sing(Z) une

hypersurface non singuli?re en vertu du Th?or?me 3.2-1, ou par le th?or?me de

Bertini pour les sections hyperplanes. Par r?currence sur le nombre des points de sing (Z) on d?duit le th?or?me dans ce cas l?. Supposons que dim sing (Z)

=

N > 0. Il passe, en vertu du Th?or?me 3.2-1 une hypersurface Z\ par toute

composante irr?ductible de sing (Z) de dimension N dont le lieu singulier est de

dimension < N. En appliquant l'hypoth?se de r?currence au couple (X, sing (Z\))

puis par r?currence sur le nombre de composantes irr?ductibles de dimension

maximum de sing (Z) on obtient un entier M et la filtration de X par des ouverts

affines X?? = 0,...,M ayant les propri?t?s du corollaire tels le singulier de Xm HZ

est strictement plus petit que dim sing (Z). L'hypoth?se de r?currence permet de

conclure au Corollaire 3.2-2.

3.3. Suite de Gysin pour la cohomologie p-adique. Nous allons indiquer comment la th?orie des Vx\ -modules sur un sch?ma formel faible permet de

montrer de fa?on formelle la suite exacte de Gysin p-adique en toute codimension

obtenue auparavant en codimension un dans [Moi].

3.3.1. La Cohomologie locale alg?brique. Soit (V, k, K) un triplet comme

auparavant, X^ = (X^,?x\) un V-sch?ma formel faible non singulier ([M-N3],

4.4) et yt = (Y, Oyi) un V-sous sch?ma plat ferm? de X^ d?finit par un id?al ly\.

Si M est un complexe born? de Vx\ -module ? gauche on d?finit la cohomologie locale alg?brique de y^ ? valeur dans M par ([M-N3], 4.4):

RalglY(M) := R lim Hom<n t (Oxi/Isyf,M) S?KX) <*C ' ^

qui est un complexe de Vx^ dont nous notons algHlY(A4) les faisceaux de coho

mologie. Supposons que y^ est non singulier de codimension d dans X^ et que M. est le fibre ?x\. Alors les faisceaux de cohomologie locale alg//y(?^t)?Q

sont concentr?s en degr? d ce qui se voit exactement comme en caract?ristique nulle. D'autre part le D^t?Q-module alg//y((9^t)?Q est localement engendr?

par un g?n?rateur dont l'id?al est engendr? par (jci, ..., jc?, dXd ,..., dXn) pour un

syst?me de coordonn?es locales tel que Y est d?finie par les classes de jci, ... ,jc?. Soit l'immersion r?guli?re ?: y^ ?> X^ et ux\ le faisceau inversible des

formes diff?rentielles s?par?es qui est un Vx\ -module ? droite de fa?on na

turelle. On d?finit le module de transfert T>y\_+X\ comme ?*T)x\ qui est un

(^t,it-1^t)-bimodule et

P^t^-yt comme ?~x(Vx^ ?a^ ^vx\) ?oy] <^yt

qui est un (? ~1

Vx\, Vy\ )-bimodule.



1054 Z. MEBKHOUT

Lemme 3.3-1. // existe un isomorphisme canonique de T>x^ ?Q-module ? gauche

(T)x^yt ??^t Oyt) ?Q -? alg#$ (0Xi) <g>Q.

D?monstration. Comme en caract?ristique nulle on part de l'isomorphisme de dualit? uy\

?> Ext^ [Ox\ ?Xy\, ujx\ ), et on en d?duit un morphisme

^t ?vy] 2V-#t -

alg//y(cj^t),

d'o? un morphisme:

vy\ ?vy^ 2>yt?#t?Q ?

algi/y(cj^t)^Q

dont nous allons voir que c'est un isomorphisme de VXi?Q-modules ? droite. La

question est locale, si (jci, ... ,jcn) est un syst?me de coordonn?es locales telles

que Y est d?finie par les classes de {x\,... ,x?) la forme dx?+\ -dxn est un

g?n?rateur local du Vy\?Q-module ? droite u>Yi?Q dont l'annulateur est l'id?al

(dXd+],..., dXn). On trouve la pr?sentation

VX? 0Q/(xi,..., xd, dXd+l,..., dXn)Vx] ?Q

de (jjyi ?x> t 2>yt-?;tt?Q qui est aussi une pr?sentation locale de algH^(o;^t)^Q D'o? l'isomorphisme de T>x\<g>Q-modules ? droite. On passe de l? ? l'isomor

phisme de Vx\ ?Q-modules ? gauche du lemme en appliquant le foncteur

Homo +<g)Q(a;#t?Q, ) qui est une ?quivalence entre la cat?gorie des Vx^q modules ? droite et la cat?gorie des Vx\ ?Q-modules ? gauche.

3.3.2. La Cohomologie locale analytique. Supposons que Y est un ferm?

de Xk et M^ un complexe de modules sur un faisceau d'anneaux A sur Xk alors

le complexe de cohomologie locale RFy{M^) est un complexe de ^4-modules.

En particulier si A est le faisceaux Tfi x\ des op?rateurs diff?rentiels p-adiques

d'ordre infini sur Xk ([M-N3], [M-N2]) le complexe de cohomologie locale ana

lytique RT\{Ox\) est un complexe de V^x\-modules ? gauche. Rappelons que

V^x\ est le sous-faisceau du faisceau Endy {Ox\) des endomorphismes P tels que

pour chaque entier k la r?duction Pk modulo m* est un op?rateurs diff?rentiels

d'ordre born? par \{k + 1) pour une constante ? > 0 ([M-N2], 4.2.1, [M-N3],

4.4.5).

Si Y est une vari?t? ferm?e non singuli?re de codimension d on voit en

utilisant le th?or?me d'acyclicit? de Meredith [Mr] des faisceaux coh?rents sur

les sch?mas affines formels faibles que les faisceaux HlY{?x\) sont concentr?s

en degr? d exactement comme dans la th?orie analytique complexe. Si M est un complexe born? de Vx\ -module ? gauche et Y un ferm? de Xk



FINITUDE DE LA COHOMOLOGIE /7-ADIQUE 1055

sous jacent ? un sous-sch?ma (Y,?y^) de X^ = (X, ?x\) on dispose de fa?on naturelle d'un morphisme Tfi x\

- lin?aire

Z^tO^tRalgrHA*) -

RTY(Vtxi?VxtM).

L'extension Vx\ ?>

V^x\ est plate ([M-N2], [M-N3]). Appliquant cela ? M =

O^t et en tenant compte de l'isomorphisme P^t<8>Q?D t0Q0^t<^Q ?>

?^t^Q on trouve un morphisme

(*):?t^t0Q?p;k.t?QRalgry(C?Ar)?Q -+

RrY(?#t?Q).

Lemme 3.3-2. 5/ (Y, Oy\) est non singuli?re de codimension d le morphisme

(*): V*xi?q?vxi?q alg//?(0Ar)?Q -? #y(?;rt?Q)

es? M/i isomorphisme de V^ X]?<Q_ -modules ? gauche.

D?monstration. La question est locale. Soit jc = (x\,... ,xn) un syst?me de

coordonn?es tel que Y est d?fini par la r?duction modulo m de x\,... ,jc?, alors il

est facile de voir que d\gHy(?x)?Q est engendr? en tant que VX^?Q par la classe

de 1/jci -Xd dont l'annulateur est l'id?al (x\, ...

,Xd,dXd+i,.. .,dXn). De m?me

on peut voir que que Hy(Ox)?Q est engendr? en tant que V^Xi?Q par Ia classe

de 1/jci Xd dont l'annulateur est l'id?al (jci, ...,jc?, dXd+l,..., dXn) exactement

comme dans la th?orie complexe cf. [M-N2].

Th?or?me 3.3-3. Soit X^ = (X^, ?x\) un V -sch?ma formel faible non singulier et y^

? (Y, Oy?)

un V sous-sch?ma non singulier ferm? de X^ de codimension d.

On a alors la suite exacte de Gysin

~* H1dr (^' K) ~*

HlDR&k\ K) ?> HlDR(Xk

- Y; K)

? Hl^R

+ (Y; K) -? .

D?monstration. Notons/: y^ ?? X^ l'inclusion canonique. Pour tout 2>yt?Q

module ? gauche M, on a l'isomorphisme canonique

L DR(M)

~ ??yi?Q ?vyt?Q M[

- dim Y].

Si bien que la formule de projection cf. ([M-N4], II 5.5) fournit un isomorphisme

canonique

DR(Vx^yi?Q ?2>yt?Q M)[dimXk] ~j*DR(M)[ dim Y].



1056 Z. MEBKHOUT

Appliquons ceci ? M = Oy??Q

et en tenant compte du Lemme 3.3-1 on trouve

T isomorphisme de comparaison

Hdr (algHdY{Ox)?Q) ^ H?*(Y;K).

D'autre part en tenant compte du Lemme 3.3-2 on trouve l'isomorphisme

wDR (z\gHdY{Ox)m) ^ h1dr (HdY{Ox)m).

Si bien qu'on obtient la suite de Gysin ? partir de la suite longue de cohomologie obtenue en appliquant le foncteur de de Rham au triangle de cohomologie locale:

RrY{Oxt?Q) -+

0Xi?Q -+

Rj?J-l{oxi?Q).

Nous aurons ? utiliser le suite de Gysin que dans le cas de codimension une.

Remarque 3.3-4. On peut remplacer dans toutes les consid?rations pr?c?dentes le fibre trivial ?Xi?Q par un

V*xt ?Q-module qui est localement libre de rang fini

comme C^t^Q-module. D'autre part la m?thode de la cat?gorie des rel?vements

locaux permet de montrer la suite de Gysin dans le cas global.

3.4. Lemme de d?vissage, r?duction au cas d'un ouvert principal de

l'espace affine.

Lemme 3.4-1. Soit S un ensemble dy algebres de type fini et non singuli?res sur

un corps k alg?briquement clos ayant les propri?t?s suivantes

(1) toute alg?bre isomorphe ? un ?l?ment de S est un ?l?ment de S.

(2) 5 est stable par somme directe.

(3) S contient toutes les algebres k[x\,... ,xn, \/h] pour tout n et pour tout

polyn?me h an variables.

(4) Soit B une alg?bre non singuli?re sur le corps k et t un ?l?ment non nul de

B, tels que B/t est non singuli?re, si deux des algebres B, B/t, Bt sont des ?l?ments

de S, la troisi?me alg?bre est dans S.

Alors toute alg?bre B de type fini et non singuli?re sur le corps k est un ?l?ment de

Vensemble S.

D?monstration. Soit B une telle alg?bre. Par la condition 2 on peut supposer

que B est int?gre. En vertu de la condition 3 si B est de dimension nulle elle est

dans l'ensemble 5. On raisonne par r?currence sur la dimension de B . On peut

supposer que n = dim (5) > 0 . Alors B est birationnelle ? une hypersurface d'un

espace affine et donc il existe un polyn?me z tel que l'alg?bre B' = k[x\,... ,xn]/z admet m?me corps des fractions que l'alg?bre B. Il existe alors un polyn?me h




qui n'appartient pas ? l'id?al z tel que l'alg?bre P* := B'h est non singuli?re. En

vertu des conditions 3 et 4 l'alg?bre P* est dans l'ensemble 5.

Les algebres B et B* admettent m?me corps des fractions. Il existe un ?l?ment

g* de P* et un ?l?ment g de B tels que les algebres P** et Bg sont isomorphes. Ap

pliquant le Corollaire 3.2-2 au couple (P*,g*) on trouve des ?l?ments zi,... ,zm

de P* tels que B*XmmmZm =

P**Zl Zm. La condition 4 et l'hypoth?se de r?currence

sur la dimension montre que l'alg?bre P**Zl Zm est dans l'ensemble 5 donc que

l'alg?bre Bg est dans l'ensemble S en vertu de la condition 1. En appliquant de

nouveau le raisonnement pr?c?dent, en sens inverse, au couple (P, g) on trouve

que l'alg?bre P est dans l'ensemble 5.

En vertu du lemme pr?c?dent pour montrer que les algebres de type fini non

singuli?res sur un corps alg?briquement clos ont toutes une propri?t? V, il suffit

de montrer que la propri?t? V est stable:

(1) par isomorphisme,

(2) par somme directe,

(3) les algebres de coordonn?es des ouverts affines principaux des espaces affines ont la propri?t? V,

(4) Pour une alg?bre P et une hypersurface non singuli?re d?finie par g si

deux algebres du triplet (P, B/g, Bg) ont la propri?t? V alors la troisi?me alg?bre a la propri?t? V.

Les conditions (1) et (2) sont souvent faciles ? v?rifier. La condition (4) est

cons?quence de la suite exacte de Gysin si V est une propri?t? cohomologique. Comme application du lemme de d?vissage on obtient alors le th?or?me:

Th?or?me 3.4-2. Si les espaces de cohomologie HlDR(k[x\,... ,xn, l/h];K) sont de dimension finie pour tout n, tout polyn?me h ? n variables ? coefficients dans k et tout i alors les espaces de cohomologie de Rham p-adique de toute vari?t?

affine non singuli?re sur k sont de dimension finie.

D?monstration. Consid?rons la classe 5 des vari?t?s affines de type fini non

singuli?res sur k qui ont la propri?t? de finitude pour leurs cohomologie p-adique. La classe S est stable par isomorphisme, par somme directe et ? la propri?t? (4) du Lemme 3.4-1 en vertu de la suite de Gysin 3.3-3. Si 5 contient les ouverts

principaux des espaces affines, alors en vertu du lemme de d?vissage la classe

contient toutes les vari?t?s affines non singuli?res de de type fini sur k.

Pour montrer que les espaces HlDR(k[x\,... ,xn, \/K\\K) sont de dimension

finie il suffit de montrer que les espaces HlDR(k\x\,... ,jc?, 1/A];^) sont de di

mension finie pour K suppos? ? valuation discr?te.

3.5. R?duction au cas du module exponentiel ExpL. Soit (V,k,K) un

anneau de valuation discr?te,/ un polyn?me non nul ? n variables (jci, ... ,jc?) ?



1058 Z. MEBKHOUT

coefficients dans l'anneau V et Y l'hypersurface de l'espace affine Xk d?finie par la r?duction/ modulo m de/. Notons ExpL le module libre de rang un sur

a\+1 engendr? par ejf := exp {nTf) muni de la connexion

dXi(geTf) := (di{g) + 7cTgd?f)eTf i=l,...,n

et

drigerf) '= {dT{g) + ngf) eTf.

Notons Aljr

la V-alg?bre A?+1/(l -

Tf) et d?finissons HY{X; ?x\) par la suite

exacte de A\[d\,...,?y-modules ? gauche:

Proposition 3.5-1. Si f est un polyn?me dont les coefficients non nuls sont

des unit?s de Vanneau V on a un isomorphisme de ?h[dXl,..., dXn]?Q-modules ?

gauche

DRAn+l/An (Exp},,) ?Q[ + 1] - HlY{X; (9Aft)?Q.

D?monstration. Consid?rons le complexe

(*) 0 ?> Exp\y ?Q-5

Exp\y <g)Q -U HY{X; ?Xi)?Q

?> 0

o? 7 est le morphisme qui ? la s?rie [IfZkeN1 ,ieNGkJX^T1) ejf associe la classe

dans HY{X; ?x\ )?Q de la s?rie

? i-^?auxkf-l-\x). ?' 7T

?:GN",/ N

C'est un complexe de A?[<9i,..., ^J^Q-modules ? gauche.

Lemme 3.5-2. Si f est un polyn?me dont les coefficients non nuls sont des

unit?s de Vanneau V le complexe (*) est exact.

D?monstration. Sous les conditions du lemme la fonction e-Tf :=

exp ?7t7/(jc), qui est le noyau de la premi?re diff?rentielle du complexe (*), a un rayon de convergence ?gale ? un et donc n'appartient pas ? Aj+1?Q. Le

complexe (*) est exact ? gauche.




Si un ?l?ment de H$X\ Ox$?q est repr?sent? par la s?rie

E *w**/~ kewjeN

i-\

il est l'image par 7 de la s?rie fcjteiVMeN (

)] *

bk^Tl\ ejf qui est un ?l?ment

de ExpL ?q. Donc le complexe est exact ? droite.

Reste ? voir que le complexe est exact au milieu. Soit l'?l?ment de

E ai{x)Tl eTf := E a^jl \ e?f

de ExpL tel que la s?rie

kewjeN n

est une fonction ? a-\ de Al?Q. Il nous faut montrer qu'elle est dans l'image de

l'op?rateur dr + 7t/(jc). En consid?rant l'inverse formel

E (-vfWr1)')* 1 T

i 1=0,00

de l'op?rateur de dr + 7t/(jc), on est amen? ? d?finir la suite des fonctions de

A??q:

bi(x) ^ _tc*_

A_i :=a-\

et la s?rie formelle b\(x) + YîeN i+rTl+l.

On a alors par construction formelle la

relation

(dT + */(*)) L, + E ~?T'A = E ?/(x)T'.

\ / N / /GN

Pour conclure ? l'exactitude de la suite (*) il suffit de montrer le lemme:

Lemme 3.5-3. Si la s?rie J2kew,ieN ('~l}n aKi^f~l~liX) est une fonction de

A?<g>Q alors la s?rie b-\ + ?/eN ~mTm

est une fonction de A?+1<g>Q.



1060 Z. MEBKHOUT

D?monstration. Les fonctions a?{x), I N sont toutes d?finies dans un m?me

domaine \x\.< p pour un nombre r?el p > 1 et il existe un nombre r?el ?,0 <

? < 1 et une constante C > 0 tels que:

pk < CXl.

On trouve donc

(___Vw+1 / ( - lV/! "\ ( - 1)VW+1 /V ( - 1)**! \ ?, = ??f {a-i

+ --- + ?^-a>)=-jr-f f?-^r-?)

Si un point x du domaine |jc| < p est tel que |/(jc)| < ? on trouve, en utilisant

la premi?re ?galit?, l'in?galit? \bi(x)\ < C'Eogp{?)\l

o? C est une constante et si

| y (jc) I > ? on trouve, en utilisant la deuxi?me ?galit?, l'in?galit? \b?(x)\ < CXl. Ces in?galit?s montrent que la s?rie ?_i +

__]/gN ~m Pl+l est une fonction de

A?+l?Q

Donc, si / est un polyn?me dont les coefficients non nuls sont des unit?s de

l'anneau V, en vertu de la Proposition 2.1-3 et de la Proposition 3.5-1 on a une

suite exacte longue d'espaces vectoriels sur K:

- HUaI/K) - H?DR(A?f/K)

- H%( Expjy /K)-*...

Mais en vertu du lemme de Poincar?, toute fonction de Al?Q admet une

primitive en x?, i =

1,..., n on a:

HU4/K) = 0, i > 0 H?DR(A?/K)

= K.

On obtient alors le th?or?me suivant:

Th?or?me 3.5^4. 5/ / est un polyn?me ? coefficients unitaires dans Vanneau V

et si les K-espaces HlDR{ ExpL /K) sont de dimension finie pour tout i, les espaces

de cohomologie HqÂ^JK) sont de dimension finie sur K pour tout i.

3.6. D?formation du module exponentiel Expj au module

Expj m r. Soit

/ un polyn?me ? n variables jc = (jq,... ,jc?) ? coefficients dans l'anneau V.

Soit m un entier > 0, rappelons que e/>m d?signe la s?rie formelle exp (7r(/(x) +

r(X!;-i,? */")) D?finissons le module (An[r_1])^/,m par la suite exacte de

(-!)'/! 7P -ai (p) := sup

k

( -

1)'/! 7T -<*k,l




A^+1[9x,?r]-modules:

(*) 0 -* Expjmr

-> Exp)mr*

-> (A?[r-1])

e/jn -? 0.

Proposition 3.6-1. ?> morphisme de comparaison

DRAn+l/An (Aitr-1]^) ?Q ->

D*Wa? ((Antr-1])^/, ) ?Q

d?duit du morphisme Al[T~l]ef^m ??

(A?[r-1]) e/?m es? im isomorphisme de

An[dx]?Q-modules.

D?monstration. Nous allons voir que l'op?rateur dr + tt (Xî,-^^)

est

inversible dans l'espace quotient (An[r-1]) ?Q/A?[r-1]<g)Q ce qui entra?ne la

proposition.

D?signons par T l'op?rateur qui ? une s?rie Xw>o #/(*)r_(/+1) de l'espace

(Art[r-1]) associe la s?rie J2i>iai(x)^~^l+l^- L'op?rateur d^lT op?re alors sur

l'espace (A?[r-1]) ' ?q, o?

dp1 d?signe l'op?rateur d'int?gration sur les s?ries

dont le coefficient de T-1 est nul.

Lemme 3.6-2. L'op?rateur ?/>o(( -

l)V(?/=u.xf/(dflT)M op?re dans

l'espace de fonctions (An[r-1]) ?Q.

D?monstration. On a formellement

E|<-i)V( E *r) sr-V] hak(xw-?A , />0 l V=l,...,n / / \fc>0 /

- E ̂ f E

^)'.?wr-<'-'>. l>0,k>0KL^K)' \i=\,...,n )

Maintenant si la s?rie

E?*(*)r-<*+1> k>0

est un ?l?ment de l'espace (An[r_1])t(g>Q la s?rie

E <^ ( E ^V?,*?r-?*'>

l>0Jc>0Kl*K)m \i=l,...,/i /

est un ?l?ment de l'espace (An[T~l])i?Q. D'o? le lemme.



1062 Z. MEBKHOUT

Ceci d?finit, par passage au quotient, un op?rateur dans l'espace

{An[T-l])??Q/A?[r-%Q

qui est un inverse de l'op?rateur dr + tt{ __];-? Jcf). D'o? la proposition.

L'op?rateur dr + n{ Y,i=\,...,?*T) est injectif dans l'espace Ah[r~l]?Q et son

conoyau, engendr? par la classe de 1/T, est isomorphe ? Exp??Q en tant que

Al[dx]^)Q-modulQ ? gauche. On a donc en vertu de la Proposition 2.1-3 les

isomorphismes:

DRAn/K (Exp)) ~

DRAn+i/K {Al[r-l]efjH) [+ 1]

^ DRAn+x/K((An[r-x])] ef,my+\l

La suite longue de cohomologie d?duite de la suite exacte (*)

-+ HlDR (Exp^r/tf) - H'DR (Exp)mr, /K)

-+ tfDR {An[r-ltfef/n/K) - H??R (Exp)>mr/tf)

s'?crit en tenant compte des isomorphismes pr?c?dents

- H?DR (Expj^r /*) - //?, (Exp)mr, /K)

-> tf^1 (Exp) /AT) - /#? (Exp^r/AT)

- .

Mais en vertu du Corollaire 2.5-4 du Th?or?me de comparaison si m, premier avec p, est strictement plus grand que le degr? total du polyn?me / les espaces

HlDR{Explmr* /K) sont nuls pour i ^ n,n+\. Sous cette condition il nous reste

la suite exacte d'espaces vectoriels sur K

(**) 0 - H"D-R2 (Exp) /K) - HnDR (Exp)mr /AT)

-, fl?? (Exp)>m,r, /k) -+ HnD-Rx (Exp) /K)

- fl$ (Exp)m r /AT) -+ //$ (Exp^j, /*)

-?_,(exP)/a:)-o

et les isomorphismes pour / > 3:

(***) HU (Exp) /K) -, <;-('-1) (Exp)>m,r /AT)

.

En vertu du Corollaire 2.5-4 l'espace H^R \ExpJmr* /K) est isomorphe ?




l'espace de cohomologie HpR(MJnm)?Q qui est de dimension finie born?e par le

rang (m ?

l)n. Pour un entier naturel / > 0 consid?rons l'assertion:

B(i): pour tout polyn?me / ? n-variables ? coefficients dans l'anneau V

l'espace H^1 (Exp? /Kj est de dimension finie sur K.

Lemme 3.6-3. L'assertion P(0) entra?ne l'assertion B(?) pour tout i.

D?monstration. En effet soit un polyn?me/ ? n-variables ? coefficients dans

l'anneau V, alors l'assertion P(0) appliqu?e ?/ et/(x) +r(î=i,...,?^r) entra?ne

que les ^-espaces

H"DR (Exp) /K) , H$ (Exp)mr /K)

sont de dimension finie. Mais la dimension de l'espace

HnDR (Exp) mj, /K)

est born?e par (m?l)n. La suite exacte (* *) montre que l'espace H^l(Expj /K) est de dimension finie sur K pour tout/ ? n-variables ? coefficients dans l'anneau

V qui est l'assertion P(l). L'assertion P(l) appliqu?e au polyn?me f(x) + T(]T?=i .,?;tf)

montre que

l'espace

H"DR(ExptmX/K)

est de dimension finie sur K. La suite exacte (**) montre que l'espace

H"d-r2(ExP}/k)

est de dimension finie sur K pour tout/ ? n-variables ? coefficients dans l'anneau

V qui est l'assertion P(2). Pour i > 3 l'assertion B(i

- 1) appliqu?e au polyn?me/(jc) + T( Yli=\,...,n JCT)

montre que l'espace H^R~l+l(ExpjmT/K) est de dimension finie sur K. La suite

exacte (***) montre que l'espace H^l(Expj /K) est de dimension finie sur K

pour tout/ ? ^-variables ? coefficients dans l'anneau V qui est l'assertion B(i). D'o? le Lemme 3.6-3 par r?currence sur / > 3.

Pour tout polyn?me/ ? n-variables ? coefficients dans l'anneau V la suite

exacte (**) ?tablit que si l'espace //g^1 ( Expj m r* /K) pour un entier m premier avec p et strictement plus grand que le degr? total de / est de dimension finie



1064 Z. MEBKHOUT

alors I' espace

H"dr(ExP}/k)

est de dimension finie qui est l'assertion 5(0). Mais en vertu du Corollaire 2.5^ l'espace HbR(M\nm)?<Q.

est isomorphe ?

l'espace de cohomologie HjyR (Expjwrt /KJ. On a alors d?montr? le th?or?me

Th?or?me 3.6-4. La finitude des dimensions des espaces H})R{Mlnm/K) pour tout triplet (f, n, m\ ayant la propri?t? pr?c?dente, entra?ne la finitude des dimen

sions des espaces HlDR(Expl /K) et la finitude des nombres de Betti p-adiques

Bpj{X) pour tout i, pour tout polyn?me f et toute vari?t? affine non singuli?re X

sur k.

Remarquons que si f\ et f2 sont deux polyn?mes ? n variable ? coefficients

dans V ayant m?me r?duction modulo l'id?al maximum, la fonction exp(7r(/i ?

/_)) appartient ? l'espace Aj. La multiplication par cette fonction est un isomor

phisme horizontal entre les modules exponentiels consid?r?s. En particulier les

espaces de cohomologie de de Rham des modules exponentiels ne d?pendent ?

isomorphisme pr?s que de la r?duction du polyn?me/ modulo l'id?al maximum

de V. On pourra donc choisir au mieux le rel?vement des polyn?mes ? coefficients

dans le corps k.

Cette m?thode ram?ne les propri?t?s des espaces de cohomologie de de Rham

p-adiques des modules exponentiels et des vari?t?s affines non singuli?res aux

propri?t?s analogues des espaces

"drWIJK), HlDR(MlnjK).

Par exemple:

Proposition 3.6-5. Si pour tout triplet {f,n, m, (p, m) = \,m > deg(/)) les

espaces

HdrWIJK), HxDR{M}nm/K)

commutent au changement de base V ?> V' d'anneaux de valuations discr?tes non

n?cessairement fini, alors les espaces de cohomologie de de Rham p-adique des

modules exponentiels et des vari?t?s affines non singuli?res sur k commutent au

changement de base V ?? V'.

D?monstration. En effet l'hypoth?se entra?ne que le morphisme de change




ment de base pour tout polyn?me /an variable ? coefficients dans V

HnDR (Exp) /K) ?k K' - HnDR (Exp) /K')

est surjectif par la suite exacte (* *). La m?me propri?t? appliqu?e au polyn?me

/(jc) + r Y, ^],(p,m) = l,m>deg(/)

et la suite exacte (**) entra?nent que le morphisme de changement de base

pr?c?dent est injectif, donc bijectif. La m?thode de r?currence du Lemme 3.6-3

montre la proposition.

Remarque 3.6-6. On peut dans les d?monstrations pr?c?dentes remplacer le

fibre trivial sur un espace affine par un fibre trivial ? connexion integrable de

rang sup?rieur ayant les propri?t?s 2.7.

4. La classe des ?quations diff?rentielles Mf^m. Le Th?or?me 3.6-4 nous

am?ne ? ?tudier la classe des ?quations diff?rentielles Mf^m pour les rel?vement

/ des polyn?mes ? coefficients dans le corps Fp .

4.1. Structure de Frobenius sur la classe A//>,m. Soit (/, n, m) un triplet o?

/ est un polyn?me ? n variables ? coefficients dans un sous-anneau V complet ?

valuation discr?te de Ocv contenant tt et m un entier premier avec p et strictement

plus grand que le degr? total de /. Notons <pq le morphisme de Frobenius

Af Âf

p^-+pj^

induit par la ramification d'ordre q. Rappelons que par d?finition Mf^m est un

fibre de rang (m ?

\)n sur Pr muni d'une connexion et Af? m est le module libre

sur Pp obtenu par changement de base. Notons

(Pq*M?nm son image inverse par

le morphisme ipq et Teich (f) le rel?vement de Teichm?ller du polyn?me /.

Th?or?me 4.1-1. Sif est ? coefficients dans le corps Fq, il existe un isomor

phisme de Frobenius

F: <??*Af|. .

/is (g>Q ?> M?

. , ,*. <g)Q ^tf Teich (f),n,m ^

Teich (f),n,m ^

de Rfldr^Q-modules ? gauche.



1066 Z. MEBKHOUT

D?monstration. Rappelons que Expj m r* est le module libre sur A\ r* en

gendr? par ef,m. Son image inverse par ipq est le module engendr? par la s?rie

exp(7r(/(^) + H(E/=i,,(^r)) Nous supposons que /

= Teich (f), alors la fonction

??(*,n:=exp?7r?/(x*) + P? ? x " \ -f(x) - T ? xf

est une fonction de A*n+l [M02]. On a un isomorphisme A^r*[9x, dr] -modules ?

gauche

ÊxP/,m,r* -*ExPJ,m,r*

qui ? gexp{ir{f{xq) + I^( ]T/=1 n (x^)) associe (?>qgef,m, qui est la structure de

Frobenius du module exponentiel Exp? m r*.

En particulier c'est un isomorphisme de RT[x, dx, ?r]-modules ? gauche. En

prenant les complexes de de Rham relatifs on trouve un isomorphisme de com

plexes de R\ [dr] -modules ? gauche

DRaIxj4 (^*ExP/,m,r*)) ->

DRaIxj4 (ExP/,m,r*)

En prenant la cohomologie en degr? n on trouve l'isomorphisme Z?p[<9r]?Q modules ? gauche:

H" (DRA?rj4 K ExP/,w,r*))

?* -+ H" {DRAln/4 (ExP/,m,r*))

?Q

Mais en vertu du th?or?me de comparaison 2.4-1 c'est l? un isomorphisme de

^j^Q-module libre de rang fini {m

? l)n.

Lemme 4.1-2. // existe un morphisme de complexe de R\[dr]-modules ? gauche

de Frobenius relatif:

%: <pq*DRA^/R^ (Expj^*) m -

DRA^/R^ (^* ExpjmT*) m

et un morphisme de complexe R*r[dr]-modules ? gauche de Dwork relatif:

^:D/?At_,/4 (^*ExP/,m,r*) ?Q -^

^dra\vjrI (ExP/,m,r*) ?Q.

tels que ̂ o$? =

qnId.




D?monstration. Le complexe <pq*DRAi //?t [ExpjmTA est concentr? entre

les degr?s 0 et n et sa/?me composante est le Pp[dr] -module ? gauche

4 ? ExP/,m,r* ?AnXOw?r. \*??t

Le signe P ? rappelle que R est un P-module par le morphisme <pq:R ? > P.

De m?me le complexe DR a /oAVq* Exp! r*) est concentr? entre les degr?s 0

n,r*' r '' '

et n et sa/?me composante est le Pp[dr]-module ? gauche

A?r* ? Expj^p. ?a^Q^r/Rr -^?r* "Vr*

D?finissons le morphisme:

%: 4 ? Exp)mr* ?A?Xnr//?r

-+ A^ ?

Exp)mX* ?An,ri^nr/?r

par

%(h ? gef,mdxh A ... A d*?.) := ??r?""1 jc?_1A

?gef,mdxix A ... A

d^..

Le A^r*-module A?r* ? Exp! r* est libre engendr? par jc'T* ? e/>m, / =

(/1,..., /?), k < q ?

l, k < q ? l. Nous d?finissons le morphisme:

4? :A^p* ? Exp?mp* ?AnX&Ant/Rt

- 4 ? ExP/,m,r* ?A?Xnr/?r

par

^(fi^êf^dxi.A.. .A<fc?,) :=

tf^'r*?//,^ I ?-1

*

q_x I eLmdxhA.. .AdXij

o? pour toute fraction rationnelle P(jc), %(P(jc)) := E^=x.i=i ...WW ([R-C],

v. 17). De fa?on ?vidente on a

4^ o

O^ =

cfld. Par construction les morphismes

&q et ̂ q se prolongent en des morphismes de complexes de Pp[9r] -modules ?



1068 Z. MEBKHOUT

gauche:

^DRaIxj4 (ExP/,m,r*) ?Q ->

DRA?rj4 (^*ExP/,m,r*)

DRA\TjRl (^*ExP),m,r*) -

^DRAlTjRl (EXPkr*)

tels que ôO? =

qnId. Prenant les morphismes induits entre les derniers modules de cohomologie

on trouve des morphismes de Rr[dr]-modules ? gauche:

<Mln,m?? ̂ H" (DRAlrj4 {< ExP/,m,r.))

^ ^*MLm^

tels que ô$? =

qnId. En particulier le premier morphisme est injectif. Mais

en vertu du th?or?me de comparaison 2.4-1 les /?p[<9r]?Q-modules ? gauche

pr?c?dents sont libres en tant que modules sur l'anneau R*r?Q de m?me rang fini

{m ?

l)n. Comme l'anneau R^Q

est principal, il en r?sulte que le morphisme:

Vq*Mf,n,m?? ^ H" (DRAlrj4 (^*ExP/,m,r*))

??

est un isomorphisme de /?p[?r]?Q-modules ? gauche cf. ([Ci], 4.3). Autrement

dit dans cette situation le complexe de de Rham relatif commute ? l'image inverse

par la ramification de Frobenius.

Composant avec l'isomorphisme induit par la structure de Frobenius de mod

ule exponentiel:

H"(DRAlrj4{<E^Lr*))^

on trouve la structure forte de Frobenius F sur le module M?nm?Q

du Th?or?me

4.1-1.

Les modules diff?rentiels Mf^m, bien que irr?guliers ? l'origine, ont certaines

propri?t?s des G-modules ou des ^-modules de la th?orie des G-fonctions et E

fonctions et m?ritent d'?tre ?tudier de point vue global.




4.2. Singularit?s des ?quations MfJ]jn.

4.2.1. Cas de la singularit? ? l'infini. Soit/ un polyn?me ? n variables ?

coefficients dans un sous-anneau V de ?Cp

contenant -k et m un entier strictement

plus grand que le degr? total de /. Le module exponentiel Mf^m est le module

quotient

RrW/((dXl + n(dXl(f) + mT^-^PrW,..., (dXn + it(dXn(f) + mTx%-x)RT[x})

o? PrW := Rr[x\9 ,*?]. C'est un module libre ? connexion sur l'anneau Pp de rang (m

? l)n engendr? par les classes [x?] des mon?mes Xs =

x\l -xsnn,sl <

m ? 2, / = 1,..., n. On voit par r?currence que la matrice de la connexion dans la

base pr?c?dente est ? coefficients dans l'anneau V[l/m,r-1]. Le module Mf^m

poss?de deux singularit?s, z?ro et l'infini. L'infini est singularit? alg?briquement

r?guli?re alors que z?ro est une singularit? alg?briquement irr?guli?re. Notons

irro (Mf^njn, oo) son nombre de Fuchs ? l'origine. On a alors la formule d'Euler

Poincar? de Deligne [Dei]:

x{DR(Mf^m)) := dimKHomK[rr_lA]^K[T,r-llMLnymm) -

dim* Ext^r_lA] (K[T, r~l],Mf^m?q)

= - irr0 (Af/,?,m, oo).

La matrice residue, le coefficient de 1/T, de la connexion est triangulaire, ses

valeurs propres, les exposants alg?briques ? l'infini du module Mf^m, sont des

?l?ments de Z[l/m]. Si on suppose de plus que m est premier ? p et que le polyn?me / est le

rel?vement de Teichm?ller d'un polyn?me ? coefficients dans le corps r?siduel, en

vertu du Th?or?me 4.1-1, le module diff?rentiel Mf^m est muni sur l'anneau Pp d'une structure de Frobenius. En particulier il est soluble au point g?n?rique t\. On

est dans les conditions d'application du Th?or?me de transfert de Christol [C3]. Le nombre de Fuchs-Malgrange, d?fini par Robba ([R5], 10.1) comme l'indice

g?n?ralis?:

in-oo (Mf^m,p) := X ir? -

G/,n,m,ôo(l)J

o? Gf^m est la matrice de 1 'op?rateur T-^ dans la base [Xs],Xs =x\l

- jc^,^ <

m ? 2, i = 1,... ,n, est nul. Ceci entra?ne la relation ([C-Mi], 6.2.3)

dim/Êxt!, d (Mf^m,AKoo(l)) = mi(oo)

- (m

- \)n

o? mi(oo) est la multiplicit? de la composante verticale de la vari?t? caract?ristique



1070 Z. MEBKHOUT

de A//-,/i,m ? l'infini. Remarquons que HomA:rr_] _?, {Mf^m, AkooO^?) est nul parce

que l'action de T-1 est bijective sur Mf^m. Dans le cas de la singularit? ? l'infini

le Th?or?me de Christol montre que le principe de transfert pour les ?quations

Mf^m ? lieu.

4.2.2. Cas de la singularit? en z?ro. La singularit? en z?ro de la classe

des modules diff?rentiels Mf^m est irr?guli?re. Sa structure alg?brique est ana

lys?e par la d?composition de Turrittin, en particulier son polygone de Newton

Newo {Mf^m, oo) est d?fini et est ? coordonn?es enti?res.

La structure p-adique de la singularit? en z?ro de la classe Mf^m est un cas

particulier, tout en ?tant le catalyseur, de la structure p-adique d'un point singulier d'une ?quation diff?rentielle obtenue dans les articles ([C-Mi], [C-M2], [C-M3]). Les ?quations Mf^m montrent que le principe de transfert pour la singularit? en

z?ro n'a pas lieu en g?n?ral: la matrice de changement de base apr?s ramification

entre la base de Mf^m est la base de la forme normale de Turrittin ne converge

pas dans la classe r?siduelle de z?ro.

La situation est nettement plus compliqu?e, mais c'est aussi le coeur du

probl?me et le prix qu'il faut payer pour rendre la situation g?om?trique explicite et surmonter les difficult?s des singularit?s qui apparaissent dans la cohomologie.

Nous allons, pour la commodit? du lecteur, r?sumer les r?sultats obtenus dans les

articles ([C-Mi], [C-M2], [C-M3]) dans le cas des ?quations M/^m. Sous l'hypoth?se o? Mf^m est soluble en t\ et est d?fini sur un corps lo

calement compact K, il admet une filtration par des modules diff?rentiels sur

l'anneau des fonctions analytiques au bord 1Zko{1) d?finissant ainsi son poly

gone de Newton p-adique Newo {Mf^m,p) ([C-M3], 6.2.7) qui est ? coordonn?es

enti?res ([C-M3], 8.3.6). En particulier ([C-M3], 6.1.13) Mf^m est extension de

sa partie mod?r?e Mj]im par sa partie totalement ramifi?e Mf,n,m>\:

0 -> Mf,n,m>\

-+ ftjc(l) ?jqrx-1] MU,m -+

Mf^jn -+ 0.

Nous notons A/?x, AT> j les rangs de la partie mod?r?e et de la partie totalement

ramifi?e.

La partie mod?r?e a la propri?t? de Robba: la fonction R{Mffn,m, p) rayon de

convergence est ?gale ? p pour p e]l -

e, 1[ pour e > 0. L'exposant exp?(M/^m), d?fini comme l'exposant txpl{M^nlm)

de la partie mod?r?e, est un ?l?ment de

l'ensemble des exposants <?N<\/ ~

([C-M2], 5.3). Si les diff?rences de cet ex

posant ont la propri?t? (NL) (non Liouville) ([C-M2], 5.3.6), alors l'exposant

exp?(M/>?m) se rel?ve en un ensemble unique de TV-1 ?l?ments {ai, ,aN<\}

de Zp/Z. Sous cette hypoth?se la partie mod?r?e Mrnlm est extension it?r?e par

des modules de rang un isomorphes aux modules d?finis par T-^ ?

a?. L'espace des solutions multiformes de d?termination finie de Mf^m est alors de dimen

sion N-1 sur le corps K d?finissant sa monodromie p-adique, ce qui constitue le




Th?or?me fondamental de l'article [C-M2]. Ce Th?or?me repose sur la structure

de Frobenius de Christol-Dwork [C-D2] sur les couronnes de diam?tre non nul.

Nous regardons cette structure de Frobenius comme un substitut du rev?tement

universel du disque ?point? et du prolongement analytique de la th?orie complexe des ?quations diff?rentielles et devraient permettre de mettre au point la Th?orie

p-adique des cycles ?vanescents.

Le nombre de Fuchs-Malgrange, est d?fini par Robba ([R5], 10.1) comme

l'indice g?n?ralis?:

irro (AfMw,p) := X \T? -

Gf^m,AKoW)

o? Gf^m est la matrice de 1 'op?rateur Y^ dans la base [jc5],.^ =

jc^1 -x^,s; <

m ?

2,/ =

1,... ,n.

Nous d?finissons les nombres de Fuchs-Malgrange irro(.M/>,m>i,p) et

mo (Mflm,p) comme les indices "g?n?ralis?s" dans le cas o? le corps K est

localement compact ([C-M3], 8.3.8):

irr0(Al/,?,m>i,p) := X(Mf,n,m>\,AKoW)

inolMf^p) :=

X(Mflnm,AKo(l))>

Si I' exposant exp?(A/^m) a la propri?t? (NL) pour les diff?rences et si les

exposants eux m?mes ont la propri?t?s (NL) le nombre mo (Mflm,p)

est nul

et le nombre irro(.M/>,m>i,p) est ?gal ? la hauteur du polygone de Newton de

M/>,m>i qui est aussi celui de M/>m. En particulier c'est un entier naturel fini

positif ou nul ([C-M3], 8.3.7). Sous ces hypoth?ses la dimension du /T-espace

ExtK[rA] ^Mf^m,A)coW)

est finie et on a les ?galit?s

im (Mf,n,m>up) =

irro(MLrlym,p) = -

dim* Ext* d (Mf^m, AKo(D) -

(m -

l)n + mx(0)

o? rai(O) est la multiplicit? de la composante verticale en z?ro de la vari?t?

caract?ristique de Mf^m ([C-Mi], 6.2.3). Par les Th?or?mes de semi-continuit?

et de positivit? ([C-M3], 8.3.9) on a les in?galit?s

(*) 0 < irr0 (Mf^m,p) < irr0 (Mf^m, 00)



1072 Z. MEBKHOUT

et la formule globale ([C-M3], 8.4.1):

(**) X{DR{M}nm))

= - irro (M^,m,p).

Si le polyn?me/ est le rel?vement de Teichm?ller d'un polyn?me ? coeffi

cients dans le corps r?siduel, en vertu du Th?or?me 4.1-1, le module diff?rentiel

Mfjun est muni sur l'anneau R'r d'une structure de Frobenius et toutes les con

ditions pr?c?dentes sont satisfaites: l'ensemble des exposants exp?(M/^m) est

form? d'?l?ments de Zp D Q ([C-M2L 5.5.3). On obtient en r?sum? le Th?or?me

de l'indice ([C-M3], 7.5.2):

Th?or?me 4.2-1. Pour tout triplet {f,n,m,{m,p) = \,m > deg(/)), les K

espaces de cohomologie de de Rham p-adiques

"?or (?L^/*). "?k (MLwUK) sont de dimensions finie, commutent ? tout changement de base d'anneaux de

valuation discr?te et on a la formule d'Euler-Poincar?:

dim*H9)R (M? . u - /K) -

dim*HlDR (m? . u^ /K) ? UK V Teich^),", ' )

A UK \ Teichif),n,m' J

= -irro(MTeich^m,p).

Ce Th?or?me entra?ne en vertu du Th?or?me 3.6-4 le Th?or?me de finitude

1.0-1 des ^-espaces de cohomologie de de Rham p-adique des vari?t?s affine

non singuli?res sur k, de tous les modules exponentiels et leur commutation avec

toutes les extensions de base d'anneaux de valuation discr?te.

Notons Dp l'anneau des op?rateurs diff?rentiels d'ordre infini sur le droite

affine. Par construction le module M?nm?Q

est un Z)p(g>Q-module ? gauche. En

vertu du Th?or?me de finitude de la cohomologie locale p-adique ([M-N2], 4.5.4) on a la suite exacte de Dp-modules ? gauche de pr?sentation finie:

(* * *) 0 ? r0(?>p<g>Q ?_)r<g)Q Mf^m?Q)

? D\?Q <8>Dr?Q Af/>,m?Q

-* Mf,n,m??

- 0

o? ro(Z)^<g)Q(g)_)r?QM/^m(g>Q)

est un D^<g>Q-module ponctuel de multiplicit? ?gale

au saut irro (A//>,m, 00) ?

irro (M/^m,p), qui illustre le Th?or?me de finitude de

la cohomologie locale p-adique ponctuelle. Le

2}pit(g)Q-module ? gauche MJ^m?Q

associ? ? M?^m?Q

dont la restriction

? Uk := Spec k[j,j~l] qui est libre sur le faisceau C?_,t?0

de rang {m -

1)" est




un Tr lt?Q-module holonome objet de la cat?gorie des coefficients p-adiques vk

MLS(X>* lt?Q,F) d?finie dans ([C-M3], 9.4). On peut appliquer les r?sultats vk

g?n?raux de cet article.

4.2.3. L'exemple Mxi x3. Consid?rons le cas (/, n, m) =

(x2,1,3). Le module

diff?rentiel Mxi x3 est de rang 2. La matrice de la connexion dans la base [1], [x]

est la matrice:

Mat(V^;[l],W) = dr

3r 2

9r2

47T

9P? 8?r_2_

"27?^ 3r

Le vecteur [1] est cyclique. La matrice de la connexion dans cette base cyclique est:

Mat(V?;[l],V?([l])) =

dr dr

0

5

-9p?

1

27r2+8 7T

27 r3

On trouve que Mxi?? est ?quivalent ? l'op?rateur

5\ 87Tr_^ dr

+ 3J

+ 27 dV

L'op?rateur Pxi?? admet 0 comme exposant formel ? l'origine. Son nombre

de Fuchs en z?ro irro (Px2,i,3? ??) est ?gal ? deux. Il admet une seule pente formelle

?gale ? deux. Son indice formel est nul.

Supposons la caract?ristique r?siduelle diff?rente de 2. La solution formelle

de PX2X3

, x , v- k . 27(*-5/3)(Jfc-l/3) ,^0 g(x) =1 +

2âkx ou ak =-?-a*_2,k>2

k>2 $7Tk

est convergente dans le disque D(0,1~). Donc le module AfJC213 admet aussi

z?ro comme exposant p-adique. On peut voir que les solutions locales au voisi

nage de l'infini de MX2??) qui convergent dans le disque D(oo, 1~), ne con

vergent pas dans un disque de rayon strictement plus grand que un. En vertu du

Th?or?me de transfert [C3] la plus grande pente du polygone de Newton p-adique

Newo (Mx213) est strictement plus grande que un. Si 7ô(l) d?signe l'espace quo tient de TIkoW par Ako(1)> on peut voir que la dimension du noyau du transpos? de Px213 op?rant dans l'espace 7~??0(1) est ?gale ? un, engendr? par ^.

En vertu du

Th?or?me de dualit? ([C-Mi], 4.4.1) la dimension du conoyau de Px2?? op?rant dans l'espace AkoW est ?gale ? un. Donc l'indice X(Px2^?9AkoW) est nul. Le

nombre de Fuchs-Malgrange irro (Pjc2,i3,p) est ?gal ? 2. Le polygone de Newton

formel co?ncide avec le polygone de Newton p-adique et en fait la d?composition



1074 Z. MEBKHOUT

formelle co?ncide avec la d?composition p-adique de Mxi??. Retenons cependant de cet exemple que la d?composition p-adique n'a pas lieu sur le corps des

?l?ments analytiques au bord ce qui est ? la base du Th?or?me de d?composition

[C-M3].

Supposons la caract?ristique r?siduelle ?gale ? 2. Dans ce cas la solution

formelle de ^2,1,3 au voisinage de l'origine ne converge pas dans le disque

D(0,1~). On peut voir que la dimension du noyau du transpos? de /V,i,3 op?rant

dans l'espace HK(){\) est ?gale ? 2. Ceci entra?ne que l'indice X{PX2??,AkoW) est ?gal ? ?2 et donc le nombre de Fuchs-Malgrange irro(Px2 j 3,2) est nul.

Le module MX2?3 admet ?1/3, ?5/3 comme exposants 2-adiques ? l'origine, il

est donc de pente un ? l'origine. Le polygone de Newton de Mxi?? 2-adique est

trivial. Donc dans le cas de la caract?ristique r?siduelle ?gale ? 2, la d?composition formelle de MX2?3 est compl?tement distincte de sa d?composition 2-adique. Le

principe de transfert n'a pas lieu dans cet exemple.

4.2.4. L'exemple MXx+X2??. Consid?rons le cas (/, n, m) = {x\ +x2,2,3). Le

module diff?rentiel MXl+X2?? est de rang 4. La matrice de la connexion dans la

base [1], [jci], [jc2], [x\x2] est la matrice:

0 _2__7T__7T_ 3r 3r 3r

7T _J_ f\ _7T_ 9f! p

V 3p

TT r\ __j__-_ 9pl o p 3p

0 TT TT _4_

9p2 9p2 3r J

On peut montrer que la classe de x\ est un vecteur cyclique pour MXl+X2??. Le polyn?me indiciel ? l'origine est ?gal ?:

-4tt2<92 -

6tt2? -

2tt2.

Ses racines valent ?1 et ?1/2. Quand la caract?ristique r?siduelle vaut 2 1'

exposant formel ?1/2 n'appartient pas ? Z2.

4.2.5. Polyn?mes caract?ristiques de l'endomorphisme de Frobenius agis

santsur^ {m^JK),^, ?ich(^m/4 Soit Xk une vari?t? affine

non singuli?re sur le corps fini k = ?q de dimension n, alors le polyn?me car

act?ristique

PpJ{X, T) := det (/

- qnF~lT,//??; K))

de Fendomorphisme de Dwork Y* := qnF~~l [M04] op?rant sur les espaces

Hb?iXkiK) sont des ?l?ments de K[T] dont les degr?s sont ?gaux aux nom

bres de Betti Bpj{Xk) qui sont des nombres entiers finis en vertu du Th?or?me de




finitude!. On a alors la factorisation de la fonction z?ta ([M04], Th. 4.6):

Z(X/k,T)= H PPj(X,T)/H PpJ(X,T). i impair i pair

La philosophie g?n?rale de le Th?orie des Motifs de Grothendieck pr?dit

que les polyn?mes p-adiques PP?(X, T) sont des ?l?ments de Z[T] et sont ?gaux aux polyn?mes Sadiques Pij(X, T), en particulier Bp?(Xk)

= Bij(Xk) ([G3], 7.5,

p. 356). On s'attend donc ([De3], 3.3.5) ? ce que les polyn?mes p-adiques Ppj(X,T)

soient mixtes dont les poids sont major?s par ?/. Nous allons voir que cette

assertion se ram?ne par le d?vissage du Lemme 3.6-3 ? l'assertion analogue pour

la cohomologie de de Rham p-adique des modules exponentiels Mxeich(/),n,m. Pour un entier / > 0 consid?rons l'assertion:

W(i): pour tout triplet (f,n,m,(m,p) -

\,m > deg(/),/ =

Teich(/)) les

polyn?mes

PP.i (Exp),?,m, T) := det

(/ -

?"F"1^/^ (Exp}^ /k))

sont mixtes de poids major?s par ?/.

Lemme 4.2-2. Supposons que pour tout triplet (f,n,m,(m,p) = \,m > deg(/),/

Teich (f)) le polyn?me

Pp,n (Exp^, T) := det

(/ -

qn^-'T,HnDR (Exp^ /*))

est mixte de poids major? par ?n. Alors l'assertion W(0) entra?ne l'assertion W(i)

pour tout i > 0.

D?monstration. La m?thode du paragraphe 4.1 munit les ^-espaces des suites

exactes (**) et (***) du paragraphe 3.6 de morphismes de Dwork ^ et de

morphismes de Frobenius 0>q tels que ̂ oO^ =

qnId ou ̂ 00^ =

qn+lId selon

le nombre de variables. En vertu du Th?or?me de finitude on en d?duit que les

morphismes *?q sont bijectifs et des structure de Frobenius F sur ces espaces

compatibles aux morphismes. La m?thode de d?monstration du Lemme 3.6-3 se

transpose alors sans changement. Les assertions W(i) entra?nent que les espaces de cohomologie de de Rham

p-adique en degr? / des ouvert principaux des espaces affines sont mixtes dont

les poids sont minor?s par / et le lemme de d?vissage 3.4-1 que les espaces de

cohomologie de de Rham p-adique en degr? / des vari?t?s affines non singuli?res sont mixtes dont les poids sont minor?s par /, les isomorphismes entre espaces de cohomologie de de Rham p-adiques du paragraphe 3 sont compatibles avec

l'action de Frobenius.



1076 Z. MEBKHOUT

Mais si pour tout triplet (f,n,m,{m,p) = l, m > deg(/),/

= Teich (f)) le

polyn?me

Pp,n+l (Exp)i/vn, T) := det

(/ - ^F'^H^1 (Exp)>w>r, /k))

est mixte de poids major? par -a? - 1 on a l'assertion W{0). On est ramen? ?

montrer que

Ppfi ?v?>T) = det

(' - 4TxT,ifm {mIjk))

est mixte de poids major? par ? n et

PpA {Min^T) := det

(/ -

qF^T,HlDR ?,?/*))

et mixte de poids major? par ?n?\.

4.2.6. Poids ponctuels des modules exponentiels. Pour montrer les asser

tions pr?c?dentes en suivant le mod?le de la Th?orie ?-adique il faut localiser le

probl?me en utilisant les cat?gories

MLS (O t ?Q, F), MLS (2?Lt ?Q, F))

des coefficients p-adiques sur la droite projective introduites dans ([C-M3], ?9).

Soit un ouvert de la droite projective j: Uk ?

P\ sur k = F^ et

M\^ un

07/t?Q-niodule localement libre de rang fini ? connexion sur Uk muni d'une uk

structure de Frobenius: un isomorphisme horizontal

On a la r?sultat de base ([C-M3], ?9) qui repose de fa?on essentielle sur le

Th?or?me de l'indice:

Th?or?me 4.2-3. Lesfoncteurs image directe, image directe ? support propre et

image interm?diaire jl, j], j\i sont des foncteur s entre la cat?gorie des coefficients

p-adiques lisses sur Uk et la cat?gorie des coefficients p-adiques holonomes sur P\

MLS (O,t?Q, F) - MLS (??It?Q, F))

Uk Pv




et on a la dualit? de Poincar?, i = 0,1,2, entre les espaces de dimensions finie

ExtLt (PiOviuAM?.) x ExtiV (P?;OîtjjM*))

- ff,

ExtLt (Ph OviuJ?ML) x Ex?7f (P?; Opit J?.Mjt?

- * k Vk

?w M t d?signe le fibre dual. uk

Une fois les propri?t?s de finitude acquises la dualit? de Poincar? r?sulte du

Th?or?me g?n?ral de dualit? pour les ?>x-mx)dules coh?rents [Mei].

L'?tape suivante est de d?finir les poids ponctuels. Si M t est un V* t<g>Q qui Uk Uk

est localement libre de rang TV comme ?7yt?Q, pour tout point ferm? /o- 7o ?? Uk uk

la restriction VqM* t est un ff-espace vectoriel de dimension N. L'espace ?qM:^

uk est isomorphe ? l'espace

K r u

K

K U] k

k

([M-N2], 4.5.4) qui lui m?me est isomorphe ? l'espace

Horn* Horn t (M] t, AKyo(1)),K \ iA uk

ul

en vertu du Th?or?me de dualit? locale ([C-Mi], 4.4.1). La ramification de Frobe

nius induit un isomorphisme entre

Hom^t Oi^t,^70(l))et Hom^t (<?>*q{MK)AKl0(\)). u?

k u?

k

D'o? par transposition un isomorphisme

k k

dont nous notons *?$ l'inverse.

Si M'yt

est muni d'une structure de Frobenius F on en d?duit un automor uk

phisme de ff-espace vectoriel

F70: fi*MK - ?^(A^t)

- PiM^)

en composant 4*^0 et le morphisme induit par F.



1078 Z. MEBKHOUT

D?finition 4.2-4. On dit que M* t muni d'une structure de Frobenius est uk

ponctuellement pur de poids un entier w si pour tout point 70 les valeurs propres de

l'endomorphisme F7o sont des nombres alg?briques de valeurs absolues N{^q)w/2. Et on dit que M

' t est mixte s'il est extension it?r?e de modules ponctuellement

uk purs.

Exemple 4.2-5.

(1) Si / est un polyn?me ? n variables ? coefficients dans V le module

exponentiel ExpTeich(7) est ponctuellement pur de poids z?ro, en ?tendant de fa?on

?vidente les d?finitions aux fibres en dimension sup?rieure.

(2) En s'attend de fa?on plus profonde que les modules exponentiels Ml. L /7x sont purs de poids entiers sur le droite affine ?point?e. Teich (f),n,m

r- r- r

En effet l'espace /? M . 7 est isomorphe ? la cohomologie de de Rham

du module exponentiel ExpJ y- ^ qui en concentr? en degr? n en vertu du

Th?or?me de comparaison 2.4-1 o? To est un point de la classe r?siduelle de 70. Pour tout point 70 de la droite affine ?point?e notons jl0 la compactification naturelle A?

?> Pnk de la fibre de la projection Spec(IF^[jci,... ,xn,j, 7-1])

?>

Spec (^[7,7-1]). Le morphisme

V ^P/^HroiE/^) ~"^*Exp/(*Hr0(Ei^)

est un isomorphisme, ce qui se d?duit du r?sultat analogue en caract?ristique nulle. Cela entra?ne que le morphisme induit

est un isomorphisme o? la cohomologie ? support compact est d?finie comme la

cohomologie du module p-adique j^ Exp| ^ . Cet espace est parabolique

et la Th?orie ^-adique pr?dit qu'il est en effet pur.

Pour aller plus loin, le Th?or?me qui reste ? d?montrer est l'analogue p-adique du Th?or?me de puret? de Deligne les polyn?mes D{Ml. u -

):

PP'iV*'M7eich<f),n,m'T)

:= det ?/ -

q?-xT,Exi!v1 ^ (pxk;?vn,j\,M Teich (f),n,m

sont purs de poids entiers.




Plus g?n?ralement D(M7ji): si

M7j1 est ponctuellement pur de poids w les

polyn?mes: K K

PP,i (jl.^lvT)

:= det ?1 -

^F_lr'E<t it (phOvluj\M]u^ j sont purs de poids entiers dans le cas o? Uk est le compl?ment de l'origine et le

point ? l'infini, en supposant de plus que l'infini est une singularit? p-adiquement

r?guli?re. Une fois la puret? ponctuelle des modules exponentiels ?tablie les m?thodes

g?om?triques de ([De2], 3.2) permettent peut-?tre de passer ? l'assertion

D(M\ . .^ ).

La transform?e de Fourier globale sur la droite affine est disponible dans

le cas p-adique. En particulier on peut montrer par les m?thodes de cet article

que TFOViL. , ̂ ) est un coefficient p-adique sur la droite dual qui toutes les ^ Teich (f),n,m

x *

propri?t?s de ML . L /7x , structure de Frobenius et deux singularit?s, z?ro qui r r Teich (f),n,m

? l

est r?guli?re et l'infini qui est irr?guli?re. On peut faire l'analyse ? partir de la

suite exacte:

0 ? TF (r0(P>p?Q <S>Dr?Q Af/,n,m?Q))

? TF(D^(g>Q ?Dr?Q Mf^m?Q)

que l'on obtient par transformation de Fourier ? partir de la suite exacte (* * *) du paragraphe 4.1.2. Remarquons que l'ou dispose de la formule des points fixes

[Mo4]. En tout cas, si l'on veut transposer les arguments g?n?raux de Laumon [L]

il reste:

(1) A montrer l'analogue de ([De2], 3.2) dans le cas exponentiel et ([De3],

1.5.1) dans le cas g?n?ral,

(2) A d?finir la transform?e de Fourier locale qui est un foncteur involutif de

la cat?gorie MLS (1ZkoW, F) dans la cat?gorie MLS (TZkoo(I), F). La transform?e

de Fourier locale est disponible en rang un.

(3) A comprendre la Th?orie des cycles ?vanescents p-adiques et la phase stationnaire p-adique.

(4) A montrer la conjecture ([C-M3], 6.1.5) qui d?finit la filtration par le

poids de la monodromie.

Il nous semble que ces questions sont m?res aujourd'hui, en particulier dans

la situation g?om?trique de cet article. Pour notre part nous n'avons pas eu le

temps de les aborder. Elles devraient mettre la Th?orie de la Fonction z?ta p

adique sur les corps fini sur un pied d'?galit? avec son analogue ?-adique, ce

qui fera des modules exponentiels MTQich(j,m un outil incomparable, gr?ce en

particulier ? leur caract?res explicites.



1080 Z. MEBKHOUT

UFR de Math?matiques, Universit? de Paris 7, 2 place Jussieu, F-75251 Paris, France

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Sur le théorème de finitude de la cohomologie p-adique d'une variété affine non singulière