Sur les dquations diffdrentielles lindaires non homog nes, coefficients constants

Par CHARLES BLANC, Lausanne

L'intdgration d 'une dquation diffdrentielle lindaire, h coefficients cons- t an t s et avec second membre

d N U d ~v-1 U DU -= dtZr -~ a I -~ t~ .21 - ~ , . �9 -~ as, U =-- F(t) (1)

se ram~ne, grs s la mdthode de la var ia t ion des constantes, s la rdso- lut ion d 'une dquation algdbrique et s des quadratures. Mais on peut procdder d 'une autre mani~re. Si toutes les intdgrales de l 'dquat ion sans second membre

D U = 0 (2)

t endent vers zdro pour t -+ q- cr il paral t w'aisemblable qu 'une intd- grale de l 'dquat ion (1) ne ddpendra, pour t assez grand, que de la valour de F (t) pour cet te valour et pour les valeurs prises par F (t) aux ins tants immddia tement prdc~dents. On pout donc esp~rer donner une intdgrale de (1) sous la forme d 'une sdrie off figureront los valeurs de F (t) et de ses ddrivdes. C'est ce qu 'ont f a r en part iculier MM. J. R. Carson et T. C. Fry dans un mdmoire consacrd ~ l '~tude de la modulat ion de frdquencel): toutefois, pour dtablir en toute rigueur la validitd du ddveloppement en sdrie, il faut faire sur F (t) une premiere hypoth~se tr~s restr ict ive: F (t) dolt ~tre analy t ique pour tou te valour rdelle de t.

Le bu t de ce t ravai l est de donner une expression des intdgrales valable dans des cas beaucoup plus gdndraux, tels ceux par exemple qui se pr6- sentent dans les applications. I1 ne s 'agira tou t d ' abord plus de sdries, mais de ddveloppements limitds, avec un reste auquel il est facile de donner une forme analogue au reste de Lagrange.

On se bornera ici au cas d 'une seule dquation: il est ais6 de gdndraliser aux syst~mes diff6rentiels.

Avant de passer au probl~me proprement dit, il convient d 'dtablir une gdndralisation, assez dldmentaire, de la formule de Taylor.

1) j . R. Carson et T. C. Fry , Variable f r e q u e n c y e l ec t r i c c i r cu i t t h e o r y wi th app l i ca t ion to the t h e o r y of f r e q u e n c y - m o d u l a t i o n . Bell System Technical Journal 16 (1937), p. 513--540.

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1. Considdrons une fonct ion G(v) continue ainsi que ses (n § 1) pre- migres ddrivdes pour ~ ~ O, except6 pour une suite de valeurs ~0, v~ . . . . , vk . . . . t endan t vers l 'infini; G (3) est complexe. On suppose que lim G (~) (3) existe ~ gauche et s droite de ~k, et on pose

~ ) : G ( ~ ) ( v k § ) . r~--O . . . . . n .

Si l 'on convient de poser, pour ~ = ~k,

on a alors

puis

G(~) ( ~ ) = G (~) ( ~ - - O) ,

G(v) ~-- G(O) § ~G' ( z )dz § v 5(k ~ ,

S G' (z) dz = ~G' (O) -4- S (3 - z)G"(z) dz § V (~ - - ~) ~) ; 0 0 "~k-~,

en cont inuant ainsi les int6grations par parties, compte t enu des disconti- nuitgs,

1 TnG,~,(O ) § ~ (~--z)~G,~+I, G(3) z G(O) § ~G'(O) § 2 4 7 n ! o n (z) dz

1 + v [~(o) + (3 - ~k) ~(~1) + . �9 �9 + ~ i (3 - ~k) ~ ~ ( f ) ] .

On peut encore t ransformer l ' intdgrale qui figure dans cet te expression. Soit en effet

G(~) : GI(~ ) + iG2(~ ) ,

GI(~ ) et G2(~ ) d tant r6els; on a

1 R , = nT. ( ~ - - z)n a("§ (z) dz = U . (T--z)" [G? § (z) + ia~'+l)(z)] dz ,

0 0

d'ofl, pa r ]e thdor~me de la moyenne,

T n §

R= ~-- [Gi n+l) (01 3) § i a y +1) (02 ~:1 ] (n -4- 1/! ;

la parenth~se carrde est un nombre complexe dont le point reprdsentat i f est ~ l ' intdrieur de tou t rectangle contenant toutes les valeurs prises par G (n+l) (t) pour 0 ~ t ~ 3. Cela dtant, on a done

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~"+~ [a(~"+a)(Ol~)+ia~+~)(02v)] ](I) ( n + l ) !

n ~ r n (~ -~k) r

o �9 ~<~ r = o r .

Cette formule gdndralise la formule de Taylor avec reste de Lagrange. On obtient une sdrie convergente en faisant n -> c~ si

Tn+l lim (n + 1) ' [Gi"+~)(0~v) + iG~n+a)(02v)] = 0

n - ~ o o �9

Si, en particulier, ]G ( r ) ( 3 ) [ < M pour [ v [ < R , quel que soit r, le reste tend vers zdro et la sdrie converge.

2. Soit l '6quation diff6rentielle lindaire & coefficients constants et rdels

D U = F ( t ) (1) avec l '6quation caract5ristique

Z ( r ) ~ r zc + a l r N-1 + . . . + a~ -~ O ; (3)

on supposera que toutes les racines de cette dquation ont leur partie r@lle n6gative; soit -- ~ la plus grande de ces parties r@lles.

On suppose F ( t ) rde]le ou eomplexe, intdgrable, born@ pour t r@l. Soit X (t) l ' intdgrale de l 'dquation

D U = 1 (4)

avec les valeurs initiales X(0)----Xr(0) . . . . . x(~V-1)(0) = 0; il est inutile de d&erminer explicitement cette fonction; elle disparait de la suite des calculs. En posant 2)

on a

d'ofi

e { x ( t ) } = x(s) , a { u ( t ) } = u(8),

1 Z(s ) - x(8) -

8

1

x(s) - 8 .Z(8)

e { F ( t ) } = / ( s ) ,

2) ~IX(t) } repr~sente la transform6e de Laplace de X(t), etc. Voir, par exemple, G. Doetsch, T h e o r i e u n d A n w e n d u n g der L a p l a c e - T r a n s f o r m a t i o n . Berlin, Springer 1937.

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et, en supposant U(0) = U'(0) . . . . . U (iv-l) (0) = 0 ,

u (s) - / (s) Z(s) = s . l ( s ) . x (s) ;

or s . x ( s ) = ~ { X ' ( t ) } , done, par le th4or6me de composition,

t

u ( t ) = . [ f ( t - 7=) x 1 c r ) d r . (~) 0

D'au t re par t , l ' int4grale oo

v ( t ) = .[.F(t - - r) X ' ( r ) d r (6) t

converge uni form6ment en t, par l 'hypoth6se fai te sur F (t) ; par un chan- gement de variable, elle devient

0

v ( t ) = . I F ( r ) X ' ( t - - r) d r

que l 'on peut d4river N lois par rappor t s t ; on en d4duit que V (t) saris- fair s la m~me 4quation diff4rentielle que X ' ( t ) , done k l '4quat ion homo- g~ne (2). Ainsi, en a jou tan t (5) et (6), on obt ient aussi une int4grale de (1), que l 'on 4crira encore U(t):

oo

u ( t ) = , [ F ( t - r) x ' ( r ) d r . (7) 0

Cette int4grale est l ' int4grale partieulibre qui s 'annule ainsi que ses (N -- 1) premibres d4rivdes pour t --> -- oo . On pourra i t du reste l 'obtenir au moyen de la mdthode de la var ia t ion des constantes.

On forme ensuite l ' intdgrale gdn4rale de (1) en a jou tan t ~ (7) l ' int6grale g4ndrale de (2).

3. Considdrons en part ieul ier le cas off le second membre est F (t) --- e st .

Alors (7) donne

oo oo

U(t ) = .[e " ( t - ' ) X ' ( r ) d r = e s~ . [ e - s ~ X ' ( r ) d r ; 0 0

posons Y(s) = Se -* ' X l ( r ) d r ; (8)

o

la fonet ion Y ( s ) est la t ransform4e de Laplace de X ' ( t ) , done

1 1

Y ( s ) - - Z (s) - - s zc --~ a i s ~ v - x - j - . . . %" a~v '

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si, pa r exemple, F ( t ) _~ e r176 on a

U (t) : Y (i o)) e ~ t

L' in tdgra le (8) converge un i formdment pour tou t s (r6el ou complexe) do,It la par t ie rdelle ~ est sup6rieure ~ - - Q q- ~. On peu t 4onc ddriver pa r r appo r t h s, d'ofi, d 'une fa~on gdn4rale,

oo

r(r~(s) = ( - 1)~ S3~e-'~ X ' ( r ) d r . (9) 0

Si nous pouvions d6velopper F (t - - r) dans tout l ' in terval le d ' int6- gra t ion en une s6rie enti6re eli r , l ' int6grale (7) serai t la somme d 'une s6rie form6e des quant i t6s y(r)(0) avec des coefficients convenables. Mais cet te hypoth6se est tr6s restr ict ive, et on peu t obteni r un d6veloppe- men t va lable dans des cas beaucoup plus g6n6raux.

4. Posons W ( t , 3, s) = , ~ F ( t - - r ) , (10)

s 6tant un nombre rdel ou complexe dont la par t ie rdelle est supdrieure - - ~ . Pour l ' ins tant , s est s p a r t cels quelconque; on lui donnera plus

loin une valeur ddterminde pour assurer la convergence d 'une sdrie. On a, la place de (7),

oo

U(t ) = Se - '~ W ( t , r , s ) . X ' ( r ) d r ; ( l l ) 0

supposons ddsormais que W ( t , r , s) est cont inue en r pour r > 0, poss6de des d6rivdes continues jusqu ' s l 'ordre (n q- 1), except6 peut- 8tre pour un ensemble [ in i de valeurs r0, vl . . . . , 3k . . . . . la ddriv6e (n if- 1)6me 6tant bornde. On suppose 6galement que les l imites s gauche et ~ droi te exis tent pour ces valeurs vk, et on pose

6(kr ) = a r W ( t , 3~ + o , s) _ a r W ( t , r~ - o , s) (12) Or ~ O r r

Ces v~ ddpendent de t , leur hom bre 6galement ; il en est de m6me des ~(~). Posons, pour simplifier l '6criture, G(3) = W ( t , 3, s ) . La relat ion (I) est va lable pour cet te fonct ion G (3) ; il n ' es t pas ndcessaire de l 'dcrire

n o u v e a u .

Comme les int6grales (9) ont tou tcs un sens, on peut 6crire (11) sous la forme

5 CommentarU Mathemat ic i Helvet ic! 6 5

= + ~ r = O " ' , j ,, z k < : ~

0 o

(r-rk)r (~(k~) e-8,X,(r)dr r=o r i

i f + (n + 1)! rn§ [G~n+l)(O1 r) -~- iG(n+l)(O2r)] e-8"X'(r) dr o

(13)

Simplifions encore l '6criture. Posons

Jr ----- ( ~ 5(k ') (r -- rk) ~ e-" X' (r) dr l]

0

la somme ne comporte qu 'un nombre fini de termes, et l ' int~grale a un sens pour chaque te rme pris isol~ment; il est donc l~gitime de permuter l ' int~gration par rappor t k r et la sommat ion par rappor t s l ' indiee k; on a ainsi

J , : X (~(')j" ( r - - rk) r e - ' ~ X ' ( r ) d r . k *k

Or

f ( r - - rk) r e -~" X ' (r ) dr -~ e -s'k ~ r r e - * ' . X ' (r -{- r~) d r .

I ) o s o n s

g( s l r~) = .re -"~ �9 X ' ( r + r~) dr ; 0

on a, pmsque l'ing6grale converge uni formgment en s ,

:Y(r)(8t r ~ ) = ( - 1)r j ' r re -" . X'(r + r~)dr o

done

(14)

J , : ( - - 1)' X 8(k ") e -* ' kY(r ) ( s l r k ) �9 k

On ~erira d ' au t re pa r t

R . ( t , s ) - - ( n + ~)! ,n+~[O?+~)(O~r) +iO~"+~)(O,r)] e-"'X'(r)er ; (15) 0

on a ainsi l 'expression d 'une int6grale de (1) sous la forme d 'un d~veloppe- ment l imit6:

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5. Calcul des v , et des 6(, ') . On a posd

G(T) =W(t, T, s ) = e " . F ( t - T) ;

les singularitds de G(T) p rov iennen t de celles de F ( t - - T) . Supposons ddsormais que F (t) est nulle pour t < 0 et qu'elle possgde pour t >~ 0 une suite de singularitds t o ----- 0, t I . . . . . t t : . . . . t endan t vers l ' infini (on les suppose rangdes par ordre de valeurs croissantes); t d tant fixd, les singularit6s de G(T) sont (par valeurs ddcroissantes):

v o - ~ t , T ] = t - - t ] , . . . , r ~ - - t - - t ~ ,

t~ d tan t le plus g rand des t k infdrieurs & t. Le calcul des 6(~ ) se fair s pa r t i r des grandeurs analogues pour F( t ) ;

on pose A ( ' ) - ~ F (~)(tk+ 0 ) - - F (~)(t k - 0 ) . P a r la formule de Leibrriz, on a

o r

= ; ( ; ) ( - ,:o done

G(r)(T) =- ~ , ( - - 1)Z sr- t e S * F u ( t - T) ; l=O

a(~ ') = a (r) (T~ + o) - a (~) (T~ - - O)

e'"~ [F(~) (t - T~ - o) - F (z) (t - T~ + o) ] ,

/ = 0

Eva luons encore les fonct ions y(r) (si t) ; on a

oo

y( ' ) ( sI t ) = S ( - ]) r~'e- '~ x ' ( i + T ) d r , o

et l im y(r) (s l t) -~ 0 . Or la fonct ion X ' ( t ) t end vers zdro, pour t -+ + oo, t - ~ + o o

comme e - e ~, donc y(r) (s It) t end vers zdro plus r ap idemen t que e -(e-~)t ainsi

y(r) (sit) = o(e-(q-~)t) . (16)

6. Un choix part icul ier de s. Le pa ram~t re s a dtd laiss6 arb i t ra i re jusqu'ici . Faisons m a i n t e n a n t s = 0 (ce qui est 16gitime puisqu ' i l suffit que ~Rs> - - e, et o n a supposd e > 0 ) . Alors

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e t

d ' a u t r e p a r t

d 'of i

e t enfin

G(3) = W(t , 3, O) = F ( t -- 3)

G(r)(v) = ( - - 1 ) rF( ' ) ( t - - v) ;

= - ( - 1 ) ,

~ ( ' ) v ( ' ) ( s I T ~ ) = - - ( - - W A([) Y([) (O [ t tk) k ~ k

1 [F(r ) y(r) 3([) y(r) U(t)---- r-~ (t) ( 0 ) - - . ~ ( 0 1 t - - t k ) ] q - R n ( t , 0 ) ; (17) r=O k

la s o m m e est d t e n d u e aux ind ices k avec t k < t , ca r ce son t les seuls qui f igu ren t dans le d d v e l o p p e m e n t l imi td de G(3).

Si, p a r exemp le , la fonc t ion F(t ) a une seule s ingular i td , p o u r t ---- 0, on a, p o u r t > 0,

~. 1 U(t) -~ ~='-~T.v [F(r~(t) Y(r~(0) - - F ( ~ ) ( 0 ) Y ( ~ ( 0 [ t ) ] q- Rn( t ,O ) , (18)

01~1 011 a p o s e F (r)(0) = A (r) .

7. Passage du ddveloppement l imitd 5 une sdrie. Etud ions , darts le eas off s---- 0, la c o n v e r g e n c e de la s~rie o b t e n u e en f a i s an t t e n d r e n v e r s l ' infini . On suppose que F (t) es t a n a l y t i q u e p o u r t o u t t r6el, excep td p o u r les va l eu r s to, t 1 . . . . . t k . . . . ; de plus, on suppose que les va l eu r s de F (~) (t) son t t o u t e s d a n s un r ec t ang le Dr , in td r ieur lu i -m~me au cercle de r a y o n A r e t de cen t r e h l 'or ig ine , avec A < e , e t cela p o u r r o u t e v a l e u r ent ibre pos i t i ve de r. Alors la sdrie

u(t) = ( 1 9 ) r! t (t) Y ( ~ l ( O ) - ~2~ ( O [ t - r = O k

converge, et sa somme est une int~grale de (1).

Considdrons, p o u r le m o n t r e r , la s4rie ~R,~ ( t , O) . On a ici a) 0

oo

(__ IV'+i l" Rn(t ,O) ' ' / 3~+1 [Fi~+~) (t - 0~3) + iF(2"+~)(t - 023)] X ' ( v ) d 3

= (n-Jr-i)FJ 0

3) Les n o m b r e s 01 et 02 qui f igurent au second m e m b r e d6penden t ~ v i d e m m e n t de n ,

reals cela n ' a a u c u n e impor t ance p o u r la sui te .

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et la s o m m e par t ie l le peu t s 'dcr i re

p' f R ~ ( t , O ) -~ X ' ( ~ ) 0 ~ 1

0

( - 1). ~ [ F ? ) ( t - o~ 3) + i t ' i ") ( t - o~ 3) ] d3 ; n!

or I F (n) (3) I < A ~ , donc

v ( - - 1 ) , ~ v ' ~ [ F ? ) ( t - - O ~ v ) -4- i F ( 2 ~ ) ( t - - 0 2 ~ ) ]

! 1

p u i s q u e l ' in tdgra le

]X ' (~ ) e A~ dr 0

p Tn A n

1

oo

conve rge a b s o l u m e n t si A < ~, il en es t de m 6 m e de la s4rie ~WR~(t , 0), 0

d 'ofi l im R n ( t , 0) ----- 0 . Ainsi le r es te du d d v e l o p p e m e n t lirnitd (17) t e n d

vers zdro si n--> oc, ce qui d tab l i t no t r e a f f i rma t ion . On p e u t o b t e n i r une sdrie c o n v e r g e n t e dans des cas p lus gdn6raux, en

d o r m a n t s s une v a l e u r c o n v e n a b l e au t r e que z~ro. S u p p o s o n s que F ( t )

p e u t s 'dcr i re F (t) -~ e ~t . K (t)

avec ~)L > - - ~, K ('~ (t) 6 t a n t d a n s le r ec t ang le D~, avec m a i n t e n a n t

A < 9~ ~ -4- ~ ; alors la sdrie

U(t) = ~:] ( - - 1), [g(~ ) (0) Y" ) (~ ) -4- ~ e - z ' ~ O(k ') Y ' r ) ( A l t - - t k ) ] (20) r=o r ! k

converge, et sa s o m m e est u n e intggrale de (1).

F a i s o n s en effet s = 2 dans G('r ) , ce qui es t ldg i t ime p u i s q u ' o n a supposd ~ 2 > - - Q . I l v i e n t

pu i s

d 'ofl le r es te

G(~) = eZ~F( t - - 3) -~ e ~t K ( t - - 3)

Gr = ( - - 1)r e~t K ( r ) ( t - 3 ) ,

~. (t, ~) =

oo (-- 1)-+1 / (n + 1)! e~ 3"+1 [K?+I)(t-- 01 ~1 + iK~ '~+1) ( t - - 02 ~) ] e - ~ X ' (31 dr

0

69

0 0

On consid~re la sdrie 27 R~ (t, A), d o n t on peu t 6cr i re une s o m m e par t i e l l e 0

0o

~-1 f ~ (--1)nT:n[K~n)(t--O1 v) + iK?) ( t - -O2z ) ] d r ; R ~ ( t , ~ ) = e ~t e -X~X' (v) ~ ) - 0 1

0

or, ici encore ,

1 n! [ K ? ) + iK?)] ' ' et l ' in t~gra le

~ e - a ~ X ' ( r ) e a~ dr 0

c onve rge a b s o l u m e n t si A < 9t A + ~ ; on en t i r e donc l im Rn (t, A) = O, d 'of i no t re a f f i rma t ion . ~-~oo

C o m m e o n a G(v) = e ~ . K ( t - - ~) ,

il v i e n t

et

off

G(r)(z) = ( - - 1) r e;~t. K(r)( t - - ~)

e-X,k O(k,) - _ ( _ 1)r e~tk / 1 7 ) ,

A (r) = K (r) (t k + O) - - K (r) (tk - - 0) .

O n peu t d o n c 6nonce r le t hgo r6me

Thdor~me : S i le second membre de lYquat ion (1) est de la ]orme

F (t) = e ~t . K (t)

avec ~ ~ > - - e , K (t) ~tant analyt ique pour t rdel, exceptg pour une suite de valeurs t o , . . . , t k-+ oo , avec

z](~ r) ~- K (r) (t~ + O) - - K (T) (t~ - - O) ;

si de plus K (r) (t) est toujours intgrieur 5 un rectangle Dr, intdrieur lui- m~me au cercle I z ] -~ Ar , avec A < ~ A + ~, alors la sdrie

o~ 1 [eat K(r~ y(r~ eZt~ A(r) y(r) ] u(t) = .E ? ! (t) (~) - ~ ( ~ t t - t~)] ( n I ) 0 t k < t

converge, et sa somme eat une intdgrale de (1).

7O

Supposons un instant que la fonction K (t) est constante par intervalles. On a alors K (r) (t) ~ 0 ( s i r > 0), et les hypotheses du th~or~me dtant v~rifides, on a simplement

U(t ) = e at K ( t ) Y ( ) . ) - - X e xtk A (~ Y( ) . [ t - - t k ) . (21) tk -< t

I1 r~sulte de 1~ en particulier que les fonetions y(r)(2 [ t) sont des int6- grales de l '~quation homog$ne (2), ce que l 'on peut anssi obtenir directe- ment.

8. On peut ~tablir au moyen de la t ransformation de Laplace, formelle- ment, les @veloppements en s6rie consid6r~s. On a en effet

1 y(r) 8r Y (s) = rV. (0)

0

d'ofi, avec les notat ions du d6but de ce travail ,

1 s r f ( s ) y(r~ (0) , u (s ) = f ( s ) �9 Y ( s ) = -~. 0

et par consdquent

U(t) = - - ~ 1 F(~) y(~) (22) o r! (t) ( 0 ) ,

c'est-h,-dire la s~rie (19) pour F ( t ) continue. Ce raisonnement tr~s in- complet est parfois donn~ comme justification de la formule (22).

(Re~u le 13 f~vrier 1946.)

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