Embed Size (px)
Citation preview
MATHEMATICS
SUR LES FONCTIONS SYMETRIQUES 1)
PAR
J. G. VAN DER CORPUT
(Communicated at the meeting of April 29, 1950)
Le sujet de cette conférence est si simple et si souvent traité que je m'étonne qu'il est encore possible d'en dire quelque chose de nouveau. Cependant je me propose de I'essayer.
Le théorème fondamental de la théorie des fonctions symétriques dit que toute fonction entière rationnelle symétrique de m indéterminées Zl' ••• , Zm peut être écrite d'une seule manière comme une fonction entière rationnelle de al> ... ,am' ou al> ... ,am désignent les fonctions symétriques élémentaires des m quantités Zl' ••• , Zm
al = L Zl = ~ + Z2 + ... + Zm'
a2 = L ZlZ2 = ZlZ2 + ZlZ:! + ... +- Zm-l Zm'
~ = L Z]Z2Z:!'
Dans cette conférence je donnerai une démonstration de ce théorème, qui diffère des démonstrations usuelIes et qui no us fournira non seulement Ie théorème fondamental, mais encore d'autres résultats qui vont la peine d'être étudiés.
D'après Ie théorème fondamental la sommc simple
L zf z~ = zf (z~ + ... + z;;,) + ... + z~ (zi + ... + Z;'-l),
qui est formé par m(m-1) term es et que je désignerai par {4,2}, peut être écrite sous la forme
(1) \ {4, 2} = ai a~ -- 2 a~ a3 - 2 a~ + 4 al a2 a3 + 2 ai a" - 3 a~
? + 2a2 a '4- 6a1 a5 + 6a6•
Cette identité est aussi vraie pour m < 6, si nous posons, comme no us Ie ferons toujours dans cette conférence, am +1 = .1,m+2 = ... = o.
Chacun des termes figurant dans Ie membre de droite de (1) a Ie poids 6, si nous donnons à al Ie poids 1, à a2 Ie poids 2, et,c. On voit que dans Ie résultat deux termes de poids 6 manquent, à savoir .1,~ et afa2 • Ce fait ne m'intéresse pas pour Ie moment, quoiqu'il résulte immédiatement
1) Conférence faite à Strasbourg Ie 23 mars 1950 et à Bordeaux Ie 31 mars 1950.
704
d'un théorème général que je traiterai à la fin de cette conférence 2). Le théorème que je me pose est Ie suivant:
En supposant que 2: ztz~ puisse être écrit comme une somme de la forme
{4,2} =2:caZ,al, ... a,t,
ou Ie poids Zl + ... + Zt de chaque terme est égal à 6, Y a-t-il une manière facile de calculer les coefficients d
Si nous savons que les termes avec a~ et ata2 ne figurent pas dans la somme, nous avons à calculer 9 coefficients, sinon même 11. Peut-être il y a des personnes parmi vous qui savent que Ie coefficient de a~a~ est égal à 1, de sorte que la difficulté n'est pas la même pour différents mathématiciens, mais en tout cas il faut calculer au plus 11 et au moins 8 coefficients. Pour ce calcul no us avons plusieurs méthodes à notre disposition. Dans la première nous réduisons la somme considérée 2: ztz~ à d'autres sommes dont nous connaissons déjà Ie développement. Dans une autre méthode, celle des coefficients indéterminés, nous considérons 11 ou 8 équations particulières dont nous connaissons les racines Zt, ... , Zm'
donc aussi la valeur de 2: ztz~. Ainsi on obtient pour les coefficients 11 ou 8 équations linéaires, qui nous permettent de calculer ces coefficients, en supposant que no us n'ayons pas été maladroits dans notre choix des équations particulières.
En théorie cela va bien, mais en pratique chaque méthode exige des calculs si longs que personne ne les exécute.
En préparant il y a dix ans mon cours d'algèbre à Groningue, mon désir de simplifier ces calculs m'a conduit, par un raisonnement 2) qu'il n'est pas nécessaire de répéter ici, à introduire un certain opérateur différentiel
qui peut être appliqué à des polynomes en 8.t, a2, ••• , a,,; je pose ao = 1. eet opérateur diminue Ie poids d'une unité, car dans chaque terme on perd un facteur all et on regagne un facteur all-I' Naturellement AI{4, 2} désigne Ie résultat qu'on obtient en appliquent l'opérateur Al au membre de droite de (1). Il est remarquable que Ie résultat est identiquement égal à zéro. Ainsi on obtient 6 ou 8 équations linéaires très simples entre les coefficients figurant dans Ie membre de droite de (1), de sorte que la considération de quelques équations particulières suffit pour trouver immédiatement les valeurs de tous ces coefficients.
L'opérateur Al ne détruit pas seulement 2: ztz~, mais presque toutes les sommes simples. Plus précisément: L'opérateur Al annule chaque somme simple 2: Z~lZ~1 ••• z~r, excepté si au moins un des exposants
2) Voir par ex. J. G. VAN DER CORPUT, Symmetrische functies, CHRISTIAAN
HUYGENS 18, 251-277 (1940).
705
est égal à 1. Dans ce dermier cas on peut supposor, sans nuire à la généralité, k r = 1 et alors
dans Ie cas particulier r = 1 la dernière somme signifie 1. En formule
AI{kl' ... , km} = 0, si tous les exposants sont différents de 1,
= {kl' ... ,km-I}, si km = 1.
L'opérateur Al est impitoyable: il exige toujours un exposant 1 comme victime et s'il ne peut pas trouver un tel exposant, il anéantit tout dans sa colère. Al est appelé l'opérateur supprimant 1. Par exemple
Al L zî z~ z~ = 0; Al L zî z~ za Z4 = L zî z~ Za; Al L Zl = 1.
n y a un an j'ai constaté qu'il y a encore d'autres opérateurs avec des propriétés analogues, par exemple l'opérateur
qui diminue Ie poids de 2. eet opérateur annule la somme L Z~l ••• z~', excepté si au moins un des exposants est égal à 2. Dans ce dernier cas on peut supposer, sans nuire à la généralité, que k, = 2 et alors on a
En formule
A 2{kl> ... , k,} = 0, si tous les exposants sont différents de 2,
= {kl> ... , k'_l}' si k, = 2.
Pour ce raison A 2 est appelé l'opérateur supprimant 2. Par exemple
L'opérateur
qui diminue Ie poids de 3, est I'opérateur supprimant 3, etc. n y a encore d'autres opérateurs, par exemple
qui diminue Ie poids de 2. Dans Ie cas m = 1, [2] est l'opérateur nul, c'est-à-dire l'opérateur qui rend identiquement nulle toute fonction entière rationnelle de al> ... ,a .
Le résultat obtenu par application de l'opérateur [2] à la somme L ztz~, peut être calculé de deux façons différentes. La première est
706
d'appliquer l'opérateur directement au membre de droite de (1). L'autre test d'exprimer d'abord l'opérateur [2] en fonction des opéra.teurs Al 'et A 2• On ohtient après un peu de calcul
(2) [2] = A~-2A2'
donc
[2] L zt z~ = A~ L zt z~- 2 A 2 L zt ~ = - 2 L zt. La dernière méthode est beau coup plus simple que la première. Mais
j'attire l'attention sur la formule (2), qui m'a donné un petit choc, parce qu'elle avait exactement la même forme que
L z~ = {2} = a~ - 2 ~.
Il va sans dire que je me suis demandé s'il est possible de construire un anneau, formé par des opérateurs [kv ... , k,] qui soit isomorphe à l'anneau formé par les sommes simples
{kl' ... ,k,} = L z:. z~ ... z~', de telle façon que les opérateurs Al' A2' ... , supprimant respectivement 1,2, ... , correspondent aux fonctions symétriques élémentaires
. B-t, a2, •••• C'est en effet possible. Je rappelIe que Ie nombre des termes de la somme simple L z~' ... z~, ou les exposants kl , ... ,k, sont des entiers positifs, est égal à
(3)
je suppose que Ie système formé par les exposants contient fl nombres égaux, f2 nombres égaux différents des fl nombres déjà mentionnés, ... , finalement fu nombres égaux différents des fl + f2 + ... + fU-l nombres déjà mentionnés, de telle manière qu'on ait
fl + f2 + ... + fu = r.
En introduisa.nt les opérateurs
(cet opérateur est l'opérateur nul, si au moins un des nombres kl , •.. , k, est supérieur à m) nous obtiendrons Ie théorème suivant d'isomorphie:
Etant donnée une identité entière rationnelle contenant une ou plusieurs sommes simples
cette identité reste valable, si l'on y remplace chaque somme {kv ... , k,} par l'opérateur correspondent [kl' ... , k,]. Par cette substitution les nombres B-t, ~, •.. , qui sont aussi des sommes simples, sont remplacés par les opérateurs Al' A2' ... , supprimant respectivement 1,2, ....
707
Par exemple l'identité
{2} {2} - {4} = (E zi)2 - 1: zt = 2 a~ - 4 ~~ + 4 a4
donne pour les opérateurs la relation
En particulier on trouve que la multiplication des opérateurs est commutative, puisque cela est aussi Ie cas pour les sommes simples.
Dans cette théorie nous rencontrons encore d'autres théorèmes, par exemple Ie théorème d'orthogonalité. L'opérateur [kl"'" k r ] annule presque toujours Ie produit al, a" ... a't' ou
( 4)
La seule exception se présente si r = t et si les systèmes (kv .. . , k r ) et (ll' ... , lt) sont les mêmes, peut-être à l'ordre près; dans ce cas exceptionnel Ie résultat est égal à 1.
Ce théorème d'orthogonalité, que nous vérifierons tout à l'heure en quelques lignes par un simple calcul, est important à cause du fait sui-vant. La somme simple E zr' ... z~r peut être écrite co mme une somme L: ca" ... a't' ou les indices lv ... , lt satisfont à (4), donc
(5)
D'après Ie théorème d'orthogonalité l'opérateur [ll"'" lt], appliqué au membre de droite de la dernière relation, donne Ie résultat c à cause du terme ca" ... a't' tandis que la contribution des autres termes est égale à zéro. Ainsi on obtient que dans Ie développement trouvé Ie coefficient c est égal à
(6) c = [lv ... , lt] {kv .. ·, k r }·
De la même manière on obtient que la somme simple L: zI' ... z:t peut être écrite comme une somme
(7)
étendue à tous les systèmes (kv ... , k r), formés par de"! entiers positifs a vee (4); dans cette iden ti té on a
c· = [kl' ... , k r ] {ll' ... , lt}.
C'est déjà CAYLEY qui a montré que les deux nombres c et c· sont égaux. Donc Ie coefficient de al, a" ... a't dans Ie développement (5) est égal au coefficient de ak, ak, ••• akr dans Ie développement (7). Avec
notre notation cette loi de réciprocité devient une loi de commutativité
[ll' ... , lt] {kl' ... , k r}= [kv···, k r] {ll' ... , lt};
708
par conséquent dans un produit d'un opérateur et d'une somme simple ilii-même degré l'ordre des facteurs peut être changé, si l'on remplace l'opérateur par la somme simple correspondante et en même temps la somme simple par l'opérateur correspondant.
On peut appliquer la théorie de ces opérateurs pour déduire des identités. Par exemple je traiterai les formules connues de NEWTON qui peuvent être obtenues au moyen de l'opérateur At. Puisque zl> ... , Zm
satisfont à l'équation
on trouve par addition
(8) L zi"-a,. L zi"-1 + .. , ± m am = O.
De la définition de l'opérateur Al il découle immédiatement que
Al uv = u(Al v) + v(Al u).
En vertu de
(h=I, ... ,m)
on obtient donc
Al (a" L zf) = a"-1 L zf, si t"* 1
= a"-1 L zf + a", si t = 1.
Par conséquent - Al transforme (8) en
L zi"-I- al L zi"-2 + ... ± am- 2 L Zl =f (m-l) am- l = 0,
En appliquant de nouveau Ie même opérateur no us trouvons
L zi"-2_a,. L zi"-s + ... ± (m-2) am - 2 = O.
Continuant ainsi nous obtenons pour h = 1,2, ... , m - 1 les formules de NEWTON
L Zi"-"-8l L zi"-h-l + ... =f am - h- 1 L Zl ± (m-h) am - h = O.
Retournons finalement au problème primitif que nous nous sommes proposés de traiter, à savoir Ie calcul des coefficients c figurant dans Ie développement
ou kl > k2 > ... ~ k. > 1 et ou la somme }; est étendue à tous les systèmes l = (ll' ... , 't) formés par des entiers positifs tels que
II + ... + lt = kl + ... + k •.
Comme nous l'avons déjà fait remarquer, dans beaucoup de cas plusieurs termes manquent dans ce développement. A la fin de cette communication no us démontrerons: Dans chaque terme, dont Ie coefficient c
709
est différent de zéro on a 1.1 < k l , ou 1.1 désigne Ie nombre des entiers ~ 1 figurant dans Ie système l, donc 1.1 = t. Chacun de ces termes satisfait en outre à l'inégalité 1.1 + ~ < kl + k2 (ou ~ désigne Ie nombre des entiers > 2 figurant dans Ie système l), aussi à l'inégalité 1.1 + ~ + )'a
::;; kl + k2 + ka (ou .1.3 désigne Ie no mb re des entiers > 3 figurant dans Ie système l), etc.
Par conséquent la loi de réciprocité nous apprend que II > XI> si Zt ~ l2 > ... > lt et si Xl désigne Ie nombre des entiers > 1 figurant dans Ie système k = (kI> ... , k,), donc Xl = r. En outre II + l2 > Xl + X2, ou ~2 désigne Ie nombre des entiers > 2 figurant dans Ie système k, etc.
En particulier no us obtenons en vertu de 1.1 = t que chaque produit al. al, ... alt' figurant dans Ie développement, contient au plus kl facteurs. nest très facile de trouver les coefficients des produits qui contiennent exactement k l facteurs, en supposant qu'on sache Ie développe-
ment de la somme simple 2 z~z~' ... Z!~l' En effet, on a
ou 2' est étendu aux systèmes l = (Zt, ... , lt) avec ~ = kl et ou les coeffi-I
cients c sont les mêmes que dans Ie développement de la somme simple 2 Z~' ••• z~'. Car l'opérateur Aki appliqué à 2 zt' ... Z~T donne
2 z~' ... Z!~l et, d'après sa définition, Ie même opérateur appliqué à a" ... al, donne al,-I' .. al,_l ou 0, selon que t = of < kl'
n s'ensuit que Ie développement de la som me 2 Z~l ••• z~, contient un terme al, ... al, avec 1.1 = kt> ~ = k2, ••• , À, = k" et en outre que
Ie coefficient de ce terme est égal à 1. En effet, si cette propriété est vraie
pour la som me 2 z~' z~' . . . Z!~ 1 (ce qui est Ie cas pour r = 1, car alors la som me est égale à I), alors la propriété est aussi valable pour la somme 2 Z~' ••• Z~'.
Considérons d'abord Ie cas particulier 2 zt z~. Dans Ie développement de cette somme simple les termes a7 et a~ a2 manquent, puisque dans Ie premier terme 1.1 = 6 > 4 et dans Ie deuxième 1.1 = 5 > 4. En outre nous savons que Ie coefficient de aÏ a~ est égal à 1. Par conséquent la somme simple considérée a un développement de la forme
2~~=~~+~~~+~~+~~~~+~~~+~~+~~~ + Cs al as + C9 a6·
Le fait que l'opérateur Al annule ce résultat nous donne les 6 relations suivantes
2 + c2 = 0; 2 + 3 ca + c4 = 0; 3 c2 + c4 + Cs = 0; c4 + 2 c6 + c7 = 0;
2cs+ c7 + Cs = 0; cs+ c9 = o. Les équations particulières Z2 = 1 et Z4 - 2 Z2 + 1 = 0 donnent en outre 2 = - ca et 4.3= - 8 ca - 2 c7' d'ou suit immédiatement la formule (1).
710
Pour trouver les eoeffieients dans Ie développement de la som me simple
~~~~~=~~+~~~+~~~+~~
il sumt d'appliquer l'opérateur Al> si nous eonnaissons Ie développement de la somme simple
~~~~=~~-2~~-~~+5~
ear l'applieation de l'opérateur Al fournit les relations
CIl = - 2; 2+ Cl + ~= -1; ~+ c,= 5.
Par eonséquent
~ z~ ~ ~ z, = ai a, - 2 ~ a, - ~ a6 + 6 a6 •
Si nous ne eonnaÏBsons pas Ie développement de ~ z~ 2iI~, nous pouvons appliquer l'opérateur
l'opérateur All annule Ie membre de gauehe de l'identité eonsidérée et nous appliquons l'opérateur [1]2 - 2[2] au membre de droite de oette identité. De eette manière nous obtenons
4 + 2 cl! = 0; 2 + 2 Cs = 0, done cl! = - 6 et Cs = '-- 1.
La eonsidération de l'équation partieulière (z - 1}6 = 0 donne
60 = 62 .15 - 2.152 - 62 + c4'
done c, = 6, de sorte que nous retrouvons Iiotre résultat. Passons maintenant aux démonstrations.
Sur les sommes de longueur 1.
J'appelle r la longueur de la somme simple {kl' ... , k,}, de sorte que
{1}=~Zt; {2}=~zi; {3}=~zï; .. ,
sont les sommes de longueur 1. Ces sommes de longueur 1 sont indépendantes, e'est-à-dire si un entier positif p et un polynome !p(Ut, ... , uJl}' qui ne dépendent pas du nombre m des indéterminés possèdent pour ohaque valeur de m la propriété
!p({I}, {2}, ... , {p}} = 0,
alors Ie polynome !p(Ut, ... , uJl} s'annule identiquement. En efret, SI
Vl> ••• ,vJl désignent des entiers positifs queleonques, si nous posons m = VI + ... + vJl et si nous ohoisissons VI des m indétetminées égales à 1, ensuite vI! des indéterminées égales à 2, ... , finalement vJl des indéterminées égales à p, nous obtenons
!p(I. VI + ... + PVJl' }2vI + ... + pllvJl, ... , l JlVI + ., . pJ>VJl} = O.
711
Le polynome 9ï(U:t, ... , up) satisfait à cette identité pour chaque choix des entiers positifs VI> ••• ,vp , donc pour chaque choix des nombres VI' ••• , vp• Si U:t, ... , up désignent des nombres quelconques on peut choisir les nombres VI' ••• , vp tels que la relation trouvée se transforme en 9ï(U:t, ... , up) = 0, d'ou il suit que Ie polynome 9ï s'annule identiquement.
Démontrons maintenant que toute fonction entière rationnelle symétrique f des m indéterminées ~, ... , Zm peut être écrite comme un polynome en {I}, {2}, ... (d'après Ie résultat précédent ce polynome est défini univoquement par /). Il suffit de démontrer que toute somme simple L z~, ... z~, peut être écrite sous cette forme. Cette propriété est évidente pour la somme L z~, de longueur l. Nous pouvons donc supposer que r soit > 2 et que la propriété ait été déjà démontrée pour r - 1 au lieu de r. Comme (3) désigne Ie nombre des termes de la somme considérée L z~, ... z~" Ie pro duit
(9)
est formé par ( m! )' termes. On obtient la dernière somme en prenant m-r. toutes les combinations possibles de r éléments figurant dans Ie système formé par les m indeterminées Zl' .•• , Zm. Par conséquent
ou
Le membre de gauche de (10) est un produit de deux facteurs de longueurs 1 et r - 1; les sommes Lv ... , L,-1 ont la longueur r -l. D'après Ie raisonnement par récurrence ces expressions peuvent être écrites comme des polynomes en {I}, {2}, .... Cela est donc aussi Ie cas avec L* zr' ... z~" par conséquent aussi avec la somme simple L z~, ... z~'.
Je démontrerai encore un peu plus, à savoir que Ie polynome qui est égal à la som me simple L zr' ... z~, de degré d = kl + ... + k, contient Ie terme (_)'-1 y{d}, ou y> 0, tandis que les autres term es dépendent seulement de {I}, ... , {d - I}. Cette propriété est évidente pour r = 1 (avec y = 1) et suit pour r > 2 immédiatement de (10) par un raisonnement de récurrence.
Démonstration du théorème fondamental.
N ous venons de voir que
ou d ~ 1, peut être écrit sous la forme
(11) ad=(-)d-1 y {d}+V'({l}, ... ,{d-l}), ou y> 0.
712
Chaque som me simple {d} de longueur 1 peut être écrite comme un polynome en ~,82 , ••• ,ad. Cela est évident pour d = 1 et suit pour d > 2 immédiatement de (11) par un raisonnement de récurrence. Toute fonction entière rationnelle symétrique t des m indéterminées Zt, ... , Zm
peut être écrite comme un polynome en f1}, {2}, ... , donc aussi comme un polynome X en al> a2, • • •• Ce polynome X est défini univoquement par la fonction t. En effet, sinon on obtiendrait une relation de la forme w(ad) = 0, ou d est un entier positif et ou w(u) désigne un polynome qui n'est pas identiquement égal à zéro et dont les coefficients sont des fonctions entières rationnelles de ~, ... , 8 d - l , donc aussi de {I}, ... , {d - I}. Grace à (11) on trouverait
w((- I)d y{d} + tp) = 0,
ou tp est une fonction entière rationnelle de {I}, ... , {d - I}. En vertu de y #- ° les som mes {I}, {2}, ... , {d} de longueur 1 dépendraient mutuellement, cequi n'est pas Ie cas.
Démonstration du théorème d'isomorphie.
Comme nous l'avons vu, l'identité (10) nous permet de réduire chaque fonction entière rationnelle t d'une ou plusieurs sommes simples à un polynome lp contenant seulement des sommes de longueur 1; Ie polyno me lp est défini univoquement par la fonction donnée t. Il suffit de démontrer que l'identité (10) reste valable si l'on y remplace chaque somme simple par l'opérateur correspondant, c'est-à-dire si l'on remplace chaque somme L* Z~l ••• z~, par l'opérateur
En effet, application répétée de ce résultat nous apprend que l'identité t = lp reste valable, si l'on y remplace chaque somme simple par l'opérateur correspondant et dans Ie cas particulier ou nous partons de l'identité t = 0, Ie polynome lp s'annule identiquement, de sorte que l'identité t = ° reste valable, si l'on y remplace chaque somme simple par l'opérateur correspondant.
Par conséquent il suffit de démontrer que l'opérateur
est égal à
augmenté de r - 1 opérateurs qui sont analogues entre eux et dont Ie premier est égal à
m m
L L Jll-kl +k, ~I'""'k.
713
Cette propriété est évidente, puisque
est égal à
augmenté de r - 1 termes qui sont analogues entre eux et dont Ie premier est égal à
\ a,-1
a_ .... a _. 1'. k. 1"-1 k,-1 "a "a u IJl··· U ,",_I
( 0
Ainsi on obtient Ie théorème d'isomorphie.
Le théorème d'orthogonalité.
11 faut démontrer: Soit
(12) kl + ... + k, = II + ... + lt ;
alors on a
(13) [kl' ... , k,] az, al •... aZt = I, si les systèmes (kl"" , kr ) et (11"", lt) sont les mêmes, peut-être à l'ordre près,
= 0 dans tous les autres cas.
Le membre de gauche de (13) est égal à
( 14)
Il suffit de considérer dans cette somme les termes dans lesquels Ie système (ft1' ... , ft,) est un système partiel de (l1' ... , lt), puisque les autres termes s'annulent. En vertu de (12) on déduit des inégalités
ft1 > kv ft2 > k2, ... , ft, 2: k,
que dans tous ces termes les systèmes (ft1> ... , ft,) et (l1> ... , lt) sont les mêmes, peut-être à l'ordre près. On obtient donc
ft1 + ... + ft, = 11 + ... + lt = k1 + ... + k r ,
d'ou il suit, à cause de (12), que
ft1 = k1; fl2 = k2; ... ; ft, = kro
Ainsi on trouve que tous les termes figurant dans la somme (14) s'annulent, si les systèmes (kl' ... , k,) et (l1> ... , lt) sont différents. Si ces deux systèmes sont les mêmes, peut-être à l'ordre près, Ie membre de gauche de (13) est égal à
I a'(ak .... ak,)
aak .... aak,
714
Le dernier facteur peut être écrit comme un produit de u facteurs, dont Ie premier est égal à
'(li'(ah ., --·-=71·,
'(lak'
si k figure exactement jl fois dans Ie système (kl' . . . , k,). Le deuxième facteur est égal à j2! ' etc. Par conséquent Ie membre de droit de (13) est dans ce cas égal à
., ., 11 · ·· · 1u · - 1 il!···iu! - .
La loi de réciprocité.
N ' ·l~k kdd ' d èd ous savons qu une somme SImp e L.., Zl' ... Z,' e egre poss e Ie développement
( 15)
ou Lest étendu à tous les systèmes 1 = (~, .. . , 1t) formés par des I
entiers positifs tels que
~+ ... +l,=d.
Il faut démontrer que les coefficients Ckl et Cik sont identiques. En
appliquant (15) à un système de n indéterminées 'Ut, ... , u .. avec les fonctions symétriques élémentaires
bI = L 'Ut, b2 = E 'UtU 2' ba = E 'Utu2ua, . .. ,
on obtient pour la somme simple LuI' . . . uIt de degré dIe développement
~ I, 1,- ~ b b L.., U l ••• Ut - L.., Clk k ··· k ,
k ' ,
ou Lest étendu à tous les systèmes k = (kl' ... , k,) formés par des k
entiers positifs tels que
kl + ... + k,= d.
Ainsi on obtient
et
( 17)
Il suffit de démontrer que ces deux expressions sont identiques; en effet, parce que les nombres 3t,~, . . . et pareillement les nombres bI' b2 , ••• sont indépendants, cette propriété entraÎne Ckl = c lk •
715
La démonstration est maintenant faeile. On peut éerire Ie produit
m
= TI (1 + ;'zl' bi + ... + ;.n z~ b,,) 1'=1
eomme un polynome en )" dans Iequel Ie eoefficient de ;.~ est exacte ment égal au membre de gauehe de (16) et done aussi égal au membre de gauehe de (17), paree que Ie produit eonsidéré reste Ie même si l'on change les systèmes (zl>"" zm) et (UI' ... , un ). Ainsi la loi de réeiproeité a été démontrée.
On peut formuler eet te loi d'une manière un peu plus générale eomrne suit: Si s et s* sont deux fonetions entières rationnelles homogène!'. symétriques du même degré d et Eli 8 et 8* désignent les opérateurs eorrespondants, on a 8*s = 8s*. En effet on peut éerire s et s* co mme des fonetions linéaires de sommes simples,
s = L y {kv· .. , k,} et s* = L Y* {l~, ... , lt},
done d'après Ie théorème d'isornorphie
8 = L Y [kl' ... , k,] et 8* = L y* [ll' ... , ll]'
de sorte que la loi eommutative nous apprend
8*s = L yy* [~, ... , ll] {kl' ... , k,} = L yy* [kl' ... , k,] {l~, ... , ll} = 8s*.
8ur les opérateurs supprimant respectivemen.t 1, 2,
Il faut démontrer
A "kt k r 0 k ~ Zl ... Z, = , si tous les exposants sont différents de k,
_" k, k r - 1 . k - k - L. ZI ... Zr-l' SI r - •
Nous pouvons supposer que kl + ... + k r > 1 (sinon la propriété est évidente) et que la propriété ait été déjà démontrée si Ie degré kl + ... + k r est remplaeé par un plus petit entier positif.
Le membre de gauehe de la propriété à démontrer est une fonetion entière rationnelle symétrique des m indéterminées de degré d = k1 + ... . . . + k r - k et peut done être éerite co mme une fonetion linéaire de som mes simples de degré d. Ainsi on obtient
(18)
ou ~ + ... + mq = d < kl + ... + k,. Appliquons aux deux membres de la dernière relation l'opérateur
Am, A .... ... Amq
• D'après notre hypothèse de réeurrenee eet opérateur
716
annule tous les termes du membre de droite excepté Ie terme c{ml' ... , mq}, qui donne la contribution c, donc
c= Am, ... Amq Adkl' ... k,},
d'ou i] suit d'après la loi commutative que nous venons de déduire
c = [kl' ... k,] am, ••• amq ak •
Le théorème d'orthogonalité nous apprend que ce résultat est presque toujours égal à zèro. La seule exception est que les systèmes (kl> ... , k,) et (mI' ... , mq, k) sont identiques, peut-être à l'ordre près et dans ce caR exceptionnel c = 1. Par conséquent, si aucun des exposants ~, ... , k, n'est égal à k, tous les coefficients c s'annulent. Si par contre k figure dans Ie système des exposants, Ie membre de droite de (18) est formé par un seul terme; dans ce terrne Ie coefficient c est égal à 1 et on obtient {ml> ... , mq) en supprimant dans {kl> ... , k,} l'exposant k. Ainsi nous trouvons la propriété à démontrer.
Bur les termes qui manquent dans Ze développement d'une somme simple.
Soit tune fonction entière rationnelle symétrique des m indéterminés ZI' ... , Zm et soit q un entier positif < m. Si nous remplaçons ~,Z2' ••• , Zq
par un indéterminé w, alors t devient un polynome en w, dont les coefficients dépendent de Zq-l' ••• Zm'
Supposons que Ie degré de ce polynome soit < p, et démontrons dans ce cas que t possède pour chaque choix des indéterminés Zl> ... 'Zm Ie développement
( 19)
ou Lest étendu à des systèmes l = (ll' ... , le), formés par des entiers I
positifs tels que
(20)
Àh désigne Ie nombre des entiers > h figurant dans Ie système l. Cette propriété est évidente pour m = 1, car alors q = 1 et test un
polynome en ZI = al d'un degré < p; par conséquent dans chaque système l figurant dans Ie membre de droite de (19) chaque élément est également à 1, donc II = t < p.
Dans la démonstration nous supposons que m soit > 2 et que la propriété soit valable pour m - 1 au lieu de m. Nous pouvons écrire I comme une fonction entière rationnelle de al' 8,2' ... , donc t = u + amv, ou u est la somme des termes, qui ne sont pas divisibles par am• Si no us remplaçons ZI' Z2' ••• , Zq par w et en même temps Zm par 0, les fonctions t et u sont les mêmes polynomes en w donc un polynome de degré < p.
717
D'après Ie raisonnement par reeurrenee u est une fonetion linéaire de pro duits al, ... al! avee (20).
vest une fonetion rationnelle entière symétrique des indéterminés Z:t, ... , Zm' qui devient un polynome en w de degré p - g, si l'on remplaee les indéterminés z]' ... , Zq par w. D'après Ie raisonnement par reeurrenee vest une fonetion linéaire de produits de la forme aL, ••• aLT
avee
Ah désigne Ie nombre des entiers 2 h figurant dans Ie système Ll' ... , LT'
Le produit amv est done une fonetion linéaire de pro duits al, ... al"
ou ).h = Ah + I, par eonséquent
Ce résultat entraîne immédiatement que la somme simple
ou kl > k2 > ... > k, ~ I, est une fonetion linéaire de pro duits de la forme 41, ••• al , tels que
Il va sans dire, que
).1 + ).2 + ... < k 1 + k2 + ... + k"
paree que Ie membre de gauehe est égal à II + l2 + ... + lt.
46
