𝐾 𝐾

𝐾𝐾

𝑅2

𝑅2

𝑅2

0,00%

0,20%

0,40%

0,60%

0,80%

1,00%

1,20%

20

14

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

20

14

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

𝐾 𝐾

𝐾 𝐾

𝑅2

𝑅2

𝑅2

0,00%

0,20%

0,40%

0,60%

0,80%

1,00%

1,20%

20

14

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

20

14

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

Remerciements ......................................................................................................................3

Résumé ..................................................................................................................................5

Abstract .................................................................................................................................7

Synthèse ................................................................................................................................9

Overview ............................................................................................................................. 13

Introduction ......................................................................................................................... 21

I. Les régimes de retraite par répartition .......................................................................... 23

A. Définitions et quelques propriétés ....................................................................................... 23 1. Premier étage : le régime de base obligatoire ......................................................................................... 24 2. Deuxième étage : les régimes complémentaires obligatoires ................................................................. 25 3. L’épargne retraite collective et individuelle ............................................................................................ 25

B. Historique des régimes de retraite par répartition en France ................................................ 25

C. Présentation de quelques régimes de retraite par répartition ............................................... 26

D. La retraite par répartition : la solidarité française ................................................................. 27

E. La situation actuelle des régimes de retraite par répartition ................................................. 28

F. L’étude de l’équilibre d’un régime de retraite par répartition ................................................ 28

G. Les leviers permettant de parvenir à l’équilibre .................................................................... 30

II. Contexte de l’étude....................................................................................................... 33

A. L’analyse et la mise en forme des données ........................................................................... 33 1. L’analyse des données ............................................................................................................................. 33 2. La mise en forme ..................................................................................................................................... 36

B. Les hypothèses actuarielles .................................................................................................. 36 1. L’inflation ................................................................................................................................................. 36 2. Profils de carrière ..................................................................................................................................... 36 3. Rendement des actifs du régime ............................................................................................................. 36

C. Les hypothèses de comportements sociaux .......................................................................... 37 1. Turnover .................................................................................................................................................. 37 2. Table de mortalité ................................................................................................................................... 37 3. Taux de nuptialité et différence d’âge homme-femmes ......................................................................... 37

D. Les hypothèses de projection de population ......................................................................... 37

E. Le logiciel LASER .................................................................................................................. 40

F. La projection de flux financiers du régime ............................................................................ 41

III. Les méthodes d’échantillonnage ................................................................................... 43

A. L’échantillonnage aléatoire simple sans remise (EASSR) ........................................................ 43

B. L’échantillonnage stratifié .................................................................................................... 44

C. La formule de Krejcie & Morgan ........................................................................................... 47

IV. La classification non supervisée ................................................................................. 52

A. Les mesures d’éloignement .................................................................................................. 52 1. La mesure de similarité ............................................................................................................................ 52 2. La mesure de dissimilarité ....................................................................................................................... 53 3. La distance ............................................................................................................................................... 53

B. Les critères d’homogénéité .................................................................................................. 53 1. L’inertie .................................................................................................................................................... 53 2. Le théorème de Huygens ......................................................................................................................... 56

C. La mise en forme des données ............................................................................................. 57

D. L’algorithme des K-means ................................................................................................... 58 1. Principe .................................................................................................................................................... 58 2. L’algorithme ............................................................................................................................................. 59 3. Avantages et inconvénients ..................................................................................................................... 61 4. Le choix du nombre de classes 𝐾 ............................................................................................................. 62

E. L’algorithme des K-medoïdes .............................................................................................. 63 1. Principe .................................................................................................................................................... 63 2. L’algorithme ............................................................................................................................................. 63 3. Avantages et inconvénients ..................................................................................................................... 67

V. Résultats et analyses .................................................................................................... 69

A. Mesure d’erreur .................................................................................................................. 69

B. Etude préalable ................................................................................................................... 70

C. Méthode de programmation ................................................................................................ 73 1. Le logiciel R .............................................................................................................................................. 73 2. La fonction 𝐾-means ............................................................................................................................... 73 3. Le programme .......................................................................................................................................... 73 4. Le calcul des pondérations ...................................................................................................................... 74

D. Etude sur la variation du nombre de classes ......................................................................... 75 1. Evolution du 𝑅2 en fonction du nombre de classes ................................................................................ 75 2. Evolution du nombre d’individus en fonction du nombre de classes ...................................................... 77 3. Etude de l’erreur par rapport à la réserve ............................................................................................... 78 4. Différence de temps de calcul 𝐾-means / 𝐾-médoïdes .......................................................................... 78 5. Résultats relatifs au nombre de classes de la méthode des 𝐾-médoïdes ............................................... 79 6. Premier test sur la variabilité des résultats ............................................................................................. 80 7. Conclusion................................................................................................................................................ 81

E. Etude sur les paramètres d’échantillonnage ......................................................................... 82 1. Le nombre de classes retenu ................................................................................................................... 82 2. Variation du niveau d’erreur de la formule de Krejcie & Morgan ........................................................... 82 3. Conclusion................................................................................................................................................ 85

F. Contrôle de l’erreur autour de l’approximation des réserves ................................................ 86 1. Les intervalles de confiance empirique ................................................................................................... 87 2. Le Bootstrap ............................................................................................................................................. 88 3. Application ............................................................................................................................................... 88 4. Conclusion................................................................................................................................................ 90

Conclusion ........................................................................................................................... 93

VI. Bibliographie ............................................................................................................ 97

VII. Annexes .................................................................................................................. 100

A. Annexe 1 : La table du Khi-deux ......................................................................................... 100

B. Annexe 2 : La table de Krejcie & Morgan ............................................................................ 101

C. Annexe 3 : La complexité des algorithmes .......................................................................... 102

D. Annexe 4 : La démonstration du quantile empirique ........................................................... 103

- -

-

-

-

𝑇 𝑛𝑐𝑜𝑡𝑖𝑖

𝑡 𝑖 𝑡 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡

𝑖 𝑡 𝐼𝐸

𝑇

𝐼𝐸 =∑ ∑ 𝑐𝑜𝑡𝑖𝑖

𝑡𝑛𝑖=1

𝑇𝑡=1

∑ ∑ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑛

𝑖=1𝑇𝑡=1

.

𝑡

𝐼𝐸 =∑ 𝑐𝑜𝑡𝑖𝑖

𝑡𝑛𝑖=1

∑ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑛

𝑖=1

.

𝑇

𝑇

𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑇 = ( ∑ 𝑐𝑜𝑡𝑖𝑖𝑇

𝑛

𝑖=1

− ∑ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑇

𝑛

𝑖=1

) + 𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑠𝑇−1 + 𝐼𝐹𝑻

𝑇 𝐼𝐹𝑇

𝑇 − 1

𝐼𝐹𝑇 = 𝑖𝑇 × 𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑠𝑇−1

𝑖𝑇 𝑇

𝐼𝐸 =∑ 𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑠𝑡

𝑇𝑡=1

∑ ∑ 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑇𝑛

𝑖=1𝑇𝑡=1

.

𝐶𝑜𝑡𝑖𝑒𝑓𝑓 = 𝐶𝑜𝑡𝑖𝑐𝑜𝑛𝑡 × 𝑖𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙

𝐶𝑜𝑡𝑖𝑒𝑓𝑓

𝐶𝑜𝑡𝑖𝑐𝑜𝑛𝑡

𝑖𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙

-

-

-

-

-

-

-

a. Le périmètre des actifs cotisants

-

-

-

b. Le périmètre des radiés

c. Le périmètre des pensionnés

Catégorie Hommes Femmes Total

Cadres 1273 989 2262

Non Cadres 16908 13141 30049

Contractuels 2164 3249 5413

Radiés 25154 23162 48316

Retraités 6667 4335 11002

Réversataire 212 2235 2447

Orphelins 22 22 44

Total 52400 47133 99533

Catégorie Effectif Age moyen Salaire annue

moyen

Nombre moyen de

points acquis

Cadres / Non cadres homme

18181 39 ans 23 440 € 1884 points

Cadres / Non cadres femme

14130 39 ans 19 704 € 1527 points

Contractuels hommes

2164 42 ans 18 264 € 1583 points

Contractuels femmes

3249 39 ans 17 530 € 1355 points

Total 37724 39 ans 21 235 € 1687 points

Catégorie Effectif Age moyen Nombre moyen

de points acquis

Radiés hommes

25154 44 ans 531 points

Radiés femmes

23162 43 ans 405 points

Total 48316 44 ans 471 points

Catégorie Effectif Age moyen Montant de

pension moyen

Retraités hommes

6667 70 ans 10 101,11 €

Retraités femmes

4335 69 ans 6 272,67 €

Réversaitaires hommes

212 72 ans 4 036,15 €

Réversataires femmes

2235 73 ans 4 036,15 €

Total 13449 70 ans 7 763,60 €

Catégorie Effectif Age moyen Montant de

pension moyen

Orphelins hommes 22 18 ans 1 552 €

Orphelins femmes 22 19 ans 1 175 €

Total 44 19 ans 1 363 €

HYPOTHESES Hypothèses prises

HYPOTHESES DE CALCUL

Date de calcul 01/01/2014

Inflation 1,50%

HYPOTHESES ECONOMIQUES

Valeur du salaire de référence 20,31 €

Valeur de service du point 1,69 €

Taux de revalorisation des pensions (inflation incluse)

1,50%

Taux de revalorisation du salaire de référence (inflation incluse)

1,50%

Taux de revalorisation de la valeur de service (inflation incluse)

1,50%

Evolution du plafond (inflation incluse)

1,50%

Répartition Cadres/Non cadres 7% de cadres

Taux de rendement net des actifs du régime 1,80%

Prise en compte des périodes non cotisées Abattement de 1,5 % des cotisations (via la valeur d'achat)

HYPOTHESES DE COMPORTEMENTS SOCIAUX

Turnover Tables par âges et par catégories

Tables de mortalité TH 00-02 (vie) pour les hommes, TF 00-02 (vie) pour les femmes

Ages de départ à la retraite 80% à 62 ans, 20% à 60 ans

Taux de nuptialité 70%

Différence d'âge H-F 4 ans

HYPOTHESES DE PROJECTION DE POPULATION

Evolution global des effectifs d'actifs 2% cadres et non cadres, 1% contractuels

Dérive du salaire d'entrée (inflation incluse)

2,00%

Départ à la retraite 80% à 62 ans, 20% à 60 ans

Horizon de projection 2044

Cadres Hommes

Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids

25 1 3 610 € 17,29%

30 1 3 950 € 82,71%

Total 3 891 € 100,00%

Cadres Femmes

Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids

25 2 3 610 € 19,67%

30 2 3 950 € 80,33%

Total 3 883 € 100,00%

Non cadres Hommes

Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids

21 1 1 680 € 53,00%

25 1 1 930 € 47,00%

Total 1 798 € 100,00%

Non cadres Femmes

Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids

21 2 1 680 € 53,00%

25 2 1 930 € 47,00%

Total 1 798 € 100,00%

Contractuels Hommes

Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids

21 1 1 500 € 45,86%

25 1 1 360 € 54,14%

Total 1 424 € 100,00%

Contractuels Femmes

Age d'entrée Sexe Salaire d'entrée Poids

21 2 1 400 € 49,15%

25 2 1 240 € 50,85%

Total 1 318 € 100,00%

𝑂(𝑡. 𝑛) 𝑡𝑛

0

50

100

150

200

250

300

1000 5000 8000 20000 25000 75000 125000 180000

0

50

100

150

200

250

300

350

400

20

14

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

Cotisations patronales Cotisations salariales Intérêts financiers

Ressources Prestations Réserves

𝑈 𝑁 𝑈 = 1, … , 𝑖, … , 𝑁 𝑛

( )𝑛𝑁

𝑠 𝑛

ℙ(𝑠) =1

( )𝑛𝑁

= 𝑛! (𝑁 − 𝑛)!

𝑁!.

𝑈 𝐻 𝐻

𝐻 𝑈 𝑁ℎ

𝑁 = ∑ 𝑁ℎ

𝐻

ℎ=1

.

1E-55

1E-51

1E-47

1E-43

1E-39

1E-35

1E-31

1E-27

1E-23

1E-19

1E-15

0 51

01

52

02

53

03

54

04

55

05

56

06

57

07

58

08

59

09

51

00

10

51

10

11

51

20

12

51

30

13

5

10-15

10-19

10-23

10-27

10-31

10-35

10-39

10-43

10-47

10-51

10-55

𝑛ℎ ℎ

𝑛 = ∑ 𝑛ℎ

𝐻

ℎ=1

.

𝐻 𝑠ℎ, ℎ ∈ 1; … ; 𝐻 𝑠

𝑠 = ⋃ 𝑠ℎ

𝐻

ℎ=1

.

𝑠

ℙ(𝑠) = ∏ ℙ(𝑠ℎ)

𝐻

ℎ=1

= ∏1

(𝑁ℎ𝑛ℎ

)

𝐻

ℎ=1

.

Strate Taille de la strate

1 30

2 10

3 60

4 37

𝑠

1E-38

1E-35

1E-32

1E-29

1E-26

1E-23

1E-20

1E-17

1E-14

1E-11

1E-08

0,00001

0,01

0 5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

10

0

10

5

11

0

11

5

12

0

12

5

13

0

13

5

10-2

10-5

10-8

10-11

10-14

10-17

10-20

10-23

10-26

10-29

10-32

10-35

10-38

-

𝑒

-

𝛼

- 𝑁

𝑛

𝑛 =𝑧𝛼

2 ×𝑁4

𝑒2 × (𝑁 − 1) +𝑧𝛼

2

4

𝑧𝛼 𝛼

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0

200

400

600

800

1000

1200

90,00% 91,00% 92,00% 93,00% 94,00% 95,00% 96,00% 97,00% 98,00% 99,00%

Ω

𝑆 Ω × Ω → ℝ+

- ∀𝑖 ∊ Ω, 𝑆(𝑖, 𝑖) > 0

- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝑆(𝑖, 𝑗) = 𝑆(𝑗, 𝑖)

- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝑆(𝑖, 𝑖) ≥ 𝑆(𝑖, 𝑗).

𝐷 Ω × Ω → ℝ+

- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝐷(𝑖, 𝑗) = 𝐷(𝑗, 𝑖)

- ∀𝑖 ∊ Ω, 𝐷(𝑖, 𝑖) = 0

𝑑 Ω × Ω → ℝ+

- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝑑(𝑖, 𝑗) ≥ 0

- ∀(𝑖, 𝑗) ∊ Ω2, 𝑑(𝑖, 𝑗) = 0 ⇔ 𝑖 = 𝑗.

- ∀(𝑖, 𝑗, 𝑘) ∊ Ω3, 𝑑(𝑖, 𝑘) ≤ 𝑑(𝑖, 𝑗) + 𝑑(𝑗, 𝑘).

𝑖 𝑗𝑥𝑖,𝑘 𝑘 𝑖

𝑑2(𝑖, 𝑗) = ∑(𝑥𝑖𝑘 − 𝑥𝑗𝑘)2

𝑘

.

𝑛𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 𝑔𝑥

𝑔𝑥 =1

𝑛∑ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

.

𝐼𝑇 = ∑ 𝑑2(𝑥𝑖, 𝑔𝑥)

𝑛

𝑖=1

.

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥5

𝑥9

𝑥4

𝑥10

𝑥6

𝑥8

𝑥7

𝑔𝑥

𝑛 𝐾 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝐾

𝑔𝐶1, 𝑔𝐶2

, … , 𝑔𝐶𝐾

a. L’inertie intra-classe

𝐼𝑊 𝑊

𝐼𝑊 = ∑ ∑ 𝑑2(𝑥𝑖 , 𝑔𝐶𝑘)

𝑖∈𝐶𝑘

𝐾

𝑘=1

.

𝑥7

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4

𝑥5

𝑥6

𝑥8

b. L’inertie inter-classes

𝐼𝐵 𝐵

𝐼𝐵 = ∑ ∑ 𝑛𝑘𝑑2(𝑔𝐶𝑘, 𝑔𝑥)

𝑖∈𝐶𝑘

𝐾

𝑘=1

.

𝑛𝑘 𝑘

𝑔𝑥

𝐼𝑇 𝐼𝑊 𝐼𝐵

𝐼𝑇 = 𝐼𝑊 + 𝐼𝐵 .

𝐼𝐵 𝐼𝑊

𝑔𝐶1

𝑔𝐶2

𝑔𝐶3

𝑔𝐶5

𝑔𝐶4

𝑔𝑥

𝑔𝑥

𝑔𝐶2

𝑔𝐶1

𝑔𝐶3

𝑔𝐶4

𝑅2

𝑅2 =𝐼𝐵

𝐼𝑇=

𝐼𝐵

𝐼𝑊 + 𝐼𝐵 .

𝑅2 ∈ [0,1]

𝑅2

𝐼𝐵

𝐼𝑊

𝑋 𝑛 𝑝

𝑋 = (𝑥𝑖𝑗)𝑖∈1,…,𝑛

𝑗∈1,…,𝑝

𝑥𝑖𝑗 𝑗 𝑖 𝑗

𝜎𝑗

= (𝑥𝑖𝑗 − 𝑗

𝜎𝑗)

𝑖∊1,…,𝑛

𝑗∊1,…,𝑝

.

𝐾𝐾 𝐾

𝐾 𝐶1, … , 𝐶𝐾 𝑔1, … , 𝑔𝐾

𝛱 = 𝐶1, … , 𝐶𝐾 𝐾

𝑑

𝐾𝛱

𝑓 = ∑ ∑ 𝑑(𝑗, 𝑔𝑘)

𝑗∈𝐶𝑘

𝐾

𝑘=1

.

1 𝐾

𝐿𝑡𝑖 𝑖 𝑡

𝐾

𝑡

𝑡

𝑀𝑡 = ∑ ∑ 𝑑(𝑗, 𝑔𝑘𝑡 )

𝑗∈𝐶𝑘𝑡

𝐾

𝑘=1

𝑡 |𝑀𝑡 − 𝑀𝑡−1| < 𝜀 𝜀

𝐾

Individu Age Salaire

1 25 20 000 €

2 30 25 000 €

3 45 35 000 €

4 23 20 000 €

5 55 30 000 €

6 50 60 000 €

7 38 25 000 €

8 39 30 000 €

0 €

10 000 €

20 000 €

30 000 €

40 000 €

50 000 €

60 000 €

70 000 €

20 25 30 35 40 45 50 55 60

0 €

10 000 €

20 000 €

30 000 €

40 000 €

50 000 €

60 000 €

70 000 €

20 25 30 35 40 45 50 55 60

𝐾

𝑂(𝐾. 𝑛. 𝑡) 𝑛𝑡

0 €

10 000 €

20 000 €

30 000 €

40 000 €

50 000 €

60 000 €

70 000 €

20 25 30 35 40 45 50 55 60

0 €

10 000 €

20 000 €

30 000 €

40 000 €

50 000 €

60 000 €

70 000 €

20 25 30 35 40 45 50 55 60

𝐾

𝐾

𝐾𝑅2 𝐾 𝑅2

𝑅2

𝑅2

𝑅2

𝑅2

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝐾 𝐾

𝐾

𝑓 = ∑ ∑ 𝑑(𝑖, 𝑚𝑘)

𝑖 ∈𝐶𝑘

𝐾

𝑘=1

.

𝐶𝑘 𝑘 𝑚𝑘

𝐾

𝐾

𝐾

a. PAM (Partition Around Medoids)

𝐾𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝐾

𝑡

(𝑚𝑘, 𝑖) 𝐶𝐺𝑘𝑖

𝐶𝐺𝑘𝑖 = ∑ 𝑑(𝑚𝑘, 𝑖) − 𝑑(𝑚𝑘, 𝑗)

𝑗∈𝐶𝑘

𝐶𝑘 𝑘 𝐶𝐺𝑘𝑖 𝑖𝑘 𝑚𝑘

(𝑚𝑘, 𝑖) 𝐶𝐺𝑘𝑖

𝐶𝐺𝑘𝑖 < 0 𝑚𝑘 𝑖

Individu Age Salaire

1 25 20 000 €

2 30 25 000 €

3 45 35 000 €

4 23 20 000 €

5 55 30 000 €

6 50 60 000 €

7 38 25 000 €

8 39 30 000 €

0 €

10 000 €

20 000 €

30 000 €

40 000 €

50 000 €

60 000 €

70 000 €

20 25 30 35 40 45 50 55 60

0 €

10 000 €

20 000 €

30 000 €

40 000 €

50 000 €

60 000 €

70 000 €

20 25 30 35 40 45 50 55 60

𝑂(𝐾(𝑛 − 𝐾)2)

b. CLARA (Clustering LARge Application)

40 + 2𝐾

𝑡 𝑡 ∈ 1, … ,5

40 + 2𝐾

0 €

10 000 €

20 000 €

30 000 €

40 000 €

50 000 €

60 000 €

70 000 €

20 25 30 35 40 45 50 55 60

𝐾

𝐾

40 + 2𝐾

𝐾

𝐾

0

50

100

150

200

250

300

350

400

20

14

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

Cotisations patronales Cotisations salariales Intérêts financiers

Ressources Prestations Réserves

𝑅𝑡 𝑡 𝑟𝑡 𝑡𝑡 𝐸𝑡

𝐸𝑡 = |𝑟𝑡

𝑅𝑡− 1|.

𝐸𝑡

𝐸𝑡

Catégorie Nombre de ligne à

traiter

Actifs non cadre 8865

Actifs cadre 8865

Contractuels 3209

Retraités et réversataires 197

Radiés 390

Orphelins 44

TOTAL 21570

max𝑡

𝐸𝑡 = 0,34% =1

30∑ 𝐸𝑡

30𝑡=1 = 0,15%

0,00%

0,10%

0,20%

0,30%

0,40%

0,50%

𝐾 𝐾

𝐾

𝐾

𝐾

𝐾 𝐾

𝑖 𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 𝑘𝑘 ∈ 1, … , 𝐾

𝑝𝑖 =𝑁𝑘

𝑛𝑘

𝑝𝑖 𝑖 𝑁𝑘 𝑘 𝑛𝑘

𝑘

𝑅2

𝑅2

𝑅2

𝑅2

𝐾 𝑅2

𝐾

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

𝑅2

𝑅2

𝑅2

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

𝑅2 𝑅2

𝑅2

𝑅2

𝐾 𝐾

𝐾𝐾

20000

25000

30000

35000

40000

45000

20 25 30 35 40 50

𝐾

𝐾 𝐾

𝐾𝐾

𝐾 𝐾

𝐾

𝐾 𝐾

𝐾 𝐾

𝐾 𝐾

0,00%

0,20%

0,40%

0,60%

0,80%

1,00%

1,20%

1,40%

1,60%

1,80%

2014 2017 2020 2023 2026 2029 2032 2035 2038 2041 2044

𝐾

𝐾

𝐾 𝐾

𝐾𝐾

𝐾

𝐾

𝑅2

0

10

20

30

40

50

60

70

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

K-means K-medoïdes

𝐾

𝑅2

𝐾

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

20 25 30 35 40 45 50 55 60

𝑅2

𝑅2

0,0000%

0,5000%

1,0000%

1,5000%

2,0000%

2,5000%

3,0000%2

01

4

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

𝑒 𝑐

𝑒 = 5% 𝑐 = 95%

𝑅2

𝐾

𝐾 𝑅2

𝑅2 𝐾

𝑒

𝑒

𝑒

0 000

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

120 000

140 000

160 000

5% 4,5% 4% 3,5% 3% 2% 1,5% 1%

𝑒

0

50

100

150

200

250

300

0,00%

0,20%

0,40%

0,60%

0,80%

1,00%

1,20%

1,40%

1,60%

5% 0.5% 4% 3,50% 3% 2,50% 2% 1,50% 1%

𝑅2

0,0000%

0,0500%

0,1000%

0,1500%

0,2000%

0,2500%

0,3000%

0,3500%

0,4000%

20

14

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

𝑒 = 5% 𝑐 = 95%

a. Quantile d’une variable aléatoire

𝛼 𝛼 ∊ [0,1] 𝑞𝛼 𝑋

ℙ(𝑋 ≥ 𝑞𝛼) = 1 − 𝛼

b. Quantile empirique

𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 𝑛𝑋(1), 𝑋(2), … , 𝑋(𝑛)

𝑋(1) ≤ 𝑋(2) ≤ ⋯ ≤ 𝑋(𝑛)

𝑋(1) = min𝑖=1,…,𝑛

𝑋𝑖 𝑋(𝑛) = maxi=1,…,n

𝑋𝑖

𝛼 𝑋1, … , 𝑋𝑛 𝑋([𝑛𝛼]+1)

∀𝑥 ∊ ℝ, [𝑥] 𝑥

lim𝑛→∞

𝑋([𝑛𝛼]+1) = 𝑞𝛼 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑠û𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

c. Intervalle de confiance empirique

𝛼

𝐼𝐶𝑛,𝛼 = [𝑋[𝑛(1−𝛼)

2]+1

; 𝑋[𝑛(1+𝛼)

2]+1

]

𝛼 = 95%

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

2014 2016 2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030 2032 2034 2036 2038 2040 2042 2044

0,00%

0,20%

0,40%

0,60%

0,80%

1,00%

1,20%

20

14

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%2

01

4

20

15

20

16

20

17

20

18

20

19

20

20

20

21

20

22

20

23

20

24

20

25

20

26

20

27

20

28

20

29

20

30

20

31

20

32

20

33

20

34

20

35

20

36

20

37

20

38

20

39

20

40

20

41

20

42

20

43

20

44

𝐾𝐾

𝐾 𝐾

𝐾

𝑅2

P

0,999 0,995 0,99 0,98 0,95 0,9 0,8 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

DD

L

1 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,064 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635

2 0,002 0,010 0,020 0,040 0,103 0,211 0,446 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210

3 0,024 0,072 0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345

4 0,091 0,207 0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277

5 0,210 0,412 0,554 0,752 1,145 1,610 2,343 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086

6 0,381 0,676 0,872 1,134 1,635 2,204 3,070 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812

7 0,598 0,989 1,239 1,564 2,167 2,833 3,822 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475

8 0,857 1,344 1,646 2,032 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090

9 1,152 1,735 2,088 2,532 3,325 4,168 5,380 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666

10 1,479 2,156 2,558 3,059 3,940 4,865 6,179 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209

11 1,834 2,603 3,053 3,609 4,575 5,578 6,989 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725

12 2,214 3,074 3,571 4,178 5,226 6,304 7,807 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217

13 2,617 3,565 4,107 4,765 5,892 7,042 8,634 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688

14 3,041 4,075 4,660 5,368 6,571 7,790 9,467 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141

15 3,483 4,601 5,229 5,985 7,261 8,547 10,307 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578

16 3,942 5,142 5,812 6,614 7,962 9,312 11,152 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000

17 4,416 5,697 6,408 7,255 8,672 10,085 12,002 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409

18 4,905 6,265 7,015 7,906 9,390 10,865 12,857 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805

19 5,407 6,844 7,633 8,567 10,117 11,651 13,716 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191

20 5,921 7,434 8,260 9,237 10,851 12,443 14,578 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566

21 6,447 8,034 8,897 9,915 11,591 13,240 15,445 26,171 29,615 32,671 36,343 38,932

22 6,983 8,643 9,542 10,600 12,338 14,041 16,314 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289

23 7,529 9,260 10,196 11,293 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638

24 8,085 9,886 10,856 11,992 13,848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980

25 8,649 10,520 11,524 12,697 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314

26 9,222 11,160 12,198 13,409 15,379 17,292 19,820 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642

27 9,803 11,808 12,879 14,125 16,151 18,114 20,703 32,912 36,741 40,113 44,140 46,963

28 10,391 12,461 13,565 14,847 16,928 18,939 21,588 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278

29 10,986 13,121 14,256 15,574 17,708 19,768 22,475 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588

30 11,588 13,787 14,953 16,306 18,493 20,599 23,364 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892

𝑥 ℙ(𝑋 > 𝑥) = 𝑃 𝑋𝑛

Niveau de confiance = 95% Niveau de confiance = 99%

N e = 5% e = 2,5% e = 1% e = 5% e = 2,5% e = 1%

10 10 10 10 10 10 10

20 19 20 20 19 20 20

30 28 29 30 29 30 30

40 36 39 40 38 39 40

50 44 48 50 47 49 50

60 52 58 60 55 59 60

70 59 67 70 63 68 70

80 66 76 79 71 78 80

90 73 85 89 79 87 90

100 80 94 99 87 96 99

150 108 137 148 122 142 149

200 132 177 196 154 186 198

250 152 215 244 182 229 246

300 169 251 291 207 270 295

350 183 285 338 229 309 343

400 196 318 384 250 348 391

450 207 348 430 268 385 438

500 217 377 475 285 421 485

1000 278 606 906 399 727 943

2000 322 869 1655 498 1141 1785

3000 341 1016 2286 543 1408 2541

4000 351 1110 2824 569 1596 3223

5000 357 1176 3288 586 1734 3842

6000 361 1223 3693 598 1840 4406

7000 364 1260 4049 606 1925 4923

8000 367 1289 4365 613 1993 5397

9000 368 1313 4646 618 2050 5835

10000 370 1332 4899 622 2098 6239

𝑒

𝑂

𝑂(𝑛)

Complexité Temps Temps pour

n = 10 Temps pour

n = 50 Temps pour

n = 1 000 Exemple de problème

Constante 𝑂(1) 10 ns 10 ns 10 ns Accès tableau

Logarithmique 𝑂(log(𝑛)) 10 ns 20 ns 30 ns Recherche dichotomique

Linéaire 𝑂(𝑛) 100 ns 500 ns 10 µs Parcours de liste

Quadratique 𝑂(𝑛2) 1 µs 25 µs 10 ms Parcours de tableau en 2

dimensions

Cubique 𝑂(𝑛3) 10 µs 1,25 ms 10 s Parcours de tableau en 3

dimensions

𝑓 𝑓 ∶ 𝑈 → ℝ

||𝑓||∞ = sup𝑥∈𝑈

𝑓(𝑥)

𝑋1, … , 𝑋𝑛

𝐹

𝐹𝑛

∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹𝑛 = ∑ 𝟙𝑋𝑖 < 𝑥

𝑛

𝑖=1

lim𝑛→∞

||𝐹𝑛 − 𝐹||∞ = 0 𝑝. 𝑠

𝛼 𝑋[𝑛𝛼]+1 𝛼 𝑞𝛼

|𝐹(𝑋[𝑛𝛼]+1) − 𝐹(𝑞𝛼)| ≤ |𝐹(𝑋[𝑛𝛼]+1) − 𝐹𝑛(𝑋[𝑛𝛼]+1)| + |𝐹𝑛(𝑋[𝑛𝛼]+1) − 𝐹(𝑞𝛼)|

≤ ||𝐹𝑛 − 𝐹||∞

+ |[𝑛𝛼] + 1

𝑛− 𝛼|

→𝑛→∞ 0 𝑝. 𝑠